专题07 三角形 章末54道压轴题型专训（ -2026-2027学年浙教版八年级数学上册

专题07 三角形章末54道压轴题型专训（9大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、三角形三边关系的应用 1 题型二、根据三角形中线求长度与面积 2 题型三、全等三角形的性质与判定综合应用 3 题型四、线段垂直平分线的性质综合问题 4 题型五、角平分线性质的实际应用 5 题型六、三角形中的动点问题 6 题型七、三角形中的翻折问题 7 题型八、三角形中的旋转问题 8 题型九、全等三角形的辅助线问题综合应用 9 【经典例题一 三角形三边关系的应用】 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知，c是的三边长． (1)已知，求c的取值范围； (2)若，且的周长不超过，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形三边关系及不等式的求解，解题的关键是根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列不等式（组）． （1）根据三边关系，列求解； （2）先根据三边关系列不等式组确定的初步范围，再结合周长不超过24的条件，进一步确定的取值范围． 【详解】（1）解：∵，， 由三角形三边关系得：，即， 答：的取值范围是． （2）解：由三角形三边关系：， 化简得，解得． 又∵周长，即， ， ，解得， 综上，， 答：的取值范围是． 2．（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，在中，，． (1)求周长的取值范围； (2)已知是的中线，若的周长为，求的周长． 【答案】(1) (2)17 【分析】（1）根据三角形的三边关系解答即可； （2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵，． ∴， ∴， ∴ 即． （2）解：∵是的中线， ∴， 的周长为10， ∴， ∵， ∴ 的周长 3．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，已知O为内任意一点，求证 (1) ； (2) 【答案】(1) 证明：在中，①， 在中，②， 在中，③， 得2， 即； (2) 证明：如图，延长交于点D． 在中，①， 在中，②， ，得； ∵，， ∴， ∴③， 同理可证④，⑤， ，得， ∴． 【分析】本题考查三角形的三边关系．解题的关键是构造三角形，利用三角形的三边关系进行证明． （1）在、和中，利用三角形三边关系列式即可证明； （2）延长交于点D．在和中，得到，推出；同理，，据此即可证明结论成立． 【详解】（1）略 （2）略 4．（25-26七年级下·江苏宿迁·阶段检测）已知的周长为，是边上的中线． (1)如图，当时，求的长． (2)若，能否求出的长？为什么？ 【答案】(1) (2) 不能，理由如下： ，， ． 又∵的周长为 ． ， 不能构成三角形， 则不能求出 的长． 【分析】（1）根据三角形中线的性质解答即可； （2）根据三角形周长和边的关系解答即可． 此题考查三角形的中线以及三角形的三边关系，关键是根据三角形中线的性质解答． 【详解】（1）解：，， ． 又∵的周长为， ． 是边上的中线， ． （2）略 5．（25-26八年级上·山东德州·期末）某木材市场上木棒规格与价格如下表： 规格 价格（元/根） 10 15 20 25 30 35 40 小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为和的木棒，还需要到某木材市场上购买一根． (1)有几种规格木棒可供小明的爷爷选择？ (2)选择哪一种规格木棒最省钱？请说明理由． 【答案】(1)5种选择 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据三角形的三边关系可得，再解出不等式组可得x的取值范围，进而得到选择的木棒长度； （2）根据木棒价格可直接选出答案． 【详解】（1）解：设第三根木棒的长度为， 根据三角形的三边关系可得：， 解得， 结合题干信息可得：．共5种选择． （2）解：在符合条件的木棒规格中，的木棒价格最低， ∴选的木棒最省钱． 6．（25-26八年级上·全国·期中）【教材呈现】下面是八年级上册数学课本关于三边关系的一道题目： 填空： 如图，由三角形两边的和大于第三边，得：______，______． 将不等式左边、右边分别相加，得______，即______． （1）补全上面步骤； 【类比猜想】 （2）如图，请你仿照上述解题过程，探究当点与点重合时，与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），，，； （2），理由如下： 如图，由三角形三边关系定理得到：，，， ， ． 【分析】由三角形两边的和大于第三边得到，，将不等式左边、右边分别相加，得到； 由三角形三边关系定理得到，，，将不等式左边、右边分别相加，得到． 本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 【详解】解：如图，由三角形两边的和大于第三边，得：，． 将不等式左边、右边分别相加，得，即， 故答案为：，，，； 略 【经典例题二 根据三角形中线求长度与面积】 7．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长少的长与的长的和为，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的中线．熟练掌握三角形中线定义，三角形周长定义，解二元一次方程组，是解决问题的关键．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形中线．三角形三边长的和叫做三角形的周长． 根据中线的定义知，结合三角形周长公式知；因为与的和为，则可求出的长度． 【详解】解：是边上的中线， ． 的周长比的周长少， ， 即． 又， 得． 8．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，是边上的高，，， (1)若是的角平分线，求的度数； (2)若是的中线，的周长比的周长大1且，，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的高、中线的定义，三角形内角和为． （1）先根据三角形内角和得到，由角平分线的定义求出，再根据，求出，即可求解； （2）由中线得，再由的周长比的周长大1，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线，是的高， ∴，， ∴． （2）解：∵是的中线， ∴， ∵已知的周长比的周长大1，即， ∴， ∵， ∴； ∵，，，，， ∴， 即， ∴． 9．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，是的中线，是的中线． (1)若，的周长为24，求的周长； (2)若，求的面积． 【答案】(1)20 (2)8 【分析】本题考查了三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形中线等分线段，等分面积． （1）由是的中线，得到，再结合的周长，，即可得到的周长； （2）由三角形中线的性质可得，，易得，即，最后再求的面积即可． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵的周长，， ∴ ∴， ∴， ∴的周长 （2）解：是的中线， ， ， ， 又∵是的中线， ， 又， ， ， 的面积是． 10．（25-26七年级下·上海普陀·期中）如图，在°．    (1)画出边上的中线； (2)点到直线的距离是线段 的长； (3)画出边上的高； (4)点到直线的距离是线段 的长．（不需写画法和结论） 【答案】(1)如图，线段即为所求； (2)MB (3)如图，线段即为所求；    (4)CH 【分析】（1）根据三角形的中线的定义画出图形； （2）根据点到直线的距离的定义判断即可； （3）根据三角形的高的定义画出图形； （4）根据点到直线的距离的定义判断即可． 【详解】（1）略 （2）点到直线的距离是线段的长． 故答案为：； （3）略 （4）点到直线的距离是线段的长． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图复杂作图，点到直线的距离等知识，解题的关键是掌握三角形的中线，高的定义，属于中考常考题型． 11．（25-26八年级上·吉林·阶段检测）在如图所示的平面直角坐标系中，，， (1)作在边上的中线； (2)在（1）的条件下，求的面积． (3)在图中标出的重心G（保留画图痕迹），并写出重心的坐标 ． 【答案】(1) 解：如图，即为所求， (2) (3) 解：如图，取的中点，连接交于点， 此时点． 【分析】本题考查了三角形的中线，重心，熟知相关概念是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义； （2）利用三角形面积公式即可解答； （3）根据重心的定义即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：，，， ，边上的高为， ； （3）略 12．（25-26七年级下·山西临汾·期末）课题学习：三角形的中线 在认识了三角形的三条重要线段高、角平分线、中线之后，张华同学观察自己做的图形“的边上的中线……”时，发现：线段不仅平分的边，还平分的面积． (1)探究与发现：张华的同桌思考之后，给出了以下思路和证明：过点A作边上的高，则： … … … … … … … … 所以，三角形的中线平分三角形的边，也平分三角形的面积． 请你添加张华的同桌所作的辅助线，并将其证明过程补充完整． (2)运用与实践：请你根据以上发现，解决以下问题 如图，是的中线，是的中线，的面积为40，，求的面积和点E到的距离． 如图，有一块三角形优良品种试验田，现引进四种不同的种子进行对比试验，需要将这块试验田分成面积相等的四块三角形地块．请你设计出四种不同的划分方案． 【答案】(1) 证明：如图所示，过点A作边上的高， ∵是边边上的中线 ∴ ∴ ∴三角形的中线平分三角形的边，也平分三角形的面积． (2) S△ABE＝10，E到BC的距离是4； 如图所示（取各边中点或中线的中点） 【分析】（1）过点A作边上的高，由三角形中线的性质得到，进而得到； （2）如图所示，过点E作于点F，由三角形中线的性质得到，然后利用三角形面积公式求解即可； 根据三角形的中线平分三角形的面积求解即可． 【详解】（1）略 （2）如图所示，过点E作于点F， ∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴，即 ∴， ∴点E到的距离为4． 略 【经典例题三 全等三角形的性质与判定综合应用】 13．（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，，，与，分别相交于点M，D，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等；由可得，，进而得到，再根据，可得，即可求解. 【详解】解：∵， ， ， ，， ， ， ∵，， ． 14．（25-26八年级上·河北唐山·期中）琪琪将两个大小不同的含角的直角三角板如图所示放置在桌面上如图1．从图中抽象出的几何图形如图2．已知在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)猜想与的位置关系，并证明． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴． (2) 解：，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）求出，再利用即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质可得，求出即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 15．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使的条件有_________（填序号）； ①；②；③；④． (2)根据（1）中添加条件的情况分别判定． 【答案】(1)①③ (2) 证明：选条件①时， 在和中， ， 所以； 选条件③时， 在和中， ， 所以． 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）利用全等三角形的判定定理进行判断； （2）利用，进行证明即可． 【详解】（1）解：①已知，，且为公共边，根据全等三角形判定定理“边边边”，可以判定； ②虽然，，，但“边边角”不能判定两个三角形全等； ③因为，，，根据全等三角形判定定理“边角边”，可以判定 ； ④，，，“边边角”不能判定两个三角形全等； 故答案为：①③． （2）略 16．（25-26八年级上·河北沧州·阶段检测）如图，如图，在中，是射线上一点，点在的右侧，连接，和，且． (1)如图，若点在线段上，且周长为，则的周长为______． (2)如图，若点在线段的延长线上，平分，，求的度数； (3)若点在射线上，求，与之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由全等三角形性质可得周长的周长； （）由，得，，所以，即，然后通过三角形内角和定理即可求解； （）分当点在线段上时，当点在线段的延长线上时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵， ∴周长的周长， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，，， ∴，， 即， ∵平分， ∴， 在中，， ∴； （3）解：当点在线段上时， ∵， ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴； 综上，或． 17．（25-26八年级上·海南·期中）在艺术工作室里，设计师用两个等腰三角形和创作几何艺术装置．其中，，，交于点．请你解决以下关于这个艺术装置的几何问题 (1)直角风格的装置 如图，当时，求证：，； (2)六十度风格的装置 如图，当时，求的度数； (3)猜想：任意顶角的装置 当时，的度数为________（直接用含的式子表示） 【答案】(1)证明：设、交于点， ， ，即． 在与中， ， ， ，． ， ． ， ， ， ； (2) (3) 【分析】（1）由，可得，证明，得到，，结合，即可得出结论； （2）由，可得，证明，得到，结合，即可解答； （3）根据（2）中的方法进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：设、交于点， ， ，即． 在与中， ， ． ，，， ； （3）解：， ，即． 在与中， ， ． ，，， ． 18．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图1、2所示，小颖与爸爸、妈妈在操场上荡秋千，小颖坐在秋千上的起始位置点处，且起始位置的延长线与地面垂直，垂足为点．小颖两脚在地面上用力一蹬，小颖妈妈在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的妈妈到秋千起始位置的水平距离米；小颖的妈妈用力一推，小颖的爸爸在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的爸爸到秋千起始位置的水平距离为米，秋千的长度保持不变．解答下列问题： (1)当时，判断与是否相等，若相等，请证明；若不相等，请说明理由； (2)当，米，米，米时，求的值； (3)若考虑到安全和体感，点、点分别在的左边和右边，秋千摆动的夹角（即）始终保持，请直接写出，，，这四个变量之间的关系． 【答案】(1)，理由如下： 于点， ， ，     ， ，     ． (2) (3) 【分析】（1）利用同角的余角相等证两角相等； （2）根据证，得到对应边相等，再结合线段差计算； （3）用线段和差得到四个变量关系式． 【详解】（1）略 （2）解：据题可知，据（1）可知， 在和中， ， ， 米，， ，， 米， 米， ． （3）解：据（2）可知， 则米，米， ，， ，即． 【经典例题四 线段垂直平分线的性质综合问题】 19．（25-26八年级上·全国·期末）【综合运用】如图，在中，，和均为等边三角形，与相交于点F，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)已知，求的大小用含的式子表示 【答案】(1) 证明：， ， 和为等边三角形， ，， ，即 在和中， ， ， ； (2) 证明：由（1）得， ， ， ， 是的垂直平分线， ； (3) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质； （1）由和为等边三角形，得到，，再证明得到； （2）由得到，则，结合得到是的垂直平分线，得到； （3）由等腰三角形得到，则，根据，得到，最后根据 求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）可知，是的垂直平分线， ，， 和为等边三角形， ，， ， ， ， ． 20．（25-26八年级上·云南文山·期末）如图，在中，，F是延长线上一点，，于点D，交于点E， (1)如图1，求证：． (2)如图2，若D是斜边的中点，求的度数． (3)如图3，在（2）的条件下，连接，作交于点G，若，，求的面积． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识，灵活运用全等三角形的性质是解题关键． （1）利用“”证明，即可得到结论； （2）连接，证明是等腰直角三角形，得到，根据垂直平分线的性质，得到平分，得到，再结合三角形内角和定理求解即可； （3）结合全等三角形的性质，易证，得到，再推出是上的中线，则，求出的面积，即可得到的面积． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵点D是的中点，且， ∴是的垂直平分线， ∴平分， ∴， 在中，， ∴ （3）解：由（1）可知，， ∴，，，， ∵，即， ∴， ∴，即， 在与中， ∴， ∴， 又∵点D是的中点，且， ∴， ∴是上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的面积是． 21．（2025八年级上·全国·专题练习）取一张长方形纸片ABCD，如图（1）所示，请按下列步骤操作： 步骤一：将纸片对折，使较长的两边BC，AD重合，然后打开，折痕为EF，如图（2）所示． 步骤二：再折叠，使点A落在EF上的点G处，然后打开，折痕为BH，连接AG，BG，如图（3）所示． 请证明是等边三角形． 【答案】 证明：∵对折矩形纸片，使与重合， ∴垂直平分， ∴，，， ∵再一次折叠纸片，使点A落在上的点G处， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定以及轴对称等知识，根据对折可得,即可得出结论 【详解】略 22．（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）【一般概念】如图，在四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【问题解决】 (1)尺规作图：如图，已知，求作一点，使得四边形是筝形．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)已知：如图，在筝形中，，．证明：． (3)如图，连接筝形的对角线相交于点，猜想与的数量关系，请说明理由． 【答案】(1) 四边形即为所求筝形； (2) 连接， 在与中， ， ∴， ∴； (3) 【分析】本题主要考查筝形四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． ()根据筝形四边形的定义进行画图即可； ()根据证明即可得到结论； ()证明，即可得到与的数量关系． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求， 根据“筝形”定义，需使且 ， ∴作点使、(以为圆心为半径画弧，以为圆心为半径画弧，两弧交点即为) ∴连接，四边形即为所求筝形； （2）略 （3），理由如下， 由（）可得， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 23．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）学习了垂直平分线和尺规作图后，周老师为了让学生对该知识有更加深刻的认识，布置如下任务：如图，已知，点B是射线上的一个定点，在射线上求作点C，使． 下面是小李设计的尺规作图过程． 作法：①作线段的垂直平分线l，直线l交射线于点D，连接； ②以点B为圆心，长为半径作弧，交射线于另一点C，则点C即为所求，连接． 用直尺和圆规在图中补全图形（不写作法，保留作图痕迹），并完成以下证明： 证明：直线l为线段的垂直平分线， ， ， ． ， ， ． 【答案】；； 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作图及性质，等腰三角形的性质，尺规基本作图，熟练掌握线段垂直平分线的作图及性质，等腰三角形的性质及尺规基本作图是解题的关键．先根据小李设计的尺规作图过程完成尺规作图，再根据题目给出的证明过程，利用线段垂直平分线的作图及性质，三角形的外角性质及等腰三角形的性质逐一补充完整． 【详解】解:补全图形如下： 证明如下： 直线l为线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， ． 故答案为：；；． 24．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，，是两条公路，在两条公路夹角内部的点处有一座油库．若在两公路上分别建一个加油站，并使油罐车从油库出发先到一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库的路程最短，则加油站应如何选址？ （1）作点关于，对称的点，． （2）连接，与，分别交于点，．点，就是所求的加油站的位置． 请根据作图的过程，说明确定点，位置的合理性． 【答案】 （1）连接、， （2）点与点关于对称，点和点关于对称， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 由两点之间线段最短，可知的最短路程是， 点，就是所求的加油站的位置． 【分析】本题考查了作图——轴对称图形，线段垂直平分线的性质．连接、，由题意可得垂直平分，垂直平分，推出，，则，结合两点之间线段最短，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 【经典例题五 角平分线性质的实际应用】 25．（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站P，要求加油站P的位置到三条公路的距离都相等． (1)请你找出加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (2)你的作图依据是 ． 【答案】(1)如图，点即为所求． (2)到角两边距离相等的点在角的平分线上 【分析】（1）利用角平分线的性质作出图形即可； （2）利用角平分线的判定解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 26．（25-26七年级下·山东东营·阶段检测）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法） (1)要在如图所示的S区内找一点P，使它到直线m，n的距离相等，同时该点到A，B两点的距离也相等．    (2)已知直线m和m上一点P，作过P与m垂直的直线n．    【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）只需要尺规作直线m，n所夹锐角的角平分线和线段的垂直平分线，两线的交点即为所求作； （2）利用尺规作过点P的垂线即可． 【详解】（1）如图，点P即为所求作；    （2）如图：直线n即为所作．    【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质和角平分线与线段垂直平分线的尺规作图，正确理解题意、熟练掌握尺规作角平分线与线段垂直平分线的方法是解题的关键． 27．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）尺规作图〔不写做法，保留作图痕迹）：    (1)如图，设A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要求三个村庄到学校的距离相等．请你通过尺规作图，在图中确定学校的位置． (2)两个城镇A，B与两条公路、位置如图所示，电信部门需要在公路上的上方C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离相等，到两条公路、的距离也相等，请在图中作出符合条件的点C． 【答案】(1) 如图所示，K即为学校的位置．    (2) 如图所示，点C即为所求．    【分析】（1），，中任选两条线段，分别作垂直平分线，得到的交点即为所求点； （2）作、夹角（锐角）的角平分线，作线段的垂直平分线，两者的交点即为所求点． 【详解】（1）解：如图，作的垂直平分线，的垂直平分线，与的交点为K，K即为学校的位置． （2）略 【点睛】本题考查复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的性质及作法，垂直平分线的性质及作法． 28．（25-26八年级上·重庆江津·期中）尺规作图并完成证明．如图，点、点在外，连接、、，且，，． (1)用尺规完成以下基本作图： 作的平分线交于点，连接 （保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）中作图，求证：；请完善下面的证明过程． 证明：平分， ______， ， ______ ， ， 在和中， ， ． （______） 【答案】(1) (2)，，，全等三角形对应边相等 【分析】本题考查了基本作图，全等三角的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角解决问题． （1）根据要求作出图形即可； （2）根据证明即可． 【详解】（1）略 （2）证明：平分， ， ， ， ， 在和中， ， ． （全等三角形对应边相等）， 故答案为：，，，全等三角形对应边相等． 29．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）计算 (1)． (2)． (3)如图，已知：，，，求证：． (4)如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m、n的距离也必须相等．试问发射塔应修在哪儿？在图上标出P点位置．（保留痕迹，不写作法） 【答案】(1) (2) (3)见详解 (4)见详解 【分析】（1）根据同底数幂的乘法、除法以及幂的乘方运算法则计算即可； （2）根据平方差公式以及多项式除以单项式的运算法则计算即可； （3）利用“”证明，即可作答； （4）线段的垂直平分线与两条道路的夹角的角平分线的交点，即是所求的点，据此作图即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （4）设两条高速公路m、n的交于点E，以E为圆心画圆，分别交高速公路m、n于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于一半的长度为半径画圆弧，两弧交于点F，连接；连接，再分别以A、B为圆心，以大于一半的长度为半径画圆弧，两弧分别交于点G、H，连接，交于点P，作图如下： 即P点即为所求． 根据作图可知：是线段垂直平分线，是的角平分线， 又∵交于点P， ∴根据垂直平分线和角平分线的性质可知：点P到两个城镇A，B的距离相等，到两条高速公路m、n的距离也相等， ∴即P点即为所求． 【点睛】本题主要考查了整式的运算，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的尺规作图和性质，角平分线的尺规作图与性质等知识，掌握角平分线的尺规作图与性质是解答本题的关键． 30．（25-26八年级上·山东淄博·期中）已知：如图所示，直线，与的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点D、E． （1）如图1所示，当直线l与直线MA垂直时，猜想线段AD、BE、AB之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明； （2）如图2所示，当直线l与直线MA不垂直且交点D、E都在AB的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； （3）当直线l与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD、BE、AB之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系． 【答案】（1）； （2）证明：如图2中，在线段AB上截取AF=AD，连接FC． ∵AC，BC分别平分∠MAB，∠NBA， ∴∠1=∠2，∠3=∠4． 在△ADC和△AFC中， ， ∴△ADC≌△AFC（SAS）． ∴∠ADC=∠AFC， ∵MA∥NB， ∴∠ADC+∠6=180°， 又∵∠CFB+∠AFC=180°， ∴∠CFB =∠6． 在△CBF和△CBE中， ， ∴△CBF≌△CBE（AAS）， ∴BF=BE ∵AF+BF=AB， ∴AD+BE=AB． （3）不成立，或 【分析】（1）如图1中，结论：AD+BE=AB．作CH⊥AB于H，只要证明△ACD≌△ACH，△BCH≌△BCE即可． （2）如图2中，（1）中所得结论是否仍然成立．在线段AB上截取AF=AD，连接FC，只要证明△ADC≌△AFC（SAS），△CBF≌△CBE（AAS）即可解决问题． （3）不成立．如图3中，结论：AD-BE=AB．延长BC交AM于F，只要证明△ABF是等腰三角形，△CDF≌△CEB，即可解决问题．如图4中，结论：BE-AD=AB，证明方法类似． 【详解】解：（1）结论：AD+BE=AB． 理由：作CH⊥AB于点H ∵CD⊥AM，CH⊥AB， ∴∠ADC=∠CHA=90°， 在△ACD和△ACH中， ， ∴△ACD≌△ACH（AAS）， ∴AD=AH， 同理可证△BCH≌△BCE， ∴BH=BE， ∴AD+BE=AH+BH=AB． （2）略 （3）不成立． 如图3中，结论：AD-BE=AB． 理由：延长BC交AM于F． ∵AD∥BN， ∴∠4=∠AFB=∠3，∠FDC=∠CEB， ∴AF=AB， ∵∠1=∠2， ∴AC⊥BF，CF=BC， 在△CDF和△CEB中， ， ∴△CDF≌△CEB， ∴DF=BE， ∴AD-BE=AD-DF=AF=AB， ∴AD-BE=AB． 如图4中，结论：BE-AD=AB． 理由：延长AC交BE于H． ∵AD∥BN， ∴∠MAC=∠AHB=∠CAB，∠MDC=∠CEB， ∴BH=AB， ∵∠ABC=∠HBC， ∴BC⊥AH，AC=CH， 在△CEH和△CDA中， ， ∴△CEH≌△CDA， ∴AD=HE， ∴BE-HE=BE-AD=BH=AB， ∴BE-AD=AB． 【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质定理、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【经典例题六 三角形中的动点问题】 31．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）已知：在中，，． (1)如图，点D在边上，点E在AC边上，，BE与CD交于点F．试判断BF与CF的数量关系，并加以证明； (2)点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且，BE与CD交于点F．若是等腰三角形，求的度数． 【答案】(1) 解：，理由如下： ∵， ∴， 在与中 ， ∴， ∴， ∴； (2)或 【分析】（1）证明，得出，根据等腰三角形判定即可得出答案； （2）先求出，由（1）得出，设，则，，，分三种情况：①当时，②当时，③当时，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 由（1）知，， ∴， 设， 则，， ， ∵是等腰三角形，故分三种情况讨论： ①.当时，此时， ∴,得， 即； ②当时，此时， ∴,得， 即； ③当时，此时， ∴,不符题意，舍去； 综上所述，或． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，正确理解题意是解题的关键． 32．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）在等边中，线段为边上的中线，当动点D在直线上时，以为一边在的下方作等边，连接． (1)若点D在线段上，如图①，则______（填“”“”或“”）． 度； (2)当动点D在线段的延长线上时，如图②，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，30 (2) 解：，理由如下： 和都是等边三角形 ，，， ，， ， ． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，利用手拉手模型证明三角形全等是解题的关键． （1）根据就可以得出，则；根据等边三角形的性质可以直接得出的度数； （2）根据等边三角形的性质就可以得出，，，由等式的性质就可以，根据就可以得出，据此可得结论． 【详解】（1）解：与都是等边三角形， ，，， ， ． 在和中， ， ， ； 是等边三角形， ． 线段为边上的中线 ． 故答案为：，30； （2）略 33．（25-26八年级上·浙江金华·期末）新定义∶对角互补的四边形称为对补四边形． (1)如图1，四边形为对补四边形，，求的度数． (2)在等边三角形上，，完成以下问题∶ ①如图2，若动点从点沿着运动，速度为，动点从点沿着运动，速度为，两个动点同时出发，当点运动到点时所有运动停止．当四边形为对补四边形时，求此时的运动时间． ②如图3，若动点从点沿着运动，速度为，动点从点沿着运动，速度为，两个动点同时出发，当点运动到点时所有运动停止．连结，当四边形为对补四边形时，求此时的运动时间． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用同角的补角相等证明即可； （2）①设运动时间为根据，构建方程，可得结论； ②设运动时间为由全等三角形的性质证明，再由此构建方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形为对补四边形， ， ， ； （2）解：①如图中，设运动时间为 是等边三角形， ， 四边形是对补四边形， ， ， ， ， 解得： ∴当四边形为对补四边形时，此时的运动时间为； ②如图中，设运动时间为 是等边三角形， ，， 四边形是对补四边形， ， ， ， ， )， ， ， 解得：， 当四边形为对补四边形时，此时的运动时间为 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了对补四边形的定义、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 34．（24-25八年级上·吉林长春·期末）在中，为锐角，点M为射线上一动点，连结，以点C为直角顶点，以为直角边在右侧作等腰直角，连结． (1)当是等腰直角三角形且时． ①问题初现：如图①，若点M为线段上不与点A重合的一个动点，则与所在直线的位置关系是______； ②深入探究：如图②，若点M在线段的延长线上，判断与所在直线的位置关系，并说明理由； (2)当不是等腰三角形且时，如图③．若点M为线段上不与点A重合的一个动点，，判断与所在直线的位置关系，并证明你的结论． 【答案】(1)①垂直； ②， 和都是等腰直角三角形， ． ． ． ， ． ． ． ． (2)， 理由如下： 如图，过点C作交的延长线于点D， ． ． ． ． ． ， ． ． ， ． ． ． ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形． （1）①利用等腰直角三角形的性质得到，再证明，即可得出结论；②同理①证明，即可得出结论； （2）过点C作交的延长线于点D，同理证明，即可得出结论 【详解】（1）①问题初现：垂直；理由如下： 和都是等腰直角三角形， ． ． ． ． ． ． ； ② 略 （2）略 35．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在中，高线，，相交于点，，. (1)求的长； (2)是直线上的一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动，设点的运动时间为秒，则是否存在值.使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当秒或4秒时，以点、、为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，适当的添加辅助线． （1）根据三角形的高得，根据角之间的关系得，用即可证明，根据全等三角形的性质得，即可得； （2）由题意得，，，，分情况讨论：时，，得，进行计算即可得，时，，得，进行计算即可得． 【详解】（1）证明：、是的高， ， ， ， 在和中，， ， ， ， . （2）解：存在. 理由：由题意得，，， ， ， ， 如图，当时，， ， 解得，； AI 如图，当时，， ， 解得，； 综上所述，当秒或4秒时，以点、、为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等. AI 36．（25-26八年级上·浙江杭州 ·期中）在 中，，点 B 在边上，且，C 是射线上的一个动点（不与点 B重合，且 ），在射线 上截取，连接. (1)当点 C 在线段上时，如图①，求证:; (2)当点C在线段的延长线上时，如图②和图③，线段，， 之间又有怎样的数量关系?直接写出你的猜想，不需要证明. 【答案】(1) 证明：在上截取，连接， ，， 是等边三角形， ，， ， 同理可得，也是等边三角形， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， ， ． (2)数量关系为或． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）在上截取，连接，先证明和都是等边三角形，得出，再通过证明得出，结合图形即可得出结论； （2）分两类情况：点在线段、延长线上，作出同（1）中的辅助线，由（1）中的结论得，，，再根据线段的和差进行等量代换即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：若点A在线段上，如图，作同（1）中的辅助线， 由（1）中的结论得，，， ； 若点A在延长线上，如图，作同（1）中的辅助线， 由（1）中的结论得，，， ； 综上所述，数量关系为或． 【经典例题七 三角形中的翻折问题】 37．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）如图1，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．小聪根据学习全等三角形的经验，对“筝形”的性质和判定方法进行了探究，下面是小聪的探究过程，请补充完整： (1)如图2，连接筝形的对角线，交于点，通过测量边、角或沿一条对角线所在直线折叠等方法，探究发现筝形有一组对角相等．请用文字语言写出筝形的一条其它性质：_____；（一条即可） (2)小组同学还从边、角、对角线或性质的逆命题等角度探究了筝形的判定方法，小聪写出的判定方法是：“有一条对角线平分一组对角的四边形是筝形．”请你写出这个命题的已知、求证，并证明． 【答案】(1)筝形的对角线互相垂直（不唯一） (2)证明过程见详解 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，全等三角形的性质即可求解； （2）根据已知条件，证明三角形全等，根据全等三角形的性质即可求证． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即． ∴筝形的对角线互相垂直． 故答案为：筝形的对角线互相垂直； （2）解：已知：如图所示，是四边形的一条对角线，，． 求证：四边形是筝形． 证明：在和中， ，，， ∴， ∴，， ∴四边形是筝形． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，理解题目中图形的特征，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 38．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）阅读下列材料，解答问题： 定义：线段BM把等腰△ABC分成△ABM与△BCM（如图1），如果△ABM与△BCM均为等腰三角形，那么线段BM叫做△ABC的完美分割线． (1)如图1，已知△ABC中，，BM为△ABC的完美分割线，且，则 °， °； (2)如图2，已知△ABC中，，求证：AN为△ABC的完美分割线； (3)如图3，已知△ABC是一等腰三角形纸片，AB＝AC，AN是它的一条完美分割线，且，将△ACN沿直线AN折叠后，点C落在点处，交BN于点M．求证：． 【答案】(1)72，108； (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠C=（180°-∠BAC）÷2，∠AMB=180°-∠BAC-∠ABM即可求出两角的度数； （2）根据两底角相等的三角形为等腰三角形证△ABN、△ACN均为等腰三角形，即可得证结论； （3）根据ASA证△AC1N≌△ABM，即可得证结论． 【详解】（1）∵AB=AC，∠BAC=36°， ∴∠C=（180°-∠BAC）÷2=144°÷2=72°， ∵BM为△ABC的完美分割线，且CM＜AM， ∴∠ABM=∠BAC=36°， ∴∠AMB=180°-∠BAC-∠ABM=180°-36°-36°=108° 故答案为：72，108； （2）∵AB=AC，∠BAC=108°， ∴∠B＝∠C＝ (180°−∠BAC)＝36°， ∵AC=CN， ∴∠CAN＝∠CNA＝ (180°−∠C)＝72°， ∴∠BAN=∠BAC-∠NAC=108°-72°=36°， ∴∠BAN=∠B， ∴NA=NB， ∴△ABN、△ACN均为等腰三角形， ∴AN为△ABC的完美分割线； （3）∵AN是△ABC的一条完美分割线， ∴AN=CN，AB=BN， ∴∠C=∠CAN，∠BAN=∠BNA， ∴∠BNA=∠C+∠CAN=2∠CAN， ∴∠BAN=2∠CAN， ∵∠CAN=∠C1AN， ∴∠BAN=2∠C1AN， ∵∠BAN=∠C1AN+∠BAM， ∴∠C1AN=∠BAM， ∵AC=AB， ∴∠C=∠B， ∵∠C=∠C1， ∴∠C1=∠B， ∵AC=AC1， ∴AC1=AB， ∴△AC1N≌△ABM（ASA）， ∴NC1=BM． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 39．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． （1）如图1，是的平分线，请你在图1中画出一对以所在直线为对称轴的全等三角形． （2）请你仿照这个作全等三角形的方法，解答下列问题： ①如图2，在中，，，、分别是、的平分线，、相交于点．猜想和之间的数量关系，直接写出结论． ②如图3，在中，如果，而①中的其它条件不变，请问①中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①FE=FD．②结论FE=FD仍然成立，证明见解析． 【分析】（1）根据SAS可知：在∠MON的两边上取格点M、N，使OM=ON，在角平分线OP上取格点Q，连接QM、QN所构成的两个三角形△OQM与△OQN全等，且它们关于OP对称； （2）①在AC上截取AG=AE，则EF=FG；根据ASA证明△FCD≌△FCG，得DF=FG，故判断EF=FD；②在AC上截取AH=AE，证得△EAF≌△GAF（SAS），得出∠EFA=∠GFA；再根据ASA证明△FDC≌△FGC，得CD=CG，进而得出AC的长度． 【详解】解：（1）如图，△OQM与△OQN即为所求作， ∵OP是∠MON的平分线， ∴∠MOP=∠NOP， ∵OM=ON，OP= OP， ∴△OQM≌△OQN； （2）①FE=FD． 如图，在AC上截取AG=AE，连接FG． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠EAF=∠GAF， 在△EAF和△GAF中， ∵， ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴FE=FG， ∵∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线， ∴∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB，且∠EAF=∠GAF， ∴∠FAC+∠FCA=(∠BAC+∠ACB)=(180°-∠B)=60°， ∴∠AFC=120°， ∴∠CFD=60°=∠CFG， ∴∠AFG=60°， 又∵∠EFA =∠CFD=60°， ∴∠EFA=∠GFA =60°， 在△FDC和△FGC中， ∵， ∴△FDC≌△FGC（ASA）， ∴FD=FG． ∴FE=FD． ②结论FE=FD仍然成立． 在AC上截取如图： 同①可得△EAF≌△HAF， ∴FE=FH，∠EFA=∠HFA． ∵∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB， ∴∠FAC+∠FCA=(∠BAC+∠ACB)=(180°-∠B)=60°． ∴∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA)=120°． ∴∠EFA=∠HFA=180°-120°=60°． 同①可得△FDC≌△FHC， ∴FD=FH． ∴FE=FD． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形． 40．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）折纸是有趣的数学活动，通过折纸可以发现数学结论，折纸的过程蕴含着丰富的数学知识． 【特例感受】 如图1，在折叠等腰三角形纸片的过程中，小明发现：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等． 【操作探究】 问题1：如图2，中，，，直线与线段相交于点D，将沿直线翻折至处，点B的对应点为，求与之间的数量关系． 【拓展延伸】 问题2：如图3，若，，直线与线段相交于点D，将边沿直线翻折，得到，射线交于点E，连接．探究并证明，与之间的数量关系． 【答案】问题1： 问题2：，理由： ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵将边沿直线翻折，得到， ∴，， ∴，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 在上取点F，使，连接，则和都是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】问题1：根据等腰三角形的性质可得，再结合折叠的性质可得，，然后根据三角形外角的性质即可解答； （2）证明，可得，，设，可得，从而得到，进而得到，在上取点F，使，连接，则和都是等边三角形，证明，可得，即可解答． 【详解】解：问题1：∵，， ∴， ∴， ∵将沿直线翻折至处， ∴，， ∵，，，， ∴ 即； 问题2：略 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，解题关键在于熟练掌握各个知识点和根据题意构造辅助线． 41．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题： 等腰三角形纸片，，点在底边上（点不与点，重合），将这个纸片沿折叠，点的对应点是点． 猜想证明： （1）如图1，当时，过点作于点，试判断的形状，并说明理由； 问题延伸： （2）在（1）的条件下，与相交于点，当点是中点时，求证：； 问题解决： （3）如图2，当为等边三角形时，点在上，，过点作，交于点，连接． ①直接写出的度数； ②求证：． 【答案】 （1）为等腰直角三角形； 证明：有题意可得 则． ， ，                       ． ．                      （2）证明：点是中点， ． ，， 又． ．                              ． ． ，， ．                    （3）①； ②在上取一点，使，连接， 是等边三角形， ，． ， ，，． ， 是等边三角形． ，． ． ，， ∵ ． 即． ． ． ． ． 【分析】（1）根据折叠的性质证明，进而可以解决问题； （2）证明，得，然后利用等腰三角形的性质即可解决问题； （3）①根据为等边三角形，得，根据，得，进而可以解决问题； ②在上取一点，使，连接，证明是等边三角形，得，，然后证明，得到，进而可以解决问题； 本题主要考查几何变换综合题，考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 【详解】（1）略                        （2）略              （3）①   ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴；                         ②略 42．（25-26八年级上·山东德州·期中）【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系．对此数学兴趣小组展开探究． 【发现】（1）如图1，在和中，点E为与的交点． ①若，则________； ②若，则与之间的数量关系是________； 【应用】 （2）如图2，B、A、E在同一直线上，，交于点C，．求证：； （3）如图3，在等腰中，，，D是边上一点，将沿折叠至，的对应边与交于点F，当为等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】（1）①；②； （2）证明：，， ， ， ， 在和中， ； （3）或． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定， 对于（1），①，根据三角形内角和定理得，可得，再根据三角形内角和定理得出答案； ②根据三角形内角和定理得，，再结合，，可得答案； 对于（2），根据“角角边”可得出答案； 对于（3），解：设，再表示出，， ，，再分两种情况：当，当，可得方程，求出解即可． 【详解】（1）解：①在中，， ， ， 在中，． 故答案为：100°． ②在中，； 在中，， 且，， ． 故答案为：． （2） 略 （3）解：设， 则，， ， ， 情况1：， ， 解得． ，， ． 情况2：， ， 解得． ，， ． 的度数为或． 【经典例题八 三角形中的旋转问题】 43．（2026·山东滨州·一模）如图，ABC中，于，，若点为的中点，点为线段延长线上一动点，连结，将绕着点按顺时针方向旋转，交线段延长线于点，回答下列问题： (1)求证：； (2)的值是否发生变化？若发生变化，请求出该值的取值范围；若不变化，请求出该值． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ，，为的中点， ，，， ，， ． ， 即， ． 在和中，， ， ， 而， ， ； (2)不发生改变，4 【分析】（1）连接，由等腰直角三角形的性质得出，，，则，证出．证，然后利用全等三角形的性质即可求解： （2）由（1）知道，得，由此即可得出答案． 本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：的值不发生改变，等于4．理由如下： ， ， ． 44．（25-26八年级上·北京海淀·阶段检测）如图，在中，，点D，F分别在上，，连接，将线段绕点C按顺时针方向旋转后得，连接． (1)求证：； (2)若直线交于点G，直接写出的度数． 【答案】(1)证明：∵将线段绕点C按顺时针方向旋转后得， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、平行线的性质： （1）由旋转的性质可得：，再根据同角的余角相等可证明，再根据全等三角形的判定方法即可证明； （2）由题意：，由全等三角形的性质得，求出，可求，进而可求出的度数． 【详解】（1）略 （2）如图， 由题意：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 45．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在中，，．将一个含角的直角三角尺按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在边的中点处．将直角三角尺绕点D旋转，设交于点N，交于点M，示意图如图所示． (1)求证：； (2)连接，，如图所示，求证：； (3)延长交于点P，交于点Q．猜想并证明和的位置关系． 【答案】(1) 证明：在中，∵，， ∴， 又∵点D是的中点， ∴，且， ∴， 又∵是直角三角尺， ∴，即， ∴ 在和中 ∴； (2) 证明：∵ ∴，， ∴，且由于是含45°直角三角尺， ∴， ∴ 即 在和中 ∴， ∴； (3) 解：猜想：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）在中，根据点D是的中点，得出，由，是直角三角尺，得出，从而得到，在和中，立即证明全等，由性质即可解答； （2）根据，得出，，，从而得到，由于是含45°直角三角尺，推出，利用即可证明和全等，从而求解； （3）猜想：，理由：根据和，得出，又根据，等量代换得到从而证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角尺的特征、全等三角形的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质． 46．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）在中，，，是经过点A的直线，于点D，于点E． (1)如图1，可得______（填“＞”或“＜”或“＝”）； (2)若将绕点A旋转，使与相交于点G，如图2，其他条件不变，探究与的大小关系； (3)在（2）的情况下，若的延长线过的中点F，如图3，连接，过点B作，交于点P． ①求证：； ②求证：． 【答案】(1) (2) (3) ①证明：∵， ∴， 由（2）得， ∴ ∵， ∴ ∴； ②证明：∵， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】(1)首先证明，再证明，然后根据全等三角形的性质可得 ； (2)首先证明，再证明，根据全等三角形对应边相等可得； (3) ①由，得到，由（2）得，得，从而证明，推出； ②首先证明，然后证明，再根据全等三角形对应角相等可得，再根据等量代换可得结论． 【详解】（1）证明：如图1， ∵于点D，于点E． ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴， 在和中 ∴ ∴； （2）解：∵，． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴ ∴； （3）①略 ②略 【点睛】此题主要考查了几何变换综合题，其中涉及到了全等三角形的判定与性质，关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质定理当知识点，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质 证明线段和角相等的重要工具． 47．（25-26八年级上·福建厦门·期中）在数学兴趣小组活动中，小艾和小凯展开了如下数学探究活动：他们将一块足够大的，含角的直角三角尺（）的顶点放置在底角为的等腰直角三角形斜边上的中点O上，其中．现将三角板绕着点O进行旋转（此时点F，G分别在，上运动）．    问题提出 探究直角三角板与三角形重叠部分的面积变化情况． 操作发现 （1）如图，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积是______； 当与垂直时，重叠部分的面积是______； 问题解决 （2）在旋转过程中，点C始终保持在直角三角板的内部，直角三角板与三角形重叠部分的面积是否保持不变？请说明理由． 【答案】（1），； （2）重叠部分的面积保持不变，理由如下： 连接， ∵为等腰直角三角形，点为的中点， ∴，平分， 则，， 即：，为等腰直角三角形， ∴ ∵，则， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 此时，重叠部分为四边形， ∴， 即：直角三角板与三角形重叠部分的面积始终保持不变． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求解即可； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质，可证，再利用证明，可得，此时，重叠部分为四边形，可得，由此可得重叠部分的面积保持不变． 【详解】解：（1）∵为等腰直角三角形，点为的中点， ∴，平分， 则， 即：，为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴当与重合时，此时在上，      即：重叠部分为， ∴重叠部分的面积为； ∵为等腰直角三角形， ∴当与垂直时，平分， 则， ∴，为等腰直角三角形， 则， 又∵， ∴，则 则，为等腰直角三角形， 则， ∴，则， 此时，重叠部分为四边形， ∴； 故答案为：，； （2） 略 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 48．（25-26八年级上·山东临沂·期中）【问题背景】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问题． 如图1，在四边形中，，点，分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小雨同学的方法是延长到点．使，连接，先证明，再证明，从而得出结论：_____； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2) （1）中的结论仍然成立．证明如下： 如图，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 在和中 ， ． ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明得到，再证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； （2）延长到，使，连接，先导角证明，再证明得到，再接着证明，得到，再由线段的和差关系可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）略 【经典例题九 全等三角形的辅助线问题综合应用】 49．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）已知：和，、分别为、中点，且，． (1)当时，求证：． (2)当时，求证：． 【答案】(1)；；；； (2) 证明：如下图所示，延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接， ， ， 在和中， ， ，， 同理可证， ，， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， 在和中， ． 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，第问关键是延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接． 先由证明，再利用证明即可； 延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接，利用全等三角形的判定与性质即可证明． 【详解】（1）解：在和中，， ， ， 、分别为、的中点， ，， ， ，， 在和中，， ， 故答案为：；；；； （2）略 50．（25-26八年级上·广东云浮·期中）（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点E使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围．的取值范围是_________________． （2）如图2，在中，是边上的中线，点E，F分别在，上，且，求证：．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点H，使……请你帮她完成证明过程． （3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点E，F分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1） （2）证明：如图，延长到，使得，连结，． ∵在中，是边上的中线， ∴ ， 在和中， ， ， ， ， 又， ， 在中，， ，， ． （3）结论：． 理由：延长到，使得． ， ， ，        ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形的三边关系等知识，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）证明，推出，在中，利用三角形的三边关系解决问题即可； （2）如图2中，延长到，使得，连接．证明，推出，再证明，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）结论：．延长到，使得，通过两次全等证明即可解决问题． 【详解】解：（1）；理由如下： ∵是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在，且， ， ， ， ． （2）略 （3）略 51．（24-25八年级上·广东广州·期中）数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时发现：当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题． (1)【问题初探】如图：在中，为边上的中线，则的取值范围为__________． (2)【类比分析】如图：在中，是的中线，于点且． 求的长度． 【答案】(1)； (2)． 【分析】延长到点使，构造使，根据全等三角形对应边相等可知，根据三角形三边关系可得，从而可得； 延长交的延长线于点，构造，从而可证，，，可证，根据全等三角形对应边相等可得，从而可得 【详解】（1）解：如下图所示，延长到点使， 是边上的中线， ， 在和中， ， 在中，， ， ， ， ， ， ； （2）解：如下图所示，延长交的延长线于点， 是的中线， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形三边的关系、全等三角形的判定与性质．解决本题的关键是构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等的关系找边之间的关系． 52．（25-26七年级下·河北保定·期末）如图，小淇站在河边的A点处，在河的对面（小淇的正北方向）的B处有一信号塔，他想知道信号塔离他有多远（即A、B两地的距离），他是这样做的： ①从点向正西方向走30步到达一棵树C处，再继续向前走30步到达D处； ②从D处左转向正南方向行走，到E处时停止行走．此时发现信号塔B、树C与自己所处的位置E恰好在一条直线上； ③从A到E小淇共走了140步． (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小淇一步大约50厘米，估计小淇在点A处时，他与信号塔的距离有多少米？请写出说理过程． 【答案】(1) 解：示意图如图所示．     (2)小淇在点处时他与处信号塔的距离为40米． 【分析】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，关键能把实际问题抽象成数学问题，并应用相关知识解决． （1）依据题意即可画出示意图； （2）由题意可得，得，即可求得的长． 【详解】（1）略 （2）解：40米，理由如下： 在和中， ， ， ， 又小淇走了140步，为步， ∴为步，一步大约50厘米即米， （米）． 答：小淇在点处时他与处信号塔的距离为40米． 53．（25-26八年级上·山东威海·期末）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）； （2）结论：． 理由：在上截取，连接， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，，则， ∴ ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 即， 即， ∴． 【分析】（1）线段、、之间的数量关系是．如图，延长至，使，连接，利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）结论：．如图中，在上截取，连接，证明，推出，，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：线段、、之间的数量关系是． 如图，延长至，使，连接， ∵，，即：， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2） 略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 54．（25-26八年级上·山东济宁·期中）阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，．求证：”． 李老师给出了如下简要分析：要证就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法’，如图2，在上截取，连接，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及__________，再证出____________________，进而得出，则结论成立． 请仿照上题方法解决以下问题： 变式应用：如图，和是等腰三角形，且，，，，以A为顶点作一个角，角的两边分别交边延长线于点E、F，连接，则之间存在什么样的关系？并说明理由． 【答案】；；；；；； 变式应用：．理由如下： 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线．按照题干的要求填空即可；变式应用：在上截取，连接，求得，证明，得到，，得到，证明，得到，据此求解即可． 【详解】解：如图2，在上截取，连接， 只要证即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出，得出及，再证出，进而得出，则结论成立． 故答案为：；；；；；； 变式应用：略 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 三角形章末54道压轴题型专训（9大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、三角形三边关系的应用 1 题型二、根据三角形中线求长度与面积 2 题型三、全等三角形的性质与判定综合应用 3 题型四、线段垂直平分线的性质综合问题 4 题型五、角平分线性质的实际应用 5 题型六、三角形中的动点问题 6 题型七、三角形中的翻折问题 7 题型八、三角形中的旋转问题 8 题型九、全等三角形的辅助线问题综合应用 9 【经典例题一 三角形三边关系的应用】 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知，c是的三边长． (1)已知，求c的取值范围； (2)若，且的周长不超过，求a的取值范围． 2．（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，在中，，． (1)求周长的取值范围； (2)已知是的中线，若的周长为，求的周长． 3．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，已知O为内任意一点，求证 (1) ； (2) 4．（25-26七年级下·江苏宿迁·阶段检测）已知的周长为，是边上的中线． (1)如图，当时，求的长． (2)若，能否求出的长？为什么？ 5．（25-26八年级上·山东德州·期末）某木材市场上木棒规格与价格如下表： 规格 价格（元/根） 10 15 20 25 30 35 40 小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为和的木棒，还需要到某木材市场上购买一根． (1)有几种规格木棒可供小明的爷爷选择？ (2)选择哪一种规格木棒最省钱？请说明理由． 6．（25-26八年级上·全国·期中）【教材呈现】下面是八年级上册数学课本关于三边关系的一道题目： 填空： 如图，由三角形两边的和大于第三边，得：______，______． 将不等式左边、右边分别相加，得______，即______． （1）补全上面步骤； 【类比猜想】 （2）如图，请你仿照上述解题过程，探究当点与点重合时，与的数量关系，并说明理由． 【经典例题二 根据三角形中线求长度与面积】 7．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长少的长与的长的和为，求的长． 8．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，是边上的高，，， (1)若是的角平分线，求的度数； (2)若是的中线，的周长比的周长大1且，，求的长度． 9．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，是的中线，是的中线． (1)若，的周长为24，求的周长； (2)若，求的面积． 10．（25-26七年级下·上海普陀·期中）如图，在°．    (1)画出边上的中线； (2)点到直线的距离是线段 的长； (3)画出边上的高； (4)点到直线的距离是线段 的长．（不需写画法和结论） 11．（25-26八年级上·吉林·阶段检测）在如图所示的平面直角坐标系中，，， (1)作在边上的中线； (2)在（1）的条件下，求的面积． (3)在图中标出的重心G（保留画图痕迹），并写出重心的坐标 ． 12．（25-26七年级下·山西临汾·期末）课题学习：三角形的中线 在认识了三角形的三条重要线段高、角平分线、中线之后，张华同学观察自己做的图形“的边上的中线……”时，发现：线段不仅平分的边，还平分的面积． (1)探究与发现：张华的同桌思考之后，给出了以下思路和证明：过点A作边上的高，则： … … … … … … … … 所以，三角形的中线平分三角形的边，也平分三角形的面积． 请你添加张华的同桌所作的辅助线，并将其证明过程补充完整． (2)运用与实践：请你根据以上发现，解决以下问题 如图，是的中线，是的中线，的面积为40，，求的面积和点E到的距离． 如图，有一块三角形优良品种试验田，现引进四种不同的种子进行对比试验，需要将这块试验田分成面积相等的四块三角形地块．请你设计出四种不同的划分方案． 【经典例题三 全等三角形的性质与判定综合应用】 13．（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，，，与，分别相交于点M，D，求的度数． 14．（25-26八年级上·河北唐山·期中）琪琪将两个大小不同的含角的直角三角板如图所示放置在桌面上如图1．从图中抽象出的几何图形如图2．已知在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)猜想与的位置关系，并证明． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使的条件有_________（填序号）； ①；②；③；④． (2)根据（1）中添加条件的情况分别判定． 16．（25-26八年级上·河北沧州·阶段检测）如图，如图，在中，是射线上一点，点在的右侧，连接，和，且． (1)如图，若点在线段上，且周长为，则的周长为______． (2)如图，若点在线段的延长线上，平分，，求的度数； (3)若点在射线上，求，与之间的数量关系． 17．（25-26八年级上·海南·期中）在艺术工作室里，设计师用两个等腰三角形和创作几何艺术装置．其中，，，交于点．请你解决以下关于这个艺术装置的几何问题 (1)直角风格的装置 如图，当时，求证：，； (2)六十度风格的装置 如图，当时，求的度数； (3)猜想：任意顶角的装置 当时，的度数为________（直接用含的式子表示） 18．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图1、2所示，小颖与爸爸、妈妈在操场上荡秋千，小颖坐在秋千上的起始位置点处，且起始位置的延长线与地面垂直，垂足为点．小颖两脚在地面上用力一蹬，小颖妈妈在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的妈妈到秋千起始位置的水平距离米；小颖的妈妈用力一推，小颖的爸爸在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的爸爸到秋千起始位置的水平距离为米，秋千的长度保持不变．解答下列问题： (1)当时，判断与是否相等，若相等，请证明；若不相等，请说明理由； (2)当，米，米，米时，求的值； (3)若考虑到安全和体感，点、点分别在的左边和右边，秋千摆动的夹角（即）始终保持，请直接写出，，，这四个变量之间的关系． 【经典例题四 线段垂直平分线的性质综合问题】 19．（25-26八年级上·全国·期末）【综合运用】如图，在中，，和均为等边三角形，与相交于点F，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)已知，求的大小用含的式子表示 20．（25-26八年级上·云南文山·期末）如图，在中，，F是延长线上一点，，于点D，交于点E， (1)如图1，求证：． (2)如图2，若D是斜边的中点，求的度数． (3)如图3，在（2）的条件下，连接，作交于点G，若，，求的面积． 21．（2025八年级上·全国·专题练习）取一张长方形纸片ABCD，如图（1）所示，请按下列步骤操作： 步骤一：将纸片对折，使较长的两边BC，AD重合，然后打开，折痕为EF，如图（2）所示． 步骤二：再折叠，使点A落在EF上的点G处，然后打开，折痕为BH，连接AG，BG，如图（3）所示． 请证明是等边三角形． 22．（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）【一般概念】如图，在四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【问题解决】 (1)尺规作图：如图，已知，求作一点，使得四边形是筝形．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)已知：如图，在筝形中，，．证明：． (3)如图，连接筝形的对角线相交于点，猜想与的数量关系，请说明理由． 23．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）学习了垂直平分线和尺规作图后，周老师为了让学生对该知识有更加深刻的认识，布置如下任务：如图，已知，点B是射线上的一个定点，在射线上求作点C，使． 下面是小李设计的尺规作图过程． 作法：①作线段的垂直平分线l，直线l交射线于点D，连接； ②以点B为圆心，长为半径作弧，交射线于另一点C，则点C即为所求，连接． 用直尺和圆规在图中补全图形（不写作法，保留作图痕迹），并完成以下证明： 证明：直线l为线段的垂直平分线， ， ， ． ， ， ． 24．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，，是两条公路，在两条公路夹角内部的点处有一座油库．若在两公路上分别建一个加油站，并使油罐车从油库出发先到一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库的路程最短，则加油站应如何选址？ （1）作点关于，对称的点，． （2）连接，与，分别交于点，．点，就是所求的加油站的位置． 请根据作图的过程，说明确定点，位置的合理性． 【经典例题五 角平分线性质的实际应用】 25．（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站P，要求加油站P的位置到三条公路的距离都相等． (1)请你找出加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (2)你的作图依据是 ． 26．（25-26七年级下·山东东营·阶段检测）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法） (1)要在如图所示的S区内找一点P，使它到直线m，n的距离相等，同时该点到A，B两点的距离也相等．    (2)已知直线m和m上一点P，作过P与m垂直的直线n．    27．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）尺规作图〔不写做法，保留作图痕迹）：    (1)如图，设A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要求三个村庄到学校的距离相等．请你通过尺规作图，在图中确定学校的位置． (2)两个城镇A，B与两条公路、位置如图所示，电信部门需要在公路上的上方C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离相等，到两条公路、的距离也相等，请在图中作出符合条件的点C． 28．（25-26八年级上·重庆江津·期中）尺规作图并完成证明．如图，点、点在外，连接、、，且，，． (1)用尺规完成以下基本作图： 作的平分线交于点，连接 （保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）中作图，求证：；请完善下面的证明过程． 证明：平分， ______， ， ______ ， ， 在和中， ， ． （______） 29．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）计算 (1)． (2)． (3)如图，已知：，，，求证：． (4)如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m、n的距离也必须相等．试问发射塔应修在哪儿？在图上标出P点位置．（保留痕迹，不写作法） 30．（25-26八年级上·山东淄博·期中）已知：如图所示，直线，与的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点D、E． （1）如图1所示，当直线l与直线MA垂直时，猜想线段AD、BE、AB之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明； （2）如图2所示，当直线l与直线MA不垂直且交点D、E都在AB的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； （3）当直线l与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD、BE、AB之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系． 【经典例题六 三角形中的动点问题】 31．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）已知：在中，，． (1)如图，点D在边上，点E在AC边上，，BE与CD交于点F．试判断BF与CF的数量关系，并加以证明； (2)点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且，BE与CD交于点F．若是等腰三角形，求的度数． 32．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）在等边中，线段为边上的中线，当动点D在直线上时，以为一边在的下方作等边，连接． (1)若点D在线段上，如图①，则______（填“”“”或“”）． 度； (2)当动点D在线段的延长线上时，如图②，试判断与的数量关系，并说明理由． 33．（25-26八年级上·浙江金华·期末）新定义∶对角互补的四边形称为对补四边形． (1)如图1，四边形为对补四边形，，求的度数． (2)在等边三角形上，，完成以下问题∶ ①如图2，若动点从点沿着运动，速度为，动点从点沿着运动，速度为，两个动点同时出发，当点运动到点时所有运动停止．当四边形为对补四边形时，求此时的运动时间． ②如图3，若动点从点沿着运动，速度为，动点从点沿着运动，速度为，两个动点同时出发，当点运动到点时所有运动停止．连结，当四边形为对补四边形时，求此时的运动时间． 34．（24-25八年级上·吉林长春·期末）在中，为锐角，点M为射线上一动点，连结，以点C为直角顶点，以为直角边在右侧作等腰直角，连结． (1)当是等腰直角三角形且时． ①问题初现：如图①，若点M为线段上不与点A重合的一个动点，则与所在直线的位置关系是______； ②深入探究：如图②，若点M在线段的延长线上，判断与所在直线的位置关系，并说明理由； (2)当不是等腰三角形且时，如图③．若点M为线段上不与点A重合的一个动点，，判断与所在直线的位置关系，并证明你的结论． 35．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在中，高线，，相交于点，，. (1)求的长； (2)是直线上的一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动，设点的运动时间为秒，则是否存在值.使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值，若不存在，请说明理由． 36．（25-26八年级上·浙江杭州 ·期中）在 中，，点 B 在边上，且，C 是射线上的一个动点（不与点 B重合，且 ），在射线 上截取，连接. (1)当点 C 在线段上时，如图①，求证:; (2)当点C在线段的延长线上时，如图②和图③，线段，， 之间又有怎样的数量关系?直接写出你的猜想，不需要证明. 【经典例题七 三角形中的翻折问题】 37．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）如图1，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．小聪根据学习全等三角形的经验，对“筝形”的性质和判定方法进行了探究，下面是小聪的探究过程，请补充完整： (1)如图2，连接筝形的对角线，交于点，通过测量边、角或沿一条对角线所在直线折叠等方法，探究发现筝形有一组对角相等．请用文字语言写出筝形的一条其它性质：_____；（一条即可） (2)小组同学还从边、角、对角线或性质的逆命题等角度探究了筝形的判定方法，小聪写出的判定方法是：“有一条对角线平分一组对角的四边形是筝形．”请你写出这个命题的已知、求证，并证明． 38．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）阅读下列材料，解答问题： 定义：线段BM把等腰△ABC分成△ABM与△BCM（如图1），如果△ABM与△BCM均为等腰三角形，那么线段BM叫做△ABC的完美分割线． (1)如图1，已知△ABC中，，BM为△ABC的完美分割线，且，则 °， °； (2)如图2，已知△ABC中，，求证：AN为△ABC的完美分割线； (3)如图3，已知△ABC是一等腰三角形纸片，AB＝AC，AN是它的一条完美分割线，且，将△ACN沿直线AN折叠后，点C落在点处，交BN于点M．求证：． 39．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． （1）如图1，是的平分线，请你在图1中画出一对以所在直线为对称轴的全等三角形． （2）请你仿照这个作全等三角形的方法，解答下列问题： ①如图2，在中，，，、分别是、的平分线，、相交于点．猜想和之间的数量关系，直接写出结论． ②如图3，在中，如果，而①中的其它条件不变，请问①中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 40．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）折纸是有趣的数学活动，通过折纸可以发现数学结论，折纸的过程蕴含着丰富的数学知识． 【特例感受】 如图1，在折叠等腰三角形纸片的过程中，小明发现：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等． 【操作探究】 问题1：如图2，中，，，直线与线段相交于点D，将沿直线翻折至处，点B的对应点为，求与之间的数量关系． 【拓展延伸】 问题2：如图3，若，，直线与线段相交于点D，将边沿直线翻折，得到，射线交于点E，连接．探究并证明，与之间的数量关系． 41．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题： 等腰三角形纸片，，点在底边上（点不与点，重合），将这个纸片沿折叠，点的对应点是点． 猜想证明： （1）如图1，当时，过点作于点，试判断的形状，并说明理由； 问题延伸： （2）在（1）的条件下，与相交于点，当点是中点时，求证：； 问题解决： （3）如图2，当为等边三角形时，点在上，，过点作，交于点，连接． ①直接写出的度数； ②求证：．                                               42．（25-26八年级上·山东德州·期中）【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系．对此数学兴趣小组展开探究． 【发现】（1）如图1，在和中，点E为与的交点． ①若，则________； ②若，则与之间的数量关系是________； 【应用】 （2）如图2，B、A、E在同一直线上，，交于点C，．求证：； （3）如图3，在等腰中，，，D是边上一点，将沿折叠至，的对应边与交于点F，当为等腰三角形时，请直接写出的度数． 【经典例题八 三角形中的旋转问题】 43．（2026·山东滨州·一模）如图，ABC中，于，，若点为的中点，点为线段延长线上一动点，连结，将绕着点按顺时针方向旋转，交线段延长线于点，回答下列问题： (1)求证：； (2)的值是否发生变化？若发生变化，请求出该值的取值范围；若不变化，请求出该值． 44．（25-26八年级上·北京海淀·阶段检测）如图，在中，，点D，F分别在上，，连接，将线段绕点C按顺时针方向旋转后得，连接． (1)求证：； (2)若直线交于点G，直接写出的度数． 45．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在中，，．将一个含角的直角三角尺按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在边的中点处．将直角三角尺绕点D旋转，设交于点N，交于点M，示意图如图所示． (1)求证：； (2)连接，，如图所示，求证：； (3)延长交于点P，交于点Q．猜想并证明和的位置关系． 46．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）在中，，，是经过点A的直线，于点D，于点E． (1)如图1，可得______（填“＞”或“＜”或“＝”）； (2)若将绕点A旋转，使与相交于点G，如图2，其他条件不变，探究与的大小关系； (3)在（2）的情况下，若的延长线过的中点F，如图3，连接，过点B作，交于点P． ①求证：； ②求证：． 47．（25-26八年级上·福建厦门·期中）在数学兴趣小组活动中，小艾和小凯展开了如下数学探究活动：他们将一块足够大的，含角的直角三角尺（）的顶点放置在底角为的等腰直角三角形斜边上的中点O上，其中．现将三角板绕着点O进行旋转（此时点F，G分别在，上运动）．    问题提出 探究直角三角板与三角形重叠部分的面积变化情况． 操作发现 （1）如图，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积是______； 当与垂直时，重叠部分的面积是______； 问题解决 （2）在旋转过程中，点C始终保持在直角三角板的内部，直角三角板与三角形重叠部分的面积是否保持不变？请说明理由． 48．（25-26八年级上·山东临沂·期中）【问题背景】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问题． 如图1，在四边形中，，点，分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小雨同学的方法是延长到点．使，连接，先证明，再证明，从而得出结论：_____； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 【经典例题九 全等三角形的辅助线问题综合应用】 49．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）已知：和，、分别为、中点，且，． (1)当时，求证：． (2)当时，求证：． 50．（25-26八年级上·广东云浮·期中）（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点E使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围．的取值范围是_________________． （2）如图2，在中，是边上的中线，点E，F分别在，上，且，求证：．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点H，使……请你帮她完成证明过程． （3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点E，F分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 51．（24-25八年级上·广东广州·期中）数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时发现：当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题． (1)【问题初探】如图：在中，为边上的中线，则的取值范围为__________． (2)【类比分析】如图：在中，是的中线，于点且． 求的长度． 52．（25-26七年级下·河北保定·期末）如图，小淇站在河边的A点处，在河的对面（小淇的正北方向）的B处有一信号塔，他想知道信号塔离他有多远（即A、B两地的距离），他是这样做的： ①从点向正西方向走30步到达一棵树C处，再继续向前走30步到达D处； ②从D处左转向正南方向行走，到E处时停止行走．此时发现信号塔B、树C与自己所处的位置E恰好在一条直线上； ③从A到E小淇共走了140步． (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小淇一步大约50厘米，估计小淇在点A处时，他与信号塔的距离有多少米？请写出说理过程． 53．（25-26八年级上·山东威海·期末）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 54．（25-26八年级上·山东济宁·期中）阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，．求证：”． 李老师给出了如下简要分析：要证就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法’，如图2，在上截取，连接，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及__________，再证出____________________，进而得出，则结论成立． 请仿照上题方法解决以下问题： 变式应用：如图，和是等腰三角形，且，，，，以A为顶点作一个角，角的两边分别交边延长线于点E、F，连接，则之间存在什么样的关系？并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $