专题01 认识三角形 重难点题型专训 -2026-2027学年浙教版八年级数学上册

该初中数学讲义通过系统梳理三角形的4个核心知识点，以框架图呈现概念、重要线段、三边关系及内角和定理的内在联系，突出三角形识别、折叠角度计算等重难点，形成清晰的知识脉络。 讲义亮点在于17大题型分层设计，基础题型如“确定第三边取值范围”强化推理意识，提高题型如“中线与面积综合应用”培养几何直观，配套即时训练和自我检测，助力学生分层提升，为教师精准教学提供有力支持。

专题01 认识三角形重难点题型专训（4个知识点+17大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、三角形的识别与有关概念 1 题型二、三角形的个数问题 2 题型三、与平行线有关的三角形内角和问题 3 题型四、与角平分线有关的三角形内角和问题 4 题型五、三角形折叠中的角度问题 5 题型六、三角形内角和定理的应用 6 题型七、三角形的分类 7 题型八、构成三角形的条件 8 题型九、确定第三边的取值范围 9 题型十、三角形三边关系的应用 10 题型十一、三角形角平分线的定义 11 题型十二、根据三角形中线求长度 12 题型十三、根据三角形中线求面积 13 题型十四、重心的概念 14 题型十五、画三角形的高 15 题型十六、与三角形的高有关的计算问题 16 题型十七、垂心 17 第二部分·练提高题型 题型一、与三角形高、角平分线相关做图问题 1 题型二、与三角形有关的线段综合应用 2 第三部分・自我检测 知识点01 三角形的概念 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 2.基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角. 3.表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）在三边互不相等的三角形中，最长边的长为，最长的中线的长为，最长的高线的长为，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，图中三角形的个数为________；以为边的三角形是____________，以为一个内角的三角形是________；在中，的对边是________． 知识点02 角平分线的定义 ①定义： 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的角平分线。 ②表示： 若射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线，则 ∠AOC = ∠BOC = (1/2)∠AOB。 记作：OC 平分 ∠AOB。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·贵州·阶段检测）三角形的角平分线是（    ） A．直线 B．射线 C．线段 D．以上都对 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，分别是的中线和角平分线，则：____________________；____________________． 知识点03 三角形的三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 理论依据：两点之间，线段最短。 应用技巧： 判断能否构成：只需验证较短两边之和 > 最长边即可。 求第三边范围：已知两边长 a,b ( a>b )，则第三边c的取值范围为a−b<c<a+b 。 三角形的稳定性 性质：当三角形的三边长度固定后，其形状和大小就完全确定，不易变形。 对比：四边形不具有稳定性（易变形），常通过添加对角线构成三角形来增加稳定性（如房屋人字梁、栅栏门斜钉木板、桥梁钢架）。 【即时训练】 1．（25-26八年级上·浙江台州·期末）木工师傅要做一个三角形木架，有两根木条的长度分别为和，则第三根木条的长度可以是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段检测）如图，在中，，将平移6个单位长度得到，M是的中点，则的最大值为______． 知识点04 三角形的重要线段 【即时训练】 1．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图，是的中线，若，，则 与的周长之差为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，是的中线．若，则_____． 【基础题型一 三角形的识别与有关概念】 【例1】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·上海奉贤·期末）在中，已知：，用“>”连接、、应为_______． 1．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段检测）下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在中， ，若的周长为，则______． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）请找出图中的三角形，并分别写出这些三角形的边和角． 【基础题型二 三角形的个数问题】 【例1】（25-26八年级上·河南安阳·期末）图中共有（   ）个三角形． A．5 B．6 C．7 D．8 【例2】（25-26八年级上·广西百色·阶段检测）如图，四边形的对角线，交于点O．如果我们把恰有一条边相同的两个三角形称为一对“共边三角形”，那么图中共有__对“共边三角形”． 1．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，以点为顶点的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·重庆大渡口·期中）如图，图中共有_____个三角形． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，回答下列问题：    (1)写出以为顶点的三角形； (2)写出为内角的三角形； (3)写出以为边的三角形． 【基础题型三 与平行线有关的三角形内角和问题】 【例1】（25-26八年级上·山东泰安·期中）如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直线，则的度数是_______． 1．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如图，直线、，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，点在线段上，，，点在上，若，:，，则_______．    3．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）如图，两面镜子相交于点，当从固定点发出的水平光线经过镜子反射时，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，当两面镜子的夹角为锐角时，反射光线垂直镜面，光线与镜面平行（原题条件可以看成），求的度数； (3)改变两面镜子的夹角，保持反射光线垂直镜面，记与所夹锐角为与所夹锐角为，直线与直线所夹锐角等于； ①如图3，当为锐角时，求的度数； ②当为钝角时，请直接写出的度数． 【基础题型四 与角平分线有关的三角形内角和问题】 【例1】（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，是的角平分线，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）如图，点是的两条角平分线的交点．若，则的度数为________． 1．（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，为边上的高，平分交于点，交于点，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，中，是边上的高，，，是的平分线，则的度数为________． 3．（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）已知，如图，在中，，平分，平分，求的度数． 【基础题型五 三角形折叠中的角度问题】 【例1】（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，点落在处．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·湖南永州·阶段检测）如图，在中，，，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则的度数为________．    1．（24-25八年级上·广西南宁·阶段检测）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，若，，则为（） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，把沿折叠，当点落在四边形内部时，则与，之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律：_____． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）把三角形纸片沿折叠． (1)如图①，当点A落在四边形内部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． (2)如图②，当点A落在四边形外部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． 【基础题型六 三角形内角和定理的应用】 【例1】（2026·辽宁大连·一模）如图，，与相交于点E，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·福建福州·期末）已知的三个内角分别是、、，若，，则________°． 1．（25-26八年级下·重庆秀山·期末）如图，在平行四边形中，连接，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，妍妍在走廊上看到一个“安全出口”标志，她从中抽象出这样一个数学图形，其中，，若，，，则的度数为_________． 3．（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）如图所示，在中，是高，是角平分线且交于点，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【基础题型七 三角形的分类】 【例1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在中，，，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【例2】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知中，，，．则是__________三角形．(填“锐角”“直角”或“钝角”) 1．（25-26八年级上·山东德州·期中）在下列条件：①；②；③；④，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．1个 B．4个 C．3个 D．2个 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，根据图形填空． （1）以为边的三角形是_______； （2）的三个内角是______________，其中的对边是_______； （3）以为一个内角的三角形是______； （4）图中共有_______个三角形． 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．    (1)按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． (2)按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 【基础题型八 构成三角形的条件】 【例1】（25-26八年级上·陕西安康·期末）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例2】（25-26七年级下·山东菏泽·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是_____．（填序号） ①1，2，3         ②2，3，4        ③1，4，2        ④6，2，3 1．（25-26七年级下·广东梅州·期末）如下图，下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）从1，2，3，…，2025中任选k个数，使得所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的k的最小值是______． 3．（25-26八年级上·甘肃陇南·阶段检测）在平面内，分别用相同的3根，5根，6根，……火柴首尾顺次相接，能搭成三角形吗?通过尝试，列表如下： 火柴根数 3 5 6 … 示意图           … 根据以上信息，解答下列问题： (1)4根火柴能搭成三角形吗? (2)12根火柴能搭成几种不同形状的三角形?请画出它们的示意图． 【基础题型九 确定第三边的取值范围】 【例1】（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）小明用长度分别为3，a，7的三根木棒首尾相接组成一个三角形，则a的值可能是（     ） A．4 B．6 C．10 D．12 【例2】（25-26八年级上·北京密云·期末）一个三角形的两边长分别为5和9，其第三边的长度可以是__________（写出一个即可）． 1．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示，若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ） A．3 B．3或4 C．4或5 D．6 2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）三角形的三条边分别为2，4，，则第三边长的范围是______． 3．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知的三边长分别是，，． (1)求的取值范围； (2)若三角形的周长是大于的正整数，求的值； 【基础题型十 三角形三边关系的应用】 【例1】 （25-26七年级下·辽宁阜新·期末）由三条线段，，可以组成一个三角形，其中，，那么的长度可以是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·山西临汾·期末）已知一个三角形的两边长分别为3和5，若第三边的长为偶数，则第三边的长可以为_____________（写出一个即可）． 1．（25-26七年级下·山东潍坊·期末）如图，小亮在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的长可能是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河北张家口·二模）如图，甲、乙二人分别从地前往地，若A，B两地之间的距离为7千米，甲行走的路线为11千米．若乙行走的路线为整数千米，则乙行走的路线可能为__________千米．（写出一个合理的答案即可） 3．（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，在中，，． (1)求周长的取值范围； (2)已知是的中线，若的周长为，求的周长． 【基础题型十一 三角形角平分线的定义】 【例1】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图所示，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 【例2】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）下列叙述： ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形； ③三角形的三条高交于一点； 其中正确的是______．（把正确的序号填在横线上） 1．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，分别是BC边上的高线、角平分线、中线，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，平分，于点，交于点．若，则________ 用含的式子表示． 3．（25-26七年级下·四川广安·期末）填充证明过程和理由： 已知：如图，平分，求证：． 证明：， ____________（同位角相等，两直线平行） （______________________） ____________（同角的补角相等）． 又平分 （角平分线的定义）． ____________（等量代换） ∴（______________________） 【基础题型十二 根据三角形中线求长度】 【例1】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，为的中线，则与的周长之差为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为_________． 1．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．角平分线、中线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 2．（25-26七年级下·北京·期末）如图，在中，为边上的中线． （1）若的周长比的周长大4，，则___________； （2）若的面积为17，则的面积为___________； （3）若，，则的面积的最大值为___________． 3．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是__________； (2)若的周长为30，求的周长． 【基础题型十三 根据三角形中线求面积】 【例1】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，是中边上的中线，、分别是、的中点，若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·河北邯郸·期末）如图，是的中线，若的面积为，则的面积为__________． 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，的两条中线、相交于点，已知的面积为，的面积为，则阴影部分（四边形）的面积为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为16，（阴影部分）的面积为________． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，分别是的中线和高，平分交于点E． (1)若，，求的度数； (2)若，的面积是42，求的面积． 【基础题型十四 重心的概念】 【例1】（25-26七年级下·河南郑州·期中）用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（   ） A．到三个顶点距离相等的点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 【例2】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在线段________上． 1．（25-26八年级上·福建厦门·期末）平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，点是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________． 3．（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图，，，分别为四边形的边，，的中点，求作边的中点．要求：仅能使用无刻度直尺，不能使用圆规，请保留作图痕迹，并写出作图方法． 【基础题型十五 画三角形的高】 【例1】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，中，是边上高的线段为（     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【例2】（25-26七年级下·云南曲靖·期末）如图，在中，，则边上的高是___________． 1．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，点是上一点，，垂足为，点是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（     ） A．线段是中边上的高 B．线段是中边上的高 C．线段是中边上的高 D．线段是中边上的高 2．（25-26八年级下·全国·课前预习）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形这边的高，简称_________．如图，线段______是BC边上的高． 3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）图①、图②都是的正方形网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．的三个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图①中画的中线． (2)在图②中画的高． 【基础题型十六 与三角形的高有关的计算问题】 【例1】（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在中，，，，，点是线段上的一个动点，则线段的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 【例2】（25-26七年级下·山西临汾·期末）在中，，是的高，，则__________． 1．（25-26七年级下·河南驻马店·期末）如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D．7 2．（25-26七年级下·湖南株洲·期末）如图，在直角三角形中，，，，，，若点到的距离是，则与之间的距离是__________． 3．（2026八年级上·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，的高和的比是多少？ 【基础题型十七 垂心】 【例1】（24-25八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，在中，，，垂足分别为，，与交于点，连接并延长交于点若，，，则（  ）    A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，CD与BE相交于O点，连接AO并延长交BC于点F．则∠AFC的度数为_______． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）三角形三条高的交点一定在　　 A．三角形内部 B．三角形外部 C．三角形内部或外部 D．以上说法都不完整 2．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，的两条高，相交于点．连接并延长交于点，若，，，则______． 3．（24-25八年级上·江西上饶·期末）请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图1，在中，D，E分别为边的中点，请作出边的中点； (2)如图2，在中，，是边的中点，于点，请过点作边的垂线． 【提高题型一 与三角形高、角平分线相关做图问题】 【例1】（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）如图，在△中，，为的中点，延长交于．于，交于．下列说法：①线段是的角平分线；②线段是△的边上的高；③是的中线；④△与的面积相等；⑤．其中正确的有______ （填序号）． 1．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，中边上的高是（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）若具有以下条件或关系式：①；②；③的三条高的交点恰在顶点处；④与的角平分线交于点，且．其中能得到的条件或关系式是_____________．（填序号）． 3．（25-26七年级下·辽宁·期中）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（小正方形的顶点）上，请利用格点解决下列问题： (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)过点作线段且； (4)线段，则点到直线的距离为___________个单位长度． 【提高题型二 与三角形有关的线段综合应用】 【例1】（2026·甘肃兰州·一模）如图，在四边形草坪内选取一点修建凉亭，并用小路将其与，，，四个顶点相连接，要使它到四边形四个顶点的距离之和最小，则凉亭修建地点一定在（    ） A．线段与的交点 B．线段的中点 C．线段的中点 D．四边形草坪内任意一点 【例2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，是边上的中线，点在线段上，且，线段与线段相交于点，若的面积为3，则四边形的面积为______． 1．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段检测）如图，在中，，，，，点是线段上一点，则线段的长度不可能是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，点在边上，连接，点为线段的中点，连接，点为线段的中点，连接、，若的面积等于，则阴影部分的面积等于______． 3．（25-26八年级上·全国·阶段检测）已知两条线段a、b，其长度分别为与．另有长度分别为的5条线段，其中能够与线段a、b一起组成三角形的有哪几条？ 1．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，称有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，则图中的共边三角形有（    ）对． A．8 B．16 C．24 D．32 2．（25-26八年级上·全国·周测）王老师有长度分别为的两根小棒（如图）．如果要把其中的一根剪成两段，那么下面剪法中，3根小棒一定能围成三角形的是（   ） A．将长为的小棒正中间剪一刀 B．将长为的小棒正中间剪一刀 C．将长为的小棒任意剪一刀 D．将长为的小棒任意剪一刀 3．（2026·贵州黔南·一模）如图，在中，若，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽·模拟预测）两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，和是的中线，则以下结论：①；②是的重心；③与面积相等；④过的直线平分线段；⑤；⑥，其中正确的结论有（    ）    A．①②③⑤ B．①②③④ C．②③⑥ D．①②⑤⑥ 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示的多边形被分割成了______________个三角形． 7．（25-26七年级下·广东揭阳·期末）小朦同学从五根长为，，，，的木条中挑选三根组成三角形，她已经取了和两根木棍，那么第三根木棍不可能取_____． 8．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在△中，点是内部的平分线上一点，连接，点是、平分线的交点，若，则的度数为___ °． 9．（25-26八年级上·湖北恩施·阶段检测）如图，和是分别沿着边翻折形成的，若，与交于点，则______． 10．（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图，四边形中，，交于点，已知点是的中点，，则____________． 11．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）在中，． (1)求、、； (2)确定的形状．（属于什么类型的三角形） 12．（24-25八年级上·四川自贡·期中）如图，在中，于D，平分． (1)若，，求的度数． (2)若，则______． (3)若，求的度数．（用含的代数式表示） 13．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）点为内一点，连接，，，，的平分线交于点．      (1)如图1，当三点共线时，若，直接写出的度数是_________； (2)如图2，若，求； (3)直接写出之间的数量关系是_________． 14．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，正方形网格中，每一格表示1个单位长度．用无刻度直尺作图：    (1)①作边上的高； ② 在边上找一点E，连接，使和的面积相等； ③ 作格点（点P不与点A重合），使； (2)图中与全等的格点三角形（不包括）可作出_________个． 15．（25-26七年级下·四川资阳·期末）综合实践： 定义：三角形三条中线的交点叫三角形的重心． 发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处悬吊起来，发现纸板处于水平状态． 探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？ (1)如图②，是的中线，则与的面积关系为：_______（填>、<或=）； (2)如图③，点是的重心，猜想与的面积之间的关系，并说明理由； (3)如图③，点是的重心，三条中线、、分别交、、于点、、，求的值； (4)如图④，点是的重心，且，若，，求四边形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 认识三角形重难点题型专训（4个知识点+17大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、三角形的识别与有关概念 1 题型二、三角形的个数问题 2 题型三、与平行线有关的三角形内角和问题 3 题型四、与角平分线有关的三角形内角和问题 4 题型五、三角形折叠中的角度问题 5 题型六、三角形内角和定理的应用 6 题型七、三角形的分类 7 题型八、构成三角形的条件 8 题型九、确定第三边的取值范围 9 题型十、三角形三边关系的应用 10 题型十一、三角形角平分线的定义 11 题型十二、根据三角形中线求长度 12 题型十三、根据三角形中线求面积 13 题型十四、重心的概念 14 题型十五、画三角形的高 15 题型十六、与三角形的高有关的计算问题 16 题型十七、垂心 17 第二部分·练提高题型 题型一、与三角形高、角平分线相关做图问题 1 题型二、与三角形有关的线段综合应用 2 第三部分・自我检测 知识点01 三角形的概念 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 2.基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角. 3.表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）在三边互不相等的三角形中，最长边的长为，最长的中线的长为，最长的高线的长为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出图形，高为顶点到对应边的最短线段，中线在三角形内，由此可解． 【详解】解：如图，   中，，E为的中点，为边的高， 则是最长的边， 是最长的中线，是最长的高， 由图可知， 因此． 故选A． 【点睛】本题考查与三角形有关的线段，根据题意画出示意图是解题的关键． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，图中三角形的个数为________；以为边的三角形是____________，以为一个内角的三角形是________；在中，的对边是________． 【答案】 ，， ，， 【分析】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的相关概念． 根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形可得图中三角形的个数；根据组成三角形的线段叫做三角形的边；根据相邻两边组成的角叫做三角形的内角进行分析． 【详解】图中的三角形有、、、、、，共个；以为边的三角形有、、，以为一个内角的三角形是、、；中的对边是 故答案为：；；；． 知识点02 角平分线的定义 ①定义： 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的角平分线。 ②表示： 若射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线，则 ∠AOC = ∠BOC = (1/2)∠AOB。 记作：OC 平分 ∠AOB。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·贵州·阶段检测）三角形的角平分线是（    ） A．直线 B．射线 C．线段 D．以上都对 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线的定义，线段与直线都没有方向性，而射线具有方向性；线段有两个端点，可以度量，而射线和直线都无法度量．根据三角形角平分线的定义求解即可． 【详解】解：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线， ∴三角形的角平分线是线段． 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，分别是的中线和角平分线，则：____________________；____________________． 【答案】 【分析】根据，分别是的中线和角平分线，得到为线段的中点，平分，进行作答即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴是线段的中点， ∴， ∵是的角平分线， ∴平分， ∴； 故答案为：，，，． 【点睛】本题考查三角形的中线和角平分线的定义．熟练掌握三角形的中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段，三角形的一个角的平分线与这个内角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线，是解题的关键． 知识点03 三角形的三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 理论依据：两点之间，线段最短。 应用技巧： 判断能否构成：只需验证较短两边之和 > 最长边即可。 求第三边范围：已知两边长 a,b ( a>b )，则第三边c的取值范围为a−b<c<a+b 。 三角形的稳定性 性质：当三角形的三边长度固定后，其形状和大小就完全确定，不易变形。 对比：四边形不具有稳定性（易变形），常通过添加对角线构成三角形来增加稳定性（如房屋人字梁、栅栏门斜钉木板、桥梁钢架）。 【即时训练】 1．（25-26八年级上·浙江台州·期末）木工师傅要做一个三角形木架，有两根木条的长度分别为和，则第三根木条的长度可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，设第三根木条的长度为，根据三角形的三边关系求出的取值范围，进而即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：设第三根木条的长度为，由题意得： 满足：，即， 选项符合题意， 故选：． 2．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段检测）如图，在中，，将平移6个单位长度得到，M是的中点，则的最大值为______． 【答案】10 【分析】如图，连接，根据题意得到，，然后根据三角形三边关系求解． 【详解】解：如图，连接， 由平移得， 因为点M是的中点， 所以， 因为 所以当点A在上时，取得最大值，即的长度， 因为 所以的最大值为10． 知识点04 三角形的重要线段 【即时训练】 1．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图，是的中线，若，，则 与的周长之差为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，根据三角形中线的定义得出，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴周长差∶ ， 故选：B． 2．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，是的中线．若，则_____． 【答案】 【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴． 【基础题型一 三角形的识别与有关概念】 【例1】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形定义，熟记三角形对边对角定义是解决问题的关键． 根据三角形中边的对角定义，一条边的对角是与该边不相邻的角． 【详解】解：如图所示： ∴边的对角是， 故选：D． 【例2】（25-26七年级下·上海奉贤·期末）在中，已知：，用“>”连接、、应为_______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的边角关系，利用三角形中大边对大角的性质，确定各边对应的对角，即可比较三个角的大小． 【详解】解：在任意三角形中，大边对大角，在中，边的对角为，边的对角为，边的对角为， ， ． 1．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段检测）下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾依次相连所组成的图形叫做三角形，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，只有A选项中的图形是三角形， 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在中， ，若的周长为，则______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的周长，根据的周长减去可得结论． 【详解】解：根据题意得， ∵， ∴， 故答案为：18． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）请找出图中的三角形，并分别写出这些三角形的边和角． 【答案】 图中三角形有：、、、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 【分析】本题考查三角形的知识，掌握三角形的有关概念是解题的关键．三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；三条线段是三角形的边，两条线段构成的角是三角形的内角，据此即可得到答案． 【详解】略 【基础题型二 三角形的个数问题】 【例1】（25-26八年级上·河南安阳·期末）图中共有（   ）个三角形． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义，熟练掌握相关知识是关键． 不在同一直线上的三个点可以确定一个三角形，使用列举法即可． 【详解】解：如图， 图中三角形为、、、、、共个． 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·广西百色·阶段检测）如图，四边形的对角线，交于点O．如果我们把恰有一条边相同的两个三角形称为一对“共边三角形”，那么图中共有__对“共边三角形”． 【答案】18 【分析】本题考查了三角形，理解“共边三角形”的定义是解题关键．根据“共边三角形”的定义解答即可得． 【详解】解：以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 所以图中共有“共边三角形”的对数为（对）， 故答案为：18． 1．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，以点为顶点的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定义即可解答． 【详解】解：以点为顶点的三角形有，，共2个． 故选：B． 2．（24-25八年级上·重庆大渡口·期中）如图，图中共有_____个三角形． 【答案】116 【分析】本题考查组合图形的计数问题，分别找出最小三角形的个数，4个小三角形组成的三角形的个数，9个小三角形组成的三角形的个数，以及16个小三角形组成的三角形的个数，相加即可． 【详解】解：图中1个小三角形个数为：． 4个小三角形组成的三角形的个数为：， 9个小三角形组成的三角形的个数为：， 16个小三角形组成的三角形的个数为：， 所以图中三角形的个数为：， 故答案为：116． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，回答下列问题：    (1)写出以为顶点的三角形； (2)写出为内角的三角形； (3)写出以为边的三角形． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接写出以为顶点的三角形即可； （2）直接写出以为内角的三角形即可； （3）直接写出以为边的三角形即可． 【详解】（1）解：以为顶点的三角形有：． （2）解：以为内角的三角形有：． （3）解：以为边的三角形有：． 【点睛】本题主要考查了三角形的定义、三角形的顶点、内角、边等知识点，理解三角形的定义是解答本题的关键． 【基础题型三 与平行线有关的三角形内角和问题】 【例1】（25-26八年级上·山东泰安·期中）如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理. 先求出，再根据三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直线，则的度数是_______． 【答案】39° 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，求出是解题的关键. 【详解】解：， . 在中, , , , =. 故答案为： ． 1．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如图，直线、，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质可得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：∵直线、， ∴， ∵，， ∴． 2．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，点在线段上，，，点在上，若，:，，则_______．    【答案】/度 【分析】根据题意及平行线的判定与性质推出，设，则，，根据三角形内角和定理、三角形外角性质推出，据此求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ：：， 设则， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 3．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）如图，两面镜子相交于点，当从固定点发出的水平光线经过镜子反射时，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，当两面镜子的夹角为锐角时，反射光线垂直镜面，光线与镜面平行（原题条件可以看成），求的度数； (3)改变两面镜子的夹角，保持反射光线垂直镜面，记与所夹锐角为与所夹锐角为，直线与直线所夹锐角等于； ①如图3，当为锐角时，求的度数； ②当为钝角时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)①，；② 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理， （1）首先得到，然后根据平行线的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可； （2）设，表示出，然后在中，根据两锐角互余得到，进而求解即可； （3）①设，根据题意得到①，②，联立求解即可； ②与①同理的方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， 在中，； （2）解：设， ， ， ， ； ， ， 在中，， ， ． （3）解：①如图3，设，则， ， ， ， ， 即①， ， ， ， 又， 即②， 由①，②解得：， ，． ②与①同理可得，． 【基础题型四 与角平分线有关的三角形内角和问题】 【例1】（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，是的角平分线，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 【例2】（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）如图，点是的两条角平分线的交点．若，则的度数为________． 【答案】/124度 【分析】由题意易得，然后根据三角形内角和进行求解即可． 【详解】解：∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 1．（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，为边上的高，平分交于点，交于点，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，先求出的度数，再根据角平分线求出的度数，根据高线，求出的度数，由此得出的大小． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，中，是边上的高，，，是的平分线，则的度数为________． 【答案】 【分析】先根据角的和差关系求出的度数，再在中，利用三角形的内角和定理求出，结合角平分线的定义求出，最后根据三角形的内角和定理求解． 【详解】解：，， ∴， ∵是边上的高， ， ， 是的平分线， ， ∴, ∴． 3．（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）已知，如图，在中，，平分，平分，求的度数． 【答案】 【分析】先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线定义求出，最后根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】解： ， 平分，CP平分， ， ， ． 【基础题型五 三角形折叠中的角度问题】 【例1】（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，点落在处．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质得出 ，再根据平角的性质求出 ，利用角度的和差关系计算即可． 【详解】解：折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 【例2】（25-26八年级上·湖南永州·阶段检测）如图，在中，，，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则的度数为________．    【答案】/20度 【分析】根据三角形的内角和定理可得，再由折叠的性质可得，，即可求解． 【详解】解：，， ， 将点A与点B分别沿和折叠，使点A、B与点C重合， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 1．（24-25八年级上·广西南宁·阶段检测）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，若，，则为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由折叠可知，，，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由折叠可知，,, ∵，， ∴， ， ∴, 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，把沿折叠，当点落在四边形内部时，则与，之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律：_____． 【答案】 【分析】由折叠的性质可得，由平角的定义可推出，由三角形内角和定理可得，据此可得，即． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）把三角形纸片沿折叠． (1)如图①，当点A落在四边形内部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． (2)如图②，当点A落在四边形外部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． 【答案】(1) ，理由如下： 如图， 根据翻折以及平角的意义可得，，， ， ， 整理得，； (2) ，理由如下： 如图： 根据翻折以及平角的意义可得，，， ， ， 整理得，． 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键． （1）根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 【基础题型六 三角形内角和定理的应用】 【例1】（2026·辽宁大连·一模）如图，，与相交于点E，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和定理求出，再由平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵， ∴． 【例2】（25-26七年级下·福建福州·期末）已知的三个内角分别是、、，若，，则________°． 【答案】 80 【详解】解：∵三角形内角和为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 1．（25-26八年级下·重庆秀山·期末）如图，在平行四边形中，连接，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得到，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴． 2．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，妍妍在走廊上看到一个“安全出口”标志，她从中抽象出这样一个数学图形，其中，，若，，，则的度数为_________． 【答案】/80度 【分析】由得，再由三角形内角和为可得，由，得，即可求解． 【详解】解：延长交于点， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴． 3．（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）如图所示，在中，是高，是角平分线且交于点，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理求得，再利用垂直的定义结合三角形的内角和即可得到结论； （2）根据三角形的内角和和角平分线的定义以及三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， 又∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴， ∴． 【基础题型七 三角形的分类】 【例1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在中，，，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】A 【分析】此题考查了三角形内角和定理，三角形的分类，熟练掌握三角形内角和为是解题的关键．根据三角形内角和为求解出，再根据三角形的分类即可解答． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， ∴是锐角三角形． 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知中，，，．则是__________三角形．(填“锐角”“直角”或“钝角”) 【答案】直角 【分析】本题考查了三角形的分类：按照边分类可分为三边均不等三角形和等腰三角形，按照角分类可分为锐角三角形，直角三角形和钝角三角形，根据三角形三个角的度数即可判断． 【详解】解：已知中，，，． 则是直角三角形， 故答案为：直角． 1．（25-26八年级上·山东德州·期中）在下列条件：①；②；③；④，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．1个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】此题主要考查了直角三角形的判定，关键是掌握三角形内角和为．利用三角形内角和定理，判断每个条件是否能使三角形有一个角为． 【详解】解：①，则，是直角三角形； ②：：：：，则，，由三角形内角和定理，得，解得，，于是有，是直角三角形； ③，则由三角形内角和定理，得，解得，，则，不是直角三角形； ④，不是直角三角形，是等边三角形， 能确定是直角三角形的条件有个， 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，根据图形填空． （1）以为边的三角形是_______； （2）的三个内角是______________，其中的对边是_______； （3）以为一个内角的三角形是______； （4）图中共有_______个三角形． 【答案】 6 【分析】本题主要考查三角形的定义，熟练掌握三角形的角，边是解题的关键．根据三角形的角，边定义进行求解即可． 【详解】解：以为边的三角形是； 的三个内角是；其中的对边是； 以为一个内角的三角形是； 图中共有，个三角形； 故答案为：；；；；； 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．    (1)按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． (2)按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类标准是解题的关键：主要有两种分类标准，一是按角分类，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；二是按边分类，分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形． （1）由三角形的分类（按边分类）即可直接得出答案； （2）由三角形的分类（按角分类）即可直接得出答案． 【详解】（1）解：按边分类，由图可知： 三边均不相等的是不等边三角形， 两条边相等的是等腰三角形， 三条边相等的是等边三角形， 故答案为：，，； （2）解：按角分类，由图可知： 都是锐角的是锐角三角形， 有直角的是直角三角形， 有钝角的是钝角三角形， 故答案为：，，． 【基础题型八 构成三角形的条件】 【例1】（25-26八年级上·陕西安康·期末）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、，不满足三角形三边关系，故不能组成三角形，不符合题意； B、，满足三角形三边关系，故能组成三角形，符合题意； C、，不满足三角形三边关系，故不能组成三角形，不符合题意； D、，不满足三角形三边关系，故不能组成三角形，不符合题意． 【例2】（25-26七年级下·山东菏泽·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是_____．（填序号） ①1，2，3         ②2，3，4        ③1，4，2        ④6，2，3 【答案】② 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：∵，∴不能组成三角形， ∵，∴2，3，4能组成三角形， ∵，∴1，4，2不能组成三角形， ∵，∴6，2，3不能组成三角形， 故答案为：②． 1．（25-26七年级下·广东梅州·期末）如下图，下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边． 若将一根小棒剪成两段，这两段之和等于原小棒长度． 若原小棒长度小于另一根小棒长度，则两段之和小于第三边，无法围成三角形． 【详解】解： A选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之差比下面那根小棒还长，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意； B选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和与上面那根小棒长度相等，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意． C选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比下面那根小棒短，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意； D选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比上面那根小棒长，这两段之差比上面那根小棒短，符合三角形的三边关系，可以围成三角形，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）从1，2，3，…，2025中任选k个数，使得所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的k的最小值是______． 【答案】17 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，三角形的两边之和大于第三边，首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数，我们就要考虑从这2025个数中选一组数，使这一组数中任意两个小数之和都不大于大数，则选出的数要满足每一个数都等于它前面两个数之和，在，，，，中最多可以选出个数，如果再增加一个数则一定有可以构成三角形边长的三个数，所以满足条件的的最小值是． 【详解】解：首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 即这个数中任意两个小的数之和都不大于大的数， 则这个数分别为：、、、、、、、、、、、、、、、， 即每一个数都等于它前面两个数之和， 则这一组数中任意选出三个数一定有两个小的数之和不大于大的数， 这一组数中任意选出三个数都不能构成三角形三边长， ， 如果从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 则， 如果从，，，，中任意再选一个数加入这个数列中，则这个数列中一定可以找到能构成三角形三边长的三个数， 满足条件的的最小值是， 故答案为：17． 3．（25-26八年级上·甘肃陇南·阶段检测）在平面内，分别用相同的3根，5根，6根，……火柴首尾顺次相接，能搭成三角形吗?通过尝试，列表如下： 火柴根数 3 5 6 … 示意图           … 根据以上信息，解答下列问题： (1)4根火柴能搭成三角形吗? (2)12根火柴能搭成几种不同形状的三角形?请画出它们的示意图． 【答案】(1)4根火柴不能搭成三角形 (2)12根火柴能搭成三种不同的三角形， 示意图如下： 【分析】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系为解题关键． （1）把4分成3个正整数，只能分成1，1，2，再根据三角形的三边关系进行分析； （2）12进行合理分解，得到的三条线段应能组成三角形，进而画出示意图． 【详解】（1）解：把4分成3个数只能分成1，1，2三个数，而， 根火柴不能搭成三角形； （2）12根火柴能搭成三种不同的三角形， 第一种边长分别为：4，4，4； 第二种边长分别为：5，5，2； 第三种边长分别为：3，4，5； 【基础题型九 确定第三边的取值范围】 【例1】（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）小明用长度分别为3，a，7的三根木棒首尾相接组成一个三角形，则a的值可能是（     ） A．4 B．6 C．10 D．12 【答案】B 【详解】解：由题意，，即， 故a的值可能是6． 【例2】（25-26八年级上·北京密云·期末）一个三角形的两边长分别为5和9，其第三边的长度可以是__________（写出一个即可）． 【答案】5（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题关键．根据三角形三边关系可求得第三边的取值范围是大于4，小于14，即可解答． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为5和9， ∴第三边的取值范围是大于，小于， ∴第三边的长可以是5． 故答案为：5（答案不唯一）． 1．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示，若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ） A．3 B．3或4 C．4或5 D．6 【答案】C 【分析】设第三根小棒的长度是x，由三角形的三边关系可得，再由图中挡板高度进一步确定，然后结合选项即可解答． 【详解】解：由图可知，一根小棒的长度为10，另一根小棒的长度为7， 设第三根小棒的长度是x， 若三根小棒可以围成三角形，则由三角形三边关系可知，即， 由图中挡板高度为5，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5，即C选项符合题意． 2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）三角形的三条边分别为2，4，，则第三边长的范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的三边关系． 根据三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求得范围． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知的三边长分别是，，． (1)求的取值范围； (2)若三角形的周长是大于的正整数，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形三边关系； （1）根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列不等式求解即可； （2）根据题意，确定的取值范围，根据周长大于，进而求解的值． 【详解】（1）解：根据题意得： 的取值范围为：； （2）解： 、、、、 ∵三角形的周长是大于的正整数， ∴当时，三角形的周长为； 的值是； 【基础题型十 三角形三边关系的应用】 【例1】 （25-26七年级下·辽宁阜新·期末）由三条线段，，可以组成一个三角形，其中，，那么的长度可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，再匹配选项得到答案． 【详解】解：，， ，解得， 观察选项，只有在此范围内． 【例2】（25-26七年级下·山西临汾·期末）已知一个三角形的两边长分别为3和5，若第三边的长为偶数，则第三边的长可以为_____________（写出一个即可）． 【答案】 （或，写出任意一个即可） 【分析】根据三角形三边关系，确定第三边的取值范围，再结合第三边长为偶数的条件，即可得到符合要求的第三边长. 【详解】解：设三角形第三边长为， 根据三角形三边关系可得 ， 解得 ， 第三边的长为偶数， 或. 1．（25-26七年级下·山东潍坊·期末）如图，小亮在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的长可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系即可解答． 【详解】解：在 中，由三角形的三边关系可知： ， ，即 ， 观察各选项，只有 在此范围内． 2．（2026·河北张家口·二模）如图，甲、乙二人分别从地前往地，若A，B两地之间的距离为7千米，甲行走的路线为11千米．若乙行走的路线为整数千米，则乙行走的路线可能为__________千米．（写出一个合理的答案即可） 【答案】8（答案不唯一） 【分析】设乙走的路程为x千米，根据题意，得，且x是整数，求解即可； 【详解】解：设乙走的路程为x千米，根据题意，得，且x是整数， 故乙走的路程是8千米或9千米或10千米； 3．（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，在中，，． (1)求周长的取值范围； (2)已知是的中线，若的周长为，求的周长． 【答案】(1) (2)17 【分析】（1）根据三角形的三边关系解答即可； （2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵，． ∴， ∴， ∴ 即． （2）解：∵是的中线， ∴， 的周长为10， ∴， ∵， ∴ 的周长 【基础题型十一 三角形角平分线的定义】 【例1】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图所示，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 【答案】D 【分析】利用三角形角平分线的定义即可分析． 【详解】解：A、由，得是的角平分线，故本选项正确，不符合题意； B、由得：是的角平分线，故本选项正确，不符合题意； C、由得：，故本选项正确，不符合题意； D、由得：是的角平分线，故本选项错误，符合题意； 【例2】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）下列叙述： ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形； ③三角形的三条高交于一点； 其中正确的是______．（把正确的序号填在横线上） 【答案】② 【分析】分别根据三角形中线、角平分线和高线的定义判断即可． 【详解】解：①三角形的中线、角平分线都是线段，原说法错误； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，说法正确； ③三角形的三条高所在直线交于一点，原说法错误； 故答案为：②． 【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、角平分线、中线和高，熟记定义即可作出正确的判断，属于基础题． 1．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，分别是BC边上的高线、角平分线、中线，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的面积、三角形的角平分线、中线和高等知识点，掌握三角形的高线、角平分线、中线的定义及三角形面积公式是解题的关键． 分别根据三角形的高线、角平分线、中线的定义及三角形面积公式判断即可． 【详解】解：是上的高线， ， 正确，不符合题意； 是的平分线， ， 错误，符合题意； 是上的中线， ， ， 正确，不符合题意． 故选：B． 2．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，平分，于点，交于点．若，则________ 用含的式子表示． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义、垂线的定义、平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，最后利用求解即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ． 3．（25-26七年级下·四川广安·期末）填充证明过程和理由： 已知：如图，平分，求证：． 证明：， ____________（同位角相等，两直线平行） （______________________） ____________（同角的补角相等）． 又平分 （角平分线的定义）． ____________（等量代换） ∴（______________________） 【答案】；两直线平行，同旁内角互补；；；内错角相等，两直线平行． 【分析】先证明，由平行线的性质得出，结合已知条件得出，由角平分线的定义以及等量代换得出，即可得出． 【详解】略 【基础题型十二 根据三角形中线求长度】 【例1】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，为的中线，则与的周长之差为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的中线的定义，结合三角形的周长公式，得到与的周长之差为，即可得出结果. 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∴与的周长之差为 ； ∵，， ∴周长之差为. 【例2】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为_________． 【答案】20 【分析】根据三角形的中线及周长公式可进行求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长为18，， ∴，即， ∴， ∵， ∴的周长为． 1．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．角平分线、中线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 【答案】B 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键．再根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， 是的角平分线； 由图2得，， ， 即， ， 是的高线； 由图3得，， 是的中线； 综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 2．（25-26七年级下·北京·期末）如图，在中，为边上的中线． （1）若的周长比的周长大4，，则___________； （2）若的面积为17，则的面积为___________； （3）若，，则的面积的最大值为___________． 【答案】 5 12 【分析】（1）先得出，再根据三角形的周长公式可得，与联立求解即可； （2）根据三角形的中线性质即可得； （3）过点作于点，先求出的面积为，再根据垂线段最短求出的最大值即可． 【详解】解：（1）∵在中，为边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长大4， ∴， ∴，即， ∵， ∴联立， 解得． （2）∵在中，为边上的中线，且的面积为17， ∴． （3）如图，过点作于点， ∵， ∴的面积为， ∴要使得的面积最大，则需的值最大， 由垂线段最短可知，（当且仅当点重合时，等号成立）， ∵， ∴， ∴的最大值为4， ∴的面积的最大值为． 3．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是__________； (2)若的周长为30，求的周长． 【答案】(1) (2)27 【分析】（1）直接根据三角形的三边关系进行求解即可； （2）根据的周长求出的长，进而得到的长，再根据三角形的周长公式进行求解即可. 【详解】（1）解：∵中，，， ∴，即； （2）解：∵的周长为30，， ∴， ∴， ∵是的边上的中线， ∴， ∴， ∴的周长. 【基础题型十三 根据三角形中线求面积】 【例1】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，是中边上的中线，、分别是、的中点，若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可． 【详解】解：∵是中边上的中线，的面积为， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， ∵点F是线段的中点， ∴． 【例2】（25-26七年级下·河北邯郸·期末）如图，是的中线，若的面积为，则的面积为__________． 【答案】 【分析】根据三角形的中线的定义，可知三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，从而可得：． 【详解】解：是的中线， ， ， ． 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，的两条中线、相交于点，已知的面积为，的面积为，则阴影部分（四边形）的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形的中线平分三角形的面积求解． 【详解】解：∵的面积为，的面积为， ∴， ∵、分别是的两条中线， ∴，， ∴，， ∴． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为16，（阴影部分）的面积为________． 【答案】2 【分析】根据三角形的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形进行求解即可． 【详解】解：∵的面积为16，点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， 即（阴影部分）的面积为． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，分别是的中线和高，平分交于点E． (1)若，，求的度数； (2)若，的面积是42，求的面积． 【答案】(1) (2)24 【分析】（1）先求出的度数，再求出的度数，然后利用三角形的内角和定理求解即可； （2）先求出的面积，再得出，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵是的中线，的面积是42， ∴， ∵的边上的高与的边上的高相等，且， ∴， 又∵， ∴， 即的面积为24． 【基础题型十四 重心的概念】 【例1】（25-26七年级下·河南郑州·期中）用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（   ） A．到三个顶点距离相等的点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】B 【分析】匀质薄板保持平衡的支点为三角形的重心，明确三角形不同特殊点的定义即可解答. 【详解】解：∵ 匀质三角形薄板平衡时支点对应三角形的重心，三角形重心是三条中线的交点， ∴ 这个支点一定是三角形三条中线的交点. 【例2】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在线段________上． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形重心的概念，掌握重心是三角形中线的交点是关键． 根据网格结构判断出点D是边的中点，从而确定是的中线，进而得出重心的位置． 【详解】解：由图可知，点在边上，且点到点、点的水平距离均为2个单位长度，垂直距离均为1个单位长度， ，即点是边的中点， 是的中线， 三角形三条中线的交点是三角形的重心， 的重心在线段上． 1．（25-26八年级上·福建厦门·期末）平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查重心． 根据重心的概念，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．由作图可知，为三角形的一条中线所在的直线，重心一定在直线上，不符合题意； B．为三角形的一条高所在的直线，重心不一定在直线上，符合题意； C．组合图形关于直线对称，重心一定在直线上，不符合题意； D．点为正方形的重心，点为长方形的重心，重心一定在直线上，不符合题意． 故选：B． 2．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，点是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________． 【答案】8 【分析】根据三角形重心的定义可知是的中线，再利用三角形中线的性质即可求解． 【详解】解：∵点是的重心， ∴是的中线， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴，，， ∴阴影部分的面积之和． 3．（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图，，，分别为四边形的边，，的中点，求作边的中点．要求：仅能使用无刻度直尺，不能使用圆规，请保留作图痕迹，并写出作图方法． 【答案】解：如图，点Q即为所求作的边的中点． 连接，相交于点H，连接并延长交于点O，则O是的中点． 连接，相交于点K，连接并延长交于点Q，则Q是的中点． 【详解】略 【基础题型十五 画三角形的高】 【例1】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，中，是边上高的线段为（     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】C 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边（或对边的延长线）作垂线，顶点和垂足之间的线段就叫做这条边上的高求解即可． 【详解】解：A，是的边上的高； B，是的边上的高； C，是中边上高； D，不是图中任何线段上的垂线． 【例2】（25-26七年级下·云南曲靖·期末）如图，在中，，则边上的高是___________． 【答案】 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条边对应的高，即可解答． 【详解】 解：已知中，可得， 顶点到边的垂线就是线段， 因此边上的高是． 1．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，点是上一点，，垂足为，点是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（     ） A．线段是中边上的高 B．线段是中边上的高 C．线段是中边上的高 D．线段是中边上的高 【答案】C 【分析】根据三角形高的定义，判断解答即可． 【详解】解：A． 线段是中边上的高，正确，不符合要求； B． 线段是中边上的高，正确，不符合要求； C． 线段是中边上的高，不是中边上的高，原说法错误，符合要求； D． 线段是中边上的高，正确，不符合要求． 2．（25-26八年级下·全国·课前预习）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形这边的高，简称_________．如图，线段______是BC边上的高． 【答案】 三角形的高 AD 【解析】略 3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）图①、图②都是的正方形网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．的三个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图①中画的中线． (2)在图②中画的高． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)如图，即为所求． 【分析】（1）根据网格特征，找出中点，连接即可； （2）根据网格特征，在上找出格点，连接，使即可； 【详解】（1）解：略 （2）解：略 【基础题型十六 与三角形的高有关的计算问题】 【例1】（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在中，，，，，点是线段上的一个动点，则线段的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】利用连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短结合三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得当时，线段最短，如图， ， ，，， ， ． 【例2】（25-26七年级下·山西临汾·期末）在中，，是的高，，则__________． 【答案】或 【分析】分两种情况：①当在的内部时，②当在的外部时，根据角的和差求解即可． 【详解】解：①如图，当在的内部时， ∵，， ∴； ②如图，当在的外部时， ∵，， ∴； 综上，或． 1．（25-26七年级下·河南驻马店·期末）如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】由题意可知当时，的值最小，再根据等面积法求出的长即可． 【详解】解：如图，当时，的值最小， ， ． 2．（25-26七年级下·湖南株洲·期末）如图，在直角三角形中，，，，，，若点到的距离是，则与之间的距离是__________． 【答案】 【分析】过点作于，交于，可得，利用“等积法”可求出，进而求出，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于，交于，则， ∵， ∴， ∵点到的距离是， ∴， ∵，，，， ∴，即， 解得：， ∴， ∴与之间的距离是． 3．（2026八年级上·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，的高和的比是多少？ 【答案】 【分析】根据三角形的面积公式可得，即可求解． 【详解】解：∵ ∴． 【基础题型十七 垂心】 【例1】（24-25八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，在中，，，垂足分别为，，与交于点，连接并延长交于点若，，，则（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，由三角形面积公式推出，由此即可得到答案． 【详解】解：∵，，与交于点， ∴（三角形三条高所在的直线交于一点）， ∵， ∵，，， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了三角形的性质，熟知三角形三条高所在的直线交于一点是解题的关键． 【例2】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，CD与BE相交于O点，连接AO并延长交BC于点F．则∠AFC的度数为_______． 【答案】90° 【分析】根据三角形高的定义和三角形的垂心定义以及三角形内角和定理即可求解. 【详解】解：∵CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，CD与BE相交于O点， ∴点O为三角形ABC的垂心， ∵连接AO并延长交BC于点F． ∴AF⊥BC， ∴∠AFC＝90°． 故答案为：90°． 【点睛】本题主要考查的是垂线的概念，掌握三角形三条边上的高线相交于一点是解决本题的关键． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）三角形三条高的交点一定在　　 A．三角形内部 B．三角形外部 C．三角形内部或外部 D．以上说法都不完整 【答案】D 【分析】分别指出锐角三角形，直角三角形，和钝角三角形的三条高线交点的位置即可求解． 【详解】解：锐角三角形三角形三条高的交点在三角形内部， 直角三角形三角形三条高的交点在三角形直角顶点， 钝角三角形三角形三条高所在直线的交点在三角形外部， 综上所述，、、说法都不完整． 故选：． 【点睛】本题考查三角形的高的交点，掌握三角形中锐角三角形，直角三角形，钝角三角形高的画法与交点的位置是解题关键． 2．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，的两条高，相交于点．连接并延长交于点，若，，，则______． 【答案】 【分析】根据锐角三角形的三条高交于一点，判断出为边上的高，利用等面积法建立方程求解即可． 【详解】解：是的两条高，且相交于点， ∴也是的高 ， ， ， ， ， ． 3．（24-25八年级上·江西上饶·期末）请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图1，在中，D，E分别为边的中点，请作出边的中点； (2)如图2，在中，，是边的中点，于点，请过点作边的垂线． 【答案】(1) 点即为所作； (2) 线段即为所作； 【分析】本题考查了重心和垂心的性质． （1）连接，，两线相交于点，作射线并延长交点，根据三角形三条中线相交于一点，即可判断点是的中点，点即为所作； （2）连接并延长交的延长线于点，连接交的延长线于点，根据三角形三条垂线相交于一点，即可得到，线段． 【详解】（1）略 （2）略 【提高题型一 与三角形高、角平分线相关做图问题】 【例1】（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高线、中线、角平分线的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：，，分别是的高、角平分线、中线， 则，，． 结合选项可知，A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意； 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）如图，在△中，，为的中点，延长交于．于，交于．下列说法：①线段是的角平分线；②线段是△的边上的高；③是的中线；④△与的面积相等；⑤．其中正确的有______ （填序号）． 【答案】①③④⑤ 【分析】由角平分线的定义可判断①；由高的定义可判断②；由中线的定义可判断③；由中线的性质可判断④；由直角三角形的性质可判断⑤． 【详解】∵∠1=∠2， ∴线段AG是△ABE的角平分线， 故①正确； ∵由题目中的已知条件无法确定AE和BE垂直， ∴线段AE不一定是△ABG的边BG上的高， 故②错误； ∵G点为AD的中点， ∴BG是△ABD的中线， 故③正确； ∵BG是△ABD的中线， ∴△ABG与△DBG的面积相等， 故④正确； ∵CF丄AD于H， ∴∠AHC=90º， ∴∠2+∠ACF=90º． ∵∠1=∠2 ∴∠1+∠ACF=90º， 故⑤正确． 因此正确的有①③④⑤． 故答案为①③④⑤． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，中线的定义，高的定义，中线的性质，直角三形两锐角互余．熟练掌握以上定义和性质是解题的关键． 1．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，中边上的高是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形高的概念求解即可． 【详解】解：由图可得， ∵， ∴中边上的高是， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形高的定义，理解三角形高的概念是解题的关键． 2．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）若具有以下条件或关系式：①；②；③的三条高的交点恰在顶点处；④与的角平分线交于点，且．其中能得到的条件或关系式是_____________．（填序号）． 【答案】①④ 【分析】利用，表示出，，利用三角形内角和可以求出，故①符合题意；利用三角形内角和得出，故②不符合题意；三条高的交点在顶点出可判断出，故③不符合题意；根据角平分线定义可求出，，再利用三角形内角和求出，故④符合题意． 【详解】解：①， ，， ， ， ，，，故①符合题意； ②， ， ，故②不符合题意； ③如图，顶点的对边和顶点的对边上的高都交于同一点，则说明顶点的对边的高是，顶点的对边的高是，顶点的对边上的高为，，故③不符合题意；      ④如图：        在中，， ，分别是和的平分线， ，， 在中，， 故④符合题意， 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，与角平分线有关的三角形内角和定理，三角形的高，熟练掌握和运用三角形内角和定理是解答本题的关键． 3．（25-26七年级下·辽宁·期中）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（小正方形的顶点）上，请利用格点解决下列问题： (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)过点作线段且； (4)线段，则点到直线的距离为___________个单位长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】（1）借助网格作高即可； （2）取的中点E，连接即可； （3）取格点F，利用平移的性质连接即可； （4）利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：的边上的高如图所示； （2）解：的边上的中线如图所示； （3）解：如图，线段即为所作； （4）解：的面积， 设点到直线的距离为h，则，即 解得． 【提高题型二 与三角形有关的线段综合应用】 【例1】（2026·甘肃兰州·一模）如图，在四边形草坪内选取一点修建凉亭，并用小路将其与，，，四个顶点相连接，要使它到四边形四个顶点的距离之和最小，则凉亭修建地点一定在（    ） A．线段与的交点 B．线段的中点 C．线段的中点 D．四边形草坪内任意一点 【答案】A 【分析】本题考查了两点之间线段最短和三角形三边关系，解题的关键是将四条线段分成两组，分别利用共线取等号求最小值．先分析最小时的位置，再分析最小时的位置，取两者公共点． 【详解】解：(当在线段上时取等号)， 当在线段上时，取最小值， 同理(当在线段上时取等号)， 当在线段上时，取最小值， 要使取最小值，需同时满足上述两个条件， 必须在线段上，且同时在线段上， 是线段与的交点， 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，是边上的中线，点在线段上，且，线段与线段相交于点，若的面积为3，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中线和面积的关系，熟知三角形的面积和边的对应关系是解答此题的关键．连接，根据和的面积为3可知，，，设，则，故，则，设，则，由是边上的中线可知，，即，所以，，由此可得出结论． 【详解】解：连接，如图， ∵，的面积为3， ∴， ，， 设，则， ∴，则， 设，则， ∵是边上的中线， ∴，，即， ∴，， ∴． ∴= ． 故答案为． 1．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段检测）如图，在中，，，，，点是线段上一点，则线段的长度不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂线的性质，三角形面积，熟练掌握垂线段最短是解题的关键； 利用三角形面积关系求出的长度，利用垂线段最短即可求解； 【详解】解：如图，过C作交于点， ， ， ， ， 根据垂线段最短，可得， 线段的长度不可能是； 故选：A． 2．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，点在边上，连接，点为线段的中点，连接，点为线段的中点，连接、，若的面积等于，则阴影部分的面积等于______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的两个小三角形得出，，，根据的面积即可求出的面积，从而求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：∵点E为线段的中点， ∴，， ∵的面积等于， ∴， ∴， ∴， ∵点F为线段CE的中点， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·全国·阶段检测）已知两条线段a、b，其长度分别为与．另有长度分别为的5条线段，其中能够与线段a、b一起组成三角形的有哪几条？ 【答案】能够与线段a、b一起组成三角形的有两条线段． 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系，确定第三边的取值范围，进而可得结果． 【详解】解：设第三边为c， ∵两条线段a、b，其长度分别为与． ∴第三边的取值范围为：，即 ∵在范围内， ∴能够与线段a、b一起组成三角形的有两条线段． 1．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，称有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，则图中的共边三角形有（    ）对． A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】D 【分析】根据有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，首先确定三角形的边，然后确定三角形即可． 【详解】解：以AB为公共边的三角形有：△ABD和△ABC； 以AC为公共边的三角形有：△ACE和△ACB； 以AD为公共边的三角形有：△ADE和△ABD； 以AE为公共边的三角形有：△AED和△AEC； 以BC为公共边的三角形有：△BCO和△BCA和△BCD和△BCE，4个三角形中任何两个都是共边三角形，有6对； 以BD为公共边的三角形有：△BDC，△BDE，BDA任何两个都是3对共边三角形； 以BE为公共边的三角形有：△BEO，△BED，△BEC任何两个都是3对共边三角形． 以OB为公共边的三角形有：△OBE和△OBC； 以CD为公共边的三角形有：△CDO和△CDB和△CDE任何两个都是3对共边三角形． 以CE为公共边的三角形有：△CED，△CEA，△CEB任何两个都是3对共边三角形； 以CO为公共边的三角形有：△COD和△COB； 以DE为公共边的三角形有：△AED和△OED和△BED和三角CED，4个三角形中任何两个都是共边三角形，有6对； 以OD为公共边的三角形有：△ODC和△ODE； 以OE为公共边的三角形有：△OBE和△ODE． 共32对． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了共边三角形的定义，正确理解定义是解题的关键． 2．（25-26八年级上·全国·周测）王老师有长度分别为的两根小棒（如图）．如果要把其中的一根剪成两段，那么下面剪法中，3根小棒一定能围成三角形的是（   ） A．将长为的小棒正中间剪一刀 B．将长为的小棒正中间剪一刀 C．将长为的小棒任意剪一刀 D．将长为的小棒任意剪一刀 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系的应用，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． “任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边”，据此注意分析各选项即可． 【详解】解：由图可知， A、将长为的小棒正中间剪一刀，则此时三根小棒长度分别为． 因为，且， 所以不满足三角形三边关系中“任意两边之和大于第三边”， 故这三根小棒不能围成三角形，A选项错误． B、将长为的小棒正中间剪一刀，则此时三根小棒长度分别为． 因为，且，满足三角形三边关系中“任意两边之和大于第三边”， 所以这三根小棒一定能围成三角形，B选项正确． C、将长为的小棒任意剪一刀，设剪成的两段长度分别为和，此时三根小棒长度分别为．那么，而， 不满足三角形三边关系中“任意两边之和大于第三边”， 所以这三根小棒不一定能围成三角形，C选项错误． D、将长为的小棒任意剪一刀，设剪成的两段长度分别为和，此时三根小棒长度分别为． 当非常大时，比如趋近于，那么可能小于， 不满足三角形三边关系中“任意两边之和大于第三边”， 所以这三根小棒不一定能围成三角形，D选项错误． 故选：B 3．（2026·贵州黔南·一模）如图，在中，若，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，， ， 即， 综上所述，只有选项正确，符合题意． 4．（2026·安徽·模拟预测）两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，可得再根据三角形内角和即可得出答案． 【详解】由图可得 ∵， ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键． 5．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，和是的中线，则以下结论：①；②是的重心；③与面积相等；④过的直线平分线段；⑤；⑥，其中正确的结论有（    ）    A．①②③⑤ B．①②③④ C．②③⑥ D．①②⑤⑥ 【答案】B 【分析】根据三角形中线的定义与性质及重心的定义可判定①，②，③，④，而根据已知条件无法判定⑤⑥，据此可求解． 【详解】解：∵和是的中线， ∴，分别为，的中点， ∴，，故①正确； ∵和是的中线， ∴点是的重心，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵点是的重心， ∴过的直线平分线段，故④正确； 根据已知条件无法判定，，故⑤，⑥错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的重心，三角形的中线的性质，熟练掌握三角形重心的定义是解题的关键． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示的多边形被分割成了______________个三角形． 【答案】5 【分析】观察图形，根据三角形定义数三角形的个数即可解题． 【详解】观察图形，可知途中的多边形被分割成个三角形， 故答案为：． 【点睛】本题考查多边形的有关概念，能根据图形数出三角形的个数是解题的关键． 7．（25-26七年级下·广东揭阳·期末）小朦同学从五根长为，，，，的木条中挑选三根组成三角形，她已经取了和两根木棍，那么第三根木棍不可能取_____． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，确定出第三根木棍的取值范围，即可求解． 【详解】解：已经取了和两根木棍， 第三根木棍的取值范围是， 不可能是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形三边关系，确定出第三边的取值范围． 8．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在△中，点是内部的平分线上一点，连接，点是、平分线的交点，若，则的度数为___ °． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线，掌握相关知识是解题的关键．先求出的度数，进一步得到的度数，据此得到的度数，最后根据角平分线的定义即可解决问题． 【详解】解：由题知， ∵点是、平分线的交点， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵点是内部的平分线上一点， ∴． 故答案为： 9．（25-26八年级上·湖北恩施·阶段检测）如图，和是分别沿着边翻折形成的，若，与交于点，则______． 【答案】/30度 【分析】先根据三角形的内角和定理可得的度数，再根据翻折的性质可得的度数，从而可得的度数，然后根据三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：在中，， ，，， 由翻折的性质得：，， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、翻折的性质，熟练掌握翻折的性质是解题关键． 10．（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图，四边形中，，交于点，已知点是的中点，，则____________． 【答案】11 【分析】本题考查了三角形的面积和高，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 过点B作于点G，过点D作于点F，分别表示出和进而即可得解． 【详解】解：过点B作于点G，过点D作于点F，如图： ∵点是的中点， ∴， ∵， ， ∴， 故答案为：11． 11．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）在中，． (1)求、、； (2)确定的形状．（属于什么类型的三角形） 【答案】(1)，， (2)是锐角三角形 【分析】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是”是解题的关键． （1）根据各角之间的关系，结合三角形内角和定理，即可求出、、的度数； （2）由，可得出、、均为锐角，进而可得出是锐角三角形． 【详解】（1）解：在中，， ， ， ； （2）， 、、均为锐角， 是锐角三角形． 12．（24-25八年级上·四川自贡·期中）如图，在中，于D，平分． (1)若，，求的度数． (2)若，则______． (3)若，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出的度数，则由角平分线的定义可得的度数，求出的度数，据此结合垂线的定义和三角形内角和定理可得答案； （2）根据三角形内角和定理求出，则由角平分线的定义可得的度数，求出的度数，据此结合垂线的定义和三角形内角和定理可得答案； （3）同（2）求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 13．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）点为内一点，连接，，，，的平分线交于点．      (1)如图1，当三点共线时，若，直接写出的度数是_________； (2)如图2，若，求； (3)直接写出之间的数量关系是_________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当三点共线时，，由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，，再由即可得到答案； （2）连接，由角平分线的定义可得，，由三角形内角和定理可得，，再由进行计算即可得到答案； （3）连接，由角平分线的定义可得，，由三角形内角和定理可得，，再由进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：当三点共线时，， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，连接， 平分，平分， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，连接， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 14．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，正方形网格中，每一格表示1个单位长度．用无刻度直尺作图：    (1)①作边上的高； ② 在边上找一点E，连接，使和的面积相等； ③ 作格点（点P不与点A重合），使； (2)图中与全等的格点三角形（不包括）可作出_________个． 【答案】(1) ①如图，线段即为所求作的高；    ②如图，线段即为所求作的线段；    ③如图，为所求作的三角形；    (2)11 【分析】（1）①取格点R，连接，交于一点，该点即为点D，线段为边上的高； ②取格点W、Q，连接，交于点E，连接，则为中，边上的中线，此时和的面积相等； ③取格点连接，，则，此时； （2）根据图形的平移特点，三角形平移后形状不变，输出符合条件的三角形个数即可． 【详解】（1）①略 ②略 ③略 （2）解：∵平移前后图形的形状不变， ∴将向上平移1个单位后的三角形与全等；将向下平移1个单位后的三角形与全等；将向上平移1个单位，再向左平移1个单位后的三角形与全等；将向下平移1个单位，再向左平移1个单位后的三角形与全等；将向左平移1个单位后的三角形与全等； ∴这样经过平移后与全等的三角形共有5个； 如图，连接、，则与全等， ∴平移后得到三角形也与全等， 将向下平移1个单位后的三角形与全等；将向下平移2个单位后的三角形与全等；将向右平移1个单位，再向下平移1个单位后的三角形与全等；将向右平移1个单位，再向下平移2个单位后的三角形与全等；将向右平移1个单位后的三角形与全等； ∴这样得出的与全等的三角形有6个， ∴与全等的格点三角形可以作出个． 故答案为：11．    【点睛】本题主要考查了在网格中画三角形与已知三角形全等，画三角形的高线、中线，作已知线段的平行线，平移的性质，解题的关键是数形结合，注意平移的性质的应用． 15．（25-26七年级下·四川资阳·期末）综合实践： 定义：三角形三条中线的交点叫三角形的重心． 发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处悬吊起来，发现纸板处于水平状态． 探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？ (1)如图②，是的中线，则与的面积关系为：_______（填>、<或=）； (2)如图③，点是的重心，猜想与的面积之间的关系，并说明理由； (3)如图③，点是的重心，三条中线、、分别交、、于点、、，求的值； (4)如图④，点是的重心，且，若，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)，理由如下：     点是的重心， ， 和同高，设高为， ， 同理得， ∴， ， ∴； (3) (4) 【分析】本题考查三角形中线的性质以及三角形面积的计算： （1）根据的中线得到，由于高相同，利用三角形面积公式可得出结论； （2）根据题干中关于重心的定义得，由于和同高，和同高，得出，去掉公共三角形，即可得到与的面积相等； （3）根据题干中关于重心的定义得，利用三角形面积公式得，去掉公共部分，得，利用三角形等底同高得，，即可得出结论； （4）连接交于点，先求出，通过各三角形底边之间的关系，得到、，进而求出四边形的面积． 【详解】（1）解：是三角形的中线， ， 和的底边分别是和，它们共用同一个顶点， 它们的高相等，设为， ． （2）解：，理由略． （3）解：点是的重心， ， 和同高，设高为， ， ， ∴， 同理：等底同高，等底同高， ，， ∴， ∴． （4）解：如图，连接交于点， 是的重心， 由（3）可得出，，，， 设，， ∴， 同理得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 同高， 设它们的高为， ，，且， ， 、和同高，设高为， ，，， ， ， ， ， ， 同理可得，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $