专题06 二次函数 章末易错必刷题型专训 -2026-2027学年浙教版九年级数学上册

该初中数学讲义以“二次函数”为核心，通过18个考点框架图系统梳理知识体系，从定义识别、图像性质到实际应用层层递进，用对比表格呈现不同形式（一般式、顶点式）的图像特征与平移规律，清晰展现重难点内在联系。 讲义亮点在于“易错必刷”题型设计，如“根据二次函数定义求参数”“图像与系数符号判断”等专题，通过55道题强化抽象能力与推理意识，基础题夯实概念（如选择第1题识别二次函数），综合题提升模型意识（如第52题销售利润问题），助力学生自主复习，教师可据此实施精准分层教学。

专题06 二次函数章末易错必刷题型专训（55题18个考点） 【易错必刷一 二次函数的识别】 1．（25-26九年级上·浙江衢州·阶段检测）下列关于x的函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义形如的函数叫做二次函数进行判断即可． 【详解】解：A、不属于二次函数，故本选项不符合题意； B、属于二次函数，故本选项符合题意； C、不属于二次函数，故本选项不符合题意； D、不属于二次函数，故本选项不符合题意； 故选：B 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列函数一定是二次函数的是__________． ①；②；③；④；⑤y=(x-3)2-x2 【答案】③ 【分析】根据二次函数的定义： 一般地,把形如y=ax²+bx+c(a≠0)(a、b、c是常数)的函数叫做二次函数，据此判断即可． 【详解】解：①，必须满足a≠0才为二次函数，故①不一定是二次函数； ②等号右边为分式，故②不是二次函数； ③是二次函数，故③是二次函数； ④，时，该式不是二次函数； ⑤，该式不是二次函数； 故答案为：③． 【点睛】本题考查了二次函数的识别，熟知二次函数的定义是解本题的关键． 3．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）关于x的函数（为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？ 【答案】 解：乙说法正确，理由： 由题意得：， ∴关于的函数（为常数）一定是二次函数， 所以乙的说法正确． 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义即可求解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】略 【易错必刷二 根据二次函数的定义求参数】 4．（24-25九年级上·新疆巴州·期末）二次函数的常数项是（    ） A． B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的一般形式，直接利用中为常数项即可得到答案． 【详解】解：二次函数的常数项是； 故选：C 5．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）若函数是二次函数，则的值是_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；因此此题可根据“形如的函数称为二次函数”进行求解即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得：； 故答案为4． 6．（25-26九年级上·全国·单元测试）已知函数． (1)当为何值时，是关于的二次函数？ (2)当为何值时，是关于的一次函数？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的定义，二次函数的一般形式中，二次项系数，解此题易出现只关注满足指数的要求，而忽略对二次项系数的限制，从而导致错误． （1）根据二次函数的定义得出，即可得出； （2）根据一次函数的定义得出，即可得出． 【详解】（1）解：∵函数是关于的二次函数， ∴， ∴； （2）解：∵函数是关于的一次函数， ∴， ∴． 【易错必刷三 y=a（x-h）²+k的图象和性质】 7．（24-25九年级上·重庆渝中·期末）二次函数的图像大致是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像，掌握二次函数图像的特征是解题的关键．根据二次函数的顶点式即可判断大致图像． 【详解】解：二次函数的顶点式为， ，顶点坐标为， 二次函数图像是开口向上，以顶点坐标为的抛物线， 故选：D． 8．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）已知二次函数，当x分别取时，函数值相等，则当时，函数值为__________． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称性，求得顶点坐标是解题的关键．根据解析式求得顶点坐标，进而根据题意即可求得答案 【详解】解：二次函数的顶点坐标为，对称轴为 当x分别取时，函数值相等， 对称轴 当时，函数值为3， 故答案为：3 9．（25-26九年级上·全国·单元测试）当时，求二次函数的最大值． 【答案】2 【分析】用配方法配方成顶点式，可求二次函数的最大值． 【详解】解： ∵对称轴为直线：x=-1，且开口向下， ∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小， ∵， ∴当x=1时，二次函数的最大值为2． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质是解答本题的关键． 【易错必刷四 二次函数图象的平移】 10．（25-26九年级上·全国·期末）将抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查抛物线的平移规律，理解和掌握抛物线平移规律是解题的关键．根据抛物线平移的规律“上加下减（抛物线与轴的截距即二次函数中的常数项），左加右减（抛物线的横轴）”即可求解． 【详解】解：抛物线向上平移个单位长度， ∴． 故选：A． 11．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）把抛物线先向左平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线为______． 【答案】 【分析】该题考查了抛物线的图象与平移变化，牢记平移规则“左加右减、上加下减”是解答本题的关键． 根据平移的性质，向左平移1个单位，即用代替原自变量，再向上平移3个单位，即函数关系式等号右边加3，化简即可． 【详解】解：抛物线先向左平移1个单位，再向上平移3个单位得： ， 故答案为：． 12．（24-25九年级下·全国·随堂练习）下列二次函数的图像是由二次函数的图像怎样平移得到的？ (1)； (2)． 【答案】(1)向右平移3个单位长度 (2)向左平移1个单位长度 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减． （1）根据“左加右减”可以得解； （2）根据“左加右减”可以得解． 【详解】（1）解：的图像向右平移3个单位长度得到的图像； （2）解：的图像向左平移1个单位长度得到的图像． 【易错必刷五 二次函数图象与各项系数符号】 13．（2026·上海虹口·一模）如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故选项A不正确； ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴，故选项B正确，选项C不正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴，故选项D不正确． 故选：B． 14．（25-26九年级上·浙江衢州·阶段检测）二次函数的图象的开口方向为______． 【答案】向上 【分析】根据a的符号判断抛物线的开口方向． 【详解】解：在中， ， 二次函数的图象的开口方向向上， 故答案为：向上． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 15．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）已知二次函数（为常数，）．求证：不论为何值，抛物线与轴总有两个不同的公共点． 【答案】抛物线与轴总有两个不同的公共点 【分析】根据根的判别式进行求解，当时，二次函数有两个不相等的实根，即与轴总有两个不同的交点，由此即可求解． 【详解】解：， ， ∴抛物线与轴总有两个不同的公共点． 【点睛】本题主要考查二次函数与坐标轴有交点的条件，掌握二次函数图象与轴有两个交点的条件是的知识是解题的关键． 【易错必刷六 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 16．（24-25九年级上·吉林·期末）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的顶点式，则顶点坐标为，直接确定顶点坐标，解答即可． 本题考查了抛物线的顶点坐标确定，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：由抛物线的解析式为，得，， 故顶点坐标为， 故选：D． 17．（25-26九年级上·四川广元·期末）若把二次函数化为的形式，其中为常数，则______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式．先由二次函数转化为顶点式，即可得到的值，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ， ． 故答案为：． 18．（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）已知二次函数． (1)把函数化成的形式，并求出函数图象的顶点坐标和对称轴； (2)直接写出当 x 满足什么条件时，函数值 y 随着 x 的增大而减小？ 【答案】(1)，顶点坐标为，对称轴为直线 (2)当时，函数值 y 随着 x 的增大而减小 【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即把一般式转化为顶点式，再根据顶点式的特点即得出函数图象的顶点坐标和对称轴； （2）根据二次函数的开口方向和对称轴解答即可． 【详解】（1）解：， ∴该函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线； （2）∵， ∴抛物线开口向下． 又∵对称轴为直线， ∴当时，函数值 y 随着 x 的增大而减小． 【点睛】本题考查将二次函数一般式改为顶点式，求二次函数图象的顶点坐标和对称轴，二次函数的图象和性质．熟知二次函数的顶点式是解题关键． 【易错必刷七 y=ax²+bx+c的最值】 19．（25-26九年级上·全国·单元测试）二次函数有最小值，则m等于（　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，根据二次函数的最值公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵二次函数有最小值， ∴， 解得． 经检验是原方程的解， 故选：A． 20．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）已知二次函数． (1)求出函数顶点坐标； (2)当时，随的增大而_____________（填“增大”或“减小”）； (3)当时，的取值范围为_____________． 【答案】(1) (2)增大 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）将一般式化为顶点式，即可得出结果； （2）根据二次函数的增减性进行判断即可； （3）根据二次函数的增减性求出函数值的范围即可． 【详解】（1）解：， ∴顶点坐标为； （2）解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大； （3）解：由（2）可知，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当时，函数有最小值为， ∵， ∴当时，值最大，为；当时，函数有最小值为， ∴． 21．（2026·浙江温州·二模）已知关于x的二次函数，该函数的最大值为______． 【答案】5 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，配方成顶点式，利用二次函数的图象和性质求解即可，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】 ∵ ∴抛物线开口向下 ∴当时，抛物线有最大值5． 故答案为：5． 【易错必刷八 根据二次函数的图象判断式子符号】 22．（25-26九年级上·云南临沧·期中）二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（）    A． B． C． D．有两个不相等的实数根 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质，解答即可得出答案． 【详解】解：由图象可知，，，， ∴． ∴，故A正确，A选项符合题意； 由图像可知对称轴，， ∴，故B错误，B选项不符合题意； 由图象可知，抛物线与x轴有两个交点， ∴，故C错误，C选项不符合题意； 由图象可知，时，只有一个解，， ∴有两个相等的实数根，故D错误，D选项不符合题意； 故选∶A． 23．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④若点和在该图象上，则，其中正确的结论是______（填序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，抛物线经过原点推出，可得①错误，根据时，，可以判定②正确，根据对称轴公式，可得③正确，根据对称性，可知点和关于对称轴对称，推出，可得④正确． 【详解】解：观察图象可知， ，故①错误， 时， ， ，故②正确， 对称轴 ， ，故③正确, 点和关于对称轴对称， ，故④正确， 故答案为：②③④ 24．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）已知抛物线的图象如图所示．    (1)判断、、及的符号； (2)求的值； (3)给出下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号） 【答案】(1)，，，； (2)； (3)①③ 【分析】（1）根据二次函数图象与系数的关系求解，即可得到答案； （2）由函数的图象可知，当时，，代入即可得到答案； （3）根据二次函数的图象和性质以及不等式的性质求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线开口向上， ， 对称轴在y轴右侧， 、异号， ， 抛物线与y轴负半轴相交， ， 当时，， ； （2）解：由函数的图象可知，当时，， ； （3）解：由（1）可知，， ， ，①结论正确； ， ， ， ， ， ，②结论错误； 当时，， 当时，， ， ， ，③结论正确； 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题关键． 【易错必刷九 根据二次函数的对称性求函数值】 25．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）若二次函数的图象经过点，则该图象必过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得二次函数的对称轴为轴，再根据二次函数的对称性即可解答． 【详解】解：， 二次函数的对称轴为轴， 关于轴对称的点为， 该图象必过点， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的对称性，熟练求得二次函数的对称轴是解题的关键． 26．（25-26九年级上·河南新乡·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，当时，x的取值范围是______．    【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点为，然后问题可求解 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， 又∵抛物线开口向上， ∴当时，x的取值范围为； 故答案为． 27．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知二次函数，函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 4 1 0 m n …    (1)m=___________，n=___________，顶点坐标为___________． (2)在图中画出二次函数的图像． (3)当x___________时，y随x增大而减小，当x___________时，y随x增大而增大． 【答案】(1)，， (2) 如图，    (3)； 【分析】（1）将，分别代入即可得到、的值，然后根据二次函数的顶点式得出顶点坐标； （2）用描点法画出二次函数的图像即可； （3）由二次函数的解析式可知，对称轴为直线：，然后根据图像利用二次函数的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：当时，，即； 当时，，即， 由二次函数得，顶点坐标为：， 故答案为：，，； （2）略 （3）观察问题（2）图像可知： 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了二次函数图像的性质、图像的画法、函数值的计算，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【易错必刷十 求抛物线与x轴的交点坐标】 28．（25-26九年级上·广东梅州·阶段检测）抛物线与轴的公共点的坐标是（    ） A． B． C．， D． 【答案】A 【分析】将代入抛物线，求得x即可． 【详解】解：将代入抛物线得， 解得， 即与x轴交点的坐标是， 故选A． 【点睛】此题考查了二次函数与坐标轴的交点，解题的关键掌握与与x轴交点，纵坐标为0． 29．（2026·山东菏泽·一模）抛物线经过点、两点，则关于x的一元二次方程的解是______． 【答案】 【分析】直接利用抛物线与x轴的交点的横坐标与相对应的一元二次方程的解的关系可得答案． 【详解】解： 抛物线经过点、两点， 关于x的一元二次方程的解是 故答案为： 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，掌握“二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标是关于x的一元二次方程的解”是解本题的关键． 30．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，抛物线y a(x1)(x2)与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）与y轴交于点 C(0，2)，连结BC交抛物线的对称轴于点E，连结OE． （1）求a的值和点A，B的坐标． （2）求△OBE的面积． 【答案】(1) ，；（2） 【分析】（1）把C(0,2)代入y a(x1)(x2)可求出a，再令y=0，求出x的值，可得点A，B的坐标； （2）首先求出抛物线的对称轴，再运用待定系数法求出直线BC的解析式，从而求出点E的纵坐标，利用三角形面积公式可得解． 【详解】解：（1）把C（0，2）代入y a(x1)(x2)得， 解得， ∴ 令y=0，则有 解得， ∴ （2）∵ ∴对称轴方程为直线 设直线BC的解析式为 把代入解析式，得 解得， ∴直线BC的解析式为 把代入得， ∴的OB边上的高为 又OB=2 ∴ 【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识． 【易错必刷十一 求抛物线与y轴的交点坐标】 31．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）抛物线与轴的交点为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线与y轴交点的横坐标为0，令代入抛物线解析式求出y的值，即可得到交点坐标． 【详解】解：∵y轴上所有点的横坐标都为0， ∴令，代入抛物线解析式， 得， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 32．（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）抛物线与轴的交点坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与轴的交点问题，解题的关键是掌握：抛物线与轴交点的横坐标为0，将代入解析式可求交点的纵坐标． 将代入抛物线解析式，计算出对应的值，即可得到与轴的交点坐标． 【详解】解：将代入解析式： 所以，抛物线与轴的交点坐标是． 33．（25-26九年级上·河南周口·期中）已知二次函数． (1)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； (2)画出该函数的大致图象． 【答案】(1)与轴的交点坐标为和，与轴的交点坐标为 (2) 二次函数图象如下： 【分析】本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． （1）将、分别代入函数解析式，计算求解即可； （2）求出函数的对称轴，通过描点法画出函数图象即可． 【详解】（1）解；令得，， 则与轴的交点坐标为， 令得， 解得或， 则与轴的交点坐标为和； （2）解：根据题意得，二次函数， 由（1）知，该函数图象经过点、和， 其对称轴为， 令，则， 则顶点坐标为． 【易错必刷十二 已知二次函数的函数值求自变量的值】 34．（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）一元二次方程的近似根可以看做是下列哪两个函数图象交点的横坐标（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】变形原方程得到即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴一元二次方程的近似根可以看做是函数和图象交点的横坐标， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，正确变形是关键． 35．（25-26九年级上·北京通州·期末）如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC分别交抛物线与于B、C两点，那么线段BC的长是________． 【答案】2 【分析】根据题意，将分别代入 ，，求得的正数解，即求得的坐标，进而即可求得的长． 【详解】解：，则解得，即 解得，即 故答案为： 【点睛】本题考查了根据二次函数的函数值求自变量，联立解方程是解题的关键． 36．（2026·云南昆明·三模）已知，二次函数的图象经过点，抛物线对称轴为直线． (1)求该二次函数的解析式； (2)若是该二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用已知点坐标求出常数项，再根据二次函数对称轴公式求出，即可得到二次函数解析式； （2）根据是二次函数与轴交点横坐标，得到满足的方程，通过降次变形化简所求代数式，消去含的项后即可计算出结果． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， 将代入解析式得， ∵抛物线对称轴为直线，二次函数中，对称轴公式为， ∴， 解得， ∴该二次函数的解析式为． （2）解：∵是二次函数图象与轴交点的横坐标， ∴， 当时，， ∴， 等式两边同时除以得，即， 由得， ， ∴， 代入得：， ∴， ∴， 代入得：， ∴． 【易错必刷十三 图象法确定一元二次方程的近似根】 37．（25-26九年级上·山东济南·期中）如表给出了二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程的一个根的近似值可能是（　　） x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … 0.04 0.59 1.16 … A．1.08 B．1.2 C．1.28 D．1.38 【答案】B 【分析】观察表中数据得到抛物线与x轴的一个交点在和点之间，更靠近点，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程一个根的近似值． 【详解】解：∵时，；时，； ∴抛物线与x轴的一个交点在和点之间，更靠近点， ∴方程有一个根约为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数的图象与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系，是解题的关键． 38．（25-26九年级上·江苏常州·期中）根据下列表格的对应值： x 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 0.0044 0.0269 判断方程一个解x的取值范围为 _____． 【答案】 【分析】根据函数的图象与x轴的交点横坐标就是方程的根，结合表格中数据即可判断方程的一个解的范围． 【详解】解：由表中数据可知：当时，；当时，， ∴当时，在与之间， ∴方程一个解x的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一元二次方程的近似根，掌握函数的图象与x轴的交点与方程的根的关系是解决此题的关键所在． 39．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系． (1)在坐标系中画出抛物线与直线． (2)根据（1）中所作图象，直接写出方程的根． 【答案】(1) 二次函数和一次函数的图象如下图所示， (2) 【分析】本题考查二次函数和一次函数图象即性质， （1）根据二次函数和一次函数的解析式画图即可； （2）找出两个图象的交点即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴二次函数的对称轴为：，顶点为， 当时，，， ∴二次函数过点，，， 一次函数过点，， （2）解：的解为两个图像的交点，即，， ∴． 【易错必刷十四 图象法解一元二次不等式】 40．（2026·浙江舟山·三模）已知二次函数，当时，的取值范围是或．若二次函数的图象经过点，，则的值不可能是（    ） A． B．0 C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质及图像上点的坐标的特征．由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关系，由此可列不等式，求出范围，进而选出符合条件的选项． 【详解】解：根据题意可知，该二次函数图像开口向下，且经过点和 ∴对称轴为直线， ∵， ∴点比点更靠近对称轴， ∴，整理得， ∴当时，有， 解得； 当时，有， 解得， 综上所述，或， ∴选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 41．（2026九年级上·上海奉贤·模拟预测）若不等式的解集是，则实数的取值范围是_______； 【答案】 【分析】先判断分子恒为正，因此原不等式解集为等价于分母对任意恒成立，分和两种情况讨论，结合二次函数的图象性质求解的范围． 【详解】首先分析分子，对，其判别式，又二次项系数为，因此对任意，恒成立． 因此的解集为，等价于对任意恒成立． （1）当时，不等式化为，恒成立，符合题意． （2）当时，要使对任意恒成立， 需满足， 其中 令，即，整理得，即， 解得或． 结合，得符合题意，不符合，舍去． 综上，实数的取值范围是． 42．（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，二次函数经过点，． (1)求该二次函数的解析式； (2)利用图象的特点填空： ①当________时，方程； ②不等式的解集为________． 【答案】(1)； (2)①1；②且 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和抛物线与轴的交点问题． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①先利用配方法得到，则当时，有最小值； ②写出函数图象在轴下方所对应的自变量的范围，并且自变量不取顶点的横坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，， ∴，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：①， 当时，有最小值， 即时，方程， 故答案为：1； ②不等式的解集为且． 故答案为：且． 【易错必刷十五 根据交点确定不等式的解集】 43．（25-26九年级上·北京朝阳·期末）已知一次函数和二次函数部分自变量和对应的函数值如下表：当时，自变量的取值范围是（    ） … 0 2 4 5 … … 0 1 3 5 6 … … 0 －1 0 5 9 … A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题关键在利用表中数据得到直线与抛物线的交点为和，或时，，从而得到当时，自变量x的取值范围． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴直线与抛物线的交点为和， 而或时，， ∴当时，自变量x的取值范围是或． 故选：C． 44．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则，的取值范围是______．    【答案】 【分析】直接观察图象，即可求解． 【详解】解：观察图象得：当时，， ∴时，的取值范围是． 故答案为： 【点睛】本题考查了根据交点求一元二次方程的解，数形结合，理解方程的解为两函数图象的交点的横坐标是解题的关键． 45．（25-26九年级上·福建南平·期中）一个二次函数，当自变量x＝0时，函数值y＝－1；当x＝－2与时，y＝0 （1）求这个二次函数的解析式 （2）当y＞0时，x的取值范围是__________（直接写出结果） 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）设二次函数为，由题意可得，，，将代入求解即可； （2）由（1）得，开口向上，即可求解． 【详解】解：（1）设二次函数为， 由题意可得，，，即二次函数为 将代入得 解得 即 故答案为： （2）由（1）得，开口向上， 由题意可得：当x＝－2与时，y＝0 ∴当或时， 故答案为：或 【点睛】此题考查了待定系数法求解二次函数解析式，以及二次函数的性质，解题的关键是根据题意正确求得函数解析式并掌握二次函数的有关性质． 【易错必刷十六 根据二次函数的对称性求函数值】 46．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，（点A在点B的左侧），且，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线的对称性，先根据对称轴计算公式求出对称轴为直线，再由对称性得到点A到对称轴的距离为2，由此即可求出答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵抛物线与x轴交于A，B两点， ∴点A和点B到对称轴的距离相等， ∵， ∴点A到对称轴的距离为2， 又∵点A在对称轴左侧， ∴点A的坐标为， 故选D． 47．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象上有点，，，则，，的大小关系是____________．（请用“”符号连接） 【答案】 【分析】根据题意判断出的符号，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，关于直线的对称点为，比较大小即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， ∵二次函数的图象对称轴为直线，在函数图象上， ∴当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，关于直线的对称点为，二次函数的图象上有点，，， ∵， ∴． 48．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）已知二次函数中的满足下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 8 3 0 m 3 … (1)的值为 ． (2)求出这个二次函数的解析式． (3)画出这个二次函数的图象． 【答案】(1)0 (2) (3) 作图如下， 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式及作图，掌握对称轴直线的计算，二次函数的顶点式，待定系数法求解析式及作图方法是解题的关键． （1）根据表格信息可得二次函数的对称轴直线为，则有的函数值与的函数值相等，由此即可求解； （2）根据题意，可得顶点坐标为，运用二次函数的顶点式，待定系数法即可求解； （3）运用描点，连线的方法即可作图． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ∴二次函数的对称轴直线为， ∴的函数值与的函数值相等， ∴， 故答案为：0； （2）解：二次函数的对称轴直线为， 当时，， ∴顶点坐标为， 设二次函数解析式为， 把，代入得，， 解得，， ∴二次函数解析式为； （3）略 【易错必刷十七 待定系数法求二次函数解析式】 49．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数， 当时， 函数值等于8 ， 则的值是（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】把，对应的值代入二次函数解析式即可． 【详解】解：∵二次函数，当时，函数值是8， ∴ 即， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，关键是把，对应的值代入二次函数解析式中． 50．（25-26九年级上·河南郑州·期末）写出一个经过点的二次函数的解析式：_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】设经过点的二次函数解析式为，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设经过点的二次函数解析式为， ∴， ∴， ∴满足题意的二次函数解析式为， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，正确计算是解题的关键． 51．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知抛物线经过两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)二次函数的最值． 【答案】(1) (2)最小值为 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析式，配方法求顶点式的知识是解题的关键． （1）根据抛物线与轴的交点可得对称轴为，由此可求出的值，再把点代入解析即可求解； （2）运用配方法将抛物线化成顶点式即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴对称轴为， 解得，， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为． （2）解：由（1）可得，抛物线的解析式为， ∴， ∴当时，抛物线有最小值，最小值为． 【易错必刷十八 二次函数的实际综合应用】 52．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）某商品的进价为每件元，售价为每件元，每个月可卖出件；如果每件商品的售价每上涨元，则每个月少卖件每件售价不能高于元设每件商品的售价上涨元为正整数，每个月的销售利润为元．求每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 【答案】当售价定为每件或元，每个月的利润最大，最大的月利润是元． 【分析】先根据题意写出函数解析式，再根据函数的性质以及自变量的取值范围，确定函数的最值． 【详解】解：由题意得： ，且为整数， ， 当时，有最大值， ，且为整数， 当时，，， 当时，，， 当售价定为每件或元，每个月的利润最大，最大的月利润是元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，关键要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． 53．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）交通规则上有许多标志，如图所示是某地的两个限制数量，某货车的迎面的截面图形坐标如图所示，问该车能否通过此路段，并说明理由． 【答案】 解：不能通过，理由： ∵限宽，而车身宽， ∴宽能通过； ∵， ∴高度不能通过， 故该车不能通过此路段． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的性质即可求解． 【详解】略 54．（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）某公园计划建个音乐喷泉，已知喷水管垂直于地面且水流喷出点距离水平地面1.5米，水流喷出后落地点距离水管3米，建立如图平面直角坐标系，水流喷出点为A，落地点为B，水流高度y（米）与水流距水管的水平距离x（米）的近似满足，求水流的最大高度．    【答案】水流喷出的最大高度为2米． 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度． 【详解】解：由题意可得，抛物线经过点和， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： ，解得：， ∴函数表达式为：， ∵，故函数有最大值， ∴当时，y取得最大值，此时， 答：水流喷出的最大高度为2米． 55．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部处，山坡上有一点，点与点的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，是高度为3米的防御墙．若以点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．    (1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙； 【答案】(1) (2)能 【分析】（1）设石块运行的函数关系式为，用待定系数法求得a的值即可求得答案； （2）把代入，求得y的值，与6作比较即可． 【详解】（1）解：∵发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米， ∴设石块运行的函数关系式为，由图象可知，抛物线过点， 把代入，得：， 解得：， ∴； （2）∵，当时，， ∵， ∴能飞越防御墙． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的列出二次函数解析式，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二次函数章末易错必刷题型专训（55题18个考点） 【易错必刷一 二次函数的识别】 1．（25-26九年级上·浙江衢州·阶段检测）下列关于x的函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列函数一定是二次函数的是__________． ①；②；③；④；⑤y=(x-3)2-x2 3．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）关于x的函数（为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？ 【易错必刷二 根据二次函数的定义求参数】 4．（24-25九年级上·新疆巴州·期末）二次函数的常数项是（    ） A． B．3 C．5 D．6 5．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）若函数是二次函数，则的值是_____． 6．（25-26九年级上·全国·单元测试）已知函数． (1)当为何值时，是关于的二次函数？ (2)当为何值时，是关于的一次函数？ 【易错必刷三 y=a（x-h）²+k的图象和性质】 7．（24-25九年级上·重庆渝中·期末）二次函数的图像大致是（   ） A．   B．   C．   D．   8．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）已知二次函数，当x分别取时，函数值相等，则当时，函数值为__________． 9．（25-26九年级上·全国·单元测试）当时，求二次函数的最大值． 【易错必刷四 二次函数图象的平移】 10．（25-26九年级上·全国·期末）将抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）把抛物线先向左平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线为______． 12．（24-25九年级下·全国·随堂练习）下列二次函数的图像是由二次函数的图像怎样平移得到的？ (1)； (2)． 【易错必刷五 二次函数图象与各项系数符号】 13．（2026·上海虹口·一模）如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 14．（25-26九年级上·浙江衢州·阶段检测）二次函数的图象的开口方向为______． 15．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）已知二次函数（为常数，）．求证：不论为何值，抛物线与轴总有两个不同的公共点． 【易错必刷六 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 16．（24-25九年级上·吉林·期末）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 17．（25-26九年级上·四川广元·期末）若把二次函数化为的形式，其中为常数，则______． 18．（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）已知二次函数． (1)把函数化成的形式，并求出函数图象的顶点坐标和对称轴； (2)直接写出当 x 满足什么条件时，函数值 y 随着 x 的增大而减小？ 【易错必刷七 y=ax²+bx+c的最值】 19．（25-26九年级上·全国·单元测试）二次函数有最小值，则m等于（　） A．1 B． C． D． 20．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）已知二次函数． (1)求出函数顶点坐标； (2)当时，随的增大而_____________（填“增大”或“减小”）； (3)当时，的取值范围为_____________． 21．（2026·浙江温州·二模）已知关于x的二次函数，该函数的最大值为______． 【易错必刷八 根据二次函数的图象判断式子符号】 22．（25-26九年级上·云南临沧·期中）二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（）    A． B． C． D．有两个不相等的实数根 23．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④若点和在该图象上，则，其中正确的结论是______（填序号）． 24．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）已知抛物线的图象如图所示．    (1)判断、、及的符号； (2)求的值； (3)给出下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号） 【易错必刷九 根据二次函数的对称性求函数值】 25．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）若二次函数的图象经过点，则该图象必过点（    ） A． B． C． D． 26．（25-26九年级上·河南新乡·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，当时，x的取值范围是______．    27．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知二次函数，函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 4 1 0 m n …    (1)m=___________，n=___________，顶点坐标为___________． (2)在图中画出二次函数的图像． (3)当x___________时，y随x增大而减小，当x___________时，y随x增大而增大． 【易错必刷十 求抛物线与x轴的交点坐标】 28．（25-26九年级上·广东梅州·阶段检测）抛物线与轴的公共点的坐标是（    ） A． B． C．， D． 29．（2026·山东菏泽·一模）抛物线经过点、两点，则关于x的一元二次方程的解是______． 30．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，抛物线y a(x1)(x2)与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）与y轴交于点 C(0，2)，连结BC交抛物线的对称轴于点E，连结OE． （1）求a的值和点A，B的坐标． （2）求△OBE的面积． 【易错必刷十一 求抛物线与y轴的交点坐标】 31．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）抛物线与轴的交点为（     ） A． B． C． D． 32．（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）抛物线与轴的交点坐标是__________． 33．（25-26九年级上·河南周口·期中）已知二次函数． (1)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； (2)画出该函数的大致图象． 【易错必刷十二 已知二次函数的函数值求自变量的值】 34．（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）一元二次方程的近似根可以看做是下列哪两个函数图象交点的横坐标（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 35．（25-26九年级上·北京通州·期末）如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC分别交抛物线与于B、C两点，那么线段BC的长是________． 36．（2026·云南昆明·三模）已知，二次函数的图象经过点，抛物线对称轴为直线． (1)求该二次函数的解析式； (2)若是该二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标，求的值． 【易错必刷十三 图象法确定一元二次方程的近似根】 37．（25-26九年级上·山东济南·期中）如表给出了二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程的一个根的近似值可能是（　　） x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … 0.04 0.59 1.16 … A．1.08 B．1.2 C．1.28 D．1.38 38．（25-26九年级上·江苏常州·期中）根据下列表格的对应值： x 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 0.0044 0.0269 判断方程一个解x的取值范围为 _____． 39．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系． (1)在坐标系中画出抛物线与直线． (2)根据（1）中所作图象，直接写出方程的根． 【易错必刷十四 图象法解一元二次不等式】 40．（2026·浙江舟山·三模）已知二次函数，当时，的取值范围是或．若二次函数的图象经过点，，则的值不可能是（    ） A． B．0 C． D．5 41．（2026九年级上·上海奉贤·模拟预测）若不等式的解集是，则实数的取值范围是_______； 42．（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，二次函数经过点，． (1)求该二次函数的解析式； (2)利用图象的特点填空： ①当________时，方程； ②不等式的解集为________． 【易错必刷十五 根据交点确定不等式的解集】 43．（25-26九年级上·北京朝阳·期末）已知一次函数和二次函数部分自变量和对应的函数值如下表：当时，自变量的取值范围是（    ） … 0 2 4 5 … … 0 1 3 5 6 … … 0 －1 0 5 9 … A． B． C．或 D．或 44．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则，的取值范围是______．    45．（25-26九年级上·福建南平·期中）一个二次函数，当自变量x＝0时，函数值y＝－1；当x＝－2与时，y＝0 （1）求这个二次函数的解析式 （2）当y＞0时，x的取值范围是__________（直接写出结果） 【易错必刷十六 根据二次函数的对称性求函数值】 46．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，（点A在点B的左侧），且，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 47．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象上有点，，，则，，的大小关系是____________．（请用“”符号连接） 48．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）已知二次函数中的满足下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 8 3 0 m 3 … (1)的值为 ． (2)求出这个二次函数的解析式． (3)画出这个二次函数的图象． 【易错必刷十七 待定系数法求二次函数解析式】 49．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数， 当时， 函数值等于8 ， 则的值是（　　） A． B． C．2 D．4 50．（25-26九年级上·河南郑州·期末）写出一个经过点的二次函数的解析式：_______． 51．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知抛物线经过两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)二次函数的最值． 【易错必刷十八 二次函数的实际综合应用】 52．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）某商品的进价为每件元，售价为每件元，每个月可卖出件；如果每件商品的售价每上涨元，则每个月少卖件每件售价不能高于元设每件商品的售价上涨元为正整数，每个月的销售利润为元．求每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 53．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）交通规则上有许多标志，如图所示是某地的两个限制数量，某货车的迎面的截面图形坐标如图所示，问该车能否通过此路段，并说明理由． 54．（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）某公园计划建个音乐喷泉，已知喷水管垂直于地面且水流喷出点距离水平地面1.5米，水流喷出后落地点距离水管3米，建立如图平面直角坐标系，水流喷出点为A，落地点为B，水流高度y（米）与水流距水管的水平距离x（米）的近似满足，求水流的最大高度．    55．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部处，山坡上有一点，点与点的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，是高度为3米的防御墙．若以点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．    (1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙； 学科网（北京）股份有限公司 $