专题04 二次函数背景下的线段最值问题（压轴题专项训练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 以“坐标法转化+函数求最值”为核心，系统构建二次函数背景下线段最值问题的解题框架，覆盖单双线段、和差定值等6类题型，实现方法迁移与思维进阶。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|设点→表距离→化函数→求最值，结合轴对称等几何模型|从代数转化到几何辅助，构建“数”“形”结合基础| |题型归纳|6类题型（每类含1典例+3变式）|单线段用坐标公式，双线段和差用对称/三角形三边关系，定值问题消参验证|从简单到复杂，从静态到动态，形成问题解决梯度链| |压轴挑战|16道综合题|综合运用函数性质与几何变换，强化临界状态分析|对接中考压轴命题趋势，提升复杂问题处理能力|

专题04 二次函数背景下的线段最值问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、二次函数背景下的单线段最值问题 题型2、二次函数背景下的双线段和最值问题 题型3、二次函数背景下的双线段差最值问题 题型4、二次函数背景下的线段定值问题 题型5、二次函数背景下的双线段距离最值问题 题型6、二次函数背景下的单线段最值问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限TOC 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 解决二次函数背景下的线段最值问题，核心在于用坐标法把几何线段长度表示为关于动点坐标的函数；要紧紧抓住设点、表距离、化函数、求最值四个步骤，充分利用二次函数顶点、开口方向、对称轴及区间端点；涉及两条线段和差最值时，常借助轴对称、将军饮马、三角形三边关系等几何模型进行转化；解题中必须注意动点的取值范围与临界状态，所有结果均需回代检验． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、二次函数背景下的单线段最值问题 典例1 （24-25九年级上·全国·期末）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若点P为线段上的一点（不与B、C重合），轴，且交抛物线于点M，交x轴于点N，当线段的长度最大时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点Q，使得为直角三角形，直接写出点Q的坐标． 题型模版 1.特征：在二次函数图象上给定一点或动点，求该点到某定点、定直线或坐标轴的线段长度最值． 2.方法：设出动点坐标，用两点间距离公式或点到直线距离公式表示目标线段长度的平方；转化为关于动点横坐标（或纵坐标）的二次函数，利用顶点或区间端点求最值；注意动点坐标范围． 变式1-1 （25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）如图所示，已知抛物线与轴相交于点和，与轴相交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图甲所示，若是线段上的一个动点（不与点重合），过点作轴的平行线，交抛物线于点，连结，当线段的长最大时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图乙所示，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线相交于点，且，连结．在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1-2 如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标． (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1-3 （25-26九年级上·浙江湖州·期末）定义：若两个函数图象有交点，则称这两个函数互为“关联函数”．两个函数图象构成的封闭图形（含边界）叫做“关联区域”．例如：函数与，可以通过消去，得到，移项得，因为，所以它们有两个交点，我们认为函数与是互为关联函数，如图1，阴影部分是关联区域．如图2，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于两点，当线段长度最大时，该距离叫作“最优关联距离”，若此时为整数，则称点为“最优关联点”． 根据以上信息，完成下列问题： (1)证明：函数与是“关联函数”； (2)求“关联函数”与的“最优关联距离”； (3)若“关联函数”与（为整数）恰有三个“最优关联点”，求的值． 题型2、二次函数背景下的双线段和最值问题 典例2 （25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C，P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），设点P的坐标为，过点P作轴于点M，作轴于点N． (1)此抛物线的解析式为___________； (2)当， ①则n的取值范围是___________． ②是否存在一点P，使得的长度最大，若存在求出m为何值时的长度最大，并求出最大值，若不存在请说明理由； (3)设点，点，将线段绕点D顺时针旋转后得到线段，以，为边构造正方形，当正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，请直接写出t的值或取值范围． 题型模版 1.特征：要求两条线段长度之和的最小值或最大值，常与对称、将军饮马模型结合． 2.方法：利用轴对称或中心对称将其中一条线段转化，把“折线”拉直；找到共线时取最值的位置；用二次函数表示剩余变量并求最值，回代检验． 变式2-1 如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点是第一象限内的抛物线上的一个动点． ①当为抛物线的顶点时，求证：直角三角形； ②求出的最大面积及此时点的坐标； ③过点作轴，垂足为，与交于点．当的值最大时，求点的坐标． 变式2-2 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点E，B（E在B的左侧）．    (1)如图2，抛物线的顶点为点Q，求的面积； (2)如图3，过点A作平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在上方），作平行于y轴交于点D、交于点F，当点P在何位置时，最大？求出最大值； (3)在（2）条件下，当最大时，将抛物线沿着射线平移，使得抛物线经过点C，此时得到新抛物，点N是原抛物线对称轴上一点，在新抛物线上是否存在一点M，使以点A，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的所有坐标，若不存在，请说明理由． 变式2-3 如图，二次函数的图象过，，三点，点是二次函数图象上一点，点的横坐标是，直线与轴交于点，且． (1)求二次函数的表达式； (2)过点，作直线于点，作轴于点，并交于点． ①当时，求的长； ②是否存在点，使最大？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 题型3、二次函数背景下的双线段差最值问题 典例3 如图，已知抛物线过点，且它的对称轴为直线．    (1)求此抛物线的表达式； (2)若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第四象限, 当的面积为10时． ①求的坐标； ②点足抛物线上的动点，当的值最大时，求的坐标以及的最大值． 题型模版 1.特征：要求两条线段长度之差的最大值或最小值，常涉及三角形两边之差小于第三边． 2.方法：利用三点共线或对称转化，把差值转化为某条定长线段；结合动点所在二次函数解析式，确定取到最值时的位置，注意等号成立条件． 变式3-1 （25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，其对称轴为直线． (1)求a，b的值，并根据图象写出时x的取值范围； (2)把点A向上平移m个单位得点．若点向右平移n个单位，将与抛物线上的点重合；若点向右平移个单位，将与抛物线上的点重合，其中， ，求m，n的值； (3)抛物线上是否存在点P，使得最小，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 变式3-2 （25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为直线．解答下列问题． (1)抛物线的解析式是______． (2)若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当的面积为时，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，若动点在抛物线上，当的值最大时，求点的坐标和的最大值． 变式3-3 （25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，其中，． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)在直线上方抛物线上找一点 Q，使三角形面积最大，求面积最大时 Q 的坐标及最大面积； (3)在抛物线的对称轴上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，在对称轴上找一点 N，使最大．写出点 M、点 N 的坐标； 题型4、二次函数背景下的线段定值问题 典例4 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于、两点，与 轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，点 是直线 下方抛物线上一个动点，求四边形 面积的最大值及此时点 的坐标； (3)如图2，点 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与 轴交于点 ，直线（ 为常数）交抛物线于 、 两点（点 、 分别在抛物线对称轴的两侧），直线交 轴于点 ，直线交 轴于点．试探究是否为定值？若为定值，求出的值；若不是定值，请说明理由． 题型模版 1.特征：在二次函数背景下，某条线段长度或与线段相关的代数式为定值，要求证明或求值． 2.方法：用参数表示动点坐标，把目标线段长度或代数式化简；通过配方、因式分解或利用韦达定理消去参数，证明结果与参数无关；注意取特殊值验证． 变式4-1 已知抛物线（）与轴有且只有一个交点，且与轴于交于点． (1)求与的关系式； (2)若时，点在抛物线的对称轴上； ①若过点的直线：（）与抛物线只有一个交点；证明：直线平分； ②设过点的直线与抛物线交于，点，则是否为定值，若为定值请求出定值，若不是定值请说明理由． 变式4-2 如图，边长为的正方形的两边在坐标轴上，以点为顶点的抛物线经过点，点是抛物线上点，间的一个动点（含端点），过点作于点，点、的坐标分别为，，连接、． (1)求出抛物线的解析式； (2)探究点的位置时发现：当点与点或点重合时，与的差均为定值，进而猜想：对于任意一点，与的差均为定值，请你判断该猜想是否正确，请说明理由； (3)进一步探究发现：若将“使的面积为整数”的点记作“理想点”，则存在多个“理想点”．请你继续探究： ①使的周长最小的点是不是一个“理想点”？如果是，求出该“理想点”坐标，如果不是，请说明理由； ②直接写出所有“理想点”个数． 变式4-3 （2025九年级·全国·专题练习）如图，已知在以O为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，与x轴分别交于C，D两点． (1)该抛物线的表达式为________________． (2)如图①，M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的下方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N．求MN的最大值． (3)如图②，过点A的直线交x轴于点E，且轴，点P是抛物线上A，D之间的一个动点，直线PC，PD与AE分别交于F，G两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由． 题型5、二次函数背景下的双线段距离最值问题 典例5 如图所示,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D（4，）． （1）求抛物线的表达式． （2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动,同时点Q由点B出发,沿BC边以1cm/s的速度向点C运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动．设S=PQ2（cm2）． ①试求出S与运动时间t之间的函数关系式,并写出t的取值范围; ②当S取时，在抛物线上是否存在点R,使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由． （3）在抛物线的对称轴上求点M,使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标． 题型模版 1.特征：两条动线段或一条定线段与一条动线段之间距离的最值，常与平行线间距离、垂线段最短相关． 2.方法：将距离转化为点到直线的距离或平行线间距离；建立关于动点坐标的函数关系；利用二次函数最值或几何性质求解，注意临界位置． 变式5-1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点D坐标为，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），且B坐标为，与y轴交于点C． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)在抛物线对称轴上找一点M，使M到B、C两点的距离之差的绝对值最大，求出点M的坐标及最大绝对值； (3)点P是x轴上的一个动点，过P作直线交抛物线于点Q．试探究：随着点P的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出符合点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 变式5-2 如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C；抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过B，C两点． (1)求B、C两点的坐标和抛物线的解析式； (2)抛物线与x轴的另一个交点为点A，在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标； (3)在直线的下方的抛物线上，是否存在一点N，使的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由； (4)设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出当为直角三角形时点P的坐标． 变式5-3 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，. （1）若直线经过、两点，求直线和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标； （3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标. 题型6、二次函数背景下的单线段最值问题 典例6 如图1，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)P是抛物线上，位于直线上方的一个动点，过点P作于点D，求P坐标为何值时最大，并求出最大值； (3)如图②，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 题型模版 1.特征：在含参数的二次函数背景下，单线段最值随参数变化，要求确定参数值或最值范围． 2.方法：先用参数表示动点坐标及目标线段长度；把长度表达式化为关于动点坐标的二次函数，其最值往往与参数有关；根据题意列关于参数的不等式或方程求解，回代验证． 变式6-1 如图1，已知二次函数的顶点坐标为（1，），其图象与x轴交于A、B两点，其中点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)若点P为线段上方抛物线上的一点，当点P到线段的距离最大时，求点P的坐标； (3)如图2，已知点M为对称轴上一点，点N为抛物线上一点，若以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，求点N的坐标． 变式6-2 如图1，抛物线平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与轴相交于点C，与原抛物线相交于点D． （1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积； （2）如图2，直线AB与轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，为直角，边MN与AP相交于点N，设，试探求： ①为何值时为等腰三角形； ②为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少． 变式6-3 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，B（点A在B左边），交y轴于C，点是抛物线上一点． (1)求抛物线的关系式； (2)在对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)如图2，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 26．如图1，抛物线过点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P是第一象限内抛物线上的一个动点， ①当P为抛物线的顶点时，求证：是直角三角形； ②求出的最大面积及此时P点的坐标； ③如图2，过点P作轴，垂足为N，与交于点E．当的值最大时，求点P的坐标． 27．（25-26九年级上·天津武清·阶段检测）如图，已知抛物线与一条直线相交于两点，与轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)点P为对称轴上一动点，求当最小时点P坐标，并求出最小值． (3)在抛物线对称轴上是否存在一点，使以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 28．如图，抛物线经过两点，与轴负半轴相交于点． (1)求抛物线的解析式： (2)为抛物线的顶点．为对称轴右侧抛物线上一点，连接交于点，若，求点的坐标： (3)点为轴上方抛物线上一动点，点是抛物线对称轴与轴的交点．直线分别交抛物线的对称轴于点． 以下两个结论： ①为定值：②为定值． 请找出正确的结论，并求出该定值． 29．（2025·湖南岳阳·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线下方抛物线上一动点，过点作交于点，求线段的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，过平面上一点作任意一条直线交抛物线于两点，过点作直线，分别交轴于两点，试探究与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 30．（24-25九年级下·江苏常州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点、B，与y轴相交于点C，其对称轴是直线． (1)______，______； (2)连接，P是抛物线上一动点，记点P横坐标为p，满足，过点p分别作轴，交抛物线于点D，作，垂足为E，求的最大值； (3)将原抛物线向右平移一定距离，使得平移后的抛物线经过点B，M是第二象限原抛物线上的一点，过点M作直线，交平移后抛物线于点N．记点M、N的横坐标分别为m、n，判断的值是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 31．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过，两点，与轴的另一个交点为． (1)若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求点的坐标； (3)若点是抛物线的顶点，是否为直角？若是，请说明理由． 32．已知抛物线：与抛物线关于原点对称，和的顶点分别是E． (1)若，直接写出抛物线的解析式： ； (2)如图1，若，点P是x轴上一个动点，过P作x轴的垂线交于A点，交于B点，求的最小长度（用含k的式子表示）． (3)如图2，若两条抛物线和相交于G，H，当四边形是矩形时，求k的值． 33．（2025·河北唐山·二模）如图，抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，与轴交于点A，B（点在点左侧）． (1)求抛物线的解析式和A，B两点坐标； (2)线段上的两个点，分别过点D，E作轴的垂线交抛物线于点N，M，连接． ①线段的长度能否为线段长度的2倍，若能，求出的值，若不能，请说明理由； ②当为何值时的值最小，最小值是多少？ ③当时，直接写出的取值范围． 34．如图，函数的图象与函数的图象相交于，两点．直线与图象，分别交于E，F两点． (1)求b，c的值． (2)设直线与线段交于点D，记和的面积分别为，，当时，求t的值． (3)若t满足，且，试问t取何值时，线段的长度最大？并求出这个最大长度． 35．已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点，抛物线与x交于点和B，与y轴交于点C．平面直角坐标系内有点和点． (1)求抛物线的解析式及点B坐标； (2)在抛物线的对称轴上找一点E，使的值最小，求点E的坐标； (3)若F为抛物线对称轴上的一个定点， ①过点H作y轴的垂线l，若对于抛物线上任意一点都满足P到直线l的距离与它到定点F的距离相等，求点F的坐标； ②在①的条件下，抛物线上是否存在一点P，使最小，若存在，求出点P的坐标及的最小值；若不存在，请说明理由． 36．（25-26九年级上·浙江金华·期中）已知抛物线（为常数）经过点，过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点为平面直角坐标系的原点． (1)求的值． (2)连结，线段交抛物线于点， ①若点为线段的中点，求的值． ②若点，满足，请直接写出的取值范围：_________． 37．如图，已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求点，，的坐标． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点是直线上方抛物线上的一点，求点到直线距离的最大值． 38．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点在轴上，抛物线经过点两点，且与直线交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点为顶点的四边形是以或边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点P的坐标；若不存在，请说明理由． 39．（2025·吉林·二模）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线（是常数）的对称轴是直线，点P、Q均在抛物线上，它们的横坐标分别为和，其中．当点不在轴上时，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，连接MN． (1)求该拋物线对应的函数表达式； (2)证明：点与点始终关于轴对称； (3)当直线与抛物线（是常数）有两个公共点时，设这两个点分别为E、F（点在点左侧）． ①当点E、F在线段MN上时，求的取值范围； ②当时，直接写出的值． 40．（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数与一次函数交于点，与y轴交于点B． (1)求b，k的值； (2)若点，在二次函数上，且，在一次函数上． ①若，求m的值； ②若，求点M的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数背景下的线段最值问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、二次函数背景下的单线段最值问题 题型2、二次函数背景下的双线段和最值问题 题型3、二次函数背景下的双线段差最值问题 题型4、二次函数背景下的线段定值问题 题型5、二次函数背景下的双线段距离最值问题 题型6、二次函数背景下的单线段最值问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 解决二次函数背景下的线段最值问题，核心在于用坐标法把几何线段长度表示为关于动点坐标的函数；要紧紧抓住设点、表距离、化函数、求最值四个步骤，充分利用二次函数顶点、开口方向、对称轴及区间端点；涉及两条线段和差最值时，常借助轴对称、将军饮马、三角形三边关系等几何模型进行转化；解题中必须注意动点的取值范围与临界状态，所有结果均需回代检验． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、二次函数背景下的单线段最值问题 典例1 （24-25九年级上·全国·期末）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若点P为线段上的一点（不与B、C重合），轴，且交抛物线于点M，交x轴于点N，当线段的长度最大时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点Q，使得为直角三角形，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)或或或 【分析】（1）在抛物线解析式中，令可求得点坐标，令则可求得、的坐标； （2）由、的坐标可求得直线的解析式为，设点的坐标，则可表示出点坐标，从而可用表示出的长，再利用二次函数的性质求得线段的长度最大时的值，可求得点坐标； （3）由（2）可知点坐标，设点坐标为，则可用分别表示出、及，分点为直角顶点、点为直角顶点和点为直角顶点三种情况，分别根据勾股定理可得到关于的方程，可求出的值，可求得点坐标． 【详解】（1）解：对于，令，则， ， 令，则， 解得：，， ，； （2）解：设的表达式为，则， 解得， 直线的表达式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， ∴时，最大， 此时点坐标； （3）解：， 抛物线的对称轴为直线， 设， ∵，， ，， ， 为直角三角形， 分点为直角顶点、点为直角顶点和点为直角顶点三种情况， ①当点为直角顶点时，则有 即， 解得：， 此时点坐标为， ②当点为直角顶点时，则有， 即， 解得：，， 此时点坐标为或， ③当点为直角顶点时，则有， 即， 解得：， 此时点坐标为， 综上所述，点坐标为或或或． 【点睛】此题是二次函数综合应用题，主要考查了待定系数法函数与坐标轴的交点、三角形的面积、二次函数的性质、勾股定理、方程思想以及分类讨论思想等知识． 题型模版 1.特征：在二次函数图象上给定一点或动点，求该点到某定点、定直线或坐标轴的线段长度最值． 2.方法：设出动点坐标，用两点间距离公式或点到直线距离公式表示目标线段长度的平方；转化为关于动点横坐标（或纵坐标）的二次函数，利用顶点或区间端点求最值；注意动点坐标范围． 变式1-1 （25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）如图所示，已知抛物线与轴相交于点和，与轴相交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图甲所示，若是线段上的一个动点（不与点重合），过点作轴的平行线，交抛物线于点，连结，当线段的长最大时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图乙所示，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线相交于点，且，连结．在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形为平行四边形，理由见解析 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）设点P的坐标为，则点Q的坐标为，则，根据二次函数的性质求出最值，可得，进而求解； （3）当，则，则直线和直线关于直线对称，进而求出点E的坐标为，设点F的坐标为，再根据，可得关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 故抛物线的表达式为①； （2）解：四边形为平行四边形，理由如下： 对于， 令， 解得或4， 令，则， 故点B的坐标为，点， 设直线的表达式为，则， 解得， 故直线的表达式为， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为， 则， ∵， 故有最大值， 当时，的最大值为， 此时点Q的坐标为； ∵，， 故四边形为平行四边形； （3）解：∵D是的中点， ∴点， 设直线的表达式为，则， 解得， 直线的表达式为， 过点Q作轴于点H， 则，故， 而， ∴， 则直线和直线关于直线对称， ∵点在直线上， ∴点在直线上， 故设直线的表达式为，则， 解得， 故直线的表达式为②， 联立①②并解得（不合题意的值已舍去）， 故点E的坐标为， 设点F的坐标为， 由点B、E的坐标得：， 由点B、F的坐标得：， 当时，则， 解得， 故点F的坐标为或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 变式1-2 如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标． (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点E的坐标为 (3)存在；点P的坐标为或或或 【分析】（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，点，则， 得出，利用二次函数求最值方法进一步求解即可； （3）根据题意，分三种情况①点B为直角顶点；②点A为直角顶点；③点P为直角顶点分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点，， ∴，， ∵， ∴， 把和代入二次函数中得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）解：如图1，∵直线经过点和， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵二次函数， ∴设点，则， ∴， ∴当时，的最大值为， ∴点E的坐标为； （3）解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， 设，分三种情况： ①点B为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ②点A为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ③点P为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：或， ∴或； 综上，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及二次函数与几何最值、动态问题、待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数的解析式、二次函数的图象与性质、直角三角形的性质、解二元一次方程、解一元一次方程、解一元二次方程等知识，知识点较多，难度一般，解答的关键是认真审题，分析图形，寻找相关联信息，利用数形结合和分类讨论的思想方法进行推理、探究和计算． 变式1-3 （25-26九年级上·浙江湖州·期末）定义：若两个函数图象有交点，则称这两个函数互为“关联函数”．两个函数图象构成的封闭图形（含边界）叫做“关联区域”．例如：函数与，可以通过消去，得到，移项得，因为，所以它们有两个交点，我们认为函数与是互为关联函数，如图1，阴影部分是关联区域．如图2，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于两点，当线段长度最大时，该距离叫作“最优关联距离”，若此时为整数，则称点为“最优关联点”． 根据以上信息，完成下列问题： (1)证明：函数与是“关联函数”； (2)求“关联函数”与的“最优关联距离”； (3)若“关联函数”与（为整数）恰有三个“最优关联点”，求的值． 【答案】(1) 证明：由题意得，， 则， 整理得， ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴这两个函数图像有2个交点， ∴函数与是“关联函数”； (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，涉及二次函数的图象与性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，一元二次方程的根的判别式等知识点． （1）联立两个函数解析式，得到一元二次方程，再由根的判别式判断一元二次方程根的情况，即可判断两个函数图像是否有交点，即可证明； （2）过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象与两点，由题意得，则，再利用二次函数的性质求解最值； （3）由题意得，则，则当时，取得最大值，此时，，则，由题意得有三个整数值，即为，故，再解不等式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于两点， 由题意得， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值为， ∴“关联函数”与的“最优关联距离”为； （3）解：如图，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于两点， 由题意得， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值， 当时，； ， ∴ ∵“关联函数”与恰有三个“最优关联点”， ∴有三个整数值，即为， ∴， 解得， ∴若“关联函数”与（为整数）恰有三个“最优关联点”，则． 题型2、二次函数背景下的双线段和最值问题 典例2 （25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C，P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），设点P的坐标为，过点P作轴于点M，作轴于点N． (1)此抛物线的解析式为___________； (2)当， ①则n的取值范围是___________． ②是否存在一点P，使得的长度最大，若存在求出m为何值时的长度最大，并求出最大值，若不存在请说明理由； (3)设点，点，将线段绕点D顺时针旋转后得到线段，以，为边构造正方形，当正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，请直接写出t的值或取值范围． 【答案】(1) (2)①，②时，的最大值为6 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）①根据题意，得，根据函数的最值，结合题意，确定n的取值范围是． ②构造，利用二次函数的最值解答即可； （3）确定，代入抛物线解析式解得或（舍去），当经过点B时，此时正方形与二次函数在范围上的图象有唯一交点；设对称轴与x轴的交点为M，此时，由，得，解得；当点与抛物线的顶点重合时，此时正方形与二次函数在范围上的图象刚好没有交点；此时，解得；故正方形的边与有且仅有一个公共点时， t的取值范围为，解答即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C， ． 函数表达式为：． （2）①解：抛物线解析式为，令，得，整理得，解得， 故； 令，得，故； ， 位于第一象限， ； ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，最大，且最大值为， 故n的取值范围是． ②解：存在 设点P的坐标为，过点P作轴于点M，作轴于点N． 则，， 故， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，的长度最大，且最大值为6， 故存在点，使得的长度最大，此时，的最大值为6． （3）解：根据题意，得， 故抛物线的对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为， 设点，点， 当时，正方形在对称的左侧，与二次函数在范围上的图象没有交点； 当时，如图所示， 此时，根据正方形， 得到，轴， 故点G的横坐标为，纵坐标为， 当点G在抛物线上时，正方形与二次函数在范围上的图象有唯一交点； 故， 整理，得， 解得， 故或（舍去）， 故； 当经过点B时，此时正方形与二次函数在范围上的图象有唯一交点； 设对称轴与x轴的交点为M，此时， 由，得，解得； 当点与抛物线的顶点重合时，此时正方形与二次函数在范围上的图象刚好没有交点； 此时，解得； 故正方形的边与有且仅有一个公共点时， t的取值范围为， 综上所述，当正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，或． 题型模版 1.特征：要求两条线段长度之和的最小值或最大值，常与对称、将军饮马模型结合． 2.方法：利用轴对称或中心对称将其中一条线段转化，把“折线”拉直；找到共线时取最值的位置；用二次函数表示剩余变量并求最值，回代检验． 变式2-1 如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点是第一象限内的抛物线上的一个动点． ①当为抛物线的顶点时，求证：直角三角形； ②求出的最大面积及此时点的坐标； ③过点作轴，垂足为，与交于点．当的值最大时，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)①是直角三角形；②；③ 【分析】（1）把A、B两点坐标代入求解即可； （2）①作轴于点H，易证和是等腰直角三角形，即可求出； ②先求出直线的解析式，过点P作轴于点D，交于点E，设点，则，故，，然后根据二次函数的性质求解即可； ③过点P作轴于点N，交于点E，设点，则，故，判断是等腰直角三角形得出，即可求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入解析式得： ，解得：， ∵抛物线的解析式为； （2）解：①配方得， ∴点P的坐标为， 令，则， ∴ 作轴于点H，则， ∴ 又∵在中，， ∴， ∴ ∴是直角三角形； ②设直线的解析式为，将点B、C代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 设点（），过点P作轴于点D，交于点E，如图所示： ∴， ∴， ∴， 当时，的最大面积为， ， ∴ ③设点，过点P作轴于点N，交于点E，如图所示： ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，此时． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，线段问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 变式2-2 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点E，B（E在B的左侧）．    (1)如图2，抛物线的顶点为点Q，求的面积； (2)如图3，过点A作平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在上方），作平行于y轴交于点D、交于点F，当点P在何位置时，最大？求出最大值； (3)在（2）条件下，当最大时，将抛物线沿着射线平移，使得抛物线经过点C，此时得到新抛物，点N是原抛物线对称轴上一点，在新抛物线上是否存在一点M，使以点A，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的所有坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)16 (2) (3)或或． 【分析】（1）先求出点Q，点B，点E的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可； （2）求出，，再用待定系数法求出直线的函数表达式为，设，则，得出，，得出的表达式，根据二次函数性质即可求解； （3）由（2）可得：，设点A平移后对应点坐标为，则点A向右平移t个单位长度，向下平移个单位长度，得出，把代入求出，设点，点，然后进行分类讨论：①当是对角线时，②当是对角线时，③当是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分，即可解答． 【详解】（1）解：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴，， ∴， ∴； （2）解：把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， 设直线的函数表达式为， 把，代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为， 设，则， ∵，，轴， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴当时，有最大值； （3）解：由（2）可得：， ∵直线的函数表达式为， ∴设点A平移后对应点坐标为， ∵， ∴点A向右平移t个单位长度，向下平移个单位长度， ∵抛物线沿着射线平移， ∴， 把代入得：， 解得：或（舍去） ∴， ∵点M在上， ∴设点， ∵N是对称轴上一点， ∴设点， ①当是对角线时， ∵，，，， ∴， 解得：； ∴； ②当是对角线时， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴； ③当是对角线时， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴； 综上：或或． 【点睛】本题主要考查二次函数综合，解题的关键是掌握将二次函数表达式化为顶点式的方法和步骤，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数平移的规律，以及平行四边形的性质． 变式2-3 如图，二次函数的图象过，，三点，点是二次函数图象上一点，点的横坐标是，直线与轴交于点，且． (1)求二次函数的表达式； (2)过点，作直线于点，作轴于点，并交于点． ①当时，求的长； ②是否存在点，使最大？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，点坐标为 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）①求得直线为，由，则，，，，即可求得； ②表示出，，，，即可求得，，即可得到，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）把，，代入中得： 解得， 所以解析式为：； （2）①点的横坐标是， 的纵坐标是 由，求得直线解析式为 的纵坐标是， 所以当时， ②存在，理由如下： 点在直线上， 点的横坐标是 ，当时，最大 点坐标为． 题型3、二次函数背景下的双线段差最值问题 典例3 如图，已知抛物线过点，且它的对称轴为直线．    (1)求此抛物线的表达式； (2)若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第四象限, 当的面积为10时． ①求的坐标； ②点足抛物线上的动点，当的值最大时，求的坐标以及的最大值． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)①点的坐标为；②， 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）①设，运用待定系数法求得直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点H，则，，利用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案； ②运用待定系数法求得直线的解析式为，当的值最大时，A、B、P在同一条直线上，联立方程组求解即可求得点P的坐标，利用两点间距离公式可求得，即的最大值． 【详解】（1）抛物线过点且它的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为． 设抛物线的表达式为， 把代入，得，解得， 则． 故此抛物线的表达式为． （2）①点是抛物线对称轴上的一点，且点在第四象限， 设． 设直线得解析式为，则， 解得， 直线的解析式为，    设直线与抛物线对称轴交于点，则， ． ， ， （正值已舍）． 即点的坐标为． ②由可知，当点在线段的延长线上时，如图，取最大值，最大值为的长．    设直线的解析式为． 把分别代入，得 解得 直线的解析式为． 令，解得（舍去）． 对于， 当时，， 此时， 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，勾股定理，利用三角形三边关系定理求线段差的最大值，利用线段和差求最值问题是解题的关键． 题型模版 1.特征：要求两条线段长度之差的最大值或最小值，常涉及三角形两边之差小于第三边． 2.方法：利用三点共线或对称转化，把差值转化为某条定长线段；结合动点所在二次函数解析式，确定取到最值时的位置，注意等号成立条件． 变式3-1 （25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，其对称轴为直线． (1)求a，b的值，并根据图象写出时x的取值范围； (2)把点A向上平移m个单位得点．若点向右平移n个单位，将与抛物线上的点重合；若点向右平移个单位，将与抛物线上的点重合，其中， ，求m，n的值； (3)抛物线上是否存在点P，使得最小，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)， (3)点P的坐标为或 【分析】（1）由题意可得， ，解方程可求a、b的值，再结合图象可求x的取值范围； （2）根据点平移的特点，分别求出， ， ，再结合题意即可求m、n的值； （3）当时最小值为0，此时点P为抛物线与线段的中垂线的交点，求出线段的中垂线的解析式为，再求直线与抛物线的交点即为P点． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ， ∴， 令，则， ∴或， ∴当时，； （2）解：由题可知， ， ，， ∵，关于直线对称， ∴， ∴， ∴点在抛物线上， ∴； （3）解：存在点P，使得最小，理由如下： ∵最小值为0， ∴，即点P为抛物线与线段的中垂线的交点， ∵， ∴线段的中垂线的解析式为， 由， 解得x， ∴点P的坐标为或， ∴满足条件的点有或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，点平移的特点，最短距离的求法是解题的关键． 变式3-2 （25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为直线．解答下列问题． (1)抛物线的解析式是______． (2)若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当的面积为时，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，若动点在抛物线上，当的值最大时，求点的坐标和的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）设，运用待定系数法求得直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点，则，，利用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案； （3）运用待定系数法求得直线的解析式，当的值最大时，在同一条直线上，联立方程组求解即可求得点的坐标，利用两点间距离公式可求得，即的最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，，且它的对称轴为直线， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）解：设，，交直线于点， ∵， ∴即：， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， 即：（舍）， ∴； （3）解：当三点共线时，的值最大，最大值为的长； 设， ∵， ∴， 解得：， 即：， ∵， ∴（舍）， 当时，， ∴，此时三点共线，最大， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法函数解析式，三角形三边关系、二次函数与面积，一次函数的性质，勾股定理等知识点，利用线段和差求最值问题是解题的关键． 变式3-3 （25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，其中，． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)在直线上方抛物线上找一点 Q，使三角形面积最大，求面积最大时 Q 的坐标及最大面积； (3)在抛物线的对称轴上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，在对称轴上找一点 N，使最大．写出点 M、点 N 的坐标； 【答案】(1)，； (2)，最大面积为； (3),． 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的应用-面积问题，求函数解析式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法分别求出二次函数与一次函数的解析式即可； （2）过点作轴，交于点，设点，则， 求出，利用二次函数性质即可求解； （3）连接与对称轴的交点即为,此时,距离之和最小，把代入中，求得，即可得出的坐标，由,得到当三点共线时，此时最大，求出直线的解析式为，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵对称轴为直线，且抛物线经过， ∴点， 设直线的解析式为，把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴，交于点, 设点，则， ∴， ∴， 对于二次函数，，对称轴为， ∴当时，， 此时点的纵坐标为， ∴，最大面积为； （3）解：∵抛物线对称轴为，点关于对称轴的对称点为, ∴连接与对称轴的交点即为,此时,距离之和最小，如图： 把代入中，得， ∴, 根据, ∴当三点共线时，此时最大， 如图，连接并延长，交直线于点， 设直线的解析式为，把点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， ∴． 题型4、二次函数背景下的线段定值问题 典例4 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于、两点，与 轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，点 是直线 下方抛物线上一个动点，求四边形 面积的最大值及此时点 的坐标； (3)如图2，点 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与 轴交于点 ，直线（ 为常数）交抛物线于 、 两点（点 、 分别在抛物线对称轴的两侧），直线交 轴于点 ，直线交 轴于点．试探究是否为定值？若为定值，求出的值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为；点的坐标为 (3)是定值，定值为 【分析】（1）先写出交点式，再代入点C坐标求解即可； （2）过点作轴，交于点，可求直线，根据，可得当面积最大时，四边形面积最大，设（），则，那么，再由，得到，再利用二次函数的性质求解即可； （3）不妨设点、分别位于对称轴的左右两侧，可求顶点，则，设，，联立直线与抛物线，整理得，，则，可求直线，求出，同理可得，则，，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴ ∵抛物线与轴交于点 ∴， 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：过点作轴，交于点， 设直线， 代入，可得， 解得 ∴直线 ∵ ∴当面积最大时，四边形面积最大， 设（），则 ∴， ∴， 即 ∵，， ∴当时，的面积最大为， ∴四边形面积最大值为， ∴此时点纵坐标为， ∴点的坐标为； （3）解：是定值， 如图，不妨设点、分别位于对称轴的左右两侧， 抛物线， ∴顶点 ∴ 设， 联立直线与抛物线， 则 整理得，， ∴， 设直线，则 解得 ∴直线， 令，则，解得， ∴，同理可得， ∴，， ∴． 题型模版 1.特征：在二次函数背景下，某条线段长度或与线段相关的代数式为定值，要求证明或求值． 2.方法：用参数表示动点坐标，把目标线段长度或代数式化简；通过配方、因式分解或利用韦达定理消去参数，证明结果与参数无关；注意取特殊值验证． 变式4-1 已知抛物线（）与轴有且只有一个交点，且与轴于交于点． (1)求与的关系式； (2)若时，点在抛物线的对称轴上； ①若过点的直线：（）与抛物线只有一个交点；证明：直线平分； ②设过点的直线与抛物线交于，点，则是否为定值，若为定值请求出定值，若不是定值请说明理由． 【答案】(1) (2)①见解析；②是定值，值为4 【分析】（1）由题意可设函数解析式，令，即可得； （2）①当时，，由题意可得过点的直线：（）与抛物线只有一个交点，即，即，解得，根据点的坐标计算可得，进而得出结论即可； ②设过点的直线：，联立，设，N， ，则，，代入即可得出答案． 【详解】（1）由题意可知： 令， ∴ （2）①当时，， ∴， ∵过点的直线：（）与抛物线只有一个交点， ∴直线：（） ∵过点的直线：（）与抛物线只有一个交点 ∴，即， 整理得， ∴， 解得， ∴直线l：交对称轴与 ∴，， ∴ ∴，即， ∴直线平分 ②为定值，理由如下， 设过点的直线： 联立 化简 设，N， 则， ∴ 【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，解题的关键是根据题意设函数关系式以及点的坐标． 变式4-2 如图，边长为的正方形的两边在坐标轴上，以点为顶点的抛物线经过点，点是抛物线上点，间的一个动点（含端点），过点作于点，点、的坐标分别为，，连接、． (1)求出抛物线的解析式； (2)探究点的位置时发现：当点与点或点重合时，与的差均为定值，进而猜想：对于任意一点，与的差均为定值，请你判断该猜想是否正确，请说明理由； (3)进一步探究发现：若将“使的面积为整数”的点记作“理想点”，则存在多个“理想点”．请你继续探究： ①使的周长最小的点是不是一个“理想点”？如果是，求出该“理想点”坐标，如果不是，请说明理由； ②直接写出所有“理想点”个数． 【答案】(1) (2)解：正确，理由如下： 设，则， ， ， ， ， 故猜想正确； (3)①是，“理想点”坐标为；②面积为整数时，“理想点”有4个． 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）首先表示出、点坐标，再利用两点之间距离公式得出，的长，进而求出即可； （3）根据题意当、、三点共线时，最小，进而得出点坐标以及利用的面积可以等于0到3的所有整数，在面积为3时，的值有两个，进而得出答案． 【详解】（1）解：边长为4的正方形的两边在坐标轴上， ，， 抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， 将点的坐标代入，得，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：正确，理由略； （3）解：①当点运动时，的大小不变， 与的和最小时，的周长最小， ， ， ， 当、、三点共线时，最小，此时点、的横坐标都为2， 将代入，得， 点坐标为，此时的周长最小，且的面积为，点恰为“理想点”， 的周长最小时，“理想点”坐标为； ②如图：连接，由（2）得， ， ， ， 当时，解得或； 当时，解得或（舍去）； 当时，解得或（舍去）； 面积为整数时 “理想点”有4个． 变式4-3 （2025九年级·全国·专题练习）如图，已知在以O为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，与x轴分别交于C，D两点． (1)该抛物线的表达式为________________． (2)如图①，M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的下方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N．求MN的最大值． (3)如图②，过点A的直线交x轴于点E，且轴，点P是抛物线上A，D之间的一个动点，直线PC，PD与AE分别交于F，G两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值，为8 【分析】（1）根据顶点式设二次函数的解析式为，结合点，求得即可； （2）利用待定系数法求得直线OB的表达式为，设，，则点N的横坐标为，纵坐标为．利用平行可得，得到即可求得最值； （3）过点P作轴，交x轴于点Q，求得，，设，利用平行证，则，可求得，同理得，化简即可． 【详解】（1）解：根据抛物线的顶点为，设抛物线的表达式为． 抛物线经过点， ，解得， 该抛物线的表达式为， 即． 故答案为：． （2）解：设直线OB的表达式为． 将代入，得， 解得， 直线OB的表达式为． 设，， 则点N的横坐标为，纵坐标为． 由轴， 得， 解得， 当时，MN有最大值，最大值为． （3）解：是定值． 如图，过点P作轴，交x轴于点Q． 在中，令， 解得，， ，． 设， 则，，． ， ， ， ． 同理，， ， ， ． 故是定值，为8． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、两点之间的距离、求二次函数的最值以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练二次函数的性质和相似三角形的性质． 题型5、二次函数背景下的双线段距离最值问题 典例5 如图所示,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D（4，）． （1）求抛物线的表达式． （2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动,同时点Q由点B出发,沿BC边以1cm/s的速度向点C运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动．设S=PQ2（cm2）． ①试求出S与运动时间t之间的函数关系式,并写出t的取值范围; ②当S取时，在抛物线上是否存在点R,使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由． （3）在抛物线的对称轴上求点M,使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为：; （2）①S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2﹣8t+4,t的取值范围是0≤t≤1; ②存在.R点的坐标是（3,﹣）; （3）M的坐标为（1,﹣）． 【详解】试题分析：（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,求出A、B、D的坐标代入即可; （2）①由勾股定理即可求出;②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形,求出P、Q的坐标,再分为两种种情况：A、B、C即可根据平行四边形的性质求出R的坐标; （3）A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M,求出直线BD的解析式,把抛物线的对称轴x=1代入即可求出M的坐标． 试题解析：（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c, ∵正方形的边长2, ∴B的坐标（2,﹣2）A点的坐标是（0,﹣2）, 把A（0,﹣2）,B（2,﹣2）,D（4,﹣）代入得：, 解得a=,b=﹣,c=﹣2, ∴抛物线的解析式为：, 答：抛物线的解析式为：; （2）①由图象知：PB=2﹣2t,BQ=t, ∴S=PQ2=PB2+BQ2, =（2﹣2t）2+t2, 即S=5t2﹣8t+4（0≤t≤1）． 答：S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2﹣8t+4,t的取值范围是0≤t≤1; ②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形． ∵S=5t2﹣8t+4（0≤t≤1）, ∴当S=时,5t2﹣8t+4=,得20t2﹣32t+11=0, 解得t=,t=（不合题意,舍去）, 此时点P的坐标为（1,﹣2）,Q点的坐标为（2,﹣）, 若R点存在,分情况讨论： （i）假设R在BQ的右边,如图所示,这时QR=PB,RQ∥PB, 则R的横坐标为3,R的纵坐标为﹣, 即R（3,﹣）, 代入,左右两边相等, ∴这时存在R（3,﹣）满足题意; （ii）假设R在QB的左边时,这时PR=QB,PR∥QB, 则R（1,﹣）代入,, 左右不相等,∴R不在抛物线上．（1分） 综上所述,存点一点R（3,﹣）满足题意． 答：存在,R点的坐标是（3,﹣）; （3）如图,M′B=M′A, ∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M, 理由是：∵MA=MB,若M不为L与DB的交点,则三点B、M、D构成三角形, ∴|MB|﹣|MD|＜|DB|, 即M到D、A的距离之差为|DB|时,差值最大, 设直线BD的解析式是y=kx+b,把B、D的坐标代入得：, 解得：k=,b=﹣, ∴y=x﹣, 抛物线的对称轴是x=1, 把x=1代入得：y=﹣ ∴M的坐标为（1,﹣）; 答：M的坐标为（1,﹣）． 考点：二次函数综合题． 题型模版 1.特征：两条动线段或一条定线段与一条动线段之间距离的最值，常与平行线间距离、垂线段最短相关． 2.方法：将距离转化为点到直线的距离或平行线间距离；建立关于动点坐标的函数关系；利用二次函数最值或几何性质求解，注意临界位置． 变式5-1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点D坐标为，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），且B坐标为，与y轴交于点C． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)在抛物线对称轴上找一点M，使M到B、C两点的距离之差的绝对值最大，求出点M的坐标及最大绝对值； (3)点P是x轴上的一个动点，过P作直线交抛物线于点Q．试探究：随着点P的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出符合点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为； (2)M到B、C两点的距离之差的绝对值最大值为，点M的坐标为； (3)点的坐标为或或． 【分析】（1）设抛物线的解析式为，把代入即可求解，利用二次函数的对称性求得，再利用待定系数法求解即可； （2）延长交对称轴于点，由对称性知此时M到B、C两点的距离之差的绝对值最大，最大值为的长，据此求解即可； （3）分点在点的左边和右边两种情况，根据平行四边形的对边平行且相等，从点、的坐标关系，用点的坐标表示出点的坐标，然后把点的坐标代入抛物线解析式求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵顶点D坐标为，且B坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：延长交对称轴于点， ∵点和点B关于对称轴直线对称， ∴， ∴M到B、C两点的距离之差的绝对值为， 此时M到B、C两点的距离之差的绝对值最大，最大值为的长， ∵，， ∴， 时，， ∴点M的坐标为； （3）解：直线， ∴且， ，， 设点的坐标为， 则①若点在轴上方，则点的坐标为， 此时，， 解得（舍去），， 所以，点的坐标为； ②若点在轴下方，则点的坐标为， 此时，， 整理得，， 解得，， 所以，点的坐标为或， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与轴的交点问题，待定系数法求二次函数解析式，轴对称确定最短路线问题，平行四边形的对边平行且相等的性质，（2）确定出点的位置是解题的关键，（3）难点在于分情况讨论． 变式5-2 如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C；抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过B，C两点． (1)求B、C两点的坐标和抛物线的解析式； (2)抛物线与x轴的另一个交点为点A，在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标； (3)在直线的下方的抛物线上，是否存在一点N，使的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由； (4)设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出当为直角三角形时点P的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，； (4)P的坐标为或或或． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据抛物线的对称性可知，当B，C，M共线时，的值最小，求出点坐标即可； （3）设，，过点作轴交于点，则，则，当时，的面积有最大值，此时， （4）设，分别求出，，，根据直角三角形斜边的情况分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：令则， ， 令，则， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 将，代入中， ， 解得， ； （2）解：由抛物线的对称性可知，， ，当B，C，M共线时，的值最小， 将代入中，得， ； （3）解：存在点，使的面积最大，理由如下： 设，， 过点作轴交于点，则， ， ， 当时，的面积有最大值， 此时，； （4）解：设， ，， ，，， ①当为斜边时，， 解得， ； ②当为斜边时，， 解得， ； ③当为斜边时，， 解得或， ∴或； 综上所述：点坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 变式5-3 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，. （1）若直线经过、两点，求直线和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标； （3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标. 【答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为.（2）；（3）的坐标为或或或. 【详解】分析：（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式； （2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，此时MA+MC的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标； （3）设P（-1，t），又因为B（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标． 详解：（1）依题意得：，解得：， ∴抛物线的解析式为. ∵对称轴为，且抛物线经过， ∴把、分别代入直线， 得，解之得：， ∴直线的解析式为. （2）直线与对称轴的交点为，则此时的值最小，把代入直线得， ∴.即当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为. （注：本题只求坐标没说要求证明为何此时的值最小，所以答案未证明的值最小的原因）. （3）设，又，， ∴，，， ①若点为直角顶点，则，即：解得：， ②若点为直角顶点，则，即：解得：， ③若点为直角顶点，则，即：解得： ，. 综上所述的坐标为或或或. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题． 题型6、二次函数背景下的单线段最值问题 典例6 如图1，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)P是抛物线上，位于直线上方的一个动点，过点P作于点D，求P坐标为何值时最大，并求出最大值； (3)如图②，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当P点运动到时，最大值为 (3)存在，H点的坐标为或或或 【分析】（1）设顶点式，展开得，解方程求出a即可得到抛物线解析式； （2）过点P作轴交于点E，根据题意推出，为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，推出的表达式，最终利用函数法求最值； （3）分为边和对角线两种情况，进行讨论求解，先通过勾股定理求出N点的坐标，再由矩形对角线的性质，直接计算H的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 即， ， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）知， 当时，， ， ， 是等腰直角三角形，， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ， P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点E， 设，则， ，其中， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴ 当时，最大值为，此时； （3）解：平移后的函数解析式为， 将与联立，得， 解得两条抛物线交点M的坐标为， 如图，以为边，作交对称轴于，可构造矩形，设， ，，， ， ， 解得， 设，由A，M，，四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； 同理，以为边，作交对称轴于，可构造矩形，设， ， ， 解得，即， 设，由A，M，，四点的相对位置关系可得： ， 解得 ； 如图，以为对角线，作交对称轴于，可构造矩形，设， ， ， 解得，，即，， 设，由A，M，，四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； 设，由A，M，，四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； 综上可知，H点的坐标为或或或 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，用函数法求线段和最值问题，二次函数图象和性质，矩形性质等知识点，是一道关于二次函数综合题和压轴题，综合性强，难度较大；熟练掌握相关知识并灵活运用方程思想，数形结合思想和分类讨论思想是解题关键． 题型模版 1.特征：在含参数的二次函数背景下，单线段最值随参数变化，要求确定参数值或最值范围． 2.方法：先用参数表示动点坐标及目标线段长度；把长度表达式化为关于动点坐标的二次函数，其最值往往与参数有关；根据题意列关于参数的不等式或方程求解，回代验证． 变式6-1 如图1，已知二次函数的顶点坐标为（1，），其图象与x轴交于A、B两点，其中点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)若点P为线段上方抛物线上的一点，当点P到线段的距离最大时，求点P的坐标； (3)如图2，已知点M为对称轴上一点，点N为抛物线上一点，若以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，求点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3)) 或 【分析】（1）根据二次函数的顶点坐标为和点在该函数图象上，可以求得该函数的解析式； （2）先求出直线的解析式，根据二次函数的性质，可以得到 点到线段的距离的最大值并求出此时点的坐标，从而可以解答本题； （3）根据（1） 中的函数解析式可以得到点和点的坐标，该函数的对称轴、并设出点和点的坐标，再根据平行四边形的性质，利用分类讨论的方法，可以求得点的坐标 【详解】（1）∵二次函数的顶点坐标为， ∴设该函数解析式为， ∵该函数过点， ， 解得， ， 即该函数的解析式为 ； （2）过点作轴, 交于点, 如图所示， ， ∴当时，，即点的坐标为， 设直线的函数解析式为， ，得 ， 即直线的解析式为， ∵当点到的距离取得最大值时，的面积最大， ∴当的面积取得最大值时点的坐标即为所求， 设点的坐标为则点的坐标为 则 ， ∴当时，取得最大值，的面积最大，此时点的坐标为， 由上可得，点的坐标是； （3）∵函数 ， ∴该函数的对称轴是直线，设点的坐标为, 点的坐标为， ∵点的坐标为, 点的坐标为, ∴当为对角线时， ， 解得 ， ， 即点的坐标为； 当为对角线时， ， 解得 ，即点N的坐标为； 当为对角线时， ， 解得 ， 即点的坐标为； 由上可得，点的坐标为) 或 【点睛】本题是一道二次函数综合题，考查二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论和数形结合的思想解答 变式6-2 如图1，抛物线平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与轴相交于点C，与原抛物线相交于点D． （1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积； （2）如图2，直线AB与轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，为直角，边MN与AP相交于点N，设，试探求： ①为何值时为等腰三角形； ②为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．       【答案】（1）平移后抛物线的解析式，= 12；（2）①，②当＝3时，PN取最小值为． 【分析】（1）设平移后抛物线的解析式y=x2+bx，将点A（8，0）代入，根据待定系数法即可求得平移后抛物线的解析式，再根据割补法由三角形面积公式即可求解； （2）作NQ垂直于x轴于点Q， ①分当MN=AN时，当AM=AN时，当MN=MA时，三种情况讨论可得△MAN为等腰三角形时t的值； ②由MN所在直线方程为y=，与直线AB的解析式y=﹣x+6联立，得xN的最小值为6，此时t=3，PN取最小值为． 【详解】（1）设平移后抛物线的解析式， 将点A（8，,0）代入，得=， 所以顶点B（4,3）， 所以S阴影=OC•CB=12； （2）设直线AB解析式为y=mx+n，将A（8，0）、B（4，3）分别代入得 ，解得：， 所以直线AB的解析式为，作NQ垂直于x轴于点Q， ①当MN＝AN时， N点的横坐标为，纵坐标为， 由三角形NQM和三角形MOP相似可知,得，解得，（舍去）. 当AM＝AN时，AN＝,由三角形ANQ和三角形APO相似可知，，MQ＝， 由三角形NQM和三角形MOP相似可知得：， 解得：t＝12（舍去）； 当MN＝MA时，故是钝角，显然不成立, 故； ②由MN所在直线方程为y=，与直线AB的解析式y=﹣x+6联立， 得点N的横坐标为xN=，即t2﹣xNt+36﹣xN=0， 由判别式△=x2N﹣4（36﹣）≥0，得xN≥6或xN≤﹣14， 又因为0＜xN＜8， 所以xN的最小值为6，此时t=3， 当t=3时，N的坐标为（6，），此时PN取最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，平移的性质，割补法，三角形面积，分类思想，相似三角形的性质，勾股定理，根的判别式，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关知识是解题的关键. 变式6-3 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点或或或或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）先求出点，再分类求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，点， 由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则， ∵，故有最大值， 此时，则， 即点； （3）解：存在，理由： 设直线的表达式为， 由点的坐标得，，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，，故， 过点作轴交轴于点，则， ， 则， 即直线和关于直线对称，故， 设直线的表达式为， 代入，，得， 解得：， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：(舍去)或5， 即点； 设点，由的坐标得，， 当时，则， 解得：，即点或； 当或时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或或； 综上，点或或或或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，B（点A在B左边），交y轴于C，点是抛物线上一点． (1)求抛物线的关系式； (2)在对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)如图2，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】(1)根据待定系数法，将点A，点P代入抛物线解析式，解关于b，c的二元一次方程组，即可求得抛物线的解析式； （2）由对称可得，直线与对称轴的交点就是所求的点M，求出直线的关系式和对称轴，求出交点坐标即可； （3）分两种情况：当Q在下方或当Q在上方，构造等腰直角三角形和全等三角形求解即可． 【详解】（1）将点，代入， 得： ， 解得： ∴抛物线的解析式为 ； （2）当时，， ∴点， 当时，有， 解得：，， ∴点， ∴抛物线的对称轴为：直线 设直线的关系式为，把点B坐标代入， 得：，解得，， ∴直线的关系式为， 由对称可得，直线与对称轴交点就是所求的点M， 当时，， ∴时，最小； （3）当Q在下方时，如图，过P作于H，过H作轴， 交y轴于M，过P作于N， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∵，, ∴，解得 ， ∴, 设直线的解析式为 ， ∴，解得， ∴直线的解析式为 ， 联立直线与抛物线解析式得 ， 解得或 ， ∴； ②当Q在上方时， 如图，过P作.于H，过H作.轴， 交y轴于M，过P作于N， 同理得. 综上，存在，点Q的坐标为或 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法确定出解析式是解本题的关键. 26．如图1，抛物线过点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P是第一象限内抛物线上的一个动点， ①当P为抛物线的顶点时，求证：是直角三角形； ②求出的最大面积及此时P点的坐标； ③如图2，过点P作轴，垂足为N，与交于点E．当的值最大时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) ①证明：配方得， ∴点P的坐标为， 当时，，即， 作轴于点H，则， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． ②的最大面积为，此时P点的坐标为；③ 【分析】本题属于二次函数综合问题，主要考查了待定系数法、面积问题、线段问题等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把两点坐标代入求得b、c的值即可解答； （2）①作轴于点H，易证为直角三角形，再证是等腰直角三角形，求出即可证明结论；②先求出直线的解析式，过点P作轴于点D，交于点E，设点，则，故，进而得到，然后根据二次函数的性质求解即可；③过点P作轴于点N，交于点E，设点，则，故，判断是等腰直角三角形得出，即可求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：把两点坐标代入可得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：①略 ②设直线的解析式为，将点B、C代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点， 如图：过点P作轴于点D，交于点E， ∴， ∴， ∴， 当时，的最大面积为，， ∴． ③设点， 如图：过点P作轴于点N，交于点E， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，此时． 27．（25-26九年级上·天津武清·阶段检测）如图，已知抛物线与一条直线相交于两点，与轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)点P为对称轴上一动点，求当最小时点P坐标，并求出最小值． (3)在抛物线对称轴上是否存在一点，使以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的最小值为，此时点P的坐标为 (3)或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求，可得，则可求出；由抛物线的对称性可得，则当P、B、N三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；求出直线解析式为，对称轴为直线，据此可得答案； （3）分是斜边、是斜边、是斜边三种情况，结合勾股定理列方程，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与一条直线相交于两点， ∴， 解得 ∴抛物线的函数表达式为． 设直线的函数表达式为， 将、分别代入中可得， 解得， ∴直线的函数表达式为． （2）解：设抛物线与x轴的另一个交点为B， 在中，当时，， 当时，，解得或， ∴， ∴， ∴； 如图所示，连接， 由抛物线的对称性可得， ∴， ∴当P、B、N三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长； 同理可得直线解析式为， ∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， 在中，当时，， ∴的最小值为，此时点P的坐标为； （3）解：由（2）可知对称轴为直线， 设点， ∵，，， ∴，， ． 当是斜边时，则，解得； 当是斜边时，可得：或2； 当是斜边时，可得：． ∴点的坐标为或或或． 28．如图，抛物线经过两点，与轴负半轴相交于点． (1)求抛物线的解析式： (2)为抛物线的顶点．为对称轴右侧抛物线上一点，连接交于点，若，求点的坐标： (3)点为轴上方抛物线上一动点，点是抛物线对称轴与轴的交点．直线分别交抛物线的对称轴于点． 以下两个结论： ①为定值：②为定值． 请找出正确的结论，并求出该定值． 【答案】(1) (2) (3) 解：①是定值，理由如下， 已知抛物线的解析式为，，， 令时，， 解得，，， ∴， ∵点是抛物线对称轴与轴的交点， ∴， ∵点为轴上方抛物线上一动点， ∴设， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点在抛物线对称轴上，即点的横坐标为，且点在直线的图象上， ∴当时，， ∴， 同理，设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点在抛物线的对称轴上，即点的横坐标为，且点在直线的图象上， ∴当时，， ∴， 第一种情况，当时，如图所示， ∴，， ∴，， ∴是定值； 第二种情况，当时，如图所示， 同理，，， ∴，， ∴是定值； 综上所述，①是定值． 【分析】（1）根据题意，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意可得，并求出直线的解析式为，设，根据两点之间距离公式可得，，，根据，可求出，并得直线的解析式为，联立抛物线为方程组求解即可； （3）根据题意可得，，设，可求出直线的解析式为，由此得到，同理可求出直线的解析式为，，图形结合，分类讨论：第一种情况，当时，可得，，则有；第二种情况，当时，同理，，，可求出是定值． 【详解】（1）解：已知抛物线经过两点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：由（1）可得，抛物线的解析式为，点为抛物线的顶点， ∴， ∴，且， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为，如图所示， 设，且， ∴，， ∵， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立抛物线与直线的解析式为方程组得，， 解得，（与点重合，不符合题意，舍去），， ∴； （3）略 【点睛】本题二次函数与线段的数量关系的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，坐标系中两点之间的距离公式，二次函数与二元一次方程组的计算等知识，学会图形结合，分类讨论思想是解题的关键． 29．（2025·湖南岳阳·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线下方抛物线上一动点，过点作交于点，求线段的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，过平面上一点作任意一条直线交抛物线于两点，过点作直线，分别交轴于两点，试探究与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为，此时 (3)与的积为定值，定值为2 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的表达式为：设，过作，交于，求出，进而求出，利用而阐述的性质即可解答； （3）设直线的解析式为：，求出直线的解析式为：，联立：，求出，求出直线的解析式为，进而求出，同理：，即可解答． 【详解】（1）解：由题意的： 抛物线的表达式为：； （2）解：， 设直线的表达式为： ， 设直线的表达式为： 设，过作，交于 ∵， ∴， ， 的最大值为，此时； （3）解：设直线的解析式为：，且直线经过点 直线的解析式为： 联立： 得 设直线的解析式为：， 同理： ， 与的积为定值，定值为2． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，根和系数的关系等．解决（3）问的关键的是通过相似三角形用坐标表示出线段，的长． 30．（24-25九年级下·江苏常州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点、B，与y轴相交于点C，其对称轴是直线． (1)______，______； (2)连接，P是抛物线上一动点，记点P横坐标为p，满足，过点p分别作轴，交抛物线于点D，作，垂足为E，求的最大值； (3)将原抛物线向右平移一定距离，使得平移后的抛物线经过点B，M是第二象限原抛物线上的一点，过点M作直线，交平移后抛物线于点N．记点M、N的横坐标分别为m、n，判断的值是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值， 【分析】（1）待定系数法求出的值即可； （2）求出两点坐标，进而求出直线的解析式，过点作轴交于点，将转化为二次函数求最值即可； （3）求出平移后的解析式，设，，根据直线过点，设直线解析式为：，分别代入的坐标，求出值，根据值相等，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴相交于点，对称轴是直线． ∴，解得：； 故答案为：； （2）由（1）知：， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为：，把，代入，得：， ∴， 过点作轴交于点，则：， ∴， 由题意，得：，则：， ∴， ∵， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为； （3）是定值： ∵， ∵将原抛物线向右平移一定距离，使得平移后的抛物线经过点B， ∴设平移后的抛物线为：，把，代入，得：， 解得：或（舍去）； ∴， 设，， 设直线的解析式为：，把点，代入得： ， 解得：， ∴， 把点代入，得：， 解得：， ∴， ∴，即：为定值，为8． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数求最值，二次函数图象的平移，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 31．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过，两点，与轴的另一个交点为． (1)若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求点的坐标； (3)若点是抛物线的顶点，是否为直角？若是，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为，抛物线的解析式为 (2)点的坐标为 (3)是直角，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质、勾股定理的逆定理和两点间的距离，解题的关键是掌握待定系数法求函数的解析式． （1）根据抛物线的对称轴以及A点的坐标，可得B点的坐标，再根据A、B的坐标和对称轴，可求出a、b、c的值，即可得出抛物线的解析式，再把B点和C点的坐标代入直线中，求出m、n的值，即可得出一次函数的解析式； （2）设直线与对称轴的交点为，则此时的值最小，再把代入直线的解析式中，即可求出点的坐标； （3）先求出点D坐标，再分别求出，进而根据勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为，， ， 将对称轴、点C和点A代入， 得， 解得：， 抛物线的解析式为， 把、代入直线， 得， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：设直线与对称轴的交点为M，连接，如图， A，B两点关于对称轴对称，M在上， ， 则， ∴此时点到点的距离与到点的距离之和最小， 把代入直线得，， ， 即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为； （3）解：是直角，理由如下： 由题意得，当时， ， ∴， ∴，，， ∴ ， 又∵， ∴． 32．已知抛物线：与抛物线关于原点对称，和的顶点分别是E． (1)若，直接写出抛物线的解析式： ； (2)如图1，若，点P是x轴上一个动点，过P作x轴的垂线交于A点，交于B点，求的最小长度（用含k的式子表示）． (3)如图2，若两条抛物线和相交于G，H，当四边形是矩形时，求k的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将数字代入，化成顶点式，再根据对称得到顶点代入定点式即可得到答案； （2）根据（1）的原理得到解析式，设，， 表示出，根据二次函数的性质求解即可得到答案； （3）联立两条曲线，求出点的坐标得到点G和点H关于原点对称，结合抛物线对称得到四边形是平行四边形，结合当时四边形是矩形列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵：的顶点是， ∴的顶点为：， ∴的解析式为：， 故答案为：； （2）解：同理（1）可得， 的解析式为：， 设，， ∴， ∵， ∴当时，； （3）解：由得， ， ∴， ∴点G和点H关于原点对称， ∴， 同理可得， 和的顶点关于原点对称， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当时， 四边形GHFE是矩形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本体考查二次函数的综合应用，解题的关键是根据对称求出另外一个抛物线的解析式，再结合特殊图形性质列等式． 33．（2025·河北唐山·二模）如图，抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，与轴交于点A，B（点在点左侧）． (1)求抛物线的解析式和A，B两点坐标； (2)线段上的两个点，分别过点D，E作轴的垂线交抛物线于点N，M，连接． ①线段的长度能否为线段长度的2倍，若能，求出的值，若不能，请说明理由； ②当为何值时的值最小，最小值是多少？ ③当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)；， (2)①不能；理由： ∵线段上的两个点， ∴，， 整理得：， ∵点D，E在线段上， ∴，，， ∴，， 则， 解得：，， ∵，， ∴线段的长度不可能为线段长度的2倍； ②当时，取最小值1； ③或 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；将代入抛物线的解析式，求出A，B两点坐标； （2）①先得出，，求出，，令，求出，，进行判断即可得出答案； ②先求出，得出当时，最小，即最小，求出最小值即可； ③根据，得出，即，得出或，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设抛物线L的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线L的解析式为：， 把代入得：， 解得：，， ∴点，； （2）解：①略； ②∵，， ∴ ， ∵当时，最小，即最小， ∴当时，取最小值1； ③当时，， ∴， ∴， ∴或， 解得：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，求二次函数解析式，两点间距离公式，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 34．如图，函数的图象与函数的图象相交于，两点．直线与图象，分别交于E，F两点． (1)求b，c的值． (2)设直线与线段交于点D，记和的面积分别为，，当时，求t的值． (3)若t满足，且，试问t取何值时，线段的长度最大？并求出这个最大长度． 【答案】(1)， (2) (3)当时，线段的长度取得最大值；当时，线段的长度取得最大值；当时，线段的长度取得最大值为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的表达式为，可得，，，求出．过点B作直线的垂线交于点P，设直线与x轴的交点为点Q．得到，，根据，建立方程求解即可； （3）求出线段，分，即，，即，，即，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将，代入函数， 得， 解得，； （2）解：设直线的表达式为， 将，两点代入，则， 解得， ∴直线的表达式为； 直线与图象，分别交于E，F两点，与线段交于点D． ，，， ，， ． 过点B作直线的垂线交于点P，设直线与x轴的交点为点Q． ，． ， ， 解得； （3）解：线段 ． 若t满足，且， ∴直线始终满足． i．若，即， 当时，线段的长度取得最大值． ⅱ．若，即， 当时，线段的长度取得最大值． ⅲ．若，即， 当时，线段的长度取得最大值为． 35．已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点，抛物线与x交于点和B，与y轴交于点C．平面直角坐标系内有点和点． (1)求抛物线的解析式及点B坐标； (2)在抛物线的对称轴上找一点E，使的值最小，求点E的坐标； (3)若F为抛物线对称轴上的一个定点， ①过点H作y轴的垂线l，若对于抛物线上任意一点都满足P到直线l的距离与它到定点F的距离相等，求点F的坐标； ②在①的条件下，抛物线上是否存在一点P，使最小，若存在，求出点P的坐标及的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)y=-x2+2x+3；B（3，0）； (2)E（1，）； (3)①；②P（2，3），最小值为 【分析】（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4，把A（-1，0）代入，解得a=-1，求得抛物线的解析式及点B坐标； （2）连接BH交对称轴于点E，连接AE，此时AE + HE 的值最小，先求得直线BH解析式为，再把x=1代入解得y=，得到点E坐标； （3）①设对称轴上点F（1，1），过点P作PN⊥l，过点F作FM⊥PN，根据得，又得到，整理得到，由任意一点P（m，n），与n无关得到，求出t的值，得到点F的坐标； ②根据垂线段最短可知，当G，P，N共线时，FP+GP的值最小，最小值为：， 【详解】（1）解：∵抛物线顶点D（1，4），与x轴交于点A（-1，0）， ∴设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4， 把A（-1，0）代入，解得a=-1， ∴y=-（x-1）2+4， ∴抛物线的解析式y=-x2+2x+3， 令y=0，可得-（x-1）2+4=0，解得x1 =-1，x2 =3， ∴B（3，0）； （2）如图①，连接BH交对称轴于点E，连接AE，此时AE + HE 的值最小， 设直线BH解析式为y=kx+b，把B（3，0），H（0，）代入， 解得k=，b=， ∴直线BH解析式为， 把x=1代入解得y=， ∴E（1，）； （3）①如图②，设对称轴上点F（1，t），过点P作PN⊥l，过点F作FM⊥PN， ，， ，， ， ， ， ∵抛物线上任意一点P（m，n）， ， ， ， ， 整理可得：， ∵任意一点P（m，n），与n无关.， ， ， ； ②：如图③， ∵抛物线上任意一点P（m，n）满足PF=PN， ∴FP +GP = PN +GP. 根据垂线段最短可知，当G，P，N共线时，FP+GP的值最小，最小值为：， ∵G（2，0）， ∴把x=2代入y=-x2+2x+3. 解得y=3. ∴当P（2，3）此时FP+GP的值最小，最小值为 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数求函数解析式、两点间距离公式、以及线段和最小问题，表示出PN和PF的长度，并进行整体变形是解题的关键． 36．（25-26九年级上·浙江金华·期中）已知抛物线（为常数）经过点，过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点为平面直角坐标系的原点． (1)求的值． (2)连结，线段交抛物线于点， ①若点为线段的中点，求的值． ②若点，满足，请直接写出的取值范围：_________． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①由（1）知抛物线的解析式为，根据题意求出，，再根据点为线段与抛物线的交点，建立关于的方程求解即可；②过点作轴的垂线，交过点与轴垂直的直线于点，易证，得到，同理①得，求出直线的解析式为，联立，求出，进而得到，分和两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：抛物线（为常数）经过点， ∴， 解得； （2）解：①由（1）知抛物线的解析式为， ∵轴，， ∴点的横坐标为，则， ∴， ∵点为线段的中点，如图， ∴，即， ∵点为线段与抛物线的交点， ∴，即， 解得； ②过点作轴的垂线，交过点与轴垂直的直线于点， ∵轴，即轴， ∴， ∴， ∴， 同理①得， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 联立，则， 整理得， ∵线段与抛物线交于点和点， ∴， ∴， 当时，如图，则，， ∴， ∴，即， 解得， 解得或， ∵， ∴； 当时，如图，则，， ∴，即 ∴，即， 解得， 解得或， ∵， ∴； 综上，的取值范围为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查二次函数的图象性质，相似三角形的判定与性质，二次函数与不等式的应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的知识是解题的关键． 37．如图，已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求点，，的坐标． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点是直线上方抛物线上的一点，求点到直线距离的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，求二次函数与坐标轴的交点坐标，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）在中，求出函数值为0时自变量的值可得点A和点B的坐标，求出自变量的值为0时的函数值可得点C的坐标； （2）连接，由抛物线的对称性可得，则当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，求出直线的解析式，进而可求出点M的坐标； （3）过点P作轴交于E，于F，连接，设，则，则；可求出，根据，得到当有最大值时，有最大值，据此求出的最大值即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，，解得或， ∴； （2）解：如图所示，连接， 由抛物线的对称性可得， ∴的周长， ∵A、C是定点， ∴的长是定值， ∴当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； ∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， 在中，当时，， ∴， ∴存在使得的周长有最小值； （3）解：如图所示，过点P作轴交于E，于F，连接， 设，则， ∴； ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当有最大值时，有最大值， ∴的最大值为， ∴点P到的距离的最大值为． 38．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点在轴上，抛物线经过点两点，且与直线交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点为顶点的四边形是以或边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或或 (3)存在，的最小值为， 【分析】（1）由四边形为正方形及点D的坐标，可求得点B的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）由抛物线解析式求出抛物线的对称轴，则可得点E的坐标，从而求得； 分两种情况：①当吋；②当时，设点F坐标为，利用或建立关于a的方程，求出a的值，即可求得点F的坐标； （3）连接，易得四边形BOMP是平行四边形，则，从而有 ，故当的值最小时，则值最小，当点三点共线时，的值为最小，此时与抛物线对称轴的交点为M，且由勾股定理可求得的值，即可求得的最小值；再求出的解析式，即可求得它与对称轴的交点M的坐标，从而求得点P的坐标． 【详解】（1）解:四边形为正方形，， ， ， ； 把点B、D坐标代入得：，解得：， 拋物线的解析式为： （2）解：由（1）得，抛物线解析式为， 则抛物线的对称轴为直线， 点与点关于抛物线的对称轴对称， ， ， 设点，当以点为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：①当吋，如图所示： 由两点距离公式可得，即， 解得:， 点的坐标为或； ②当时，如图所示: 由两点距离公式可得，即， 解得:， 点的坐标为或； 综上所述：点的坐标为或或或； （3）解：由题意可得如图所示： 连接， 由(2)可知点D与点关于抛物线的对称轴对称，， ； 过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 若使的值为最小，即为最小， ∴当点三点共线时，的值为最小，此时与抛物线对称轴的交点为M，如图所示： ， ， 的最小值为，即的最小值为， 设线段的解折式为，代入点的坐标得：， 线段的解析式为， ， ． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，两点间线段最短等知识，综合性强，注意分类讨论及数形结合． 39．（2025·吉林·二模）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线（是常数）的对称轴是直线，点P、Q均在抛物线上，它们的横坐标分别为和，其中．当点不在轴上时，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，连接MN． (1)求该拋物线对应的函数表达式； (2)证明：点与点始终关于轴对称； (3)当直线与抛物线（是常数）有两个公共点时，设这两个点分别为E、F（点在点左侧）． ①当点E、F在线段MN上时，求的取值范围； ②当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) 解：∵点P、Q均在抛物线上，它们的横坐标分别为和， ∴当时，， 当时，， ∴，， ∵点关于点的对称点，作点关于点的对称点， ∴，， ∴点与点始终关于轴对称； (3)①；②或 【分析】（1）根据对称轴公式求出a的值即可求解； （2）先求出，，然后根据对称性求出，，即可得证； （3）①由（2）知：直线为，根据直线与抛物线（是常数）有两个公共点，可得方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式可求出；根据点E、F在线段MN上，抛物线的开口向上，得出当时，，求出或，然后结合即可求解； ②联立方程组求出E、F的横坐标，然后根据，列出关于m的方程，然后分，两种情况分别解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线（是常数）的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：①由（2）知：直线为， ∵直线与抛物线（是常数）有两个公共点， ∴方程，即有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵点E、F在线段MN上，抛物线的开口向上， ∴当时，， 解得或， 又， ∴； ②联立方程组， 化简得， 解得，， ∵点在点左侧， ∴，， 又，，， ∴， ∴或， 当时，原方程化简为， ∴， ∴， 解得，， 又， ∴； 当时，原方程化简为， ∴， ∴， 解得，， 又， ∴ 综上，m的值为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，二次函数的对称轴公式，中心对称和轴对称，二次函数与一元二次方程的关系，解不等式等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质以及运用分类讨论思想求解是解题的关键． 40．（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数与一次函数交于点，与y轴交于点B． (1)求b，k的值； (2)若点，在二次函数上，且，在一次函数上． ①若，求m的值； ②若，求点M的坐标． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）把代入，解得，再把代入，求解即可； （2）①当时，，解得，，由，，可得，再列方程求解即可； ②先求得，，，再分当M在之间时及当M在Q右边时，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 解得：， 把代入，解得：； （2）解：①， 当时，， 解得：，， 当时，，即， ∴，， ∵， ∴， ∴； ②点，在二次函数上， ，，， 当M在之间时， ，， ∵， ∴， 解得：，（舍）， 当M在Q右边时， ，， ∵， ∴， 解得：，（舍）， 综上所述，或， 或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $