1.2 定义﹑命题与证明《知识解读·题型专练》-2026-2027学年浙教版八年级数学上册

本讲义聚焦“定义、命题与证明”核心知识点，系统梳理定义的描述规定、命题的题设与结论组成及“如果…那么…”表达形式，真/假命题的证明与反例判断，证明的逻辑推理过程，以及三角形内角和定理的证明与外角性质，构建从概念理解到逻辑应用的学习支架。 资料通过分层题型设计（如举反例判断假命题、逻辑推理分析）培养推理意识，多种三角形内角和证明方法渗透转化思想发展几何直观。课中助力教师系统授课，课后随堂检测帮助学生查漏补缺，提升用数学语言表达和解决问题的能力。

1.2 定义﹑命题与证明（知识解读） 【浙教版2024】 题型归纳 题型 1··判断是否是命题) 2 题型 2·写出命题的题设与结论! 3 题型 3··判断命题真假) 4 题型 4··举例说明假(真)命题 5 题型 5··举反例】 6 题型 6··逻辑推理与论证) 8 题型 7·三角形内角和定理的证明 10 题型 8·三角形的外角的定义及性质 15 知识点1 定义与命题 1．一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义． 2．判断一件事情的语句叫做命题． 3．命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 4．命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 知识点2 真命题和假命题 1．正确的命题叫做真命题． 2．要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）． 3．要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可． 知识点3 证明 1.从条件出发，用定义、基本事实、定理一步步推出结论 2.作用：严谨、可靠、不依赖观察 / 测量 题型 1··判断是否是命题) 【例1】下列语言叙述是命题的是（ ） A．2026年“全到莆田过大年”是莆田市重点打造的春节文旅品牌． B．你喜欢吃枇杷吗？ C．赶紧写作业！ D．画一条端点为A的射线 【答案】A 【详解】解：∵选项A是对事件作出明确判断的陈述语句，∴A是命题； ∵选项B是疑问句，未对事情作出判断，∴B不是命题； ∵选项C是祈使句，未对事情作出判断，∴C不是命题； ∵选项D是操作指令，未对事情作出判断，∴D不是命题． 【变式1-1】下列语句是命题的是（    ） A．过点A作一条射线 B．连接，并延长至点C C．是锐角三角形吗 D．等角的补角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题的定义，解题的关键是理解命题是能够判断真假的陈述句；根据命题的定义逐一分析各选项，判断其是否为可以判断真假的陈述句，从而确定正确选项． 【详解】解：A、“过点A作一条射线”是作图指令，不是判断真假的陈述句，不是命题，此选项不符合题意； B、“连接，并延长至点C”是作图指令，不是判断真假的陈述句，不是命题，此选项不符合题意； C、“是锐角三角形吗”是疑问句，不是判断真假的陈述句，不是命题，此选项不符合题意； D、“等角的补角相等”是可以判断真假的陈述句，是命题，此选项符合题意． 故选：D． 【变式1-2】下列句子是命题的是（    ） A．正数大于一切负数吗 B．作一条直线和已知直线垂直 C．将27开立方 D．三角形任何两角之和大于第三角 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题的定义，熟练掌握命题是能够判断真假的陈述句这一核心特征是解题的关键．根据命题的定义（能够判断真假的陈述句），逐一判断各选项是否为命题，从而选出符合条件的选项． 【详解】解：命题是可以判断真假的陈述句， A选项为疑问句，不符合命题的定义； B选项为祈使句，无法判断真假，不符合命题的定义； C选项为祈使句，无法判断真假，不符合命题的定义； D选项是可判断事物的陈述句，符合命题的定义； 故选：D． 【变式1-3】下列语句不是命题的是（    ）． A．同位角相等，两直线平行 B．作的角平分线 C．若，则 D．同角的余角相等 【答案】B 【分析】本题考查命题的概念，熟练掌握相关知识是关键． 判断一件事情的语句叫做命题，命题需是可判断真假的陈述句，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解： A、是可判断真假的陈述句，属于命题； B、是作图操作指令，不是判断事情的语句，无法判断真假，不属于命题； C、是可判断真假的陈述句，属于命题； D、是可判断真假的陈述句，属于命题． 故选：B． 题型 2·写出命题的题设与结论! 【例2】把命题“邻补角相等”改写成“如果…那么…”的形式：______． 【答案】如果两个角是邻补角，那么这两个角相等 【详解】解：命题“邻补角相等”的题设为两个角是邻补角，结论为这两个角相等， 因此改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角是邻补角，那么这两个角相等. 【变式2-1】命题：“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”．请写出这个命题的题设是____． 【答案】两条平行线被第三条直线所截 【分析】命题的一般叙述形式为“如果……那么……”，其中“如果”所引出的部分是题设，“那么”所引出的部分是结论． 【详解】解：命题“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”可改写为“如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等”，因此这个命题的题设为两条平行线被第三条直线所截． 【变式2-2】命题“对顶角相等”的条件是_______，结论是______． 【答案】 两个角是对顶角 这两个角相等 【分析】根据命题的概念，命题可改写为“如果…那么…”的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论，据此拆分即可得到结果． 【详解】解：命题“对顶角相等”可改写为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．其中条件是两个角是对顶角，结论是这两个角相等． 【变式2-3】把命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为________． 【答案】如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等． 【分析】先找出该命题的条件与结论，再将条件放在“如果”之后，结论放在“那么”之后即可完成改写． 【详解】解：命题“等角的余角相等”中，题设为两个角相等，结论为这两个角的余角相等，因此改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等． 题型 3··判断命题真假) 【例3】已知命题“如果，那么”，则该命题是______命题．（填“真”或“假”） 【答案】 假 【分析】是求出满足的所有的值，判断结论是否一定成立，即可判断命题的真假． 【详解】解：根据平方根的定义，若，则或． 因此当条件成立时，结论不一定成立， 所以该命题是假命题． 【变式3-1】命题“如果，那么”是_______（填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【详解】解：当，时，满足条件， 此时，，可得，不满足命题的结论， 因此该命题是假命题． 【变式3-2】命题“等角的补角相等”是一个_______________（填“真命题”或“假命题”）． 【答案】真命题 【分析】根据补角的性质判断命题的真假即可． 【详解】解：设这两个角分别为和，且； 根据等式的性质可得，即等角的补角相等， 故原命题是真命题． 【变式3-3】命题“若，则”是______命题（填“真”或“假”）． 【答案】 假 【分析】根据命题真假的判定规则，若存在满足题设条件但不满足结论的实例，即可判定该命题为假命题．只需举出反例即可完成判断． 【详解】解：当时，满足条件，此时，不满足结论， 因此原命题是假命题． 题型 4··举例说明假(真)命题 【例4】能说明命题“若，则”是假命题的一组实数 ， 的值为____________，____________． 【答案】 （答案不唯一） 1（答案不唯一） 【详解】解：取，满足，但， 故能说明该命题是假命题．（答案不唯一，满足 且即可） 【变式4-1】能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为________，________． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】只需找到满足，但不满足的一组实数即可． 【详解】解：当，时，满足条件， 此时，，可得，不满足， 因此，可以说明该命题是假命题． 【变式4-2】要说明命题“若，则”是假命题，请举出一个反例： ________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】只需找出满足题设，但不满足结论的的值即可解题． 【详解】解： 当时，，但不满足，因此可作为该假命题的反例． 故答案为（答案不唯一）． 【变式4-3】用一组a，b，c的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是a＝____，b＝____，c＝____． 【答案】 2 1 （答案不唯一） 【分析】本题主要考查了假命题，举反例，弄清题意是解题的关键； 假设a，b为正数，c为负数，可知该命题是假命题． 【详解】解：当时，，则， 所以“如果，那么”是假命题． 故答案为：（答案不唯一）． 题型 5··举反例】 【例5】如图，在中，、相交于点，平分．可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要说明命题“相等的角是对顶角”是假命题，需要举出一个反例，即找到两个角相等，但它们不是对顶角；根据角平分线的定义可得，这两个角相等但不是对顶角，符合反例的要求． 【详解】解：∵平分， ∴； 又∵与有公共边，它们不是对顶角， ∴可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例； 对于B选项，与是对顶角，不能作为反例； 对于A、C选项，角不相等，不满足命题的题设． 【变式5-1】对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（     ） A．， B． C．， D．， 【答案】B 【分析】能说明原命题是假命题的反例，需要满足原命题的条件，但不满足原命题的结论，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，且，不可以说明原命题是假命题，故此选项不符合题意； B、∵， ∴，且，可以说明原命题是假命题，故此选项符合题意； C、∵，， ∴，不满足，不可以说明原命题是假命题，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，不满足，不可以说明原命题是假命题，故此选项不符合题意． 【变式5-2】下列能说明命题“若，则”是假命题的一组反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】要说明命题“若，则”是假命题，只需找到满足条件，但不满足结论的反例，据此对各选项判断即可． 【详解】解：∵反例需要满足原命题条件，不满足原命题结论， 对各选项逐一判断： 选项A，，满足，且，满足结论，不能作为反例． 选项B，，，不满足条件，不能作为反例， 选项C，，满足即，计算得，，可得，不满足原命题结论，可作为反例， 选项D，，，不满足条件，不能作为反例． 【变式5-3】能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是（     ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是一组相等的角，但不是对顶角，能作为一个反例； B、是一组相等的角，也是对顶角，不能作为一个反例； C、不是一组相等的角，不能作为一个反例； D、不是一组相等的角，不能作为一个反例． 题型 6··逻辑推理与论证) 【例6】，，，，，六个足球队进行单循环赛（每两队之间恰好只比赛一场），当比赛进行到某一天时，统计出，，，，五队已分别比赛了5，4，3，2，1场球，由此可知，队比赛场数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查单循环赛制问题，利用单循环赛每队最多比赛5场的规则，从比赛场次最多的A出发逐步推理，结合各队已知场次推出F的比赛场数． 【详解】解：∵六个队进行单循环赛，每个队最多和其余5队各赛1场，即每个队最多比赛5场， ∵A已比赛5场， ∴A与B，C，D，E，F都已比赛过； ∵E仅比赛1场， ∴E只和A比赛过，未与B，C，D，F比赛； ∵B已比赛4场，B已和A比赛，未和E比赛， ∴B与A，C，D，F都已比赛过，刚好满足4场； ∵D已比赛2场，D已和A、B比赛过，刚好满足2场，因此D未和C，E，F比赛； ∵C已比赛3场，C已和A，B比赛，未和E，D比赛， ∴C只能和F比赛，满足3场要求； 统计F的比赛场次：F分别和A，B，C各赛1场，共3场， 因此F队比赛场数是3，选B． 【变式6-1】甲、乙、丙、丁四人商量周末出游．甲说：“乙去，我就肯定去．”乙说：“丙去，我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去．”以下结论可能正确的是（   ） A．甲一个人去了 B．乙、丙两个人去了 C．甲、丙、丁三个人去了 D．四个人都去了 【答案】C 【分析】先根据四人的表述推出确定结论，再逐一排除错误选项，验证得到正确结果． 【详解】解：∵丙说：“无论丁去不去，我都去．” ∴丙一定去． ∵乙说“丙去，我就不去”，丙去， ∴乙一定不去， A选项，甲一个人去，与丙一定去矛盾，错误，不符合题意． B选项，乙丙两个人去，与丙去则乙不去矛盾，错误，不符合题意． D选项，四个人都去，与乙一定不去矛盾，错误，不符合题意． C选项，甲丙丁三个人去：符合丙去乙不去的结论，甲的表述为“乙去我就肯定去”，乙不去不影响甲去，丁的表述为“甲乙中至少有一人去，我就去”，甲去满足条件，丁去符合要求，所有条件均成立，结论正确，符合题意． 【变式6-2】小华和小益进行了十次剪刀石头布的对决，已知：①小华出了6次石头，1次剪刀，3次布；②小益出了4次石头，3次剪刀，3次布；③10次对决中没有平局；④你不知道他们的出拳顺序，则这十次对决中小华赢了（   ）次． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查推理论证，需根据无平局的规则，结合双方出拳次数对应分析赢的情况． 【详解】解：∵10次对决无平局， ∴小华出石头（6次）时，小益只能出剪刀或布（小益共3次剪刀、3次布，总数6次，刚好对应）， ∵石头赢剪刀， ∴这6局中小华赢了3次， 又∵小华剩余1次剪刀、3次布，对应小益的4次石头（）， ∵布赢石头， ∴这4局中小华赢了3次， ∴小华共赢了次， 故选：C． 【变式6-3】甲、乙、丙、丁、戊、己是六名嫌疑犯，审讯他们时，他们的供词如下： 甲：“乙、戊作案了”； 乙：“甲、丁作案了”； 丙：“乙、己作案了”； 丁：“甲、丙作案了”； 戊：“甲、己作案了”． 已知案件是由两人共同作案的，这些供词中有一人是假话，其余四人都是一半真一半假．则作案的两人是（   ） A．甲、丙 B．乙、戊 C．丁、己 D．甲、戊 【答案】D 【分析】本题考查了推理与论证，合理的分析与推理排除是解题关键．根据证词中各人出现次数，判断出只能是甲与丙或甲与丁或甲与戊或乙与己合伙作案，再逐一判断，最终确定答案． 【详解】解：根据条件，5份供词中一份假的，其余都是一真一假，且这4份供词都有一个罪犯的名字． 两个罪犯的名字在五份供词中一共出现了四次． 在供词中，甲出现了3次，乙出现了2次，丙出现了1次，丁出现了1次，戊出现了1次，己出现了2次， 因此只能是甲与丙或甲与丁或甲与戊或乙与己合伙作案， 当甲与丙合伙作案时，则丁的供词全对，与已知矛盾； 当甲与丁合伙作案时，则乙的供词全对，与已知矛盾； 当乙与己合伙作案时，则丙的供词全对，与已知矛盾； 当甲与戊为作案人时，丙的供词为全假，甲、乙、丁、戊的供词均为一真一假，符合题意． 只能是甲与戊合伙作案． 故选：D． 题型 7·三角形内角和定理的证明 【例7】【阅读材料】为了证明“三角形的内角和是”，老师给出了如图所示的四种作辅助线的方法． 【回答问题】 (1)图①，②在证明三角形内角和的过程中，应用的数学思想是_________． A．转化思想    B．整体思想    C．方程思想    D．数形结合思想 (2)请选用图③或图④证明三角形的内角和为． 【答案】(1)A (2)选用③证明三角形的内角和为，理由如下： ∵，， ∴，，，， ∴， 由平角的性质可得，， ∴，即三角形的内角和为． 选用④证明三角形的内角和为，理由如下： 如图所示，延长，在延长线上取一点， ∵， ∴，． 又， ∴， 即三角形的内角和为． 【分析】（1）证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角． （2）选用③证明三角形的内角和为，根据平行线的性质得到，，，，得到，再根据平角的性质即可求解； 选用④证明三角形的内角和为，延长，在延长线上取一点，根据平行线的性质可求得，，结合，即可证明结论． 【详解】（1）解：证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角，用到了转化思想，A选项符合题意； （2）略 【点睛】本题主要考查平行线的性质和三角形内角和定理，利用转化思想将三角形的内角和转化为平角是解题的关键． 【变式7-1】如图，直线经过点A，，，， (1)________；________；________； (2)通过求上述三个角的度数，请你说明三角形的内角和为什么是？ 【答案】(1)；；； (2)理由见解析 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得到的度数，根据平角等于，列式求解得到的度数； （2）根据题意，作边平行线，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，，； （2）解：理由：过三角形一个顶点A作边平行线， （已知）， ，（两直线平行，内错角相等）， （平角定义）， （等量代换）， ∴三角形内角和等于． 【变式7-2】著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗克洛斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明． (1)如图是欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请你根据欧几里得的思想写出证明过程； (2)聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交AB于点D，作交于点F．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行线的性质得到，，然后等量代换证明即可； （2）由平行线的性质得到，，，，等量代换得到，然后结合平角的定义证明即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴； （2）解：∵ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴． 【变式7-3】在小学，同学们通过将一个三角形的三个角撕下来可拼成一个平角和度量，计算验证了三角形的内角和等于．在初中学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：， ___________． 即． (1)任务一：补全小颖的说理过程； (2)任务二：小聪受小颖的启发，如图3，一个角也不撕，延长且过点作，也能说明三角形的内角和等于，请你帮助小聪写出说理过程． 【答案】(1)、 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和性质，平行线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合题意，得，证明，所以，即； （2）理解题意，由得，，又因为，得，即可作答． 【详解】（1）解： ， 即． （2）解：∵， ，， ∵， ． 【题型 8·三角形的外角的定义及性质】 【例8】下图中一定比的度数大的一个角是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形外角的性质进行判断即可． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∴． 【变式8-1】如图所示，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的外角的性质解题即可． 【详解】解：∵， ∴． 【变式8-2】将一副三角板按图中方式叠放，则等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的外角的定义计算即可． 【详解】解：如图，为的外角，由题可知， ， ． 【变式8-3】如图，体育课上，张老师用旧轮胎帮助同学们进行负重训练，绳子与水平地面的夹角为，绳子与人体的夹角，则人体的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，即可求解 【详解】解：∵是的外角， ∴ ∵，即，， ∴． 随堂检测 【随堂检测】 1．下列语言叙述是命题的是（   ） A．赶紧写作业！ B．你喜欢陇南吗？ C．画一条端点为A的射线 D．《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军 【答案】D 【分析】命题是对某一事件作出判断的语句，据此对各选项逐一判断即可. 【详解】解：A、赶紧写作业！是祈使句，未对事件作出判断，不是命题； B、你喜欢陇南吗？是疑问句，未对事件作出判断，不是命题； C、画一条端点为A的射线，是操作指令，未对事件作出判断，不是命题； D、《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军，对该事件作出了明确判断，是命题. 2．下列命题中的假命题是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．垂线段最短 C．无理数就是开方开不尽的数 D．对顶角相等 【答案】C 【详解】解：∵选项A，“两直线平行，同位角相等”是平行线的基本性质，是真命题． ∵选项B，“垂线段最短”是垂线的基本性质，是真命题． ∵选项C，无理数的定义是无限不循环小数，开方开不尽的数只是无理数的一类，例如是无理数，但不是开方开不尽的数，因此该命题是假命题． ∵选项D，“对顶角相等”是对顶角的基本性质，是真命题． 3．命题“如果，那么或”的结论是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查命题的题设与结论的区分，命题可写为“如果……那么……”的形式，“如果”之后是题设，“那么”之后是结论，根据该规则判断即可． 【详解】解：∵本题中命题“如果，那么或”里，“那么”之后的内容是或， ∴该命题的结论是或． 4．下列命题是真命题的是（    ） A．若，，则 B．同位角相等 C．如果，那么 D．如果直线，，那么 【答案】A 【分析】根据等量代换，平行线的性质，平方的性质，逐一判断各命题真假，即可得出结论． 【详解】解：A、若，，则，原命题是真命题，符合题意； B、只有两直线平行时，同位角才相等，原命题是假命题，不符合题意； C、如果，则或，原命题是假命题，不符合题意； D、如果直线，，那么，原命题是假命题，不符合题意； 5．如图，是的一个外角，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是的一个外角， ∴． 6．如图是高铁线路上某高压线支撑结构的部分示意图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴． 7．将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果______，那么________． 【答案】 两个角是对顶角 这两个角相等 【分析】把命题改写成“如果……那么……”形式时，“如果”的部分接命题的条件，“那么”的部分接命题的结论；原命题“对顶角相等”中，条件是两个角为对顶角，结论是这两个角相等，按要求拆分填写即可． 【详解】解：如果两个角为对顶角，那么两个角相等． 8．请你取一个的值，说明命题“”是假命题，那么______． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据绝对值的性质，负数的绝对值等于它的相反数，只需举出一个负数即可说明命题为假命题. 【详解】解：当时，，，此时； 因此命题“”是假命题， 故（答案不唯一）. 9．如图，在中，，，则_____． 【答案】 60 【分析】由已知可求出，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：， ∴， ， ． 10．某次考试共4道试题，均为选择题、每题四个选项中只有一个是正确的．每道题答对的得5分、答错的得0分、已知甲、乙、丙、丁4人的作答情况及前3个人的得分情况如表所示，则丁的最终得分为_____． 甲 乙 丙 丁 1 A B A D 2 B B B B 3 D C B A 4 D D A A 总分 10 10 15 【答案】10 【分析】本题主要考查了推理能力， 先从3个答案一样的选项入手，再从2个答案一样的分析，然后结合总成绩假设情况讨论，进而得出各题的得分，最后得出答案. 【详解】解：由三名同学2题的答案都是B，有两种可能： 当选项B错误，那么丙同学的答案全部正确，可知甲，乙两名同学不能得10分； 所以2题的选项B正确； 4题甲，乙的答案相同，有两种可能： 当选项D正确，丙选择A就不正确，那么丙的1,2,3题都要正确，可知此时甲也对了3道题，不符合题意； 所以4题选项D不正确； 当1题甲选择A正确时，乙选择B不正确，丙选择A正确；甲3题选择D就不正确，乙选择C正确，丙选择B不正确，所以4题选择A正确； 当1题甲选择A不正确时，乙选择B正确，丙选择A不正确；甲3题选择D就正确，乙选择C不正确，丙选择B不正确，则与C只错一个不符，所以不符合题意. 综上所述，1题选择A，2题选择B，3题选择C，4题选择A， 所以丁选对了2题，最终得分10分. 故答案为：10. 11．如图，点在上，点在上，，相交于点． (1)若，，，求的度数； (2)试猜想与之间的关系，并证明你猜想的正确性． 【答案】(1) (2) 解：，证明如下： 是的外角， ． 是的外角， ， ． 【分析】本题考查了三角形外角的性质，解题关键是灵活应用三角形外角的性质． （1）由，可求得，再由结合三角形的外角性质即可求解； （2）由三角形的外角性质可得， ，从而可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）略 12．在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论． 如图，已知是的内角，求证：． 小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法： 小颖作的辅助线如图①，过点作；小星作的辅助线如图②，作的延长线，作；小红作的辅助线如图③，作； 请你认真阅读思考并完成如下问题： (1)请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． (2)在图2中，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明： （1）利用平行线的性质即可证明； （2）利用平行线的性质即可证明． 【详解】（1）解：选择小星的作图进行证明 ， ， ， ； 选择小颖的作图进行证明： ， ， ， ； 选择小红的作图进行证明： ， ， ， ； （2）证明： ， ， 即． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 定义﹑命题与证明（知识解读） 【浙教版2024】 题型归纳 题型 1··判断是否是命题) 2 题型 2·写出命题的题设与结论! 2 题型 3··判断命题真假) 2 题型 4··举例说明假(真)命题 3 题型 5··举反例】 3 题型 6··逻辑推理与论证) 4 题型 7·三角形内角和定理的证明 5 题型 8·三角形的外角的定义及性质 7 知识点1 定义与命题 1．一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义． 2．判断一件事情的语句叫做命题． 3．命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 4．命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 知识点2 真命题和假命题 1．正确的命题叫做真命题． 2．要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）． 3．要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可． 知识点3 证明 1.从条件出发，用定义、基本事实、定理一步步推出结论 2.作用：严谨、可靠、不依赖观察 / 测量 题型 1··判断是否是命题) 【例1】下列语言叙述是命题的是（ ） A．2026年“全到莆田过大年”是莆田市重点打造的春节文旅品牌． B．你喜欢吃枇杷吗？ C．赶紧写作业！ D．画一条端点为A的射线 【变式1-1】下列语句是命题的是（    ） A．过点A作一条射线 B．连接，并延长至点C C．是锐角三角形吗 D．等角的补角相等 【变式1-2】下列句子是命题的是（    ） A．正数大于一切负数吗 B．作一条直线和已知直线垂直 C．将27开立方 D．三角形任何两角之和大于第三角 【变式1-3】下列语句不是命题的是（    ）． A．同位角相等，两直线平行 B．作的角平分线 C．若，则 D．同角的余角相等 题型 2·写出命题的题设与结论! 【例2】把命题“邻补角相等”改写成“如果…那么…”的形式：______． 【变式2-1】命题：“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”．请写出这个命题的题设是____． 【变式2-2】命题“对顶角相等”的条件是_______，结论是______． 【变式2-3】把命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为________． 题型 3··判断命题真假) 【例3】已知命题“如果，那么”，则该命题是______命题．（填“真”或“假”） 【变式3-1】命题“如果，那么”是_______（填“真”或“假”）命题． 【变式3-2】命题“等角的补角相等”是一个_______________（填“真命题”或“假命题”）． 【变式3-3】命题“若，则”是______命题（填“真”或“假”）． 题型 4··举例说明假(真)命题 【例4】能说明命题“若，则”是假命题的一组实数 ， 的值为____________，____________． 【变式4-1】能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为________，________． 【变式4-2】要说明命题“若，则”是假命题，请举出一个反例： ________． 【变式4-3】用一组a，b，c的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是a＝____，b＝____，c＝____． 题型 5··举反例】 【例5】如图，在中，、相交于点，平分．可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（     ） A．， B． C．， D．， 【变式5-2】下列能说明命题“若，则”是假命题的一组反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-3】能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是（     ） A．B．C． D． 题型 6··逻辑推理与论证) 【例6】，，，，，六个足球队进行单循环赛（每两队之间恰好只比赛一场），当比赛进行到某一天时，统计出，，，，五队已分别比赛了5，4，3，2，1场球，由此可知，队比赛场数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式6-1】甲、乙、丙、丁四人商量周末出游．甲说：“乙去，我就肯定去．”乙说：“丙去，我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去．”以下结论可能正确的是（   ） A．甲一个人去了 B．乙、丙两个人去了 C．甲、丙、丁三个人去了 D．四个人都去了 【变式6-2】小华和小益进行了十次剪刀石头布的对决，已知：①小华出了6次石头，1次剪刀，3次布；②小益出了4次石头，3次剪刀，3次布；③10次对决中没有平局；④你不知道他们的出拳顺序，则这十次对决中小华赢了（   ）次． A．4 B．5 C．6 D．7 【变式6-3】甲、乙、丙、丁、戊、己是六名嫌疑犯，审讯他们时，他们的供词如下： 甲：“乙、戊作案了”； 乙：“甲、丁作案了”； 丙：“乙、己作案了”； 丁：“甲、丙作案了”； 戊：“甲、己作案了”． 已知案件是由两人共同作案的，这些供词中有一人是假话，其余四人都是一半真一半假．则作案的两人是（   ） A．甲、丙 B．乙、戊 C．丁、己 D．甲、戊 题型 7·三角形内角和定理的证明 【例7】【阅读材料】为了证明“三角形的内角和是”，老师给出了如图所示的四种作辅助线的方法． 【回答问题】 (1)图①，②在证明三角形内角和的过程中，应用的数学思想是_________． A．转化思想    B．整体思想    C．方程思想    D．数形结合思想 (2)请选用图③或图④证明三角形的内角和为． 【变式7-1】如图，直线经过点A，，，， (1)________；________；________； (2)通过求上述三个角的度数，请你说明三角形的内角和为什么是？ 【变式7-2】著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗克洛斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明． (1)如图是欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请你根据欧几里得的思想写出证明过程； (2)聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交AB于点D，作交于点F．求证：． 【变式7-3】在小学，同学们通过将一个三角形的三个角撕下来可拼成一个平角和度量，计算验证了三角形的内角和等于．在初中学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：， ___________． 即． (1)任务一：补全小颖的说理过程； (2)任务二：小聪受小颖的启发，如图3，一个角也不撕，延长且过点作，也能说明三角形的内角和等于，请你帮助小聪写出说理过程． 【题型 8·三角形的外角的定义及性质】 【例8】下图中一定比的度数大的一个角是（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图所示，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】将一副三角板按图中方式叠放，则等于（     ）． A． B． C． D． 【变式8-3】如图，体育课上，张老师用旧轮胎帮助同学们进行负重训练，绳子与水平地面的夹角为，绳子与人体的夹角，则人体的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 随堂检测 【随堂检测】 1．下列语言叙述是命题的是（   ） A．赶紧写作业！ B．你喜欢陇南吗？ C．画一条端点为A的射线 D．《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军 2．下列命题中的假命题是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．垂线段最短 C．无理数就是开方开不尽的数 D．对顶角相等 3．命题“如果，那么或”的结论是（   ） A． B． C． D．或 4．下列命题是真命题的是（    ） A．若，，则 B．同位角相等 C．如果，那么 D．如果直线，，那么 5．如图，是的一个外角，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图是高铁线路上某高压线支撑结构的部分示意图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果______，那么________． 8．请你取一个的值，说明命题“”是假命题，那么______． 9．如图，在中，，，则_____． 10．某次考试共4道试题，均为选择题、每题四个选项中只有一个是正确的．每道题答对的得5分、答错的得0分、已知甲、乙、丙、丁4人的作答情况及前3个人的得分情况如表所示，则丁的最终得分为_____． 甲 乙 丙 丁 1 A B A D 2 B B B B 3 D C B A 4 D D A A 总分 10 10 15 11．如图，点在上，点在上，，相交于点． (1)若，，，求的度数； (2)试猜想与之间的关系，并证明你猜想的正确性． 12．在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论． 如图，已知是的内角，求证：． 小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法： 小颖作的辅助线如图①，过点作；小星作的辅助线如图②，作的延长线，作；小红作的辅助线如图③，作； 请你认真阅读思考并完成如下问题： (1)请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． (2)在图2中，求证：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $