专题03 定义与命题（题型专练）数学新教材浙教版八年级上册

专题03 定义与命题 （题型突破·举一反三） 题型01 定义的概念 题型02 画示意图 题型03 命题的概念 题型04 命题的构成 题型05 真命题与假命题 题型06 举反例 题型07 逆命题 题型08 根据给出的论断组命题并证明 题型09 定理 ▌题型01 定义的概念 一般地，能明确说明某一名称或术语的意义的句子，叫作该名称或术语的定义（definition）。 【典例1】下列语句中，属于定义的是（　　） A．两直线平行，内错角相等 B．三角形内角和为180° C．对顶角相等 D．数与字母的乘积叫作单项式 【分析】根据定义是对一个名称或术语的意义的规定解答即可． 【解答】解：∵A、B、C选项都是对已有几何图形性质的判断，属于性质定理，不符合题意； D选项是对单项式这个名称的意义给出的明确规定，属于定义，符合题意， 故选：D． 【变式1-1】（2025秋•梅县区期末）在下列句子中，是定义的是（　　） A．过一点画已知直线的垂线 B．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 C．作一个角等于已知角 D．a，b两条直线平行吗 【分析】定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述．选项B明确给出了直角三角形的定义，符合要求． 【解答】解：根据定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述可知： 选项B中有一个角是直角的三角形叫做直角三角形符合定义的特征； ∴选项B是定义，符合题意； 其他选项A、C为操作指令，选项D为疑问句，均不是定义．均不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】下列语句中，属于定义的是（　　） A．两个锐角的和一定大于90° B．两直线平行，内错角相等 C．两点之间线段最短 D．直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离 【分析】根据定义的概念对各个选项进行分析，从而得到答案． 【解答】解：A．两个锐角的和一定大于90°，属于命题，不是定义，故A选项不合题意； B．两直线平行，内错角相等，属于定理，不是定义，故B选项不合题意； C．两点之间线段最短，属于命题，不是定义，故C选项不合题意； D．直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，属于定义，故D选项符合题意； 故选：D． 【变式1-3】下列语句中，属于定义的是（　　） A．两点确定一条直线 B．同角的余角相等 C．组成三角形的三条线段叫三角形的边 D．对顶角相等 【分析】定义是描述概念或术语含义的语句，据此逐项判断即可． 【解答】解：A、两点确定一条直线，不是定义，不符合题意； B、同角的余角相等，不是定义，不符合题意； C、组成三角形的三条线段叫三角形的边，是定义，符合题意； D、对顶角相等，不是定义，不符合题意； 故选：C． ▌题型02 画示意图 先确定各概念的从属关系，再用圆圈嵌套表示层级关系 【典例1】下列“将三角形按边的相等关系分类”正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】将三角形按边的相等关系可以分为：不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形中包括等边三角形，据此即可解答． 【解答】解：等腰三角形中包含等边三角形，即A选项符合题意． 故选：A． 【变式1-1】设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形．下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据它们的概念：有一个角是直角的三角形是直角三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形；有一个角是直角且有两条边相等的三角形是等腰直角三角形． 根据概念就可找到它们之间的关系． 【解答】解：根据各类三角形的概念可知，C可以表示它们彼此之间的包含关系． 故选：C． 【变式1-2】用A表示等边三角形，B表示等腰三角形，C表示不等边三角形．则下列四个分类图中，能正确表示它们之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【分析】三条边均不相等的三角形是不等边三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形；根据概念就可找到它们之间的关系． 【解答】解：根据各类三角形的概念可知，B可以表示它们彼此之间的包含关系． 故选：B． 【变式1-3】（2025秋•滨江区期末）若用A表示有理数，B表示无理数，C表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据实数的分类即可求解． 【解答】解：若用A表示有理数，B表示无理数，C表示分数，则能正确表示它们之间关系的是． 故选：A． ▌题型03 命题的概念 1.判断某一件事情的语甸命题。 2.命题的定义包含两层含义： （1）命题必须是一个完整的句子，常为陈述句； （2）命题必须对某件事情作出肯定或否定的判断。 【典例1】下列语言叙述是命题的是（　　） A．《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军 B．你喜欢陇南吗？ C．赶紧写作业！ D．画一条端点为A的射线 【分析】命题是一个判断的语句，是对事物的某些情况作出肯定或者否定的回答，必须是一个完整的句子．据此逐一判断即可． 【解答】解：根据命题的概念是对事物的某些情况作出肯定或者否定的回答，必须是一个完整的句子逐项分析判断如下： A、《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军，对事件作出了判断，是命题，符合题意； B、“你喜欢陇南吗？”是疑问句，不是命题，不符合题意； C、“赶紧写作业！”是祈使句，不是命题，不符合题意； D、“画一条端点为A的射线”是指令，不是命题，不符合题意． 故选：A． 【变式1-1】下列语句是命题的是（　　） A．作一个角等于已知角 B．负数小于正数吗？ C．连接A，B两点 D．﹣1是一个负数 【分析】判断一件事情的语句叫做命题，由此即可判断． 【解答】解：A、作一个角等于已知角是作图指令，没有对一件事情作出判断，不是命题，故A不符合题意； B、负数小于正数吗？是疑问句，没有对一件事情作出判断，不是命题，故B不符合题意； C、连接A，B两点是作图指令，没有对一件事情作出判断，不是命题，故C不符合题意； D、﹣1是一个负数对﹣1的属性作出了明确判断，符合命题的定义，故D符合题意． 故选：D． 【变式1-2】下列语句是命题的是（　　） A．过点A作一条射线 B．连结AB，并延长至点C C．△ABC是锐角三角形吗 D．等角的补角相等 【分析】根据命题的概念判断即可． 【解答】解：A、过点A作一条射线，不是命题，不符合题意； B、连结AB，并延长至点C，不是命题，不符合题意； C、△ABC是锐角三角形吗，不是命题，不符合题意； D、等角的补角相等，是命题，符合题意； 故选：D． 【变式1-3】（2025秋•宝应县期末）下列语句不是命题的是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．作∠ABC的角平分线 C．若|a|＝|b|，则a＝b D．同角的余角相等 【答案】B 【分析】判断一件事情的语句，叫做命题． 【解答】解：A、C、D中的语句是命题，故A、C、D不符合题意； B、此语句不是命题，故B符合题意． 故选：B． ▌题型04 命题的构成 命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么” 后接的部分是结论。 （1）找条件（已知部分）； （2）找结论（推出部分）； （3）套句式。 【典例1】将“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是：　如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等　 ． 【分析】把命题的题设和结论，写成“如果…那么…”的形式即可． 【解答】解：根据命题与定理的相关知识，把命题的题设和结论，写成“如果…那么…”的形式为： 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等； 故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 【变式1-1】把命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式　如果两个角是对顶角，那么这两个角相等　 ． 【分析】根据把一个命题写成“如果…那么…”的形式，命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面解答即可． 【解答】解：把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 【变式1-2】“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是 　如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角　 ． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角． 【分析】根据逆命题定义把题设和结论互换得到逆命题． 【解答】解：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角． 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 【变式1-3】命题“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”的题设为：　两条直线都与第三条直线平行　 ． 【答案】两条直线都与第三条直线平行． 【分析】命题可改写为“如果…，那么…”的形式，“如果”引出的部分为命题的题设，“那么”引出的部分为命题的结论．据此确定该命题的题设即可． 【解答】解：∵该命题“如果”引出的部分为“两条直线都与第三条直线平行”， ∴题设为：两条直线都与第三条直线平行． 故答案为：两条直线都与第三条直线平行． ▌题型05 真命题与假命题 1．正确的命题叫做真命题。 2．要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和己学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）， 3．要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可。 【典例1】（2026春•锡山区期末）下列命题中的真命题是（　　） A．对顶角相等 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．两个锐角的和是钝角 D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直 【分析】根据相关知识点逐项判断即可． 【解答】解：A．对顶角相等，故本选项符合题意； B．两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项不符合题意； C．两个锐角的和可能是钝角、可能是锐角、也可能是直角，故本选项不符合题意； D．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，故本选项不符合题意． 故选：A． 【变式1-1】（2026春•两江新区期末）下列命题错误的是（　　） A．两直线平行，同旁内角相等 B．对顶角相等 C．两点之间，线段最短 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】根据相关知识点逐项判断即可． 【解答】解：A．两直线平行，同旁内角互补，原命题为假命题，故本选项符合题意； B．对顶角相等，原命题为真命题，故本选项不符合题意； C．两点之间，线段最短，原命题为真命题，故本选项不符合题意； D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，原命题为真命题，故本选项不符合题意． 故选：A． 【变式1-2】下列命题中真命题的个数是（　　） ①同位角相等； ②若a∥b，b∥c，则a∥c； ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④如果两条直线都与同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据相关知识点逐项判断即可． 【解答】解：①两直线平行，同位角相等，故原命题为假命题；②若a∥b，b∥c，则a∥c，故原命题为真命题；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题为假命题；④在同一平面内，如果两条直线都与同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行，故原命题为假命题；⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题为假命题． 故选：A． 【变式1-3】（2026春•宿城区期末）如图，线段AC，BD相交于点O，连接AD，BC，并延长AD至点E，∠BCA的平分线与∠BDE的平分线相交于点M．①若∠A＝2∠BCM，则AE∥BC；②若∠A＝∠B，则∠EDM+∠BCM＝90°；③若∠ADO＝∠BCO，则∠M﹣∠B＝90°；④若∠M＝2∠BDM，则AE∥MC．以上命题中是真命题的有（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【分析】根据平行线的性质判断①，设∠BCM＝∠MCA＝x，则∠A＝2x，根据三角形内角和定理和等量代换判断②；结合根据三角形内角和定理和等量代换判断③；结合角平分线定理和平行线的判定和性质判断④． 【解答】解：1．判断命题①，设∠BCM＝∠MCA＝x， ∵∠A＝2∠BCM， ∴∠A＝2x． ∵AE∥BC， ∴∠A＝∠BCA．而∠BCA＝2x，∠A＝2x，满足条件， 所以命题①是真命题． 2．判断命题②设∠BCM＝∠MCA＝x，则∠A＝2x， ∵∠A＝∠B， ∴∠B＝2x．设∠BDM＝∠MDE＝y．∠BOC＝180°﹣（∠B+∠BCO）＝180°﹣（2x+2x）＝180°﹣4x， ∠DOM ＝ 180°﹣（∠M+∠MDO）， ∵∠BOC＝∠DOM，且∠M ＝ 180°﹣（x+y），∠EDM+∠BCM＝y+x，∠A＝∠B， 在△AOD和△BOC中，∠ADO+∠A＝∠BCO+∠B，由于∠A＝∠B，∠ADO＝∠BCO， 所以∠EDM+∠BCM＝90°， 命题②是真命题． 3．判断命题③， 设∠BDM＝x，∠DCM＝y， ∵∠ADO＝∠BCD＝2∠OCM＝2y， ∴2x+2y＝180°， ∴x+y＝90°， 在△BDN中，∠DNC＝x+∠B， ∵∠M＝∠DNC+y＝x+y+∠B， ∴∠M＝90°+∠B， ∴∠M﹣∠B＝90°， 故③正确； 4．判断命题④，设∠BDM＝∠MDE ＝ y， ∵∠M＝2∠BDM， ∴∠M＝2y． 在△DCM中，∠MCA＝∠M+∠MDE， 设∠BCM＝∠MCA＝z，则z＝2y+y＝3y． ∵∠A＝2∠BCM， ∴∠A＝6y． 若AE∥CM，则∠A＝∠MCA，但∠A＝6y，∠MCA＝3y，不相等， 所以命题④是假命题． 综上，真命题有①②③， 故选：A． ▌题型06 举反例 满足条件，但不满足结论，只要找到一个这样的例子，命题就是假命题。 （1）先把命题写成：如果……，那么…… （2）抓住条件，想一个符合条件的例子 （3）看这个例子结论是否不成立 （4）写出来：反例：……，满足……，但不满足……，所以是假命题。 【典例1】（2026春•宝应县期末）对于命题“若a2＞b2，则a＞b．”下面四组关于a、b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　） A．a＝﹣4，b＝3 B．a＝4，b＝3 C．a＝4，b＝﹣3 D．a＝﹣3，b＝4 【分析】要说明命题“若a2＞b2，则a＞b”是假命题，只需找到满足条件a2＞b2，但不满足结论a＞b的a，b的值即可． 【解答】解：根据题意需找到满足条件a2＞b2，但不满足结论a＞b的a，b的值如下： 选项A：∵a＝﹣4，b＝3， ∴a2＝（﹣4）2＝16，b2＝32＝9，可得a2＞b2，满足命题条件，又a＝﹣4＜3＝b，不满足命题结论a＞b， ∴可以说明该命题是假命题； 选项B：a＝4，b＝3，满足a2＞b2，也满足a＞b，不能说明命题是假命题； 选项C：a＝4，b＝﹣3，满足a2＞b2，也满足a＞b，不能说明命题是假命题； 选项D：a＝﹣3，b＝4，a2＝9＜16＝b2，不满足命题条件，不能说明命题是假命题． 故选：A． 【变式1-1】对于命题“如果a＜1，那么a2＜1”能证明它是假命题的反例是（　　） A．a＝﹣2 B．a＝2 C． D．a＝0 【答案】A 【分析】根据实数的大小比较、实数的平方以及假命题的概念判断． 【解答】解：A、当a＝﹣2时，a＜1，而a2＞1， 说明命题“如果a＜1，那么a2＜1”是假命题，符合题意； B、当a＝2时，a＞1， 不能说明命题“如果a＜1，那么a2＜1”是假命题，不符合题意； C、当a时，a＜1，而a2＜1， 不能说明命题“如果a＜1，那么a2＜1”是假命题，不符合题意； D、当a＝0时，a＜1，而a2＜1， 不能说明命题“如果a＜1，那么a2＜1”是假命题，不符合题意； 故选：A． 【变式1-2】（2025秋•乾县校级期末）对于命题“若∠1+∠2＞90°，则∠1、∠2都大于45°”，能说明它是假命题的反例是（　　） A．∠1＝∠2＝45° B．∠1＝50°，∠2＝50° C．∠1＝46°，∠2＝40° D．∠1＝40°，∠2＝60° 【答案】D 【分析】反例需满足∠1+∠2＞90°且至少有一个角不大于45°． 【解答】解：根据假命题的反例证明逐项分析判断如下： A、∠1+∠2＝90°，不可以说明它是假命题，故选项不符合题意； B、∠1+∠2＞90°，且∠1、∠2都大于45°，不可以说明它是假命题，故选项不符合题意； C、∠1+∠2＜90°，不可以说明它是假命题，故选项不符合题意； D、∠1+∠2＞90°，且∠1＜45°，可以说明它是假命题，故选项符合题意． 故选：D． 【变式1-3】（2025秋•临海市期末）要说明命题“如果a＝2，那么a2＝4．”的逆命题是假命题，可以举反例为a＝﹣2　 ． 【答案】a＝﹣2． 【分析】根据实数的平方、假命题的概念解答． 【解答】解：命题“如果a＝2，那么a2＝4．”的逆命题是“如果a2＝4，那么a＝2”， 当a＝﹣2时，a2＝4， 说明命题“如果a2＝4，那么a＝2”是假命题， 故答案为：a＝﹣2． ▌题型07 逆命题 把一个原命题的条件和结论互换，得到的新命题，就是原命题的逆命题。 【典例1】（2026春•宿豫区期末）写出命题“如果a＞0，b＞0，那么a+b＞0”的逆命题：　如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0　 ． 【分析】把原命题的条件和结论互换就得到它的逆命题． 【解答】解：命题“如果a＞0，b＞0，那么a+b＞0”的逆命题是：如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0， 故答案为：如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0． 【变式1-1】（2025秋•盘龙区期末）下列命题，逆命题成立的是（　　） A．对顶角相等 B．等边三角形的三边都相等 C．若x＝y，则x2＝y2 D．全等三角形的对应角相等 【答案】B 【分析】根据逆命题的定义及真命题的判定作答即可． 【解答】解：A．逆命题：相等的角是对顶角，假命题，故本选项不符合题意； B．三边都相等的三角形都是等边三角形，真命题，故本选项符合题意； C．逆命题：若x2＝y2，则x＝y，假命题，故本选项不符合题意； D．逆命题：对应角相等的三角形是全等三角形，假命题，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式1-2】命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 　两个角相等三角形是等腰三角形　 ． 【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题． 【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”， 所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”． 【变式1-3】（2026春•鼓楼区校级期末）命题“同旁内角互补”的逆命题是　互补的角为同旁内角　 ． 【分析】交换原命题的题设与结论即可得到原命题的逆命题． 【解答】解：命题“同旁内角互补”的逆命题为：互补的角为同旁内角． 故答案为：互补的角为同旁内角． ▌题型08 根据给出的论断组命题并证明 （1）审题：拆解题干论断； （2）组命题：写成标准“已知→求证”格式； （3）找思路：从结论倒推； （4）写证明：规范书写。 【典例1】（2025春•句容市期末）如图，有下列三个条件：①DE∥BC；②∠1＝∠2；③∠B＝∠C． （1）若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； （2）选择你写的一个真命题写出证明过程． 【分析】（1）根据题意写出命题； （2）根据平行线的判定和性质逐一证明． 【解答】解：（1）一共能组成三个命题， ①如果DE∥BC，∠1＝∠2，那么∠B＝∠C； ②如果DE∥BC，∠B＝∠C，那么∠1＝∠2； ③如果∠1＝∠2，∠B＝∠C，那么DE∥BC； （2）如果DE∥BC，∠1＝∠2，那么∠B＝∠C，是真命题， 理由如下：∵DE∥BC， ∴∠1＝∠B，∠2＝∠C， ∵∠1＝∠2， ∴∠B＝∠C； 如果DE∥BC，∠B＝∠C，那么∠1＝∠2，是真命题， 理由如下：∵DE∥BC， ∴∠1＝∠B，∠2＝∠C， ∵∠B＝∠C， ∴∠1＝∠2； 如果∠1＝∠2，∠B＝∠C，那么DE∥BC，是真命题， 理由如下：∵∠B+∠C+∠BAC＝180°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC， ∵∠1+∠2+∠BAC＝180°， ∴∠1+∠2＝180°﹣∠BAC， ∴∠B+∠C＝∠1+∠2， ∵∠1＝∠2，∠B＝∠C， ∴∠B＝∠1， ∴DE∥BC． 【变式1-1】（2025秋•顺德区期末）如图，点E、F分别在线段AB、CD上（不含端点）．连接EC、BF，EC、BF分别交AD于点G、H．有四个信息：①∠A＝∠D，②∠B＝∠C，③AB∥CD，④EC∥BF．从中选择三个信息（两个作为条件，另一个作为结论），构造一个真命题． （1）你选择的条件是 　①②　 ，结论是 　④　 ；（填序号） （2）证明你构造的命题是真命题． 【分析】（1）根据题意即可得出答案； （2）根据内错角相等可得两直线平行，再根据平行线的性质可得∠B＝∠BFD，进而得出∠BFD＝∠C，最后根据同位角相等即可得出答案． 【解答】解：（1）条件为①②，结论为④． 故答案为：①②；④． （2）证明：∵∠A＝∠D， ∴AB∥CD， ∴∠B＝∠BFD， ∵∠B＝∠C， ∴∠BFD＝∠C， ∴EC∥BF． 【变式1-2】（2025秋•三原县期末）如图，点E、F分别在AB、CD上，连接CE、BF、AD，AD分别交CE、BF于点G、H．有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③AB∥CD． （1）请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题； （2）在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性． 【分析】根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，分三种情况根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明． 【解答】解：（1）命题1：若∠1＝∠2，∠B＝∠C，则AB∥CD． 命题2：若∠1＝∠2，AB∥CD，则∠B＝∠C． 命题3：若∠B＝∠C，AB∥CD，则∠1＝∠2． （2）第一种情况： 已知：∠1＝∠2，∠B＝∠C， 求证：AB∥CD． 证明：如图， ∵∠1＝∠3，∠1＝∠2， ∴∠3＝∠2， ∴EC∥BF， ∴∠AEC＝∠B， 又∵∠B＝∠C， ∴∠AEC＝∠C， ∴AB∥CD； 第二种情况： 已知：∠B＝∠C，AB∥CD， 求证：∠1＝∠2． 证明：如图， ∵AB∥CD ∴∠AEC＝∠C， ∵∠B＝∠C， ∴∠AEC＝∠B， ∴EC∥BF， ∴∠3＝∠2， ∵∠1＝∠3， ∴∠1＝∠2； 第三种情况： 已知：∠1＝∠2，AB∥CD， 求证：∠B＝∠C． 证明：如图， ∵∠1＝∠3，∠1＝∠2， ∴∠3＝∠2， ∴EC∥BF， ∴∠AEC＝∠B， ∵AB∥CD， ∴∠AEC＝∠C， ∴∠B＝∠C， 【变式1-3】如图，已知直线EF∥GH，给出下列信息： ①AC⊥BC； ②BC平分∠DCH； ③∠ACD＝∠DAC． 请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是　①②　 ，结论是　③　 ．（只要填写序号），并说明理由． 【分析】根据角平分线定义，平行线的性质，垂直定义逐一求解即可． 【解答】解：条件：①②，结论：③，理由如下： ∵BC平分∠DCH， ∴∠BCD＝∠BCH， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°，即∠ACD+∠BCD＝90°， ∵∠ACG+∠ACD+∠BCD+∠BCH＝180°， ∴∠ACG+∠BCH＝90°， ∴∠ACD＝∠ACG， ∵EF∥GH， ∴∠ACG＝∠DAC， ∴∠ACD＝∠DAC， 故答案为：①②，③． ▌题型09 定理 如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判 断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理。 【典例1】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E． （1）若∠ACB＝75°，∠B＝45°，求∠E的度数； （2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠B、∠ACB与∠E的数量关系，并证明． 【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠BAD的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADE的度数，进一步求得∠E的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【解答】解：（1）根据三角形的内角和定理可得：∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝60°， ∵AD平分∠BAC， ∴， ∵PE⊥AD交BC的延长线于点E， ∴∠DPE＝90°， ∵∠ADE＝∠B+∠BAD＝75°， ∴∠E＝90°﹣∠ADE＝15°． （2）； 证明：由条件可知： ， ∴， ∵PE⊥AD交BC的延长线于点E， ∴∠DPE＝90°， ∴， 即． 【变式1-1】如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点E，若∠B＝70°，∠C＝30°，DE是△AEC的高，则∠AED＝　50　 °． 【答案】50． 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由角平分线的定义求出∠DAE的度数，由DE是△AEC的高即可得出∠ADE＝90°，进而可得出结论． 【解答】解：∵∠B＝70°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣30°＝80°， ∵∠BAC的平分线交BC于点E， ∴∠DAE∠BAC＝40°， ∵DE是△AEC的高， ∴∠ADE＝90°， ∴∠AED＝90°﹣∠DAE＝90°﹣40°＝50°． 故答案为：50． 【变式1-2】（2025秋•安康期末）如图，在△ABC中，BE是△ABC的角平分线，点D在边AB上（点D不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若∠ABC＝62°，CD是高，求∠BOC的度数； （2）若∠A＝80°，CD是角平分线，求∠BOC的度数． 【分析】（1）根据三角形的角平分线的定义求出∠ABE的度数，再根据三角形的外角定理即可求解； （2）根据三角形的角平分线的定义得到，再根据三角形的内角和定理得到∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）即可求解． 【解答】解：（1）在△ABC中，BE为角平分线，∠ABC＝62°， ∴（角平分线的定义）， ∵CD为△ABC高， ∴∠BDC＝90°， ∴∠BOC＝∠BDC+∠ABE＝90°+31°＝121°， 则∠BOC的度数为121°； （2）∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣80°＝100°， 在△ABC中，BE为角平分线，CD为角平分线， ∴（角平分线的定义）， ∴， 在△BCO中，∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝180°﹣50°＝130°． 【变式1-3】（2025秋•梁山县期末）如图，CD是△ABC的角平分线，E是CD的中点，过点E作EF⊥AB于点F，连接BE． （1）若∠A＝36°，∠ABC＝66°，求∠DEF的度数； （2）若BD＝8，EF＝6，求△BCE的面积． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理及角平分线的定义求出∠ACD，进而求出∠CDB，利用垂直的定义进行计算即可解答； （2）根据三角形的面积公式进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵CD是△ABC的角平分线， ∴， ∵∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣36°﹣66°＝78°， ∴， ∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝36°+39°＝75°， ∵EF⊥AB， ∴∠EFD＝90°， ∴∠DEF＝90°﹣∠CDB＝90°﹣75°＝15°； （2）∵BD＝8，EF＝6，EF⊥AB， ∴， ∵E是CD的中点， ∴CE＝DE， ∵△EDB的边DE上的高与△BCE的边CE上的高相同， ∴S△BCE＝S△EDB＝24． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 定义与命题 （题型突破·举一反三） 题型01 定义的概念 题型02 画示意图 题型03 命题的概念 题型04 命题的构成 题型05 真命题与假命题 题型06 举反例 题型07 逆命题 题型08 根据给出的论断组命题并证明 题型09 定理 ▌题型01 定义的概念 一般地，能明确说明某一名称或术语的意义的句子，叫作该名称或术语的定义（definition）。 【典例1】下列语句中，属于定义的是（　　） A．两直线平行，内错角相等 B．三角形内角和为180° C．对顶角相等 D．数与字母的乘积叫作单项式 【变式1-1】（2025秋•梅县区期末）在下列句子中，是定义的是（　　） A．过一点画已知直线的垂线 B．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 C．作一个角等于已知角 D．a，b两条直线平行吗 【变式1-2】下列语句中，属于定义的是（　　） A．两个锐角的和一定大于90° B．两直线平行，内错角相等 C．两点之间线段最短 D．直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离 【变式1-3】下列语句中，属于定义的是（　　） A．两点确定一条直线 B．同角的余角相等 C．组成三角形的三条线段叫三角形的边 D．对顶角相等 ▌题型02 画示意图 先确定各概念的从属关系，再用圆圈嵌套表示层级关系 【典例1】下列“将三角形按边的相等关系分类”正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形．下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】用A表示等边三角形，B表示等腰三角形，C表示不等边三角形．则下列四个分类图中，能正确表示它们之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025秋•滨江区期末）若用A表示有理数，B表示无理数，C表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（　　） A． B． C． D． ▌题型03 命题的概念 1.判断某一件事情的语甸命题。 2.命题的定义包含两层含义： （1）命题必须是一个完整的句子，常为陈述句； （2）命题必须对某件事情作出肯定或否定的判断。 【典例1】下列语言叙述是命题的是（　　） A．《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军 B．你喜欢陇南吗？ C．赶紧写作业！ D．画一条端点为A的射线 【变式1-1】下列语句是命题的是（　　） A．作一个角等于已知角 B．负数小于正数吗？ C．连接A，B两点 D．﹣1是一个负数 【变式1-2】下列语句是命题的是（　　） A．过点A作一条射线 B．连结AB，并延长至点C C．△ABC是锐角三角形吗 D．等角的补角相等 【变式1-3】（2025秋•宝应县期末）下列语句不是命题的是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．作∠ABC的角平分线 C．若|a|＝|b|，则a＝b D．同角的余角相等 ▌题型04 命题的构成 命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么” 后接的部分是结论。 （1）找条件（已知部分）； （2）找结论（推出部分）； （3）套句式。 【典例1】将“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是：　 　 ． 【变式1-1】把命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式　 　． 【变式1-2】“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是 　 　 ． 【变式1-3】命题“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”的题设为：　　 ． ▌题型05 真命题与假命题 1．正确的命题叫做真命题。 2．要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和己学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）， 3．要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可。 【典例1】（2026春•锡山区期末）下列命题中的真命题是（　　） A．对顶角相等 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．两个锐角的和是钝角 D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直 【变式1-1】（2026春•两江新区期末）下列命题错误的是（　　） A．两直线平行，同旁内角相等 B．对顶角相等 C．两点之间，线段最短 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【变式1-2】下列命题中真命题的个数是（　　） ①同位角相等； ②若a∥b，b∥c，则a∥c； ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④如果两条直线都与同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-3】（2026春•宿城区期末）如图，线段AC，BD相交于点O，连接AD，BC，并延长AD至点E，∠BCA的平分线与∠BDE的平分线相交于点M．①若∠A＝2∠BCM，则AE∥BC；②若∠A＝∠B，则∠EDM+∠BCM＝90°；③若∠ADO＝∠BCO，则∠M﹣∠B＝90°；④若∠M＝2∠BDM，则AE∥MC．以上命题中是真命题的有（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ ▌题型06 举反例 满足条件，但不满足结论，只要找到一个这样的例子，命题就是假命题。 （1）先把命题写成：如果……，那么…… （2）抓住条件，想一个符合条件的例子 （3）看这个例子结论是否不成立 （4）写出来：反例：……，满足……，但不满足……，所以是假命题。 【典例1】（2026春•宝应县期末）对于命题“若a2＞b2，则a＞b．”下面四组关于a、b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　） A．a＝﹣4，b＝3 B．a＝4，b＝3 C．a＝4，b＝﹣3 D．a＝﹣3，b＝4 【变式1-1】对于命题“如果a＜1，那么a2＜1”能证明它是假命题的反例是（　　） A．a＝﹣2 B．a＝2 C． D．a＝0 【变式1-2】（2025秋•乾县校级期末）对于命题“若∠1+∠2＞90°，则∠1、∠2都大于45°”，能说明它是假命题的反例是（　　） A．∠1＝∠2＝45° B．∠1＝50°，∠2＝50° C．∠1＝46°，∠2＝40° D．∠1＝40°，∠2＝60° 【变式1-3】（2025秋•临海市期末）要说明命题“如果a＝2，那么a2＝4．”的逆命题是假命题，可以举反例为　 ． ▌题型07 逆命题 把一个原命题的条件和结论互换，得到的新命题，就是原命题的逆命题。 【典例1】（2026春•宿豫区期末）写出命题“如果a＞0，b＞0，那么a+b＞0”的逆命题：　 ． 【变式1-1】（2025秋•盘龙区期末）下列命题，逆命题成立的是（　　） A．对顶角相等 B．等边三角形的三边都相等 C．若x＝y，则x2＝y2 D．全等三角形的对应角相等 【变式1-2】命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 　 ． 【变式1-3】（2026春•鼓楼区校级期末）命题“同旁内角互补”的逆命题是　 ． ▌题型08 根据给出的论断组命题并证明 （1）审题：拆解题干论断； （2）组命题：写成标准“已知→求证”格式； （3）找思路：从结论倒推； （4）写证明：规范书写。 【典例1】（2025春•句容市期末）如图，有下列三个条件：①DE∥BC；②∠1＝∠2；③∠B＝∠C． （1）若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； （2）选择你写的一个真命题写出证明过程． 【变式1-1】（2025秋•顺德区期末）如图，点E、F分别在线段AB、CD上（不含端点）．连接EC、BF，EC、BF分别交AD于点G、H．有四个信息：①∠A＝∠D，②∠B＝∠C，③AB∥CD，④EC∥BF．从中选择三个信息（两个作为条件，另一个作为结论），构造一个真命题． （1）你选择的条件是 　 ，结论是 　 ；（填序号） （2）证明你构造的命题是真命题． 【变式1-2】（2025秋•三原县期末）如图，点E、F分别在AB、CD上，连接CE、BF、AD，AD分别交CE、BF于点G、H．有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③AB∥CD． （1）请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题； （2）在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性． 【变式1-3】如图，已知直线EF∥GH，给出下列信息： ①AC⊥BC； ②BC平分∠DCH； ③∠ACD＝∠DAC． 请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是　 ，结论是　 ．（只要填写序号），并说明理由． ▌题型09 定理 如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判 断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理。 【典例1】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E． （1）若∠ACB＝75°，∠B＝45°，求∠E的度数； （2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠B、∠ACB与∠E的数量关系，并证明． 【变式1-1】如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点E，若∠B＝70°，∠C＝30°，DE是△AEC的高，则∠AED＝　　 °． 【变式1-2】（2025秋•安康期末）如图，在△ABC中，BE是△ABC的角平分线，点D在边AB上（点D不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若∠ABC＝62°，CD是高，求∠BOC的度数； （2）若∠A＝80°，CD是角平分线，求∠BOC的度数． 【变式1-3】（2025秋•梁山县期末）如图，CD是△ABC的角平分线，E是CD的中点，过点E作EF⊥AB于点F，连接BE． （1）若∠A＝36°，∠ABC＝66°，求∠DEF的度数； （2）若BD＝8，EF＝6，求△BCE的面积． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 定义与命题 （题型突破·举一反三） ▌题型01 定义的概念 【典例1】D． 【变式1-1】B． 【变式1-2】D． 【变式1-3】C． ▌题型02 画示意图 【典例1】A． 【变式1-1】C． 【变式1-2】B． 【变式1-3】A． ▌题型03 命题的概念 【典例1】A． 【变式1-1】D． 【变式1-2】D． 【变式1-3】B． ▌题型04 命题的构成 【典例1】如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 【变式1-1】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 【变式1-2】如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 【变式1-3】两条直线都与第三条直线平行． ▌题型05 真命题与假命题 【典例1】A． 【变式1-1】A． 【变式1-2】A． 【变式1-3】A． ▌题型06 举反例 【典例1】A． 【变式1-1】A． 【变式1-2】D． 【变式1-3】a＝﹣2． ▌题型07 逆命题 【典例1】如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0． 【变式1-1】B． 【变式1-2】两个角相等三角形是等腰三角形． 【变式1-3】互补的角为同旁内角． ▌题型08 根据给出的论断组命题并证明 【典例1】 【解答】解：（1）一共能组成三个命题， ①如果DE∥BC，∠1＝∠2，那么∠B＝∠C； ②如果DE∥BC，∠B＝∠C，那么∠1＝∠2； ③如果∠1＝∠2，∠B＝∠C，那么DE∥BC； （2）如果DE∥BC，∠1＝∠2，那么∠B＝∠C，是真命题， 理由如下：∵DE∥BC， ∴∠1＝∠B，∠2＝∠C， ∵∠1＝∠2， ∴∠B＝∠C； 如果DE∥BC，∠B＝∠C，那么∠1＝∠2，是真命题， 理由如下：∵DE∥BC， ∴∠1＝∠B，∠2＝∠C， ∵∠B＝∠C， ∴∠1＝∠2； 如果∠1＝∠2，∠B＝∠C，那么DE∥BC，是真命题， 理由如下：∵∠B+∠C+∠BAC＝180°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC， ∵∠1+∠2+∠BAC＝180°， ∴∠1+∠2＝180°﹣∠BAC， ∴∠B+∠C＝∠1+∠2， ∵∠1＝∠2，∠B＝∠C， ∴∠B＝∠1， ∴DE∥BC． 【变式1-1】 【解答】解：（1）条件为①②，结论为④． 故答案为：①②；④． （2）证明：∵∠A＝∠D， ∴AB∥CD， ∴∠B＝∠BFD， ∵∠B＝∠C， ∴∠BFD＝∠C， ∴EC∥BF． 【变式1-2】 【解答】解：（1）命题1：若∠1＝∠2，∠B＝∠C，则AB∥CD． 命题2：若∠1＝∠2，AB∥CD，则∠B＝∠C． 命题3：若∠B＝∠C，AB∥CD，则∠1＝∠2． （2）第一种情况： 已知：∠1＝∠2，∠B＝∠C， 求证：AB∥CD． 证明：如图， ∵∠1＝∠3，∠1＝∠2， ∴∠3＝∠2， ∴EC∥BF， ∴∠AEC＝∠B， 又∵∠B＝∠C， ∴∠AEC＝∠C， ∴AB∥CD； 第二种情况： 已知：∠B＝∠C，AB∥CD， 求证：∠1＝∠2． 证明：如图， ∵AB∥CD ∴∠AEC＝∠C， ∵∠B＝∠C， ∴∠AEC＝∠B， ∴EC∥BF， ∴∠3＝∠2， ∵∠1＝∠3， ∴∠1＝∠2； 第三种情况： 已知：∠1＝∠2，AB∥CD， 求证：∠B＝∠C． 证明：如图， ∵∠1＝∠3，∠1＝∠2， ∴∠3＝∠2， ∴EC∥BF， ∴∠AEC＝∠B， ∵AB∥CD， ∴∠AEC＝∠C， ∴∠B＝∠C， 【变式1-3】 【解答】解：条件：①②，结论：③，理由如下： ∵BC平分∠DCH， ∴∠BCD＝∠BCH， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°，即∠ACD+∠BCD＝90°， ∵∠ACG+∠ACD+∠BCD+∠BCH＝180°， ∴∠ACG+∠BCH＝90°， ∴∠ACD＝∠ACG， ∵EF∥GH， ∴∠ACG＝∠DAC， ∴∠ACD＝∠DAC， 故答案为：①②，③． ▌题型09 定理 【典例1】 【解答】解：（1）根据三角形的内角和定理可得：∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝60°， ∵AD平分∠BAC， ∴， ∵PE⊥AD交BC的延长线于点E， ∴∠DPE＝90°， ∵∠ADE＝∠B+∠BAD＝75°， ∴∠E＝90°﹣∠ADE＝15°． （2）； 证明：由条件可知： ， ∴， ∵PE⊥AD交BC的延长线于点E， ∴∠DPE＝90°， ∴， 即． 【变式1-1】50． 【变式1-2】 【解答】解：（1）在△ABC中，BE为角平分线，∠ABC＝62°， ∴（角平分线的定义）， ∵CD为△ABC高， ∴∠BDC＝90°， ∴∠BOC＝∠BDC+∠ABE＝90°+31°＝121°， 则∠BOC的度数为121°； （2）∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣80°＝100°， 在△ABC中，BE为角平分线，CD为角平分线， ∴（角平分线的定义）， ∴， 在△BCO中，∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝180°﹣50°＝130°． 【变式1-3】 【解答】解：（1）∵CD是△ABC的角平分线， ∴， ∵∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣36°﹣66°＝78°， ∴， ∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝36°+39°＝75°， ∵EF⊥AB， ∴∠EFD＝90°， ∴∠DEF＝90°﹣∠CDB＝90°﹣75°＝15°； （2）∵BD＝8，EF＝6，EF⊥AB， ∴， ∵E是CD的中点， ∴CE＝DE， ∵△EDB的边DE上的高与△BCE的边CE上的高相同， ∴S△BCE＝S△EDB＝24． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $