专题05轴对称图形（4大专题）（压轴题专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以轴对称性质为核心，通过“通法+题型+压轴”三阶体系，系统构建从性质应用到综合迁移的解题能力，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|对称点连线被对称轴垂直平分，构造对称实现转化|从轴对称核心性质出发，建立“性质—转化—应用”逻辑链| |题型1：最值问题|4|定对称轴作对称点，用线段最短或垂线段最短|性质→线段转化→最值模型（将军饮马）| |题型2：性质应用|4|对应边/角相等，结合全等或等腰三角形|性质→等量关系→计算与证明| |题型3：光线反射|4|入射点对称化折线为直线，用反射定律|性质→光路转化→角度计算| |题型4：折叠问题|7|折叠前后对应关系，勾股定理或相似列方程|性质→折叠不变性→方程思想| |压轴挑战|综合题|多性质综合应用，跨题型迁移|性质综合→复杂情境→思维突破|

专题05 轴对称图形 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1 应用轴对称图形的性质解答最值问题 题型2 利用轴对称图形的性质求解 题型3 光线反射问题 题型4 图形的折叠问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 轴对称图形关于对称轴对称，对称点的连线被对称轴垂直平分。利用轴对称可实现线段、角度的转化，常用于求最值、证明线段相等、解决光线反射与折叠问题。解题关键是确定对称轴，构造对称点或对称图形，将分散条件集中。 题型1 应用轴对称图形的性质解答最值问题 ◆题型1 应用轴对称图形的性质解答最值问题 题型模版 1. 确定动点所在直线为对称轴，作定点的对称点。 2. 利用“两点之间线段最短”或“垂线段最短”求最小值。 1．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，，点O为内一点，过点O分别作，的垂线，垂足分别为点M，N，点P，Q分别为，上的动点，连接，，，当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称解决最短路线问题，其中涉及三角形内角，三角形外角性质等知识，作出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键； 作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，根据轴对称——最短路线问题，当点，点P，点Q，点四点共线时，的周长最小，作出相应的图形，再结合三角形内角和、三角形一个外角等于不相邻两个内角和定理等知识解题即可． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，如图： ， ∵，，，， ∴，， ∴，， 当点，点P，点Q，点四点共线时， 的周长最小，即， 此时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：C； 2．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，点P是内任意一点，且，点M和点N分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是作出对称点，找到共线时路径最短，利用对称性质，对角等量代换．作点关于的对称点，连接，，，得，，；作点关于的对称点，连接，，，得，，；根据；当，，，共线时，周长最短，再根据对称性质，即可求出的角度． 【详解】解：如图， 作点关于的对称点，连接，，； ∴，，， 作点关于的对称点，连接，，， ∴，，， ∴， 当，，，共线时，周长最短， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 3．（25-26八年级上·陕西延安·阶段检测）如图，在中，，，的面积为6，D、E、F分别是、、边上的动点，连接，，，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-路径最短问题，垂线段最短，两点之间，线段最短，如图，作D关于直线的对称点M，作D关于直线的对称点N，连接，，推出，可得M、C、N共线，由，，可知F、E、M、N共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【详解】解：如图，作D关于直线的对称点M，作D关于直线的对称点N，连接，，    ∵，，， ∴， ∴M、C、N共线， ∵， ∵， ∴当F、E、M、N共线时，且时，的值最小，最小值， ∵， ∴， ∵，的面积为6， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 4．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，，直线分别与的两边相交于点A，B，的面积等于16，．点P是直线上的动点，点P关于，的对称点分别为点，，连结，，，则面积的最小值等于（     ） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】A 【分析】根据对称性推出，得到，进而得到的面积为，垂线段最短，得到当时，最小，的面积最小，进行求解即可. 【详解】解：连接，作于点， ∵的面积等于16，， ∴， ∴， ∵对称， ∴， ∴， ∴的面积为， ∴当最小时，的面积最小， ∴当，即点与点重合时，最小，即， ∴面积的最小值. 题型2 利用轴对称图形的性质求解 ◆题型2 利用轴对称图形的性质求解 题型模版 1. 根据轴对称性质得到对应边、对应角相等。 2. 结合三角形全等、等腰三角形性质计算或证明。 5．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）已知，在中，，、为边上的两个动点，其中点靠近点，点关于直线的对称点为点、点关于直线的对称点为点，若射线和恰好将三等分，则的度数为（     ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】利用轴对称的性质得到对应角相等，结合角三等分的定义，分两种情况设未知数，根据列方程求解即可 【详解】解：如图，∵射线和恰好将三等分， ∴设， 由轴对称可得：，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 如图， ∵射线和恰好将三等分， ∴设， 由轴对称可得：，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 综上：为或 6．如图，在中，，点关于边的对称点是，点关于边的对称点为，点关于的对称点为，则与的面积之比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定和性质，先根据对称的性质推出，，，从而证明，进而求出两个三角形面积相等，以及，利用面积相等，底相等推出高相等，结合对称性质推出，利用底相同，高的关系通过等量转换求出与的面积之比． 【详解】解：连接并延长交于点，记与的交点为，连接，， 如图所示， 点关于边的对称点是，点关于边的对称点为，点关于的对称点为， ，，，，， ， ，，， ， ， ， 三点共线， ， ，， ， ， ， ， . 7．（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）如图所示，直线，A为直线上一点，点F、G在直线上，连接、，， (1)如图①，若，则 ； (2)如图②，点M、N在直线上，点M在点F左侧，点N在点G右侧，分别作点M、N关于直线和的对称点和点，连接、，求的度数．（用含的式子表示） (3)小楠同学受到启发，他选用一张四边形纸片（如图③，与不平行）作如下实验：分别在、上各取一点E、F，将纸条左右两边分别进行折叠，使、均和直线重合，折痕分别为、，折叠后与重合，与重合；小楠说这样折叠后与是平行的．你认为小楠的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)小楠的说法正确， 理由：由折叠的性质可知，，，，， ， ，即， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）利用平角求解即可； （2）根据平行和轴对称的性质可得，，则，再结合平角的定义求解即可； （3）利用折叠的性质得出，则，再结合平角和周角，求出，则，利用同旁内角互补可证平行． 【详解】（1）解：，且， ； （2）解：，， ， ， ，， 由轴对称的性质可知，，， ， ，， ； （3）略 8．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）折纸不仅有趣，还蕴含着丰富的数学知识，某数学兴趣小组以“直角三角形的折叠”为主题开展数学探究活动．如图，在中，，，点是边上一动点，将沿直线翻折后得到． (1)如图，若，则________． (2)如图，若点落在的内部（不包含的边），则的取值范围为． (3)在折叠的过程中，当垂直于某一边时，求的度数． (4)在折叠的过程中，射线与射线相交于点．若是轴对称图形，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或或或 【分析】（1）根据折叠的性质得到，根据角的和差计算即可； （2）找临界点，根据角的和差及折叠的性质计算即可； （3）根据三角形内角和得到，根据折叠的性质得到，分三种情况根据折叠的性质计算即可； （4）根据轴对称的性质可知或或．根据折叠的性质可知，分三种情况分别求出或或时的度数即可． 【详解】（1）解：∵将沿直线翻折后得到， ∴， ∴； （2）解：如图，当落在边上时，， ∴， 如图，当落在边上时，， ∵将沿直线翻折后得到， ∴， 综上所述，若点落在的内部（不包含的边），则； （3）解：∵在中，，， ∴， ∵将沿直线翻折后得到， ∴， 如图，当时，设交于点， 可知， ∴， ∴， ∴，不成立； 如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∵将沿直线翻折后得到， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或； （4）解：∵是轴对称图形， ∴对称轴两边的角相等， 即或或． ∵在中，，， ∴， ∵将沿直线翻折后得到， ∴， 如图，当射线与射线相交于点时， ∴， 若，则， ∴， ∴； 若，可知不存在； 若，可知不存在； 如图，当射线与线段相交于点时， ∴， 若，则，可知不存在； 若，可知不存在； 若，可知不存在； 如图，当线段与线段相交于点时， 设， 若，则， ∵， ∴， 解得：， ∴； 若， ∵， ∴， 解得：， ∴； 若，则， ∵， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的度数为或或或． 题型3 光线反射问题 ◆题型3 光线反射问题 题型模版 1. 将入射点或反射点关于反射面对称，化折线为直线。 2. 利用反射定律（入射角等于反射角）或对称性质求解。 9．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）科学实验证实光的反射规律：光线入射至平面镜发生反射时，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角．即下图中； (1)窗外一束光从C处斜射到平面镜上的点E处，小明转动手中的平面镜，使反射光线恰好照到黑板上的点D处．请在图①中使用无刻度的直尺和圆规画出平面镜所在位置（平面镜用线段表示，铅笔加黑加粗，保留作图痕迹）； (2)在图②中，有，．设镜子与的夹角．若，入射光线与反射光线的夹角．求的度数； (3)如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面反射到镜面，再反射到镜面，最后经镜面反射后，当反射光线与入射光线平行时，探索m与γ的数量关系，并说明理由； (4)如图④，若，已知入射光线与镜面平行，经过次反射后，反射光线按原路返回，请直接写出α满足的条件． 【答案】(1)如图所示，线段即为所求； (2) (3)，理由如下： 延长和，交点为，如图所示： 由（2）的思路可得，， ， ∵， ∴，即， 整理得，， ， 即． (4)（为正整数，） 【分析】（1）延长，作出邻补角的平分线即可，根据角平分线以及对顶角相等即可得到； （2）根据三角形内角和，利用对顶角相等得，，再利用三角形内角和结合等量代换即可求解； （3）延长和，交点为，由（2）得，根据平行线的性质即可求解； （4）分别求出时的度数，然后总结出一般规律即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）略 （4）解：当时，如图，时，反射光线按原路返回， ∵ ∴，即； 当时，如图，时，反射光线按原路返回， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴，解得，即 当时，如图，当时，反射光线按原路返回， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴在中，，解得，即； 当时，如图，当时，反射光线按原路返回， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 在中，，解得，即， 依次类推，经过次反射后，反射光线按原路返回，α满足的条件为（为正整数，）． 10．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图1是光的反射示意图，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，点O叫入射点，已知反射角等于入射角，法线． (1)若，则________． (2)如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点A，B，C，D，E，F，M在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为________． (3)如图3，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，请用无刻度直尺和圆规作出入射点O，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗） (4)某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从A沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达B处．则________． 【答案】(1)38 (2)42 (3) 点O即为所求． (4)5 【分析】（1）由已知条件可得出，，进而可得． （2）由题意可得，由平角的定义求出，再由计算即可得解． （3）以作垂直平分线的方法结合（1）作图即可． （4）先根据题意画出图形，根据图形得出5次碰撞后是2个半以为边长的正方形，进而可求出的值． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∵， 则， ∴， （2）解：由题意可得：， ∴， ∴． （3）解：以点A为圆心，适当半径为弧，交l与点C于点D，分别以点C，点D为圆心，以大于为半径画弧交点G，连接交l于点E，再以点E为圆心，为半径画弧交于点，连接交l于点O； （4）解：如下图： 小球从长方形的点A沿射出，到的点E，． 从E点沿与成射出，到边的F点，， 从F点沿与成射出，到边的G点，， 从G沿与成射出，到边的H点， 从H点沿与成射出，到边的M点， 从M点沿与成射出，到B点， 由（1）中的结论以及轴对称的性质可知： ，，． 根据图可知5次碰撞后是2个半以为边长的正方形， ∵， ∴． 11．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）小丁观看台球比赛后对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，他将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰到上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．他进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． (1)因为． 所以． 所以， 又因为， 所以____①___ 同理， 又因为， 所以②_______（③_________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以④_____ 所以（⑤________） 【引申拓展】 (2)如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． 则⑥_____．（用含的代数式表示）； 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行； (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义以及角度的计算，解题的关键是利用“等角的余角相等”和“两直线平行，内错角相等”等定理，结合反弹规律进行角度推导． （1）利用等角的余角相等得到；再由得到，进而推出，最后根据内错角相等判定． （2）根据平行线性质及反弹规律可求得结果； 【详解】（1）（1）解：因为， 所以， 所以， 又因为， 所以 同理， 又因为， 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 又因为， 所以， 所以， 所以（同位角相等，两直线平行）． （2）解：过点作，如图所示： ， ，即， 根据“反弹规律”，， ∴， ． 12．（25-26七年级下·山东泰安·期中）综合实践： 【知识发现】汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律改变光路的方法． 如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，法线垂直于平面镜，反射光线、入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角． (1)观察图1，写出和数量关系___________； (2)如图2，转动平面镜，若平面镜与桌面形成的夹角，且． ①当，时，求的大小； ②直接用含的代数式表示出的大小． (3)如图3，小明把平面镜水平放置，当时，再添一面平面镜，将两平面镜相对放置，光线经过两次反射，得到反射光线，当平面镜如何放置时，光线？请说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)当平面镜水平放置时，光线 【分析】（1）反射角等于入射角，则反射角和入射角的余角相等，即可求解； （2）①过点作，分别表示出，得出，进而根据平行线的性质，即可求解； ②根据①的结论，即可求解． （3）根据题意可得，根据得出，由，，得出，即可判断，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，反射角等于入射角，则反射角和入射角的余角相等，即； （2）解：①如图所示，过点作， ∴， ∵ ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ②由①可得； （3）解：如图所示， 依题意， ∵， 又∵ ∴ ∴ ∴，即当平面镜水平放置时，光线 题型4 图形的折叠问题 ◆题型4 图形的折叠问题 题型模版 1. 折叠前后对应边、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线。 2. 设未知数，利用勾股定理或相似列方程求解。 13．（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图1，将一条两组对边分别平行的纸带两侧进行折叠，折痕分别是、，点、、、折叠后对应的点分别是、、、，点在线段上． (1)若，则 ； (2)说明的理由； (3)如图2，延长交于点，将四边形沿折叠得到四边形，记，试用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)由折叠可知：，， ， ， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）根据折叠的性质和平角定义求解； （2）由折叠可知，，则可推出，由，得，则题目可证； （3）由平行可得，则，，故可解． 【详解】（1）解：通过折叠可知，， ， ， ； （2）略 （3）解：， ， ， ， ． 14．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图1，在长方形中，，点为边上一点，连接，将翻折得到，折痕为；将翻折得到，折痕交长方形的边于点，其中，记，，． (1)当，时，求的值： (2)当时， ①如图2，若平分，求的值； ②当时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了折叠的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，角的和差，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据折叠可得，，根据角的和差即可解答； （2）①用表示出，列方程即可解答； ②分两种情况，即在左侧或右侧，分别列方程即可解答． 【详解】（1）解：由折叠可得，，\ ； （2）解：①根据折叠可得，， ， ， ， 平分， ，即， 解得 ②当在右侧，如图， ， 可得，， 根据， 可得， 解得， ； 当在左侧，如图， ， 可得，， 根据， 可得， 解得， ； 综上，的值为或． 15．（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图，将长方形纸片沿着折叠后得到图1，，将图1的图形再次沿着折叠得到图2，若折叠后，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质和折叠的性质，进行求解即可. 【详解】解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 16．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图1，现有一张直角三角形纸片，，点D为边上一点，将纸片沿所在直线折叠，使点B落在内部的处． (1)若，求的度数； (2)如图2，若点E为线段上一点，将纸片沿所在直线再次折叠，使点D落在上，将纸片完全展开后折痕分别为，，．若，，写出与的数量关系并说明理由； (3)如图3，在重叠部分（内部）沿过点A的直线剪一刀，得到三张纸片，若这三张纸片中，以点A为顶点的角的度数之比为，写出的度数． 【答案】(1) (2) 解：，理由如下： 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)的度数为或或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由折叠的性质可得，根据角的和差关系求出的度数即可得到答案； （2）由折叠的性质可得，再根据即可得到结论； （3）设沿直线剪开，则得到的三张纸片中，以点A为顶点的两个角为，另外一个设为，且，再分三种情况：，和，根据角的和差关系讨论求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∵，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图所示，设沿直线剪开， 则得到的三张纸片中，以点A为顶点的两个角为，另外一个设为，且， 当时， 设，则， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 解得， ∴； 当时， 设，则， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 解得， ∴； 当， 设，则， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 解得， ∴； 综上所述，的度数为或或． 17．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，将长方形纸片沿折叠（折痕交于点，交于点，点、的落点分别是、，交于，再将四边形沿折叠，点、的落点分别是、，交于，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】设，推导出，即，，，得到，故①正确，推导出，，得到，故②正确，由折叠得，，推导出，得到，故③正确，推导出，，则与不一定相等，故④错误，即可解答． 【详解】解：如图 设， 由折叠，得， ，即， ， ， ， ，故①正确， ， ， ，， ，故②正确， 由折叠得，， ， ， ， ， ，故③正确， ， 又∵ ， ， ， ， ， 与不一定相等 ∴ 与不一定相等，故④错误． 综上所述，正确的有①②③． 18．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，在四边形纸片中，，将纸片沿折叠，点A、D分别落在、处，且经过点B，交BC于点G，连结，平分．若，，则的度数是___． 【答案】130 【分析】设，根据角平分线的定义以及平角的定义推出，再由折叠的性质得出，根据，得，最后根据，即可求解． 【详解】解：设， ∵平分， ∴，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：130． 【点睛】本题主要考查了图形的折叠及其性质，角平分线的定义，平行线的性质，准确识图，熟练掌握折叠的性质，平行线的性质是解决问题的关键． 19．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，中，，以为边，将此三角形对折，其次，又以为边，再一次对折，C点落在上，此时，则原三角形的_______ 度． 【答案】81 【分析】 由两次折叠得，则，由，且，，得，求得，于是得到问题的答案． 此题重点考查翻折变换的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出是解题的关键． 【详解】 解：由两次折叠得， ∴， ∵，且，， ∴， ∴， 故答案为：81． 20．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，把一张长方形纸片进行两次折叠，第一次沿折叠，第二次沿折叠，则 ______________． 【答案】 【分析】设，根据折叠的性质以及平行线的性质分别表示出，，即可求解． 【详解】解：设， ∴ ∵第一次沿折叠，第二次沿折叠， ∴，，， ∵， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴． 21．（25-26七年级下·重庆万州·期末）如图，，点M、N分别在射线、上，，的面积为12，点P是直线上的动点，点P关于对称的点为点，点P关于对称的点为点，当点P在直线上运动时，的面积最小值为_____． 【答案】 【分析】连接，过点O作交直线于点H，利用三角形的面积公式求出的长，再根据轴对称的性质可得，，从而得出的面积为，根据垂线段最短可知当时面积最小，代入计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作交直线于点H， ∵，， ∴， ∵点P关于对称的点为，点P关于对称的点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由垂线段最短可知，当点P与点H重合时，取得最小值，最小值为， ∴的面积的最小值为． 22．（25-26七年级下·重庆南岸·期末）唐代诗人李颀的诗句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，引出一系列有趣的数学问题，通常称为将军饮马问题． (1)如图①，若点和点分别在直线的两侧，请作示意图，在直线上找点，使得有最小值，并写出作图依据； (2)如图②，若点和点分别在直线的同侧，请作示意图，在直线上找点，使得有最小值； (3)如图③，定点在内部，点，分别在射线，上，请作示意图，确定点，，使得的周长最小． 【答案】(1)作图依据：两点之间线段最短 (2) (3) 【分析】（1）依据两点之间线段最短得出答案； （2）利用对称的性质即可得出结果； （3）分别作Q关于、的对称点C、D，连接，交、于点M、N，则的周长最小． 【详解】（1）解：连接，与直线l相交于点C，则有最小值． （2）解：作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求． （3）解：作法：①作点Q关于的对称点C， ②作点Q关于的对称点D， ③连接，分别交于点M，交于点N，则的周长最小． 23．（25-26七年级下·广东清远·期末）问题解决 【提出问题】 唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图1，将军牵马从营地出发，先到河流边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 (1)为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是________（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是 ． 【解决问题】 (2)如图2，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【类比探究】 (3)如图3，点是内一定点，将军牵马从军营点出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营． ①在图3中作图：使将军走过的路程最短．（保留作图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，求的度数． 【答案】(1)④，两点之间，线段最短 (2) (3)①所作图形如下： ② 【分析】（1）根据轴对称的性质以及两点之间线段最短即可求解； （2）连接，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）①过点P分别作，的对称点，，连接与，交点即为点C，D，则此时最短； ②由三角形内角和定理可得，由轴对称的性质可得，则，故，同理可得，再由三角形内角和定理求解． 【详解】（1）解：正确的方案是④， ∵由轴对称的性质可得， ∴当点B，C，三点共线时，， ∴此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短， （2）解：连接，如图所示： ∵点与点关于直线成轴对称， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴当点，C，三点共线时，有最小值， ∴周长的最小值为； （3）解：①略 ②∵，， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴． 24．（25-26八年级上·安徽滁州·期末）在中，，，点D，E在直线上，且，过点B作交直线于点F，直线交直线于点G，连结 (1)如图1，射线，都在的内部． 设，则 ______ （用含有的式子表示）； 作点B关于直线的对称点，则线段与图1中已有线段 ______ 的长度相等，并写出证明过程； (2)如图2，当射线在的外部，射线在的内部时，其他条件不变，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)； ， 证明：连接，如图， 由对称性可知，，， ， ， ，， ， ， ， ； (2) ； 证明：作B点关于的对称点，连接， 由对称性可知，，， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 【分析】本题考查了三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质，轴对称的性质是解题的关键． （1）①根据几何图形中角的和差分析表示即可； ②结合轴对称性质证明，利用全等三角形性质分析求解，即可解题； （2）作B点关于的对称点，连接，结合轴对称性质证明，再利用全等三角形性质分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：①，， ， ， ； ②略 （2）略 25．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）【阅读材料】 日常生活中，光遇到水面、玻璃以及其他许多物体的表面都会发生反射．图1是光的反射示意图（反射角等于入射角，法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． 【尝试探究】 （1）如图2，为法线，入射光线与镜面所夹的锐角为，反射光线与镜面所夹的锐角为，试探究和之间的数量关系？并说明理由． 【结论应用】请用（1）中获得的结论解决以下问题： （2）如图3，平面镜，点A在上，点B在上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射后的光线为，其中点C在上，点D在上．请用无刻度的直尺与圆规补全图3中的反射光线（不写作法，保留作图痕迹）． （3）如图4，两平面镜，相交于点O，入射光线经两个平面镜两次反射后的反射光线为，若和相交，设交点为H．通过调整两个平面镜的夹角（）的大小，可以改变反射光线的方向．当时（即），求的大小． （4）如图5，，为两个足够长的平面镜，若，为一条入射光线，B为入射点，且，请问，入射光线经过_________次反射之后，光线将与其中一个平面镜平行射出． 【答案】 （1）证明：和之间的数量关系是，理由如下： 根据题意，得， 又， ， ． （2）反射光线即为所求： （3）； （4）8 【分析】（1）根据余角的性质，解答即可． （2）根据光的反射原理，作一个角等于已知角的基本作图，解答即可． （3）根据光的反射原理，三角形内角和，三角形外角性质，解答即可． （4）根据光的反射原理，平行线的判定，规律的探索解答即可． 本题考查了余角的性质，平角的定义，平行线的判定，三角形内角和，光的反射定律，熟练掌握平行线的判定，光的反射定律是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接， 根据题意，得， ， ， ， ， ， ， ， 解得． （4）解：如图，， ， ， , 根据反射原理，得第一次入射时，入射光线与平面镜的夹角为：， ， ， 根据反射原理，得第二次反射时，入射光线与平面镜的夹角为：， ， ， 根据光的反射原理，得第三次反射时，入射光线与平面镜的夹角为：， 由此得到规律，每次反射时，入射光线与平面镜的夹角依次为， 根据题意，当第八次时，反射光线与平面镜的夹角为， 故 ， 故答案为：8． 26．（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）综合与实践 折纸是一门古老而有趣的艺术，越越在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索． (1)【问题解决】如图1，四边形纸片中，，点，分别在边，上，先将纸片沿折叠，记点，的对应点分别为点，，交于点，若，则 度． (2)【初步探究】如图2，将纸片再沿折叠，记点，的对应点分别为点，，记，，求与满足的关系式． (3)【深入探究】如图3，在第（2）题的基础上，点在边上，点是边上的一个动点，将纸片沿折叠，记点，的对应点分别为，，记．若直线与直线平行，请直接写出与满足的关系式． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】（1）由折叠的性质结合平行线的性质求解即可； （2）由折叠的性质结合平行线的性质求得，根据，列式计算即可求解； （3）由折叠的性质知，，求得，由平行线的性质得到，结合（2）的结论，计算即可求解． 【详解】（1）解：由折叠的性质知， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 由折叠的性质知， ∴， 由折叠的性质知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）知， ∴， 由折叠的性质知， ∵，， ∴， 由折叠的性质知， ∴， ∵直线与直线平行， ∴，即， ∵， ∴． 27．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）， 操作一： （1）折叠纸面，使表示的1点与表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，使表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①6表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为15，（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 操作三： （3）在数轴上剪下9个单位长度（从到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（例如下图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ． 【答案】（1）3；（2）①；②点表示的数是，点表示的数是；（3）或或 【分析】本题考查了数轴、一元一次方程的应用、线段的和差、折叠的性质等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）设表示的点与表示的点重合，根据折痕点表示的数相同建立方程，解方程即可得； （2）①设6表示的点与数表示的点重合，根据折痕点表示的数相同建立方程，解方程即可得； ②设点表示的数是，则点表示的数是，根据折痕点表示的数相同建立方程，解方程可得的值，由此即可得； （3）如图（见解析），分三种情况：①，②和③，先求出的长，再根据折叠的性质可得的长，然后根据数轴的性质列式计算即可得． 【详解】解：（1）设表示的点与表示的点重合， 由题意得：， 解得， 故答案为：3． （2）①设6表示的点与数表示的点重合， 由题意得：， 解得， 故答案为：． ②设点表示的数是，则点表示的数是， 由题意得：， 解得， 则， 综上，点表示的数是，点表示的数是． （3）①如图1，得到的三条线段， ∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴此时折痕处对应的点所表示的数为； ②如图2，得到的三条线段， ∵， ∴，， 由折叠的性质得：， ∴， ∴此时折痕处对应的点所表示的数为； ③如图3，得到的三条线段， ∵， ∴，， 由折叠的性质得：， ∴， ∴此时折痕处对应的点所表示的数为； 综上，折痕处对应的点所表示的数可能是或或， 故答案为：或或． 28．（25-26七年级下·山西大同·阶段检测）综合与探究 物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角叫作入射角，反射光线与法线的夹角叫作反射角（如图1）．在反射现象中，入射光线、反射光线和法线都在同一个平面内；入射光线和反射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 【初步探究】 如图2，已知镜子与镜子互相平行，入射光线经过两次反射后的反射光线为． (1)若，则_____________，_____________； (2)猜想入射光线与反射光线的位置关系，并证明； 【应用探究】 (3)如图3，有一口古井，将镜面的一端放置在水平地面上，若入射光线与镜面的夹角为，如何放置平面镜（即度数为多大时），可使反射光线正好垂直照射到井底（与水平地面垂直）？ 【答案】(1)， (2) ，证明如下： 入射角等于反射角，等角的余角相等，且， ． ，， ． ； (3) 【分析】（1）根据入射角等于反射角以及平行线的性质，可求出、的度数； （2）结合（1）可证，即可得出入射光线与反射光线的位置关系； （3）延长，交于点，结合三角形内角和求的度数即可； 【详解】（1）解：∵入射角等于反射角，由等角的余角相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵入射角等于反射角，由等角的余角相等， ∴， ∴； （2）略 （3）解：延长，交于点，如图所示： 入射角等于反射角，等角的余角相等， ． 若要反射光线正好与水平地面垂直， ． ． 29．定义：如果有三个角，满足，则称是和的“减余角”． (1)已知，，若是和的“减余角”，则 ． (2)现有一张正方形纸片，如图所示，点为线段上一点（不与重合）．连结，将纸片沿着对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为． ①若是和的“减余角”，求的度数． ②再将此正方形纸片沿着所在直线对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为，如图所示．是否存在，，中的一个角是其它两个角的“减余角”？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)；存在．当时，为和的“减余角”； 当时，为和的“减余角”． 【分析】（）根据“减余角”的定义即可求解； （）根据“减余角”的定义即可求解； 存在．分三种情况根据“减余角”的定义解答即可求解； 本题考查了新定义角度的运算，折叠的性质，理解“减余角”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由折叠可得，， 设，则， ∵是和的“减余角”， ∴， 解得， ∴的度数为； 存在． 由折叠可得，，， 设，，则， 当为和的“减余角”时， 由题意可得，， 解得， ∴， ∴当时，为和的“减余角”； 当为和的“减余角”时， 由题意可得，， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴当时，为和的“减余角”； 当为和的“减余角”时， 由题意可得，， 故此种情况不存在； 综上，当时，为和的“减余角”； 当时，为和的“减余角”． 30．（25-26八年级上·山西忻州·期中）综合与实践 问题情境 如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站A出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料，最后返回空间站B．为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径． 问题解决 数学建模：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作B关于能源站直线l的对称点，连接，与直线的交点即为最优燃料点，此时路径最短． 推理论证：如图3，在直线上另取任意一点，连接，，，只要说明即可． 证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ， ， ． 在中，， ，即最小． (1)本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决．请补全上述推理论证； (2)请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1中画出最短路径； (3)如图4，在中，，．若点在上移动，点在上移动，如何确定的最小值？ 【答案】(1) ，，，； (2) 解：如图，即为最短路径； (3) 解：过点作的垂线，垂足为点，交于点，此时的最小值为的长． 【分析】本题考查了轴对称的性质以及三角形三边关系．通过作对称点，将同侧点转化为异侧，利用两点之间线段最短和三角形三边关系是解题的关键． （1）利用轴对称性质，得到对称点到对称轴上点的距离相等，将转化为，再结合三角形三边关系，证明该线段长度为最小值； （2）通过作两点关于两直线的对称点，将折线转化为连接两对对称点的线段，利用“两点之间线段最短”确定最短路径即可； （3）过点作的垂线，垂足为点，交于点，此时的最小值为的长． 【详解】（1）证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ，， ． 在中，， ，即最小． （2）略 （3）略 31．综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图1，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，向内折叠并压平，点，分别落在点和点处． 小明同学的操作如图2，点在线段上； 小红同学的操作如图3，点在上，点在上． (1)在图1中，若，求的度数； (2)直接写出图2和图3中的度数； (3)若折叠后， 求的度数(用含的代数式表示)． 【答案】(1) (2)图2中，；图3中， (3)或 【分析】本题考查了折叠的性质，角度的和差，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据折叠的性质可得，即可求解． （2）图2根据折叠的性质得，，从而可得，即可求解；图3根据折叠的性质可得，再由 ，即可求解； （3）分两种情况：先表示出的度数，再根据和进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， 由折叠的性质得：， ， ； （2）解：图2中，由折叠的性质得：，， ， ， ， 即， ； 图3中，由折叠的性质得：，， ， ， ， 即； （3）解：分两种情况进行讨论： ①当与不重叠时，如图1所示： 由折叠的性质得：，， ， ， 即， ， ； ②当与重叠时，如图4所示： 由折叠的性质得：，， ， 又， ， 即， ． 综上所述：的度数为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 轴对称图形 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1 应用轴对称图形的性质解答最值问题 题型2 利用轴对称图形的性质求解 题型3 光线反射问题 题型4 图形的折叠问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 轴对称图形关于对称轴对称，对称点的连线被对称轴垂直平分。利用轴对称可实现线段、角度的转化，常用于求最值、证明线段相等、解决光线反射与折叠问题。解题关键是确定对称轴，构造对称点或对称图形，将分散条件集中。 题型1 应用轴对称图形的性质解答最值问题 ◆题型1 应用轴对称图形的性质解答最值问题 题型模版 1. 确定动点所在直线为对称轴，作定点的对称点。 2. 利用“两点之间线段最短”或“垂线段最短”求最小值。 1．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，，点O为内一点，过点O分别作，的垂线，垂足分别为点M，N，点P，Q分别为，上的动点，连接，，，当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，点P是内任意一点，且，点M和点N分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·陕西延安·阶段检测）如图，在中，，，的面积为6，D、E、F分别是、、边上的动点，连接，，，则的最小值是______． 4．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，，直线分别与的两边相交于点A，B，的面积等于16，．点P是直线上的动点，点P关于，的对称点分别为点，，连结，，，则面积的最小值等于（     ） A．8 B．12 C．16 D．24 题型2 利用轴对称图形的性质求解 ◆题型2 利用轴对称图形的性质求解 题型模版 1. 根据轴对称性质得到对应边、对应角相等。 2. 结合三角形全等、等腰三角形性质计算或证明。 5．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）已知，在中，，、为边上的两个动点，其中点靠近点，点关于直线的对称点为点、点关于直线的对称点为点，若射线和恰好将三等分，则的度数为（     ） A． B．或 C．或 D． 6．如图，在中，，点关于边的对称点是，点关于边的对称点为，点关于的对称点为，则与的面积之比是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）如图所示，直线，A为直线上一点，点F、G在直线上，连接、，， (1)如图①，若，则 ； (2)如图②，点M、N在直线上，点M在点F左侧，点N在点G右侧，分别作点M、N关于直线和的对称点和点，连接、，求的度数．（用含的式子表示） (3)小楠同学受到启发，他选用一张四边形纸片（如图③，与不平行）作如下实验：分别在、上各取一点E、F，将纸条左右两边分别进行折叠，使、均和直线重合，折痕分别为、，折叠后与重合，与重合；小楠说这样折叠后与是平行的．你认为小楠的说法正确吗？请说明理由． 8．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）折纸不仅有趣，还蕴含着丰富的数学知识，某数学兴趣小组以“直角三角形的折叠”为主题开展数学探究活动．如图，在中，，，点是边上一动点，将沿直线翻折后得到． (1)如图，若，则________． (2)如图，若点落在的内部（不包含的边），则的取值范围为． (3)在折叠的过程中，当垂直于某一边时，求的度数． (4)在折叠的过程中，射线与射线相交于点．若是轴对称图形，直接写出的度数． 题型3 光线反射问题 ◆题型3 光线反射问题 题型模版 1. 将入射点或反射点关于反射面对称，化折线为直线。 2. 利用反射定律（入射角等于反射角）或对称性质求解。 9．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）科学实验证实光的反射规律：光线入射至平面镜发生反射时，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角．即下图中； (1)窗外一束光从C处斜射到平面镜上的点E处，小明转动手中的平面镜，使反射光线恰好照到黑板上的点D处．请在图①中使用无刻度的直尺和圆规画出平面镜所在位置（平面镜用线段表示，铅笔加黑加粗，保留作图痕迹）； (2)在图②中，有，．设镜子与的夹角．若，入射光线与反射光线的夹角．求的度数； (3)如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面反射到镜面，再反射到镜面，最后经镜面反射后，当反射光线与入射光线平行时，探索m与γ的数量关系，并说明理由； (4)如图④，若，已知入射光线与镜面平行，经过次反射后，反射光线按原路返回，请直接写出α满足的条件． 10．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图1是光的反射示意图，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，点O叫入射点，已知反射角等于入射角，法线． (1)若，则________． (2)如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点A，B，C，D，E，F，M在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为________． (3)如图3，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，请用无刻度直尺和圆规作出入射点O，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗） (4)某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从A沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达B处．则________． 11．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）小丁观看台球比赛后对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，他将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰到上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．他进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． (1)因为． 所以． 所以， 又因为， 所以____①___ 同理， 又因为， 所以②_______（③_________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以④_____ 所以（⑤________） 【引申拓展】 (2)如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． 则⑥_____．（用含的代数式表示）； 12．（25-26七年级下·山东泰安·期中）综合实践： 【知识发现】汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律改变光路的方法． 如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，法线垂直于平面镜，反射光线、入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角． (1)观察图1，写出和数量关系___________； (2)如图2，转动平面镜，若平面镜与桌面形成的夹角，且． ①当，时，求的大小； ②直接用含的代数式表示出的大小． (3)如图3，小明把平面镜水平放置，当时，再添一面平面镜，将两平面镜相对放置，光线经过两次反射，得到反射光线，当平面镜如何放置时，光线？请说明理由． 题型4 图形的折叠问题 ◆题型4 图形的折叠问题 题型模版 1. 折叠前后对应边、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线。 2. 设未知数，利用勾股定理或相似列方程求解。 13．（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图1，将一条两组对边分别平行的纸带两侧进行折叠，折痕分别是、，点、、、折叠后对应的点分别是、、、，点在线段上． (1)若，则 ； (2)说明的理由； (3)如图2，延长交于点，将四边形沿折叠得到四边形，记，试用含的代数式表示的度数． 14．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图1，在长方形中，，点为边上一点，连接，将翻折得到，折痕为；将翻折得到，折痕交长方形的边于点，其中，记，，． (1)当，时，求的值： (2)当时， ①如图2，若平分，求的值； ②当时，请直接写出的值． 15．（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图，将长方形纸片沿着折叠后得到图1，，将图1的图形再次沿着折叠得到图2，若折叠后，则的度数为（     ） A． B． C． D． 16．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图1，现有一张直角三角形纸片，，点D为边上一点，将纸片沿所在直线折叠，使点B落在内部的处． (1)若，求的度数； (2)如图2，若点E为线段上一点，将纸片沿所在直线再次折叠，使点D落在上，将纸片完全展开后折痕分别为，，．若，，写出与的数量关系并说明理由； (3)如图3，在重叠部分（内部）沿过点A的直线剪一刀，得到三张纸片，若这三张纸片中，以点A为顶点的角的度数之比为，写出的度数． 17．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，将长方形纸片沿折叠（折痕交于点，交于点，点、的落点分别是、，交于，再将四边形沿折叠，点、的落点分别是、，交于，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 18．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，在四边形纸片中，，将纸片沿折叠，点A、D分别落在、处，且经过点B，交BC于点G，连结，平分．若，，则的度数是___． 19．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，中，，以为边，将此三角形对折，其次，又以为边，再一次对折，C点落在上，此时，则原三角形的_______ 度． 20．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，把一张长方形纸片进行两次折叠，第一次沿折叠，第二次沿折叠，则 ______________． 21．（25-26七年级下·重庆万州·期末）如图，，点M、N分别在射线、上，，的面积为12，点P是直线上的动点，点P关于对称的点为点，点P关于对称的点为点，当点P在直线上运动时，的面积最小值为_____． 22．（25-26七年级下·重庆南岸·期末）唐代诗人李颀的诗句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，引出一系列有趣的数学问题，通常称为将军饮马问题． (1)如图①，若点和点分别在直线的两侧，请作示意图，在直线上找点，使得有最小值，并写出作图依据； (2)如图②，若点和点分别在直线的同侧，请作示意图，在直线上找点，使得有最小值； (3)如图③，定点在内部，点，分别在射线，上，请作示意图，确定点，，使得的周长最小． 23．（25-26七年级下·广东清远·期末）问题解决 【提出问题】 唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图1，将军牵马从营地出发，先到河流边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 (1)为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是________（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是 ． 【解决问题】 (2)如图2，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【类比探究】 (3)如图3，点是内一定点，将军牵马从军营点出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营． ①在图3中作图：使将军走过的路程最短．（保留作图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，求的度数． 24．（25-26八年级上·安徽滁州·期末）在中，，，点D，E在直线上，且，过点B作交直线于点F，直线交直线于点G，连结 (1)如图1，射线，都在的内部． 设，则 ______ （用含有的式子表示）； 作点B关于直线的对称点，则线段与图1中已有线段 ______ 的长度相等，并写出证明过程； (2)如图2，当射线在的外部，射线在的内部时，其他条件不变，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 25．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）【阅读材料】 日常生活中，光遇到水面、玻璃以及其他许多物体的表面都会发生反射．图1是光的反射示意图（反射角等于入射角，法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． 【尝试探究】 （1）如图2，为法线，入射光线与镜面所夹的锐角为，反射光线与镜面所夹的锐角为，试探究和之间的数量关系？并说明理由． 【结论应用】请用（1）中获得的结论解决以下问题： （2）如图3，平面镜，点A在上，点B在上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射后的光线为，其中点C在上，点D在上．请用无刻度的直尺与圆规补全图3中的反射光线（不写作法，保留作图痕迹）． （3）如图4，两平面镜，相交于点O，入射光线经两个平面镜两次反射后的反射光线为，若和相交，设交点为H．通过调整两个平面镜的夹角（）的大小，可以改变反射光线的方向．当时（即），求的大小． （4）如图5，，为两个足够长的平面镜，若，为一条入射光线，B为入射点，且，请问，入射光线经过_________次反射之后，光线将与其中一个平面镜平行射出． 26．（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）综合与实践 折纸是一门古老而有趣的艺术，越越在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索． (1)【问题解决】如图1，四边形纸片中，，点，分别在边，上，先将纸片沿折叠，记点，的对应点分别为点，，交于点，若，则 度． (2)【初步探究】如图2，将纸片再沿折叠，记点，的对应点分别为点，，记，，求与满足的关系式． (3)【深入探究】如图3，在第（2）题的基础上，点在边上，点是边上的一个动点，将纸片沿折叠，记点，的对应点分别为，，记．若直线与直线平行，请直接写出与满足的关系式． 27．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）， 操作一： （1）折叠纸面，使表示的1点与表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，使表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①6表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为15，（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 操作三： （3）在数轴上剪下9个单位长度（从到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（例如下图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ． 28．（25-26七年级下·山西大同·阶段检测）综合与探究 物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角叫作入射角，反射光线与法线的夹角叫作反射角（如图1）．在反射现象中，入射光线、反射光线和法线都在同一个平面内；入射光线和反射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 【初步探究】 如图2，已知镜子与镜子互相平行，入射光线经过两次反射后的反射光线为． (1)若，则_____________，_____________； (2)猜想入射光线与反射光线的位置关系，并证明； 【应用探究】 (3)如图3，有一口古井，将镜面的一端放置在水平地面上，若入射光线与镜面的夹角为，如何放置平面镜（即度数为多大时），可使反射光线正好垂直照射到井底（与水平地面垂直）？ 29．定义：如果有三个角，满足，则称是和的“减余角”． (1)已知，，若是和的“减余角”，则 ． (2)现有一张正方形纸片，如图所示，点为线段上一点（不与重合）．连结，将纸片沿着对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为． ①若是和的“减余角”，求的度数． ②再将此正方形纸片沿着所在直线对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为，如图所示．是否存在，，中的一个角是其它两个角的“减余角”？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 30．（25-26八年级上·山西忻州·期中）综合与实践 问题情境 如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站A出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料，最后返回空间站B．为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径． 问题解决 数学建模：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作B关于能源站直线l的对称点，连接，与直线的交点即为最优燃料点，此时路径最短． 推理论证：如图3，在直线上另取任意一点，连接，，，只要说明即可． 证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ， ， ． 在中，， ，即最小． (1)本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决．请补全上述推理论证； (2)请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1中画出最短路径； (3)如图4，在中，，．若点在上移动，点在上移动，如何确定的最小值？ 31．综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图1，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，向内折叠并压平，点，分别落在点和点处． 小明同学的操作如图2，点在线段上； 小红同学的操作如图3，点在上，点在上． (1)在图1中，若，求的度数； (2)直接写出图2和图3中的度数； (3)若折叠后， 求的度数(用含的代数式表示)． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $