专题 1.12 三角形复习专题——全等三角形与常见辅助线作法（方法梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学复习讲义以全等三角形为核心，通过知识框架图系统梳理5大判定定理及6大辅助线模型，用表格区分通用与直角三角形专属判定，标注AAA、SSA等易错点，清晰呈现“判定辨析-辅助线构造-解题思维”的知识脉络。 讲义亮点在于“模型-题型-变式”三阶训练，如倍长中线模型结合例题及变式题，用“见中线，要倍长”口诀强化辅助线作法，培养几何直观与推理意识。同步检测分层设计，基础题巩固方法，压轴题提升能力，助力教师实施精准教学，学生自主突破全等难题。

专题 1.12 三角形复习专题——全等三角形与常见辅助线作法（方法梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【专题概述】 1 【基础知识前置】 1 【全等三角形6大必考辅助线模型】 2 二.题型精析 3 【题型 1】连接两点 3 【题型 2】作垂线（高） 4 【题型 3】作平行线 5 【题型 4】倍长中线模型经典证明 6 【题型 5】角平分线作垂直模型 8 【题型 6】截长补短模型（期末压轴） 9 【题型 7】一线三垂直（K字）全等 10 【题型 8】延长相交 11 三.同步检测 12 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 12 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 14 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 16 一.知识梳理与题型精析 【专题概述】 全等三角形是八年级几何的核心枢纽，是线段相等、角度相等证明的终极工具，而辅助线是突破全等难题的关键。多数同学会判定定理，但遇复杂图形无法构造全等。本专题集中攻克：全等判定辨析 + 六大必考辅助线模型 + 典型题型拆解 + 分层训练，彻底解决“看不出、不会画、证不出”的几何痛点。 【基础知识前置】 1、全等三角形5大判定定理 通用判定（任意三角形）：SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边） 直角三角形专属：HL（斜边直角边） 致命易错（绝对不能用）：AAA、SSA 不能判定全等 2、全等解题核心思维 证边相等/证角相等 → 优先证全等 题目条件不足时：作辅助线，构造全等三角形 【全等三角形6大必考辅助线模型】 模型1：倍长中线模型（中点必用） 适用条件：题干出现“中点、中线、平分线段”。 辅助线作法：延长中线，使延长部分等于中线长，构造“SAS”全等。 模型结论： 1. 构造一组旋转全等三角形； 2. 实现线段转移、角度转移； 3. 可证明：AB=CE、AB∥CE。 解题口诀：见中线，要倍长，构造全等边角转。 模型2：角平分线垂线模型（作垂直） 适用条件：题干出现“角平分线”，需要证边等、距离等。 辅助线作法：过角平分线上一点，向角两边作垂线段。 模型结论：垂线段相等，直接构造HL/AAS全等。 适用场景：角度求值、线段相等、周长转化、面积问题。 模型3：截长补短模型（线段和差问题专属） 适用条件：题干出现线段和差： 类结论证明。 辅助线作法： 截长：在长线段上截取一段等于短线段； 补短：延长短线段，补成长线段。 核心目的：把“线段和差问题”转化为“线段相等问题”，再证全等。 模型4：平行线转移角模型 适用条件：图形分散、角度条件不足，无直接等角。 辅助线作法：过定点作已知线段平行线。 模型结论：利用平行得内错角、同位角相等，补齐全等所需角条件。 模型5：作公共垂线/高模型（直角、垂直类难题） 适用条件：图形含垂直、直角，但无完整直角三角形。 辅助线作法：过端点作水平/竖直垂线，构造直角三角形。 高频考法：一线三垂直（K字模型）全等。 模型6：连接线段模型（最简单、最容易忘） 适用条件：图形中有公共端点、对称点、中点连线。 辅助线作法：连接两点，构造公共边。 核心逻辑：有公共边，全等秒出，大量基础证明题仅需连辅助线。 二.题型精析 【题型 1】连接两点 【例题1】（24-25七年级下·宁夏银川·期末）某种产品的商标如图所示，是线段、的交点，并且，．小明认为该商标图中的两个三角形是全等的，他的证明如下： 在和中,   , ∴． 你认为小明的证明正确吗？如果正确，他用的是判定三角形全等的哪个条件？如果不正确，请你给出正确的证明． 【变式1】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，中，，，点是的中点，点，分别为，边上的点，且，连接，则的度数为__． 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是边的中点，交于点交于点，若，则四边形的面积为______． 【变式3】（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在四边形中，，． 求证：． 【题型 2】作垂线（高） 【例题2】（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，分别以的边，为腰作等腰和等腰，，点在同一直线上． （1）证明：； （2）若，求． 【变式1】（25-26八年级上·北京·期中）如图，在中，，于，且，若，则_____． 【变式2】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，，D为平面上一点，，若，则的面积为___________． 【变式3】（25-26八年级上·河南三门峡·期中）如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型 3】作平行线 【例题3】（24-25八年级上·福建龙岩·期中）已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，，过点作交于点． （1）求证：； （2）当时，试判断以、、为顶点的三角形的形状，并说明理由； 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，中，是边的中点，过作直线交于点，交的延长线于点，且．若，，则____． 【变式2】（24-25八年级上·贵州黔西南·期末）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（　　） A．1 B．1.8 C．2 D．2.5 【变式3】（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且． （1）当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）； （2）猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想． 【题型 4】倍长中线模型经典证明 【例题4】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是_____． A．       B．        C．        D． （2）求得的取值范围是_____． A．        B．        C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”和“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于、交于，且．求证：． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，是的中线，点在上，交于点，若，，，则的长度为（ ） A． B． C． D． 【变式3】（（24-25八年级上·上海·月考）如图，已知是的中线，点E是上的一点，交于点F，，，，的度数为_____． 【题型 5】角平分线作垂直模型 【例题5】（25-26八年级上·江西赣州·期末）【阅读理解】角平分线把角等分，从而得到相等的角，所以结合角平分线构造全等三角形是常用的方法． （1）如图1，平分，点，分别在和上，且于点．请补全下列证明： 证明：平分，________， ， ， 在和中， ， （________）． ，． 【类比解答】（2）如图2，在中，平分，于，若，，求的度数． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，，平分，交的延长线于点，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【变式1】（25-26八年级上·河北张家口·期末）面积为， 是的平分线， 于 P，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在中，，平分交于D，，于P，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，是的平分线，，垂足为点F，且，则的长度是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【题型 6】截长补短模型（期末压轴） 【例题6】（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在中，，，P为上任意一点（不与点A，D重合）．求证：． 【变式1】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，中，平分交于，且，若，则的度数为______． 【变式2】（25-26八年级上·浙江金华·月考）如图，在中，，是的角平分线， ，则_______； __________ 【变式3】（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在Rt中，，，D为AB右侧一点，且，，，则的面积为________． 【题型 7】一线三垂直（K字）全等 【例题7】（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，，则的面积为（   ） A．10 B．16 C．20 D．25 【变式1】（25-26八年级上·江苏常州·月考）如图，且，且，点、、共线，并且点、、到直线的距离分别为5，3，1，则四边形的面积为___________． 【变式2】（25-26八年级上·重庆江津·期末）如图，点是内一点，，，过作于，交于，恰是的中点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，过点C作，且，连接，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型 8】延长相交 【例题8】（25-26八年级上·广东湛江·月考）在中，，，平分交于点E． （1）如图1，延长至点D，使得，连接，延长交于点F．求证：． （2）如图2，过点C作，交的延长线于点F．求证：． 【例题1】（25-26八年级上·山东聊城·月考）如图，的面积为40，平分，于，连接，则的面积为______． 【例题2】（24-25八年级上·新疆·期末）如图，动点C与线段构成，其边长满足，，．点D在的平分线上，且，的面积的最大值为（　　） A． B． C．9 D． 【例题3】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，点为的中点，的边过点，且，，平分，，，则的长为________． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）如图，在中，于点，，，则等于（    ） A．25° B．30° C．50° D．60° 2．（24-25八年级下·浙江衢州·开学考试）如图，的面积为，垂直的平分线于点P，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级下·北京·开学考试）如图，在锐角中，的面积为15，平分，若，分别是上的动点，当的最小值为6时，的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在等腰直角中，已知，于点，，则的面积是（   ） A．16 B．4 C．8 D．6 5．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，是边上的中线，若，，则长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）如图，动点C与线段构成，其边长满足．点D在的平分线上，且，则的面积的最大值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 7．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，点D为的中点．点E是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 8．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，与交于点，添加下列条件仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，则______度． 10．（25-26八年级上·北京·阶段检测）如图，D为等腰三角形内一点，，，，，则的度数为______°． 11．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在的平分线上取一点，过点作于点，在射线上取一点，连接．若，的面积为10，则的长为______． 12．（25-26八年级上·广东云浮·期末）如图，在中,为边上的高．点E从点B出发，在直线上以2的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F．当点E运动__________s时,． 13．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在中，平分，过点作，垂足为，连接．若，，的面积为，则的面积为________． 14．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，在四边形中，平分，于点D，，，延长、交于点，则的值为__________，面积的最大值为__________． 15．（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）如图，在四边形中，，分别是上的点，连接，若，则的长为________． 16．（25-26八年级上·重庆渝北·期末）如图，在锐角三角形中，，，的面积为30，平分，若，分别是，上的动点，则的最小值是_____． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在四边形中，，． 求证：． 18.（2026八年级·全国·专题练习）将两个大小不同的含有角的直角三角板和按下图所示的方式放置，为的中点，点在上，点在上．求证：． 19．（2026八年级·全国·专题练习）如图，已知在中，．若为的外角的平分线，交的延长线于点，，求的度数． 20．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）在中，． （1）如图1，当，为的角平分线时，过作的垂线，垂足为，可以发现，，存在的数量关系是___________； （2）如图2，当，为的角平分线时，线段，，是否还存在（1）中的数量关系？如果存在，请给出证明．如果不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.12 三角形复习专题——全等三角形与常见辅助线作法（方法梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【专题概述】 1 【基础知识前置】 2 【全等三角形6大必考辅助线模型】 2 二.题型精析 1 【题型 1】连接两点 3 【题型 2】作垂线（高） 7 【题型 3】作平行线 12 【题型 4】倍长中线模型经典证明 18 【题型 5】角平分线作垂直模型 23 【题型 6】截长补短模型（期末压轴） 29 【题型 7】一线三垂直（K字）全等 33 【题型 8】延长相交 38 三.同步检测 43 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 43 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 51 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 60 一.知识梳理与题型精析 【专题概述】 全等三角形是八年级几何的核心枢纽，是线段相等、角度相等证明的终极工具，而辅助线是突破全等难题的关键。多数同学会判定定理，但遇复杂图形无法构造全等。本专题集中攻克：全等判定辨析 + 六大必考辅助线模型 + 典型题型拆解 + 分层训练，彻底解决“看不出、不会画、证不出”的几何痛点。 【基础知识前置】 1、全等三角形5大判定定理 通用判定（任意三角形）：SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边） 直角三角形专属：HL（斜边直角边） 致命易错（绝对不能用）：AAA、SSA 不能判定全等 2、全等解题核心思维 证边相等/证角相等 → 优先证全等 题目条件不足时：作辅助线，构造全等三角形 【全等三角形6大必考辅助线模型】 模型1：倍长中线模型（中点必用） 适用条件：题干出现“中点、中线、平分线段”。 辅助线作法：延长中线，使延长部分等于中线长，构造“SAS”全等。 模型结论： 1. 构造一组旋转全等三角形； 2. 实现线段转移、角度转移； 3. 可证明：AB=CE、AB∥CE。 解题口诀：见中线，要倍长，构造全等边角转。 模型2：角平分线垂线模型（作垂直） 适用条件：题干出现“角平分线”，需要证边等、距离等。 辅助线作法：过角平分线上一点，向角两边作垂线段。 模型结论：垂线段相等，直接构造HL/AAS全等。 适用场景：角度求值、线段相等、周长转化、面积问题。 模型3：截长补短模型（线段和差问题专属） 适用条件：题干出现线段和差： 类结论证明。 辅助线作法： 截长：在长线段上截取一段等于短线段； 补短：延长短线段，补成长线段。 核心目的：把“线段和差问题”转化为“线段相等问题”，再证全等。 模型4：平行线转移角模型 适用条件：图形分散、角度条件不足，无直接等角。 辅助线作法：过定点作已知线段平行线。 模型结论：利用平行得内错角、同位角相等，补齐全等所需角条件。 模型5：作公共垂线/高模型（直角、垂直类难题） 适用条件：图形含垂直、直角，但无完整直角三角形。 辅助线作法：过端点作水平/竖直垂线，构造直角三角形。 高频考法：一线三垂直（K字模型）全等。 模型6：连接线段模型（最简单、最容易忘） 适用条件：图形中有公共端点、对称点、中点连线。 辅助线作法：连接两点，构造公共边。 核心逻辑：有公共边，全等秒出，大量基础证明题仅需连辅助线。 二.题型精析 【题型 1】连接两点 【例题1】（24-25七年级下·宁夏银川·期末）某种产品的商标如图所示，是线段、的交点，并且，．小明认为该商标图中的两个三角形是全等的，他的证明如下： 在和中,   , ∴． 你认为小明的证明正确吗？如果正确，他用的是判定三角形全等的哪个条件？如果不正确，请你给出正确的证明． 【答案】小明的证明不正确，正确的证明见分析． 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，利用已知条件，发掘隐含条件，通过添加辅助线创造条件来判定三角形全等，切记一定要规避 “” 陷阱．因为, 不属于某个三角形的一条边，所以不能直接运用这个条件．连接，先利用证明，得到，再通过证出． 解：小明的证明不正确． 正确方法如下：如图，连接， 在和中， , ∴, ∴, 在和中， , ∴． 【变式1】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，中，，，点是的中点，点，分别为，边上的点，且，连接，则的度数为__． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，连接，根据等腰三角形的性质，并结合“角边角”证明，可得，即可解答 解：如图，连接， 中，，，点是的中点， ，，， 而， ， 在和中， ， ， ， 而， ． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是边的中点，交于点交于点，若，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，连接，证明即可得到答案． 解：连接， ∵，，点是边的中点，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在四边形中，，． 求证：． 【答案】证明：如图，连接、． 在和中 在和中 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，连接、，证明得出，进而证明，即可得证． 解：略 【题型 2】作垂线（高） 【例题2】（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，分别以的边，为腰作等腰和等腰，，点在同一直线上． （1）证明：； （2）若，求． 【答案】（1）证明：， ， ， 在和中，     ． （2）6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，等腰三角形的判定及性质． （1）利用证明，即可； （2）根据，可得，从而得到，再由，可得，从而得到，再证明，可得，即可求解． 解：（1）略 （2）解：过点作于点，设线段交于点， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（25-26八年级上·北京·期中）如图，在中，，于，且，若，则_____． 【答案】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，利用等腰三角形三线合一的性质得到，，再证明，得到． 解：过点A作于点H， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为． 【变式2】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，，D为平面上一点，，若，则的面积为___________． 【答案】18 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 如图：过点B作于点E，证明和全等得，再根据三角形的面积公式即可求得的面积． 解：如图：过点B作于点E， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴的面积为：． 故答案为：18． 【变式3】（25-26八年级上·河南三门峡·期中）如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，直角三角形两锐角互余及全等三角形的判定与性质．先通过角平分线的定义及直角三角形两锐角互余得出的度数，再过点M作交于点E，证明得到，，由M是的中点得出，再证明，得出，，最终经过计算可求得结果． 解：∵平分，且， ∴， 又∵， ∴， 如图，过点M作交于点E， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵M是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【题型 3】作平行线 【例题3】（24-25八年级上·福建龙岩·期中）已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，，过点作交于点． （1）求证：； （2）当时，试判断以、、为顶点的三角形的形状，并说明理由； 【答案】（1）证明：过点作交于， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）以、、为顶点的三角形的形状是等边三角形， 理由： 连结， 于， ，， ， 又，， ，， ，， 由（1）知，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 为等边三角形； 【分析】（1）过点作交于，证明,根据全等三角形的性质得出结论； （2）连结，根据补角的概念得到，根据等腰三角形的判定定理得到，进而得到，根据等边三角形的判定定理证明即可； 本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键. 解：（1）略 （2）略 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，中，是边的中点，过作直线交于点，交的延长线于点，且．若，，则____． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．如图，过点作交的延长线于点，由“”可证，可得，可得，可得，即可求解． 解：如图，过点作交的延长线于点， ，且，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 【变式2】（24-25八年级上·贵州黔西南·期末）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（　　） A．1 B．1.8 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】过作的平行线交于，通过证明≌，得，再由是等边三角形，即可得出． 解：过作的平行线交于， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ∵CQ＝PA， ∴ 在中和中， ， ≌， ， 于，是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式3】（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且． （1）当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）； （2）猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）；（2）， 理由如下： 过E作交于F， ∵是等边三角形， ∴，． ∴，，即． ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴，即． 【分析】（1）由是等边三角形，得到，，由三线合一得到，，由，得，由外角的性质得到，得到，则，证得； （2）过作交于，先证明是等边三角形，得到，再用证明，得到，进而证得猜想 解：（1）∵是等边三角形， ∴，． ∵E为的中点， ∴，， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： （2）略 【点拨】此题主要考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识，在等边三角形中通过作平行线构造全等三角形是解题的关键． 【题型 4】倍长中线模型经典证明 【例题4】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是_____． A．       B．        C．        D． （2）求得的取值范围是_____． A．        B．        C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”和“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于、交于，且．求证：． 【答案】（1）B；（2）A；（3）证明：如图2，延长到M，使，连接， 是中线， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识点，熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）根据，，推出和全等即可． （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可． （3）延长到，使，连接，根据边角边证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 解：（1）是中线， ， 在和中， ； 故答案为：B； （2）由（1）知：， ，， 在中，，由三角形三边关系定理得：， ； 故答案为：A； （3）略 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，全等三角形的判定及性质；延长至，使，由判定，由三角形的三边关系得，即可求解． 解：延长至，使， 是边上的中线， ， ， （）， ， ， ， ， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，是的中线，点在上，交于点，若，，，则的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长，使，连接，证明，则，，由等腰三角形的性质可得，即可求的长． 解：如图，延长，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式3】（（24-25八年级上·上海·月考）如图，已知是的中线，点E是上的一点，交于点F，，，，的度数为_____． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，延长到，使得，连接，由“”可证，可得，，由等边对等角可得，据此求出，即可得到答案． 解：如图，延长到，使得，连接， 在和中， ， ∴， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型 5】角平分线作垂直模型 【例题5】（25-26八年级上·江西赣州·期末）【阅读理解】角平分线把角等分，从而得到相等的角，所以结合角平分线构造全等三角形是常用的方法． （1）如图1，平分，点，分别在和上，且于点．请补全下列证明： 证明：平分，________， ， ， 在和中， ， （________）． ，． 【类比解答】（2）如图2，在中，平分，于，若，，求的度数． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，，平分，交的延长线于点，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），，；（2）的度数为；（3）解：． 证明：延长、，交于点， ∵平分， ∴， ∵交的延长线于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）由已知可得，证明，即可证得结论； （2）延长，交于点，由已知可得，可得，由三角形外角的性质，可得的度数； （3）延长、，交于点，证明，可得，证明，可得，即可得和的数量关系． 解：（1）略 （2）解：延长，交于点， ∵平分， ∴， ∵于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． （3）略 【点拨】本题考查三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，对顶角相等，等角的余角相等． 【变式1】（25-26八年级上·河北张家口·期末）面积为， 是的平分线， 于 P，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的面积，全等三角形的判定与性质；延长交于点D，可证明，则，从而可转化得到，即可解答． 解：延长交于点D，    ∵ 是的平分线， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴（）． 故选B． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在中，，平分交于D，，于P，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键是正确添加辅助线． 延长交于点，由平分和，可以证明，由全等三角形的性质和可以证明，且，即可求出的长． 解：延长交于点， 平分， ， ， ， 在与中， ， ， ，，， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 【变式3】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，是的平分线，，垂足为点F，且，则的长度是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义，准确找出图中的全等三角形并证明是解题的关键．过点作于点，先证明，得到，，再证明，得到，最后利用线段的和差即可求解． 解：过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【题型 6】截长补短模型（期末压轴） 【例题6】（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在中，，，P为上任意一点（不与点A，D重合）．求证：． 【答案】证明：如图，在上截取，连接， 在和中，， ∴， ∴， 在中，，即， ∴． 【分析】本题主要考查截长法、全等三角形的判定，准确构造辅助线是解题的关键． 首先在上构造，连接，进而即可证明得到，即可证明． 解：略 【变式1】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，中，平分交于，且，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边对等角、三角形内角和定理，在上截取一点，使得，连接，证明，所以，故有， 然后通过等边对等角得， 最后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：如图，在上截取一点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·浙江金华·月考）如图，在中，，是的角平分线， ，则_______； __________ 【答案】 /度 4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，与角平分线有关的三角形内角和问题，正确作出辅助线，证明是解题的关键．利用角平分线的定义和三角形内角和定理即可求出的度数；在上找到F使得，则，证明，得到，再证明，即可得到． ，易证∠BOE=∠COD=60°，即可证明△BOE≌△BOF，可得∠BOF=∠BOE=60°，即可证明△OCF≌△OCD，可得CF=CD，根据BC=BF+CF即可解决问题. 解：∵，是的角平分线， ∴ ∴， ∴， 在上找到F使得，则， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 故答案为：， 【变式3】（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在Rt中，，，D为AB右侧一点，且，，，则的面积为________． 【答案】2 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键； 在上截取一点E，使得，连接，证明，根据全等三角形的性质即可求解． 解：在上截取一点E，使得，连接，如图所示： 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 故答案为：2． 【题型 7】一线三垂直（K字）全等 【例题7】（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，，则的面积为（   ） A．10 B．16 C．20 D．25 【答案】D 【分析】本题考查了三角形面积的计算，利用全等求高是解答本题的关键．作，垂足为E，作，交的延长线于点F，先根据等腰三角形的性质得，再证明，得，即可求的面积． 解：由题意，作，垂足为E，作，交的延长线于点F，如图： 是等腰三角形的中线， ， 的面积为：． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·江苏常州·月考）如图，且，且，点、、共线，并且点、、到直线的距离分别为5，3，1，则四边形的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质. 分别过点作的垂线，分别交直线于点，证明，，结合梯形面积公式及三角形面积公式即可得到答案． 解：分别过点作的垂线，分别交直线于点， 则， ∵，，， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，，， 同理可得， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·重庆江津·期末）如图，点是内一点，，，过作于，交于，恰是的中点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作，交延长线于，根据角的和差关系得出，利用证明，得出，，可得，利用证明，得出，，利用线段的和差关系即可得出答案． 解：如图，过点作，交延长线于， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 【变式3】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，过点C作，且，连接，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．过点D作交的延长线于点M，根据直角三角形的两锐角互余，可得，，所以，根据全等三角形的判定，可得，所以，再根据三角形的面积公式计算即可． 解：过点D作交的延长线于点M， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 即， 解得． 故选：B． 【题型 8】延长相交 【例题8】（25-26八年级上·广东湛江·月考）在中，，，平分交于点E． （1）如图1，延长至点D，使得，连接，延长交于点F．求证：． （2）如图2，过点C作，交的延长线于点F．求证：． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的定义是解题的关键； （1）由题意易得，然后可得，进而问题可求证； （2）延长，交于一点G，由题意易得，，然后可得，则有，进而通过证明进行求解即可． 解：（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：延长，交于一点G，如图所示： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【例题1】（25-26八年级上·山东聊城·月考）如图，的面积为40，平分，于，连接，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，等底同高的三角形的面积相等是解题的关键．延长、交于点，由题意证得，证得，，即可证得，，利用即可求得结果． 解：延长、交于点， 平分，且于点， 在和中， ， ， ，， ，， 的面积为40， ， ． 故答案为：． 【例题2】（24-25八年级上·新疆·期末）如图，动点C与线段构成，其边长满足，，．点D在的平分线上，且，的面积的最大值为（　　） A． B． C．9 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 延长交于点，首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，进而可求得，结合三角形中线的性质知，确定面积的最大值，即可获得答案． 解：如下图，延长交于点， ∵为的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 当时，的面积取最大值， 即， ， 故选：A． 【例题3】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，点为的中点，的边过点，且，，平分，，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．延长交的延长线于．等角对等边可证明，进而证明 即可得到，设，进而列出方程，即可解决问题． 解：如图，延长交的延长线于， 平分， ， ， ， ， ，设，则， ，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）如图，在中，于点，，，则等于（    ） A．25° B．30° C．50° D．60° 【答案】C 【分析】在上截取 ，连接 ，通过证明 得到，，再结合已知条件推出 ，利用等边对等角和外角性质即可求解 解：如图，在 上截取，连接 ， ∵， ∴， 在 和 中， ， ∴， ∴，， ∵，且 ， ∴， 又 ∵， ∴，即 ， ∴， ∴， ∵ 是 的外角， ∴， ∴． 2．（24-25八年级下·浙江衢州·开学考试）如图，的面积为，垂直的平分线于点P，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】延长交于点，证明，得到，根据三角形的中线平分面积推出的面积等于的面积的一半，即可． 解：延长交于点， ∵垂直的平分线于点P， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·北京·开学考试）如图，在锐角中，的面积为15，平分，若，分别是上的动点，当的最小值为6时，的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】在上截取，证明，所以，则，当三点共线，且时，的值最小，为长，然后通过三角形面积公式求出长即可． 解：如图，在上截取， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小，为长，如图， 即， ∵的面积为15， ∴，即， ∴． 4．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在等腰直角中，已知，于点，，则的面积是（   ） A．16 B．4 C．8 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 作交于E，根据等角的余角相等得到，证明，得到，即可求出的面积． 解：如图，作交于E， ∵在等腰直角中，， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积． 故选：C． 5．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，是边上的中线，若，，则长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，延长到E，使，然后利用“边角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，然后根据三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出的取值范围，然后即可得解． 解：如图，延长到点E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 故选：D． 6．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）如图，动点C与线段构成，其边长满足．点D在的平分线上，且，则的面积的最大值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】A 【分析】延长交于点，首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可求得，结合三角形中线的性质知，确定面积的最大值，即可获得答案． 本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 解： 如下图，延长交于点， ∵为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，的面积取最大值， 即， ∴． 故选A． 7．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，点D为的中点．点E是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定是解题的关键；连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，由题意易得，然后可得，则有，进而可得，则问题可求解． 解：连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，如图所示： ∵点D为的中点，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，与交于点，添加下列条件仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等，熟记判定定理的内容是解题关键．由已知可得是公共角，，结合各选项的条件即可作出判断． 解：∵， A. 添加条件，根据可以证明，该选项不符合题意 B. 添加条件    ，根据可以证明，该选项不符合题意， C. 添加条件，不可以证明，该选项符合题意， D. 添加条件，连接， ∵， ∴， ∴，再根据可以证明，该选项不符合题意， 故选：C． （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，则______度． 【答案】 【分析】连接，利用平行线的性质和全等三角形的判定得出、及是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可求解． 解：如图，连接， ， ， 和中， ， ，， ， ， 即， 是等腰直角三角形， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查的知识点是根据平行线判定与性质求角度、连接两点作辅助线、等腰三角形的性质和判定，解题关键是利用辅助线构造等腰三角形． 10．（25-26八年级上·北京·阶段检测）如图，D为等腰三角形内一点，，，，，则的度数为______°． 【答案】31 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，全等三角形的判定与性质，先根据证明，得出，然后根据证明，即可得出结论． 解：连接，    在和中， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 故答案为：31． 11．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在的平分线上取一点，过点作于点，在射线上取一点，连接．若，的面积为10，则的长为______． 【答案】4 【分析】过点P作于点E，根据三角形的面积公式求出的长，证明，可得，据此求解即可． 解：如图所示，过点P作于点E， ∵，， ∴； ∵的面积为10， ∴， ∵， ∴； ∵点P在的角平分线上， ∴， 又∵， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·广东云浮·期末）如图，在中,为边上的高．点E从点B出发，在直线上以2的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F．当点E运动__________s时,． 【答案】8或10 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据全等三角形对应边相等的性质，分点E在上和在延长线上两种情况讨论． 由得到对应边，然后分两种情况：①当点E在延长线上与②点E在延长线上两种情况讨论． 解：∵，， ∴，， ∴．又， ∴． ∵， ∴． ∴当时，， 分两种情况： 情况一： 当点E在延长线上时，    ，    ． 情况二： 点E在延长线上时， ， ∴  ． 故答案为：或． 13．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在中，平分，过点作，垂足为，连接．若，，的面积为，则的面积为________． 【答案】 【分析】延长交于点，证明，得到，，，利用三角形面积公式求解即可． 解：延长交于点， 平分，且， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ∵， ∴． 14．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，在四边形中，平分，于点D，，，延长、交于点，则的值为__________，面积的最大值为__________． 【答案】 4 10 【分析】过C作于H，由角平分线定义得到，由垂直的定义得到，而，判定，推出，，得到，根据，即可求出；当的面积最大时，的面积最大，根据可求出面积的最大值，即可得到面积的最大值． 解：延长、交于E，过C作于H， ∵平分， ∴， ∵于点D， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴当的面积最大时，的面积最大， ∵， ∴； ∵的面积，， ∴面积的最大值， ∴面积的最大值为． 15．（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）如图，在四边形中，，分别是上的点，连接，若，则的长为________． 【答案】6 【分析】通过延长线段构造全等三角形，将所求的线段转化到与已知线段、相关的线段上，进而求出的长度． 解：如图，延长到点，使，连接， ， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 16．（25-26八年级上·重庆渝北·期末）如图，在锐角三角形中，，，的面积为30，平分，若，分别是，上的动点，则的最小值是_____． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线段最短，关键是将的最小值转化为． 在上取点P，使，连接，，证明出，得到，然后得到当点C，E，P三点共线时，且时，有最小值，即的长度，再根据三角形的面积公式求解即可． 解：在上取点P，使，连接，， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ∴ ∴当点C，E，P三点共线时，且时，有最小值，即的长度， ∵的面积为30，， ∴， ∴． ∴的最小值为6． 故答案为：6． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在四边形中，，． 求证：． 【答案】证明：如图，连接、． 在和中 在和中 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，连接、，证明得出，进而证明，即可得证． 解：略 18.（2026八年级·全国·专题练习）将两个大小不同的含有角的直角三角板和按下图所示的方式放置，为的中点，点在上，点在上．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三线合一，全等三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键． 连接，通过连接等腰直角三角形的中线，利用等腰直角三角形三线合一的性质得到，，再通过等角的余角相等得到，最后利用全等三角形的判定定理证明，从而得出对应边相等． 解：证明：如图，连接． ，，是的中点， ，． ， ． ， ， ． 在和中， ， ． 19．（2026八年级·全国·专题练习）如图，已知在中，．若为的外角的平分线，交的延长线于点，，求的度数． 【答案】 【分析】在射线上截取，连接．通过可证明，则可得，，设，则，列出关于的方程并且求出方程的解，即可求的度数． 解：如图，在射线上截取，连接． 为的平分线， ． 在和中， ， ，． ， 设，则， ， ． ， ， 解得， ． 【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，正确作出辅助线构造全等三角形并运用全等三角形的性质是解题的关键． 20．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）在中，． （1）如图1，当，为的角平分线时，过作的垂线，垂足为，可以发现，，存在的数量关系是___________； （2）如图2，当，为的角平分线时，线段，，是否还存在（1）中的数量关系？如果存在，请给出证明．如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）解：存在．证明如下： 如图所示，在上取点E，使， ∵为的角平分线时， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了三角形的全等的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先证出，得到，，然后得到，从而可得，最后根据线段和差、等量关系即可得证； （2）先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，从而可得，最后根据线段和差、等量关系即可得证． 解：（1）解：∵为的角平分线， ∴， ∵ ∴ 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $