专题05 全等三角形 专项训练 -2026-2027学年浙教版八年级数学上册

**基本信息** 以10大经典模型为框架，系统整合全等三角形辅助线方法与判定逻辑，通过分层例题实现模型认知到综合应用的迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平移模型|5题|平移性质应用|全等判定与图形变换结合| |轴对称模型|5题|折叠轴对称构造|对称性质与全等推理| |旋转模型|5题|旋转全等转化|旋转不变性与SAS判定| |一线三等角|5题|K字模型构造|直角全等与线段和差| |垂直模型|5题|垂直辅助线添加|直角三角形全等应用| |手拉手模型|5题|共顶点旋转全等|等腰三角形性质迁移| |半角模型|5题|截长补短法|角倍分与全等构造| |倍长中线|5题|倍长中线法|中线性质与SSS判定| |对角互补|5题|补角转化|四边形内角和与全等| |角平分线|5题|角平分线性质|角平分线与全等判定|

专题05 全等三角形10大经典模型专项训练（10大题型+15道拓展培优题） 经典模型一 平移模型 经典模型二 轴对称模型 经典模型三 旋转模型 经典模型四 一线三等角模型 经典模型五 垂直模型 经典模型六 手拉手模型 经典模型七 半角模型 经典模型八 倍长中线模型 经典模型九 对角互补模型 经典模型十 角平分线模型 【经典例题一 平移模型】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）将沿方向平移，得到． (1)若，求的度数； (2)若，求平移的距离． 【答案】(1)80° (2)1cm 【分析】本题考查图形的平移： （1）根据平移的性质，得到，得到，利用三角形的内角和进行求解即可； （2）用，求解即可． 【详解】（1）解：∵平移， ∴． ∴． ∵， ∴． （2）∵， ∴． ∴平移的距离为1 cm． 2．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在方格纸上，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，请按要求完成下列操作： (1)将△ABC先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，画出平移后的△A1B1C1； (2)若△ABC与△ABD全等，则图中与点C不重合的点D共有______个； (3)画出△ABC的AB边上的中线CD以及BC边上的高AE． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)见解析 【分析】（1）根据平移的方法，现将点进行平移，然后顺次连接即可； （2）根据全等三角形的性质在方格中找出相等的线段即可得出结果； （3）根据中线及高线的作法进行作图即可． 【详解】（1）解：平移后的即为所求； （2）解：如图所示：由对应边相等，可得：或或， ∴与C不重合的点有三个， 故答案为：3； （3）如图所示，为等腰直角三角形，理解两个格点与AB交于点D，连接CD即为中线，过点A作AE⊥CB， ∴CD、AE即为所求． 【点睛】 题目主要考查图形的平移，全等三角形的基本性质，三角形高线、中线的作法等，理解题意，掌握基本图形的作法是解题关键． 3．（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）如图1和图2，点B，C，D，E在同一条直线上，且，． (1)如图 1，点 D 与点 C 重合，求证：； (2)将图 1中的 沿直线向左平移至点D与点B 重合时停止，如图2所示，与交于点 G． ①判断此时与之间的位置关系，并说明理由； ②已知 ，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴； (2) ①解：与之间的位置关系是；理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②16 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质： （1）根据全等三角形的性质可得，即可求证； （2）①根据全等三角形的性质可得，从而得到，即可解答；②根据全等三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为16． 4．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图1，已知是等边三角形，，点是边的中点，以为边，在外部作等边，将从图1的位置开始，沿射线方向平移，点的对应点分别为点． (1)如图2，点是的中点，在平移过程中，连接交射线于点，求证：； (2)如图3，图中画出了时的情形，求此时平移的距离； (3)在平移的过程中，当以，，为顶点的三角形满足为直角时，则平移的距离为__________． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形，， ∴， ∵将从图1的位置开始，沿射线方向平移，点的对应点分别为点， ∴， ∵是等边三角形，，点是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)2 (3)16 【分析】（1）证明，即可得； （2）连接，由是等边三角形，，点是边的中点，得，根据平移可得，即，故平移的距离为2； （3）根据，由（1）知，得到，即可得到，故平移的距离是16． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图所示： ∵是等边三角形，，点是边的中点， ∴， ∵将从图1的位置开始，沿射线方向平移，点的对应点分别为点， ∴， ∵， ∴， 故平移的距离为； （3）解：如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴平移的距离是16， 故答案为：16． 【点睛】本题考查几何变换综合题，涉及等边三角形的性质及应用、全等三角形的判定与性质、平移变换、等腰三角形的判定与性质等知识，解答本题的关键是熟练运用分类讨论的思想解决问题． 5．（25-26八年级上·四川广元·阶段检测）中，，，点D从点B以的度沿着射线方平移，到点C停止平移，同时，点E也以的速度从点C沿着射线平移，到点B停止平移．（不考虑D、E重合的情况） (1)如图1，求证：； (2)在直线上一定存在一个点F，使和的面积始终相等，则 ； (3)将沿着翻折至． ①若，，则 （2）中的点F（填“经过”或“不经过”），此时，的度数为 ； ②猜想、、之间的数量关系，并给出详细证明过程． 【答案】(1) 证明：如图1所示： 由点，点的平移得：， 在和中， ， ． (2) (3)①经过； 45 ； ②、、之间的数量关系是：或， 理由如下： 依题意有以下两种情况： （I）当点在上时，点在的下方，如图3①所示： 由三角形的外角性质得：， 由翻折的性质得：， ， ， 即； （II）当点在上时，点在的上方，如图3②所示： 由三角形的外角性质得：， 由翻折的性质得：， ， ， ． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，点的平移，图形的翻折变换及其性质，熟练掌握点的平移，全等三角形，图形的翻折变换及其性质是解决问题的关键． （1）由点，点的平移得，进而可依据判定和全等． （2）利用尺规作图，作的平分线交于点即可； （3）①先求出，由翻折的性质得，则，由此得经过点；先求出，再由三角形外角性质得，进而可得出的度数； ②依题意有以下两种情况：（I）当点在上时，点在的下方，由三角形的外角性质得，由翻折的性质得，再根据即可得出、、之间的数量关系；（II）当点在上时，点在的上方，由三角形的外角性质得，由翻折的性质得，再根据即可得出、、之间的数量关系，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：①以点为圆心，以适当的长为半径画弧交于点， ②分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点， ③作射线交于点，则点为所求，如图2①所示： 理由如下： 由作图可知：， 在和中， ， ， ， 由（1）可知：， ， 当点在上，点在上时，如图2②所示： 此时， ， 当点在上，点在上时，如图2③所示： 此时， ， 综上所述：点为所求作的点， 故答案为：； （3）①解：经过（2）中所作的点，此时的度数为，理由如下： 如图3所示： 由（2）可知：， ， ， ， ， 由翻折的性质得：， ， ∴经过点； 在中，， ， ， ∵是的外角， ， ， 故答案为：经过； 45 ； ②略 【经典例题二 轴对称模型】 6．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，与相交于点，，． (1)求证：； (2)与是否成轴对称？若是，请用无刻度的直尺画出对称轴；若不是，请说明理由． 【答案】(1) 证明：在和中， ， ； (2) 解：与成轴对称； 直线即为所求： 【分析】本题考查作图——复杂作图、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）结合全等三角形的判定证明即可． （2）结合全等三角形的性质、轴对称的性质，分别延长相交于点，作直线即可． 【详解】（1）略 （2）略 7．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，∠，D为边上一动点，E为外一点，且E、A在线段的两侧，，． (1)如图2，当时，在线段上取一点F，使． ①求证：； ②若，，，求的面积； (2)若点A与点E关于线段成轴对称，且与其中的一条直角边垂直，求的度数． 【答案】(1) ①证明：∵，， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴； ②16 (2)或 【分析】（1）①利用余角的性质可得出，然后利用证明，再利用全等三角形的性质即可得证； ②利用三角形面积公式求出的面积，然后利用全等三角形的性质求解即可； （2）分、两种情况讨论即可． 【详解】（1）①略 ②解：∵，，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵点与点关于线段成轴对称， ∴，， 又， ∴， ∵， ∴， 当时，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，余角的性质，平行线的判定与性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等知识，灵活运用这些知识是解题的关键． 8．（24-25七年级下·广东深圳·期末）探究活动：折叠中的对称之美 【初步探究】 在学习了轴对称的知识后，老师告诉大家：折叠中隐含着许多轴对称问题．为了深入理解，小明决定动于实验．他拿出一张长方形纸片，其中，，．他在边上取一点，在边上取一点，并将纸片沿直线折叠，使得点落在新位置，如图，小明发现是等腰三角形； （1）请结合图1证明是一个等腰三角形（即） 【深入探究】 小明又沿着对称轴折叠，使得点与重合，展开后如图，与交于点，连接后，他想进行以下探究活动： 活动1（计算面积）： 若测量得，，求四边形的面积； 活动2（证明性质）： 小明发现四边形的四条边均相等，你能证明吗？ （2）请选择以上任意一个活动完成． 【答案】 （1）证明：第一次折叠， 又，， ， （2）活动一：40； 活动二：证明： 第二次折叠， ，，， 又， 在和中 ， 【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，等角对等边，以及全等三角形的性质与判定；掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠可得，根据平行线的性质可得，即可得出，根据等角对等边，即可得证； （2）活动一：根据折叠的性质可得，进而根据，即可求解． 活动二：根据折叠的性质，证明，进而得出，即可得证． 【详解】（1）略 （2）活动一： 第二次折叠，对称轴是， 活动二：略 9．（25-26八年级上·河北沧州·期末）嘉嘉学习了等腰三角形，知道“等边对等角”，他想：那么边不相等时，它们所对的角有什么样的关系呢？于是他做了如下探索： 他剪了一个如图所示的，其中，然后把纸片折叠，使得与重合，且点B落在延长线上的处，然后利用轴对称和外角的性质得到三角形中边角的不等关系．    (1)请你完成证明过程： 证明：由轴对称的性质可以得到 ∴ ① （      ②    ） 又∵是的一个外角 ∴（   ③         ） ∴ ☆                                即（等量代换） ∴在中，若，则 (2)请用（1）的结论解决问题：在中，若，是边上的中线，请探索和的大小关系，并写出证明的过程．（温馨提示：延长到点H，使，连接）    【答案】(1)①，②全等三角形的对应角相等，③ 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，☆； (2) 解：，理由如下： 延长到点H，使，连接 ∵是边上的中线         ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据全等三角形性质及三角形外角的性质解答即可； （2）延长到点H，使，连接，先证明，可得，再解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 10．（25-26八年级上·湖北恩施·期末）阅读下面材料并完成相应学习任务：利用轴对称研究边与角之间的数量关系． 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？ 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折痕交于点E，则． （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和） ．． 这说明，在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大，小边所对的角较小． 类似地，应用这种方法还可以说明，在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大，小角所对的边较小． 如图2，在中，如果，那么可以将沿折叠，使点B与点C重合，则，（依据1）． 在中，（依据2），，即． 归纳总结：从上面的过程可以看出，我们可以利用轴对称的性质来研究边与角之间的数量关系． 任务一：上述材料中依据1，依据2分别指什么？ 依据1：_________；依据2：_________； 任务二： 如图3，在中，若， （1）请直接写出，，之间的等量关系_________； （2）如图4，中，于点D，．求证：． 【答案】依据1：等角对等边；依据2：三角形中两边之和大于第三边； （1）； （2）证明：如图5，在上截取， ， ， 又， ，， 又，， ， ， ， 即． 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角知识，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键． 任务一：依据1根据等角对等边解答即可；依据2根据三角形三条边的关系解答即可； 任务二：（1）利用翻折的性质得到，，，利用三角形外角的性质和等腰三角形的判定证明，进而可得出结论； （2）在上截取，证明，推出，，利用三角形外角的性质和等腰三角形的判定证明，进而可得出结论． 【详解】任务一： 依据1：等角对等边； 依据2：三角形中两边之和大于第三边； 任务二： （1）按照图3的操作可得，，，， 又，， ， ， ， 即； （2）略 【经典例题三 旋转模型】 11．（25-26八年级上·北京海淀·阶段检测）如图，在中，，点D，F分别在上，，连接，将线段绕点C按顺时针方向旋转后得，连接． (1)求证：； (2)若直线交于点G，直接写出的度数． 【答案】(1)证明：∵将线段绕点C按顺时针方向旋转后得， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、平行线的性质： （1）由旋转的性质可得：，再根据同角的余角相等可证明，再根据全等三角形的判定方法即可证明； （2）由题意：，由全等三角形的性质得，求出，可求，进而可求出的度数． 【详解】（1）略 （2）如图， 由题意：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（2026八年级·全国·模拟预测）已知：如图1，，且点，，在一条直线上，连接、，点，分别为、的中点． (1)求证：①，②是等腰三角形； (2)在图1的基础上，将绕点旋转，其他条件不变，得到图2所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立． 【答案】(1) ①证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②证明：∵， ∴， ∵，点，分别为、的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2)（1）中的两个结论仍然成立 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，利用“”证明、是解题关键． （1）①利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明；②结合全等三角形的性质可得，根据题意再证明，然后利用“”证明，进而可得，即可证明结论； （2）①利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明；②结合全等三角形的性质可得，根据题意再证明，然后利用“”证明，进而可得，即可证明结论． 【详解】（1）①略 ②略 （2）（1）中的两个结论仍然成立，理由： ①将绕点旋转，此时点，，仍在一条直线上， 在和中， ， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，点，分别为、的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 13．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图1，在中，于点E，，D是上的一点且，连接，． (1)试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将图1中的绕点E旋转一定的角度后，试判断与 的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图3，若将图2中的和都换成等边三角形，其他条件不变，请直接写出与的数量关系和夹角（锐角）的度数． 【答案】(1)， (2) 证明：，不变．证明如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， 设交于点F，交于点N， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故，． (3)， 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定定理证明，根据全等三角形的性质解答； （2）证明根据全等三角形的性质证明即可． （3）根据等边三角形的性质，利用边角边原理证明．再根据等边三角形的性质，全等性质，三角形内角和定理证明即可． 【详解】（1）证明：，．证明如下： ∵，，， ∴， ∵ ∴， ∴，， 延长交于点M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故，． （2）略 （3）证明：，且二线夹的锐角为．理由如下： ∵和都是等边三角形， ，，. ，即， ∵， ∴， ． 如图4，设与的交点为，设交于点H， ∵， ， . 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，垂直的定义，三角形内角和定理，对顶角性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 14．（25-26八年级上·河北承德·期中）如图，等腰和等腰中腰为、、，底角，将一块三角板中用含角的顶点与A点重合，并将三角板绕A点按逆时针方向旋转． (1)当三角板旋转到如图1的位置时，三角板的两边与等腰三角形的两底边分别相交于M、N两点，求证：； (2)当三角板旋转到如图2的位置时，三角板的两边与等腰三角形两底边的延长线分别相交于M、N两点，（1）的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； (2)成立， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质， （）由可得，所以，即，即可证得； （）与（）同理可得； 熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 15．（25-26八年级下·山西临汾·期末）综合与实践 特例感知： 如图1，在等边三角形中，是延长线上一点，且，以为边作等边三角形，连接，分别过点作，过点作，交于点，连接与交于点．        (1)试判断和的数量关系，并说明理由． (2)猜想论证：将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到图2，则（1）中和的数量关系是否仍然成立？请说明理由． (3)拓展延伸：将如图1所示的绕点按逆时针方向旋转角度，当时，请直接写出的值． 【答案】(1) ， 理由：和都是等边三角形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ， ； (2) （1）中和的数量关系仍然成立，   ，和都是等边三角形， ， ， ， ，， ， 同（1）可知，， ， ； (3)的值为 【分析】（1）根据等边三角形的性质和证明，进而利用全等三角形的性质解答即可； （2）延长，交于点，根据等边三角形的性质和证明，进而利用全等三角形的性质解答即可； （3）利用（2）中的结论解答即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：略； （3）解：当时，如图，   ， 由（2）可知，， ， ， ， 的值为． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、等边三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定及性质、等边三角形的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 【经典例题四 一线三等角模型】 16．（25-26八年级上·河北·单元复习）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：，． (2)如图2，，，，于点于点H，于点P，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． 【答案】(1) 解：证明：， ， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ∴． (2)50 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和（）综合． （1）证明，即可得证； （2）同（1）法得到，，分割法求出图形面积即可； 【详解】（1）略 （2）类比（1）可知，，， ，，，， 则 ． 17．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）综合与实践 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． （1）①如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是______． ②如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为______． 【变式运用】 （2）如图3，在中，，，．求的面积． 【答案】（1）①；②3；（2）8 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练分类讨论的思想是解题的关键． （1）①根据，得到，结合，得到，从而得到即可得到即可得到答案， ②同理①证明即可得到答案； （2）过作于E，证明即可得到答案． 【详解】（1）①解：，理由如下， ∵，， ∴， ∵， ∴ ，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴ ，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴； （2）解：过作于E， ∵，， ∴，，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．（25-26七年级下·宁夏中卫·期末）【特例感知】 (1)“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．如图1，点在直线上，，，过点作于点，过点作于点，由，得_________________； 【问题探究】 (2)请猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 (3)如图2，在中，点为上一点，，，，，求的长． 【答案】(1) (2)解：， 理由如下： ， ， 在和中，， ， ，， ； (3) 【分析】（1）根据同角的余角相等可得：； （2）证明，根据全等三角形的性质可证； （3）证明，根据全等三角形的性质可得，根据，，即可求出的长度． 【详解】（1）解：， 根据同角的余角相等，可得：； （2）略 （3）解：是的外角， ， ， ， 在和中，， ， ，， ，即， ． 19．（25-26八年级上·山东滨州·阶段检测）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，且三组边相互垂直，∴称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】 （1）如图1，在中，，过点C作直线于点于点E，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图2，在中，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点，则的长为______． 【深入探究】 （3）如图3，，连接，且于点与直线交于点G．求证：． 【答案】（1）与之间满足的数量关系是：，理由如下： 如图1所示： 在中，， ∵于点于点， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 即； （2）6； （3）证明：过点作直线于点，过点作直线于点，如图3所示： 同（1）证明：， ， ， ∵直线直线于点， 在和中，， ， 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质： （1）证出，由此可得，故可得； （2）证出，可得，再结合几何关系即可求出； （3）过点作直线于点，过点作直线于点，同（1）证出，可得，再证出即可． 【详解】解：（1）略 （2）如图2所示： 在中，， ， 于点点E， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ∴， 故答案为：6； （3）略 20．（25-26八年级上·广东东莞·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 如图，已知，，过点作于点，过点作的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，且于，于．若，，则______． （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、之间具有怎样的数量关系？请证明这个数量关系． 【答案】（1）； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）． 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则，，，进而可得；，代入数据，即可求解； （2）同（1）的方法证明即可； （3）同（1）的方法证明即可． 【详解】（1）解：，证明如下； ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∵，， ∴， 故答案为：． （2） 略 （3） 略 【经典例题五 垂直模型】 21．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，是的角平分线，，垂足分别是点与相交于点，连接．问：与垂直吗？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由． 【答案】 垂直，理由如下： 是的角平分线， ， ，， ，， ， ， ， 又， ， ， ． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．先证，得到，再证明，从而得到，即可证出结论． 【详解】略 22．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知线段，小明用三角板画出了如下的图形： (1)直线与线段垂直吗？为什么？ (2)与相等吗？为什么？ 【答案】(1) 解：垂直，理由如下： 由图（4）可知：， 又∵在直线上， ∴直线与线段垂直； (2) 解：，理由如下： 由作图可知：在和中， ， ∴； ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）直接由图（4）即可得出结论； （2）证明，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 23．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．BE、AD分别与过点C的直线垂直，且垂足分别为D，E． 学习完第十二章后，张老师首先让同学们完成问题1：如图1，若AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的长；然后，张老师又提出问题2：将图1中的直线CE绕点C旋转到△ABC的外部，BE、AD与直线CE的垂直关系不变，如图2，猜想AD、DE、BE三者的数量关系，并给予证明． 【答案】BE的长为0.8cm；DE=AD+BE． 【分析】如图1，由“AAS”可证△ACD≌△CBE，可得AD=CE=2.5cm，BE=CD，由线段的和差关系可求解； 如图2，由“AAS”可证△ACD≌△CBE，可得AD=CE，BE=CD，即可求解． 【详解】解：如图1，∵∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°=∠ACD+∠CAD， ∴∠BCE=∠CAD， 在△ACD和△CBE中，， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴AD=CE=2.5cm，BE=CD， ∵DE=1.7cm， ∴BE=CD=CE-DE=2.5-1.7=0.8cm， ∴BE的长为0.8cm； 如图2，DE=AD+BE，理由如下： ∵∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°=∠ACD+∠CAD， ∴∠BCE=∠CAD， 在△ACD和△CBE中，， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴AD=CE，BE=CD， ∴DE=AD+BE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 24．（25-26八年级上·广东广州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 荡秋千问题 素材1 小颖和小娜一起玩秋千，开始时小颖坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直． 素材2 小颖坐在秋千的起始位置A处（与地面垂直），两脚在地面上用力一蹬，小娜在距水平距离的B处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点C处时，小颖距离地面的高度为，已知，于点D，于点E．    问题解决 任务1 与全等吗？请说明理由； 任务2 若规定户外秋千设置高度在以内为合理，则小颖所在小区的秋千高度设置是否合理？为什么？ 【答案】 任务1：，理由如下： 由题意得， ∵于点D，于点E ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 任务2：小颖所在小区的秋千高度设置是合理的，理由如下： ∵点B距的水平距离为，于点D， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴小颖所在小区的秋千高度设置是合理的． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质及其判定定理是解题的关键． 任务1：根据秋千的长度不变可得，再导角证明，则可利用证明； 任务2：根据全等三角形的性质可得，据此求出的长即可得到结论． 【详解】任务1：略 任务2：略 25．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）【问题解决】 (1)如图，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为_______； 【问题应用】 (2)如图，是的中线，点在的延长线上，连接，且平分，，延长至，使，连接，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图，某工厂需要加工一款十字支撑类五金配件，配件核心结构由两组相互垂直的支架组成．工人师傅以点为核心支点，分别搭建两组垂直支撑臂：第一组打造出相互垂直且等长的支撑臂、（，），第二组打造出相互垂直且等长的支撑臂、（，），连接交于点，且为的中线，为保证配件受力均衡，在线段上截取，，连接用于加固结构，最后连接形成辅助平衡边．为精准把控配件尺寸与安装角度，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下： 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)，理由如下： ∵为的中线， ∴， 在和中， ， ， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）根据中线的定义得，再结合、，即可由证明； （2）由（1）知，则，再证明，则，然后由，等量代换即可得出结论； （3）先证明得，，再证明，得，进而可得结论． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）略 （3）略 【经典例题六 手拉手模型】 26．（25-26八年级上·四川南充·期中）探究等边三角形“手拉手”问题． (1)如图1，已知，均为等边三角形，点在线段上，且不与点、点重合，连接，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图3，已知点在等边三角形外，点、点位于线段的异侧，连接、．若，猜想线段、、三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) ，理由：，均为等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， ． (2) ，证明：如图， 在线段上取一点，使得，设交于点， 为等边三角形， ，． ，， ． ，， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，三角形的内角和等知识点，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）先证出，再根据全等三角形的性质得到，最后根据平行线的判定定理即可证明结论； （2）根据题意作出适当的辅助线，再结合图形计算，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 27．（25-26七年级下·山东烟台·期末）“手拉手”模型是几何世界中常见的模型之一，两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形组成的图形就是典型的“手拉手”模型，只要细心观察，你就可以从中找到全等三角形． 如图，，    (1)求证：； (2)如图②，当时，取的中点P，的中点Q，判断的形状并给出证明． 【答案】(1) 证明：， ， 即， 在和中，， ． (2) 为等腰直角三角形，证明如下：                        由（1）知，， ， P，Q分别为，的中点， ， ， 在和中， ．               ．             ， ， ， 即， 为等腰直角三角形． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． （1）根据证明； （2）根据得出，证明，得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 28．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型．图形与几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以达到解决问题的目的 (1)【模型探究】如图1，和中，，且，连接．这一图形称为“手拉手模型”． 求证，请你完善下列过程． 证明：∵， ∴（ ）①． 即． … （ ）② (2)【类比推理】如图2，中，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求的度数．（提示：可构建手拉手模型，在上找一点E，使） 【答案】(1)等式的性质， (2)42° 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由等式的性质可得，则可证明，再利用即可证明； （2）在上取一点E，使，连接，由等边对等角得到，则可证明，进而证明，得到，设和交于点O，由，可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴（等式的性质）． 即． 又∵， ∴； （2）解：在上取一点E，使，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设和交于点O， ∵， ∴． 29．（25-26八年级上·河北保定·期中）我们把有公共顶点且形状相同的两个三角形组成的图形称为“手拉手”图形．数学实践小组的几名同学对“手拉手”图形进行了探究．如图1、图2，与的顶点重合，，，． 【初步探究】（1）如图1，连接，，他们通过测量发现． ①请你证明他们的结论； ②判断与之间的位置关系，并说明理由； 【大胆猜想】（2）在（1）的条件下，连接，，他们猜想的面积与的面积相等，请你判断他们的猜想是否正确，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图2，连接，，当时，延长交于点，且，的面积为32，直接写出的长度． 【答案】 解：（1）①证明：， ，即． 在和中， ， ； ②与之间的位置关系为； 理由：设与交于点． ， ． 在中，， ， 即， ， ，即； （2）他们的猜想正确： 证明：过作于，过作交延长线于点，则， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴； （3）的长度为3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键． （1）①由，得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； ②由得到，再利用直角三角形的性质即可证明； （2）过作于，过作交延长线于点，根据余角的性质得到，证明，根据性质得，然后由，，，即可得到结论； （3）过点作，交的延长线于点，证明，根据性质得，利用三角形面积公式列式计算，从而求解； 【详解】解：（1）①略 ②略 （2）略 （3）的长度为3． 如图2，过点作，交的延长线于点， ， ，． ， ， ． 在和中， ， ， ． ， ， （舍去）， ． 30．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造手拉手旋转型全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积． 解：延长线段到，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形的面积． (1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 ． (2)请你用上面学到的方法完成下题． 如图2，已知，，求五边形的面积． 【答案】(1)； (2)五边形的面积是． 【分析】（1）根据三角形的面积公式求得的面积，即可求解； （2）连接、，延长到，截取，证明，，根据三角形的面积公式求得的面积，即可得出的面积，进而求得四边形的面积． 【详解】（1）解：由题意可得， ，， 则的面积是：， 即四边形的面积为， 故答案为：； （2）连接、，延长到，截取， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， 的面积是：， 的面积是， 四边形的面积是， 五边形的面积是． 【经典例题七 半角模型】 31．（25-26七年级下·山东济南·期末）定义：若一个三角形中，其中有一个内角是另外一个内角的一半，则这样的三角形叫做“半角三角形”．例如：等腰直角三角形就是“半角三角形”．在钝角三角形中，，，，过点的直线交边于点．点在直线上，且． （1）如图1，若，，点在延长线上，图中是否存在“半角三角形”（除外），若存在，请写出图中的“半角三角形”，并证明；若不存在，请说明理由； （2）如图2，若，保持的度数与（1）中的结论相同，请直接写出，，满足的数量关系． 【答案】 （1）存在，“半角三角形”为， 证明：延长到，使得，连接． ， ，即 ， 在和中， ，． ， ． 为“半角三角形” （2）或 【分析】（1）延长到，使得，根据边角关系证出，得出，即可证明为“半角三角形”． （2）由（1）可知，，延长到点，使得，连接BF，构造全等三角形△≌△，进而可得出.因为，所以以为圆心，长为半径作圆与直线一定有两个交点，当第一种情况成立时，必定存在一个与它互补的，所以可得出另外一种情况. 【详解】（1）略 （2）或. ①延长到点，使得，连接BF, ∵，， ∴△≌△.    过点分别作于点， 于点, 可得. ∴. ②因为，所以以为圆心，长为半径作圆与直线一定有两个交点，当第一种情况成立时，必定存在一个与它互补的． 可知：. 综上所述，这三个角之间的关系有两种， 或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．正确理解题意，使用分类讨论思想是解决本题的关键． 32．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 【答案】（1）； （2），证明如下： 如图所示，延长到点，使，连接 ， 在和中 ， 在和中 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意证，推出，，然后利用，，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论； （2）延长到点，使，连接，根据，推出，易证，推出，，然后利用，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论． 【详解】解：（1）在和中 ， 又， 在和中 （2）略 33．（2026·江西南昌·模拟预测）【模型建立】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明． ①，，之间的数量关系为________； ②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 【类比探究】 (2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】 (3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长． 【答案】(1)①， ②将绕点顺时针旋转 (2) ，理由如下： 延长至点，使得，连接，如图， 与互补， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，结论得证； (3)5.2 【分析】（1）①沿着小明的思路，先证，再证，即可得出结论；②在①的基础上，证明即可得解； （2）延长至点，使得，连接，先证，再证，即可得出结论； （3）方法1：延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接，设，则，证明，可得，求出，得出，由（1）得：，由勾股定理得：，解方程即可． 方法2：过点作于点，设，则有，即，分别在和中，表示出和求出，再证是等腰直角三角形，即可得，则有，再证，即有，进而有，则可得一元二次方程，解方程就可求出． 【详解】（1）解：①，理由如下： 沿着小明的思路进行证明， 在正方形中，有，， 即有， ，，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ，结论得证； ②将绕点顺时针旋转即可得到． 理由如下： 在①已经证得，并得到， ， 将绕点顺时针旋转即可得到； 故答案为：①，②将绕点顺时针旋转； （2）略 （3）解法一：如图，延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 设，则， ， ， ， ， ， 由（1）得：， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， ； 解法二：过点作于点，如图， ，， 在矩形中，，，， 设，则有， ， 在中，， 在中，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即： ，， ， ， ，，， ， ， ， ， 结合，解得， ． 【点睛】本题考了勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的知识、等腰直角三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，做辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 34．（25-26八年级下·河北保定·期末）综合与实践 【问题背景】 如图1，在中，，，点、是边上的两点（点在、之间）且，我们把这种模型称为“半角模型”．在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步探索】 如图2，将绕点逆时针旋转得到，连接． 求证： (2)【探索延伸】 如图3，当时． ①若，求的长； ②若为直角三角形，则________； (3)【延伸拓展】 如图4，若，，线段（）．则的长为________（用含的代数式表示）． 【答案】(1)证明：由旋转得，， 又， ，即， 在和中， ， ， ． (2)①；②或 (3) 【分析】（1）由旋转得，．又，故．结合公共边，可证，得． （2）①由且得．由（1）全等得，，故．作，在中得，，由得，在中由勾股定理得． ②分两种情况讨论直角三角形．当时，由全等得，由旋转得，结合推出，得，故．当时，由全等得，且，故，在中，得． （3）由旋转得，故，，又，得．由（1）全等得．设，则，在中由勾股定理，解得． 【详解】（1）略 （2）解：①如图，作，垂足为， ， 为等腰三角形， ， 由（1）同理可得，， ，，， ，且， ， 在中， ， ， 又， 在中 ． ②如图，为直角三角形，当时， 由（1）同理可得，， ， 由旋转得，， ， ，即， ， ； 如图，为直角三角形，当时， 由（1）同理可得，， ， ， ， ， 综上，或． （3）解：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接． 由题意，，，， 为等腰直角三角形， ， 线段（）， 在线段上（不包括）， 由旋转可得，， ， 由（1）同理可得，， ，， 设，则， 在中，， 可得，即， 可得，解得， 的长为． 35．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折、旋转或“截长补短”做辅助线等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，弱化条件，变更载体．而构建模型，可把握问题的本质． 【问题提出】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． 【思路启迪】 小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明 ，可得出结论．他的结论应是 ． 【触类旁通】如图②，若在四边形中，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【模型迁移】已知：如图，是等边三角形，，点D是外一点，且，分别交于点E、F，的周长为 ． 【答案】思路启迪：，； 触类旁通：上述结论仍然成立，证明如下： 如图，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 在和中 ， ． ． 模型迁移：12 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角和等边三角形的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． 思路启迪：先证明得到，再证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； 触类旁通：延长到，使，连接，先导角证明，再证明得到，再接着证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； 模型迁移：延长到H，使得，连接，可求出，由等边三角形的性质可得，则可证明，同理可证明，再根据三角形周长公式可得答案． 【详解】解：思路启迪：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 触类旁通：略 模型迁移：如图所示，延长到H，使得，连接， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴的周长． 【经典例题八 倍长中线模型】 36．（25-26八年级上·湖北随州·期中）在几何题目中，当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题． (1)如图1，在中，，则边上的中线的取值范围是___________； (2)如图2，，点为中点，点在的延长线上，，若，求的长； (3)如图3，在中，是中线，点是上一点，，若，则的大小是___________（请用含的式子填空）． 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的三边关系，解题的关键是掌握相关知识并正确作出辅助线． （1）延长至点，使得，连接，由是边上的中线，可得，证明，得到，再根据三角形的三边关系得到，即可求解； （2）延长，交的延长线于点，证明，得到，，结合，可得，根据，得到，即可求解； （3）延长至点，使得，在上取点，使得，连接，，证明，得到，，结合可推出，证明，得到，进而证明是等边三角形，得到，最后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，延长至点，使得，连接， 是边上的中线， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，即， ， ． 故答案为： （2）解：延长，交的延长线于点， 点为中点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ． （3）解：如图，延长至点，使得，在上取点，使得，连接，， 是边上的中线， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ，即， ， ， 是等边三角形， ， ． 故答案为：． 37．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题． 【小试牛刀】 （1）如图1，在中，，，则边上的中线的取值范围是______； 【尝试运用】 （2）如图2，，点D为中点，点F在的延长线上，，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，是中线，点E是上一点，，，若，则的大小是______（角含的式子表示） 【答案】（1）  （2）6  （3） 【分析】（1）延长到E，使，连接，由是边上的中线，可得，证明，得到，再根据三角形的三边关系得到，即可求解； （2）延长，交的延长线于点，证明，得到，结合，可得，根据，得到，即可求解； （3）如图，延长至点N，使得，在上取点M，使得，连接，，证明，得出，，结合，得出，，证明，得出，根据，得出，结合，证明是等边三角形，得出，最后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：（1）如图，延长到E，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形三边关系得， ， ， ， 故答案为：． （2）延长，交的延长线于点G， 点D为中点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）如图，延长至点N，使得，在上取点M，使得，连接，， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 即的大小是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与与性质，三角形的中线，三角形的外角性质，等边三角形的判定与性质，三角形的三边关系，解题的关键是掌握相关知识并正确作出辅助线． 38．（25-26八年级上·山东济宁·期中）【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决．    (1)的取值范围是________； (2)【灵活运用】如图3，和中，，，，．点为的中点，试说明； (3)【问题拓展】如图4，是的中线，延长至点，使得，若，，试探究线段与的数量和位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 证明：延长至点，使，连接． ∵点为的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴； (3) ，， 理由如下：如图，在的延长线上截取，连接， 则． ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，． 【分析】（1）延长到，使，连接，构造，则可得．在中，根据三角形三边之间关系可得，进而可得． （2）延长至点，使，连接．构造，则可得，，进而可得，．再根据可得，则可得． （3）在的延长线上截取，连接，构造，则可得，，则可得，，进而可得．再根据证明，则可得，，故． 【详解】（1）解：如图2，延长到，使，连接， ∵点为的中点， ∴ 在和中 ∴， ∴ 在中， ∴ 即 ∴ 即； （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 39．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）【发现问题】 在综合与实践课上，小宣遇到了如下问题： (1)如图，，，求边上的中线的取值范围．请你帮小宣解决此问题，的取值范围是 ； 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【灵活运用】 (2)大为同学又遇到了新的问题．如图，是的中线，是的中线，，求证：；请你尝试帮助该同学解决问题． 【拓展延伸】 (3)如图，在中，，，与相交于点，，，，的面积为，则的面积是________． 【答案】(1) (2)证明：如图2，延长至点M，使得，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， ，， 是的中线，， ，， ， 在和中， ， ， ， 即； (3)20 【分析】（1）采用“倍长中线法”构造全等三角形，将、、转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求的取值范围； （2）同（1）采用“倍长中线法”构造全等三角形，结合的条件推导边和角的等量关系，再证明包含和的三角形全等，进而得到角相等； （3）先采用“倍长中线法”构造全等三角形，求出、，再证明，将转化为，最后利用求解即可． 【详解】（1）解：如图1所示，延长至点E，使得，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 的取值范围是； （2）略； （3）解：如图3，延长至点，使得，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ，即， ， ， ． 40．（24-25七年级下·山东威海·期中）中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．嘉淇在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点H，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，利用三角形三边的关系，可得中线的取值范围是 ． (2)如图2，中，，为角平分线，E为边的中点，过点E作的平行线，交于点F，交的延长线于点P． ①判断和的数量关系，并说明理由； ②若，，，则的长为 ． 【答案】(1) (2) ①．理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接． ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线模型，平方差公式的计算； （1）证明，得到，即可求解； （2）①延长到点G，使，连接，先证明，得到，，再由平分和，得到，即可得到； ②由，得到，设，则，由①得，得到，最后由，求解方程即可． 【详解】（1）解：在和中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 故答案为：； （2）①略 ②∵，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 由①得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 【经典例题九 对角互补模型】 41．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）【问题背景】 如图①，在四边形中，和称为它的对角，若这个四边形满足：，则这个四边形叫做“对角互补四边形”． 【问题解决】 (1)若四边形是“对角互补四边形”，且，求的度数； (2)如图②，，平分，A是射线上一动点，C是射线上的动点，且四边形是“对角互补四边形”． ①若是等腰三角形，求的度数； ②若，若，求的长． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用. （1）根据四边形是“对角互补四边形”，求得，根据题意列方程即可得到结论； （2）①根据“对角互补四边形”的定义得到，根据角平分线的定义得到，当时，求得（不符合题意，舍去），当时，求得；当时，求得； ②如图②，过点B作于G，于H，根据已知条件得到，根据四边形是“对角互补四边形”，求得，根据全等三角形的性质得到，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵四边形是“对角互补四边形”， ∴， ∵， ∴ ， ∴； （2）①∵四边形是“对角互补四边形”，， ∴， ∵平分， ∴， 当时， ∴（不符合题意，舍去）， 当时， ∴， ∴； 当时， ∴，， ∴． 综上所述：的度数为或； ②如图②，过点B作于G，于H， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是“对角互补四边形”， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 42．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）若四边形满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．    (1)如图①，四边形为对角互补四边形，且满足，，求的度数．小云同学是这么做的：将绕点A逆时针旋转，使得点D与点B重合，点C的对应点为点M．请你写出的度数为______； (2)如图②，四边形为对角互补四边形，且满足，，试说明：； (3)如图③，在和中，，，点B在线段上，且与互补．请你判断与的数量关系并证明． 【答案】(1) (2) 证明：如图②，将绕点A逆时针旋转，使得点D与点B重合，点C的对应点为点E，    由题意知， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴． ∴点C，B，E在同一条直线上． ∴， ∴为等边三角形， ∴． (3) ，理由如下： 如图③，连接，将绕点A逆时针旋转，使得点B与点D重合，点C的对应点为点M，    ∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∴点C，D，M在同一条直线上． 由旋转的性质可知， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，，， ∵，，， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）由题意知，，由旋转的性质可得，，，则，三点共线，是等腰直角三角形，进而可求； （2）如图②，将绕点A逆时针旋转，使得点D与点B重合，点C的对应点为点E，同理（1）可求点C，B，E在同一条直线上．，为等边三角形，进而可得． （3）如图③，连接，将绕点A逆时针旋转，使得点B与点D重合，点C的对应点为点M，由与互补，可得，，点C，D，M在同一条直线上，由旋转的性质可知，则，证明，则，，然后可求． 【详解】（1）解：由题意知，， 由旋转的性质可得，，， ∴， ∴三点共线， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 43．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，C、E分别在AB、DF上，小华想知道∠ACE和∠DEC是否互补，但是他又没有带量角器，只带了一副三角尺，于是他想了这样一个办法：首先连接CF，再找出CF的中点O，然后连接EO并延长EO和直线AB相交于点B，经过测量，他发现EO=BO，因此他得出结论：∠ACE和∠DEC互补． 请将小华的想法补充完整： ∵和交于点． ∴；（    ） 而是的中点，那么，又已知， ∴（    ）， ∴，（全等三角形对应边相等） ∴，（    ） ∴，（    ） ∴和互补．（    ） 【答案】对顶角相等；SAS；全等三角形的对应角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【分析】由“SAS”可证△COB≌△FOE，可得∠BCO=∠F，可证AB∥DF，可得结论． 【详解】解：∵CF和BE相交于点O， ∴∠COB=∠EOF；（对顶角相等）， 而O是CF的中点，那么CO=FO，又已知EO=BO， ∴△COB≌△FOE（SAS）， ∴BC=EF，（全等三角形对应边相等）， ∴∠BCO=∠F，（全等三角形的对应角相等）， ∴AB∥DF，（内错角相等，两直线平行）， ∴∠ACE和∠DEC互补．（两直线平行，同旁内角互补）， 故答案为：对顶角相等；SAS；全等三角形的对应角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 44．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）（1）【阅读理解】 如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．老师给出一个方法：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；结合图1，根据老师提出的方法，添加辅助线并完成证明； （2）【问题解决】 如图2，在（1）的条件下，连接，当，时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）延长到点，得，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2）．理由如下： 延长到点，使得，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到点，得，连接，先证明，得到，，再证明，最后根据等腰三角形的判定，即可证明结论； （2）延长到点，使得，连接，先证明是等边三角形，然后证明为等边三角形，再证明，可得，即可进一步证明结论． 【详解】解：（1）略 （2）略 45．（24-25八年级下·山西晋中·期中）四边形若满足两组对角互补，即，，则我们称该四边形为“对角互补四边形”． 【思路点拨】 （1）如图①，四边形为对角互补四边形，，．求证：平分． 小东同学是这么做的：延长至点，使得，连接，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证出平分． ①还可以知道，，的数量关系为：___________； ②请你用旋转的知识描述如何旋转得到：___________． 【变式拓展】 （2）如图②，四边形为对角互补四边形，且满足，，请你仿照小东的做法，求证： ①平分； ②． 【答案】①； ②绕点逆时针旋转90°得到； （2）①证明： ①如图，延长至点，使，连接. 因为四边形为对角互补四边形，所以 因为，所以 在和中，，，，所以 所以，， 因为， 所以 又因为， 所以是等边三角形 所以 因为， 所以 所以，即平分 ②证明：因为是等边三角形， 所以 因为， 所以， 所以. 【分析】本题是四边形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，恰当的构造辅助线是解题的关键． （1）①由题意可得，，，即可得； ②根据旋转的定义可得出答案； （2）①延长至，使，连接，证明，可确定是等边三角形，在求出，即可证明； ②由①直接可证明； 【详解】（1）解：①， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：； ②∵， ∴绕点A逆时针旋转得到． 故答案为：绕点逆时针旋转90°得到； （2）略 ②略 【经典例题十 角平分线模型】 46．（24-25八年级上·河南许昌·期中）下面是命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的证明过程，把空格补充完整．已知：如图，在中，，，是的角平分线． 求证：（ 1 ）． 证明：， （ 2 ）． ∵，分别是，的角平分线， ，（ 3 ）． 即． 在和中， ． （ 4 ）． 【答案】；等边对等角；角平分线的定义；全等三角形的对应边相等 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；因此此题可根据等腰三角形的等边对顶角及全等三角形的性质与判定可进行求解 【详解】已知：如图，在中，，，是的角平分线． 求证：． 证明：， （等边对等角）． ∵，分别是，的角平分线， ，（角平分线的定义）． 即． 在和中， ． （全等三角形的对应边相等）； 故答案为；等边对等角；角平分线的定义；全等三角形的对应边相等． 47．（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段检测）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，下面是李老师在“利用角的对称性构造全等模型”主题下设计的问题，请你解答． (1)如图1，是的角平分线，，在上截取，连接，则与的数量关系是__________； (2)如图2，的角平分线、相交于点P，，判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在四边形中，，的平分线与的平分线恰好交于边上的点P，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)， 理由如下： 在上取点D，使，连接，，如图1， ∵的角平分线、相交于点P， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； (3)， 理由如下： 在上取点E，使，连接，如图2， 则， ∵， ∴， ∵的平分线与的平分线恰好交于边上的点P， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质． （1）运用角平分线定义证明，即可得出结论； （2）在上取点D，使，连接，，根据三角形角平分线相交于一点，得到，证明，得到，，根据得到，则，结合得到，即可得出结论； （3）在上取点E，使，连接，得到，结合的平分线与的平分线恰好交于边上的点P，证明，，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）略 48．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在数学实践活动中，同学们了解到，工人师傅常用角尺作一个已知角的角平分线．作法如下：如图①，是一个任意角，在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺0刻度的顶点P的射线就是的角平分线． (1)联系三角形全等的条件，通过证明，可知，即平分．则这两个三角形全等的依据是　　；请你写出完整的证明过程； (2)在活动的过程，同学们发现用两个全等的三角形纸片也可以作一个已知角的角平分线．如图②所示，，将全等三角形的一组对应边、分别放在的两边、上，同时使这组对应边所对的顶点C、S分别落在、上，此时和的交点设为点Q，则射线即为的角平分线．你认为他们的作法正确吗？并说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)正确，理由见解析 【分析】（1）利用证明三角形全等即可； （2）证明，推出，再证明，推出，再证明，可得． 【详解】（1）解：在和中， ∵， ∴． 故答案为：； （2）正确，理由是： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即平分． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 49．（24-25八年级上·山东聊城·期中）【阅读材料】 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 【答案】（1）； 理由：如图①，在上截取，连接， 为的角平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）， 理由：如图②，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ； （3）不成立.新数量关系为：． 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和等于、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、“等角对等边”等知识． （1）在上截取，连接，证明，推出，，再求得，据此即可得到； （2）在上截取，连接，证明，推出，，同（1）即可求解； （3）在的延长线上取一点，使，连接，证明，同理可证明． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3）不成立， 新数量关系为：， 理由：如图③，在的延长线上取一点，使，连接， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 50．（25-26七年级下·上海·期末）沪教版七年级下册数学教材第17章《三角形》中，我们证明了一个结论：如图1，如果、分别是的内角、的平分线，那么． 数学学习小组的同学们利用以上结论继续开展问题研究： (1)问题1：如图1，已知、分别是的内角、的平分线，设，那么的度数为（     ） A．；B．；C．；D． (2)问题2：如图2，在中，平分交于点，，垂足为，如果，，，求的面积． 小红：这道题也有角平分线，是否可以用以上的结论呢？ 小胜：我们研究的问题是两条内角平分线所成的角和第三个内角的关系，但是这里只有一条角平分线． 小聪：可以通过添加辅助线，使得图形中出现两条角平分线！ 如果你是该学习小组的一员，以上讨论对你是否有启发？请继续完成问题2． 【答案】(1)D (2)15 【分析】（1）直接根据材料的结论推导即可； （2）在的延长线上取点，使得，根据题意即可推出，然后证明，由全等三角形的性质可知，进而利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∴； （2）解：如图2，在的延长线上取点，使得， 则、分别是的内角、的平分线， ∴； ∵， ∴， 由（1）可知，，即为的边上的高， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴． 1．（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图是某款雨伞的实物图，图是该雨伞部分骨架示意图．测得，点，分别是，的三等分点，，那么的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的应用，由点，分别是，的三等分点，，得出，根据三边对应相等，证明．解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 【详解】解：∵点，分别是，的三等分点， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴． 故选：D． 2．（2025·福建·一模）已知，在中，，点在边的延长线上，沿平移线段得到线段．已知点在边上，当时，是以为斜边的等腰直角三角形，则线段的长是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质，全等三角形的性质与判定，由平移的性质可得，，则可证明，再证明，得到，则． 【详解】解：由平移的性质可得，， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）如图，等边三角形的边长为2，O是的平分线与边上的高的交点，，将绕点O旋转，分别交线段于D，E两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（    ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①④ 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质．连接、，利用等边三角形的性质得，，、分别平分和，再证明，于是可证明，所以，，，则可对①④进行判断；利用得到四边形的面积，则可对②进行判断；根据现有条件无法证明③的结论． 【详解】解：连接、，如图，   为等边三角形， ，， ∵O是的平分线与边上的高的交点， ∴O是的平分线与的平分线的交点， ∴、分别平分和， ∴， ， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， ，，故①正确； ，故④正确； ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 根据现有条件无法证明，故③错误； 故选：C． 4．（24-25八年级上·山东济宁·阶段检测）如图1，已知，D为的角平分线上面一点，连接、；如图2，已知，D、E为的角平分线上面两点，连接、、、；如图3，已知，D、E、F为的角平分线上面三点，连接、、、、、；…，依此规律，第9个图形中有全等三角形的对数是（   ） A．40 B．36 C．55 D．45 【答案】D 【分析】本题主要考查图形的变化规律，全等三角形的判定，根据图形的变化规律总结出全等三角形对数的变化规律是解题的关键． 根据条件可得图1中有1对三角形全等；图2中可证出有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，找出图形变化的规律即可得到结果． 【详解】解：如图1所示，∵D为的角平分线上面一点， ∴ 又∵， ∴ ∴图1中有1对三角形全等； 同理可证，图2中，， ∴图2中有3对三角形全等； 以此类推，图3中有6对三角形全等； ∵，，，…， ∴由规律可得第9个图中有对全等三角形． 故选：D． 5．（24-25八年级上·福建莆田·阶段检测）小王在探究等边三角形“手拉手”问题，得出以下四个结论． （1）如图1，已知，均为等边三角形，点在线段上，且不与点、点重合，连接，则； （2）已知条件同（1），则； （3）如图2，已知，均为等边三角形，点在内部，连接、，则、、三点共线； （4）如图3，已知为等边三角形，点在外，并且与点位于线段的异侧，连接、．若，则． 以上结论正确的共有几个（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握等边三角形“手拉手”问题的解题思路是解题关键．根据等边三角形的性质证明，再进一步求解证明即可． 【详解】解：（1），均为等边三角形， ，，，， ，即， 在和中， ， ，结论正确； （2）， ， ， ， ，结论正确； （3）同理可证， ， ， 若， 则，即、、三点共线， 而题干中没有给出，无法证明，结论错误； （4）如图，在上取点，使得， 是等边三角形， 同理可证， ， ，结论正确； 结论正确的共有个， 故选：C． 6．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）下列说法：①全等的两个三角形一定成轴对称；②等腰三角形最少有1条对称轴，最多有3条对称轴；③成轴对称的两个图形一定全等．其中正确的有________．（填序号） 【答案】②③ 【分析】根据全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质进行判断即可得． 【详解】解：①全等的两个三角形一定成轴对称，错误，不一定成轴对称； ②等腰三角形最少有1条对称轴，最多有3条对称轴，正确； ③成轴对称的两个图形一定全等，正确， 综上，正确的有②③， 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点． 7．（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，在中，，将沿方向平移得到，连接，若恰好经过的中点，则的长度为_____________． 【答案】 【分析】先根据平移的性质得到，，证明，可得到，进而推出，即可得解． 【详解】解：沿方向平移得到， ，， ，， 点为的中点， ， ，，， ， ， ， ． 8．（25-26八年级下·湖南岳阳·阶段检测）在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于______． 【答案】13 【分析】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 在上截取，先证，再证，可得，再由的周长即可解答． 【详解】解：在上取点G，使， ∵，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴ ∴． ∴ ∴的周长等于， ∵，，， ∴的周长等于 故答案：． 9．（25-26八年级上·福建厦门·期末）几何学起源于土地测量，据史料记载，古希腊数学家泰勒斯发明了一种用帽子测量河流宽度的方法，具体操作步骤如下： ①如图，人垂直站立在河岸边上，视线与河岸边保持垂直； ②调整帽子，使视线通过帽檐正好落在对面的河岸边上； ③人保持姿势，转过一个角度，这时视线通过帽檐落在了自己所在岸的某一点上； ④测量该点与人站立位置的距离就是河流的宽度． 请用你学过的一个数学定理解释通过以上步骤能测得河流宽度的道理：________． 【答案】全等三角形的对应边相等． 【分析】本题考查了全等三角形的应用：构建全等三角形是解决问题的关键； 根据“”可判断人看对面的河岸边上一点所构成的直角三角形与人看自己所在岸的某一点上所构成的直角三角形全等，所以人看自己所在岸的某一点上的距离等于河流的宽度； 【详解】解：人保持姿势，转过一个角度说明看观察点的视线与人的夹角不变，而人的眼睛到地面的距离不变， 人看对面的河岸边上一点所构成的直角三角形与人看自己所在岸的某一点上所构成的直角三角形全等， 人看自己所在岸的某一点上的距离等于河流的宽度； 故答案为：全等三角形对应边相等 10．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，为的中点，直角绕点旋转，分别与边交于两点，连接．有下列结论： ①是等腰直角三角形；②；③；④．其中正确的是_______ 如图，在中，为的中点，直角绕点旋转，分别与边交于两点，连接．有下列结论：①是等腰直 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质．解决本题的关键是根据等腰直角三角形的性质找到相等的角和边，再根据边和角之间的关系证明三角形全等，最后根据全等三角形的性质判断各项结论是否正确． 首先根据等腰直角三角形的性质可以判定，，，根据同角的余角相等可证，，从而可证，所以结论③成立；根据全等三角形对应边相等可得，所以结论①成立；因为，所以，所以结论②成立；根据三角形两边之和大于第三边可证，从而可得：，所以可知结论④错误． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵为的中点， ， ，， ， ， ∴． ∵， ， 在和中， ， ，故③正确； ， 是等腰直角三角形， 故①正确； ， ， ，， ， 故②正确； ， ， 又， ， ，` 在中， ， 故④错误． 综上所述，正确的是①②③． 故答案为：①②③． 11．（24-25八年级上·浙江温州·期末）四边形若满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”． (1)如图1，四边形为对角互补四边形，且满足，，求的度数．小云同学是这么做的：延长至M，使得，连，可证明，通过判断的形状，可以得出结论． ①在图1中按要求完成作图； ②的形状为 　　； ③　　； (2)如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，试证明：； (3)如图3，等腰、等腰的顶角分别为、，点B在线段上，且与互补．请你判断与的数量关系并证明． 【答案】(1)①见解析；②等腰直角三角形；③ (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）①按题意画出图形即可； ②证明，由全等三角形的性质得出，可得出，则可得出答案； ③由等腰三角形的性质可得出答案； （2）延长至M，使得，连，证明，得出，证明为等边三角形，则可得出答案； （3）延长至M，使得，连，延长至F．证明，得出，则，证明，由全等三角形的性质得出，得出，则可得出答案． 【详解】（1）①如图1， ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 即， ∴为等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角三角形； ③∵为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：； （2）如图2，延长至M，使得，连， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． （3）．理由如下： 证明：如图3，延长至M，使得，连，延长至F． 则， 又， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形外角的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 12．（24-25八年级上·山东烟台·期末）阅读下面的证明过程： 如图1，、和都是直角三角形，其中，且直角顶点都在直线l上，求证：． 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 像这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”模型，随着几何学习的源入，我们还将对这类模型有更源入的探索． 请你结合上述内容解决下面问题． 已知：如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A、B两点，以为腰，作等腰，求直线的解析式． 【答案】直线解析式为或 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，解方程得到B的坐标是，A的坐标是．分两种情况讨论：若，如图，作轴于点E，根据全等三角形的性质得到，，求得．则C的坐标是．设直线的解析式是，解方程组得到直线的解析式；若，如图，即，即可得直线的解析式． 【详解】解：∵一次函数， 令得， 令，得， ∴B的坐标是，A的坐标是， 分以下两种情况： 若，如图，作轴于点E， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， 则C的坐标是， 设直线的解析式是，根据题意得：， 解得， ∴直线的解析式是； 若，如图，即，如图，作轴于点E， 同理可得， ∴，， ∴， 则C的坐标是， 设直线的解析式是，根据题意得：， 解得， ∴直线解析式为：； 综上所述，直线解析式为或． 13．（25-26七年级下·河南郑州·期末）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)如图1、两个等腰三角形和中，，，，连接、、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中和全等的三角形是___________，此时和的数量关系是___________； (2)如图2、两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点P，请判断线段和的关系，并说明理由； (3)如图3，已知，请完成作图：以为边分别向外作等边和等边，等边三角形三条边相等，连接，两线交于点P，并判断线段和的数量关系及的度数，并说明理由． 【答案】(1)， (2) 解：，，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． (3) 解：完成作图如下，，， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴． ， 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的外角性质等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键． （1）先证出，再利用定理可证出，根据全等三角形的性质即可得； （2），，理由：先证出，再利用定理可证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据直角三角形的性质可得，从而可得，最后根据三角形的内角和定理即可得； （3）先根据题意完成作图，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质可得，最后根据三角形的内角和定理即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）略 （3）略 14．（2026·安徽滁州·一模）【综合与实践】 问题情境：变换包括平移、旋转、对称、位似等，其中旋转就是将图形上的每一点在平面内绕着旋转中心旋转固定角度的位置移动，其中“旋”是过程，“转”是结果．旋转的性质则是解决实际问题的关键．数学活动课上，老师让同学们根据如下问题情境，发现并提出问题．如图1，与都是等腰直角三角形，点E，D分别在和上，连接EB．将线段绕点B顺时针旋转，得到的对应线段为．连接，．“兴趣小组”提出了如下两个问题：①，；②，．    解决问题： （1）请你证明“兴趣小组”提出的第②个问题． 探索发现： （2）“实践小组”在图1的基础上，将绕点C顺时针旋转角度，其它条件保持不变，得到图2． ①请你帮助“实践小组”探索：“兴趣小组”提出的两个问题是否还成立？如果成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． ②如图3，当时，请求出此时旋转角α的大小． 【答案】（1）见解析；（2）①成立，见解析；②45° 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，，得到得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，结合垂直的定义得到证明； （2）①如图2，延长与交于点P，求得，根据全等三角形的性质得到，，求得，即，根据全等三角形的性质得到，，求得，即； ②推出垂直平分得到，根据全等三角形的性质得到即可得到结论； 【详解】（1）证明：与为等腰直角三角形， ，， ， ，，， ， ， ≌， ，， ， ， ，即； （2）①如图，    延长与交于点， ， ， ，， ≌， ，． ，， ， ，即， ，，， ， ， ≌， ，． ， ， ，即； ，， 垂直平分． ， ，， ≌， ， 旋转角的大小是． 【点睛】本题主要考查了考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 15．（25-26七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴（依据1）， ∴， 在中，（依据2）， ∴． （1）任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．；    B． ；    C． （3）任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 【答案】（1）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边 （2）C （3）见解释 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的性质．掌握题目中“倍长中线法”是解题的关键． （1）掌握全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的性质即可． （2）依题意，与（1）同理，得出，再利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可． （3）先运用证明，再证明，即可作答． 【详解】解：（1）依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）； 依据2：三角形两边的和大于第三边； 故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边． （2）如图，延长至点，使，连接． 是的中线， ， 在与中， ， ， ， 在中，， 即， ． 故选：C． （3）证明：如图4，延长至F，使连接， 是的中点， ∴， 又 ∴， ，， ∵， ∴， ， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 全等三角形10大经典模型专项训练（10大题型+15道拓展培优题） 经典模型一 平移模型 经典模型二 轴对称模型 经典模型三 旋转模型 经典模型四 一线三等角模型 经典模型五 垂直模型 经典模型六 手拉手模型 经典模型七 半角模型 经典模型八 倍长中线模型 经典模型九 对角互补模型 经典模型十 角平分线模型 【经典例题一 平移模型】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）将沿方向平移，得到． (1)若，求的度数； (2)若，求平移的距离． 2．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在方格纸上，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，请按要求完成下列操作： (1)将△ABC先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，画出平移后的△A1B1C1； (2)若△ABC与△ABD全等，则图中与点C不重合的点D共有______个； (3)画出△ABC的AB边上的中线CD以及BC边上的高AE． 3．（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）如图1和图2，点B，C，D，E在同一条直线上，且，． (1)如图 1，点 D 与点 C 重合，求证：； (2)将图 1中的 沿直线向左平移至点D与点B 重合时停止，如图2所示，与交于点 G． ①判断此时与之间的位置关系，并说明理由； ②已知 ，求四边形的面积． 4．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图1，已知是等边三角形，，点是边的中点，以为边，在外部作等边，将从图1的位置开始，沿射线方向平移，点的对应点分别为点． (1)如图2，点是的中点，在平移过程中，连接交射线于点，求证：； (2)如图3，图中画出了时的情形，求此时平移的距离； (3)在平移的过程中，当以，，为顶点的三角形满足为直角时，则平移的距离为__________． 5．（25-26八年级上·四川广元·阶段检测）中，，，点D从点B以的度沿着射线方平移，到点C停止平移，同时，点E也以的速度从点C沿着射线平移，到点B停止平移．（不考虑D、E重合的情况） (1)如图1，求证：； (2)在直线上一定存在一个点F，使和的面积始终相等，则 ； (3)将沿着翻折至． ①若，，则 （2）中的点F（填“经过”或“不经过”），此时，的度数为 ； ②猜想、、之间的数量关系，并给出详细证明过程． 【经典例题二 轴对称模型】 6．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，与相交于点，，． (1)求证：； (2)与是否成轴对称？若是，请用无刻度的直尺画出对称轴；若不是，请说明理由． 7．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，∠，D为边上一动点，E为外一点，且E、A在线段的两侧，，． (1)如图2，当时，在线段上取一点F，使． ①求证：； ②若，，，求的面积； (2)若点A与点E关于线段成轴对称，且与其中的一条直角边垂直，求的度数． 8．（24-25七年级下·广东深圳·期末）探究活动：折叠中的对称之美 【初步探究】 在学习了轴对称的知识后，老师告诉大家：折叠中隐含着许多轴对称问题．为了深入理解，小明决定动于实验．他拿出一张长方形纸片，其中，，．他在边上取一点，在边上取一点，并将纸片沿直线折叠，使得点落在新位置，如图，小明发现是等腰三角形； （1）请结合图1证明是一个等腰三角形（即） 【深入探究】 小明又沿着对称轴折叠，使得点与重合，展开后如图，与交于点，连接后，他想进行以下探究活动： 活动1（计算面积）： 若测量得，，求四边形的面积； 活动2（证明性质）： 小明发现四边形的四条边均相等，你能证明吗？ （2）请选择以上任意一个活动完成． 9．（25-26八年级上·河北沧州·期末）嘉嘉学习了等腰三角形，知道“等边对等角”，他想：那么边不相等时，它们所对的角有什么样的关系呢？于是他做了如下探索： 他剪了一个如图所示的，其中，然后把纸片折叠，使得与重合，且点B落在延长线上的处，然后利用轴对称和外角的性质得到三角形中边角的不等关系．    (1)请你完成证明过程： 证明：由轴对称的性质可以得到 ∴ ① （      ②    ） 又∵是的一个外角 ∴（   ③         ） ∴ ☆                                即（等量代换） ∴在中，若，则 (2)请用（1）的结论解决问题：在中，若，是边上的中线，请探索和的大小关系，并写出证明的过程．（温馨提示：延长到点H，使，连接）    10．（25-26八年级上·湖北恩施·期末）阅读下面材料并完成相应学习任务：利用轴对称研究边与角之间的数量关系． 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？ 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折痕交于点E，则． （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和） ．． 这说明，在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大，小边所对的角较小． 类似地，应用这种方法还可以说明，在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大，小角所对的边较小． 如图2，在中，如果，那么可以将沿折叠，使点B与点C重合，则，（依据1）． 在中，（依据2），，即． 归纳总结：从上面的过程可以看出，我们可以利用轴对称的性质来研究边与角之间的数量关系． 任务一：上述材料中依据1，依据2分别指什么？ 依据1：_________；依据2：_________； 任务二： 如图3，在中，若， （1）请直接写出，，之间的等量关系_________； （2）如图4，中，于点D，．求证：． 【经典例题三 旋转模型】 11．（25-26八年级上·北京海淀·阶段检测）如图，在中，，点D，F分别在上，，连接，将线段绕点C按顺时针方向旋转后得，连接． (1)求证：； (2)若直线交于点G，直接写出的度数． 12．（2026八年级·全国·模拟预测）已知：如图1，，且点，，在一条直线上，连接、，点，分别为、的中点． (1)求证：①，②是等腰三角形； (2)在图1的基础上，将绕点旋转，其他条件不变，得到图2所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立． 13．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图1，在中，于点E，，D是上的一点且，连接，． (1)试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将图1中的绕点E旋转一定的角度后，试判断与 的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图3，若将图2中的和都换成等边三角形，其他条件不变，请直接写出与的数量关系和夹角（锐角）的度数． 14．（25-26八年级上·河北承德·期中）如图，等腰和等腰中腰为、、，底角，将一块三角板中用含角的顶点与A点重合，并将三角板绕A点按逆时针方向旋转． (1)当三角板旋转到如图1的位置时，三角板的两边与等腰三角形的两底边分别相交于M、N两点，求证：； (2)当三角板旋转到如图2的位置时，三角板的两边与等腰三角形两底边的延长线分别相交于M、N两点，（1）的结论还成立吗？请说明理由． 15．（25-26八年级下·山西临汾·期末）综合与实践 特例感知： 如图1，在等边三角形中，是延长线上一点，且，以为边作等边三角形，连接，分别过点作，过点作，交于点，连接与交于点．        (1)试判断和的数量关系，并说明理由． (2)猜想论证：将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到图2，则（1）中和的数量关系是否仍然成立？请说明理由． (3)拓展延伸：将如图1所示的绕点按逆时针方向旋转角度，当时，请直接写出的值． 【经典例题四 一线三等角模型】 16．（25-26八年级上·河北·单元复习）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：，． (2)如图2，，，，于点于点H，于点P，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． 17．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）综合与实践 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． （1）①如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是______． ②如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为______． 【变式运用】 （2）如图3，在中，，，．求的面积． 18．（25-26七年级下·宁夏中卫·期末）【特例感知】 (1)“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．如图1，点在直线上，，，过点作于点，过点作于点，由，得_________________； 【问题探究】 (2)请猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 (3)如图2，在中，点为上一点，，，，，求的长． 19．（25-26八年级上·山东滨州·阶段检测）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，且三组边相互垂直，∴称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】 （1）如图1，在中，，过点C作直线于点于点E，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图2，在中，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点，则的长为______． 【深入探究】 （3）如图3，，连接，且于点与直线交于点G．求证：． 20．（25-26八年级上·广东东莞·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 如图，已知，，过点作于点，过点作的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，且于，于．若，，则______． （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、之间具有怎样的数量关系？请证明这个数量关系． 【经典例题五 垂直模型】 21．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，是的角平分线，，垂足分别是点与相交于点，连接．问：与垂直吗？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由． 22．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知线段，小明用三角板画出了如下的图形： (1)直线与线段垂直吗？为什么？ (2)与相等吗？为什么？ 23．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．BE、AD分别与过点C的直线垂直，且垂足分别为D，E． 学习完第十二章后，张老师首先让同学们完成问题1：如图1，若AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的长；然后，张老师又提出问题2：将图1中的直线CE绕点C旋转到△ABC的外部，BE、AD与直线CE的垂直关系不变，如图2，猜想AD、DE、BE三者的数量关系，并给予证明． 24．（25-26八年级上·广东广州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 荡秋千问题 素材1 小颖和小娜一起玩秋千，开始时小颖坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直． 素材2 小颖坐在秋千的起始位置A处（与地面垂直），两脚在地面上用力一蹬，小娜在距水平距离的B处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点C处时，小颖距离地面的高度为，已知，于点D，于点E．    问题解决 任务1 与全等吗？请说明理由； 任务2 若规定户外秋千设置高度在以内为合理，则小颖所在小区的秋千高度设置是否合理？为什么？ 25．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）【问题解决】 (1)如图，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为_______； 【问题应用】 (2)如图，是的中线，点在的延长线上，连接，且平分，，延长至，使，连接，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图，某工厂需要加工一款十字支撑类五金配件，配件核心结构由两组相互垂直的支架组成．工人师傅以点为核心支点，分别搭建两组垂直支撑臂：第一组打造出相互垂直且等长的支撑臂、（，），第二组打造出相互垂直且等长的支撑臂、（，），连接交于点，且为的中线，为保证配件受力均衡，在线段上截取，，连接用于加固结构，最后连接形成辅助平衡边．为精准把控配件尺寸与安装角度，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【经典例题六 手拉手模型】 26．（25-26八年级上·四川南充·期中）探究等边三角形“手拉手”问题． (1)如图1，已知，均为等边三角形，点在线段上，且不与点、点重合，连接，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图3，已知点在等边三角形外，点、点位于线段的异侧，连接、．若，猜想线段、、三者之间的数量关系，并说明理由． 27．（25-26七年级下·山东烟台·期末）“手拉手”模型是几何世界中常见的模型之一，两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形组成的图形就是典型的“手拉手”模型，只要细心观察，你就可以从中找到全等三角形． 如图，，    (1)求证：； (2)如图②，当时，取的中点P，的中点Q，判断的形状并给出证明．                  28．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型．图形与几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以达到解决问题的目的 (1)【模型探究】如图1，和中，，且，连接．这一图形称为“手拉手模型”． 求证，请你完善下列过程． 证明：∵， ∴（ ）①． 即． … （ ）② (2)【类比推理】如图2，中，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求的度数．（提示：可构建手拉手模型，在上找一点E，使） 29．（25-26八年级上·河北保定·期中）我们把有公共顶点且形状相同的两个三角形组成的图形称为“手拉手”图形．数学实践小组的几名同学对“手拉手”图形进行了探究．如图1、图2，与的顶点重合，，，． 【初步探究】（1）如图1，连接，，他们通过测量发现． ①请你证明他们的结论； ②判断与之间的位置关系，并说明理由； 【大胆猜想】（2）在（1）的条件下，连接，，他们猜想的面积与的面积相等，请你判断他们的猜想是否正确，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图2，连接，，当时，延长交于点，且，的面积为32，直接写出的长度． 30．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造手拉手旋转型全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积． 解：延长线段到，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形的面积． (1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 ． (2)请你用上面学到的方法完成下题． 如图2，已知，，求五边形的面积． 【经典例题七 半角模型】 31．（25-26七年级下·山东济南·期末）定义：若一个三角形中，其中有一个内角是另外一个内角的一半，则这样的三角形叫做“半角三角形”．例如：等腰直角三角形就是“半角三角形”．在钝角三角形中，，，，过点的直线交边于点．点在直线上，且． （1）如图1，若，，点在延长线上，图中是否存在“半角三角形”（除外），若存在，请写出图中的“半角三角形”，并证明；若不存在，请说明理由； （2）如图2，若，保持的度数与（1）中的结论相同，请直接写出，，满足的数量关系． 32．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 33．（2026·江西南昌·模拟预测）【模型建立】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明． ①，，之间的数量关系为________； ②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 【类比探究】 (2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】 (3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长． 34．（25-26八年级下·河北保定·期末）综合与实践 【问题背景】 如图1，在中，，，点、是边上的两点（点在、之间）且，我们把这种模型称为“半角模型”．在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步探索】 如图2，将绕点逆时针旋转得到，连接． 求证： (2)【探索延伸】 如图3，当时． ①若，求的长； ②若为直角三角形，则________； (3)【延伸拓展】 如图4，若，，线段（）．则的长为________（用含的代数式表示）． 35．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折、旋转或“截长补短”做辅助线等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，弱化条件，变更载体．而构建模型，可把握问题的本质． 【问题提出】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． 【思路启迪】 小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明 ，可得出结论．他的结论应是 ． 【触类旁通】如图②，若在四边形中，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【模型迁移】已知：如图，是等边三角形，，点D是外一点，且，分别交于点E、F，的周长为 ． 【经典例题八 倍长中线模型】 36．（25-26八年级上·湖北随州·期中）在几何题目中，当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题． (1)如图1，在中，，则边上的中线的取值范围是___________； (2)如图2，，点为中点，点在的延长线上，，若，求的长； (3)如图3，在中，是中线，点是上一点，，若，则的大小是___________（请用含的式子填空）． 37．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题． 【小试牛刀】 （1）如图1，在中，，，则边上的中线的取值范围是______； 【尝试运用】 （2）如图2，，点D为中点，点F在的延长线上，，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，是中线，点E是上一点，，，若，则的大小是______（角含的式子表示） 38．（25-26八年级上·山东济宁·期中）【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决．    (1)的取值范围是________； (2)【灵活运用】如图3，和中，，，，．点为的中点，试说明； (3)【问题拓展】如图4，是的中线，延长至点，使得，若，，试探究线段与的数量和位置关系，并说明理由． 39．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）【发现问题】 在综合与实践课上，小宣遇到了如下问题： (1)如图，，，求边上的中线的取值范围．请你帮小宣解决此问题，的取值范围是 ； 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【灵活运用】 (2)大为同学又遇到了新的问题．如图，是的中线，是的中线，，求证：；请你尝试帮助该同学解决问题． 【拓展延伸】 (3)如图，在中，，，与相交于点，，，，的面积为，则的面积是________． 40．（24-25七年级下·山东威海·期中）中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．嘉淇在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点H，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，利用三角形三边的关系，可得中线的取值范围是 ． (2)如图2，中，，为角平分线，E为边的中点，过点E作的平行线，交于点F，交的延长线于点P． ①判断和的数量关系，并说明理由； ②若，，，则的长为 ． 【经典例题九 对角互补模型】 41．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）【问题背景】 如图①，在四边形中，和称为它的对角，若这个四边形满足：，则这个四边形叫做“对角互补四边形”． 【问题解决】 (1)若四边形是“对角互补四边形”，且，求的度数； (2)如图②，，平分，A是射线上一动点，C是射线上的动点，且四边形是“对角互补四边形”． ①若是等腰三角形，求的度数； ②若，若，求的长． 42．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）若四边形满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．    (1)如图①，四边形为对角互补四边形，且满足，，求的度数．小云同学是这么做的：将绕点A逆时针旋转，使得点D与点B重合，点C的对应点为点M．请你写出的度数为______； (2)如图②，四边形为对角互补四边形，且满足，，试说明：； (3)如图③，在和中，，，点B在线段上，且与互补．请你判断与的数量关系并证明． 43．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，C、E分别在AB、DF上，小华想知道∠ACE和∠DEC是否互补，但是他又没有带量角器，只带了一副三角尺，于是他想了这样一个办法：首先连接CF，再找出CF的中点O，然后连接EO并延长EO和直线AB相交于点B，经过测量，他发现EO=BO，因此他得出结论：∠ACE和∠DEC互补． 请将小华的想法补充完整： ∵和交于点． ∴；（    ） 而是的中点，那么，又已知， ∴（    ）， ∴，（全等三角形对应边相等） ∴，（    ） ∴，（    ） ∴和互补．（    ） 44．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）（1）【阅读理解】 如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．老师给出一个方法：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；结合图1，根据老师提出的方法，添加辅助线并完成证明； （2）【问题解决】 如图2，在（1）的条件下，连接，当，时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 45．（24-25八年级下·山西晋中·期中）四边形若满足两组对角互补，即，，则我们称该四边形为“对角互补四边形”． 【思路点拨】 （1）如图①，四边形为对角互补四边形，，．求证：平分． 小东同学是这么做的：延长至点，使得，连接，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证出平分． ①还可以知道，，的数量关系为：___________； ②请你用旋转的知识描述如何旋转得到：___________． 【变式拓展】 （2）如图②，四边形为对角互补四边形，且满足，，请你仿照小东的做法，求证： ①平分； ②． 【经典例题十 角平分线模型】 46．（24-25八年级上·河南许昌·期中）下面是命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的证明过程，把空格补充完整．已知：如图，在中，，，是的角平分线． 求证：（ 1 ）． 证明：， （ 2 ）． ∵，分别是，的角平分线， ，（ 3 ）． 即． 在和中， ． （ 4 ）． 47．（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段检测）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，下面是李老师在“利用角的对称性构造全等模型”主题下设计的问题，请你解答． (1)如图1，是的角平分线，，在上截取，连接，则与的数量关系是__________； (2)如图2，的角平分线、相交于点P，，判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在四边形中，，的平分线与的平分线恰好交于边上的点P，试判断与的数量关系，并说明理由． 48．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在数学实践活动中，同学们了解到，工人师傅常用角尺作一个已知角的角平分线．作法如下：如图①，是一个任意角，在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺0刻度的顶点P的射线就是的角平分线． (1)联系三角形全等的条件，通过证明，可知，即平分．则这两个三角形全等的依据是　　；请你写出完整的证明过程； (2)在活动的过程，同学们发现用两个全等的三角形纸片也可以作一个已知角的角平分线．如图②所示，，将全等三角形的一组对应边、分别放在的两边、上，同时使这组对应边所对的顶点C、S分别落在、上，此时和的交点设为点Q，则射线即为的角平分线．你认为他们的作法正确吗？并说明理由． 49．（24-25八年级上·山东聊城·期中）【阅读材料】 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 50．（25-26七年级下·上海·期末）沪教版七年级下册数学教材第17章《三角形》中，我们证明了一个结论：如图1，如果、分别是的内角、的平分线，那么． 数学学习小组的同学们利用以上结论继续开展问题研究： (1)问题1：如图1，已知、分别是的内角、的平分线，设，那么的度数为（     ） A．；B．；C．；D． (2)问题2：如图2，在中，平分交于点，，垂足为，如果，，，求的面积． 小红：这道题也有角平分线，是否可以用以上的结论呢？ 小胜：我们研究的问题是两条内角平分线所成的角和第三个内角的关系，但是这里只有一条角平分线． 小聪：可以通过添加辅助线，使得图形中出现两条角平分线！ 如果你是该学习小组的一员，以上讨论对你是否有启发？请继续完成问题2． 1．（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图是某款雨伞的实物图，图是该雨伞部分骨架示意图．测得，点，分别是，的三等分点，，那么的依据是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·福建·一模）已知，在中，，点在边的延长线上，沿平移线段得到线段．已知点在边上，当时，是以为斜边的等腰直角三角形，则线段的长是（   ） A．1 B． C．2 D． 3．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）如图，等边三角形的边长为2，O是的平分线与边上的高的交点，，将绕点O旋转，分别交线段于D，E两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（    ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①④ 4．（24-25八年级上·山东济宁·阶段检测）如图1，已知，D为的角平分线上面一点，连接、；如图2，已知，D、E为的角平分线上面两点，连接、、、；如图3，已知，D、E、F为的角平分线上面三点，连接、、、、、；…，依此规律，第9个图形中有全等三角形的对数是（   ） A．40 B．36 C．55 D．45 5．（24-25八年级上·福建莆田·阶段检测）小王在探究等边三角形“手拉手”问题，得出以下四个结论． （1）如图1，已知，均为等边三角形，点在线段上，且不与点、点重合，连接，则； （2）已知条件同（1），则； （3）如图2，已知，均为等边三角形，点在内部，连接、，则、、三点共线； （4）如图3，已知为等边三角形，点在外，并且与点位于线段的异侧，连接、．若，则． 以上结论正确的共有几个（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）下列说法：①全等的两个三角形一定成轴对称；②等腰三角形最少有1条对称轴，最多有3条对称轴；③成轴对称的两个图形一定全等．其中正确的有________．（填序号） 7．（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，在中，，将沿方向平移得到，连接，若恰好经过的中点，则的长度为_____________． 8．（25-26八年级下·湖南岳阳·阶段检测）在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于______． 9．（25-26八年级上·福建厦门·期末）几何学起源于土地测量，据史料记载，古希腊数学家泰勒斯发明了一种用帽子测量河流宽度的方法，具体操作步骤如下： ①如图，人垂直站立在河岸边上，视线与河岸边保持垂直； ②调整帽子，使视线通过帽檐正好落在对面的河岸边上； ③人保持姿势，转过一个角度，这时视线通过帽檐落在了自己所在岸的某一点上； ④测量该点与人站立位置的距离就是河流的宽度． 请用你学过的一个数学定理解释通过以上步骤能测得河流宽度的道理：________． 10．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，为的中点，直角绕点旋转，分别与边交于两点，连接．有下列结论： ①是等腰直角三角形；②；③；④．其中正确的是_______ 如图，在中，为的中点，直角绕点旋转，分别与边交于两点，连接．有下列结论：①是等腰直 11．（24-25八年级上·浙江温州·期末）四边形若满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”． (1)如图1，四边形为对角互补四边形，且满足，，求的度数．小云同学是这么做的：延长至M，使得，连，可证明，通过判断的形状，可以得出结论． ①在图1中按要求完成作图； ②的形状为 　　； ③　　； (2)如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，试证明：； (3)如图3，等腰、等腰的顶角分别为、，点B在线段上，且与互补．请你判断与的数量关系并证明． 12．（24-25八年级上·山东烟台·期末）阅读下面的证明过程： 如图1，、和都是直角三角形，其中，且直角顶点都在直线l上，求证：． 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 像这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”模型，随着几何学习的源入，我们还将对这类模型有更源入的探索． 请你结合上述内容解决下面问题． 已知：如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A、B两点，以为腰，作等腰，求直线的解析式． 13．（25-26七年级下·河南郑州·期末）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)如图1、两个等腰三角形和中，，，，连接、、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中和全等的三角形是___________，此时和的数量关系是___________； (2)如图2、两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点P，请判断线段和的关系，并说明理由； (3)如图3，已知，请完成作图：以为边分别向外作等边和等边，等边三角形三条边相等，连接，两线交于点P，并判断线段和的数量关系及的度数，并说明理由． 14．（2026·安徽滁州·一模）【综合与实践】 问题情境：变换包括平移、旋转、对称、位似等，其中旋转就是将图形上的每一点在平面内绕着旋转中心旋转固定角度的位置移动，其中“旋”是过程，“转”是结果．旋转的性质则是解决实际问题的关键．数学活动课上，老师让同学们根据如下问题情境，发现并提出问题．如图1，与都是等腰直角三角形，点E，D分别在和上，连接EB．将线段绕点B顺时针旋转，得到的对应线段为．连接，．“兴趣小组”提出了如下两个问题：①，；②，．    解决问题： （1）请你证明“兴趣小组”提出的第②个问题． 探索发现： （2）“实践小组”在图1的基础上，将绕点C顺时针旋转角度，其它条件保持不变，得到图2． ①请你帮助“实践小组”探索：“兴趣小组”提出的两个问题是否还成立？如果成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． ②如图3，当时，请求出此时旋转角α的大小． 15．（25-26七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴（依据1）， ∴， 在中，（依据2）， ∴． （1）任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．；    B． ；    C． （3）任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $