专题03 全等三角形的性质与判定 重难点题型专训 -2026-2027学年浙教版八年级数学上册

该初中数学讲义通过梳理4个核心知识点构建全等三角形知识体系，以表格形式呈现判定方法选择逻辑，结合图形示例解析对应边、角识别技巧，清晰展现性质与判定的内在联系及重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型如“添加条件证全等”培养推理意识，提高题型通过“倍长中线模型”“旋转模型”训练辅助线构造能力，自我检测结合网格角度计算等情境题提升几何直观。不同层次练习满足学生需求，助力教师实施精准复习教学。

专题03 全等三角形的性质与判定重难点题型专训（4个知识点+13大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、图形的全等 1 题型二、全等三角形的概念 2 题型三、全等三角形的性质 3 题型四、将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 4 题型五、尺规作图——作三角形 5 题型六、用SSS证明三角形全等（SSS） 6 题型七、用SAS证明三角形全等（SAS 7 题型八、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 8 题型九、利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形） 9 题型十、添加条件使三角形全等 10 题型十一、灵活选用判定方法证全等 11 题型十二、结合尺规作图的全等问题 12 题型十三、全等三角形综合问题 13 第二部分·练提高题型 题型一、全等三角形的辅助线问题一一倍长中线模型 1 题型二、全等三角形的辅助线问题一一垂线模型 2 题型三、全等三角形的辅助线问题一一旋转模型 3 题型四、全等三角形中的动点问题 4 第三部分・自我检测 知识点01 全等图形 定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形。 图1 图2 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河北廊坊·阶段检测）下列各组给出的两个图形中，全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等图形的定义，准确分析判断是解题的关键． 根据全等图形的定义，即能够完全重合的两个图形是全等图形判断即可； 【详解】根据已知条件分析可得，、、三项不是全等图形，项两个图形全等； 故选． 2．（【浙教版课时练习】八年级上册第1章小结）能够___________的两个图形称为全等图形，能够重合的两个三角形叫做___________．全等三角形的___________边相等，___________角相等． 【答案】 完全重合 全等三角形 对应 对应 【分析】根据全等图形的定义和全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：能够完全重合的两个图形称为全等图形，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．全等三角形的对应边相等，对应角相等． 故答案为：完全重合；全等三角形；对应；对应． 【点睛】本题主要考查了全等图形的定义，全等三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键． 知识点02 全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·广西崇左·期中）如图，七巧板中有个等腰直角三角形（），其中与三角形全等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：与三角形全等的是． 2．（24-25七年级下·全国·暑假作业）如图，与全等，可以确定与_________是对应角，若与是对应边，则与_________是对应边． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据全等三角形的定义求解即可． 【详解】解：由图可知，与是对顶角， ∵与全等， ∴与是对应角， 又与是对应边， ∴与是对应边， 故答案为：，． 知识点03 全等三角形的性质 1.性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 2.数学语言表示：△ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'． 3.全等三角形其他性质：由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）图中的两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据全等三角形的性质得到对应边相等，相等的对应边所对的角为对应角，进而求出的度数． 【详解】解：图中的两个三角形全等，且边长为的边是两个三角形的对应边， 边所对的内角是对应角， 根据全等三角形对应角相等，可得． 2．（25-26八年级上·安徽滁州·阶段检测）若图中的两个三角形全等，则等于_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质，解题的关键是找准对应角．根据三角形的内角和定理求出角的度数，然后根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：如图， ， 又图中的两个三角形全等， ． 故答案为：． 知识点04 全等三角形的判定 一、全等三角形判定1——“边边边” 定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 二、全等三角形判定2——“边角边” 定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 三、全等三角形判定3——“角边角” 定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 四、全等三角形判定4——“角角边” 定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 要点三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 3.三角形证全等思路 五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列三角形中，与如图所示的全等的是（   ）    A．    B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 按判定全等的方法逐个验证即可得出正确答案． 【详解】解：A．三角形各边与的各边不相等，两个三角形不全等，不符合题意； B．三角形各边与的各边不相等，两个三角形不全等，不符合题意； C．三角形各边与的各边相等，两个三角形全等，符合题意； D．三角形各边与的各边不相等，两个三角形不全等，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，为了测量池塘两端A、B的距离，小红在地面上选择了点O、C、D，，，且点A、O、C和点B、O、D分别都在一条直线上，就可以知道A、B之间的距离．那么判定的理由是______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的应用，根据题目给出的条件，要观察图中有哪些相等的边和角，然后判断所选方法．已知两边及其夹角相等，利用可证两个三角形全等． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴判定的理由是． 故答案为：． 【基础题型一 图形的全等】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列选项中，两个图案不属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是全等图形的识别，掌握全等图形的概念是解决问题的关键．利用全等图形的概念（两个图形能够完全重合，就是全等图形）可得答案． 【详解】解：A、两个图形能够完全重合，是全等图形，不符合题意； B、两个图形能够完全重合，是全等图形，不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，不符合题意； D、两个图形形状相同，但大小不同，不能完全重合，不是全等图形，符合题意； 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·黑龙江鸡西·期中）请观察图中的5组图案，其中是全等形的是________（填序号）；    【答案】（5） 【分析】根据全等形的定义：形状、大小相同，能够完全重合的两个图形进行判断即可． 【详解】解：（1）形状、大小不相等，不是全等形； （2）大小不同，不是全等形； （3）形状，大小都不相同，不是全等形； （4）形状，大小都不相同，不是全等形； （5）形状，大小都相同，是全等形； 故答案为：（5）． 【点睛】本题考查全等形的识别．熟练掌握形状、大小相同，能够完全重合的两个图形是全等形是解题的关键． 1．（2026·浙江宁波·模拟预测）如图，矩形矩形矩形，连接并延长交于点K，点F落在上，若已知的面积为整数，则下列图形面积为整数的是（    ） A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形 【答案】D 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用．设，，求得，由的面积为整数，推出和是整数，即可判断矩形的面积为整数． 【详解】解：设，， ∵矩形矩形矩形， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ， ，， ∵的面积为整数， ∴和是整数， ∴为整数， ∴为整数， 故选：D． 2．（25-26八年级上·山东青岛·期末）蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，，其中，则______．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等图形的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补；全等图形对应角相等．先求出，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵蜂房的顶部由三个全等的四边形围成， ∴， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示的是两个全等的五边形，，，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，指出两图中其他的对应顶点、对应边和对应角，并说出图中a、b、c、d、e、各字母所表示的值． 【答案】点A与点G、点C与点I、点E与点F分别是对应顶点， 边和边、边和边、边和边、边和边、边和边分别为对应边，和、和、和、和、和分别为对应角， 【分析】根据全等图形的性质解答即可． 【详解】解：∵五边形和五边形为两个全等的五边形，点B与点H、点D与点J， ∴点B与点H、点D与点J、点A与点G、点C与点I、点E与点F分别是对应顶点， 边和边、边和边、边和边、边和边、边和边分别为对应边，和、和、和、和、和分别为对应角， ∵，， ∴． 【基础题型二 全等三角形的概念】 【例1】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，，C，B是对应点，下列结论错误的是（    ）    A．和是对应角 B．和是对应角 C．与是对应边 D．和是对应边 【答案】C 【分析】全等三角形中，能够重合的边是对应边，能够重合的角是对应角，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴和是对应角，和是对应角，和是对应边； 故A，B，D不符合题意； 而与是对应边，故C符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是全等三角形的对应边与对应角的含义，理解对应边与对应角的概念是解本题的关键． 【例2】（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是________．（填序号）    【答案】②④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的有关概念，解题时应注重识别全等三角形中的对应边、对应角． 根据全等三角形的有关概念，即可求解． 【详解】解：∵， ∴与是对应边，故①错误； 与是对应边，故②正确； 与是对应角，故③错误； 与是对应角，故④正确． 所以正确的有②④． 故答案为：②④ 1．（25-26八年级上·重庆·期中）罗同学学习了全等三角形后，利用全等三角形绘制出了下面系列图案，第（1）个图案由2个全等三角形组成，第（2）个图案由4个全等三角形组成，第（3）个图案由7个全等三角形组成，第（4）个图案由12个全等三角形组成，则第（6）个图案中全等三角形的个数为（    ） A．25 B．38 C．70 D．135 【答案】B 【分析】仔细观察图形，发现第个图形有个三角形，根据规律求解即可． 【详解】解：观察发现： 第一个图形有个全等三角形； 第二个图形有个全等三角形； 第三个图形有个全等三角形； 第四个图形有个全等三角形； 第个图形有个全等三角形； 当时，（个． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等的定义，图形类规律题，正确找到规律是解题的关键．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，按照什么规律变化的． 2．（25-26八年级上·北京海淀·期中）已知三角形的两边长为m和n，一个内角为30°，满足上述三个条件但不全等的三角形个数称为伴生数． （1）若，，则伴生数为______； （2）若，n为正整数，且伴生数为4，则n的最大整数值是______． 【答案】 4 13 【分析】本题主要考查了新定义的理解，全等三角形的定义， 对于（1），根据新定义解答即可； 对于（2），先确定符合条件的n的值，再确定最大整数即可. 【详解】解：如图所示，中两边长为2和3，有一角为，所以伴生数为4； 当时，比如：中两边长为6和7，有一角为，所以伴生数为4； 当时，比如：中两边长为6和7，有一角为，所以伴生数为4； 当时，伴生数不是4，所以n的最大整数是13. 故答案为：4；13. 3．（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图，，和是对应角． 在中，是最长边．在中，是最长边，且． (1)写出其他对应边及对应角； (2)求线段及线段的长度． 【答案】(1)其他对应边：和，和；其他对应角：和，和 (2)线段和线段的长度分别为和 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和差等知识点，熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边是解此题的关键． （1）根据，和是对应角可得到两个三角形中对应相等的三边和三角； （2）根据全等三角形的性质以及线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：其他对应边：和，和；其他对应角：和，和． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴线段和线段的长度分别为和． 【基础题型三 全等三角形的性质】 【例1】（2026·安徽马鞍山·模拟预测）如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得出，再根据线段间数量关系，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【例2】（25-26八年级上·北京·期中）如图，已知，若 ，则的长为______． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段和差的计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴． 故答案为：3． 1．（25-26八年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理；全等三角形的对应角相等，得，在中即可求出. 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴在中. 故选：C. 2．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，等边边长为为上一点，．动点由出发以的速度沿边向点运动，同时动点由点出发以的速度沿边向点运动．若存在某一时刻使得与全等，则_____． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握相关知识点是解题的关键． 设运动时间为，用含有t的式子将表示出来，再根据题意，分为和两种情况，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：设运动时间为，则，，， 如图当时， 可得，， ，， ； 当时， 可得，， ， ， ； 综上所述，为或． 故答案为：或． 3．（25-26七年级下·全国·单元复习）如图，，你能从图中找出几组平行线？ 小颖找出了一组平行线，她的思考过程如下． 因为， 所以． 所以． 请说明每一步的理由． 【答案】2组 ，，，（全等三角形对应角相等）；（内错角相等两两直平行） 【分析】利用全等三角形的性质得出，，再利用内错角相等两直线平行即可得出，． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴共有2组平行线，分别是，． 因为， 所以（全等三角形对应角相等） 所以（内错角相等两直线平行）． 【基础题型四 将已知图形分割成几个全等图形（全等图形）】 【例1】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）下列图标中，不是由全等形组合成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等图形的概念分析即可． 本题考查了全等图形，熟练掌握能够完全重合的两个图形是全等图形是解题的关键． 【详解】解：A、该图像是由四个全等的图形构成，故该选项不符合题意； B、该图像是由五个全等的图形构成，故该选项不符合题意； C、该图像不是由全等图形构成，故该选项符合题意； D、该图像是由两个全等的图形构成，故该选项不符合题意； 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·福建宁德·期末）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于______． 【答案】7 【分析】沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形，画出所有的分割方案，即可得到最长分割线的长度． 【详解】解：分割方案如图所示： 由图可得，最长分割线的长度等于7． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查全等形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等形的性质. 1．（25-26八年级上·山东烟台·期中）如图，在四边形中，，，点P为上的点不与点A，C重合，观察下列图形中全等三角形的对数．其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…．按此规律，图25中有（   ）对全等三角形． A．196 B．256 C．325 D．351 【答案】D 【分析】本题考查了图形规律与组合数计算，解题的关键是通过分析线段上的点数，归纳出全等三角形对数的公式． 观察图1到图3上的点数对应（为图序号），全等对数为（为上的点数）；结合图序号与点数的关系，代入公式计算图的对数． 【详解】解：图1中,上有3个点，全等对数为； 图2中,上有4个点，全等对数为； 图3中,上有5个点，全等对数为；得规律：第个图中,上有个点，全等对数为 当时， 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·期中）请把如图所示的正方形分别分成2个、4个、8个全等的图形． 【答案】 所作图形如下所示： 【分析】本题考查全等三角形的判定，选择对边的两个中点连接即可分得两个全等的图形；分别连接对边的两个中点即可得到四个全等的图形；分别连接对边的两个中点及不相邻的两个顶点即可得到8个全等的图形． 【详解】略 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）小明通过实验发现：如图所示，将一个长方形可以分割成四个全等的长方形，三个全等的长方形，于是他对含的直角三角形进行分割研究，发现也可以分割成四个全等的直角三角形，三个全等的直角三角形． 请你在图中依次画出分割线； 【答案】 解：分割线如图所示： ． 【分析】本题考查了作图-应用与设计，全等三角形的判定等知识点．根据要求画出图形即可． 【详解】略 【基础题型五 尺规作图——作三角形】 【例1】（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）已知线段a，b，c，求作，使，下面作法的合理顺序为（   ） ①分别以B，C为圆心，c，b为半径画弧，两弧交于点A； ②作直线，在上截取； ③连接，则为所作的三角形 A．①②③ B．①③② C．②①③ D．②③① 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图—作三角形，根据尺规作三角形的步骤，进行判断即可． 【详解】解：由题意，作的步骤如下： 作直线，在上截取； 分别以B，C为圆心，c，b为半径画弧，两弧交于点A； 连接，则为所作的三角形； 故正确的顺序为②①③； 故选C． 【例2】（25-26八年级上·河南濮阳·期中）如图，已知线段a，b，c，求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，AB＝c，下面作法中：①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A；②作线段BC＝a；③连接AB，AC，△ABC为所求作的三角形．正确顺序应为___．（填序号） 【答案】②①③ 【分析】根据作三角形，使三角形的三边等于已知边的作图步骤作答． 【详解】解：先作线段BC＝a，再分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A，然后连接AB，AC，△ABC为所求作的三角形． 故答案为：②①③． 【点睛】本题考查的是学生利用基本作图做三角形的能力，以及用简练、准确地运用几何语言表达作图方法与步骤的能力． 1．（2026·河北保定·二模）如图，是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（    ） A．两角及夹边 B．两边及夹角 C．两角及一角的对边 D．两边及一边的对角 【答案】B 【分析】观察图像可知已知线段AB，AC，∠A，由此即可判断． 【详解】解：根据作图痕迹可以知道，∠A为已知角，AB和AC是已知的边， 符合“两边及夹角”， 故选：B． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型． 2．（25-26八年级上·山西晋城·期末）如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是________． 【答案】 【分析】此题主要考查了应用与设计作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 作出小刚画出的三角形，再利用全等三角形的判定定理得出即可． 【详解】解：已知：线段和，，求作：，使，，． 作法：（1）作； （2）在射线上截取线段； （3）以为顶点，以为一边作，交于点， 就是所求的三角形． 由作图可知：，，， ∴ 故答案为：． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知直角和线段，，用尺规作一个直角三角形，使它的两条直角边分别等于，． 【答案】解：如图，就是所求作的直角三角形． 【分析】在射线上截取，使得，在射线上 截取，使得，连接，即为所求． 【详解】略 【基础题型六 用SSS证明三角形全等（SSS）】 【例1】（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图，做一个角平分仪，其中，，将角平分仪上的顶点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点、画一条射线，则，所以，就是的平分线，其中判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在和中， ， ∴． 【例2】（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，，要使，只需添加的一个条件是_______．（填一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】已知，是和的公共边，即．结合全等三角形判定定理、，补充一组对应边相等或两边的夹角相等，即可证明． 【详解】解：由题意可知： 是两个三角形公共边， ， 又已知， 添加条件： 在和中： ， ； 添加条件： 在和中： ， ， 综上，可填：（答案不唯一）． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列三角形中，与全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形全等的判定定理，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：题干的：三边长分别为、、， ∵三角形要全等对应边必须相等， ∴只有C项与的各边都相等． 2．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，，分别为，的中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中（不加任何其余线段），利用两个三角形全等，总能得到，则判定两个三角形全等的依据是______（填字母）． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先利用线段的中点定义可得，，从而可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵，分别为，的中点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，点C，D在线段上，且，，．试说明：． 【答案】解：∵， ， ， ，， ， ． 【详解】略 【基础题型七 用SAS证明三角形全等（SAS ）】 【例1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，某桥梁的钢架结构中，和的顶点，，，在同一直线上．已知，且，同时点是的中点，点是的中点．则判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴， ∵， ∴． 【例2】（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，已知，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；再以点为圆心，大于的长为半径画弧，分别交，于点，，连接，，则，其全等的依据是________．（填“”或“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】根据作图过程和全等三角形的判定可得答案． 【详解】解：由作图过程得，， 在和中， ∴． 1．（26-27八年级·全国·暑假作业）下列四个选项中的图形和图中的图形不全等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐一求出各选项的隐含条件，进而判断即可． 【详解】解：A．根据等腰三角形的定义可知两底角均为，则顶角为，根据可证明和题干图全等； B．根据三角形内角和可知第三个角为，可知是等腰三角形，且腰长为6，根据可证明和题干图全等； C．根据三角形内角和可知第三个角为，可知是等腰三角形，且腰长为6，根据可证明和题干图全等； D．根据三角形内角和可知顶角为，但不知道腰长数据，无法证明全等． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，中，，，，点D是的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点A运动，若两点在运动过程中和会出现全等的情况，则点Q的速度为________． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定，分两种情况求解是解题的关键．设点P、Q的运动时间为，，分和两种情况，分别列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：， ， 点D是的中点， ， 设点P、Q的运动时间为，， 则，， 当，时，， ， 解得， 点Q的速度为； 当，时，， ， 解得， 点Q的速度为； 综上所述，点Q的速度为或． 故答案为：或． 3．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图，，，． (1)求证：； (2)若点A、B、E在同一条直线上，且，，求的度数． 【答案】(1) 证明：， ，即， 在和中， ， ； (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由得到，然后证明出即可； （2）首先由全等得到，然后求出，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ． 【基础题型八 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）】 【例1】（25-26八年级上·河南周口·期中）调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分，认识到错误的他想去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么他应该带下列选项中哪种玻璃碎片（   ） A．① B．② C．①② D．③ 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法，看哪块可以符合三角形全等的条件即可． 【详解】解：根据“两角一夹边对应相等，两个三角形全等”可得，带③去就可以， 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·天津·阶段检测）如图，要使，依据，应添加的一个条件是_______． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定．两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】解：， 理由如下：在和中， ， ∴， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·河南许昌·期中）图是三个叠在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形Ⅱ完全相同的三角形，其依据是（    ） A．SAS B．ASA C．HL D．SSS 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形判定定理．根据“”可判断Ⅱ． 【详解】解：Ⅱ可以根据“”可作出完全相同的三角形． 故选：B． 2．（24-25八年级上·吉林通化·阶段检测）如图，一块三角形玻璃板，不小心摔成三块，小亮要想得到一块与原来一样的三角形玻璃板，需要带着第___________块去商店． 【答案】③ 【分析】本题考查了全等三角形的应用，显然第③中有完整的三个条件，用易证需要的三角形与原三角形全等，学会把实际问题数学化为正确解答本题的关键． 【详解】解：因为第③块中有完整的两个角以及它们的夹边，利用易证三角形全等，故应带第③块． 故答案为：③． 3．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，，，，点D在边上． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，进一步证明即可； （2）利用全等三角形的性质求解即可. 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：， ， 又， . 【基础题型九 利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形）】 【例1】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键． 根据网格特点，可得出，，，进而可求解． 【详解】解：如图，则，，， ∴， 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在正方形网格中， _____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边对等角，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，可证明得到，则可推出，同理可得；再由，得到，据此可得答案． 【详解】解：由网格的特点可得， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得； ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题考查了角的大小比较．构造全等三角形，让与两个角的顶点重合，即可解答． 【详解】解：如图，，，， ∴， ∴， ∵在的内部， ∴． 故选：C． 2．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在的方格纸中_____． 【答案】 【分析】取格点、、、、，容易证明，则，结合可得，． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，△ABC的三个顶点均在格点处． (1)过点B画AC的垂线BD； (2)过点A画BC的平行线AE．（请用黑水笔描清楚） 【答案】(1) 画图如下： (2) 画图如下： 【分析】(1)过点B作格点直角三角形与以AC为斜边的直角格点三角形全等，即可画得； (2)过点A画正方形的对角线，即可画得． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了格点作图，平行线与垂线，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【基础题型十 添加条件使三角形全等】 【例1】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在一条直线上，，要说明，添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， 、当添加时，对应条件为，不能证明，该选项不合题意； 、当添加时，，能证明，符合题意； 、当添加时，不能证明，该选项不符合题意； 、当添加时，不能证明，该选项不符合题意． 【例2】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，已知平分，连接、，若要判定，则需要添加的条件是：________．（只写一个） 【答案】（或或，答案不唯一） 【分析】根据题意，可以选择判定，也可以选择、判定，据此写出一个条件即可． 【详解】解：是的角平分线， ， 又， 当添加或或时，，分别属于、、的判定条件，答案不唯一，选择一种即可． 1．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）甲、乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：已知和（点分别是点的对应点），两人轮流添加条件，如表记录了两人游戏的部分过程，第3轮添加条件后，若能判定，则甲失败，乙获胜；若不能判定，则甲获胜，乙失败，则下列说法错误的是（） 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 … A．若甲第3轮添加的条件是，则乙获胜 B．若甲想获胜，第3轮可以添加条件 C．若乙修改第2轮的添加条件为，则第三轮乙必胜 D．若甲第3轮添加的条件是，则甲获胜 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定方法：、、、、依次对各选项分析即可判断．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【详解】解：原问题已有条件为，，结合判定定理逐一分析： A．∵添加后，三边对应相等，满足全等判定，∴，乙获胜，A说法正确． B．∵添加后，现有条件为两边及其中一边的对角对应相等，即，不能判定三角形全等，∴无法判定全等，甲获胜，因此甲想获胜可以添加该条件，B说法正确． C．修改第二轮条件后，已有条件为，，∵无论甲第三轮添加任何一个条件，添加边时，加可由判定全等，加可由判定直角三角形全等；添加角时，加可由判定，加可由判定，因此都可判定全等，乙必胜，C说法正确． D．∵添加后，现有条件为，，，是与的夹角，满足全等判定，∴，乙获胜，甲失败，因此D说法错误． 2．（25-26八年级上·广东东莞·期末）如图，，，请你添加一个适当的条件，使得，则需添加的条件是______（只要写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 由题意已知一组边与一组角相等，可通过添加相等角的另一个邻边相等，利用证明全等，或添加三角形中另一组对应角相等，利用或证明全等． 【详解】解：∵， ∴，即， 又， ∴若添加，则； 若添加，则； 若添加，则， 其余可满足全等三角形判定定理的条件亦可， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25七年级下·河南郑州·期末）学完三角形和图形的轴对称相关知识后，老师出示了以下问题： (1)【基础探究】如图（1），点分别在线段上，与相交于点，，若要使，需要添加一个条件．请从“条件：①；②；③”中选择一个你认为正确的条件，说明． (2)【类比迁移】如图（2），在中，，，分别平分 和，，交于点．小明发现，图（1）中，若连接，则和关于线段所在的直线成轴对称图形，但图（2）不是轴对称图形，于是小明过点作的对称点，构造出轴对称图形．得出以下结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填序号）． (3)【拓展应用】如图（3），点是平分线上的一点，、分别是、边上的动点，若使，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1) 选择条件②，证明如下： 在和中， ， ∴； (2)①②④ (3)或 【分析】本题考查选择合适的条件证明三角形全等，全等三角形的判定和性质，与角平分线有关的三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）选择条件②，利用证明即可； （2）根据轴对称的性质，得到，，证明，进而得到，根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，求出，推出，再证明，进而推出，根据全等三角形的面积相等，推出即可； （3）作于点，于点，证明，得到，分分别与重合以及与不重合，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点作的对称点， 则：，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴；故②正确； ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴；故①正确； ∵，， ∴，， ∴；故④正确； 无法得到，故③错误； 综上：正确的是①②④； （3）作于点，于点，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 当分别与重合时，满足， 则：， 当与不重合时， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【基础题型十一 灵活选用判定方法证全等】 【例1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）数学课上，老师问：“哪些条件能画出唯一的”，小杭说：“当，，时”，小州说：“当，，时”，对于两位同学的说法（    ） A．小杭和小州都对 B．小杭对，小州错 C．小杭错，小州对 D．小杭和小州都错 【答案】B 【分析】本题考查确定唯一三角形的条件，需结合三角形全等判定定理分析两位同学的说法． 【详解】解：三边分别相等的两个三角形全等（）， 当，，时，三边长度确定， 能画出唯一的， 故小杭的说法正确； 三个角分别相等的两个三角形形状相同，大小不一定相同， 即存在多个大小不同的三角形满足，，， 不能画出唯一的， 故小州的说法错误； 综上，小杭对，小州错． 故选：B． 【例2】（2026八年级上·山东济宁·专题练习）如图，、相交于点O，，请你再补充一个条件，使得，你补充的条件是_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据全等三角形的判定定理：，，，，，即可解答． 【详解】根据题意可得，， 根据全等三角形的判定定理， 可补充的条件为，则； 可补充的条件为，则．（答案不唯一） 1．（24-25八年级上·四川南充·阶段检测）下面四个三角形中，与图中的全等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题可得， A选项属于已知两边和其中一边的对角对应相等的情况，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意； B选项中角的对边不相同，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意； C选项中已知两边及两边的夹角对应相等，所以根据“”能判定全等，故本选项符合题意； D选项中两对应角的夹边不相等，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，给出下列四组条件： ①；②；③；④．其中能使的条件是___________． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理，逐项判断，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴，符合题意； ②∵ ∴，符合题意； ③， ∴，符合题意； ④，满足边边角，无法证得． 故答案为：①②③ 3．（25-26七年级下·江苏·期末）我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？阅读与证明： 对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等． 对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等(证明略) 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下： 已知：、均为锐角三角形，，，． 求证：． （请你将下列证明过程补充完整． 证明：分别过点，作于，于，…（请同学们接着向下证） 【答案】见解析 【分析】考查三角形全等的判定的综合应用，掌握相关知识是解决问题的关键．先利用证明，可证，进而利用证明，得到，再利用可证原两个三角形全等． 【详解】证明：分别过点，作于，于， 则， 在和中， ， ， ． ，． ， ， 又，， 在与中， ， 【基础题型十二 结合尺规作图的全等问题】 【例1】 （25-26八年级上·福建福州·期中）用直尺和圆规作两个全等三角形，如图，能得到的依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查复杂作图，根据作图的痕迹进行判断即可求解．掌握全等三角形的判定定理及基本作图是解题的关键． 【详解】解：由作图得：，， 在和中， ， ∴， ∴能得到的依据是． 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画______个．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定画出三角形即可，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键． 【详解】解：如图所示：    使，则这样的格点三角形最多可以画7个， 故答案为：7 1．（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和全等三角形的判定定理． 通过尺规作图操作得出相等的边，然后利用边边边证出两个三角形全等，利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：通过尺规作图操作可得， 又， ∴， ， 故选：B． 2．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知点P在直线l外，按以下步骤作图：①在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；②以点P为圆心，以PA的长为半径作弧；③以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C，作直线PC．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】通过作图步骤得到线段相等关系，可以证明三角形全等，进而利用全等三角形对应角相等以及三角形内角和定理求解的度数即可； 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】如图，连接AC，由作图可得，， ∴在和中 ∴ ∴， ∵． ∴， ． 3．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的的方格网络，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点之上，像这样的三角形叫格点三角形，试在方格纸上按下列要求画格点三角形： (1)在图1中画一个格点三角形与全等且有1个公共点； (2)在图2中画一个格点三角形与全等且有1条公共边； 【答案】(1) 即为所求作（答案不唯一）； (2) 即为所求作（答案不唯一）． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，明确全等三角形的判定定理是关键； （1）如果公共点为B，取格点E、F，使，，可得出格点三角形即为所求作； （2）以为公共边，是小方格的对角线，可画出，连接，就可得出即为所求作． 【详解】（1）略 （2）略 【基础题型十三 全等三角形综合问题】 【例1】（25-26八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，，，，垂足分别为E，F，与交于点D，有下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和得到，由全等三角形的判定定理得到，故①选项正确，由，得，于是得到，选项④正确；同时可证明，选项②正确，根据全等三角形的性质得到， 则，选项④正确连接，证得，根据全等三角形的性质得到，即点D在的平分线上，选项③正确， 【详解】解：∵， ， 在中，，在中， ， 在和中， ， ∴，故①选项正确； ， ， 得， ∴，选项④正确； 在和中， ， ∴，选项②正确； 连接， 在和中， ， ∴， ，即点D在的平分线上，选项③正确； 故正确的为①②③④． 【例2】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，的周长等于__________． 【答案】17 【分析】在上截取，先证，再证，可得，再由的周长即可解答． 【详解】解：在上取点G，使， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． ∴ ∴的周长等于， ∵，，， ∴的周长等于． 1．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，已知在四边形中，，，，，点E为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向D运动．要使与全等，点Q的运动速度为（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论当或时，根据全等三角形的性质计算即可． 【详解】解：由题意知，，设运动时间为，点Q的运动速度为， 则，，， ∵， ∴要使与全等，则有或， 当时，， 即，解得； 当时，， 即， 解得， 综上所述，点Q的运动速度为或． 2．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在长方形中，为边上一点，其中，，．动点从开始，以的速度沿路线运动到点停止，从点开始运动的同一时刻动点以的速度从点出发沿边运动，到点停止．当为_____时，在某一时刻与全等． 【答案】 2 【分析】本题考查了全等三角形判定与动点问题，解题关键是分情况讨论时，同时验证点的运动边界条件． 【详解】解：设运动时间为秒，则：，，，且，． ， 与均为直角三角形，全等需两组直角边对应相等，分两种情况：   情况一：且， 解得， 此时，点超出边界，舍去． 情况二：且， 解得，． 此时，，符合运动范围，有效． 综上，唯一符合条件的解为． 故答案为：． 3．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． 【初步探究】 (1)如图1，若，点，，在直线上，，则与有怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)【变式训练】 如图2，若，点，，在直线上，，试判断线段、和的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 如图3，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为多少时，能使与以，，三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)，理由：∵点、、在直线上， ∴， 由三角形内角和定理知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得； （2）同（1）可证明，得，可得答案； （3）过点A作于F，可证明，得到；再分和两种情况，利用全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图所示，过点A作于F， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵E是中点， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点Q的运动速度为或． 【提高题型一 全等三角形的辅助线问题一一倍长中线模型】 【例1】（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长，交于点，利用证明，得出，，再通过倍长中线法和等腰三角形性质证明，最后由求解． 【详解】解：连接并延长，交于点， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 延长至点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【例2】（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，是中边上的中线，若，，设，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形性质和判定，三角形中线性质，三角形三边关系，解题的关键在于倍长中线构造全等三角形． 延长至点，取，连接，结合三角形中线性质证明，得到，再利用三角形三边关系求解，即可解题． 【详解】解：延长至点，取，连接， 是中边上的中线， ， ， ， ，， ， ， ， ， 整理得， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，为中线，在延长线上取一点E，连接，使．过点C作于点F．下列结论中正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】作，证、即可求解． 【详解】解：作，如图：    ∵ ∵， ①无法推出，故①错误； ②正确； ③∵ 且 ∴ 故③正确； ④∵为中线 ∴ 故④正确； ⑤ 故⑤正确； 故选：D 【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，作出辅助线进行几何推理是解题关键． 2．（2026·贵州·模拟预测）如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②；③若点P是线段上的一个动点（点P不与点A，D重合），连接，则的面积比的面积大；④点P，Q是A，D所在直线上的两个动点（点P与点Q不重合），若，连接，，则．所有正确结论的序号是( ) 【答案】①②④ 【分析】根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；延长至，使，易证得，利用三角形三边关系可对②进行判断；再次根据三角形中线定义和三角形面积公式可对③进行判断；由，，，易证得，可得，即可对④进行判断． 【详解】解：∵是中线， ∴ ∴与的面积相等，故①正确， 延长至，使，如图    ∵，， ∴， ∴ 则在中， ∴，故②正确， 点是线段上的一个动点（点不与点，重合），连接，，如图，    ∵ ∴ 又∵与的面积相等 ∴的面积和的面积相等，故③不正确， 点，是，所在直线上的两个动点（点与点不重合），若，连接，，如图，    由，，， ∴， ∴ ∴ 故④正确， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质，三角形的三边关系以及平行线的判定，利用三角形中线的性质及倍长中线的思想是解决问题的关键． 3．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题． 【小试牛刀】 （1）如图1，在中，，，则边上的中线的取值范围是______； 【尝试运用】 （2）如图2，，点D为中点，点F在的延长线上，，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，是中线，点E是上一点，，，若，则的大小是______（角含的式子表示） 【答案】（1）  （2）6  （3） 【分析】（1）延长到E，使，连接，由是边上的中线，可得，证明，得到，再根据三角形的三边关系得到，即可求解； （2）延长，交的延长线于点，证明，得到，结合，可得，根据，得到，即可求解； （3）如图，延长至点N，使得，在上取点M，使得，连接，，证明，得出，，结合，得出，，证明，得出，根据，得出，结合，证明是等边三角形，得出，最后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：（1）如图，延长到E，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形三边关系得， ， ， ， 故答案为：． （2）延长，交的延长线于点G， 点D为中点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）如图，延长至点N，使得，在上取点M，使得，连接，， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 即的大小是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与与性质，三角形的中线，三角形的外角性质，等边三角形的判定与性质，三角形的三边关系，解题的关键是掌握相关知识并正确作出辅助线． 【提高题型二 全等三角形的辅助线问题一一垂线模型】 【例1】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）为测量一池塘两端，间的距离．甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案． 甲：如图，先过点作的垂线，再在射线上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点．则测出的长即为，间的距离； 乙：如图，先确定直线，过点作的垂线，在上找可直接到达点的点，连接，作，交直线于点，则测出的长即为间的距离，则下列判断正确的是(    ) A．只有甲同学的方案可行 B．只有乙同学的方案可行 C．甲、乙同学的方案均可行 D．甲、乙同学的方案均不可行 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的应用．根据全等三角形的判定和性质分别证明，即可判断可行性． 【详解】解：甲：由题意得，，， ， 在和中， ， ， ； 测出的长即为A，B间的距离； 乙：∵，，， ∴ ； 测出的长即为A，B间的距离； 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得长为58米，则池塘两岸A，B两点的距离是________． 【答案】58米/ 【分析】本题考查全等三角形的应用，根据题意得到，然后利用全等三角形的对应边相等即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 在和中， ∴， ∴， 即池塘两岸A，B两点的距离是58米． 故答案为：58米． 1．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）为了测量水池两边，间的距离，两名同学提供了如下间接测量方案．对于方案1，2，说法正确的是（   ） 方案1 方案2       ①过点作射线． ②过点作于点． ③在的延长线上截取，使得． ④测量的长即可． ①在水池外取的垂线上的点，，使得． ②再作的垂线，使点，，在同一条直线上． ③测量的长即可． A．方案1可行、方案2不可行 B．方案1不可行、方案2可行 C．方案1、2都可行 D．方案1、2都不可行 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的应用，方案1利用得到，得到；方案2利用得到，得到，即可． 【详解】解：方案1：由题意，可知：，， 又∵， ∴， ∴； 方案2：由题意，可知：，， 又∵， ∴， ∴； 故两种方案均可行； 故选C． 2．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，，，为边上的高，点E从点B出发在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动______s时，．    【答案】2或4 【分析】先证明，得出，①当点E在射线上移动时，，即可求出E移动了；②当点E在射线上移动时，，即可求出E移动了． 【详解】解：∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点E作的垂线交直线于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ①如图，当点E在射线上移动时，， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动了：； ②当点E在射线上移动时，， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动了：（s）； 综上所述，当点E在射线CB上移动或时，； 故答案为：2或4．    【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键． 3．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）综合与实践．某数学兴趣小组在校外开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量池塘两岸相对的两点的距离 活动方案 方案一 方案二 方案示意图 - 实施过程 1．池塘外取的垂线上的两点，使； 2．再画出的垂线，使与，在一条直线上； 3．测量出的长； 1．池塘外取的垂线上的点； 2．再画出的垂线，使与在一条直线上，且； 3．测量出的长； 测量数据 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．为不可直接到达之地，离池塘边有一定距离； 1．图上所有点均在同一平面内； 2．为不可直接到达之地，离池塘边有一定距离； 请你从以上两种方案中任选一种，并求出间的距离． 【答案】A，B间的距离是， 选择方案一： 由方案可得，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ A，B间的距离是； 选择方案二： 由方案可得，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ A，B间的距离是． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，解题的关键是正确理解题意，找出全等三角形的判定的元素． 方案一证明即可；方案二证明即可． 【详解】略 【提高题型三 全等三角形的辅助线问题一一旋转模型】 【例1】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，点D为中点，直角绕点D旋转，，分别与边，交于E，F两点，下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论是（    ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． 根据等腰直角三角形的性质可得，根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得、，从而得到是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出，判断出②正确；根据，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得，判断出④错误． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点为中点， ∴，，， ∴， ∵是直角， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故③正确； ∴、， ∴是等腰直角三角形，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③． 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在直角中，，，点为中点，直角绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：是等腰直角三角形；；；，其中正确结论是___________ 【答案】 【分析】本题考查三角形全等的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据等腰直角三角形的性质可得，根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，判断出正确；根据全等三角形对应边相等可得、，从而得到是等腰直角三角形，判断出正确；再求出，判断出正确；根据，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得，判断出错误． 【详解】解：，， 是等腰直角三角形， 点为中点， ，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， 故正确； ，， 是等腰直角三角形， 故正确； ，， ， 故正确； ， 故错误； 综上所述，正确的结论有． 故答案为：． 1．（25-26八年级上·四川资阳·期末）如图，已知，直角的顶点是中点，两边、分别交、于点、，当在内绕顶点旋转时（点不与重合），给出下列四个结论：①是等腰三角形；②；③；④和的面积之和等于9，上述结论中始终正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明出是解题的关键． 先证，由性质得，可得①正确；由性质得 ，结合平角的性质，得②正确；由性质得，通过面积计算可得④正确；随着点E的变化而变化，不一定等于，故③错误． 【详解】解：， 是等腰直角三角形， 点为的中点， ， 是直角， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形，故①②正确； ，故④正确； 随着点的变化而变化， 不一定等于，故③错误； 故选：C． 2．（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，正与等腰的顶点重合，，，将绕顶点旋转，在旋转过程中，当时，的大小可以是__________． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定及性质以及角的运算，由已知条件可证得，从而得出，再由角与角的关系可得出结论． 【详解】解：由旋转的性质可知，等腰的形状不变，位置在变． ①当在内时，如图1所示． ∵为等边三角形，为等腰三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②当在外时，如图2所示． 在和中， ， ∴， ∴． 综上可知：，的大小可以是． 故答案为：或． 3．（2026·安徽滁州·一模）【综合与实践】 问题情境：变换包括平移、旋转、对称、位似等，其中旋转就是将图形上的每一点在平面内绕着旋转中心旋转固定角度的位置移动，其中“旋”是过程，“转”是结果．旋转的性质则是解决实际问题的关键．数学活动课上，老师让同学们根据如下问题情境，发现并提出问题．如图1，与都是等腰直角三角形，点E，D分别在和上，连接EB．将线段绕点B顺时针旋转，得到的对应线段为．连接，．“兴趣小组”提出了如下两个问题：①，；②，．    解决问题： （1）请你证明“兴趣小组”提出的第②个问题． 探索发现： （2）“实践小组”在图1的基础上，将绕点C顺时针旋转角度，其它条件保持不变，得到图2． ①请你帮助“实践小组”探索：“兴趣小组”提出的两个问题是否还成立？如果成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． ②如图3，当时，请求出此时旋转角α的大小． 【答案】（1）见解析；（2）①成立，见解析；②45° 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，，得到得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，结合垂直的定义得到证明； （2）①如图2，延长与交于点P，求得，根据全等三角形的性质得到，，求得，即，根据全等三角形的性质得到，，求得，即； ②推出垂直平分得到，根据全等三角形的性质得到即可得到结论； 【详解】（1）证明：与为等腰直角三角形， ，， ， ，，， ， ， ≌， ，， ， ， ，即； （2）①如图，    延长与交于点， ， ， ，， ≌， ，． ，， ， ，即， ，，， ， ， ≌， ，． ， ， ，即； ，， 垂直平分． ， ，， ≌， ， 旋转角的大小是． 【点睛】本题主要考查了考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【提高题型四 全等三角形中的动点问题】 【例1】（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，在中，，，，，是的角平分线，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．4.8 B．7 C． D．2.4 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线段最短，三角形的面积．过点C作于点E，在上取一点，使，连接，，证明，得到，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过点C作于点E，在上取一点，使，连接，，如图， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，最小，根据垂线段最短可得最小，即最小值为的长， ∵在中，，，，， ∴， ∴， 解得：． 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，动点与线段构成，其边长满足，，若点在的平分线上，且，则的面积的最大值为______．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂线段最短，三角形的面积，关键是理解三角形的中线平分三角形的面积．延长交延长线于M，根据点在的平分线上，且，证明，得到，又结合，，即可求出面积的最大值． 【详解】解：延长交延长线于M，过M作交延长线于H，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴当的面积最大时，的面积最大， ∵，，， ∴面积的最大值 故答案为：． 1．（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，，D是边中点，P是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂线段最短，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 如图在的下方作等边，作射线．证明，推出，推出，推出点Q在射线上运动，当时，的值最小． 【详解】解：如图在的下方作等边，作射线． ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点Q在射线上运动（点T是定点，是定值）， 当时，的值最小，而D为的中点， 最小值为， 故选：B． 2．（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在直角中，，平分，是上一动点(不与，重合，是上一动点不与，重合，则的最小值为_______. 【答案】 【分析】此题考查根据面积等式求线段的长度、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识与方法，正确作出辅助线是关键．作于点，根据三角形的面积公式求得，在上取点，使，连接，则，可知当点与点重合，点与点重合时，取得最小值，则的最小值为． 【详解】解：作于点， ， ， ， ， 在上取点，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 当点与点重合，点与点重合时，则的值最小， 的最小值为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）在等边中，线段为边上的中线．动点D在直线上时，以为一边在的下方作等边，连接． (1)若点D在线段上时（如图①），则____（填“>”“<”或“=”），_____度； (2)设直线与直线的交点为O． ①当动点D在线段的延长线上时（如图②），试判断与的数量关系，并说明理由； ②当动点D在线段的延长线上时（如图②），求的度数； ③当动点D在直线上时，试判断是否为定值？若是，请直接写出的度数． 【答案】(1)， (2) ①，理由： ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； ②； ③为定值 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形三边相等，三个角都是，以及全等三角形对应边相等，对应角相等． （1）根据等边三角形的性质可得，即可得出，根据即可证明，即可得出；根据“三线合一”即可求出的度数； （2）①用和（1）相同的方法，证明即可得出结论；②根据可得，在中，根据直角三角形两个锐角互余，即可得出结论；③分点D在线段上，点D在线段的延长线上，点D在线段的延长线上，三种情况讨论，同理②即可得出结论． 【详解】（1）解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； ∵线段为边上的中线，是等边三角形， ∴． 故答案为：=，． （2）解：①略 ②∵线段为边上的中线，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在中，； ③为定值，理由如下： 情况一：当点D在线段上时，如图： ∵线段为边上的中线，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 情况二：当点D在线段的延长线上时，由②知； 情况三，当点D在线段的延长线上时，如图： ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∵线段为边上的中线，是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的值为定值，． 1．（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）下列四组图形中是全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是全等形，根据能够完全重合的两个图形是全等形对各选项分析即可得解． 【详解】解：观察发现，A、B、D选项中两个图形大小不一样，不可能完全重合，不是全等形， C选项的两个图形可以完全重合，是全等形． 故选：C． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．根据全等三角形的判定定理，对选项一一进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A、添加，无法判定，故此选项符合题意； B、添加， ∴，故添加选项B可以判定，故此选项不符合题意； C、添加， ， ∴，故添加选项C可以判定，故此选项不符合题意； D、添加， ， ∴，故添加选项D可以判定，故此选项不符合题意． 故选：A． 3．（2026·江苏扬州·模拟预测）如图，是一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），其中两根钢条，的中点连在一起，量得A，B之间的距离为，，则内槽宽（的长度）为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，根据O为和的中点，且即可判定，即可求得的长度． 【详解】解：连接，， ∵，的中点连在一起， ∴，， ∵， ∴， 即， 故． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，分别以的顶点A，C为圆心，边，为半径画弧，两弧交于点D，连接，，可以判定，理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．根据全等三角形的判定方法结合作图解答即可． 【详解】解：由题意知， 在和中， ， ∴， ∴判定的理由是． 故选：A． 5．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，点在线段上，于点，于点，，且，，点从点开始以速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，、同时停止运动．过、分别作的垂线，垂足分别为、．设运动的时间为，当以、、三点为顶点的三角形与全等时，的值为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设运动运动的时间为时，则，，根据题意，得，，根据三角形全等，分类解答即可． 本题考查了三角形全等的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设运动的时间为时，则，， ∵，， ∴，， 当点到达终点时，运动时间为：， 点Q到达C的运动时间为：， ∵以、、三点为顶点的三角形与全等， 得到， 故， ∴或， 解得或， 故选：D． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知线段a，b，c，求作，使． ①以点B为圆心，c的长为半径画弧； ②连接； ③作； ④以点C为圆心，b的长为半径画弧，两弧交于点A． 作法的合理顺序是__________． 【答案】③①④② 【分析】根据作三角形的步骤：第一步先作一条线段等于三角形的一边，第二步以已作的线段的两个端点为圆心，以对应的长为半径画弧确定交点位置，最后顺次连接即可，由此进行判断即可． 【详解】解：先作，再以点B为圆心，c的长为半径画弧；接着以点C为圆心，b的长为半径画弧，两弧交于点A，然后连接，则即为所求． 故答案为：③①④②． 【点睛】本题主要考查了用尺规作图—作三角形的步骤，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 7．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，一块三角形模具碎成了三块，可以只带其中一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具，你选择带的那块编号是________． 【答案】 【分析】要配一块与原来一样的三角形模具，即要构造一个与原三角形全等的三角形，需根据全等三角形的判定定理寻找包含足够条件的碎片． 【详解】第块只保留了一个角和部分边，无法确定三角形的形状和大小； 第块不包含完整的边和角，无法确定三角形的形状和大小； 第块保留了两个角和这两个角的夹边，根据全等三角形的判定定理“角边角”，即两角及其夹边对应相等的两个三角形全等， 带第块去商店，可以配一块与原来一样的三角形模具． 8．（25-26七年级下·北京·期末）如图所示，，，，，，则__________． 【答案】/度 【分析】证明，得到，利用三角形内角和求解即可． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， ． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，是的中点，平分，则的度数为______． 【答案】35° 【分析】过点作，证明RtRt，再根据，即可求得的度数． 【详解】解：如图，过点作， ∵平分，且是的中点， ∴， 又，且， ∴（HL）， ∴． 又∵，即，， ∴． 故答案为：. 【点睛】本题考查了角平分线的性质，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出全等三角形，再由全等三角形的性质解答． 10．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下4个结论：①；②；③；④平分恒成立的结论有___________．    【答案】①②③ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，要多次证明三角形全等，综合性质较强，仔细分析图形是解题的关键． 通过证明多组三角形全等，利用全等三角形的性质以及等边三角形的角的性质，对四个结论逐一进行分析判断。 【详解】解：∵等边和等边， ∴，，， ∴， 即， ∴（SAS）， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴（ASA）， ∴，，故②正确； ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，故①正确； 又∵， ∴， 又∵， ， 且， ∴， ∴，故③正确；    如图，过C点作于F，于G， ， ，， ， ， ∴C点在的平分线上， ∴平分， ， ， ， ， 又∵平分， ， ， ， ， 即， ∴不平分， ∴结论④不正确； 故答案为：①②③． 11．（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知．写出对应边、对应角． 【答案】对应边：与，与，与；对应角：与，与，与． 【分析】本题考查全等三角形的对应边与对应角．把两个全等的三角形重叠到一起时，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角．据此即可解答． 【详解】解：略． 12．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，被墨迹污染了，请你重新作一个，使．(要求：用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．)    【答案】 即为所求：    【分析】本题主要考查限定工具作图，三角形全等的判定；根据已知三角形，利用进而得出全等三角形即可． 【详解】解：首先画一条射线并在其上截取，再分别以和为顶点作，，则与另一边的交点即为点，则即为所求作． 13．（25-26八年级上·江西上饶·阶段检测）如图，在和中，，，，且点，，在同一直线上，点，在的同侧．连接，，分别交、于点，，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识是关键． （1）由可推出，根据边角边的判定定理可证明； （2）由和可计算出，根据全等三角形的性质可得．根据三角形外角的性质可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴． 14．（25-26八年级上·吉林长春·期末）图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1．在图①、图②中按下列要求各画一个三角形． 要求： (1)三角形的三个顶点都在格点上． (2)与全等，且位置不同． 【答案】(1) 如图，即为所求 (2) 如图，即为所求 【分析】（1）利用全等三角形的判定方法，画出图形即可； （2）利用全等三角形的判定方法，画出图形即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查作图，全等三角形的判定的知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 15．（25-26八年级下·四川内江·期中）按要求解答问题： (1)如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：______； (2)如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系： ． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ． ，， ． ． 又， ． ． ． (3)或或 【分析】（1）延长到，使，连接．证明．，，证明．则．即可得到答案； （2）延长到，使，连接．证明，则，，证明，则．即可得到答案； （3）在上截取，使，连接．证明．则，．证明．则，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，延长到，使，连接． 在与中， ， ． ，， ． ． 又， ∴． ． ． ； （2）略 （3）当（1）的结论成立， 当图3中，或． 证明：在上截取，使，连接． ，， ． 在与中， ， ． ，． ． ． ， ． ． 同理可得： ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 全等三角形的性质与判定重难点题型专训（4个知识点+13大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、图形的全等 1 题型二、全等三角形的概念 2 题型三、全等三角形的性质 3 题型四、将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 4 题型五、尺规作图——作三角形 5 题型六、用SSS证明三角形全等（SSS） 6 题型七、用SAS证明三角形全等（SAS 7 题型八、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 8 题型九、利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形） 9 题型十、添加条件使三角形全等 10 题型十一、灵活选用判定方法证全等 11 题型十二、结合尺规作图的全等问题 12 题型十三、全等三角形综合问题 13 第二部分·练提高题型 题型一、全等三角形的辅助线问题一一倍长中线模型 1 题型二、全等三角形的辅助线问题一一垂线模型 2 题型三、全等三角形的辅助线问题一一旋转模型 3 题型四、全等三角形中的动点问题 4 第三部分・自我检测 知识点01 全等图形 定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形。 图1 图2 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河北廊坊·阶段检测）下列各组给出的两个图形中，全等的是（   ） A． B． C． D． 2．（【浙教版课时练习】八年级上册第1章小结）能够___________的两个图形称为全等图形，能够重合的两个三角形叫做___________．全等三角形的___________边相等，___________角相等． 知识点02 全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·广西崇左·期中）如图，七巧板中有个等腰直角三角形（），其中与三角形全等的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·暑假作业）如图，与全等，可以确定与_________是对应角，若与是对应边，则与_________是对应边． 知识点03 全等三角形的性质 1.性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 2.数学语言表示：△ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'． 3.全等三角形其他性质：由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）图中的两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 2．（25-26八年级上·安徽滁州·阶段检测）若图中的两个三角形全等，则等于_________． 知识点04 全等三角形的判定 一、全等三角形判定1——“边边边” 定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 二、全等三角形判定2——“边角边” 定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 三、全等三角形判定3——“角边角” 定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 四、全等三角形判定4——“角角边” 定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 要点三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 3.三角形证全等思路 五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列三角形中，与如图所示的全等的是（   ）    A．    B．   C．   D．   2．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，为了测量池塘两端A、B的距离，小红在地面上选择了点O、C、D，，，且点A、O、C和点B、O、D分别都在一条直线上，就可以知道A、B之间的距离．那么判定的理由是______． 【基础题型一 图形的全等】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列选项中，两个图案不属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·黑龙江鸡西·期中）请观察图中的5组图案，其中是全等形的是________（填序号）；    1．（2026·浙江宁波·模拟预测）如图，矩形矩形矩形，连接并延长交于点K，点F落在上，若已知的面积为整数，则下列图形面积为整数的是（    ） A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形 2．（25-26八年级上·山东青岛·期末）蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，，其中，则______．    3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示的是两个全等的五边形，，，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，指出两图中其他的对应顶点、对应边和对应角，并说出图中a、b、c、d、e、各字母所表示的值． 【基础题型二 全等三角形的概念】 【例1】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，，C，B是对应点，下列结论错误的是（    ）    A．和是对应角 B．和是对应角 C．与是对应边 D．和是对应边 【例2】（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是________．（填序号）    1．（25-26八年级上·重庆·期中）罗同学学习了全等三角形后，利用全等三角形绘制出了下面系列图案，第（1）个图案由2个全等三角形组成，第（2）个图案由4个全等三角形组成，第（3）个图案由7个全等三角形组成，第（4）个图案由12个全等三角形组成，则第（6）个图案中全等三角形的个数为（    ） A．25 B．38 C．70 D．135 2．（25-26八年级上·北京海淀·期中）已知三角形的两边长为m和n，一个内角为30°，满足上述三个条件但不全等的三角形个数称为伴生数． （1）若，，则伴生数为______； （2）若，n为正整数，且伴生数为4，则n的最大整数值是______． 3．（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图，，和是对应角． 在中，是最长边．在中，是最长边，且． (1)写出其他对应边及对应角； (2)求线段及线段的长度． 【基础题型三 全等三角形的性质】 【例1】（2026·安徽马鞍山·模拟预测）如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，，则等于（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·北京·期中）如图，已知，若 ，则的长为______． 1．（25-26八年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，等边边长为为上一点，．动点由出发以的速度沿边向点运动，同时动点由点出发以的速度沿边向点运动．若存在某一时刻使得与全等，则_____． 3．（25-26七年级下·全国·单元复习）如图，，你能从图中找出几组平行线？ 小颖找出了一组平行线，她的思考过程如下． 因为， 所以． 所以． 请说明每一步的理由． 【基础题型四 将已知图形分割成几个全等图形（全等图形）】 【例1】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）下列图标中，不是由全等形组合成的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·福建宁德·期末）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于______． 1．（25-26八年级上·山东烟台·期中）如图，在四边形中，，，点P为上的点不与点A，C重合，观察下列图形中全等三角形的对数．其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…．按此规律，图25中有（   ）对全等三角形． A．196 B．256 C．325 D．351 2．（24-25七年级下·全国·期中）请把如图所示的正方形分别分成2个、4个、8个全等的图形． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）小明通过实验发现：如图所示，将一个长方形可以分割成四个全等的长方形，三个全等的长方形，于是他对含的直角三角形进行分割研究，发现也可以分割成四个全等的直角三角形，三个全等的直角三角形． 请你在图中依次画出分割线； 【基础题型五 尺规作图——作三角形】 【例1】（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）已知线段a，b，c，求作，使，下面作法的合理顺序为（   ） ①分别以B，C为圆心，c，b为半径画弧，两弧交于点A； ②作直线，在上截取； ③连接，则为所作的三角形 A．①②③ B．①③② C．②①③ D．②③① 【例2】（25-26八年级上·河南濮阳·期中）如图，已知线段a，b，c，求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，AB＝c，下面作法中：①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A；②作线段BC＝a；③连接AB，AC，△ABC为所求作的三角形．正确顺序应为___．（填序号） 1．（2026·河北保定·二模）如图，是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（    ） A．两角及夹边 B．两边及夹角 C．两角及一角的对边 D．两边及一边的对角 2．（25-26八年级上·山西晋城·期末）如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是________． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知直角和线段，，用尺规作一个直角三角形，使它的两条直角边分别等于，． 【基础题型六 用SSS证明三角形全等（SSS）】 【例1】（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图，做一个角平分仪，其中，，将角平分仪上的顶点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点、画一条射线，则，所以，就是的平分线，其中判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，，要使，只需添加的一个条件是_______．（填一个即可） 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列三角形中，与全等的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，，分别为，的中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中（不加任何其余线段），利用两个三角形全等，总能得到，则判定两个三角形全等的依据是______（填字母）． 3．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，点C，D在线段上，且，，．试说明：． 【基础题型七 用SAS证明三角形全等（SAS ）】 【例1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，某桥梁的钢架结构中，和的顶点，，，在同一直线上．已知，且，同时点是的中点，点是的中点．则判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，已知，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；再以点为圆心，大于的长为半径画弧，分别交，于点，，连接，，则，其全等的依据是________．（填“”或“”或“”或“”）． 1．（26-27八年级·全国·暑假作业）下列四个选项中的图形和图中的图形不全等的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，中，，，，点D是的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点A运动，若两点在运动过程中和会出现全等的情况，则点Q的速度为________． 3．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图，，，． (1)求证：； (2)若点A、B、E在同一条直线上，且，，求的度数． 【基础题型八 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）】 【例1】（25-26八年级上·河南周口·期中）调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分，认识到错误的他想去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么他应该带下列选项中哪种玻璃碎片（   ） A．① B．② C．①② D．③ 【例2】（25-26八年级上·天津·阶段检测）如图，要使，依据，应添加的一个条件是_______． 1．（25-26八年级上·河南许昌·期中）图是三个叠在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形Ⅱ完全相同的三角形，其依据是（    ） A．SAS B．ASA C．HL D．SSS 2．（24-25八年级上·吉林通化·阶段检测）如图，一块三角形玻璃板，不小心摔成三块，小亮要想得到一块与原来一样的三角形玻璃板，需要带着第___________块去商店． 3．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，，，，点D在边上． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【基础题型九 利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形）】 【例1】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在正方形网格中， _____________． 1．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 2．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在的方格纸中_____． 3．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，△ABC的三个顶点均在格点处． (1)过点B画AC的垂线BD； (2)过点A画BC的平行线AE．（请用黑水笔描清楚） 【基础题型十 添加条件使三角形全等】 【例1】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在一条直线上，，要说明，添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，已知平分，连接、，若要判定，则需要添加的条件是：________．（只写一个） 1．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）甲、乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：已知和（点分别是点的对应点），两人轮流添加条件，如表记录了两人游戏的部分过程，第3轮添加条件后，若能判定，则甲失败，乙获胜；若不能判定，则甲获胜，乙失败，则下列说法错误的是（） 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 … A．若甲第3轮添加的条件是，则乙获胜 B．若甲想获胜，第3轮可以添加条件 C．若乙修改第2轮的添加条件为，则第三轮乙必胜 D．若甲第3轮添加的条件是，则甲获胜 2．（25-26八年级上·广东东莞·期末）如图，，，请你添加一个适当的条件，使得，则需添加的条件是______（只要写出一个即可）． 3．（24-25七年级下·河南郑州·期末）学完三角形和图形的轴对称相关知识后，老师出示了以下问题： (1)【基础探究】如图（1），点分别在线段上，与相交于点，，若要使，需要添加一个条件．请从“条件：①；②；③”中选择一个你认为正确的条件，说明． (2)【类比迁移】如图（2），在中，，，分别平分 和，，交于点．小明发现，图（1）中，若连接，则和关于线段所在的直线成轴对称图形，但图（2）不是轴对称图形，于是小明过点作的对称点，构造出轴对称图形．得出以下结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填序号）． (3)【拓展应用】如图（3），点是平分线上的一点，、分别是、边上的动点，若使，请直接写出和的数量关系． 【基础题型十一 灵活选用判定方法证全等】 【例1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）数学课上，老师问：“哪些条件能画出唯一的”，小杭说：“当，，时”，小州说：“当，，时”，对于两位同学的说法（    ） A．小杭和小州都对 B．小杭对，小州错 C．小杭错，小州对 D．小杭和小州都错 【例2】（2026八年级上·山东济宁·专题练习）如图，、相交于点O，，请你再补充一个条件，使得，你补充的条件是_______． 1．（24-25八年级上·四川南充·阶段检测）下面四个三角形中，与图中的全等的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，给出下列四组条件： ①；②；③；④．其中能使的条件是___________． 3．（25-26七年级下·江苏·期末）我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？阅读与证明： 对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等． 对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等(证明略) 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下： 已知：、均为锐角三角形，，，． 求证：． （请你将下列证明过程补充完整． 证明：分别过点，作于，于，…（请同学们接着向下证） 【基础题型十二 结合尺规作图的全等问题】 【例1】 （25-26八年级上·福建福州·期中）用直尺和圆规作两个全等三角形，如图，能得到的依据是（    ）    A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画______个．    1．（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知点P在直线l外，按以下步骤作图：①在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；②以点P为圆心，以PA的长为半径作弧；③以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C，作直线PC．若，则的度数为________． 3．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的的方格网络，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点之上，像这样的三角形叫格点三角形，试在方格纸上按下列要求画格点三角形： (1)在图1中画一个格点三角形与全等且有1个公共点； (2)在图2中画一个格点三角形与全等且有1条公共边； 【基础题型十三 全等三角形综合问题】 【例1】（25-26八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，，，，垂足分别为E，F，与交于点D，有下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【例2】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，的周长等于__________． 1．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，已知在四边形中，，，，，点E为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向D运动．要使与全等，点Q的运动速度为（     ） A．或 B．或 C． D． 2．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在长方形中，为边上一点，其中，，．动点从开始，以的速度沿路线运动到点停止，从点开始运动的同一时刻动点以的速度从点出发沿边运动，到点停止．当为_____时，在某一时刻与全等． 3．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． 【初步探究】 (1)如图1，若，点，，在直线上，，则与有怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)【变式训练】 如图2，若，点，，在直线上，，试判断线段、和的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 如图3，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为多少时，能使与以，，三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 【提高题型一 全等三角形的辅助线问题一一倍长中线模型】 【例1】（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，是中边上的中线，若，，设，则的取值范围是____________． 1．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，为中线，在延长线上取一点E，连接，使．过点C作于点F．下列结论中正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2026·贵州·模拟预测）如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②；③若点P是线段上的一个动点（点P不与点A，D重合），连接，则的面积比的面积大；④点P，Q是A，D所在直线上的两个动点（点P与点Q不重合），若，连接，，则．所有正确结论的序号是( ) 3．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题． 【小试牛刀】 （1）如图1，在中，，，则边上的中线的取值范围是______； 【尝试运用】 （2）如图2，，点D为中点，点F在的延长线上，，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，是中线，点E是上一点，，，若，则的大小是______（角含的式子表示） 【提高题型二 全等三角形的辅助线问题一一垂线模型】 【例1】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）为测量一池塘两端，间的距离．甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案． 甲：如图，先过点作的垂线，再在射线上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点．则测出的长即为，间的距离； 乙：如图，先确定直线，过点作的垂线，在上找可直接到达点的点，连接，作，交直线于点，则测出的长即为间的距离，则下列判断正确的是(    ) A．只有甲同学的方案可行 B．只有乙同学的方案可行 C．甲、乙同学的方案均可行 D．甲、乙同学的方案均不可行 【例2】（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得长为58米，则池塘两岸A，B两点的距离是________． 1．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）为了测量水池两边，间的距离，两名同学提供了如下间接测量方案．对于方案1，2，说法正确的是（   ） 方案1 方案2       ①过点作射线． ②过点作于点． ③在的延长线上截取，使得． ④测量的长即可． ①在水池外取的垂线上的点，，使得． ②再作的垂线，使点，，在同一条直线上． ③测量的长即可． A．方案1可行、方案2不可行 B．方案1不可行、方案2可行 C．方案1、2都可行 D．方案1、2都不可行 2．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，，，为边上的高，点E从点B出发在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动______s时，．    3．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）综合与实践．某数学兴趣小组在校外开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量池塘两岸相对的两点的距离 活动方案 方案一 方案二 方案示意图 - 实施过程 1．池塘外取的垂线上的两点，使； 2．再画出的垂线，使与，在一条直线上； 3．测量出的长； 1．池塘外取的垂线上的点； 2．再画出的垂线，使与在一条直线上，且； 3．测量出的长； 测量数据 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．为不可直接到达之地，离池塘边有一定距离； 1．图上所有点均在同一平面内； 2．为不可直接到达之地，离池塘边有一定距离； 请你从以上两种方案中任选一种，并求出间的距离． 【提高题型三 全等三角形的辅助线问题一一旋转模型】 【例1】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，点D为中点，直角绕点D旋转，，分别与边，交于E，F两点，下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论是（    ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【例2】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在直角中，，，点为中点，直角绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：是等腰直角三角形；；；，其中正确结论是___________ 1．（25-26八年级上·四川资阳·期末）如图，已知，直角的顶点是中点，两边、分别交、于点、，当在内绕顶点旋转时（点不与重合），给出下列四个结论：①是等腰三角形；②；③；④和的面积之和等于9，上述结论中始终正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，正与等腰的顶点重合，，，将绕顶点旋转，在旋转过程中，当时，的大小可以是__________． 3．（2026·安徽滁州·一模）【综合与实践】 问题情境：变换包括平移、旋转、对称、位似等，其中旋转就是将图形上的每一点在平面内绕着旋转中心旋转固定角度的位置移动，其中“旋”是过程，“转”是结果．旋转的性质则是解决实际问题的关键．数学活动课上，老师让同学们根据如下问题情境，发现并提出问题．如图1，与都是等腰直角三角形，点E，D分别在和上，连接EB．将线段绕点B顺时针旋转，得到的对应线段为．连接，．“兴趣小组”提出了如下两个问题：①，；②，．    解决问题： （1）请你证明“兴趣小组”提出的第②个问题． 探索发现： （2）“实践小组”在图1的基础上，将绕点C顺时针旋转角度，其它条件保持不变，得到图2． ①请你帮助“实践小组”探索：“兴趣小组”提出的两个问题是否还成立？如果成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． ②如图3，当时，请求出此时旋转角α的大小． 【提高题型四 全等三角形中的动点问题】 【例1】（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，在中，，，，，是的角平分线，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．4.8 B．7 C． D．2.4 【例2】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，动点与线段构成，其边长满足，，若点在的平分线上，且，则的面积的最大值为______．    1．（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，，D是边中点，P是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在直角中，，平分，是上一动点(不与，重合，是上一动点不与，重合，则的最小值为_______. 3．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）在等边中，线段为边上的中线．动点D在直线上时，以为一边在的下方作等边，连接． (1)若点D在线段上时（如图①），则____（填“>”“<”或“=”），_____度； (2)设直线与直线的交点为O． ①当动点D在线段的延长线上时（如图②），试判断与的数量关系，并说明理由； ②当动点D在线段的延长线上时（如图②），求的度数； ③当动点D在直线上时，试判断是否为定值？若是，请直接写出的度数． 1．（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）下列四组图形中是全等形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏扬州·模拟预测）如图，是一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），其中两根钢条，的中点连在一起，量得A，B之间的距离为，，则内槽宽（的长度）为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，分别以的顶点A，C为圆心，边，为半径画弧，两弧交于点D，连接，，可以判定，理由是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，点在线段上，于点，于点，，且，，点从点开始以速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，、同时停止运动．过、分别作的垂线，垂足分别为、．设运动的时间为，当以、、三点为顶点的三角形与全等时，的值为（　　） A． B． C．或 D．或 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知线段a，b，c，求作，使． ①以点B为圆心，c的长为半径画弧； ②连接； ③作； ④以点C为圆心，b的长为半径画弧，两弧交于点A． 作法的合理顺序是__________． 7．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，一块三角形模具碎成了三块，可以只带其中一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具，你选择带的那块编号是________． 8．（25-26七年级下·北京·期末）如图所示，，，，，，则__________． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，是的中点，平分，则的度数为______． 10．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下4个结论：①；②；③；④平分恒成立的结论有___________．    11．（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知．写出对应边、对应角． 12．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，被墨迹污染了，请你重新作一个，使．(要求：用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．)      13．（25-26八年级上·江西上饶·阶段检测）如图，在和中，，，，且点，，在同一直线上，点，在的同侧．连接，，分别交、于点，，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 14．（25-26八年级上·吉林长春·期末）图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1．在图①、图②中按下列要求各画一个三角形． 要求： (1)三角形的三个顶点都在格点上． (2)与全等，且位置不同． 15．（25-26八年级下·四川内江·期中）按要求解答问题： (1)如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：______； (2)如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系： ． 学科网（北京）股份有限公司 $