专题01 三角形的重要线段6大重难题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建三阶训练体系，系统提炼三角形重要线段性质及应用方法，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1模块|总结高、中线等定义性质，提炼三边关系、面积转化等核心思想|从概念定义到性质推导，建立“定义-性质-应用”逻辑链| |题型归纳|6题型（每题型含典例+3变式）|针对第三边范围、构成条件等题型，提供“不等式法”“面积公式法”等可迁移方法|按“基础计算-性质应用-作图操作-综合问题”递进，题型与方法一一对应| |压轴挑战|15题|综合运用方程思想、分类讨论解决面积、动点等复杂问题|融合网格作图、重心性质等拓展点，衔接中考压轴命题趋势|

专题01 三角形的重要线段 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、三角形第三边的取值范围 题型2、三角形的构成条件 题型3、三角形高的计算 题型4、三角形中线性质的应用 题型5、三角形重要线段的作图问题 题型6、三角形中线与高的综合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 三角形的重要线段包括高、中线、角平分线及中位线，要掌握它们的定义、画法与基本性质；三边关系是判断三角形能否成立及求第三边范围的重要依据，要熟练运用“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”；中线具有平分面积、构造中点四边形的重要作用，常与面积比、重心问题结合；高线涉及垂足位置、面积计算及“高不在三角形内部”的分类讨论；角平分线问题常借助角平分线性质或面积比进行转化；综合问题要善于利用方程思想、分类讨论思想和数形结合思想，将线段、面积、角度联系起来． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、三角形第三边的取值范围 典例1 （25-26七年级下·广东汕头·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长可能为（     ） A．2 B．3 C．9 D．12 【答案】B 【分析】先根据三角形三边关系确定第三边的取值范围，再结合新定义分情况讨论，筛选出符合条件的结果，对照选项得到答案． 【详解】解：设三角形第三条边的长为， 根据三角形三边关系，得， ， 根据“倍长三角形”定义分情况讨论： ①若，则，不满足，舍去； ②若，则，满足，符合条件； ③若，则，满足，符合条件； ④若，则，不满足，舍去； 综上所述，符合条件的第三边长为或，对照选项，只有符合． 题型模版 1.特征：根据三角形三边关系确定第三边的取值范围或判断能否构成三角形． 2.方法：利用“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列不等式；注意整数边、最值等特殊要求． 变式1-1 （25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）老师布置了一份家庭作业：用老师给的三根小木棍做出一个三角形木架，三根小木棍的长度分别为：5cm、9cm、10cm，要求只能对10cm的小木棍进行裁剪（裁剪后长度为整数）．你认为同学们最多能做出（   ）个不同的三角形木架． A．1 B．2 C．6 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，先通过三角形的三边关系求出第三边的长度范围，然后再根据第三边的长度为整数即可求解． 【详解】解：∵由题意已知三角形有两条边为、，设第三边长度为， ∴第三边的取值范围为：，即， 又∵第三条边从的小木棍中裁剪下来， ∴， 又∵裁剪后长度为整数， ∴的取值可以为：， ∴最多能做出6个不同的三角形木架． 故选：C． 变式1-2 （25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示，若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ） A．3 B．3或4 C．4或5 D．6 【答案】C 【分析】设第三根小棒的长度是x，由三角形的三边关系可得，再由图中挡板高度进一步确定，然后结合选项即可解答． 【详解】解：由图可知，一根小棒的长度为10，另一根小棒的长度为7， 设第三根小棒的长度是x， 若三根小棒可以围成三角形，则由三角形三边关系可知，即， 由图中挡板高度为5，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5，即C选项符合题意． 变式1-3 现有长分别为4，5，7，9，22（单位：cm）的五根直木条，从中选出四根围一个四边形木框，则该木框的对角线最长可以取到的整数是______． 【答案】11 【分析】此题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是熟知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系，进行分类讨论即可求解． 【详解】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ∴选4，5，7，9， 如图，①当时， ，即， 且，即， ， 此时对角线最长可以取到的整数是8， ②当时， ，即， 且，即， 此时对角线最长可以取到的整数是10， 如图，当时， ③当时， ，即， 且，即， ， 此时对角线最长可以取到的整数是11， ④当时， ，即， 且，即， 此时对角线最长可以取到的整数是10， 综上，∴该木框的对角线最长可以取到的整数是11． 故答案为：11． 题型2、三角形的构成条件 典例2 已知三角形的三边的长都是整数，且， 如果，则这样的三角形共有（     ） A．12个 B．14个 C．15个 D．21个 【答案】C 【分析】根据题目给出的边长关系，结合三角形三边关系，即两边之和大于第三边，对的所有可能取值分类计数，统计每个对应的符合条件的的个数，求和得到总三角形个数． 【详解】已知三边均为整数，满足，， ，且为正整数， 的可能取值为 由三角形三边关系得， 又， 因此得 , 对每个计算符合条件的整数的个数： 当时，，无符合条件的，共个； 当时，，仅符合，共个； 当时，，符合，共个； 当时，，符合，共个； 当时，，符合，共个； 当时，，符合，共个； 总个数为， 即这样的三角形共有个． 题型模版 1.特征：根据给定条件判断满足条件的三角形个数或存在性． 2.方法：列出三边应满足的不等式组；结合整数、正数等限制条件进行分类枚举；注意不重不漏． 变式2-1 设三个正数、、满足，求证：、、一定是某个三角形三边的长． 【答案】 证明： ∵ 展开左边并移项，得 对左边因式分解： ∴ ， ∵ 、、 均为正数， ∴ ， ∴ ， 若三个因式中存在两个负数，不妨设 ，， 两式相加得 ，即 ，与 是正数矛盾． 同理，任意两个因式为负均会推出某正数小于0，矛盾． ∴ 三个因式均为正，即 ，，， ∴、、 满足三角形三边关系，一定是某个三角形三边的长． 【解析】略 变式2-2 （25-26七年级下·北京·期末）各边长皆为正整数，且最大边长为n的三角形称为“n阶整三角形”．（三边对应相等的三角形视为同一个三角形） (1)5阶整三角形有__________个； (2)n阶整三角形有__________个． 【答案】(1)9 (2)当为正奇数时，有个；当为正偶数时，有个 【分析】（1）设其余的两边长为，则，根据定义，讨论求解即可； （2）设其余的两边长为， ，且，根据定义，讨论求解即可； 【详解】（1）解：5阶整三角形的最大边长为5，且各边都是正整数， 设其余的两边长为， ， 当，时，满足，此时三角形存在； 当，时，满足，此时三角形存在； 当，时，满足，此时三角形存在； 当，时，满足，此时三角形存在； 当，时，满足，此时三角形存在； 当，时，满足，此时三角形存在； 当，时，满足，此时三角形存在；与，，5是同一个三角形， 当，时，满足，此时三角形存在；与，，5是同一个三角形； 当，时，满足，此时三角形存在； 当，时，满足，此时三角形存在； 当，时，满足，此时三角形存在；其余情形都与前面的某一个三角形是同一个三角形， 故满足要求的5阶整三角形有个； （2）解：n阶整三角形的最大边长为n，且各边都是正整数， 设其余的两边长为， ，且， 当为正奇数时， 当，时，满足，且，此时三角形存在，且有1个； 当，时，满足，且，此时三角形存在； 当，时，满足，且，此时三角形存在； 此时有2个三角形； 当，时，满足，且，此时三角形存在； 当，时，满足，且，此时三角形存在； 当，时，满足，且，此时三角形存在； 此时有3个三角形； ……………… 当时，对应y的取值个数为； 当x从取到n时，对应y的取值个数依次为，，………3，2，1； 故三角形的个数为： ； 当为正偶数时， 当，时，满足，且，此时三角形存在，且有1个； 当，时，满足，且，此时三角形存在； 当，时，满足，且，此时三角形存在； 此时有2个三角形； 当，时，满足，且，此时三角形存在； 当，时，满足，且，此时三角形存在； 当，时，满足，且，此时三角形存在； 此时有3个三角形； ……………… 当时，对应y的取值个数为； 当x从取到n时，对应y的取值个数依次为，，，………3，2，1； 故三角形的个数为： ， 综上所述，当为正奇数时，有个；当为正偶数时，有个； 变式2-3 （25-26七年级下·全国·课后作业）在平面内，分别用3根、4根、5根、6根…火柴首尾依次相接（不能折断，且需全部用完），能搭成什么形状的三角形？小明通过尝试，发现用3根、5根、6根火柴分别可以搭成一些三角形，如下表所示： 火柴数 3 5 6 示意图 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 现在请你与小明一起继续尝试，并回答下列问题： (1)用4根火柴能搭成三角形吗？ (2)用8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？请在下表中画出它们的示意图． 火柴数 8 12 示意图 形状 【答案】(1)不能 (2) 8根火柴能搭成一种形状的三角形，12根火柴能搭成3种不同形状的三角形； 火柴数 8 12 示意图 形状 等腰三角形 等边三角形       等腰三角形        直角三角形 【分析】（1）把4分成3个正整数，只能分成1，1，2，再根据三角形的三边关系进行分析； （2）把8和12进行合理分解，得到的三条线段应能组成三角形，进而画出示意图． 【详解】（1）解：把4分成3个正整数，只能分成1，1，2，但，不满足三角形三边关系定理， ∴4根火柴不能搭成三角形； （2）解：8根火柴能搭成一种形状的等腰三角形； 12根火柴能搭成3种不同形状的三角形： 三边都为4的等边三角形， 三边为5，5，2的等腰三角形， 三边为3，4，5的直角三角形． 题型3、三角形高的计算 典例3 （25-26八年级下·内蒙古包头·期末）如图，向右平移后得到，点B，E，C，F在同一直线上，分别交，于点E，M，若，，阴影部分面积为，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】若，阴影部分面积为，根据三角形的面积公式可得的长，再根据线段的和差关系可得的长，然后根据平移的性质可得，据此求得的长． 【详解】解：，阴影部分面积为， ， ， ． 题型模版 1.特征：利用三角形的高求线段长、面积或解决动点最值问题． 2.方法：确定高的位置（锐角、直角、钝角三角形中高可能在形外）；利用面积公式、勾股定理列方程． 变式3-1 （25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点．给出下面四个结论：①；②；③当时，；④的最小值为；上述结论中，正确结论的序号是_______． 【答案】①③④ 【分析】利用三角形面积公式计算，即可判断①正确；根据的值不确定，即可判断②错误；根据同角的余角相等即可判断③正确；由垂线段最短，并结合三角形面积公式计算即可判断④正确． 【详解】解：∵在中，，为边上的高，， ∴，故①正确，符合题意； ∵P为上一动点， ∴的值不确定， ∴不一定与相等，故②错误，不符合题意； 当时，， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 由垂线段最短得，当时，的值最小，此时， ∴， ∴的最小值为，故④正确； 综上所述，正确结论的序号是①③④． 变式3-2 （25-26七年级下·江苏南通·期末）如图，点E，F在内，，，和四边形的面积都相等，的延长线分别交线段，于点G，D，． （1）的面积与的面积的比值为_______． （2）若的面积为364，则的面积是_______． 【答案】 【分析】（1）根据题意，设点到的高为，结合面积公式的计算得到的面积与的面积的比值为； （2）根据题意得到，分别算出的面积得到，如图所示，连接，过点作延长线于点，过点作于点，过点D作于点M，由面积的计算得到，则，由此即可求解． 【详解】解：（1）的延长线分别交线段，于点G，D，， 设点到的高为， ∴，， ∴， ∴的面积与的面积的比值为； （2）∵，，，和四边形的面积都相等， ∴， 解得，， ∴， ∵，即， ∴，则， ∴， ∴， 设点到的高为， ∴， ∴， 如图所示，连接，过点作延长线于点，过点作于点，过点D作于点M， ∴，， ∴， ∴，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点F到的高为， ∴， ∴ ． 变式3-3 （25-26七年级上·福建福州·期末）如图，在中，是的中点，分别是上的动点，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】过点A作于点E，连接，根据题意，得，当三点共线时，取得最小值，且为，根据垂线段最短，当时，才取得最小值，求解即可． 【详解】解：过点A作于点E， 连接，根据题意，得， 当三点共线时，取得最小值，且为，根据垂线段最短，当时，才取得最小值， 故当点P与点E重合时，最小， 在中，， ， ， ∴的最小值是． 题型4、三角形中线性质的应用 典例4 （26-27八年级上·江苏常州·开学考试）如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点F．当四边形的面积为7时，则线段长度的最小值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】连接，过点A作的延长线于点H，设，，根据等高的三角形的面积等于底之比得到，，以及，，由面积关系得到，结合已知得到，，解方程组得到，，进而利用三角形的面积求得，利用垂线段最短求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点A作的延长线于点H， 设，， ∵，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形的面积为7， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的最小值为10． 题型模版 1.特征：利用三角形中线的性质求面积、线段长或证明线段关系． 2.方法：中线平分三角形面积；利用重心分中线2:1的性质． 变式4-1 （25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，点，，分别为，，上的中点，已知的面积为16，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，掌握“三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分”是解题的关键．根据三角形中线的性质分别计算、，即得答案． 【详解】∵点是的中点， ∴是三角形中线， ∴， 又∵， ∴， ∵点是的中点，同理， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵阴影部分面积为， ∴阴影部分面积． 故选：B． 变式4-2 （24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线， 连接，．若的面积是16，则阴影部分的面积是_____． 【答案】6 【分析】本题考查三角形的面积，中线的性质．掌握“中线把一个三角形分成面积相等的两个三角形”是解题的关键．根据中线的性质计算即可． 【详解】解：∵是的边上的中线， ， ∵是的边上的中线， ， ， ∵是的边上的中线， ， ， ， 故答案为：6． 变式4-3 （25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在四边形中，，与交于点E，，设的面积为，的面积为，的面积为，的面积为． (1)求证： (2)若，，，都是整数，且四边形的面积是25，求的值． 【答案】(1) 证明：作交于点， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)或 【分析】（1）作交于点，证明出，得出，即可得证； （2）由题意可得，，从而得出，由于，且，，，都是整数，，，，均不符合题意，进而得出，分情况计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵与等高， ∴， 同理可得， ∴， 由题意可得：， ∴， 由于，且，，，都是整数，，，，，均不符合题意， ∴， 当时，此时，，符合题意； 当时，没有满足题意的，，，故不符合题意； 当时，没有满足题意的，，，故不符合题意； 当时，此时，，符合题意； 综上所述，或． 题型5、三角形重要线段的作图问题 典例5 （25-26七年级下·河南许昌·阶段检测）如图，点是的边上的点，点均在正方形网格的格点（网格线的交点）上，每个小正方形边长为． (1)过点画的垂线，垂足为； (2)线段、的大小关系是__________，理由__________． (3)将三角形向右平移，再向下平移，画出平移后的三角形． 【答案】(1) 如图，即为所求． (2)>，垂线段最短 (3) 如图，即为所求． 【分析】（1）取格点C，连接交于点，则即为所求． （2）根据垂线段最短解答即可． （3）根据平移的性质作图即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据（1）可得，即， ∴，垂线段最短． （3）略 题型模版 1.特征：在网格或无刻度直尺条件下作三角形的高、中线、角平分线等． 2.方法：利用网格的平行、垂直、中点特征；借助矩形对角线、平行线、等分点等几何性质完成作图． 变式5-1 （25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，已知点A，B，C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题，画图过程用虚线表示，每个任务不超过3条线． (1)图中的面积为______； (2)在图1中画出的高； (3)在图1中的边上画一点E，使； (4)在图2中，F为线段上一点，画线段的中点G． 【答案】(1)12 (2) 如图所示，线段即为所求； (3) 如图的示，点即为所求； (4) 点即为所求． 【分析】本题考查了网格中的作图，利用网格求三角形的面积，作三角形的高线，构造角，构造线段中点等知识，围绕网格的垂直特征，网格线的平行或中位线及等腰直角三角形展开是解题的关键  ． （1）直接根据三角形面积公式求解即可； （2）取格点，连接并延长交于，线段即为所求； （3）构造等腰即可； （4）作的中线交于点，连接，延长交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：， 故答案为：12； （2）解：略； （3）解：略； （4）解：略． 变式5-2 （25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在每个边长为的小正方形的网格中，点、、在格点上，仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图． (1)在图1中，画的中线； (2)在图1中，画的高； (3)在图2中，为与网格线的交点，在上画点，使得线段平分的面积； (4)在图2中，在的内部画点，使，且． 【答案】(1) 如图所示 (2) 如下图所示， (3) 平分的面积； (4) 如下图所示， 【分析】本题主要考查了借助网格线画图、三角形的中线与面积，解决本题的关键是借助网格找到符合条件的点． 根据中线的定义画出的中线； 根据三角形的高线的定义画出的高线； 由网格可知，可知，因为点到的距离为，所以当时即符合要求； 借助网格作出，根据网格即可求出． 【详解】（1） 略 （2） 略 （3）解：如下图所示， 由图可知，， ， 当时，的面积为， 平分的面积； （4）解：如下图所示， 在中，， ，， ， ． 变式5-3 如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′． 根据下列条件，利用格点和三角尺画图： (1)补全△A′B′C′； (2)请在AC边上找一点D，使得线段BD平分△ABC的面积，在图上作出线段BD； (3)利用格点在图中画出AC边上的高线BE； (4)找△ABF（要求各顶点在格点上，F不与点C重合），使其面积等于△ABC的面积．满足这样条件的点F共_______个． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析； (4)6 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，C的对应点A′，C′，再依次连接即可． （2）找到AC边的中点即可画出图形． （3）取格点T，连接BT交AC的延长线于点E，线段BE即为所求． （4）利用等高模型，找到AB两侧与点C到AB距离相等的点即可． 【详解】（1）如图，△A′B′C′即为所求． （2）如图，线段BD即为所求． （3）如图，线段BE即为所求． （4）如图，满足条件的点F有6个． 【点睛】本题考查作图-平移变换，中线，高，三角形的面积等知识，解题的关键是正确作出图形，学会利用等高模型解决问题． 题型6、三角形中线与高的综合 典例6 （25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点．当四边形的面积为7时，则中边上的高为___________． 【答案】10 【分析】连接，设、，根据四边形的面积得到，利用和等高求出，同理求出和利用的面积列出方程，求出的面积，从而求出边上的高即可． 【详解】解：连接， 、， ， 解得：， ， ， ， 设、， 四边形的面积为7， ，即， 、和等高， ， ， 和同高、， ， ， ， 和同高、， ， 和同高、， ， ， ， ， ， 整理得：， 联立， 解得：， ， 中边上的高为：． 题型模版 1.特征：三角形的中线、高线与其他知识（面积、函数、方程）的综合应用． 2.方法：灵活运用中线分面积、高与面积关系建立等式；结合变量设参，利用方程求解． 变式6-1 （25-26七年级下·四川广元·期末）如图，在中，为的中点，，，且，则为____． 【答案】3 【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形得出，再根据得出，，即可求出的面积，再由，即可求出的面积． 【详解】解：为的中点，， ， ， ，， ， ， ． 变式6-2 （25-26七年级下·重庆北碚·期末）如图，中，点是边的中点，是边上靠近点的三等分点，点在上，且满足，连接、，若四边形的面积为，则的面积为______． 【答案】 【分析】根据中点、三等分点、线段倍数关系得到各部分三角形面积与面积的比例，再结合四边形面积为建立等式，进而求出的面积． 【详解】解：连接，四边形可拆分为和， 设的面积为， 点是的中点， ， ∵和等高 ， 是上靠近的三等分点， ， 和等高， ， ，， ， 和等高， ， ∵， ， 解得：． 变式6-3 （25-26七年级下·江苏南通·期末）【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？ (1)请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． (2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)猜想正确， 证明：如图，过点作于点， ∴，． ∴． (3) 【分析】（1）根据三角形的面积公式得出，即可求解； （2）过点作于点，根据三角形的面积公式，分别表示出、的面积，再求比值，即可求解； （3）连接，设，，根据已知条件，分别得出，，结合图形分别求得，的面积，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）连接， 设，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴．即， ∴， ∴． ∴，． ∴． ∴的值为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在中，经过的重心交于点，若的面积为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积和三角形的重心，解题的关键是掌握在高相等的情况下，面积比等于底之比． 延长交于，设，则根据重心的概念可得是中线，通过面积转换可得，，，，最后在中，求解x即可． 【详解】解：延长交于，如图， 设． ∵是的重心， ∴是中线， ∴D是中点，则和等底同高， ∴． ∴． ∵是中点， ∴ ． ∵， ∴ ， 又∵是中点，和等底同高， ∴ ∴ 解得， 在中， 解得， ∴ ， ∴． 故选A． 2．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段的中点．若的面积为3，则的面积为（     ） A．42 B．36 C．28 D．30 【答案】A 【分析】连接，，根据三角形的中线将三角形的面积平分，可分别求得，，，可得的值，再根据点D是线段的中点，即可求得答案． 【详解】解：连接，， 点G是线段的中点， ，， 点F是线段的中点， ，， 点E是线段的中点， ，， ， 点D是线段的中点， ． 3．如图，在中，，，，若四边形的面积为，则的面积为（    ）    A．60 B．56 C．70 D．48 【答案】A 【分析】连接、，过点作于点，设，根据同高的三角形的面积的比等于底边的比，分别得到、、、、、，再根据四边形的面积，求出，即可得出的面积． 【详解】解：连接、，过点作于点， 设， ，，， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， 同理可得：， 是的中点， 同理可得：， ， ， 同理可得：， 四边形的面积为28， ， ， ， 故选：A．    【点睛】本题主要考查了三角形的中线的性质，掌握三角形的中线的性质是解题关键． 4．（25-26七年级下·广东佛山·期末）如图，四边形的面积是15．边、、、的中点分别为、、、．若与相交于点，则图中阴影部分的总面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，连接，根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分，通过等量代换证明阴影部分面积等于四边形面积的一半即可求解． 【详解】解：连接，，，， ∵，，，分别为边、、、的中点， ∴， ∴，，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴ 5．（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图，将沿斜边的方向平移到的位置，交于点，若，，，，下列结论： ①平移的距离是4； ②； ③； ④四边形的面积为24． 其中正确的有______．（填序号） 【答案】 ②③④ 【分析】根据平移的性质可得，，由平行线性质得，由直角三角形边关系得，即得，可判断①②；由平移可知，，可判断③；由平移可得，即得，可判断④． 【详解】解：由平移知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故①错误； 由①知，， ， 故②正确； 由平移可知，， 故③正确； ∵，， ， 由平移知，， ∴， ∴， ∴， 即， 故④正确． 综上所述，正确的结论有②③④． 6．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）知识储备：三角形的三条边的中线交于一点，该点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．如图，点为直线外一动点，，连接、，点、分别是、的中点，连接、交于点，当四边形的面积为5时，线段长度的最小值为_____． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形中线的性质，垂线段最短．如图：连接，过点C作于点H，根据三角形中线的性质求得，从而求得，利用垂线段最短求解即可． 【详解】解：如图：连接，过点C作于点H， ∵点D、E分别是的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵垂线段最短， ∴， ∴的最小值为5， 故答案为：5． 7．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于、的方程组． (1)求方程组的解（用含的代数式表示）； (2)若方程组的解满足条件，求的取值范围； (3)若、是等腰三角形的两条边，且等腰三角形的周长为9，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用加减消元法解答即可； （2）根据不等式的性质解不等式即可； （3）先根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系列式即可求得a的值； 【详解】（1）解： 得：，解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴该方程组的解为； （2）解：∵， ∴，化简为：， 解得：， 解得：， 解得：； （3）解：∵x、y是等腰三角形的两条边，且等腰三角形的周长为9， 若腰长为x，底边长为y，则，解得：， ∴， 此时三角形三边长为2，2，5，不能组成三角形，舍去； 若腰长为y，底边长为x，则，解得：， ∴， 此时三角形三边长为1，4，4，能组成三角形； ∴； 8．（25-26八年级上·福建泉州·期中）某学习小组在综合实践课上，学习了“面积与代数恒等式”，知道很多代数恒等式可以用硬纸片拼成的图形面积来解释． 例如，图1可以解释．于是小明拼出如图2所示的边长为的正方形，图2可以解释 小组成员发现可利用图2的结论解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若满足如下条件： ，求的值． (3)已知，，，，且．求证：不能成为一个三角形的三条边长； 【答案】(1)38 (2)5 (3) 证明：由题意得，， ∴， 整理得：， 即， ∴， ∴ ∵， ∴， 故，即， ∴a，b，c不能成为一个三角形的三条边长． 【分析】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积，三角形三边关系，不等式的性质等，正确识图，得到是解题的关键． （1）直接利用求解即可； （2）设，，，则，，，然后根据可得出关于t的方程，然后利用平方根的定义解方程并检验即可； （3）由，可得，结合（1）中结论、不等式的性质，变形为，再根据，可得，推出，根据三角形三边关系即可判断． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：设，，， ∵， ∴，，， 又， ∴， 整理得， ∴， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴； （3）略 9．（25-26七年级下·重庆万州·期末）如图1，在中，、、分别是、、的对边，点从点出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动．设点的运动时间为秒． (1)若，． ① ， ； ②当时，若，求的值； (2)如图2，当点运动到线段上，与交于点，若为边上的中线，，，请直接写出的面积． 【答案】(1)①6，8；②或 (2)2 【分析】（1）①根据非负性进行求解即可；②确定的位置，根据三角形的面积公式，列出方程进行求解即可； （2）根据同高三角形的面积比等于底边比，三角形的中线平分面积进行求解即可. 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵，点从点出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动， ∴点运动到点所需时间为秒，运动到点所需时间为秒 ∴当，此时点在边上， ∴， ∵点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：或； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， 设的面积为，则， ∴， ∵， ∴，解得， ∴的面积为2. 10．（25-26八年级上·天津北辰·期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均在格点上，点是与格线交点． (1)的度数为_______； (2)请用无刻度的直尺，确定的重心； (3)请用无刻度的直尺，确定边的中点．（只需在网格中作图，保留作图痕迹，不需要写画法，不需要证明） 【答案】(1) (2) 如图，点为的重心． (3)如图，点即为所求； 【分析】本题考查三角形的内角和，三角形的重心与中线，掌握知识点是解题的关键． （1）根据三角形的内角和求解即可 （2）取格点，连接，取格点M，连接，交于点，连接并延长，与交于点，由点F为的中点，点E为的中点，得到点为的重心． （3）根据三角形的中线的交点即为三角形的重心，即可解答． 【详解】（1）解：由图，得， ∴． 故答案为：． （2）取格点，连接，取格点M，连接，交于点，连接并延长，与交于点； ∵是矩形， ∴点F为的中点， 同理可得，点E为的中点， ∴点为的重心． （3）连接并延长，交于点即为所求． 11．（24-25八年级上·浙江·期末）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形重要的3个线段，我们知道，三角形的3条高所在直线交于一点． （1）①如图1，在中，，则三条高线所在的直线交于点___________ ②如图2，在中，，已知两条高，请你仅用一把无刻度的直尺做出的第三条高（不写做法，保留作图痕迹） 【综合应用】 （2）如图3，在中，，平分，过点B作于点E ①若，，则___________ ②请写出于之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两个部分，如果两个三角形的高形同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图4，M是上的一点，则有．如图5，中，M是上一点， ，N是中点．若的面积是m，请直接写出四边形的面积___________．（用含m的代数式表示） 【答案】（1）①A； ②如图，即为所求． （2）①25； ②与之间的数量关系为， 理由如下： ， ， , ． （3） 【分析】本题是四边形综合题目，考查了四边形面积的计算、三角形的高、三角形的中线、三角形内角和定理、三角形的面积等知识；本题综合性强，熟练掌握三角形的三条高交于一点和三角形面积关系是解题的关键． （1）根据三角形的3条高所在直线交于一点，即可求解； （2）根据三角形内角和定理，角平分线的定义，即可求解； （3）根据高相等两个三角形，面积比等于对应底边的比，结合，N是中点，即可求解． 【详解】解：（1）①A； ②略 （2）①中，，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：25； ②略 （3）如图，连接， N是中点， 设， ， ， ， ， 解得． 故答案为：． 12．【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小陈同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知． 又因为高相同，所以，于是，据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图2，的面积为4平方厘米，延长到点，延长到点，延长边到点，使，，，依次连接得到，求的面积． 【拓展延伸】（2）如图3．若四边形的面积为，分别延长四边形的各边，使得，，，，依次连接得到四边形． ①若，求四边形的面积；（用含的代数式表示） ②直接写出四边形的面积（用含的代数式表示）      【答案】（1）28；（2）①；② 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积计算、列代数式，解题的关键在于添加适当的辅助线，正确表示出三角形面积． （1）连接，，根据三角形中线有关的面积计算出、、、，再根据计算即可得出答案； （2）①连接、、、、，设的面积为、的面积为，则，结合题意求出，同理可得：，再根据计算即可得出答案；②同①的方法计算即可得出答案． 【详解】解：（1）如图，连接，， ， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①如图，连接、、、、， ， 设的面积为、的面积为，则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴； ②如图，连接、、、、， ， 设的面积为、的面积为，则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，D为BC边上任意一点，连接AD．已知DE，DF分别是，的高． 作图：（1）请在图①上作出中AC边上的高BG． 探究：（2）通过观察、测量，发现DE，DF，BG之间的数量关系为________________________． 填空：（3）为了说明DE，DF，BG之间的数量关系，小明是这样做的： 因为， 所以． 因为， 所以________________________． 拓展：（4）当点D在图②的位置时，试判断（2）中DE，DF，BG之间的数量关系是否仍然成立，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）  ，；（4）不成立．理由见解析 【分析】（1）过点作交于点，即可作答； （2）通过观察、测量，即可得到，，之间的数量关系； （3）将分成和，根据三角形的面积公式结合即可得到，，之间的数量关系； （4）将分成和，根据三角形的面积公式结合即可得到，，之间的数量关系． 【详解】解：（1）如图①，即为所求． （2） （3）因为， 所以． 因为， 所以． 故答案为：， ，． （4）不成立．理由如下： 如图②，过点作于点． ， ． ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积，解答本题的关键是熟练运用数形结合思想． 14．（25-26七年级下·广东深圳·期中）根据以下素材，探索完成任务． “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 素材 如图，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等面积法，我们可以得到一个等式： 问题解决 (1)观察图1，用两种方法计算拼成的大长方形的面积， 方法1：________； 方法2：________； 根据方法1、方法2，你可以得到一个等式：________． (2)如图2，是由四个完全相同的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较短直角边长为a，较长直角边长为b，最长的边为c． 用两种方法计算大正方形的面积， 方法1：________； 方法2：________； 根据方法1、方法2，你可以得到一个化简后的等式：________． (3)如图3，在中，（），点D，P分别在边上，且，，，垂足分别为E，F．若，求的值． 【答案】(1)；； (2)；； (3) 【分析】（1）根据大长方形的面积等于边长为a的正方形面积加上2个边长为b的正方形面积，加上3个长为a，宽为b的长方形面积，列出等式即可； （2）利用正方形的面积公式，以及分割法两种方法表示出大正方形的面积即可得出结果； （3）连接，根据，进行求解即可. 【详解】（1）解：大长方形面积等于其长乘以其宽，即大长方形面积为， 大长方形的面积等于边长为a的正方形面积加上2个边长为b的正方形面积，加上3个长为a，宽为b的长方形面积，即大长方形面积为， ∴； （2）解：方法1：大正方形的面积为； 方法2：大正方形的面积为； ∴， 即： （3）解：如图，连接， ， ， ，，， ， 即， ， ． 15．（25-26八年级上·河南许昌·期中）发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为： （填＞、＜或＝）； (2)如图3，若三条中线交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想a，b，c之间的数量关系为：__________； (3)如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则 ； (4)如图4，点D、E在的边上，交于G，G是的重心，，，，求的面积． 【答案】(1)＝ (2) (3)2 (4)27 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据三角形面积等于底乘高的一半即可解答； （2）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可解答； （3）由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，设，则，．根据即可求解； （4）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∴与等底同高， ∴． 故答案为：． （2）解：，理由如下： 由题意可知，， ， ， ， ， ， ， ∴． 故答案为：． （3）解：由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的， 设，则，． ∴． 故答案为：2． （4）解：∵G是的重心， ， ∵，， ， ∵， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形的重要线段 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、三角形第三边的取值范围 题型2、三角形的构成条件 题型3、三角形高的计算 题型4、三角形中线性质的应用 题型5、三角形重要线段的作图问题 题型6、三角形中线与高的综合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 三角形的重要线段包括高、中线、角平分线及中位线，要掌握它们的定义、画法与基本性质；三边关系是判断三角形能否成立及求第三边范围的重要依据，要熟练运用“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”；中线具有平分面积、构造中点四边形的重要作用，常与面积比、重心问题结合；高线涉及垂足位置、面积计算及“高不在三角形内部”的分类讨论；角平分线问题常借助角平分线性质或面积比进行转化；综合问题要善于利用方程思想、分类讨论思想和数形结合思想，将线段、面积、角度联系起来． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、三角形第三边的取值范围 典例1 （25-26七年级下·广东汕头·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长可能为（     ） A．2 B．3 C．9 D．12 题型模版 1.特征：根据三角形三边关系确定第三边的取值范围或判断能否构成三角形． 2.方法：利用“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列不等式；注意整数边、最值等特殊要求． 变式1-1 （25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）老师布置了一份家庭作业：用老师给的三根小木棍做出一个三角形木架，三根小木棍的长度分别为：5cm、9cm、10cm，要求只能对10cm的小木棍进行裁剪（裁剪后长度为整数）．你认为同学们最多能做出（   ）个不同的三角形木架． A．1 B．2 C．6 D．10 变式1-2 （25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示，若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ） A．3 B．3或4 C．4或5 D．6 变式1-3 现有长分别为4，5，7，9，22（单位：cm）的五根直木条，从中选出四根围一个四边形木框，则该木框的对角线最长可以取到的整数是______． 题型2、三角形的构成条件 典例2 已知三角形的三边的长都是整数，且， 如果，则这样的三角形共有（     ） A．12个 B．14个 C．15个 D．21个 题型模版 1.特征：根据给定条件判断满足条件的三角形个数或存在性． 2.方法：列出三边应满足的不等式组；结合整数、正数等限制条件进行分类枚举；注意不重不漏． 变式2-1 设三个正数、、满足，求证：、、一定是某个三角形三边的长． 变式2-2 （25-26七年级下·北京·期末）各边长皆为正整数，且最大边长为n的三角形称为“n阶整三角形”．（三边对应相等的三角形视为同一个三角形） (1)5阶整三角形有__________个； (2)n阶整三角形有__________个． 变式2-3 （25-26七年级下·全国·课后作业）在平面内，分别用3根、4根、5根、6根…火柴首尾依次相接（不能折断，且需全部用完），能搭成什么形状的三角形？小明通过尝试，发现用3根、5根、6根火柴分别可以搭成一些三角形，如下表所示： 火柴数 3 5 6 示意图 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 现在请你与小明一起继续尝试，并回答下列问题： (1)用4根火柴能搭成三角形吗？ (2)用8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？请在下表中画出它们的示意图． 火柴数 8 12 示意图 形状 火柴数 8 12 示意图 形状 等腰三角形 等边三角形       等腰三角形        直角三角形 题型3、三角形高的计算 典例3 （25-26八年级下·内蒙古包头·期末）如图，向右平移后得到，点B，E，C，F在同一直线上，分别交，于点E，M，若，，阴影部分面积为，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型模版 1.特征：利用三角形的高求线段长、面积或解决动点最值问题． 2.方法：确定高的位置（锐角、直角、钝角三角形中高可能在形外）；利用面积公式列方程． 变式3-1 （25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点．给出下面四个结论：①；②；③当时，；④的最小值为；上述结论中，正确结论的序号是_______． 变式3-2 （25-26七年级下·江苏南通·期末）如图，点E，F在内，，，和四边形的面积都相等，的延长线分别交线段，于点G，D，． （1）的面积与的面积的比值为_______． （2）若的面积为364，则的面积是_______． 变式3-3 （25-26七年级上·福建福州·期末）如图，在中，是的中点，分别是上的动点，则的最小值是__________． 题型4、三角形中线性质的应用 典例4 （26-27八年级上·江苏常州·开学考试）如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点F．当四边形的面积为7时，则线段长度的最小值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 题型模版 1.特征：利用三角形中线的性质求面积、线段长或证明线段关系． 2.方法：中线平分三角形面积；利用重心分中线2:1的性质． 变式4-1 （25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，点，，分别为，，上的中点，已知的面积为16，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 变式4-2 （24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线， 连接，．若的面积是16，则阴影部分的面积是_____． 变式4-3 （25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在四边形中，，与交于点E，，设的面积为，的面积为，的面积为，的面积为． (1)求证： (2)若，，，都是整数，且四边形的面积是25，求的值． 题型5、三角形重要线段的作图问题 典例5 （25-26七年级下·河南许昌·阶段检测）如图，点是的边上的点，点均在正方形网格的格点（网格线的交点）上，每个小正方形边长为． (1)过点画的垂线，垂足为； (2)线段、的大小关系是__________，理由__________． (3)将三角形向右平移，再向下平移，画出平移后的三角形． 题型模版 1.特征：在网格或无刻度直尺条件下作三角形的高、中线、角平分线等． 2.方法：利用网格的平行、垂直、中点特征；借助矩形对角线、平行线、等分点等几何性质完成作图． 变式5-1 （25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，已知点A，B，C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题，画图过程用虚线表示，每个任务不超过3条线． (1)图中的面积为______； (2)在图1中画出的高； (3)在图1中的边上画一点E，使； (4)在图2中，F为线段上一点，画线段的中点G． 变式5-2 （25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在每个边长为的小正方形的网格中，点、、在格点上，仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图． (1)在图1中，画的中线； (2)在图1中，画的高； (3)在图2中，为与网格线的交点，在上画点，使得线段平分的面积； (4)在图2中，在的内部画点，使，且． 变式5-3 如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′． 根据下列条件，利用格点和三角尺画图： (1)补全△A′B′C′； (2)请在AC边上找一点D，使得线段BD平分△ABC的面积，在图上作出线段BD； (3)利用格点在图中画出AC边上的高线BE； (4)找△ABF（要求各顶点在格点上，F不与点C重合），使其面积等于△ABC的面积．满足这样条件的点F共_______个． 题型6、三角形中线与高的综合 典例6 （25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点．当四边形的面积为7时，则中边上的高为___________． 题型模版 1.特征：三角形的中线、高线与其他知识（面积、方程）的综合应用． 2.方法：灵活运用中线分面积、高与面积关系建立等式；结合变量设参，利用方程求解． 变式6-1 （25-26七年级下·四川广元·期末）如图，在中，为的中点，，，且，则为____． 变式6-2 （25-26七年级下·重庆北碚·期末）如图，中，点是边的中点，是边上靠近点的三等分点，点在上，且满足，连接、，若四边形的面积为，则的面积为______． 变式6-3 （25-26七年级下·江苏南通·期末）【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？ (1)请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． (2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在中，经过的重心交于点，若的面积为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段的中点．若的面积为3，则的面积为（     ） A．42 B．36 C．28 D．30 3．如图，在中，，，，若四边形的面积为，则的面积为（    ）    A．60 B．56 C．70 D．48 4．（25-26七年级下·广东佛山·期末）如图，四边形的面积是15．边、、、的中点分别为、、、．若与相交于点，则图中阴影部分的总面积为________． 5．（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图，将沿斜边的方向平移到的位置，交于点，若，，，，下列结论： ①平移的距离是4； ②； ③； ④四边形的面积为24． 其中正确的有______．（填序号） 6．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）知识储备：三角形的三条边的中线交于一点，该点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．如图，点为直线外一动点，，连接、，点、分别是、的中点，连接、交于点，当四边形的面积为5时，线段长度的最小值为_____． 7．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于、的方程组． (1)求方程组的解（用含的代数式表示）； (2)若方程组的解满足条件，求的取值范围； (3)若、是等腰三角形的两条边，且等腰三角形的周长为9，求的值． 8．（25-26八年级上·福建泉州·期中）某学习小组在综合实践课上，学习了“面积与代数恒等式”，知道很多代数恒等式可以用硬纸片拼成的图形面积来解释． 例如，图1可以解释．于是小明拼出如图2所示的边长为的正方形，图2可以解释 小组成员发现可利用图2的结论解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若满足如下条件： ，求的值． (3)已知，，，，且．求证：不能成为一个三角形的三条边长； 9．（25-26七年级下·重庆万州·期末）如图1，在中，、、分别是、、的对边，点从点出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动．设点的运动时间为秒． (1)若，． ① ， ； ②当时，若，求的值； (2)如图2，当点运动到线段上，与交于点，若为边上的中线，，，请直接写出的面积． 10．（25-26八年级上·天津北辰·期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均在格点上，点是与格线交点． (1)的度数为_______； (2)请用无刻度的直尺，确定的重心； (3)请用无刻度的直尺，确定边的中点．（只需在网格中作图，保留作图痕迹，不需要写画法，不需要证明） 11．（24-25八年级上·浙江·期末）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形重要的3个线段，我们知道，三角形的3条高所在直线交于一点． （1）①如图1，在中，，则三条高线所在的直线交于点___________ ②如图2，在中，，已知两条高，请你仅用一把无刻度的直尺做出的第三条高（不写做法，保留作图痕迹） 【综合应用】 （2）如图3，在中，，平分，过点B作于点E ①若，，则___________ ②请写出于之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两个部分，如果两个三角形的高形同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图4，M是上的一点，则有．如图5，中，M是上一点， ，N是中点．若的面积是m，请直接写出四边形的面积___________．（用含m的代数式表示） 12．【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小陈同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知． 又因为高相同，所以，于是，据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图2，的面积为4平方厘米，延长到点，延长到点，延长边到点，使，，，依次连接得到，求的面积． 【拓展延伸】（2）如图3．若四边形的面积为，分别延长四边形的各边，使得，，，，依次连接得到四边形． ①若，求四边形的面积；（用含的代数式表示） ②直接写出四边形的面积（用含的代数式表示） 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，D为BC边上任意一点，连接AD．已知DE，DF分别是，的高． 作图：（1）请在图①上作出中AC边上的高BG． 探究：（2）通过观察、测量，发现DE，DF，BG之间的数量关系为________________________． 填空：（3）为了说明DE，DF，BG之间的数量关系，小明是这样做的： 因为， 所以． 因为， 所以________________________． 拓展：（4）当点D在图②的位置时，试判断（2）中DE，DF，BG之间的数量关系是否仍然成立，并说明理由． 14．（25-26七年级下·广东深圳·期中）根据以下素材，探索完成任务． “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 素材 如图，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等面积法，我们可以得到一个等式： 问题解决 (1)观察图1，用两种方法计算拼成的大长方形的面积， 方法1：________； 方法2：________； 根据方法1、方法2，你可以得到一个等式：________． (2)如图2，是由四个完全相同的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较短直角边长为a，较长直角边长为b，最长的边为c． 用两种方法计算大正方形的面积， 方法1：________； 方法2：________； 根据方法1、方法2，你可以得到一个化简后的等式：________． (3)如图3，在中，（），点D，P分别在边上，且，，，垂足分别为E，F．若，求的值． 15．（25-26八年级上·河南许昌·期中）发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为： （填＞、＜或＝）； (2)如图3，若三条中线交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想a，b，c之间的数量关系为：__________； (3)如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则 ； (4)如图4，点D、E在的边上，交于G，G是的重心，，，，求的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份 学科网（北京）股份有限公司 $