专题4.7 平行四边形易错必刷题型专训（60题15个考点）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

**基本信息** 聚焦平行四边形及相关图形易错点，以15个考点60题构建从概念到综合应用的训练体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |多边形基础|12题|概念辨析、周长与对角线计算、内角和证明|从多边形定义到性质推导，建立凸多边形与正多边形认知| |平行四边形性质与判定|20题|性质应用、判定证明、面积计算|以性质为基础，结合判定定理解决线段与角度问题，渗透转化思想| |旋转与中心对称|16题|旋转中心确定、对称图形设计、坐标系旋转|从旋转基本要素到中心对称性质，培养空间观念与几何变换能力| |三角形中位线与反证法|12题|中位线计算、反证法证明|中位线性质与平行四边形结合，反证法强化逻辑推理，完善证明体系|

专题4.7 平行四边形易错必刷题型专训（60题15个考点） 【易错必刷一 多边形的概念与分类】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的多边形中，不是凸多边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了凸多边形的定义，正确理解该概念是解题的关键． 根据凸多边形的定义判断，即画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，或者从角的度数来看，凸多边形的每一个内角都小于，逐一判断即可． 【详解】解：A、是一个三角形，满足凸多边形的定义，是凸多边形，不符合题意； B、多边形的某一条边所在的直线，多边形不在这条直线的同一侧，且有一个内角大于，不是凸多边形，符合题意； C、是一个六边形，满足凸多边形的定义，是凸多边形，不符合题意； D、是一个五边形，满足凸多边形的定义，是凸多边形，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②多边形的边数是不小于4的自然数；③从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成()个三角形．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的概念，多边形的对角线分成的三角形个数问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据多边形的概念逐个判断即可． 【详解】解：因为由许多条线段首尾顺次连接而成的封闭平面图形叫做多边形，所以①错误； 因为多边形的边数是不小于3的自然数，所以②错误； 因为从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成()个三角形，所以③正确； 因此正确的说法只有1个， 故选：B． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于___________． 【答案】6 【分析】本题考查正多边形的定义，根据每条边都相等，每个内角都相等的多边形叫正多边形求解即可得到答案，熟知在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形是解题的关键． 【详解】解：∵正六边形的周长是， ∴这个多边形的边长为， 故答案为：6． 4．（2023八年级下·山东滨州）在几何学上，我们把两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请同学们回答如下问题： (1)用三角板等画图工具画出一个筝形，并画出它的两条对角线； (2)观察画出的图形，请写出3条筝形的性质（定义除外），并选择其一进行证明． 【答案】(1)见解析 (2)，平分和，筝形有一组对角相等；证明见解析 【分析】本题考查了四边形的综合，关键是结合全等三角形的判定与性质解题． （1）结合筝形的定义画出图形即可 （2）观察画出的图形，请写出3条筝形的性质；首先证明，得，，得到平分和，筝形有一组对角相等，再证明，得到，证得． 【详解】（1）解：筝形如图所示， （2），平分和，筝形有一组对角相等， 证明平分和，筝形有一组对角相等， 在和中， ， ， ， ∴平分和，筝形有一组对角相等， 证明如下： 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即． 【易错必刷二 多边形周长与对角线相关问题】 1．（23-24八年级下·山东烟台·期末）小亮绘制了一个如图所示的大长方形，上面绘有五个小长方形，若这五个小长方形的周长之和为50，则大长方形的周长为（    ） A．25 B．50 C．75 D．100 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质，长方形的周长，根据题意可得五个小长方形的长之和等于大长方形的长之和，五个小长方形的宽之和等于大长方形的宽之和，进而可知大长方形的周长等于五个小长方形的周长之和． 【详解】解：根据题意得：把五个小长方形的长和宽分别平移到大长方形的长和宽上，则五个小长方形的长之和等于大长方形的长之和， 五个小长方形的宽之和等于大长方形的宽之和， ∴大长方形的周长等于五个小长方形的周长之和， ∵五个小长方形的周长之和为50， ∴大长方形的周长为50． 故选：B． 2．（25-26八年级下·甘肃兰州·期末）如果一个多边形从一个顶点出发最多能画四条对角线，则这个多边形的边数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据边形从一个顶点出发最多可引出条对角线，根据题意列方程即可求出边数． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∵边形从一个顶点出发最多能引出条对角线， ∴， 解得， 则这个多边形的边数为． 3．（25-26八年级下·四川成都·期末）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分．将一个边形进行三角剖分，则能剖分成的三角形个数是_____． 【答案】 【分析】本题考查多边形的剖分．多边形的三角剖分是将边形用不相交的对角线划分为若干个三角形，每个三角形由多边形的边和对角线组成，根据多边形性质，剖分后三角形个数为． 【详解】解：对于一个边形，进行三角剖分后，得到的三角形个数是个，这是多边形三角剖分的基本性质， 故答案为：． 4．（25-26八年级下·安徽宿州·月考）如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． (1)根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割成_______个三角形； (2)若一个多边形按以上方法可分割成120小三角形，求该多边形的边数； (3)求边形的对角线条数． 【答案】(1) (2)122 (3) 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据找到的规律即可解题； （2）由（1）中的结论解题； （3）探究从边形的一个顶点可引出的对角线条数，进而解题． 【详解】（1）解：由图可得，四边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， 五边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， 六边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， ∴边形可以分割成个三角形， 故答案为：； （2）解：由（1）知，， ∴； （3）解：从边形的一个顶点可引出条对角线， ∴对角线的总数为条． 【易错必刷三 多边形的内角与外角】 1．（25-26八年级下·云南昭通·期末）“中国天眼（FAST）”是具有中国自主知识产权的世界上口径最大的单口径射电望远镜，它突破了射电望远镜的百米极限，开创了建造巨型射电望远镜的新模式，推动中国形成了以天眼为核心、多学科交叉融合的射电天文研究集群，也为全球天文学家提供了顶尖的观测平台．中国天眼（FAST）的反射面索网的中心区域的设计为一个五边形网格．这个五边形的内角和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，牢记边形的内角和公式为(为多边形的边数，且是大于等于3的整数)是解题的关键，本题据此求解即可． 【详解】解：由多边形内角和公式可知， 五边形的内角和为， 故选：C． 2．（23-24八年级下·辽宁抚顺·月考）如图，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据四边形内角和可得，再由“8”字三角形可得，进而可得答案． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 3．（24-25八年级下·广西钦州·期中）“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素，如图是窗棂中的部分图案．若，则的度数是______． 【答案】 【分析】本题主要考查多边形外角和，熟练掌握多边形外角和等于是解题的关键． 根据多边形外角和等于求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）证明：四边形的外角和为（要求：结合图形，写出已知，求证，并证明）． 【答案】见解析 【分析】根据题意写出已知，求证，并根据四边形内角和定理即可证明； 【详解】已知：四边形中，，，，是四边形的四个外角； 求证：． 证明：如图， ，，，， ， 四边形的内角和为， ． 【易错必刷四 利用平行四边形的性质求解和证明】 1．（2025八年级下·山东·专题练习）如图，在平行四边形中，甲、乙面积的和与丙的面积关系正确的是（ ） A．甲＋乙＞丙 B．甲＋乙＜丙 C．甲＋乙＝丙 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形与三角形面积，熟练掌握平行四边形边性质，三角形面积公式，是解题的关键 根据平行四边形对边相等，可知丙的底与甲、乙三角形的底的和相等，且三者的高也相等，根据三角形的面积＝底×高÷2，以及乘法分配律可知，甲的底加乙的底的和乘高除以2得到它们的面积之和，所以甲、乙面积的和与丙的面积相等，据此解答． 【详解】解：∵丙面积平四边形面积，甲面积+乙面积平行四边形面积， ∴甲、乙面积的和与丙的面积关系正确的是甲＋乙=丙． 故答案为：C． 2．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）在中，是的垂直平分线，垂足为，交于点，交于点，则下列说法①；②；③；④，其中正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质以及全等三角形的判定是解题的关键．直接利用平行四边形的性质判断①；可利用证明，即可判断②；可利用②的全等，得到，结合平行四边形对边相等，即可判断③；根据，同理，根据平行四边形的对角线平分面积，以及②中的全等，即可判断④． 【详解】解：如图， ∵， ∴，， 故①正确； ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴，， 故②正确； ∵， ∴， ∴， 即， 故③正确； 由题可得，， 同理可得， ∵是的对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故④正确． 综上所述，①、②、③、④正确，有4个正确结论， 故选：D． 3．（25-26八年级下·山东菏泽）在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，，，则的长为_____． 【答案】10或14 【分析】根据题意，则，，；根据平行线的性质，则，，再根据角平分线的性质，等角对等边，则，；根据，分点在点左侧和点在点右侧两种情况讨论即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， 如图，当点在点左侧时， ∵，， ∴， ∵， ∴； 如图，当点在点右侧时， ∵， ∴， ∴； 综上，的长为或． 4．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图，在平行四边形中，点O是对角线的交点，过点O且垂直于． (1)求证：； (2)若平行四边形的周长是24，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行四边形的性质和已知条件证明即可； （2）根据平行四边形的性质和全等三角形的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，点O是对角线的交点， ∴， ∴ ∵过点O且垂直于． ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴由（1）得， ∴， ∵平行四边形的周长是24， ∴ ∵， ∴ ∴ 即四边形的周长为． 【易错必刷五 求平行线间的距离】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，点在直线上，点、在直线上，．如果，，那么平行线，之间的距离是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴ 即平行线，之间的距离是． 2．（25-26八年级下·四川乐山·期末）如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线之间的距离，设和之间的距离为h，然后表示出，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴设和之间的距离为h， ∴，，， ∴． 故选：D． 3．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，是上一点，过的中点，若，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】16 【分析】本题考查全等三角形的判定与平行线的性质，关键是连接，先证三角形全等得到面积等量关系，再通过面积和差推导完成等面积转换，将不规则的四边形的面积转化为可直接计算的的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵是的中点， ∴． 又∵， ∴，， ∴， ∴， ， ， ∵的面积为， 即阴影部分的面积为16． 故答案为：． 4．（2024八年级下·重庆渝中·专题练习）如图，在梯形中，对角线相交于点，．，求的面积． 【答案】100 【分析】本题考查求组合图形面积的相关计算，解题关键在于明确梯形两底之间的距离处处相等并能找到三角形面积的和差关系．利用平行直线之间的距离处处相等，求出的面积，在求出的面积，根据几何关系即可求得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ，即， ． 【易错必刷六 找旋转中心、旋转角、对应点并确定旋转中心的个数】 1．（25-26八年级下·广东中山·期末）如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若可以由旋转得到，则下列旋转方式中正确的是（   ） A．绕点D逆时针旋转 B．绕点O顺时针旋转 C．绕点O逆时针旋转 D．绕点B逆时针旋转 【答案】B 【分析】本题考查了图形旋转方式（旋转中心、旋转方向、旋转角度的判断），解题的关键是确定旋转中心，分析对应点绕旋转中心的旋转方向与角度． 观察与的对应点，确定旋转中心、旋转方向和旋转角度即可得出答案． 【详解】解：观察图形，由旋转得到，对应点，，旋转中心为； 绕点顺时针旋转到，绕点顺时针旋转到， 故旋转方式是绕点顺时针旋转． 故选：B． 2．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题主要考查了找旋转中心，旋转的性质，旋转前后的两个图形大小形状完全相同，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等； 分别以C、D、的中点为旋转中心进行旋转，都能使正方形旋转后能与正方形重合，即可求解． 【详解】以点C为旋转中心，把正方形逆时针旋转，可得到正方形； 以点D为旋转中心，把正方形顺时针旋转，可得到正方形； 以的中点为旋转中心，把正方形旋转，可得到正方形； 所以旋转中心有3个． 故选：C． 3．（25-26八年级下·北京·期末）如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是点__________________． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转角相等，解答即可． 【详解】解：根据旋转角相等，得， 故旋转中心可能是点B， 故答案为：B． 4．（25-26八年级下·江西上饶·期中）如图，在中，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点． (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数； (2)求的长． 【答案】(1)旋转中心为点A，旋转角的度数为 (2) 【分析】本题考查的是旋转的三要素，旋转的性质，三角形内角和定理． （1）先求解，由点A旋转后与自身重合可得旋转中心，由B，D是旋转前后的对应点，可得旋转角即为的大小； （2）由旋转的性质得到，，再根据点恰好成为的中点即可解答． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴， ∵当逆时针旋转一定角度后与重合， ∴旋转中心为点A，旋转角的度数为； （2）解：由旋转得，， ∵为的中点， ∴， ∴． 【易错必刷七 画旋转图形和中心对称图形并设计图案】 1．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形可以看成是把菱形以点为中心（ ） A．逆时针旋转得到 B．逆时针旋转得到 C．顺时针旋转得到 D．顺时针旋转得到 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质以及旋转的性质，观察图象找出是解题的关键．由结合旋转的性质，即可得出结论． 【详解】解：根据旋转的意义，观察图片可知，菱形可以看成是把菱形以为中心逆时针旋转得到． 故选：A． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，这个图案可以看作以原图案的四分之一经过变换得到的，则所用变换一定不可能是（    ） A．旋转 B．轴对称 C．平移 D．轴对称和旋转 【答案】C 【分析】本题考查几何变换的知识，熟练掌握平移、旋转、轴对称的定义是关键． 根据图形的特征可知图形所在的中心可以是旋转中心，中间两条线段所在的两条直线是对称轴；根据上述特征结合平移，旋转，轴对称的概念解答即可． 【详解】解：A、图案所在的中心可以是旋转中心，因此图案可由旋转变换得到，不符合题意； B、图案中间水平和垂直的两条线段所在的两条直线是对称轴，因此图案可由轴对称变换得到，不符合题意； C、图案无法用平移得到，符合题意； D、图案可以通过轴对称和旋转得到，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图是的正方形网格，其中已有个小方格涂成了黑色．现在要从其余个白色的小方格中选出一个也涂成黑色，使形成的图形成为中心对称图形，这样的白色小方格有___________个． 【答案】 【分析】根据中心对称的定义，逐个验证剩余白色方格，填入后旋转可以使图形重合的即为所求． 【详解】解：如图，只有将方格涂黑可以使形成的图形成为中心对称图形， 故这样的小方格有个． 4．（25-26八年级下·河北廊坊）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长是1，是由旋转得到的． (1)请在图中找出旋转中心O； (2)以C为旋转中心，将逆时针旋转得到，请画出； (3)连接，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意可得和成中心对称，则点O即为线段与线段的交点，据此作图即可； （2）根据旋转方式和网格的特点作图即可； （3）根据网格的特点和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，点O即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，由网格的特点和勾股定理可得． 【易错必刷八 旋转综合题】 1．（23-24八年级下·陕西榆林·期末）如图，四边形ABCD中，，，将边DA绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，过点E作EF⊥BC，垂足为F，若EF＝2，BF＝4，则线段CD长是（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】连接AE、AC、BB，如图，先证明△ABC为等边三角形得到∠BAC =60°，再根据旋转的性质得到DE = DA，∠ADE=60°，则可知△ADE为等边三角形，所以∠DAB =60°, AE=AD，根据旋转的定义，∠CAD绕点A顺时针旋转60°得到△BAE，所以CD=BE，然后利用勾股定理计算出BE，从而得到CD的长． 【详解】解：连接AE、AC、BE，如图， ∵ ∠B=60°，AB= AC， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠BAC= 60°， ∵边DA绕点D逆时针旋转60°得到线段DE， ∴DE = DA，∠ADE = 60°， ∴△ADE为等边三角形， ∴∠DAE=60°，AE=AD， 而∠BAC=60°，BA = CA， ∴∠BAB－∠EAC=∠EAD－∠EAC， ∴∠BAE=∠CAD， 在△CAD与△BAE中， ， ∴△CAD≌△BAE（SAS） ∴CD= BE， ∴EF⊥BC， ∴∠BFE=90°， 在Rt△BEF中， ∵EF=2，BF=4， ∴， ∴CD=， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等，也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理． 2．（23-24八年级下·广东惠州·月考）如图，将（其中，）绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点，，在同一条直线上，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，根据，可得然后旋转后AB与即可得出结论． 【详解】∵， ∴， ∵C，A，在一条直线上， ∴， ∵旋转后AB与重合， ∴旋转角为 故选：C． 【点睛】本题主要考查了旋转角度问题，正确理解题意是解题的关键． 3．（2023·八年级下 湖北鄂州）如图，是等边内的一点，．若的面积为，则边的长为________．    【答案】 【分析】将绕点C逆时针旋转得到，作交的延长线于点F，首先证明出是等边三角形，然后设，则，得到，根据求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，将绕点C逆时针旋转得到，作交的延长线于点F，    ∴，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴解得（负值舍去）， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了旋转综合题，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 4．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）已知是等腰直角三角形，，直线m是过点C的任一条直线，于点E，于点D；    (1)如图（1），求证：； (2)当直线m绕点C旋转到如图（2）时，上述（1）中结论是否还成立？若不成立，请写出AE与DE和BD的正确数量关系，并加以证明． (3)当直线m绕点C旋转到如图（3）时，请直接写出AE与DE和BD的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先利用同角的余角相等判断出，进而得出，最后用线段的和差即可得出结论； （2）先利用同角的余角相等判断出，进而得出，最后用线段的和差即可得出结论； （3）先利用同角的余角相等判断出，进而得出，最后用线段的和差即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ； （2）（1）中结论不成立，新结论为： 证明：， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ； （3）证明：， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，掌握“三垂线模型”是解题的关键． 【易错必刷九 坐标系中的旋转】 1．（23-24八年级下·湖北十堰）如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的坐标为，由于A、关于C点对称，列方程求解即可． 【详解】解：设的坐标为， ∵A和关于点对称， ∴， 解得， ∴点的坐标． 2．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，的顶点，，将绕原点O顺时针旋转，则点C的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地求出点C的坐标是解题的关键．由平行四边形的性质可得点，由可证，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作轴于E，过点作轴于F， 设点， ∵的顶点，点， ∴点B先向右平移一个单位，再向下平移三个单位得到点O， ∴点A先向右平移一个单位，再向下平移三个单位得到点C， ∴， ∴点， ∴， ∵将绕原点O顺时针旋转， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴点， 故选：B． 3．（2025·八年级下 广东揭阳）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点、的坐标分别为、，将风车绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的额性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．由平行四边形的性质可得，然后找到规律得到第2025次旋转结束相当于第9次旋转结束，即相当于顺时针旋转了，此时点对应点记为点，连接、，过点作轴于点，过点作轴于点，证明，即可求解． 【详解】解：、， ， 四边形是平行四边形， ， ， 风车绕点逆时针旋转，每次旋转，， 次为一个周期， ， 第次旋转结束相当于第次旋转结束， ， 第次逆时针旋转了，则相当于顺时针旋转了，此时点对应点记为点， 如图 ，连接、，过点作轴于点，过点作轴于点， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 即第2025次旋转结束时，点的坐标为， 故答案为：． 4．（25-26八年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，，，点为轴上的动点，连接，将绕点逆时针方向旋转到，连接交于点． (1)如图1，当点与点重合时，请直接写出点的坐标； (2)如图2，当点运动到中点处时，求证：； (3)已知点F（0，4），当点在轴上运动时，连接、，在射线上取一点，连接、，使得．请补充完图形并直接写出、、三者的数量关系． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)作图见解析，或 【分析】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中找出全等三角形并证明是解题的关键． （1）根据题目可知是的中点，即可得解； （2）过点作，垂足为，证明和，即可得证； （3）当点在轴负半轴且时，点不可能在射线上；当点与点重合时，点与点重合时，此时，；当点与点重合时，此时点与点重合，此时，，再分两种情况讨论：当点在点与点之间时，当点在点的右边时讨论即可． 【详解】（1）由题可知：， ， ，， ． （2）过点作，垂足为， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，是的中点， ，， 在和中， ， ， ， ， ； （3）， 当点在轴负半轴且时，点不可能在射线上；当点与点重合时，点与点重合时，此时，；当点与点重合时，此时点与点重合，此时，． ①当点在点与点之间时，过点作交的延长线于点，如图（1）， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②当点在点的右边时，作，如图（2）， 由题可得：，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【易错必刷十 中心对称图形的识别并判断对称中心】 1．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）春风不语，文物有声．春日里的博物馆，藏着时光的沉淀，也藏着文明的回响．趁着春假暖阳，很多同学走进博物馆，赴一场与历史的温柔相遇，下列博物馆标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．选项中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 2．（24-25八年级下·广西河池·期中）如图，矩形与矩形关于某点对称，则该点为（  ） A．点C B．点D C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】本题考查了两个图形关于中心对称的知识点，需要根据中心对称的性质进行求解.关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】∵矩形与矩形关于某点对称， ∴点A的对称点为点F，点B的对称点为点E，点C的对称点为点D, 点D的对称点为点C, ∴对称中心为线段的中点． 故选D． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）观察下列图形，将符合题目要求的图形序号填入下面横线中． （1）轴对称图形有______（填序号）； （2）中心对称图形有______（填序号）； （3）是中心对称图形但不是轴对称图形的有______（填序号）； （4）既是中心对称图形又是轴对称图形的有______（填序号）． 【答案】 ②④⑤⑦⑧ ①③⑥⑦ ①③⑥ ⑦ 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题关键．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形．据此逐一分析判断即可． 【详解】解：①是中心对称图形，但不是轴对称图形； ②是轴对称图形，但不是中心对称图形； ③是中心对称图形，但不是轴对称图形； ④是轴对称图形，但不是中心对称图形； ⑤是轴对称图形，但不是中心对称图形； ⑥是中心对称图形，但不是轴对称图形； ⑦既是中心对称图形，也是轴对称图形； ⑧是轴对称图形，但不是中心对称图形． 所以，（1）轴对称图形有②④⑤⑦⑧； （2）中心对称图形有①③⑥⑦； （3）是中心对称图形但不是轴对称图形的有①③⑥； （4）既是中心对称图形又是轴对称图形的有⑦． 故答案为：（1）②④⑤⑦⑧；（2）①③⑥⑦；（3）①③⑥；（4）⑦． 4．（24-25八年级下·甘肃白银·月考）如图，方格纸中的三个顶点均在格点上，将向右平移格得到再将绕点逆时针旋转得到． (1)在方格纸中画出和； (2)与是否成中心对称？若成中心对称，请指出对称中心． 【答案】(1)见解析 (2)是中心对称，点即为对称中心 【分析】（1）根据平移的性质、旋转的性质作图即可． （2）分别连接相交于点，则点即为对称中心． 【详解】（1）解：如图，和即为所求． （2）解：与成中心对称． 如图，分别连接，，相交于点， 则点即为对称中心． 【易错必刷十一 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到．如图，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查中心对称的定义和性质，掌握中心对称的定义“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心”，是求解本题的关键．利用中心对称的定义和性质求解即可． 【详解】解：A、∵与关于点O成中心对称， ∴点A与是一组对称点，故该选项正确，不符合题意； B、由中心对称的性质可知：对应点到对称中心的距离相等， ，故该选项正确，不符合题意； C、，是对顶角， ∴，故该选项正确，不符合题意； D、∵与不是对应角， ∴不成立，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，正方形的对称中心为点，点均在正方形的边上，四点中有一点是点关于点的对称点，则该对称点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查中心对称的性质(在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；关于中心对称的两个点，它们的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分)来分析点关于点的对称点． 【详解】解：正方形的对称中心是对角线的交点， 关于点成中心对称的两个点，需要满足连线经过且被平分， 观察图形，点在正方形的底边，其关于的对称点应在正方形的顶边，对应图中的点． 故选：C． 3．（25-26八年级下·上海·期末）如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发_______秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 【答案】 【分析】本题考查动点问题和中心对称，正确掌握动点问题的解题思路是解题的关键． 设运动时间为秒，根据长方形被线段分成的两个图形成中心对称，得到，列出方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，则，，， 当时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称， 则，解得． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·广西钦州·期中）如图，已知和． (1)若和关于点O成中心对称，请通过画图找出它们的对称中心O； (2)在（1）的条件下，若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为18 【分析】本题考查中心对称的性质，找对称中心． （1）连接，，交点即为点O； （2）由和中心对称，可得，，，三条边长度相加即可． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求； （2）解：∵和关于点O成中心对称， ∴，，， ∴的周长为. 【易错必刷十二 证明四边形是平行四边形】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点分别在边，上，，，，则图中的平行四边形共有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明四边形，四边形，四边形是平行四边形． 【详解】解：∵，， ∴， ， 四边形，四边形，四边形是平行四边形， ∴图中一共有平行四边形个． 2．（25-26八年级下·吉林·期末）在四边形中，．则此四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 【答案】A 【分析】本题利用四边形内角和为，结合已知角度比例推导角度关系，再根据平行线的判定推出两组对边分别平行，进而得到四边形的形状． 【详解】解：∵， ∴，， 设，，则，， ∵四边形内角和为， ∴， 解得，即， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 3．（24-25八年级下·河南信阳·月考）如图，在四边形中，，且，，，，分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过_____秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及一元一次方程的应用，解题的关键在于掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法．设点，运动的时间为秒，则，，，，因为，故分两种情况：当或时，列方程解答即可． 【详解】解：设点，运动的时间为秒，则，，，， ， ①当时，四边形是平行四边形， 即，解得； ②当时，四边形是平行四边形， 即，解得； 经过或秒，直线将四边形截出一个平行四边形， 故答案为：或． 4．（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）如图，在四边形中，，，，垂足分别为，．求证： (1)； (2)四边形 是平行四边形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，平行线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由线段的和与差得，然后通过“”即可证明； （）由全等三角形性质可得，所以，然后通过平行四边形的判定方法即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（）得， ∴， ∴， ∵， ∴四边形 是平行四边形． 【易错必刷十三 利用平行四边形的判定与性质求解和证明】 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若四边形面积为，则的面积为（     ） A． B．a C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、三角形的面积公式与平行四边形的面积公式等知识正确地添加辅助线是解题的关键． 连接，，根据平行四边形的性质可得的面积的面积，再利用平行四边形的性质可得作，从而可得，进而可得的面积的面积，然后再根据作，可证四边形是平行四边形，从而可得的面积的面积，进而可得的面积的面积，即可解答． 【详解】解：连接，， 四边形是平行四边形， 的面积的面积， 四边形是平行四边形， ， ， ， 的面积的面积， ， 四边形是平行四边形， 的面积的面积， 的面积的面积， ∵四边形面积为， 的面积为， 故选：B． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）四边形的对角线、相交于点，下列条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C．且 D．， 【答案】D 【详解】解：A、仅，一组对边平行的四边形可能是梯形，不能判定为平行四边形 B、，仅表明与垂直，无法判定四边形为平行四边形 C、且，这样的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形； D、，，对角线互相平分的四边形是平行四边形，即四边形的对角线互相平分，所以四边形是平行四边形． 3．（23-24八年级下·广西桂林·月考）如图，将沿直线方向平移到的位置，D点在上，则的面积和两阴影部分面积之和的比值为_______． 【答案】1 【分析】本题考查平移的性质，平行四边形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．由平移性质可证明四边形为平行四边形，则可证面积为面积的一半，则题目可求． 【详解】解：∵将沿直线方向平移到的位置， ， ∴四边形为平行四边形， 与同底等高， ， ， ． 故答案为：1． 4．（25-26八年级下·浙江·期中）如图，E，F分别是平行四边形边，上的点，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形的内角和定理； （1）根据平行四边形的性质得到，，再利用，即可得到四边形是平行四边形，进而得到，根据线段的和差解答即可； （2）根据平行四边形的性质得到，再根据三角形的内角和定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 在中，． 【易错必刷十四 三角形中位线有关的求解问题和证明】 1．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为的中点，则的长为（　　） A．4 B．不确定 C．5 D．8 【答案】A 【分析】由平行四边形的对边相等的性质求得，然后利用三角形中位线定理求得即可解答． 【详解】解：在平行四边形中，， ，分别为的中点， 是的中位线， ． 2．（24-25八年级下·福建福州·月考）如图，中，、、分别是、、中点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．四边形是平行四边形 【答案】B 【分析】本题考查中位线的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．利用中位线的性质得，，，，，，可判断选项A，利用可判断选项B，利用证明可判断选项C，利用，，可判断选项D． 【详解】解：∵、、分别是、、中点， ∴，，，，，， 故选项A正确； ∵， 故选项B错误； ∵，， ∴，， 又∵， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴， 故选项C正确； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项D正确； 故选：B． 3．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在中，，，，点是边上一点，点为边上的动点，点，分别为，的中点，则______，的最小值是 ______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线的应用，勾股定理的逆定理，垂线段最短．熟练掌握以上知识是解题的关键．连接，先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，取中点F，连接，证明是等边三角形，得出，则可求的度数；根据三角形中位线的性质得出，当时，的值最小，此时的值也最小，根据三角形的面积公式求出的值，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， 取中点F，连接， ， 则， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 连接，如图： ∵点，分别为，的中点， ∴， 当时，的值最小，此时的值最小． 若， 则， ∴， ∴． 故答案为：，． 4．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，对角线，相交于点，，，，分别是，，，的中点，连接，，，得到四边形． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】根据中位线的性质可得，，，，再结合平行四边形的判定和性质即可求证． 【详解】证明：分别是，，，的中点， 为的中位线，为的中位线． ，，，． ． 四边形是平行四边形， ． ． 四边形是平行四边形． 【易错必刷十五 用反证法证明命题】 1．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）对于命题“如果，那么”用反证法证明，应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用反证法证明命题时，应假设结论的否定成立，再由此推出矛盾． 【详解】解：由反证法可知，应假设． 2．（23-24八年级下·福建漳州·期中）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤： ①，这与三角形内角和为相矛盾，所以不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设三角形的三个内角，，中有两个直角，不妨设．正确的顺序应为（   ） A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①② 【答案】D 【分析】本题考查反证法、记住反证法的把步骤先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立． 根据反证法的步骤即可判断． 【详解】解：反证法的步骤是先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立． 所以，正确的步骤是③①②． 故选：D． 3．（25-26八年级下·江西宜春·月考）用反证法证明“垂直于同一条直线的两条直线平行”时应首先假设：__________________． 【答案】垂直于同一条直线的两条直线相交 【分析】本题考查了反证法． 反证法需假设原命题结论不成立． 【详解】解：原命题结论为“两条直线平行”， 假设其不成立，即“这两条直线不平行”， 由于不平行则相交， 因此首先假设“这两条直线相交”． 故答案为：垂直于同一条直线的两条直线相交． 4．（24-25八年级下·江苏南京·月考）如图，在中，，点，，分别在，，上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)用反证法证明不可能是直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，证明≌是解题的关键． （1）根据，可知，再利用证明≌，得，即可证明结论； （2）假设是等腰直角三角形，则，由知≌，则，可可得到，则假设不成立． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， 在与中， ， ≌， ， 是等腰三角形； （2）解：假设是等腰直角三角形， 则， ， 由（1）可知：≌， ∴， ， ， ， 不可能是等腰直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.7 平行四边形易错必刷题型专训（60题15个考点） 【易错必刷一 多边形的概念与分类】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的多边形中，不是凸多边形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②多边形的边数是不小于4的自然数；③从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成()个三角形．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（2024八年级下·全国·专题练习）已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于___________． 4．（2023八年级下·山东滨州）在几何学上，我们把两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请同学们回答如下问题： (1)用三角板等画图工具画出一个筝形，并画出它的两条对角线； (2)观察画出的图形，请写出3条筝形的性质（定义除外），并选择其一进行证明． 【易错必刷二 多边形周长与对角线相关问题】 1．（23-24八年级下·山东烟台·期末）小亮绘制了一个如图所示的大长方形，上面绘有五个小长方形，若这五个小长方形的周长之和为50，则大长方形的周长为（    ） A．25 B．50 C．75 D．100 2．（25-26八年级下·甘肃兰州·期末）如果一个多边形从一个顶点出发最多能画四条对角线，则这个多边形的边数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（25-26八年级下·四川成都·期末）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分．将一个边形进行三角剖分，则能剖分成的三角形个数是_____． 4．（25-26八年级下·安徽宿州·月考）如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． (1)根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割成_______个三角形； (2)若一个多边形按以上方法可分割成120小三角形，求该多边形的边数； (3)求边形的对角线条数． 【易错必刷三 多边形的内角与外角】 1．（25-26八年级下·云南昭通·期末）“中国天眼（FAST）”是具有中国自主知识产权的世界上口径最大的单口径射电望远镜，它突破了射电望远镜的百米极限，开创了建造巨型射电望远镜的新模式，推动中国形成了以天眼为核心、多学科交叉融合的射电天文研究集群，也为全球天文学家提供了顶尖的观测平台．中国天眼（FAST）的反射面索网的中心区域的设计为一个五边形网格．这个五边形的内角和是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·辽宁抚顺·月考）如图，等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广西钦州·期中）“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素，如图是窗棂中的部分图案．若，则的度数是______． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）证明：四边形的外角和为（要求：结合图形，写出已知，求证，并证明）． 【易错必刷四 利用平行四边形的性质求解和证明】 1．（2025八年级下·山东·专题练习）如图，在平行四边形中，甲、乙面积的和与丙的面积关系正确的是（ ） A．甲＋乙＞丙 B．甲＋乙＜丙 C．甲＋乙＝丙 D．无法确定 2．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）在中，是的垂直平分线，垂足为，交于点，交于点，则下列说法①；②；③；④，其中正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级下·山东菏泽）在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，，，则的长为_____． 4．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图，在平行四边形中，点O是对角线的交点，过点O且垂直于． (1)求证：； (2)若平行四边形的周长是24，，求四边形的周长． 【易错必刷五 求平行线间的距离】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，点在直线上，点、在直线上，．如果，，那么平行线，之间的距离是（    ） A． B． C． D．不能确定 2．（25-26八年级下·四川乐山·期末）如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，是上一点，过的中点，若，则图中阴影部分的面积为___________． 4．（2024八年级下·重庆渝中·专题练习）如图，在梯形中，对角线相交于点，．，求的面积． 【易错必刷六 找旋转中心、旋转角、对应点并确定旋转中心的个数】 1．（25-26八年级下·广东中山·期末）如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若可以由旋转得到，则下列旋转方式中正确的是（   ） A．绕点D逆时针旋转 B．绕点O顺时针旋转 C．绕点O逆时针旋转 D．绕点B逆时针旋转 2．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 3．（25-26八年级下·北京·期末）如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是点__________________． 4．（25-26八年级下·江西上饶·期中）如图，在中，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点． (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数； (2)求的长． 【易错必刷七 画旋转图形和中心对称图形并设计图案】 1．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形可以看成是把菱形以点为中心（ ） A．逆时针旋转得到 B．逆时针旋转得到 C．顺时针旋转得到 D．顺时针旋转得到 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，这个图案可以看作以原图案的四分之一经过变换得到的，则所用变换一定不可能是（    ） A．旋转 B．轴对称 C．平移 D．轴对称和旋转 3．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图是的正方形网格，其中已有个小方格涂成了黑色．现在要从其余个白色的小方格中选出一个也涂成黑色，使形成的图形成为中心对称图形，这样的白色小方格有___________个． 4．（25-26八年级下·河北廊坊）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长是1，是由旋转得到的． (1)请在图中找出旋转中心O； (2)以C为旋转中心，将逆时针旋转得到，请画出； (3)连接，求的长度． 【易错必刷八 旋转综合题】 1．（23-24八年级下·陕西榆林·期末）如图，四边形ABCD中，，，将边DA绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，过点E作EF⊥BC，垂足为F，若EF＝2，BF＝4，则线段CD长是（    ） A．4 B． C．8 D． 2．（23-24八年级下·广东惠州·月考）如图，将（其中，）绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点，，在同一条直线上，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 3．（2023·八年级下 湖北鄂州）如图，是等边内的一点，．若的面积为，则边的长为________．    4．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）已知是等腰直角三角形，，直线m是过点C的任一条直线，于点E，于点D；    (1)如图（1），求证：； (2)当直线m绕点C旋转到如图（2）时，上述（1）中结论是否还成立？若不成立，请写出AE与DE和BD的正确数量关系，并加以证明． (3)当直线m绕点C旋转到如图（3）时，请直接写出AE与DE和BD的数量关系． 【易错必刷九 坐标系中的旋转】 1．（23-24八年级下·湖北十堰）如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，的顶点，，将绕原点O顺时针旋转，则点C的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·八年级下 广东揭阳）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点、的坐标分别为、，将风车绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为________． 4．（25-26八年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，，，点为轴上的动点，连接，将绕点逆时针方向旋转到，连接交于点． (1)如图1，当点与点重合时，请直接写出点的坐标； (2)如图2，当点运动到中点处时，求证：； (3)已知点F（0，4），当点在轴上运动时，连接、，在射线上取一点，连接、，使得．请补充完图形并直接写出、、三者的数量关系． 【易错必刷十 中心对称图形的识别并判断对称中心】 1．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）春风不语，文物有声．春日里的博物馆，藏着时光的沉淀，也藏着文明的回响．趁着春假暖阳，很多同学走进博物馆，赴一场与历史的温柔相遇，下列博物馆标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广西河池·期中）如图，矩形与矩形关于某点对称，则该点为（  ） A．点C B．点D C．线段的中点 D．线段的中点 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）观察下列图形，将符合题目要求的图形序号填入下面横线中． （1）轴对称图形有______（填序号）； （2）中心对称图形有______（填序号）； （3）是中心对称图形但不是轴对称图形的有______（填序号）； （4）既是中心对称图形又是轴对称图形的有______（填序号）． 4．（24-25八年级下·甘肃白银·月考）如图，方格纸中的三个顶点均在格点上，将向右平移格得到再将绕点逆时针旋转得到． (1)在方格纸中画出和； (2)与是否成中心对称？若成中心对称，请指出对称中心． 【易错必刷十一 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到．如图，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 2．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，正方形的对称中心为点，点均在正方形的边上，四点中有一点是点关于点的对称点，则该对称点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．（25-26八年级下·上海·期末）如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发_______秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 4．（25-26八年级下·广西钦州·期中）如图，已知和． (1)若和关于点O成中心对称，请通过画图找出它们的对称中心O； (2)在（1）的条件下，若，，，求的周长． 【易错必刷十二 证明四边形是平行四边形】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点分别在边，上，，，，则图中的平行四边形共有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26八年级下·吉林·期末）在四边形中，．则此四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 3．（24-25八年级下·河南信阳·月考）如图，在四边形中，，且，，，，分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过_____秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 4．（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）如图，在四边形中，，，，垂足分别为，．求证： (1)； (2)四边形 是平行四边形． 【易错必刷十三 利用平行四边形的判定与性质求解和证明】 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若四边形面积为，则的面积为（     ） A． B．a C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）四边形的对角线、相交于点，下列条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C．且 D．， 3．（23-24八年级下·广西桂林·月考）如图，将沿直线方向平移到的位置，D点在上，则的面积和两阴影部分面积之和的比值为_______． 4．（25-26八年级下·浙江·期中）如图，E，F分别是平行四边形边，上的点，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【易错必刷十四 三角形中位线有关的求解问题和证明】 1．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为的中点，则的长为（　　） A．4 B．不确定 C．5 D．8 2．（24-25八年级下·福建福州·月考）如图，中，、、分别是、、中点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．四边形是平行四边形 3．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在中，，，，点是边上一点，点为边上的动点，点，分别为，的中点，则______，的最小值是 ______． 4．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，对角线，相交于点，，，，分别是，，，的中点，连接，，，得到四边形． 求证：四边形是平行四边形． 【易错必刷十五 用反证法证明命题】 1．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）对于命题“如果，那么”用反证法证明，应假设（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·福建漳州·期中）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤： ①，这与三角形内角和为相矛盾，所以不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设三角形的三个内角，，中有两个直角，不妨设．正确的顺序应为（   ） A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①② 3．（25-26八年级下·江西宜春·月考）用反证法证明“垂直于同一条直线的两条直线平行”时应首先假设：__________________． 4．（24-25八年级下·江苏南京·月考）如图，在中，，点，，分别在，，上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)用反证法证明不可能是直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $