专题02 二次函数的性质 重难点题型专训 -2026-2027学年浙教版九年级数学上册

该初中数学讲义通过表格对比不同形式二次函数的开口方向、顶点坐标等性质，结合“左同右异”等口诀梳理a,b,c关系，构建二次函数性质的知识脉络，突出最值、对称性等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础的最值计算到提高的函数综合应用，例题搭配即时训练，培养推理意识和模型意识。自我检测题助力学生自主查漏，教师可据此实施分层教学，提升复习效率。

专题02 二次函数的性质重难点题型专训（3个知识点+7大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、y=ax²+bx+c的最值 1 题型二、一次函数、二次函数图象综合判断 2 题型三、根据二次函数的图象判断式子符号 3 题型四、待定系数法求二次函数解析式 4 题型五、已知抛物线上对称的两点求对称轴 5 题型六、根据二次函数的对称性求函数值 6 题型七、利用二次函数对称性求最短路径 7 第二部分·练提高题型 题型一、二次函数与一次函数的综合 1 题型二、二次函数图象与性质的综合 2 第三部分・自我检测 知识点01 二次函数的图像与性质 二次函数y=ax2的图象的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0． 的性质： 上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质： 左加右减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质：左加右减，上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 一般式：（，，为常数，）； 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【即时训练】 1．（25-26九年级上·云南临沧·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y有最大值1 D．当时，y随x的增大而增大 2．（25-26九年级上·浙江温州·期中）二次函数（）的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有________个． 知识点02 二次函数的图象与a，b，c的关系 学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑． 1．基础四看 “基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用． 2．组合二看 (1)三全看点 在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可． (2)有缺看轴 当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可． 3．取值计算 当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断． 二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出与0的大小关系及含有的代数式的值的大小关系. (1)决定开口方向:当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下. (2)共同决定抛物线的对称轴位置:当同号时，对称轴在轴左侧;当异号时，对称轴在轴右侧(可以简称为“左同右异”);当时，对称轴为轴. (3)决定与轴交点的纵坐标:当时，图象与轴交于正半轴;当时，图象过原点;当时，图象与轴交于负半轴. (4) 的值决定了抛物线与轴交点的个数:当时，抛物线与轴有两个交点;当时，抛物线与轴有一个交点;当时，抛物线与轴没有交点. (5) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. (6) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. 【即时训练】 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知某二次函数（）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期中）如图所示，二次函数的图象开口向上，图象经过点和且与轴交于负半轴．给出四个结论：①，②；③；④；其中正确的结论的序号是___________． 知识点03 待定系数求解析式 用待定系数法求抛物线的解析式，要根据具体已知条件灵活选择解析式的三种表达形式: (1)已知三点坐标，常设抛物线的解析式为一般式; (2)已知顶点(或最值)，常设抛物线的解析式为顶点式; (3)已知抛物线与轴的两个交点坐标为，常设抛物线的解析式为交点式. 二次函数解析式的形式 一般式： 顶点式： 交点式 顶点在原点： 过原点： 顶点在y轴： 求二次函数（a≠0）的最值的方法 配方法：任意一个二次函数的一般式都可以配方成的形式 若a＞0，当x=h时，函数有最小值，且 ②若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 公式法：因为抛物线的顶点坐标为（-），则 若a＞0，当x=时，函数有最小值，且 若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 【即时训练】 1．（2026·江苏扬州·一模）已知抛物线顶点坐标为，且与的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）抛物线，经过两点，则这条抛物线的解析式为______________，它的对称轴为________． 【基础题型一 y=ax²+bx+c的最值】 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数的最大值是（     ） A． B． C．1 D．0 【例2】（25-26九年级上·福建福州·期末）已知点，，均在抛物线上，其中，若，则的取值范围是__________． 1．（25-26九年级上·四川巴中·期中）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①②④ 2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）规定：若，，则．例如，，则．已知，，则的最小值是______． 3．（2026·河南南阳·二模）在二次函数中，图象经过点和．    (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最小值为，直接写出的值． 【基础题型二 一次函数、二次函数图象综合判断】 【例1】（25-26九年级上·重庆渝中·期末）在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的方程的解为______． 1．（2026·广东佛山·一模）若二次函数的图象如图所示，则一次函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏苏州·二模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是__________． 3．（24-25九年级上·广东惠州·阶段检测）如图已知直线与抛物线相交于、两点．解答以下问题： (1)填空：______，_____，_____． (2)不等式的解集为_____． (3)已知点在轴上，若的面积是的倍，求点坐标． 【基础题型三 根据二次函数的图象判断式子符号】 【例1】 （26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图，有下列结论：①；②；③，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例2】（2026九年级·山东枣庄·专题练习）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点、点、点在该函数图象上，则；（5）（为常数）．其中正确的结论有______个 1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）二次函数的图象如图所示，其对称轴为，与x轴的一个交点为，与y轴的交点在和之间，以下结论：①；②；③；④若，在该二次函数图象上，则当实数时，；⑤抛物线顶点到x轴的距离小于．其中结论正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的横坐标为3，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③关于x的不等式的解集为；； ④（t为任意实数）．其中正确的是________．（只填写序号） 3．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）已知抛物线的图象如图所示．    (1)判断、、及的符号； (2)求的值； (3)给出下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号） 【基础题型四 待定系数法求二次函数解析式】 【例1】（25-26九年级下·山东青岛·阶段检测）已知二次函数的函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：． … 0 1 2 … … 2 2 … 则下列结论：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③若方程的两个实数根为，，则；④其中正确的结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（2026·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，过原点的抛物线与轴交于另一点（点与点不重合），顶点为．当为等腰直角三角形时，的值为______________． 1．（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖南益阳·期末）二次函数中的和满足下表： …… 0 1 2 3 …… …… 0 m 0 …… 则的值为______. 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知二次函数的图象经过两点． (1)求这个二次函数的解析式并写出它的对称轴； (2)把该抛物线平移，使它的顶点与B点重合，直接写出平移后抛物线的解析式． 【基础题型五 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 【例1】（26-27九年级上·湖北武汉·期中）已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【例2】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______ 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 2．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）二次函数图象上部分点的坐标满足下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 8 3 0 m 3 … 则________． 3．（2026·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． (1)求抛物线的对称轴； (2)点是抛物线上一点，且， ①直接写出的取值范围； ②过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，记线段长度为．当取，时，的长分别为，，若对于，都有，求的取值范围． 【基础题型六 根据二次函数的对称性求函数值】 【例1】（25-26九年级上·江苏南通·期末）二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数y的值是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·北京·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 1．（25-26九年级上·山东威海·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点，则的值为（  ） A．0 B． C． D． 2．（2026·广东河源·一模）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位：km）（），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点． 下列说法中，正确的有________．（填序号） ①；②；③点C的纵坐标为240；④点在该函数的图象上． 3．（24-25九年级上·北京·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，，是抛物线上两点． (1)将写成的形式； (2)若，比较，的大小，并说明理由． 【基础题型七 利用二次函数对称性求最短路径】 【例1】（2025·四川绵阳·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，P为抛物线上一点，其横坐标为，C为抛物线对称轴上一动点，连接，，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 1．（25-26九年级上·广西百色·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 2．（2025·辽宁抚顺·一模）如图．点中，点是轴上一动点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°，得到线段，连接，则线段的最小值为_____． 3．（25-26九年级上·浙江温州· 期中）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 【提高题型一 二次函数与一次函数的综合】 【例1】（25-26九年级上·重庆巫溪·期中）已知二次函数和一次函数，则这两个函数在同一个平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）已知抛物线与直线l交于点，（）．若点 在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），则点P的纵坐标的取值范围为_________． 1．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）函数与在同一平面直角坐标系内图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（25-26九年级上·广东惠州·期中）二次函数的图象如图，则一次函数的图象不经过第___象限． 3．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）对于关于x的一次函数（），我们定义其“关联函数”为，对于两个关于x的一次函数和，我们称为“强关联函数”． 例如：若，则其“关联函数”为；，其“关联函数”为，因此“强关联函数”． (1)已知一次函数，，求“强关联函数”的解析式； (2)已知一次函数，，它们的“强关联函数”为y，当时，，求k的值； (3)已知一次函数，，它们的“强关联函数”图象与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，当且时，求面积的最小值． 【提高题型二 二次函数图象与性质的综合】 【例1】（2026·安徽安庆·模拟预测）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点，则下列结论错误的是（     ） A． B． C．若，两点都在二次函数的图象上，则 D．若点在二次函数的图象上，则有 【例2】（25-26九年级下·四川达州·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④已知、在该二次函数图像上，当且时，都有．其中正确的结论有___________．（填序号）    1．（2026·山东青岛·二模）二次函数的图象如图所示，其对称轴是直线，点的坐标为，垂直于轴，连接，则下列说法一定正确的是（　　） A．如图①，四边形是矩形 B．在同一平面直角坐标系中，二次函数，一次函数和反比例函数的图象大致如图②所示 C．在同一平面直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图象大致如图③所示 D．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数在的图象大致如图④所示 2．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象上有点，，，则，，的大小关系是____________．（请用“”符号连接） 3．（2026·安徽六安·一模）如图，二次函数与一次函数的图象交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上，一次函数的图象与二次函数的对称轴交于点P． (1)求点P的坐标； (2)当时，二次函数的最大值是15，求a的值； (3)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，点C的坐标为，，求当取何值时，的值最小，最小值是多少？ 1．（2026·山东潍坊·模拟预测）我们规定：若，，则．例如， ，，则．已知，，且，则的最大值是（     ） A．14 B．12 C．8 D．6 2．（2026·山东聊城·二模）二次函数（a，b是常数，）的图象与x轴交于，两点，其中．下列结论：①；②当时，y随x的增大而增大；③关于x的方程，其一个根是；④．其中不正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（2025·安徽蚌埠·三模）如图是直线 （，，是常数且，，），则二次函数 和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·浙江杭州· 模拟预测）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小．其中正确的有（     ） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，抛物线y11与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知，则以下结论： ①两抛物线的顶点关于原点对称； ②； ③； ④． 其中正确结论是（     ） A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 6．（2026· 宁夏吴忠· 模拟预测）当时，二次函数的最大值为________． 7．（2026·江苏无锡·模拟预测）若二次函数的图象开口向上，则直线不经过第______ 象限． 8．（24-25九年级上·重庆永川·阶段检测）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两个点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；其中所有正确结论的序号是__________． 9．（25-26九年级上·北京·期末）二次函数（a，b，c为常数，）中，x与y的部分对应值如表： x … 0 3 … y … n 2 n … 若，且点，在该二次函数的图象上，则_______．（填“>”“<”或“=”） 10．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与：的一个交点为，过点作轴的平行线，分别交这两条抛物线于点、（点在点左侧，点在点右侧）．已知点的横坐标为1，则的长为______． 11．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求，的值． (2)当时，求的最大值． (3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 12．（2026·浙江温州 ·三模）已知一个二次函数的图象与x轴的交点分别为，且顶点在函数的图象上． (1)求这个二次函数的顶点坐标和函数表达式． (2)点P在函数的图象上，若点P向左平移n个单位或向右平移个单位都能恰好落在二次函数的图象上，求点P的坐标． 13．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 … y … 5 a 0 … (1)_____________； (2)求该二次函数的表达式； (3)y随x的增大而减小时，x的取值范围是_____________． 14．（24-25九年级上·广东中山·期中）如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，清求出点的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 15．（25-26九年级上·北京东城·期中）如图，已知的顶点，，O是坐标原点，将绕点O按顺时针旋转，得到． (1)写出，两点的坐标； (2)求过，，三点的抛物线的解析式，并求此抛物线顶点的坐标； 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数的性质重难点题型专训（3个知识点+7大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、y=ax²+bx+c的最值 1 题型二、一次函数、二次函数图象综合判断 2 题型三、根据二次函数的图象判断式子符号 3 题型四、待定系数法求二次函数解析式 4 题型五、已知抛物线上对称的两点求对称轴 5 题型六、根据二次函数的对称性求函数值 6 题型七、利用二次函数对称性求最短路径 7 第二部分·练提高题型 题型一、二次函数与一次函数的综合 1 题型二、二次函数图象与性质的综合 2 第三部分・自我检测 知识点01 二次函数的图像与性质 二次函数y=ax2的图象的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0． 的性质： 上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质： 左加右减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质：左加右减，上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 一般式：（，，为常数，）； 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【即时训练】 1．（25-26九年级上·云南临沧·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y有最大值1 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质．根据二次函数的一般形式，通过系数判断开口方向，利用对称轴公式求对称轴，在顶点处求最值，并分析增减性． 【详解】解：∵二次函数为，其中， ∴，函数图象开口向下，故A错误； 对称轴为，故B错误； 当时，， ∵开口向下， ∴有最大值1，故C正确； ∵对称轴且开口向下， ∴当时，y随x增大而减小，故D错误． 故选：C． 2．（25-26九年级上·浙江温州·期中）二次函数（）的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有________个． 【答案】２ 【分析】先根据抛物线开口方向判断的符号，因为对称轴公式为，所以可推导的符号，再根据抛物线与轴交点位置判断的符号，验证结论①；由对称轴，变形后可验证结论②；把结论③的不等式变形为，因为该式对应时的函数值，结合抛物线对称性和已知零点判断函数值符号，验证结论③；先根据抛物线开口方向确定离对称轴越近的点函数值越大，再分别计算三个点到对称轴的距离，比较距离大小后判断的大小关系，验证结论④． 【详解】解：由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ， ， ，①错误，②正确； ∵图象过点，对称轴为直线， ∴图象过点， 当时，， ， 即，③错误； ∵点、点、点在该函数图象上，对称轴为直线， ∴点离对称轴最远， ∴最小， 点B离对称轴最近， ∴最大， ，④正确， ∴正确的结论有2个． 知识点02 二次函数的图象与a，b，c的关系 学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑． 1．基础四看 “基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用． 2．组合二看 (1)三全看点 在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可． (2)有缺看轴 当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可． 3．取值计算 当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断． 二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出与0的大小关系及含有的代数式的值的大小关系. (1)决定开口方向:当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下. (2)共同决定抛物线的对称轴位置:当同号时，对称轴在轴左侧;当异号时，对称轴在轴右侧(可以简称为“左同右异”);当时，对称轴为轴. (3)决定与轴交点的纵坐标:当时，图象与轴交于正半轴;当时，图象过原点;当时，图象与轴交于负半轴. (4) 的值决定了抛物线与轴交点的个数:当时，抛物线与轴有两个交点;当时，抛物线与轴有一个交点;当时，抛物线与轴没有交点. (5) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. (6) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. 【即时训练】 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知某二次函数（）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象性质逐一判断即可． 【详解】解：由图象可知：函数的图象开口向上、对称轴在y轴右侧， ，对称轴、且， 对称轴， ， ， 故①错误； 函数的对称轴为，函数和x轴的一个交点是， 另外一个交点为， 当时，， 故②错误； 函数的对称轴为， ， 故③正确； 由②③得，，， ， ，即， ， 故④正确， 综上所述，正确的有③④，共2个． 2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期中）如图所示，二次函数的图象开口向上，图象经过点和且与轴交于负半轴．给出四个结论：①，②；③；④；其中正确的结论的序号是___________． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，利用二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征逐一分析四个结论的正误是解题的关键．①由点在二次函数图象上，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，结论①正确；②由二次函数图象的开口方向、对称轴在轴右侧以及与轴交于负半轴，可得出，进而可得出，结论②错误；③由二次函数图象对称轴所在的位置及，可得出，进而可得出，结论③正确；④由二次函数的图象经过点和，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，，进而可得出，结论④正确．综上，此题得解． 【详解】解：①点在二次函数图象上， ∴，结论①正确； ②∵二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴， ， ， ∴，结论②错误； ③ ∴， ∴，结论③正确； ④二次函数的图象经过点和， ∴， ∴，结论④正确． 综上所述，正确的结论有①③④． 故答案为：①③④． 知识点03 待定系数求解析式 用待定系数法求抛物线的解析式，要根据具体已知条件灵活选择解析式的三种表达形式: (1)已知三点坐标，常设抛物线的解析式为一般式; (2)已知顶点(或最值)，常设抛物线的解析式为顶点式; (3)已知抛物线与轴的两个交点坐标为，常设抛物线的解析式为交点式. 二次函数解析式的形式 一般式： 顶点式： 交点式 顶点在原点： 过原点： 顶点在y轴： 求二次函数（a≠0）的最值的方法 配方法：任意一个二次函数的一般式都可以配方成的形式 若a＞0，当x=h时，函数有最小值，且 ②若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 公式法：因为抛物线的顶点坐标为（-），则 若a＞0，当x=时，函数有最小值，且 若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 【即时训练】 1．（2026·江苏扬州·一模）已知抛物线顶点坐标为，且与的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线开口和形状确定二次项系数，再将顶点坐标代入顶点式，即可得出解析式． 【详解】解：设抛物线为， 抛物线与的开口方向、形状大小完全相同， ， 将代入可得． 2．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）抛物线，经过两点，则这条抛物线的解析式为______________，它的对称轴为________． 【答案】 直线 【分析】本题考查了待定系数法，二次函数的性质，先根据两点式求出二次函数解析式，再利用二次函数的性质求出对称轴即可． 【详解】解：抛物线的解析式为，即， 抛物线的对称轴为直线． 故答案为，直线． 【基础题型一 y=ax²+bx+c的最值】 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数的最大值是（     ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】利用平方的非负性推导函数的最大值． 【详解】解：， ， 当时，取得最大值． 【例2】（25-26九年级上·福建福州·期末）已知点，，均在抛物线上，其中，若，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据可得，即抛物线的顶点坐标是，然后分三种情况结合抛物线的性质讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即抛物线的顶点坐标是， ∵， ∴抛物线的开口向下，， 若P、Q在对称轴的左侧， ∵y随着x的增大而增大， ∴，此时，满足题意； 当点M在P、Q之间，即，则离对称轴越近，函数值越大， ∵， ∴，解得； 若P、Q在对称轴的右侧， ∵y随着x的增大而减小，且， ∴此时不满足题意； 特别地，当M与Q重合时，也满足； 综上，m的取值范围是． 1．（25-26九年级上·四川巴中·期中）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】D 【分析】抛物线开口向下，且交轴于正半轴及对称轴为，推导出，，以及与之间的关系：，即可判断①；根据二次函数图象经过点，及对称轴为，可得出抛物线经过，再把点代入解析式，结合即可判断②⑤；再由二次函数的对称性，当时，距离对称轴越远所对应的越小，即可判断③；由抛物线开口向下，对称轴是直线，可知当时，有最大值，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， 即，故②正确，⑤不正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确，不符合题意； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ∴，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的结论是①②④． 2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）规定：若，，则．例如，，则．已知，，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查新定义的运算，二次函数的性质．根据新定义运算法则，列出关于x的二次函数，根据二次函数最值的求法解答即可． 【详解】解：根据题意，得， ∴当时，有最小值，最小值是． 故答案为： 3．（2026·河南南阳·二模）在二次函数中，图象经过点和．    (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最小值为，直接写出的值． 【答案】(1) (2)，    (3)的值为6或2 【分析】（1）利用待定系数法进行解答即可； （2）利用配方法化成顶点式即可得到二次函数图象的顶点坐标，根据描点法画出图象即可； （3）求出平移后的抛物线解析式，根据的范围进行解答即可． 【详解】（1）解：把点和代入，得： ， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：， 二次函数图象的顶点坐标为， 当时，， ∴抛物线与轴的交点为， 当时，，解得， ∴抛物线与轴的交点为和， 画函数图象略； （3）由题意，二次函数的图象向右平移个单位长度， 新函数为． 此时函数图象开口向上，对称轴是直线，函数的最小值为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，图象对应的函数最小值为， 或， 当，即时，此时当时，图象对应的函数最小值为， 即 ， 解得：或4（舍去）； 当，即时，此时当时，图象对应的函数最小值为， b ， 解得：或4（舍去）； 综上所述，的值为6或2． 【基础题型二 一次函数、二次函数图象综合判断】 【例1】（25-26九年级上·重庆渝中·期末）在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及对称轴的位置，结合图象特征进行判断；首先由两个函数解析式可知，它们与轴的交点均为，即交于轴上同一点；其次根据的符号判断抛物线的开口方向；最后根据对称轴公式判断对称轴位置． 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． 【例2】（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的方程的解为______． 【答案】， 【分析】本题考查了二次函数与一次函数，二次函数的图象和性质等知识点，能根据交点的坐标得出方程的解是解此题的关键．根据，两点的横坐标和函数的图象得出方程的解即可． 【详解】解：∵抛物线与直线相交于点， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 1．（2026·广东佛山·一模）若二次函数的图象如图所示，则一次函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由二次函数图像开口向下得出，再根据对称轴在轴右侧推出，最后结合一次函数的特征，判断图像即可． 【详解】解：∵开口方向：抛物线开口向下， ∴， ∵从图中可知对称轴在轴右侧， ∴根据对称轴公式，得， ∵， ∴ ， 分析一次函数的图像： ，说明直线从左上到右下； ，说明直线与轴交于正半轴； 故符合这两个特征的是选项C． 2．（2026·江苏苏州·二模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是__________． 【答案】 【分析】根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解． 【详解】解：抛物线与直线交于，两点， ，， 抛物线与直线交于，两点， 观察函数图象可知：当时， 直线在抛物线的上方， 不等式的解集是． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，解决本题的关键是利用图象解决问题． 3．（24-25九年级上·广东惠州·阶段检测）如图已知直线与抛物线相交于、两点．解答以下问题： (1)填空：______，_____，_____． (2)不等式的解集为_____． (3)已知点在轴上，若的面积是的倍，求点坐标． 【答案】(1)，， (2)不等式的解集为或 (3)点坐标为或 【分析】（1）直接用待定系数法即可求解； （2）直接根据函数图象即可求解； （3）连接，直线与轴的交点记为，在轴上任取不同于点的点，连接，，根据的面积是的倍，求出，再根据即可求解，解题的关键是分两种情况表示的长度：当点在点右侧时，，当点在点左侧时，． 【详解】（1）解：把、代入，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知，直线的解析式为，抛物线的解析式为， 又∵两函数交于、两点， ∴由图象可知，不等式，即的解集为或． （3）解：连接， 直线与轴的交点记为，与轴的交点记为， 在轴上任取不同于点的点，连接，，如图： 令，则，解得， ∴． 令，则， ∴， ∴． ∵、， ∴， ∵的面积是的倍， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， 设，则， ∴或， ∴点或． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数图象综合，待定系数法求函数解析式，一次函数与一元一次不等式，解一元一次方程，三角形面积公式等知识，掌握相关知识,注意分类讨论是解题的关键． 【基础题型三 根据二次函数的图象判断式子符号】 【例1】 （26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图，有下列结论：①；②；③，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据抛物线开口方向，抛物线的对称轴，以及抛物线交轴于负半轴分别得出a，b，c的大小，进而解答①；再根据①可将抛物线的解析式化为，然后根据时，解答②；接下来根据抛物线的对称性可知：关于对称轴的对称点是，再结合当时，，所以当时，也有，即可解答③． 【详解】解：由抛物线开口向上得； ∵抛物线的对称轴为，则，故； ∵抛物线交轴于负半轴得， ，故①正确； 根据①可将抛物线的解析式化为， 由函数的图象知，当时，，即，故②正确； 根据抛物线的对称性可知：关于对称轴的对称点是， 当时，， 所以当时，也有，即，故③正确． 所以正确的有3个． 【例2】（2026九年级·山东枣庄·专题练习）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点、点、点在该函数图象上，则；（5）（为常数）．其中正确的结论有______个 【答案】 【分析】根据抛物线的开口方向、与轴交点的位置、对称轴，可知、、，可得：；由函数图象可知当时，，所以可得：；由抛物线经过点，因为抛物线的对称轴是，可知，可得：，所以；根据二次函数的对称性可知点关于的对称点为，根据二次函数的性质可知；根据抛物线的对称轴为直线，可得：，所以成立． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 二次函数的图象与轴的交点在轴的正半轴， 对称轴为直线， ， ， ， 故（1）正确； 由二次函数的图象可知，当时，， ， ， 故（2）错误； ， ， 图象过点， ， ， ， 故（3）正确； 点关于的对称点为，， ， 故（4）错误； 抛物线的对称轴为直线， 二次函数的最大值为， 当时， 可得：， ， 故（5）正确； 综上所述，正确的结论有个． 1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）二次函数的图象如图所示，其对称轴为，与x轴的一个交点为，与y轴的交点在和之间，以下结论：①；②；③；④若，在该二次函数图象上，则当实数时，；⑤抛物线顶点到x轴的距离小于．其中结论正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用二次函数的图象和性质逐项进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴位于轴的右侧， ∴， ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴， 故①正确； ②∵其对称轴为， ∴， ∴， 当时，， 即， ∴， ∵， ∴， 即， 故②错误； ③∵抛物线与y轴的交点在和之间， ∴， 即， 解得， 故③错误； ④由函数图象可得，点，两点到对称轴的距离分别为， 当时，，抛物线开口向下，距离对称轴越近，值越大，故； 当时，，即，仍然； 当时，点，两点到对称轴的距离分别为，故； 综上，当实数时，， 故④正确； ⑤抛物线的顶点纵坐标为， ∵， ∴， 即抛物线顶点到x轴的距离小于， 故⑤正确； 综上，正确的选项为①④⑤，共3个． 2．（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的横坐标为3，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③关于x的不等式的解集为；； ④（t为任意实数）．其中正确的是________．（只填写序号） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查二次函数的图象及性质； 熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．先判断、、的值即可判断①；然后根据对称轴为得到，然后代入当时即可判断②；利用数形结合即可判断③；由时抛物线有最小值，即可得到，然后得到结论判断④. 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， 又∵对称轴位于y轴右侧， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵对称轴为， ∴，即， ∵当时，， ∴，故②正确； 借助图象可得关于x的不等式的解集为或，故③错误； ∵当时，二次函数有最小值， ∴， ∴，故④正确； 正确的是②④， 故答案为：②④． 3．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）已知抛物线的图象如图所示．    (1)判断、、及的符号； (2)求的值； (3)给出下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号） 【答案】(1)，，，； (2)； (3)①③ 【分析】（1）根据二次函数图象与系数的关系求解，即可得到答案； （2）由函数的图象可知，当时，，代入即可得到答案； （3）根据二次函数的图象和性质以及不等式的性质求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线开口向上， ， 对称轴在y轴右侧， 、异号， ， 抛物线与y轴负半轴相交， ， 当时，， ； （2）解：由函数的图象可知，当时，， ； （3）解：由（1）可知，， ， ，①结论正确； ， ， ， ， ， ，②结论错误； 当时，， 当时，， ， ， ，③结论正确； 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题关键． 【基础题型四 待定系数法求二次函数解析式】 【例1】（25-26九年级下·山东青岛·阶段检测）已知二次函数的函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：． … 0 1 2 … … 2 2 … 则下列结论：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③若方程的两个实数根为，，则；④其中正确的结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象与性质，先利用待定系数法求出二次函数解析式，再逐一判断每个结论即可． 【详解】解：由表格可知，点，，在二次函数图象上，代入得： ，解得， 则二次函数解析式为， 判断①：，故①错误； 判断②：分别代入，，得： ， ， ， ∵，即，故②错误； 判断③：二次函数对称轴为， 方程的两根关于对称轴对称， ∴ ，即，故③正确. 判断④：，故④正确. 综上，正确的结论共2个． 【例2】（2026·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，过原点的抛物线与轴交于另一点（点与点不重合），顶点为．当为等腰直角三角形时，的值为______________． 【答案】 【分析】根据抛物线顶点式得到顶点坐标，利用抛物线对称性得到与顶点坐标的关系，结合等腰直角三角形的性质得到，再利用抛物线过原点的条件代入即可求出的值． 【详解】解：∵抛物线的顶点为， ∴点坐标为，对称轴为直线， ∵抛物线过原点，与轴交于另一点，且与不重合， ∴，关于对称轴对称， 可得点坐标为，， ∵是等腰直角三角形，直角顶点只能为， ∴斜边上的高等于斜边的一半，斜边上的高为，可得，即， ∵抛物线过原点， 将代入抛物线解析式得，，即， 将代入上式得， ∵， 若则顶点在原点，与重合，不符合题意， ∴等式两边同时除以得． 1．（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据顶点坐标，利用待定系数法求解． 【详解】解：由顶点坐标可设二次函数表达式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴该二次函数的表达式是． 2．（25-26九年级上·湖南益阳·期末）二次函数中的和满足下表： …… 0 1 2 3 …… …… 0 m 0 …… 则的值为______. 【答案】 【分析】通过表格中的数据可以求出二次函数的表达式，再将代入函数解析式，求得的值． 【详解】将，，代入 得 解得 故 将，代入函数解析式 得 故的值为． 【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是熟练掌握利用待定系数法求二次函数的解析式的步骤． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知二次函数的图象经过两点． (1)求这个二次函数的解析式并写出它的对称轴； (2)把该抛物线平移，使它的顶点与B点重合，直接写出平移后抛物线的解析式． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得，得到平移后的抛物线的顶点坐标为，据此求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， 所以抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：令，则， ∴， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为， ∴平移后的抛物线解析式为． 【基础题型五 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 【例1】（26-27九年级上·湖北武汉·期中）已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用抛物线的对称性求得对称轴，进一步求得，即可求得结合在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，且利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴顶点为， ∵在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n， ∴时，， 当时，， ∵， ∴， ∴n的取值范围是． 【例2】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______ 【答案】 【分析】根据点A和点B的纵坐标相同求出对称轴为直线，根据函数图象开口向上时，在对称轴处取得最小值可确定对称轴为直线，据此建立方程求解即可． 【详解】解：∵二次函数图象经过点和点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵在中，， ∴该二次函数的图象开口向上， ∴在对称轴处函数有最小值， 又∵当时函数取得最小值， ∴该函数的对称轴为直线， ∴， ∴． 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象和性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：由表可知，点和的纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，最大， ∴抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， 当与时，到对称轴的距离相等， ∴值相等， ∵时，， ∴时，． 故选：． 2．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）二次函数图象上部分点的坐标满足下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 8 3 0 m 3 … 则________． 【答案】0 【分析】本题考查二次函数图象的对称性，根据表格中的数据，利用对称性求出对称轴，再根据对称性求出的值即可． 【详解】解：由表格可知，和的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴和的函数值相同， ∴； 故答案为：0． 3．（2026·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． (1)求抛物线的对称轴； (2)点是抛物线上一点，且， ①直接写出的取值范围； ②过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，记线段长度为．当取，时，的长分别为，，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)①；② 【分析】（1）根据抛物线的对称性计算即可得出结果； （2）①由抛物线的解析式可得抛物线开口向上，由抛物线的性质并结合题意得出，计算即可得出结果；②求出，，则，画出大致的函数图象，根据函数图象并结合题意计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：①∵抛物线， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线经过点，，，且， ∴， 解得； ②在中，当时，，即， 在中，当时，，即， ∴， 画出大致函数图象如图所示： 抛物线的对称轴为直线， ∵当取，时，的长分别为，，若对于，都有， ∴由图象可得：，， 解得． 【基础题型六 根据二次函数的对称性求函数值】 【例1】（25-26九年级上·江苏南通·期末）二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数y的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由表格可知，当时，，当时，， 纵坐标相等的两个点在二次函数上关于对称轴对称， 二次函数的对称轴为直线， 关于直线的对称点为， 由表格得时，， 当时，． 【例2】（25-26九年级上·北京·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断、、的符号及关系；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，进而判断时的函数值符号；利用顶点纵坐标与的大小关系及的取值范围判断不等式；将、用表示，结合的范围求的范围；计算，根据的范围即可比较与的大小． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， 即， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，， 即，故②错误； ③∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值， ∵时，，且， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故④错误； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， 即，故⑤正确； 综上所述，正确结论有①③⑤． 1．（25-26九年级上·山东威海·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点，则的值为（  ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了抛物线的对称性，根据对称性求出抛物线经过点，则当时，，熟知抛物线上函数值相同的两点关于抛物线对称轴对称是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，且经过点， ∴抛物线经过点， ∴当时，， 故选A． 2．（2026·广东河源·一模）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位：km）（），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点． 下列说法中，正确的有________．（填序号） ①；②；③点C的纵坐标为240；④点在该函数的图象上． 【答案】①④ 【分析】结合图形和函数图象，图象上的点表示点Q运动的位置满足，，图象的最低点D表示点Q运动到的位置，且此时，， 据此画出图形，利用勾股定理求出即可判断结论①；利用函数的对称性即可判断结论② ；点C的纵坐标表示图形中的值,故连接，利用勾股定理求出即可判断结论③；结合图形，求 时对应的是否等于85即可判断结论④． 【详解】解：结论①，如图，当 时，设点运动到点的位置，此时，；设点运动到的位置为，作，此时，， 在 中，由勾股定理，得， 解得，故结论①符合题意； 结论②， 当 时，点运动到点，n表示的长，由①可知 ，， 由图象对称性易知，，故结论②不符合题意； 结论③，由图象可知点C的纵坐标表示图形中的值， ， 点的纵坐标为250，故结论③不符合题意； 结论④，设当时，点运动到点，则 ，， ， 点 在该函数图象上，故结论④符合题意； 综上可知，符合题意的结论为①④． 【点睛】本题综合考查了动态几何的函数图象问题，熟练掌握相关知识，能从函数图象中抓住关键信息来确定点的位置是解题的关键． 3．（24-25九年级上·北京·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，，是抛物线上两点． (1)将写成的形式； (2)若，比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了配方法将二次函数一般式化为顶点式、函数值的比较等知识． （1）利用配方法进行变形即可求解； （2）当时，抛物线为，将点A、B的坐标代入求出，，问题得解． 【详解】（1）解：； （2）解：当时，抛物线为， 则，， ∴． 【基础题型七 利用二次函数对称性求最短路径】 【例1】（2025·四川绵阳·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，P为抛物线上一点，其横坐标为，C为抛物线对称轴上一动点，连接，，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角函数、二次函数的图象与性质、轴对称的性质及一次函数的图象与性质，熟练掌握三角函数、二次函数的图象与性质、轴对称的性质及一次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得，，连接，，当P、B、C三点共线时，取得最小值，然后求得直线的解析式为，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】解：当时，则有， ∴， 由可知：对称轴为直线，当时，则有， 解得：， ∴， 连接，，如图所示： 由轴对称可知：，所以， ∴当P、B、C三点共线时，取得最小值， 设直线的解析式为，则有， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴当时，则有， ∴，即， ∵， ∴； 故选A． 【例2】（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 【答案】 【分析】连接，由点M在对称轴上，根据对称性可得，根据两点间线段最短可得，确定当点M在上时，最小，利用待定系数法求出的解析式，再求抛物线对称轴与的交点M的坐标即可． 【详解】解：连接， ∵点M在对称轴上， ∴， ∴， ∴当点M在上时，的最小值，此时的周长最小， ∵点， 设解析式为，把点A、C的坐标代入得：， 解得， ∴解析式为， 当时， 则点． 1．（25-26九年级上·广西百色·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，根据解析式求得的坐标，根据轴对称的性质得出，继而得出取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，， ∵，令， 即， 解得：， ∴, 令，解得， ∴， ∵点是对称轴上的一个动点， ∴， ∵ ∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据二次函数对称性求线段和的最值，掌握二次函数对称性是解题的关键． 2．（2025·辽宁抚顺·一模）如图．点中，点是轴上一动点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°，得到线段，连接，则线段的最小值为_____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理及二次函数的最值问题，掌握配方法求最值是解题的关键． 设，则，根据勾股定理得，结合配方法求最值即可求解． 【详解】设，则， 由题知，， ， ， 时，取得最小值． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·浙江温州· 期中）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 【答案】(1) (2)当点的坐标为时，的周长最小 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，先求出抛物线的对称轴为直线，根据题意可得，关于抛物线的对称轴对称，则，得到的周长为，当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求，再求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）如图，连接， ，， ，， ， 抛物线的对称轴为直线， ，， ，关于抛物线的对称轴对称， ， 的周长为， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求， 设直线的解析式为，将、两点代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 当点的坐标为时，的周长最小． 【提高题型一 二次函数与一次函数的综合】 【例1】（25-26九年级上·重庆巫溪·期中）已知二次函数和一次函数，则这两个函数在同一个平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质．利用二次函数和一次函数图象的性质“二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．”逐项判断即可． 【详解】A．图象中二次函数，一次函数，两图像在y轴交于点，故A不符合题意． B．图象中二次函数，又对称轴在y轴右侧，则，得出，矛盾，故B不符合题意． C．图象中一次函数和二次函数，对称轴得到，故C符合题意． D．图象中二次函数，又对称轴在y轴右侧得到，矛盾，故D不符合题意． 故选：C． 【例2】（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）已知抛物线与直线l交于点，（）．若点 在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），则点P的纵坐标的取值范围为_________． 【答案】 【分析】先求出点和点的坐标，确定直线l的函数表达式，配合二次函数的图像求解即可； 【详解】解：分别将 、 代入得： ，解得： ，（舍） ∴， ∴直线l的表达式为： ∴的最小值为： 的取值范围为： 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图像与表达式的关系；熟练配合函数图像将复杂问题直观化是解决问题的关键． 1．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）函数与在同一平面直角坐标系内图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】分别分析时和时的函数图象，再逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：函数与， 当时，函数的图象开口向上，函数的图象经过一、二、三象限， 当时，函数的图象开口向下，函数的图象经过二、三、四象限， 只有B选项中的图象符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数和二次函数的图象和系数的关系是解题关键． 2．（25-26九年级上·广东惠州·期中）二次函数的图象如图，则一次函数的图象不经过第___象限． 【答案】二/2 【分析】由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断． 【详解】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为，且在第四象限， ∴ 则一次函数经过一、三、四象限，不经过第二象限． 故答案为：二． 【点睛】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解本题的关键． 3．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）对于关于x的一次函数（），我们定义其“关联函数”为，对于两个关于x的一次函数和，我们称为“强关联函数”． 例如：若，则其“关联函数”为；，其“关联函数”为，因此“强关联函数”． (1)已知一次函数，，求“强关联函数”的解析式； (2)已知一次函数，，它们的“强关联函数”为y，当时，，求k的值； (3)已知一次函数，，它们的“强关联函数”图象与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，当且时，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)1 【分析】（1）根据“关联函数”定义求出一次函数的“关联函数”是；一次函数的“关联函数”是，再根据“强关联函数”的定义解答即可； （2）分别求出一次函数，的“关联函数”为，，可得“强关联函数”的解析式，再分和两种情况讨论求解即可； （3）先求出一次函数，的关联函数，再求出“强关联函数”的解析式为，再求和，运用面积公式得出，由得，代入面积公式得，由得，由可求出面积的最小值． 【详解】（1）解：一次函数的“关联函数”是； 一次函数的“关联函数”是， 所以，“强关联函数”的解析式为； （2）解：一次函数的“关联函数”为， 一次函数的“关联函数”为， 所以，“强关联函数”的解析式为； 当，即时，函数随的增大而增大， 因此，在内，当时，有最小值为3，当时，有最大值为9， 所以，，解得； 当，即时，函数随的增大而减小， 因此，在内，当时，有最大值为9，当时，有最小值为3， 所以，，解得； 综上，的值为或； （3）解：一次函数的关联函数是； 一次函数的关联函数是； 所以，强关联函数为， 令，则；令，则， 所以，和， ∴的面积 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵开口向上，对称轴为， ∴当时，S有最小值为． 【提高题型二 二次函数图象与性质的综合】 【例1】（2026·安徽安庆·模拟预测）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点，则下列结论错误的是（     ） A． B． C．若，两点都在二次函数的图象上，则 D．若点在二次函数的图象上，则有 【答案】D 【分析】根据抛物线的开口方向、与轴的交点和对称轴可得，，则选项A正确；将点代入二次函数的解析式即可得选项B正确；根据对称性可得点在这个二次函数的图象上，利用增减性即可得选项C正确；求出二次函数的最大值即可得选项D错误． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴上，对称轴为直线， ∴，， ∴， ∴，选项A正确； ∵这个二次函数的图象经过点， ∴， ∴，即，选项B正确； ∵这个二次函数的图象开口向下，其对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；当时的函数值与当时的函数值相等，即为， ∴点在二次函数的图象上， 又∵点在二次函数的图象上，且， ∴，选项C正确； 将代入二次函数得：， ∴这个二次函数的最大值为， ∵点在二次函数的图象上， ∴，即，选项D错误． 【例2】（25-26九年级下·四川达州·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④已知、在该二次函数图像上，当且时，都有．其中正确的结论有___________．（填序号）    【答案】①③④ 【分析】根据开口方向、与y轴的交点、对称轴即可判断①；根据当时，，即可判断②；根据图象过点得到，由得到，则，即可判断③；分三种情况根据二次函数的性质即可判断④． 【详解】解：由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为直线，即， ∴， ∴，故①正确； ∵图象过点，对称轴为直线， ∴当时，，即， 则，故②错误； ∵图象过点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 故③正确； 当时，，不符合题意， 当时，∵， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴， 当时，， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴，故④正确； 正确的结论有①③④， 故答案为：①③④ 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，根据图象和性质判断式子的符号，比较函数值的大小等知识，数形结合是解题的关键． 1．（2026·山东青岛·二模）二次函数的图象如图所示，其对称轴是直线，点的坐标为，垂直于轴，连接，则下列说法一定正确的是（　　） A．如图①，四边形是矩形 B．在同一平面直角坐标系中，二次函数，一次函数和反比例函数的图象大致如图②所示 C．在同一平面直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图象大致如图③所示 D．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数在的图象大致如图④所示 【答案】A 【分析】根据二次函数、反比例函数与一次函数的图象和性质即可求解． 【详解】根据图①可知，，，所以， A. 二次函数的图象的对称轴是直线， 点与点关于对称轴对称， 垂直于轴， 与也关于对称轴对称， 四边形是矩形，故选项符合题意； B.，，一次函数的图象过第一、三、四象限，故选项不符合题意； C.，二次函数的图象不经过原点，故选项不符合题意； D.，，一次函数的图象过第一、二、四象限，故选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数、反比例函数与一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握函数的性质，灵活应用． 2．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象上有点，，，则，，的大小关系是____________．（请用“”符号连接） 【答案】 【分析】根据题意判断出的符号，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，关于直线的对称点为，比较大小即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， ∵二次函数的图象对称轴为直线，在函数图象上， ∴当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，关于直线的对称点为，二次函数的图象上有点，，， ∵， ∴． 3．（2026·安徽六安·一模）如图，二次函数与一次函数的图象交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上，一次函数的图象与二次函数的对称轴交于点P． (1)求点P的坐标； (2)当时，二次函数的最大值是15，求a的值； (3)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，点C的坐标为，，求当取何值时，的值最小，最小值是多少？ 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据已知条件得到直线，把代入即可得到结论； （2）根据二次函数的性质得到二次函数的最大值是15，解方程即可得到结论； （3）根据在抛物线上，求得，根据勾股定理和二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）二次函数的对称轴为直线， 把代入得， 点的坐标为， 故答案为：； （2）∵二次函数的对称轴为，在对称轴左侧二次函数y的值随x的增大而减小 ∴二次函数 的最大值是15，即 解得， ∵， ∴， ∴； （3）∵在抛物线上， ∵， 当 时，m的值最小，最小值是 ． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合题，一次函数和二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式即二次函数的性质是解题的关键． 1．（2026·山东潍坊·模拟预测）我们规定：若，，则．例如， ，，则．已知，，且，则的最大值是（     ） A．14 B．12 C．8 D．6 【答案】C 【分析】先根据新运算的定义求出与之间的关系式，再利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 由二次函数的性质可知，在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 又∵当时，， 当时，， ∴的最大值是8． 2．（2026·山东聊城·二模）二次函数（a，b是常数，）的图象与x轴交于，两点，其中．下列结论：①；②当时，y随x的增大而增大；③关于x的方程，其一个根是；④．其中不正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】将代入得到，故①错误；得到对称轴为直线，然后由开口向下，得到当时，随的增大而减小，故②错误；将代入得到，然后将代入方程即可得到③正确；根据对称轴公式得到，表示出，然后由得到，然后结合即可得到④正确． 【详解】解：∵二次函数过点， ∴将代入解析式得， ∴，故①错误； ∵二次函数与轴交于和， ∴对称轴为直线， 又∵，开口向下， ∴当时，随的增大而减小，故②错误； ∵在二次函数上， ∴， 将代入方程， 得，， ∴是方程的根，故③正确； ∵二次函数 ∴对称轴为直线 ∵对称轴为直线， ∴ 整理得， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴，故④正确． 综上，不正确的结论有2个． 3．（2025·安徽蚌埠·三模）如图是直线 （，，是常数且，，），则二次函数 和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数，二次函数，反比例函数的图象和性质，熟练掌握其图象和性质，根据图形确定出、的正负情况是解题的关键．先根据一次函数图象确定出，，即可确定双曲线经过的象限，再根据抛物线对称轴位置进行判断，即可得解． 【详解】 直线的函数图象经过二、三、四象限， ，． ∴， ∴二次函数的对称轴，在轴的左侧，图象在二，四象限，只有A选项符合题意， 故选：A． 4．（2026·浙江杭州· 模拟预测）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小．其中正确的有（     ） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴， ，结论①正确； ②∵抛物线对称轴为直线， ， ． ∵抛物线经过点， ， ，即，结论②正确； ③∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，结论③错误． 综上，正确的有①②，共2个， 故选C． 5．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，抛物线y11与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知，则以下结论： ①两抛物线的顶点关于原点对称； ②； ③； ④． 其中正确结论是（     ） A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据抛物线顶点式确定顶点坐标，利用抛物线的轴对称性求出点的坐标，代入解析式求及、坐标，逐一判断即可． 【详解】解：由得顶点为，由得顶点为(−3,−1)，两点关于原点对称，故①正确； ∵，抛物线对称轴为直线，点、关于直线对称， ∴点A的横坐标为，即，故②错误； 把代入得，解得， ∵抛物线对称轴为直线，点A、C关于直线对称， ∴点C的横坐标为，即，故③正确； 令，则，， ∴，故④错误； 综上所述，正确的结论是①③． 6．（2026· 宁夏吴忠· 模拟预测）当时，二次函数的最大值为________． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，结合自变量的取值范围，利用二次函数的增减性计算得到最大值． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 离对称轴越远，对应的函数值越大， ， 到对称轴的距离最远， 当时，， 即当时，二次函数的最大值为． 7．（2026·江苏无锡·模拟预测）若二次函数的图象开口向上，则直线不经过第______ 象限． 【答案】四 【分析】先根据二次函数的开口方向确定a的取值范围，再利用一次函数的图象与性质判断直线经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∴直线经过第一、二、三象限，即不经过第四象限． 8．（24-25九年级上·重庆永川·阶段检测）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两个点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置确定．利用数形结合的思想是解题的关键．根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①∵图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴图象与x轴的另一个交点为， ∴当时，， ∴，故①错误； ②∵函数开口方向向上， ∴， ∵抛物线与y轴交点在和之间，对称轴为直线， ∴顶点纵坐标要小于， ∴，且， ∴，故②正确； ③∵图象与y轴的交点在和之间， ∴， ∵图象与x轴交于点和， ∴的两根为和3， 由根与系数关系可知：， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵对称轴为直线， ∴， ∵，， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有②③④． 故选：②③④． 9．（25-26九年级上·北京·期末）二次函数（a，b，c为常数，）中，x与y的部分对应值如表： x … 0 3 … y … n 2 n … 若，且点，在该二次函数的图象上，则_______．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】先根据表格中与的函数值相等求出二次函数的对称轴，再结合判断开口方向，通过比较两点到对称轴的距离大小，即可判断与的大小关系． 【详解】解：由表格可知，当和时，y值相等， 因此二次函数的对称轴直线为． 因为， 所以抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小． 点到对称轴直线的距离为，点到对称轴直线的距离为． 因为， 所以． 当时，，则，即． 当时，，则，即． 因此点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，可得． 10．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与：的一个交点为，过点作轴的平行线，分别交这两条抛物线于点、（点在点左侧，点在点右侧）．已知点的横坐标为1，则的长为______． 【答案】 【分析】由两抛物线的解析式确定出两抛物线的对称轴，利用对称性确定出点B与C的横坐标，进而求出的长． 【详解】解：抛物线与的对称轴分别为直线与直线， ∵点A的横坐标为1， ∴点C的横坐标为5，点B的横坐标为， ∴． 11．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求，的值． (2)当时，求的最大值． (3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)6 (3) 【分析】（1）通过待定系数法求解． （2）由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． （3）由抛物线解析式可得时的值为，由（2）中函数最大值可得，再由抛物线的对称性求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得； （2）解：由（1）得， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，时，取最大值， 将代入， 得， 的最大值为6； （3）解：将代入得， 抛物线经过， 抛物线对称轴为直线，抛物线经过，， 在给定取值范围内，函数需要取最大值6，取最小值， 时，符合题意． 12．（2026·浙江温州·三模）已知一个二次函数的图象与x轴的交点分别为，且顶点在函数的图象上． (1)求这个二次函数的顶点坐标和函数表达式． (2)点P在函数的图象上，若点P向左平移n个单位或向右平移个单位都能恰好落在二次函数的图象上，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据已知点的坐标特征先求出二次函数的对称轴，然后，再求出其顶点坐标，接着，设二次函数的表达式为，最后，将顶点坐标代入即可求得二次函数的表达式； （2）根据题意找到点平移后对应的两个点的坐标，再由点平移后的点都能恰好落在二次函数的图象上及二次函数的对称轴，得，解方程即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：由二次函数图象与x轴的交点坐标分别为，可知二次函数图象的对称轴为直线， ∵二次函数图象的顶点在函数的图象上， ∴将代入可得二次函数的顶点坐标为． 根据题意，设二次函数的表达式为， 将代入，得，解得， ∴二次函数的表达式为，即； （2）解：根据题意，设点P的坐标为， 当点向左平移n个单位时，得， 当点向右平移个单位时，得， 均落在二次函数的图象上， ∴，即， 解得． 当时，． ∴点P的坐标为． 13．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 … y … 5 a 0 … (1)_____________； (2)求该二次函数的表达式； (3)y随x的增大而减小时，x的取值范围是_____________． 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】（1）根据表中数据，利用二次函数的对称性质即可求解； （2）利用待定系数法即可求解； （3）将二次函数解析式的顶点式，结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由表格可知，当时，；当时，． 对于二次函数，两点纵坐标相同，则这两点关于对称轴对称， 所以抛物线的对称轴为直线． 因为点和关于直线对称， 所以； （2）解：设二次函数的表达式为， 把代入得， 解得， ∴二次函数的表达式为， 即． （3）解：由（2）知，， 其二次项系数，函数图象开口向上，对称轴直线． 根据二次函数的性质，在对称轴左侧，函数值随自变量的增大而减小， 所以当随的增大而减小时，的取值范围是． 14．（24-25九年级上·广东中山·期中）如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，清求出点的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，，最小值为． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来． 本题中，点与点关于抛物线的对称轴对称，根据“两点之间，线段最短”可知，抛物线的对称轴与直线的交点就是的值最小时点的位置，先求出直线的解析式，再求出点的坐标． 【详解】假设存在点，使得的值最小． ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴与的交点就是使得的值最小的点的位置，如图， ∵， ∴． 令，则，解得，，∴，， 令可得，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为：， 又∵点在抛物线对称轴上，将代入直线的解析式， 得到：， ∴， 又∵， ∴， 即的最小值为． 15．（25-26九年级上·北京东城·期中）如图，已知的顶点，，O是坐标原点，将绕点O按顺时针旋转，得到． (1)写出，两点的坐标； (2)求过，，三点的抛物线的解析式，并求此抛物线顶点的坐标； 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先根据、坐标得出、长度，利用旋转前后三角形全等得、长度，直接写出、坐标即可； （2）已知抛物线与轴两个交点、，设交点式抛物线方程，代入点坐标求出参数，展开化为一般式，再配方成顶点式，直接写出顶点坐标即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵将绕点按顺时针旋转，得到， ∴， ∴，， ∴，； （2）解：∵抛物线过点，， ∴可设抛物线的解析式为， ∵在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； 学科网（北京）股份有限公司 $