专题24 等腰三角形中的分类讨论（题型专练）数学新教材浙教版八年级上册

专题24 等腰三角形中的分类讨论 （题型突破·举一反三） 题型01 顶角或底角不明 题型02 腰与底边不明 题型03 图形未知 题型04 新定义中的分类讨论 题型05 高与腰的夹角 题型06 一腰上的中线 题型07 一（两）腰上的垂直平分线 题型08 两圆一线 题型09 等腰三角形的存在性 ▌题型01 顶角或底角不明 题目只说等腰三角形给出一个内角度数，没有说明这个角是顶角还是底角，必须分两类讨论！ 1. 等腰三角形两个底角相等； 2. 三角形内角和 180°； 3. 底角一定是锐角（＜90°）；顶角可以锐角、直角、钝角。 【典例1】（2026春•碑林区校级月考）已知△ABC是等腰三角形，若∠A＝70°，则△ABC的底角度数为（　　） A．70° B．55° C．40° D．70°或55° 【变式1-1】（2026春•金山区期末）在一个等腰三角形中，与顶角相邻的其中一个外角是100°，那么它的一个底角的度数是　 　 °． 【变式1-2】（2026春•周村区期末）等腰三角形的一个内角为50°，则它的一个底角的度数为（　　） A．80° B．65° C．50°或80° D．50°或65° 【变式1-3】（2025秋•杭州期中）已知等腰三角形的一个外角是80°，则它的底角度数是（　　） A．40° B．100° C．40°或100° D．20° ▌题型02 腰与底边不明 题目给出两条边长，没有指定哪条是腰，哪条是底边，必须分两种情况讨论，最后一定要用三角形三边关系检验！ 1. 等腰三角形：两条腰长度相等； 2. 三边关系：任意两边之和＞第三边（不满足直接舍去）； 3. 不要忘记检验！ 很多情况其中一组构不成三角形，需要舍去； 4. 看清题干：是否说明“腰”“底边”，有说明就不用分类； 5. 最终答案有几种情况，看检验结果。 【典例1】（2026春•南山区期末）已知等腰三角形一边长是12cm，另一边长是5cm，则它的周长是　29　 cm． 【变式1-1】（2026春•惠济区校级期末）若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则这个等腰三角形的底边长与其腰长的比值为（　　） A． B． C．或2 D．或 【变式1-2】（2026春•上海校级月考）一个等腰三角形的三边长分别为7、3x﹣2、x+1，求x的值，并求这个等腰三角形三边的长． 【变式1-3】（2025秋•重庆期中）一个等腰三角形的周长是35cm． （1）已知腰长是底边长的3倍，求各边的长； （2）已知其中一边长为7cm，求各边的长． ▌题型03 图形未知 题干只描述条件，没有给出图形，点位置不确定、三角形摆放不确定，需要画图分类讨论，极易漏解。 【典例1】（2026•阿城区二模）在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝20°，点D在AB边上，连接CD，若△BCD为等腰三角形时，则∠ACD的度数为　 　． 【变式1-1】（2026春•兴庆区校级期中）若一等腰三角形的腰长为4cm，腰上的高为2cm，则等腰三角形的顶角为（　　） A．30° B．150° C．30°或150° D．以上都不对 【变式1-2】（2025秋•庐阳区校级期末）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为56°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（　　） A．56° B．146° C．56°或146° D．34°或146° 【变式1-3】（2025秋•龙江县期末）已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则该等腰三角形的底角为　 　． ▌题型04 新定义中的分类讨论 1. 题干给出全新定义（如：和谐三角形、倍角三角形、优等腰三角形、奇异三角形等）； 2. 结合等腰三角形； 3. 无图 / 顶点不固定 / 边角身份不明确，必须分类讨论； 4. 核心陷阱：等腰三角形谁是顶角顶点不预先说明。 【典例1】（2025•洞口县校级模拟）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，腰AB的长为6，则底边BC的长为 　 　． 【变式1-1】（2026春•埇桥区期末）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰△ABC中，∠A＝50°，则它的特征值k等于（　　） A． B． C．或 D．或 【变式1-2】（2026春•高新区校级月考）定义：如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的奇妙线，称这个三角形为奇妙三角形．若△ABC是奇妙三角形，∠A＝36°，∠ABC为钝角，则∠ABC所有可能的度数　 　 ． 【变式1-3】（2025秋•姑苏区校级期中）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，腰AB的长为6，求△ABC的周长． ▌题型05 高与腰的夹角 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，求顶角。 没有给出图形，必须分两类：锐角等腰三角形、钝角等腰三角形。 情况1：等腰三角形为锐角三角形（顶角是锐角） 高在三角形内部，顶角 =； 情况2：等腰三角形为钝角三角形（顶角是钝角） 高在三角形外部，顶角 =。 【典例1】已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形底角的度数为（　　） A．50° B．50°或130° C．130° D．65°或25° 【变式1-1】（2026春•沙坪坝区校级月考）若某等腰三角形一内角为50°，则等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为（　　） A．25°或30° B．40°或35° C．25°或40° D．30°或50° 【变式1-2】（2026春•虹口区期末）如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角恰好等于底角，那么这个等腰三角形顶角的度数为　 　度． 【变式1-3】（2026春•龙岗区期中）已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是56°，那么这个等腰三角形的顶角的度数是　 　 ． ▌题型06 一腰上的中线 已知：等腰三角形一腰上的中线将周长分为 m、n 两部分， 解题步骤 （1）设腰长 2x（设2x方便消分母，中线分得线段为x），底边长 y； （2）分两种情况列方程： 情况①：腰+半腰 = m，底+半腰 = n 即 情况②：腰+半腰 = n，底+半腰 = m 即 （3）解出 x，,y 后检验三边关系：两腰之和＞底边，不成立舍去。 【典例1】（2026春•榆中县期中）等腰三角形一腰上的中线，将三角形的周长分成两部分，分别是12与15，则腰长为　 　 ． 【变式1-1】（2026春•杨浦区校级月考）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，周长为16cm，AC边上的中线BD把△ABC分成周长差为4cm的两个三角形，求△ABC底边BC的长　 　 cm． 【变式1-2】（2026•雅安模拟）在等腰△ABC中，AB＝AC，中线CD将这个三角形的周长分为12和15两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（　　） A．7 B．7或11 C．10 D．8或10 【变式1-3】（2025秋•涪城区校级期末）等腰三角形的周长为36，一腰上的中线把周长分为1：2两部分，则这个等腰三角形的底边长为（　　） A．4 B．10 C．20 D．4或20 ▌题型07 一（两）腰上的垂直平分线 线段垂直平分线性质：线上任意一点到线段两端距离相等。 等腰△ABC，AB＝AC，AB的垂直平分线交另一腰AC于点 1.交点落在腰上（锐角等腰三角形） 2.交点落在腰的延长线上（钝角等腰三角形） 无图必须分两类！ 【典例1】（2025秋•监利市期末）已知等腰△ABC，AB＝AC，若AB边上的垂直平分线与直线AC所夹的锐角为50°，则等腰△ABC顶角的度数为（　　） A．65° B．65°或25° C．50° D．40°或140° 【变式1-1】（2025秋•讷河市期末）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E．若∠EBC＝42°，则∠BAC的度数为（　　） A．32°或152° B．32°或88° C．88°或152° D．32°或88°或152° 【变式1-2】（2025秋•天河区期末）已知等腰△ABC中．AB＝AC，两腰的垂直平分线交于点P，已知∠BPC＝100°，则等腰三角形的顶角为　 　 ． 【变式1-3】（2026春•峄城区月考）等腰△ABC，AB＝AC，线段AB的垂直平分线DE交AB于点D，交直线AC于点E，若∠DEA＝50°，则∠BAC的度数是　 　 ． ▌题型08 两圆一线 已知定点A、B，找点P使△ABP为等腰三角形 1. 圆1（以A为圆心，AB为半径画圆） 顶角顶点为A，满足：AB=AP，圆周上所有点均可作P。 2. 圆2（以B为圆心，AB为半径画圆） 顶角顶点为B，满足：BA=BP，圆周上所有点均可作P。 3. 一线（线段AB的垂直平分线） 顶角顶点为P，满足：PA=PB，垂直平分线上所有点均可作P。 【典例1】（2025秋•海州区校级月考）如图，在4×4方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【变式1-1】（2026春•碑林区校级期中）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A，B是两格点，使得△ABC为等腰三角形的格点C的个数是（　　） A．3 B．5 C．6 D．8 【变式1-2】（2025秋•镇平县期末）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B两点都在格点上，点C也是一格点，并且△ABC是等腰三角形，那么满足条件的点C的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（2026•海口二模）如图，在5×5的正方形网格中，点A，B都在格点处，若以线段AB为腰的等腰三角形ABC另一顶点C也在格点处，则点C所处的位置个数为 . ▌题型09 等腰三角形的存在性 使△PAB为等腰三角形，分三种情况讨论： ① 当A为顶角顶点，AP=AB，……计算 ② 当B为顶角顶点，BP=BA，……计算 ③ 当P为顶角顶点，PA=PB，……计算 检验：排除三点共线情况 【典例1】（2025秋•广信区期末）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝20°，BP平分∠ABC；点D是射线BP上一点，如果点D满足△BCD是等腰三角形，那么∠BDC的度数是　 　． 【变式1-1】（2025秋•瑶海区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC．已知∠MPN的顶点P是线段AB上一点，PM经过顶点C，PN与AC交于点D，∠MPN＝30°，设PM与BC的夹角为∠1（∠1≠0°）． （1）若AP＝AC，则∠BPC的度数为　 　； （2）当△CDP是等腰三角形时，∠1的度数为　 　 ． 【变式1-2】已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 【变式1-3】（2025秋•松原校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿BC→CA方向运动，且速度为每秒2cm，P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒． （1）BP＝　 　 cm（用含t的式子表示）； （2）当点Q在边BC上运动时． ①出发几秒后，△PQB是等腰三角形？ ②通过计算说明PQ能否把△ABC的周长平分？ （3）当点Q在边CA上运动时，若△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形，直接写出此时t的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24 等腰三角形中的分类讨论 （题型突破·举一反三） ▌题型01 顶角或底角不明 【典例1】D． 【变式1-1】50． 【变式1-2】D． 【变式1-3】A． ▌题型02 腰与底边不明 【典例1】29． 【变式1-1】D． 【变式1-2】 【解答】解：根据题意，分三种情况讨论如下： ∴①当7＝3x﹣2时，解得：x＝3， ∴等腰三角形的三边分别为7，7，4，此时能组成三角形； ②当x+1＝3x﹣2时，解得：， ∴等腰三角形的三边分别为，此时不能组成三角形； ③当x+1＝7时，解得：x＝6， ∴等腰三角形的三边分别为7，16，7，此时不能组成三角形； 综上所述，x＝3，三角形三边长为7，7，4． 【变式1-3】 【解答】解：（1）设底边长为xcm，则腰长是3xcm， x+3x+3x＝35， 解得：x＝5， 所以3x＝15（cm）， 故各边长为：5cm，15cm，15cm； （2）已知条件中，没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以有两种情况讨论： ①若底边长为 7 cm，设腰长为ycm， 则：7+2y＝35，y＝14， 所以三边长分别为：7cm，14cm，14cm， ②若腰长为 7 cm，设底边长为acm，则：7+7+a＝35，得a＝21， 又因为7+7＝14＜21，故舍去， 综上所述，三边长分别为：7cm，14cm，14cm． ▌题型03 图形未知 【典例1】20°或80°． 【变式1-1】C． 【变式1-2】D． 【变式1-3】75°或15°． ▌题型04 新定义中的分类讨论 【典例1】3． 【变式1-1】D． 【变式1-2】108°或126°或132°． 【变式1-3】 【解答】解：根据题意，分两种情况讨论： ①当腰是底的2倍时，底边为6÷2＝3， ∵3+6＞6，6﹣3＜6， ∴可以构成三角形； ②当底是腰的2倍时，底边为6×2＝12， ∵6+6＝12， ∴不能构成三角形． ∴△ABC的周长＝6+6+3＝15． ▌题型05 高与腰的夹角 【典例1】D． 【变式1-1】C． 【变式1-2】120． 【变式1-3】124°或56°． ▌题型06 一腰上的中线 【典例1】8或10． 【变式1-1】． 【变式1-2】B． 【变式1-3】A． ▌题型07 一（两）腰上的垂直平分线 【典例1】D． 【变式1-1】D． 【变式1-2】50°或130°． 【变式1-3】40°或140°． ▌题型08 两圆一线 【典例1】C． 【变式1-1】C． 【变式1-2】C． 【变式1-3】6． ▌题型09 等腰三角形的存在性 【典例1】40°、70°或100°． 【变式1-1】 （1）105°； （2）45°或90°． 【变式1-2】 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠BDC是△ADC的一个外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD， ∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A， ∴∠BDC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠BDC． ∴CD＝CB； （2）①∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠CBE+∠ACB＝90°， 设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α， ∴∠BCD＝2∠CBE； ②∵∠BFD是△CBF的一个外角， ∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α， 分三种情况： 当BD＝BF时， ∴∠BDC＝∠BFD＝3α， ∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴90°﹣α＝3α， ∴α＝22.5°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°； 当DB＝DF时， ∴∠DBE＝∠BFD＝3α， ∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α， ∴90°﹣2α＝3α， ∴α＝18°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°； 当FB＝FD时， ∴∠DBE＝∠BDF， ∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF， ∴不存在FB＝FD， 综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°． 【变式1-3】 【解答】解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t， ∵AB＝16cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm， （2）①当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时， 即16﹣t＝2t，解得， ∴出发秒后； ②当Q在BC上，0≤t≤6，如图， 而AP＝t，BQ＝2t， ∴BP＝16﹣t，CQ＝12﹣2t， ∵PQ把△ABC的周长平分， ∴16﹣t+2t＝t+12﹣2t+20， 解得：t＝8，不符合题意舍去， ∴点Q在边BC上运动时．PQ不能把△ABC的周长平分． （3）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示， 则∠C＝∠CBQ， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBQ+∠ABQ＝90°． ∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝∠ABQ， ∴BQ＝AQ， ∴CQ＝AQ＝10（cm）， ∴BC+CQ＝22（cm）， ∴t＝22÷2＝11； ②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示， 则BC+CQ＝24（cm）， ∴t＝24÷2＝12， 综上所述：当t为11秒或12秒时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形． 故答案为：11或12． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24 等腰三角形中的分类讨论 （题型突破·举一反三） 题型01 顶角或底角不明 题型02 腰与底边不明 题型03 图形未知 题型04 新定义中的分类讨论 题型05 高与腰的夹角 题型06 一腰上的中线 题型07 一（两）腰上的垂直平分线 题型08 两圆一线 题型09 等腰三角形的存在性 ▌题型01 顶角或底角不明 题目只说等腰三角形给出一个内角度数，没有说明这个角是顶角还是底角，必须分两类讨论！ 1. 等腰三角形两个底角相等； 2. 三角形内角和 180°； 3. 底角一定是锐角（＜90°）；顶角可以锐角、直角、钝角。 【典例1】（2026春•碑林区校级月考）已知△ABC是等腰三角形，若∠A＝70°，则△ABC的底角度数为（　　） A．70° B．55° C．40° D．70°或55° 【分析】等腰三角形ABC的顶角和底角都有可能是70°，由等边对等角和三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：当等腰△ABC的顶角是70°时， ∵等腰三角形的两个底角相等， ∴△ABC的底角（180°﹣70°）＝55°； 等腰△ABC的底角也可能是70°， ∴△ABC的底角度数为70°或55°． 故选：D． 【变式1-1】（2026春•金山区期末）在一个等腰三角形中，与顶角相邻的其中一个外角是100°，那么它的一个底角的度数是　50　 °． 【分析】先求出该等腰三角形的顶角为80°，进而得两个底角之和为100°，然后根据等腰三角形的两个底角相等即可得出它的一个底角的度数是50°． 【解答】解：∵与等腰三角形顶角相邻的其中一个外角是100°， ∴该等腰三角形的顶角为：180﹣100＝80°， ∴该等腰三角形的两个底角之和为：180﹣80°＝100°， 又∵等腰三角形的两个底角相等， ∴该等腰三角形一个底角的度数是50°． 故答案为：50． 【变式1-2】（2026春•周村区期末）等腰三角形的一个内角为50°，则它的一个底角的度数为（　　） A．80° B．65° C．50°或80° D．50°或65° 【分析】分两种情况：当等腰三角形的顶角为50°时；当等腰三角形的一个底角为50°时，然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当等腰三角形的顶角为50°时，则它的两个底角度数都65°； 当等腰三角形的一个底角为50°时，则它的顶角度数＝180°﹣50°﹣50°＝80°； 综上所述：它的一个底角的度数为65°或50°， 故选：D． 【变式1-3】（2025秋•杭州期中）已知等腰三角形的一个外角是80°，则它的底角度数是（　　） A．40° B．100° C．40°或100° D．20° 【分析】根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质求解． 【解答】解：∵等腰三角形的一个外角为80°， ∴相邻角为180°﹣80°＝100°， ∵三角形的底角不能为钝角， ∴100°角为顶角， ∴底角为：（180°﹣100°）÷2＝40°． 故选：A． ▌题型02 腰与底边不明 题目给出两条边长，没有指定哪条是腰，哪条是底边，必须分两种情况讨论，最后一定要用三角形三边关系检验！ 1. 等腰三角形：两条腰长度相等； 2. 三边关系：任意两边之和＞第三边（不满足直接舍去）； 3. 不要忘记检验！ 很多情况其中一组构不成三角形，需要舍去； 4. 看清题干：是否说明“腰”“底边”，有说明就不用分类； 5. 最终答案有几种情况，看检验结果。 【典例1】（2026春•南山区期末）已知等腰三角形一边长是12cm，另一边长是5cm，则它的周长是　29　 cm． 【分析】由已知条件结合三角形任意两边之和大于第三边，判断第三边的值为12cm，从而求出它的周长． 【解答】解：∵等腰三角形的一边长为5cm，另一边长12cm，又三角形任意两边之和大于第三边， ∴这个等腰三角形的第三边的长为12cm． ∴这个等腰三角形的周长为：5+12+12＝29（cm）． 故答案为：29． 【变式1-1】（2026春•惠济区校级期末）若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则这个等腰三角形的底边长与其腰长的比值为（　　） A． B． C．或2 D．或 【分析】分边长8为腰长和底边长两种情况，根据等腰三角形的定义求出该三角形的三边长，再根据构成三角形的条件判断能否构成三角形，并计算对应的底边长与其腰长的比值． 【解答】解：当8为腰长时，底边长为20﹣2×8＝4，此时三边长为4，8，8， ∵4+8＝12＞8， ∴能构成三角形， ∴底边长与腰长的比值为； ②当8为底边长时，腰长为 ，此时三边长为6，6，8， ∵6+6＝12＞8 ∴能构成三角形，符合题意， ∴底边长与腰长的比值为； 综上，底边长与腰长的比值为或． 故选：D． 【变式1-2】（2026春•上海校级月考）一个等腰三角形的三边长分别为7、3x﹣2、x+1，求x的值，并求这个等腰三角形三边的长． 【分析】在没有明确给出腰和底边时，要注意和已知条件联系起来分情况讨论进而求解．分三种情况讨论． 【解答】解：根据题意，分三种情况讨论如下： ∴①当7＝3x﹣2时，解得：x＝3， ∴等腰三角形的三边分别为7，7，4，此时能组成三角形； ②当x+1＝3x﹣2时，解得：， ∴等腰三角形的三边分别为，此时不能组成三角形； ③当x+1＝7时，解得：x＝6， ∴等腰三角形的三边分别为7，16，7，此时不能组成三角形； 综上所述，x＝3，三角形三边长为7，7，4． 【变式1-3】（2025秋•重庆期中）一个等腰三角形的周长是35cm． （1）已知腰长是底边长的3倍，求各边的长； （2）已知其中一边长为7cm，求各边的长． 【分析】（1）设底边长为xcm，则腰长是3xcm，代入求出即可； （2）已知条件中，没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以有两种情况讨论，还应判定能否组成三角形． 【解答】解：（1）设底边长为xcm，则腰长是3xcm， x+3x+3x＝35， 解得：x＝5， 所以3x＝15（cm）， 故各边长为：5cm，15cm，15cm； （2）已知条件中，没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以有两种情况讨论： ①若底边长为 7 cm，设腰长为ycm， 则：7+2y＝35，y＝14， 所以三边长分别为：7cm，14cm，14cm， ②若腰长为 7 cm，设底边长为acm，则：7+7+a＝35，得a＝21， 又因为7+7＝14＜21，故舍去， 综上所述，三边长分别为：7cm，14cm，14cm． ▌题型03 图形未知 题干只描述条件，没有给出图形，点位置不确定、三角形摆放不确定，需要画图分类讨论，极易漏解。 【典例1】（2026•阿城区二模）在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝20°，点D在AB边上，连接CD，若△BCD为等腰三角形时，则∠ACD的度数为　20°或80°　 ． 【分析】先利用三角形的内角和定理求出∠ACB，再分类讨论，最后根据三角形的内角和定理得结论． 【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝20°， ∴∠ACB＝180°﹣60°﹣20°＝100°， ①当BC＝BD时，如图： 此时∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣20°）÷2＝80°， ∴∠ACD＝100°﹣80°＝20°； ②当BD＝CD时，如图： 此时∠DBC＝∠DCB＝20°， ∴∠ACD＝100°﹣20°＝80°； 当BC＝CD时，∠BCD＝180°﹣2×20°＝140°， 此时点D不在边AB上（舍去）， 综上所述，∠ACD的度数为20°或80°． 故答案为：20°或80°． 【变式1-1】（2026春•兴庆区校级期中）若一等腰三角形的腰长为4cm，腰上的高为2cm，则等腰三角形的顶角为（　　） A．30° B．150° C．30°或150° D．以上都不对 【分析】根据题意作出图形分两种情况，高线在三角形内、高线在三角形外，然后再解直角三角形即可． 【解答】解：由题意我们可作图 （1）∵AC＝4，CD＝2，CD⊥AB， ∴∠A＝30°， （2）∵AC＝4，CD＝2，CD⊥BD， ∴∠DAC＝30°， ∴∠BAC＝150°． 故选：C． 【变式1-2】（2025秋•庐阳区校级期末）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为56°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（　　） A．56° B．146° C．56°或146° D．34°或146° 【分析】通过分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况，进行分类讨论即可． 【解答】解：设该等腰三角形为△ABC，且AB＝AC， 当等腰三角形为钝角三角形时，如图， 由题意得：∠ABD＝56°，BD⊥CD， ∴∠BAD＝90°﹣56°＝34°， ∴∠BAC＝180°﹣34°＝146°， ∴此等腰三角形的顶角的度数为146°； 当等腰三角形为锐角三角形时，如图所示， 由题意得∠ABD＝56°，BD⊥AC， ∴∠A＝90°﹣56°＝34°， ∴此等腰三角形的顶角的度数为34°； 综上所述，此等腰三角形的顶角的度数为146°或34°， 故选：D． 【变式1-3】（2025秋•龙江县期末）已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则该等腰三角形的底角为　75°或15°　 ． 【分析】分两种情况，等腰三角形的高可能在三角形的内部或外部，由此即可求解． 【解答】解：如图①，AB＝AC，BD⊥AC，BDAB， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°， ∵BDAB， ∴∠A＝30°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C（180°﹣30°）＝75°； 如图②，AB＝AC，BH⊥CA，交CA的延长线于H，BHAB， ∵BH⊥CA， ∴∠BHA＝90°， ∵BHAB， ∴∠BAH＝30°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵∠ABC+∠C＝∠BAH， ∴2∠C＝30°， ∴∠C＝15°， ∴该等腰三角形的底角为75°或15°． 故答案为：75°或15°． ▌题型04 新定义中的分类讨论 1. 题干给出全新定义（如：和谐三角形、倍角三角形、优等腰三角形、奇异三角形等）； 2. 结合等腰三角形； 3. 无图 / 顶点不固定 / 边角身份不明确，必须分类讨论； 4. 核心陷阱：等腰三角形谁是顶角顶点不预先说明。 【典例1】（2025•洞口县校级模拟）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，腰AB的长为6，则底边BC的长为 　3　 ． 【分析】分两种情况：当等腰三角形的底边长BC是腰长AB的2倍时，当等腰三角形的腰长AB是底边长BC的2倍时，然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当等腰三角形的底边长BC是腰长AB的2倍时， ∵腰长AB＝AC＝6， ∵底边BC的长为12， ∵6+6＝12， ∴不能组成三角形； 当等腰三角形的腰长AB是底边长BC的2倍时， ∵腰长AB＝AC＝6， ∴底边BC的长为3； 综上所述：底边BC的长为3， 故答案为：3． 【变式1-1】（2026春•埇桥区期末）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰△ABC中，∠A＝50°，则它的特征值k等于（　　） A． B． C．或 D．或 【分析】分两种情况：当等腰三角形的顶角为50°；当等腰三角形的一个底角为50°时，然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当等腰三角形的顶角为50°， ∴等腰三角形的两个底角都（180°﹣50°）＝65°， ∴这个等腰三角形的“特征值”k； 当等腰三角形的一个底角为50°时，那么另一个底角也是50°， ∴等腰三角形的顶角＝180°﹣2×50°＝80°， ∴这个等腰三角形的“特征值”k； 综上所述：或， 故选：D． 【变式1-2】（2026春•高新区校级月考）定义：如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的奇妙线，称这个三角形为奇妙三角形．若△ABC是奇妙三角形，∠A＝36°，∠ABC为钝角，则∠ABC所有可能的度数　108°或126°或132°　 ． 【分析】根据奇妙线的定义可得出奇妙线必经过三角形的顶点，然后分奇妙线经过点A、点B、点C讨论，根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理求解即可． 【解答】解：∵奇妙线将原三角形分成两个等腰三角形， ∴奇妙线必经过三角形的顶点， 当奇妙线经过点A时，如图， ∵∠ADC＞∠ABC，∠ABC是钝角， ∴∠ADC是钝角， ∵△ADC是等腰三角形， ∴AD＝CD， ∴∠C＝∠DAC， ∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝2∠DAC 同理∠DAB＝∠ADB， ∴∠BAC＝∠DAC+∠DAB＝3∠DAC＝36°， ∴∠DAC＝12°＝∠C， ∴∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝132°； 当奇妙线经过点C时，如图， 同理可求AD＝CD，BC＝BD， ∴∠ACD＝∠A＝36°，∠BCD＝∠BDC， ∴∠BCD＝∠BDC＝∠ACD+∠A＝72°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BCD﹣∠BDC＝36°，不符合题意，舍去； 当奇妙线经过点B时，如图， 当AD＝BD时，∠DBA＝∠A＝36°， ∴∠CDB＝72°， 若BC＝CD，则∠CBD＝∠CDB＝72°， ∴∠C＝36°， ∴∠ABC＝108°，符合题意； 若BC＝BD，则∠C＝∠CDB＝72°， ∴∠ABC＝72°，不符合题意，舍去； 若BD＝CD，则， ∴∠ABC＝90°，不符合题意，舍去； 当AB＝BD时， 则∠ADB＝∠A＝36°， ∴∠BDC＝144°， 若△BCD是等腰三角形，则BD＝CD， ∴， ∴∠ABC＝126°，符合题意； 当AD＝AB时， 则， ∴∠CDB＝108°， 若△BCD是等腰三角形，则BD＝CD， ∴， ∴∠ABC＝108°，符合题意； 综上，∠ABC所有可能的度数为108°或126°或132°． 故答案为：108°或126°或132°． 【变式1-3】（2025秋•姑苏区校级期中）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，腰AB的长为6，求△ABC的周长． 【分析】分两种情况讨论：①腰是底的2倍；②底是腰的2倍，再利用三角形三边关系（三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）进行检验即可得到答案． 【解答】解：根据题意，分两种情况讨论： ①当腰是底的2倍时，底边为6÷2＝3， ∵3+6＞6，6﹣3＜6， ∴可以构成三角形； ②当底是腰的2倍时，底边为6×2＝12， ∵6+6＝12， ∴不能构成三角形． ∴△ABC的周长＝6+6+3＝15． ▌题型05 高与腰的夹角 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，求顶角。 没有给出图形，必须分两类：锐角等腰三角形、钝角等腰三角形。 情况1：等腰三角形为锐角三角形（顶角是锐角） 高在三角形内部，顶角 =； 情况2：等腰三角形为钝角三角形（顶角是钝角） 高在三角形外部，顶角 =。 【典例1】已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形底角的度数为（　　） A．50° B．50°或130° C．130° D．65°或25° 【分析】分别从此等腰三角形是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案． 【解答】解：在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝40°， 当BD在△ABC内部时，如图1， ∵BD为高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣40°＝50°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣50°）＝65°； 当BD在△ABC外部时，如图2， ∵BD为高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣40°＝50°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 而∠BAD＝∠ABC+∠ACB， ∴∠ACB∠BAD＝25°， 综上所述，这个等腰三角形底角的度数为65°或25°． 故答案为：65°或25°． 故选：D． 【变式1-1】（2026春•沙坪坝区校级月考）若某等腰三角形一内角为50°，则等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为（　　） A．25°或30° B．40°或35° C．25°或40° D．30°或50° 【分析】如图，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为D，分两种情况，当∠C＝50°时，当∠A＝50°时，即可解答． 【解答】解：如图，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为D， 当∠C＝50°时，则∠DBC＝90°﹣50°＝40°； 当∠A＝50°时， ∵AB＝AC， ∴， ∴∠DBC＝90°﹣65°＝25°； 故选：C． 【变式1-2】（2026春•虹口区期末）如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角恰好等于底角，那么这个等腰三角形顶角的度数为　120　 度． 【分析】等腰三角形一腰上的高不可能在等腰三角形的内部，当等腰三角形一腰上的高在等腰三角形的外部时，由直角三角形的性质求出底角的度数，即可求出这个等腰三角形顶角的度数． 【解答】解：当等腰三角形一腰上的高在等腰三角形的内部时，如图：AB＝AC，BD⊥AC， ∵∠ABD＜∠ABC， ∴此种情况不存在； 当等腰三角形一腰上的高在等腰三角形的外部时，如图：AB＝AC，BH⊥AC，交AC的延长线于H， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵∠BHC＝90°， ∴∠C+∠ABC+∠ABH＝90°， ∵∠ABH＝∠ABC， ∴3∠C＝90°， ∴∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣30﹣30°＝120°， ∴这个等腰三角形顶角的度数为120°， 故答案为：120． 【变式1-3】（2026春•龙岗区期中）已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是56°，那么这个等腰三角形的顶角的度数是　124°或56°　 ． 【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情形画出图形分别求解即可解决问题． 【解答】解：等腰三角形两腰上的高所在的直线形成的锐角为56°，根据等腰三角形的性质，分两种情形画出图形分别求解如下： ①如图1，当∠BAC是钝角时， 由题意：AB＝AC，∠AEH＝∠ADH＝90°，∠EHD＝56°， ∴∠BAC＝∠EAD＝360°﹣90°﹣90°﹣56°＝124°， ②如图2，当∠A是锐角时， 由题意：AB＝AC，∠CDA＝∠BEA＝90°，∠CHE＝56°， ∴∠DHE＝124°， ∴∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣124°＝56°， 故答案为：124°或56°． ▌题型06 一腰上的中线 已知：等腰三角形一腰上的中线将周长分为 m、n 两部分， 解题步骤 （1）设腰长 2x（设2x方便消分母，中线分得线段为x），底边长 y； （2）分两种情况列方程： 情况①：腰+半腰 = m，底+半腰 = n 即 情况②：腰+半腰 = n，底+半腰 = m 即 （3）解出 x，,y 后检验三边关系：两腰之和＞底边，不成立舍去。 【典例1】（2026春•榆中县期中）等腰三角形一腰上的中线，将三角形的周长分成两部分，分别是12与15，则腰长为　8或10　 ． 【分析】分腰长和腰长的一半的和是12和15两种情况求出腰长，再求出底边，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边判断是否能组成三角形，从而得解． 【解答】解：①若腰长和腰长的一半的和是12，则腰长为8， 底边长为158＝11， 能组成三角形， ②若腰长和腰长的一半的和是15，则腰长为10， 底边长为1210＝7， 能组成三角形， 综上所述，该等腰三角形的腰长是8或10． 故答案为：8或10． 【变式1-1】（2026春•杨浦区校级月考）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，周长为16cm，AC边上的中线BD把△ABC分成周长差为4cm的两个三角形，求△ABC底边BC的长　　 cm． 【分析】设AB＝AC＝x cm，BC＝y cm，根据三角形周长得到第一个方程，再利用中线性质得到两个三角形的周长差即为腰长与底边长的差，分两种情况建立方程组求解，最后根据三角形三边关系检验，得到符合条件的BC的长． 【解答】解：设AB＝AC＝x cm，BC＝y cm， 由△ABC周长为16cm得： 2x+y＝16， ∵BD是AC边上的中线， ∴AD＝CD， 又BD是△ABD和△BCD的公共边， ∴|x﹣y|＝4， 分两种情况讨论： （1）当x＞y时，x﹣y＝4， 联立方程组， 两式相加得3x＝20，解得， 代入x﹣y＝4得， 此时三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意． （2）当x＜y时，y﹣x＝4， 联立方程组， 解得， 此时三边长为4cm，4cm，8cm，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，故舍去． 综上，底边BC的长为． 故答案为：． 【变式1-2】（2026•雅安模拟）在等腰△ABC中，AB＝AC，中线CD将这个三角形的周长分为12和15两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（　　） A．7 B．7或11 C．10 D．8或10 【分析】题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案． 【解答】解：设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意，等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程可得： ①或②， 解方程组①得：，根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形； 解方程组②得：，根据三角形三边关系定理此时能组成三角形， 即等腰三角形的底边长是11或7； 故选：B． 【变式1-3】（2025秋•涪城区校级期末）等腰三角形的周长为36，一腰上的中线把周长分为1：2两部分，则这个等腰三角形的底边长为（　　） A．4 B．10 C．20 D．4或20 【分析】设等腰三角形的腰长与底边长分别为xcm、ycm，根据题意分两种情况列出方程组求解，然后利用三角形的三边关系判断即可得解． 【解答】解：设等腰三角形的腰长与底边长分别为x、y， 根据题意得或， 解得或， 当x＝8，y＝20时，三角形的三边分别为8、8、20， ∵8+8＝16＜20， ∴不能组成三角形， 当x＝16，y＝4时，三角形的三边分别为16、16、4， 能够组成三角形， 所以这个等腰三角形的底边长为4． 故选：A． ▌题型07 一（两）腰上的垂直平分线 线段垂直平分线性质：线上任意一点到线段两端距离相等。 等腰△ABC，AB＝AC，AB的垂直平分线交另一腰AC于点 1.交点落在腰上（锐角等腰三角形） 2.交点落在腰的延长线上（钝角等腰三角形） 无图必须分两类！ 【典例1】（2025秋•监利市期末）已知等腰△ABC，AB＝AC，若AB边上的垂直平分线与直线AC所夹的锐角为50°，则等腰△ABC顶角的度数为（　　） A．65° B．65°或25° C．50° D．40°或140° 【分析】分两种情况：当△ABC是锐角三角形时；当△ABC是钝角三角形时；分别画出图形，求解即可． 【解答】解：如图，当△ABC是锐角三角形时， ， ∵DE垂直平分AB，∠ADE＝50°， ∴∠BAC＝90°﹣∠ADE＝40°； 如图，当△ABC是钝角三角形时， ， ∵DE垂直平分AB，∠ADE＝50°， ∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣∠DAE＝140°； 综上所述，等腰△ABC顶角的度数为40°或140°， 故选：D． 【变式1-1】（2025秋•讷河市期末）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E．若∠EBC＝42°，则∠BAC的度数为（　　） A．32°或152° B．32°或88° C．88°或152° D．32°或88°或152° 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，得到∠ABE＝∠A，根据三角形的外角的性质计算即可． 【解答】解：如图1， ∵△ABC是等腰三角形， ∴∠ABC＝∠ACB，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°， ∵DE垂直且平分AB， ∴EA＝EB， ∴∠ABE＝∠A， ∴∠EBC+∠ACB＝∠AEB， 42°+（180°﹣∠A）＝180°﹣2∠A， 解得∠BAC＝32°． 如图2，同理可得∠BAC＝152°， 如图3，同理可得∠BAC＝88°， 综上所述∠BAC＝32°或152°或88°， 故选：D． 【变式1-2】（2025秋•天河区期末）已知等腰△ABC中．AB＝AC，两腰的垂直平分线交于点P，已知∠BPC＝100°，则等腰三角形的顶角为　50°或130°　 ． 【分析】分两种情况：（1）当P在△ABC的内部时，连接AP，根据垂直平分线性质可得AP＝BP＝CP，根据等边对等角可以求出相应角度，结合三角形内角和可以求出结果；（2）当P在△ABC的外部，连接AP，根据垂直平分线性质，利用等边对等角，结合四边形内角和即可求出结果． 【解答】解：分两种情况： 当P在△ABC的内部，连接AP，如图1， ∵两腰的垂直平分线交于点P， ∴AP＝BP＝CP， ∴∠CAP＝∠ACP，∠BAP＝∠ABP， ∵∠BAC＝∠BAP+∠CAP，∠BPC＝100°， ∠BAP+∠CAP+∠ACP+∠ABP＝2∠BAC， ∵∠BPC＝100°， ∴∠BPA+∠CPA＝360°﹣100°＝260°， ∵∠BPA+∠CPA+2∠BAC＝360°， ∴∠BAC＝50°； 当P在△ABC的外部，连接AP，如图2， 由题意得：AP＝BP＝CP， ∴∠PAC＝∠PCA，∠PBA＝∠PAB， ∴∠PBA+∠PAB+∠PCA+∠PAC＝2∠BAC， ∵∠PBA+∠PAB+∠PCA+∠PAC+∠BPC＝360°， ∵∠BPC＝100°， ∴2∠BAC＝360°﹣100°＝260°， ∴∠BAC＝130°， 则等腰三角形的顶角为50°或130°， 故答案为：50°或130°． 【变式1-3】（2026春•峄城区月考）等腰△ABC，AB＝AC，线段AB的垂直平分线DE交AB于点D，交直线AC于点E，若∠DEA＝50°，则∠BAC的度数是　40°或140°　 ． 【分析】分点E在线段AC，点E在CA的延长线上和点E在线段AC的延长线上三种情况，分别画出示意图，讨论求解即可． 【解答】解：①当点E在线段AC上时，如图， ∵线段AB的垂直平分线DE交AB于点D， ∴∠EDA＝90°， 又∵∠DEA＝50°， ∴∠BAC＝90°﹣∠DEA＝40°； ②当点E在CA的延长线上时，如图， ∵线段AB的垂直平分线DE交AB于点D， ∴∠EDA＝90°， ∵∠DEA＝50°， ∴∠EAD＝90°﹣∠DEA＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣∠EAD＝140°； ③当点E在线段AC的延长线上时，如图， 同理可得∠BAC＝40°， ∵AB＝AC， ∴； ∵线段AB的垂直平分线DE交AB于点D， ∴EB＝EA， ∴∠EBA＝∠EAB，与∠EBA＞∠ABC＞∠BAC矛盾， ∴此种情况不存在； 综上所述，∠BAC的度数是40°或140°； 故答案为：40°或140°． ▌题型08 两圆一线 已知定点A、B，找点P使△ABP为等腰三角形 1. 圆1（以A为圆心，AB为半径画圆） 顶角顶点为A，满足：AB=AP，圆周上所有点均可作P。 2. 圆2（以B为圆心，AB为半径画圆） 顶角顶点为B，满足：BA=BP，圆周上所有点均可作P。 3. 一线（线段AB的垂直平分线） 顶角顶点为P，满足：PA=PB，垂直平分线上所有点均可作P。 【典例1】（2025秋•海州区校级月考）如图，在4×4方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【分析】根据等腰三角形的定义，分别以A、B为圆心，AB长为半径画圆，两个圆与格点的交点，即可得出第三个顶点的位置． 【解答】解：分别以A、B为圆心，AB长为半径作弧，有7个点， 作线段AB的垂直平分线，垂直平分线未经过网格中的格点， 故以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出7个， 故选：C． 【变式1-1】（2026春•碑林区校级期中）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A，B是两格点，使得△ABC为等腰三角形的格点C的个数是（　　） A．3 B．5 C．6 D．8 【分析】根据等腰三角形的定义及结合题意可进行求解． 【解答】解：如图： 分三种情况讨论如下： ①当AB＝AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，则点C1即为所求； ②当BA＝BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，则点C2即为所求； ③当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，则点C3，C4，C5，C6即为所求， 故选：C． 【变式1-2】（2025秋•镇平县期末）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B两点都在格点上，点C也是一格点，并且△ABC是等腰三角形，那么满足条件的点C的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】以三边分别为底的三种情况进行讨论，即可求解． 【解答】解：当AB为底时，作线段AB的垂直平分线，点C满足条件， 当BC为底时，以A为圆心，AB长为半径，画圆，点C″满足条件， 当AC为底时，以B为圆心，AB长为半径，画圆，点C′满足条件， 故选：C． 【变式1-3】（2026•海口二模）如图，在5×5的正方形网格中，点A，B都在格点处，若以线段AB为腰的等腰三角形ABC另一顶点C也在格点处，则点C所处的位置个数为 . 分析】根据网格结构，分别以A、B为圆心，AB为半径作圆与网格线的交点即为点C，即可得到点C的个数． 【解答】解：点A，B都在格点处，若以线段AB为腰的等腰三角形ABC另一顶点C也在格点处， 如图，以AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有6个． 故答案为：6． ▌题型09 等腰三角形的存在性 使△PAB为等腰三角形，分三种情况讨论： ① 当A为顶角顶点，AP=AB，……计算 ② 当B为顶角顶点，BP=BA，……计算 ③ 当P为顶角顶点，PA=PB，……计算 检验：排除三点共线情况 【典例1】（2025秋•广信区期末）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝20°，BP平分∠ABC；点D是射线BP上一点，如果点D满足△BCD是等腰三角形，那么∠BDC的度数是　40°、70°或100°　 ． 【分析】由于△BCD中，腰底不确定，故需要分情况讨论，然后根据等腰三角形的性质即可求出答案． 【解答】解：当BC＝CD时，如图所示， ∵∠A＝20°，AB＝AC， ∴∠ABC＝80°， ∵BP平分∠ABC， ∴∠CBD＝40°， ∵BC＝CD， ∴∠CBD＝∠BDC＝40°， 当BD＝BC时，如图所示， ∵∠A＝20°，AB＝AC， ∴∠ABC＝80°， ∵BP平分∠ABC， ∴∠CBD＝40°， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝70°． 当DB＝DC时，如图所示， ∵∠A＝20°，AB＝AC， ∴∠ABC＝80°， ∵BP平分∠ABC， ∴∠CBD＝40°， ∵BD＝CD， ∴∠BDC＝100°， 故答案为：40°、70°或100°． 【变式1-1】（2025秋•瑶海区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC．已知∠MPN的顶点P是线段AB上一点，PM经过顶点C，PN与AC交于点D，∠MPN＝30°，设PM与BC的夹角为∠1（∠1≠0°）． （1）若AP＝AC，则∠BPC的度数为　105°　 ； （2）当△CDP是等腰三角形时，∠1的度数为　45°或90°　 ． 【分析】（1）根据等腰三角形等边对等角的性质，先求出∠A的度数，结合AP＝AC，求出∠ACP的度数，最终可得∠BPC的度数； （2）由于未明确哪两条边为腰，故对DP＝CP、DP＝DC、DC＝CP进行分类讨论，同样依据等腰三角形的角度性质解出∠1的大小． 【解答】解：（1）已知AC＝BC，∠ACB＝120°， ∴∠A＝∠B＝30°（等边对等角）， 又∵AP＝AC， ∴， ∴∠BPC＝∠ACP+∠A＝75°+30°＝105°， 则∠BPC的度数为105°， 故答案为：105°； （2）分类讨论： 当DP＝CP时，如图： ∵∠CPD＝30°，DP＝CP， ∴， 又∵∠ACB＝120°， ∴∠1＝∠ACB﹣∠PCD＝120°﹣75°＝45°； 当DP＝DC时，如图： ∵∠CPD＝30°，DP＝DC， ∴∠CPD＝∠PCD＝30°， 又∵∠ACB＝120°， ∴∠1＝∠ACB﹣∠PCD＝120°﹣30°＝90°； 当DC＝CP时，此时点P与点B重合，点D与点A重合， ∠1＝0°，题干要求∠1≠0°，故该情况不存在； 综上所述，∠1的度数为45°或90°． 故答案为：45°或90°． 【变式1-2】已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，再利用三角形的外角性质可得∠BDC＝∠A+∠ACD，从而可得∠BDC＝∠ACB，然后根据等量代换可得∠ABC＝∠BDC．再根据等角对等边可得CD＝CB，即可解答； （2）①根据垂直定义可得∠BEC＝90°，从而可得∠CBE+∠ACB＝90°，然后设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α，利用（1）的结论可得∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，最后利用三角形内角和定理可得∠BCD＝2α，即可解答； ②根据三角形的外角性质可得∠BFD＝3α，然后分三种情况：当BD＝BF时；当DB＝DF时；当FB＝FD时；分别进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠BDC是△ADC的一个外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD， ∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A， ∴∠BDC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠BDC． ∴CD＝CB； （2）①∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠CBE+∠ACB＝90°， 设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α， ∴∠BCD＝2∠CBE； ②∵∠BFD是△CBF的一个外角， ∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α， 分三种情况： 当BD＝BF时， ∴∠BDC＝∠BFD＝3α， ∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴90°﹣α＝3α， ∴α＝22.5°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°； 当DB＝DF时， ∴∠DBE＝∠BFD＝3α， ∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α， ∴90°﹣2α＝3α， ∴α＝18°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°； 当FB＝FD时， ∴∠DBE＝∠BDF， ∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF， ∴不存在FB＝FD， 综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°． 【变式1-3】（2025秋•松原校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿BC→CA方向运动，且速度为每秒2cm，P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒． （1）BP＝　（16﹣t）　 cm（用含t的式子表示）； （2）当点Q在边BC上运动时． ①出发几秒后，△PQB是等腰三角形？ ②通过计算说明PQ能否把△ABC的周长平分？ （3）当点Q在边CA上运动时，若△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形，直接写出此时t的值． 【分析】（1）根据题意即可用t可表示出AP，BQ即可求得BP； （2）①结合（1），根据题意再表示出BQ，然后根据等腰三角形的性质可得到BP＝BQ，可得到关于t的方程，可求得t；②当Q在BC上，0≤t≤6，如图，AP＝t，BQ＝2t，则BP＝16﹣t，CQ＝12﹣2t，利用PQ把△ABC的周长平分，再建立方程求解即可； （3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分CQ＝BC和BQ＝CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值． 【解答】解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t， ∵AB＝16cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm， （2）①当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时， 即16﹣t＝2t，解得， ∴出发秒后； ②当Q在BC上，0≤t≤6，如图， 而AP＝t，BQ＝2t， ∴BP＝16﹣t，CQ＝12﹣2t， ∵PQ把△ABC的周长平分， ∴16﹣t+2t＝t+12﹣2t+20， 解得：t＝8，不符合题意舍去， ∴点Q在边BC上运动时．PQ不能把△ABC的周长平分． （3）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示， 则∠C＝∠CBQ， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBQ+∠ABQ＝90°． ∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝∠ABQ， ∴BQ＝AQ， ∴CQ＝AQ＝10（cm）， ∴BC+CQ＝22（cm）， ∴t＝22÷2＝11； ②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示， 则BC+CQ＝24（cm）， ∴t＝24÷2＝12， 综上所述：当t为11秒或12秒时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形． 故答案为：11或12． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $