专题07直角三角形的有关性质（7大专题）（压轴题专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以“90°角”为核心，构建“性质-判定-辅助线”三维方法体系，通过5类题型+压轴挑战实现知识逻辑与解题能力的递进培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心总结|抓住“90°角”特征，利用互余、斜边中线性质，构造等腰三角形|从定义到性质再到判定，形成“概念-原理-应用”链条| |题型1-5|各4-5题|垂直平分线判定结合等腰性质、互余证直角、斜边中线构造等腰等|题型与方法一一对应，覆盖基础到综合考法| |压轴挑战|15题|综合全等、动态问题，分类讨论直角顶点与动点位置|衔接中考高难考点，提升推理能力与几何直观|

专题07 直角三角形的有关性质 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1 线段垂直平分线的判定 题型2 利用两锐角互余判定直角三角形 题型3 斜边上中线与其它知识的综合 题型4 直角三角形两锐角互余 题型5 等腰与直角三角形的综合问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 直角三角形是一类重要的特殊三角形，解题时要紧紧抓住“有一个角是90°”这一核心特征。直角三角形的两锐角互余，斜边上的中线等于斜边的一半，这些都是常用的性质。判定直角三角形时，除了直接利用90°角，还可以利用“两锐角互余”或“一边上的中线等于该边的一半”进行判定。涉及斜边中点时，常连接斜边中点与直角顶点，构造等腰三角形；遇到垂直平分线时，要联想到线段两端距离相等，从而得到等腰三角形。综合问题中常需结合全等三角形、等腰三角形、勾股定理等知识，并注意分类讨论直角顶点、动点位置等情形。 题型1 线段垂直平分线的判定 ◆题型1 线段垂直平分线的判定 题型模版 1. 垂直平分线上的点到线段两端距离相等；到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上。 2. 结合等腰三角形、直角三角形的性质进行判定与计算。 1．在等边中，点D和点E分别在边、上，以为边向右作等边，连接． (1)如图1，当点D和点A重合时，求的大小； (2)如图2，点D是边AB的中点． ①求证：； ②如图3，连接当最小时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)①见解析；②． 【分析】（1）证明，可得； （2）①连接，取的中点T，连接，．证明，可得结论； ②连接，过A、D分别作，其垂足分别为I、H，由（2）可知，点F在的垂直平分线上，当时，的值最小，此时，证明，推出，可得结论． 【详解】（1）∵，都是等边三角形， ∴， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①证明：如图2中，连接，取的中点T，连接，． ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴同（1）可证，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：如图3中，连接，过A、D分别作，，其垂足分别为I、H 由①可知，， ∴是的垂直平分线， ∴当时，的值最小， ∵点D是边AB的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∵为等边三角形，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵中，D为中点，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四边形的内角和，线段的垂直平分线的判定与性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，是的角平分线，于点，交于点，过点作，交于点，连结．给出下面四个结论：①；②；③平分；④是等腰三角形．上述结论中，正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【分析】对于①，根据同角的余角相等得到； 对于②，通过证明，进而得到； 对于④，通过证明垂直平分，得到，，，进而得到，是等腰三角形； 对于③，根据平行线的性质和，是等腰三角形，若平分，则是等边三角形，由于题目中无条件可以证明是等边三角形，进而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故②正确； 如图，连接， 由②知， ∵是的角平分线， ∴垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，是等腰三角形，故④正确； 由④知，是等腰三角形， ∴， 若平分，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，题目中无条件可以证明是等边三角形，故③错误． 综上，正确结论的序号是①②④． 3．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）已知：是等边三角形． (1)如图1，点D是边上一动点，连接，以为边作等边三角形，点F在的右侧，连接，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，点E在边上且是等边三角形，与边交于点M，，，求的长度； (3)如图3，当点D是内任意一点，连接，以为边作等边，点F在的右侧，连接并延长交射线于点E（点E与点F不重合），请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)证明：与是等边三角形 ，， (2) (3)或 【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用即可得证； （2）根据全等三角形的性质，得到，推出，证明，三线合一，即可得出结果； （3）分点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （3）解：同（1）法可得； ∴， ①当点在线段上时，如图， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时，如图： ∵， ∴， ∴. 4．（25-26七年级下·四川成都·期末）在中，，是的角平分线，以D为顶点作，与射线、线段分别交于点E，F，且点A与点F关于直线对称． 【特例感知】 (1)如图1，若为等边三角形，点E在线段上，则 ； ；= ； 【深入探究】 (2)如图2，若点E在线段上，连接，求证：垂直平分； 【拓展延伸】 (3)作垂足为点H，若，探究线段与之间的数量关系． 【答案】(1)；；1 (2)证明：如图所示，过点D作于点G，于点H， ∴； ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴； 由轴对称的性质可得， ∵， ∴； ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分； (3)或 【分析】（1）由轴对称的性质得到，由平角的定义可得；由三线合一定理得到，，则可得到；证明是等边三角形，推出，即可得到； （2）过点D作于点G，于点H，证明，得到；再证明，得到，再由，即可证明结论； （3）分两种情况：点E在上和点E在的延长线上，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， 由轴对称的性质可得， ∵， ∴； ∵是等边三角形，是的角平分线， ∴，即，，， ∴； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图所示，当点E在上时，过点D作于点T， 同理可证明， ∴， 同理可证明， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴； ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴； 如图所示，当点E在的延长线上时， 同理可得 ∵， ∴； 综上所述，或． 题型2 利用两锐角互余判定直角三角形 ◆题型2 利用两锐角互余判定直角三角形 题型模版 1. 若三角形两内角互余（和为90°），则该三角形为直角三角形。 2. 结合平行线、三角形内角和定理进行角度推导。 5．（25-26八年级下·河南安阳·阶段检测）如图，在中，，点为斜边AB上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点F为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，求证：是直角三角形． 【答案】证明：在中， ∵， ∴ 由沿翻折得， ∴， 由沿翻折得， ∴ ∴ 即是直角三角形． 【分析】首先，沿翻折得到，可得对应角，其次，沿翻折使点与点重合，可得对应角，再把拆分为和的和，根据上述关系，，在中，，因此，从而证明是直角三角形． 【详解】略 6．（25-26八年级上·河南新乡·期末）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为______． 【答案】或 【分析】本题考查了轴对称变换，直角三角形两锐角互余，正确的作出图形是解题的关键．因为点恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当落在边上和边上两种情况分析求解即可． 【详解】解：将纸片沿折叠，点A落在处，将纸片沿折叠，点D落在处， ． 分两种情况讨论∶如图，当点恰好落在边上时， 则． ， ． 如图，当点恰好落在边上时， 根据轴对称的性质知， ， ． ， ． ， ． ， ； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 7．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）如图（a）、（b）、（c）是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边叫做格线．点A、B、C都是格点，请仅用一根无刻度直尺作图在网格图中完成下列画图，画图结果用实线表示（不要求说明理由，需保留必要的作图痕迹，写出结论）． (1)点是格点，在图（a）中作出一个以为腰的等腰，符合题意的点有___________个； (2)在图（b）中，求作一点，使且；并作出的高； (3)如图（c），边与格线交于点，则在边上作一点，使得． 【答案】(1) 如图，，就是所求作； ； 2 (2) 如图2中，点Q，P即为所求作； (3) 如图4中，点F即为所求作． 【分析】（1）取格点，使，连接，，就是所求作； （2）取点Q，P，连接，并延长交于点H，使，点Q，P即为所求作； （3）取点I，使，连接，交于点F，点F即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，取点，使，连接， ，就是所求作； 符合题意的点D有2个； 故答案为：2； （2）解：如图2中，取点Q，P，连接，并延长交于点H， 点Q，P即为所求作； 理由：如图3，取点E，F，G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， （3）解：如图4中，取点I，连接交于点F，点F即为所求作． 理由：如图5，取点M，N， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 由图看出E为中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查网格作图．熟练掌握等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，直角三角形角的性质和斜边上中线的性质，是解题的关键． 8．已知，，平分，．    (1)如图1，求证： (2)如图2，与延长线相交于点，，求的度数 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据角平分线的性质可得，根据垂直的性质可得，即是的角平分线，由此即可求解； （2）根据平行线的性质，可得，，可证是等腰三角形，是等腰三角形，由此可得，在中，根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴，且， ∴， ∵， ∴，即是的角平分线， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∵点是延长线上的点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∴， ∴， ∵，即， ∴在中，，即， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，垂直的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形中两锐角互余的性质等知识的综合，掌握以上知识是解题的关键． 题型3 斜边上中线与其它知识的综合 ◆题型3 斜边上中线与其它知识的综合 题型模版 1. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 2. 利用斜边中点构造等腰三角形，结合全等、相似或中位线解题。 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）综合与实践 如图，在中，．以点为圆心，为半径画弧，交于点，连接．过点作的垂线，交于点． 观察这个图形，同学们纷纷提出自己的想法． (1)圆圆说：“．”你认为圆圆的说法正确？请说明理由． (2)方方说：“若，则．”请你证明结论． (3)小明说：“给出条件，就可以确定的度数．”请你直接写出的度数． 【答案】(1) 解：圆圆的说法正确，理由如下： 由作图可得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴圆圆的说法正确； (2) 解：如图1，过作于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）先证明，结合，与角的和差运算可得结论； （2）如图1，过作于，证明，，可得，从而可得结论； （3）如图2，取的中点，连接，可得，证明，，可得，进一步解答即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图2，取的中点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形； ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 10．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）【探究发现】 （1）如图1，中，，，点为的中点，、分别是边、上的两点，若满足，，那么． ①的度数为________； ②线段、、之间满足的数量关系为________． 【应用类比】 （2）如图2，中，，，点为的中点，、分别是边、上的两点，若满足，试探究线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，点为的中点，、分别是直线、上的两点，若满足，，请求出的长． 【答案】（1）；②； （2），理由是： 取中点G，连接，如图2， ∵点G是斜边中点， ∴， ∵，，点D为的中点， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）或． 【分析】（1）①证明，可得，从而证明, ②根据可得，即可证明； （2）取中点G，连接，利用证明，得到，可得； （3）分两种情况：当点E在线段上时或当点E在延长线上时，取的中点H，连接，同（2）证明，得到，从而求解． 【详解】解：（1）①如图1，∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴, 故答案为：． ②∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）当点E在线段上时，如图3，取的中点H，连接， 当，，时， ，此时F在的延长线上， 同（2）可得：， ∴， ∵，， ∴， 当点E在延长线上时，如图4， 同理可得：； 综上：的长为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半． 11．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图1，等腰三角形和等腰三角形共顶点，，，连接、．利用所学知识解决下列问题： (1)若，求证：； (2)连接，当点在线段上时： ①如图2，若，则的度数为 ，线段与之间的数量关系是 ； ②如图3，若，为中边上的中线，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； (2)①，；② 【分析】（1）利用证明即可得证； （2）①利用证明得出，，然后证明是等边三角形即可求解； ②利用证明得出，然后利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，； ②，理由如下： ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． ∵，为中边上的中线， ∴，即， 又，， ∴． 【点睛】本题是结合了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定等知识的综合问题，熟练掌握知识点，由简入难，层层推进是解答关键． 12．（专题06浙江省各地市期中考试试卷简单题压轴题选练-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（浙江专用））如图，在直角中，，将它沿着斜边上的中线折叠得到，交于点． (1)如图，若． ①求证：； ②连接，求的值． (2)如图，若是以为腰的等腰三角形，求的度数． 【答案】(1) ①证明：如图，∵是斜边上的中线， ∴，， ∵，于点， ∴平分， ∴； ②； (2)或． 【分析】（）①由是斜边上的中线，得，而于点，即可由等腰三角形的“三线合一”证明； ②连接，由折叠得，，则，，所以和都是等边三角形，，则，，由，求得，则，所以，即可求得； （2）分两种情况，一是是等腰三角形，且，由，得，可求得，则，由，得，则；二是是等腰三角形，且，则，可推导出，则，求得，则． 【详解】（1）①略 ②解：连接， 由折叠得，， ∴，， ∴和都是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴的值为； （2）解：分两种情况：如图，是等腰三角形，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，是等腰三角形，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、折叠的性质、三角形外角的性质、勾股定理等知识，掌握以上知识点并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 题型4 直角三角形两锐角互余 ◆题型4 直角三角形两锐角互余 题型模版 1. 直角三角形两锐角互余，利用这一性质进行角度计算与证明。 2. 结合同角（等角）的余角相等，寻找角之间的关系。 13．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）在中，，，直线经过点，且于点，于点． (1)当直线绕着点旋转到如图所示的位置时，求证： ①； ② (2)当直线绕着点旋转到如图所示的位置时， ①在图中找出一对全等三角形，并加以证明； ②直接写出、、三边的数量关系． 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2)①；②，证明见解析． 【分析】本题考查了垂直的定义、直角三角形的两锐角互余、三角形全等的判定定理与性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． （1）①先根据垂直的定义可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； ②先根据三角形全等的性质可得，再根据线段的和差、等量代换即可得证； （2）①先根据垂直的定义可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； ②先根据三角形全等的性质可得，再根据线段的和差、等量代换即可得证． 【详解】（1）①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴； ②由（1）①已证：， ∴， ∴； （2）①，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴； ②，证明如下： 由（2）①已证：， ∴， ∴． 14．（25-26七年级下·浙江金华·阶段检测）如图，的角平分线、相交于，，且于，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】先根据平行线性质、角平分线定义、直角三角形性质、三角形内角和定理及外角性质，对四个结论逐一分析验证，判断其正确性，最终确定正确结论的组合． 【详解】解：， ． 平分， ， ，故①正确． ，， ， ， ． ， ． 平分， ， ，故②正确． 是的外角， ． ， ． ， ， ． ，故③错误． 、分别平分、， ，． ， ， ， ， ，故④正确． 综上，正确的结论是①②④， 15．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，是的高线，是的角平分线， (1)求的度数； (2)请探究与的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：， 理由∶由（1）可知，，， ， 【分析】此题主要考查了三角形内角和， 角平分线定义，高的定义，关键是掌握三角形内角和为，理清角之间的关系． （1）首先计算出的度数，然后再根据角平分线定义可得的度数，再根据直角三角形两锐角互余计算出的度数，进而可得的度数； （2）由（1）知，再把，代入整理可得答案． 【详解】（1）解∶．， ， ． 是的角平分线， ． 是的高线， ． ． ． ． （2）略 16．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图1，在中，，，在的延长线上取点D，以为斜边作等腰，交于点F，延长，交于点G． (1)求的度数． (2)当点B是的中点时，求证：． (3)取的中点H，连结，如图2，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) 证明：如图2，延长至M，使，连接， 点B是的中点， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． (3) 是等腰直角三角形，理由如下： 如图3，过点F作于点K，连接， 是等腰直角三角形， ， 在中，点H是的中点， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可得，再根据三角形内角和定理求解即可； （2）延长至M，使，连接，先证明，得到，，即可进一步证明，即可得到结论； （3）过点F作于点K，连接，可证明是等腰直角三角形，进一步证明是等边三角形，即可逐步求得，从而可得到结论． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形， ， ， ； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，添加辅助线，构造全等三角形是关键． 题型5 等腰与直角三角形的综合问题 ◆题型5 等腰与直角三角形的综合问题 题型模版 1. 综合运用等腰三角形“等边对等角、三线合一”与直角三角形性质。 2. 注意分类讨论：直角顶点、腰与底边、动点位置等。 17．（25-26七年级下·辽宁锦州·期末）如图1，在四边形中，平分，． (1)求证: ； (2)如图2，过点C作交延长线于点E，延长到点 F，使 ，过点F作交延长线于点G，若． ①求的度数； ②取中点M，连接，求证： ． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； (2)①； ②证明：取中点，连接交于，连接， ∵，，中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 设直线交于，连接并延长至，使，连接， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为中点， ∵中点M， ∴与重合， ∴． 【分析】（1）证明，得到； （2）①过作交于，证明，得到，则是等腰直角三角形，即可得到； ②取中点，连接交于，连接，证明，得到，即可得到，则，即，设直线交于，连接并延长至，使，连接，根据倍长中线模型得到，，即可得到，则得到为中点，则与重合，即可得到． 【详解】（1）略 （2）解：①过作交于， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②略 18．（25-26七年级下·广东深圳·期末）在中，，点为上一点． (1)如图1，点为上一点，将沿折叠使点落在点处，如果是等边三角形，那么________； (2)在（1）的条件下，点为射线上一动点，以线段为边，在其左侧作等边． ①如图2，点在射线的下方，若，请求出的值； ②如图3，记射线与线段的交点为，连接，在点的运动过程中，当为等腰三角形时，请求出的度数． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）利用三角形内角和为求解； （2）①利用三角形内角和为求出的度数，再利用角的加减求解； ②利用三角形内角和为以及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴． （2）解：①∵是等边三角形， ∴， ， ， ， ， ． ②解：由（1）可知和均为等边三角形 ，， ， 在和中，， ∴， ， ， ， 当时，； 当时，， ； 当时，， ∴， ∵， 在中，，与三角形的内角和为相悖，故不成立 综上，当为等腰三角形时，或． 19．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）【问题呈现】 如图，在中，，点在边上，且，是线段上的一个动点（不与点重合，且），在线段上截取，连接． 【问题发现】 (1)若点与点重合，请根据题意补全图1，线段与有怎样的数量关系？ 【拓展延伸】 (2)如图2，若点C不与点D重合，请证明． 【答案】(1)解：如图，线段与的数量关系：． 理由：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； (2)证明：如图，在上截取，连接， ∵，，， ∴、是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）按题中条件补全图形，证明是等边三角形，推出，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）如图，在上截取，连接，推出，证明、是等边三角形，推出，证明，得，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 20．（25-26七年级下·福建泉州·期末）在中，，， (1)平分，交于点，点为延长线上的一点． ①如图1，当点为线段上一点时，连接，若，则是________三角形； ②如图2，当点为线段的延长线上一点时，若，求证：； (2)如图3，在上取点，使得，连接，将沿翻折，点的对应点为，取的中点，连接，过点作，垂足为，交于点，连接， ①请补全图形； ②求证：． 【答案】(1)①等腰三角形 ②证明：如图，作于F点， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． (2)①如图： ②证明：如图，过D点作交的延长线于G点，则， ∵中，，， ∴， 根据翻折的性质可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）①根据角平分线的定义和平行线的性质可得，从而可得是等腰三角形． ②作于F点，根据证明，，从而可得，．由即可得证． （2）①依据题意补全图形即可； ②过D点作交的延长线于G点，先根据证明，则可得，．由可得．再根据证明，则可得，由可得． 【详解】（1）①解：∵平分， ∴， ∵ ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． ②略 （2）①略 ②略 21．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）【初步感知】 (1)如图①，在中，，，D是外一点，且于点D．数学活动课上，老师组织同学们展开了如下探究：过点B作，交的延长线于点E，可以构造全等三角形，则与的数量关系是_________________； 【问题探究】 (2)如图②，在中，，，点E在边AB上，于点D，若，，求的面积； 【问题解决】 (3)如图③，是某公园的一片玫瑰园，，，为了进一步满足市民游玩需求，现要对玫瑰园进行扩建，在小路的延长线上的点D处修建了一座观景塔，以A为直角顶点，线段为直角边向左侧作，，在小路与的交点处修建游客服务中心F，求小路与之间的数量关系．（观景塔及游客服务中心大小忽略不计）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用证明，再利用全等三角形的性质即可解答； （2）如图2：过B作于F，则，利用证明可得，再求得，最后利用三角形的面积公式求解即可； （3）如图：过E作于H，则，即，证明，易得、，再证明可得，即，进而完成解答． 【详解】（1）证明：∵，，， ， ∴，， ， 又∵， ∴， ． （2）解∶如图2：过B作于F，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积为． （3）解：如图：过E作于H，则，即， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ， ∴，即， ∴． 22．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）在中，，点D为上任意一点，连接． (1)如图1，当时，过点C的射线分别交，于点M，N，， ①判断与之间的数量关系，并说明理由； ②试说明射线是的平分线； (2)如图2，在（1）的条件下，过点B作，交射线于点Q，过点B作的平分线，交于点H，过点H作，交于点，试说明； (3)如图3，过点D作射线，交于F，以F为顶点在上方作，，连接交于点E，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)解：①理由如下： ， ， ， ， ， ． ②， ， ，， 由①知，， ， 射线是的平分线． (2)解：，是的平分线， ， ，， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ，， ， ． (3)解：理由如下： 过点作交的延长线于， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】（1）①根据同角的余角相等得到． ②根据等腰三角形的性质得到，再结合①中的结论得到，即可说明射线是的平分线． （2）先根据等腰三角形“三线合一”的性质，得到，再结合第（1）问得出的，以及等腰三角形的判定和性质即可得解； （3）过点作交的延长线于，结合题中条件可推出，得到，进而推导出，即可得到． 【详解】（1）①略 ②略 （2）略 （3）略 23．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）按要求解答下列问题： (1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，求证：，； (2)【类比解答】如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得_______； (3)【拓展延伸】如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论； (4)【实际应用】亚太经合组织（）第三十三次领导人非正式会议将于2026年11月18日~19日在深圳市福田区香蜜湖新金融中心举行．为建设会议配套景观广场，政府统一规划一块三角形土地，如图4，其中与香蜜湖路相邻．规划人员进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知米，米，面积为4200平方米，则划出的的面积是多少平方米？ 【答案】(1)证明：平分， ， ， ， 在和中， ， ， ； (2) (3)，证明如下： 如图，延长、交于点， 则， ， ， ， ， 又， ， ， 同理（1）得，， ； (4)的面积是 【分析】（1）利用证明，得，即可； （2）延长交于点，同理（1）得，，再由等腰三角形的性质得 ，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （3）延长、交于点，证，得，同理（1）得，，即可得出结论； （4）延长交于，同理（1）得，， 米，则，再由三角形面积关系得，再求解即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：如图，延长交于点， 同理（1）得，， ， ， ； （3）略 （4）解：如图，延长交于E， 同理（1）得，，米， ∴， ∵， ∴ ∴； 答：的面积是． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 24．（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等腰三角形；③；④．其中，正确结论的个数有________． 【答案】2个 【分析】首先利用三角形内角和及角平分线性质计算的度数判断①；其次通过证明得出判断②；再次通过延长构造全等三角形，结合三角形边角关系判断③；最后利用全等三角形面积相等及中线性质进行面积转化判断④． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故①错误； ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故②正确； 如图，延长交于点， ∵平分，， ，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③错误； ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， ∵，平分， ∴是的中线， ∴， ∴， 故④正确； 综上所述，正确的结论有②④，一共2个． 25．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，平分交的延长线于点，平分交的延长线于点，与交于点，与互余，下列说法：①；②；③若，则；④若，则，正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【详解】解：平分，平分， ，， ， ， ，， ∴， ∴①②正确， 若，则，题目中没告知与的位置关系， ∴无法求出的大小； 若， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ∴④正确． 26．（25-26八年级下·四川成都·期末）已知：如图，为等边三角形，点 P、D分别在边的延长线上，连接，若．，则______     【答案】 【分析】过点P作，交的延长线于点E，设，则，，证明为等边三角形，可得，再证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：过点P作，交的延长线于点E， ∵为等边三角形， ∴， ∴可设， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 27．（25-26八年级上·浙江金华·期末）在中，，按如图所示作图．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作线段的垂直平分线，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形的外角的性质，根据作图可得是的中点，，进而得出，则，根据得出，再根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得是的中点， ∵，， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ 故选：C． 28．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，是的角平分线，，垂足为D，，则__________． 【答案】/58度 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握以上性质． 根据垂直得出直角三角形，利用直角三角形的两个锐角互余得到角的度数关系，然后利用三角形的内角和定理得出，求出，然后利用角平分线的定义和直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 29．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在四边形中，，，，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为______． 【答案】5 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用角之间的关系找到边之间的关系．首先根据，，可证是等边三角形，连接交于点G，可证是线段的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证，根据平行线的性质可证，从而可得，根据平行线的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知． 【详解】解：如图所示，连接交于点G， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，（两直线平行，同位角相等）， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：5． 30．如图、在中，，，，点D在线段上，以为边作等边三角形，点E和点A分别位于两侧，连接，．以下结论错误的是（    ） A． B． C． D．直线 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质可得从而可得，可判断A正确，结合等边三角形易证，可判断B正确，结合已知解三角形易证，可知在的垂直平分线上，结合等边三角形易证，从而证明，得，可知在的垂直平分线上，从而判断D正确． 【详解】解：， 是等边三角形， 是等边三角形， 即： A正确，不符合题意； ，， B正确，不符合题意； 即 当且仅当平分时有 C不正确，符合题意； ， ， 在的垂直平分线上， ，， 在的垂直平分线上， 直线 D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质的综合应用，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定；解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质进行全等的证明． 31．（25-26七年级下·福建漳州·期末）将一张长方形纸片，按下列步骤进行折叠： 第一步：如图①，点在边上，沿折叠，使点落在点处； 第二步：如图②，沿折叠，使点落在延长线上的点处，折痕延长线交于点， 下列结论中一定正确的是__________． ①是等边三角形 ② ③垂直平分 ④ 【答案】①③④ 【分析】只要证明，即可推出是等边三角形；只要证明也是等边三角形即可判断③；再根据补角的定义求出，然后由同位角相等，两直线平行即可判断④，由的长度不确定，无法判断与的大小关系． 【详解】解：如图， 由折叠可知：， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故①正确， 由折叠可知也是等边三角形， ∴，， ∴垂直平分，故③正确， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 由于的长度不确定，所以不一定等于，故②错误， 综上：①③④正确． 32．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，在等边中，，射线交边于点，为射线上一点，以为边作等边，连接交射线于点． (1)当点在线段上时， 求证：．     求的度数． (2)当点不在线段上时，的度数是否发生改变？若不变，请说明理由；若改变，请求出此时的度数． (3)当时，请直接写出与的数量关系：_____． 【答案】(1) ①证明：和是等边三角形， ，，． ． ． 在和中， ． ． ② (2)的度数发生改变，此时的度数为 (3) 【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质定理解答即可； 利用全等三角形的性质定理得到，利用等边三角形的判定与性质得到，再利用三角形的内角和定理解答即可∶ （2）当点不在线段上时，利用全等三角形的判定与性质得到，利用等边三角形的判定与性质得到， ，再利用三角形的内角和定理解答得到，则结论可求； （3）利用直角三角形的性质得到，利用等边三角形的性质和（2）的结论得到，将两式相减即可得出结论． 【详解】（1） 略 ②由（1）知∶ ， ． 和是等边三角形， ． ． ． ， ． （2）解：当点D不在线段上时，的度数发生改变，此时的度数为． ， ． 在和中， ． 和是等边三角形， ． ． ． ， ． ． （3）解∶设于O， ， ． 为等边三角形， ． ． 由(2)知∶， ． 得∶ ． 故答案为∶ ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 33．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图1，在中，，，D是边上不与A，B重合的一个定点．于点O，交于点E，且，，的延长线相交于点M． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若N是的中点，求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． (2)∠ (3) 证明：延长交于点T，连接，，如图： ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴． ∵N是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）依据题意，，，又，，可得，进而可以判断得解； （2）过点D作，交于点H，则，即．证明，得到，即可证明，从而； （3）依据题意，延长交于点T，连接，，先证，再证，得，，即可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而得到答案即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点D作，交于点H， 则， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）略 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形及直角三角形的判定与性质等基础知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质定理． 34．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·单元复习）如图，在等边三角形中，与的平分线相交于点O，且，． (1)求证：是等边三角形； (2)猜想线段，，三者有什么数量关系，并说明理由； (3)数学学习不但要能解决问题，还要善于提出问题．结合本题，在现有的图形上，请提出两个与“直角三角形”有关的问题（可以作辅助线，只要提出问题，不需要解答）． 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，角平分线的定义，平行线的性质， 对于（1），根据等边三角形的性质得，再根据平行线的性质得，，则此题可证； 对于（2），先根据角平分线的定义和平行线的性质得出，同理可得，再根据等边三角形的性质得出答案； 对于（3），结合题意可知点A，O在的垂直平分线上，再提出问题即可． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ． ，， ，， 是等边三角形； （2）解：． 理由：平分， ． ， ， ， ． 同理，．由（1）知是等边三角形， ， ； （3）解：答案不唯一，如：①连接并延长，交于点F，求证：是直角三角形； ②若等边三角形的边长为1，求边上的高． 35．按要求解题： (1)如图1，四边形中，，请你猜想线段、之和与线段的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，四边形中，，若点为四边形内一点，且，请你猜想线段、、之和与线段的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)解：，证明如下： 如图，延长至，使，连接，， ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴； (2)解：，证明如下： 如图，在四边形外侧作等边三角形，连接， ∵和都是等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴． 延长至，使，连接，， 同（1）可得． 连接， （ⅰ）若满足题中条件的点P在上， 则， ∴， ∴； （ⅱ）若满足题中条件的点P不在上， 则， ∴， ∴； 综上，． 【分析】（1）延长至，使，连接，，证明是等边三角形，得到，，，证明是等边三角形，进而证明，得到，即可得到； （2）在四边形外侧作等边三角形，连接，根据等边三角形的性质证明，得到，延长至，使，连接，，同（1）可得，连接，分两种情况作答即可． 【详解】（1）略； （2）略． 36．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀古从军行里的一句诗，由此引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图，若点和点分别在直线的两侧，请作出示意图，在直线上找到点，使得有最小值，并说明作图依据：________； (2)如图，若点和点在直线的同侧，请在直线上作出点，使得有最小值； (3)如图，已知，点在内部，，在射线和上分别确定点，，使的周长最小，并求出周长的最小值．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短周长用实线） 【答案】(1)，两点之间线段最短 (2)如图，点即为所求 (3)，6 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型． （1）依据是两点之间线段最短得出答案； （2）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，点即为所求； （3）分别作关于、的对称点、，连接，交、于、，则的周长最小，进而根据轴对称的性质推出为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】（1）解：连接，与直线相交于一点，则有最小值．作图依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短； 图略； （2）略； （3）如图③， 作法：（Ⅰ）作关于的对称点， （Ⅱ）作点关于的对称点， （Ⅲ）连接，分别交于点M，交于N， 则的周长最小， 连接、， ∵点C和点Q关于对称， ∴，， 同理可得，，， ∴， ， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长． 37．（25-26七年级下·广东深圳·期末）定义：在平面内，沿着三角形其中一条短边翻折得到另一个与其全等的三角形，称这两个三角形互为“镜像三角形”，这条短边是镜像三角形的“镜像线”．如图1，与互为镜像三角形，为这对镜像三角形的镜像线． (1)如图2，在和中，，在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使和互为“镜像三角形”的条件有_________（填序号），①，②，③．这对“镜像三角形”的“镜像线”为_________． (2)如图3，和互为“镜像三角形”，是“镜像线”，以点为端点作射线，使，过点作分别交，于点，点，试判断和的数量关系，并说明理由． (3)如图4，在（2）的条件下，连接，若，延长交于点，当，且的面积与的面积之和为26，的面积为12时，求线段的长度． 【答案】(1)①②，； (2)．理由如下： 因为和互为“镜像三角形”， 所以． 所以， 因为， 所以， 因为垂足为点， 所以， 在和中， ，，， 所以， 所以． (3) 【分析】（1）分别根据“角边角”和“角角边”证明，再根据新定义解答； （2）先根据“镜像三角形”可知，进而得出，然后根据“角边角”证明，则此题可解； （3）先说明和是等腰直角三角形，再设，，然后根据题意可得，即可求出，接下来由求出，再根据完全平方公式可得，即，则此题可解． 【详解】（1）解：当时， ∵， ∴， ∴和这两个三角形互为“镜像三角形”，镜像线是； 当时， ∵， ∴， ∴和这两个三角形互为“镜像三角形”，镜像线是； 所以能使和互为“镜像三角形”的条件是①②，“镜像线”是； （2）略 （3）解：由（2）可知，，，， 所以， 所以和是等腰直角三角形． 设，， 因为，， 所以， 所以． 因为，所以， 所以， 所以． 因为， 所以（负值不合题意，故舍去）． 因为， 所以． 38．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，与为等腰三角形，，，，为线段上一个动点，与相交于点． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，在延长线上取一点，当时，线段与有什么位置关系？并说明理由； (3)如图3，若，且的面积为，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分． (2)解：，理由如下： 如图所示，在上截取，使得，连接，在上取点，连接，使得， ，， ， 在和中，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）利用“相等的角减去相同角的两角仍相等”证明模型证明，进而证明，得到对应角相等证明结果； （2）在上截取，使得，连接，在上取点，连接， 使得，证明，利用等腰三角形的性质与全等三角形的性质以及等量代换证明，最后根据等量代换证得，从而得到答案； （3）先根据等腰三角形的性质与全等三角形的性质等量代换后得到，利用算出，再利用三角形内角和为和等量代换得出，取线段垂直平分线的交点，连接，过点作交于点，通过角度的换算得到是等腰直角三角形，再证得，根据平行线间垂线段相等，利用同底等高得到的面积，从而求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴，解得， ∴， 在和中，， ∴，， 如图所示，取线段垂直平分线的交点，连接，过点作交于点， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，则， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴或， ∵线段的长度为非负数， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 直角三角形的有关性质 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1 线段垂直平分线的判定 题型2 利用两锐角互余判定直角三角形 题型3 斜边上中线与其它知识的综合 题型4 直角三角形两锐角互余 题型5 等腰与直角三角形的综合问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 直角三角形是一类重要的特殊三角形，解题时要紧紧抓住“有一个角是90°”这一核心特征。直角三角形的两锐角互余，斜边上的中线等于斜边的一半，这些都是常用的性质。判定直角三角形时，除了直接利用90°角，还可以利用“两锐角互余”或“一边上的中线等于该边的一半”进行判定。涉及斜边中点时，常连接斜边中点与直角顶点，构造等腰三角形；遇到垂直平分线时，要联想到线段两端距离相等，从而得到等腰三角形。综合问题中常需结合全等三角形、等腰三角形、勾股定理等知识，并注意分类讨论直角顶点、动点位置等情形。 题型1 线段垂直平分线的判定 ◆题型1 线段垂直平分线的判定 题型模版 1. 垂直平分线上的点到线段两端距离相等；到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上。 2. 结合等腰三角形、直角三角形的性质进行判定与计算。 1．在等边中，点D和点E分别在边、上，以为边向右作等边，连接． (1)如图1，当点D和点A重合时，求的大小； (2)如图2，点D是边AB的中点． ①求证：； ②如图3，连接当最小时，直接写出的值． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，是的角平分线，于点，交于点，过点作，交于点，连结．给出下面四个结论：①；②；③平分；④是等腰三角形．上述结论中，正确结论的序号是________． 3．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）已知：是等边三角形． (1)如图1，点D是边上一动点，连接，以为边作等边三角形，点F在的右侧，连接，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，点E在边上且是等边三角形，与边交于点M，，，求的长度； (3)如图3，当点D是内任意一点，连接，以为边作等边，点F在的右侧，连接并延长交射线于点E（点E与点F不重合），请直接写出与之间的数量关系． 4．（25-26七年级下·四川成都·期末）在中，，是的角平分线，以D为顶点作，与射线、线段分别交于点E，F，且点A与点F关于直线对称． 【特例感知】 (1)如图1，若为等边三角形，点E在线段上，则 ； ；= ； 【深入探究】 (2)如图2，若点E在线段上，连接，求证：垂直平分； 【拓展延伸】 (3)作垂足为点H，若，探究线段与之间的数量关系． 题型2 利用两锐角互余判定直角三角形 ◆题型2 利用两锐角互余判定直角三角形 题型模版 1. 若三角形两内角互余（和为90°），则该三角形为直角三角形。 2. 结合平行线、三角形内角和定理进行角度推导。 5．（25-26八年级下·河南安阳·阶段检测）如图，在中，，点为斜边AB上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点F为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，求证：是直角三角形． 6．（25-26八年级上·河南新乡·期末）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为______． 7．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）如图（a）、（b）、（c）是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边叫做格线．点A、B、C都是格点，请仅用一根无刻度直尺作图在网格图中完成下列画图，画图结果用实线表示（不要求说明理由，需保留必要的作图痕迹，写出结论）． (1)点是格点，在图（a）中作出一个以为腰的等腰，符合题意的点有___________个； (2)在图（b）中，求作一点，使且；并作出的高； (3)如图（c），边与格线交于点，则在边上作一点，使得． 8．已知，，平分，．    (1)如图1，求证： (2)如图2，与延长线相交于点，，求的度数 题型3 斜边上中线与其它知识的综合 ◆题型3 斜边上中线与其它知识的综合 题型模版 1. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 2. 利用斜边中点构造等腰三角形，结合全等、相似或中位线解题。 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）综合与实践 如图，在中，．以点为圆心，为半径画弧，交于点，连接．过点作的垂线，交于点． 观察这个图形，同学们纷纷提出自己的想法． (1)圆圆说：“．”你认为圆圆的说法正确？请说明理由． (2)方方说：“若，则．”请你证明结论． (3)小明说：“给出条件，就可以确定的度数．”请你直接写出的度数． 10．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）【探究发现】 （1）如图1，中，，，点为的中点，、分别是边、上的两点，若满足，，那么． ①的度数为________； ②线段、、之间满足的数量关系为________． 【应用类比】 （2）如图2，中，，，点为的中点，、分别是边、上的两点，若满足，试探究线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，点为的中点，、分别是直线、上的两点，若满足，，请求出的长． 11．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图1，等腰三角形和等腰三角形共顶点，，，连接、．利用所学知识解决下列问题： (1)若，求证：； (2)连接，当点在线段上时： ①如图2，若，则的度数为 ，线段与之间的数量关系是 ； ②如图3，若，为中边上的中线，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． 12．（专题06浙江省各地市期中考试试卷简单题压轴题选练-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（浙江专用））如图，在直角中，，将它沿着斜边上的中线折叠得到，交于点． (1)如图，若． ①求证：； ②连接，求的值． (2)如图，若是以为腰的等腰三角形，求的度数． 题型4 直角三角形两锐角互余 ◆题型4 直角三角形两锐角互余 题型模版 1. 直角三角形两锐角互余，利用这一性质进行角度计算与证明。 2. 结合同角（等角）的余角相等，寻找角之间的关系。 13．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）在中，，，直线经过点，且于点，于点． (1)当直线绕着点旋转到如图所示的位置时，求证： ①； ② (2)当直线绕着点旋转到如图所示的位置时， ①在图中找出一对全等三角形，并加以证明； ②直接写出、、三边的数量关系． 14．（25-26七年级下·浙江金华·阶段检测）如图，的角平分线、相交于，，且于，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 15．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，是的高线，是的角平分线， (1)求的度数； (2)请探究与的关系，并说明理由． 16．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图1，在中，，，在的延长线上取点D，以为斜边作等腰，交于点F，延长，交于点G． (1)求的度数． (2)当点B是的中点时，求证：． (3)取的中点H，连结，如图2，判断的形状，并说明理由． 题型5 等腰与直角三角形的综合问题 ◆题型5 等腰与直角三角形的综合问题 题型模版 1. 综合运用等腰三角形“等边对等角、三线合一”与直角三角形性质。 2. 注意分类讨论：直角顶点、腰与底边、动点位置等。 17．（25-26七年级下·辽宁锦州·期末）如图1，在四边形中，平分，． (1)求证: ； (2)如图2，过点C作交延长线于点E，延长到点 F，使 ，过点F作交延长线于点G，若． ①求的度数； ②取中点M，连接，求证： ． 18．（25-26七年级下·广东深圳·期末）在中，，点为上一点． (1)如图1，点为上一点，将沿折叠使点落在点处，如果是等边三角形，那么________； (2)在（1）的条件下，点为射线上一动点，以线段为边，在其左侧作等边． ①如图2，点在射线的下方，若，请求出的值； ②如图3，记射线与线段的交点为，连接，在点的运动过程中，当为等腰三角形时，请求出的度数． 19．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）【问题呈现】 如图，在中，，点在边上，且，是线段上的一个动点（不与点重合，且），在线段上截取，连接． 【问题发现】 (1)若点与点重合，请根据题意补全图1，线段与有怎样的数量关系？ 【拓展延伸】 (2)如图2，若点C不与点D重合，请证明． 20．（25-26七年级下·福建泉州·期末）在中，，， (1)平分，交于点，点为延长线上的一点． ①如图1，当点为线段上一点时，连接，若，则是________三角形； ②如图2，当点为线段的延长线上一点时，若，求证：； (2)如图3，在上取点，使得，连接，将沿翻折，点的对应点为，取的中点，连接，过点作，垂足为，交于点，连接， ①请补全图形； ②求证：． 21．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）【初步感知】 (1)如图①，在中，，，D是外一点，且于点D．数学活动课上，老师组织同学们展开了如下探究：过点B作，交的延长线于点E，可以构造全等三角形，则与的数量关系是_________________； 【问题探究】 (2)如图②，在中，，，点E在边AB上，于点D，若，，求的面积； 【问题解决】 (3)如图③，是某公园的一片玫瑰园，，，为了进一步满足市民游玩需求，现要对玫瑰园进行扩建，在小路的延长线上的点D处修建了一座观景塔，以A为直角顶点，线段为直角边向左侧作，，在小路与的交点处修建游客服务中心F，求小路与之间的数量关系．（观景塔及游客服务中心大小忽略不计）． 22．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）在中，，点D为上任意一点，连接． (1)如图1，当时，过点C的射线分别交，于点M，N，， ①判断与之间的数量关系，并说明理由； ②试说明射线是的平分线； (2)如图2，在（1）的条件下，过点B作，交射线于点Q，过点B作的平分线，交于点H，过点H作，交于点，试说明； (3)如图3，过点D作射线，交于F，以F为顶点在上方作，，连接交于点E，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 23．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）按要求解答下列问题： (1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，求证：，； (2)【类比解答】如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得_______； (3)【拓展延伸】如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论； (4)【实际应用】亚太经合组织（）第三十三次领导人非正式会议将于2026年11月18日~19日在深圳市福田区香蜜湖新金融中心举行．为建设会议配套景观广场，政府统一规划一块三角形土地，如图4，其中与香蜜湖路相邻．规划人员进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知米，米，面积为4200平方米，则划出的的面积是多少平方米？ 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 24．（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等腰三角形；③；④．其中，正确结论的个数有________． 25．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，平分交的延长线于点，平分交的延长线于点，与交于点，与互余，下列说法：①；②；③若，则；④若，则，正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 26．（25-26八年级下·四川成都·期末）已知：如图，为等边三角形，点 P、D分别在边的延长线上，连接，若．，则______     27．（25-26八年级上·浙江金华·期末）在中，，按如图所示作图．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 28．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，是的角平分线，，垂足为D，，则__________． 29．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在四边形中，，，，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为______． 30．如图、在中，，，，点D在线段上，以为边作等边三角形，点E和点A分别位于两侧，连接，．以下结论错误的是（    ） A． B． C． D．直线 31．（25-26七年级下·福建漳州·期末）将一张长方形纸片，按下列步骤进行折叠： 第一步：如图①，点在边上，沿折叠，使点落在点处； 第二步：如图②，沿折叠，使点落在延长线上的点处，折痕延长线交于点， 下列结论中一定正确的是__________． ①是等边三角形 ② ③垂直平分 ④ 32．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，在等边中，，射线交边于点，为射线上一点，以为边作等边，连接交射线于点． (1)当点在线段上时， 求证：．     求的度数． (2)当点不在线段上时，的度数是否发生改变？若不变，请说明理由；若改变，请求出此时的度数． (3)当时，请直接写出与的数量关系：_____． 33．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图1，在中，，，D是边上不与A，B重合的一个定点．于点O，交于点E，且，，的延长线相交于点M． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若N是的中点，求证：． 34．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·单元复习）如图，在等边三角形中，与的平分线相交于点O，且，． (1)求证：是等边三角形； (2)猜想线段，，三者有什么数量关系，并说明理由； (3)数学学习不但要能解决问题，还要善于提出问题．结合本题，在现有的图形上，请提出两个与“直角三角形”有关的问题（可以作辅助线，只要提出问题，不需要解答）． 35．按要求解题： (1)如图1，四边形中，，请你猜想线段、之和与线段的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，四边形中，，若点为四边形内一点，且，请你猜想线段、、之和与线段的数量关系，并证明你的结论． 36．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀古从军行里的一句诗，由此引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图，若点和点分别在直线的两侧，请作出示意图，在直线上找到点，使得有最小值，并说明作图依据：________； (2)如图，若点和点在直线的同侧，请在直线上作出点，使得有最小值； (3)如图，已知，点在内部，，在射线和上分别确定点，，使的周长最小，并求出周长的最小值．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短周长用实线） 37．（25-26七年级下·广东深圳·期末）定义：在平面内，沿着三角形其中一条短边翻折得到另一个与其全等的三角形，称这两个三角形互为“镜像三角形”，这条短边是镜像三角形的“镜像线”．如图1，与互为镜像三角形，为这对镜像三角形的镜像线． (1)如图2，在和中，，在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使和互为“镜像三角形”的条件有_________（填序号），①，②，③．这对“镜像三角形”的“镜像线”为_________． (2)如图3，和互为“镜像三角形”，是“镜像线”，以点为端点作射线，使，过点作分别交，于点，点，试判断和的数量关系，并说明理由． (3)如图4，在（2）的条件下，连接，若，延长交于点，当，且的面积与的面积之和为26，的面积为12时，求线段的长度． 38．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，与为等腰三角形，，，，为线段上一个动点，与相交于点． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，在延长线上取一点，当时，线段与有什么位置关系？并说明理由； (3)如图3，若，且的面积为，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $