专题13整数指数幂与分式方程精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦整数指数幂（含零指数、负整数指数）与分式方程，从正整数指数幂复习切入，延伸至零指数、负整数指数幂运算，通过转化思想将分式方程化为整式方程，构建知识递进支架。 其亮点是题型分级（14类，含难度星级）、重点辨析与错误提示，结合生活实例（如行程问题）培养数学眼光，参数问题训练推理意识，实际应用发展模型意识，助力学生突破难点，教师教学更高效。

专题13整数指数幂与分式方程精讲学案 核心立意： 将幂的运算拓展到全体整数范围，掌握零指数幂、负整数指数幂，会用科学记数法表示绝对值小于1的小数；理解分式方程概念，掌握分式方程解法，理解增根成因，会处理含参数分式方程，能够列分式方程解决实际问题，体会转化思想，把分式相关问题转化为整式问题求解。 零指数幂 ①公式：a0=1； ②条件：a0； ③运算要点：00无意义，底数不能为0。 负整数指数幂 ①公式：a−p=； ②条件：a0，n为正整数； ③运算要点：负指数代表取倒数，不代表结果为负数； 拓展公式()-n=()n。 整数指数幂运算性质（a≠0，b≠0，m、n为整数） ①同底数幂乘法：aman=am+n； ②幂的乘方：(am)n=amn； ③积的乘方(ab)n=anbn：； ④同底数幂除法：am÷an=am−n。 科学记数法表示绝对值小于1的小数 ①形式：a10-n； ②要求：1|a|<10； ③运算要点：n等于小数点后，第一个非零数字前面0的个数。 分式方程的定义 ①概念：分母中含有未知数的方程；②辨析：分母只有常数的是整式方程，不属于分式方程。 分式方程的解法 ①基本思想：去分母，将分式方程转化为整式方程； ②步骤：分母因式分解→找最简公分母→两边同乘最简公分母化为整式方程→解整式方程→代入最简公分母检验→写出结论； ③检验规则：最简公分母不为0，是原方程的解；最简公分母等于0，该根为增根，予以舍去。 增根 ①本质：增根是去分母后整式方程的根，但会使原分式方程分母为0； ②产生原因：去分母时方程两边乘了值为0的代数式； ③注意：出现增根不等于方程一定无解。 分式方程的参数问题 ①考法：已知增根求参数；已知方程无解求参数；已知方程整数解求参数；②运算要点：求出整式方程的解，排除使最简公分母为0的取值，确定参数。 分式方程实际应用 ①解题步骤：审题→设未知数→列出分式方程→解整式方程； ②双重检验：检验是否为增根，检验结果符合实际意义； ③规范书写作答。 重点辨析 1. 负整数指数幂的负号只作用于指数，不能直接把运算结果当成负数。 2. 0的零次幂、0的负整数次幂均无意义。 3. 分式方程必须检验，整式方程不需要检验，二者有明显区别。 4. 增根只是整式方程的根，不是原分式方程的解。 5. 分式方程无解包含两种情况：①整式方程求出的根全部是增根；②化简得到的整式方程本身无解。 1. 计算负整数指数幂，直接把结果算成负数，忘记做倒数变形。 2. 科学记数法表示极小的数，10的负指数n计数出错。 3. 解分式方程，省略检验步骤，直接把整式方程的根当作分式方程的解。 4. 处理参数问题，只考虑增根，忽略整式方程本身无解的情况。 5. 分式方程应用题只检验方程，忽略检验结果是否符合现实实际。 题型 考察方向 难度 题型一 负整数指数幂 ★ 题型二 整数指数幂的运算 ★★ 题型三 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 ★ 题型四 还原用科学记数法表示的小数 ★ 题型五 分式方程的定义 ★ 题型六 解分式方程 ★★ 题型七 根据分式方程解的情况求值 ★★★ 题型八 分式方程无解问题 ★★★★ 题型九 列分式方程 ★★ 题型十 分式方程的行程问题 ★★★ 题型十一 分式方程的工程问题 ★★★ 题型十二 分式方程的经济问题 ★★★ 题型十三 分式方程和差倍分问题 ★★★ 题型十四 分式方程的其它实际问题 ★★★★ 拔高题 10题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难点★★★★★压轴 题型一：负整数指数幂 解题思路：①套用公式a−p=(a≠0)，负指数转化为倒数再做乘方；②分数的负指数，直接颠倒分子分母，指数改为正；③切记底数不能等于0。 1．计算的值为（     ） A． B． C． D． 2．如图是一数值转换机，若输入的为，则输出的结果为（     ） A．9 B． C． D． 3．若则______． 4．已知实数m，n满足，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 题型二：整数指数幂的运算 解题思路：①先分别计算式子中的零指数、负指数项；②再按照幂的乘、除运算法则运算；③遵循运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；④全程留意零指数、负指数要求底数不为0。 5．已知，则“★”代表的数是______． 6．《孙子算经》卷上说：“十圭为抄，十抄为撮，十撮为勺，十勺为合．”说明“抄、撮、勺、合”均为十进制．则1圭等于（     ） A．合 B．合 C．合 D．合 7．定义一种新运算“”：若，则规定．当时，则整数x的值为_____． 8．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型三：用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 解题思路：①确定a，满足1|a|<10}；②确定n，n是小数点后第一个非零数字前面0的总个数；③写成a10-n形式。 9．唐朝李绅的《悯农》中有云：锄禾日当午，汗滴禾下土．谁知盘中餐，粒粒皆辛苦．所以我们要爱惜粮食．已知一粒大米的质量约为千克，这个数用科学记数法表示为______． 10．我国“嫦娥六号”探测器携带的微型激光测距仪，对月球表面测量的精度可达（）．用科学记数法表示这一测量的精度是________．蜂鸟是世界上最小的鸟，某只蜂鸟从头到尾的长度大约仅为，问最大的蜂鸟的长度相当于该测量的精度的_______倍． 11．方框中所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型四：还原用科学记数法表示的小数 解题思路：①看10的负指数-n；②把a的小数点向左移动n位；③位数不够时，前面补0。 12．在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，使量子光源芯片输出波长的最大值约为，则这个数对应的原数是________． 13．一粒大米的质量约为，用小数表示为_______． 14．如下所示的是一道部分被污损的训练题，何楠查阅后发现本题的答案为11，则污损处“0”的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型五：分式方程的定义 解题思路：①只看原方程分母，不需要化简；②分母里含有未知数，才是分式方程；③分母只有常数，属于整式方程。 15．下列关于x的方程中，是分式方程的是（     ） A． B． C． D． 16．已知方程：①，②，③，④，⑤，⑥，其中分式方程有_________________． 17．岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 题型六：解分式方程 解题思路：①对分母因式分解，确定最简公分母；②方程两边同乘最简公分母，消去分母化为整式方程；③求解这个整式方程；④把解代入最简公分母做检验；⑤根据检验结果写出方程的解或无解。 18．分式方程的解为________． 19．若分式方程有增根，则m的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．将分式方程去分母化为整式方程，所得的结果是________． 21．已知关于的分式方程的增根是，则的值为（   ） A． B． C．16 D．18 题型七：根据分式方程解的情况求值 解题思路：①去分母，转化为整式方程；②解整式方程，得到含参数的解；③根据解的限制条件列出不等式；④排除会使最简公分母等于0的参数；⑤得到参数最终取值。 22．若关于的分式方程的解为，则的值是__________． 23．若关于的方程有增根，则的值是（     ） A． B． C． D． 24．如果关于的方程有增根，那么的值为___________． 25．定义运算：对于任意实数、、，有．若关于的分式方程有增根，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型八：分式方程无解问题 解题思路：①若整式方程的解使最简公分母为0，该解为增根，原分式方程无解；②若化简后整式方程化为Ax=B，满足A=0且B≠0，整式方程本身无解，则原分式方程无解；③上述两种情况全部要讨论。 26．如果关于的方程无解，那么的值是_____． 27．若关于的分式方程有增根，则增根是（     ） A． B． C． D．或 28．若关于x的分式方程无解，则a的值为_______． 29．若关于x的分式方程无解，则m的值为（     ） A． B． C．或 D．或 题型九：列分式方程 解题思路：①读懂题干，找准题目中的等量关系；②合理设出未知数，区分已知量与未知量；③列出方程，保证分母中含有未知数。 30．轮船在静水中速度为，往返于相距的A、B两码头之间，顺水比逆水少用1小时．设水流速度为，可列方程为_________． 31．掀起了“人工智能+”的热潮，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 32．北京至石家庄的铁路长392千米，为适应经济发展，自2001年10月21日起，某客运列车的行车速度每小时比原来增加40千米，使得石家庄至北京的行车时间缩短了1小时．如果设该列车提速前的速度为每小时x千米，那么为求x所列出的方程为______ ． 33．某学校加强用水管理后，平均每月比原来节约用水吨，同样吨水现在可以比原来多用个月．设原来每月用水吨，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 题型十：分式方程的行程问题 解题思路：①牢记核心公式时间=；②一般以时间关系建立等式；③设未知数列出分式方程；④双重检验，既要检验增根，又要检验结果是否符合实际意义。 34．2026年4月，成都的孩子们迎来了春假，他们走出课堂，走进自然．小明、小亮两位同学分别从距离春游活动地点24千米和10千米的两地同时乘坐交通工具出发去参加活动，小明速度是小亮速度的2倍，小亮比小明提前8分钟到达活动地点．若假设小亮的速度是千米/小时，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 35．甲、乙二人从郑州出发到西安，甲乘坐高铁，乙乘坐普通列车，结果甲比乙少用．已知高铁的平均速度比普通列车快，求高铁、普通列车的平均速度分别是多少．假设从郑州到西安的高铁、普通列车线路长均为，高铁的平均速度为，则根据题意可列方程为__________． 36．有一个正在向上匀速移动的自动扶梯，旅客A从其顶端往下匀速行至其底端，共走了60级，旅客B从其底端往上匀速行至其顶端，共走了30级（扶梯行驶，两人也在梯上行走，且每次只跨1级），且A的速度（即单位时间所走的级数）是B的速度的3倍，那么自动扶梯露在外面的级数是多少？ 题型十一：分式方程的工程问题 解题思路：①通常把工作总量设为1；②利用关系式工作效率=；③依据各部分工作量之和等于总工作量列等式；④求解完成后进行双重检验。 37．甲、乙两人加工一批零件，甲完成个与乙完成个所用的时间相同，已知甲比乙每天多完成个．设甲每天完成个零件，根据题意，所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 38．我省特种钢技术全国领先，某企业生产A，B两种规格的手撕钢成品．已知生产B规格手撕钢所用的时间是生产A规格手撕钢所用时间的1.5倍，该企业用生产A规格手撕钢的数量比用生产B规格手撕钢的数量多．设该企业生产A规格的手撕钢需要，则根据题意，可列方程为__________． 39．某校周六、周日分别从甲班与乙班各选出20位同学去帮助某果园的果农采摘脐橙，任务都是完成脐橙的采摘、运送、包装三项工作，已知每个同学每小时完成同项工作的工作量一样，每人每小时可采摘． (1)周六时甲班将工作做如下分配：6人采摘，8人运送，6人包装，发现刚好各项工作完成的时间相等，请问每人每小时运送、包装各多少？ (2)得知相关信息后，周日乙班将分配方案调整如下：20人一起完成采摘任务后自由分成两组，第一组运送，第二组包装，发现当第一组完成了任务时，第二组在相同的时间内还有的脐橙没有包装，于是第一组同学马上帮助第二组同学进行包装直至完成任务，试问自由分成的两组各多少人？ 题型十二：分式方程的经济问题 解题思路：①利用核心关系式数量=；②抓住价格变动带来的数量变化梳理等量关系；③列出分式方程；④结果必须符合现实实际。 40．习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（     ） A． B． C． D． 41．互联网“微商”经营已成为大众创业新途径．线上平台上有一种标价为元的商品，若按标价的八折销售，每件商品的利润率为，则这种商品每件的成本价为___元． 42．如图为未来文具店某种铅笔的销售方式． 小明到该店购买这种铅笔，如果给八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用120元；同样用120元，也可以按批发价付款，可多购买40支． (1)若小明所在学校八年级的学生总数是a人，用含a的式子解决下面的问题： ①一支铅笔的零售价为 元，一支铅笔的批发价为 元； ②一支铅笔的零售价比批发价多多少元？ (2)小明说，“根据我校八年级人数以及需要，我按批发价购买了336支，与按零售价购买280支的总花费相同”；文具店店长说，“你说的这种情况不可能”．请你判断小明和店长谁说得对，并说明理由． 题型十三：分式方程和差倍分问题 解题思路：①读懂文字描述，翻译“比…多、比…少、是…几倍”条件，转化为等式；②恰当设未知数；③构建分式方程；④完成增根与实际意义双重检验。 43．某古籍修复中心用桑皮纸与普通宣纸封存古籍和吸附书页的潮气．已知一张桑皮纸的吸湿量是一张普通宣纸吸湿量的3倍少，吸附潮气所需桑皮纸的张数与吸附潮气所需普通宣纸的张数相同．设一张普通宣纸的吸湿量为，根据题意所列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 44．为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部换成感应水龙头．已知该景点设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天．该景点在设施改造后平均每天用水______吨． 45．某工厂在生产操作中需要用机器人来搬运原材料．现有A、B两种机器人，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30，A型机器人搬运750所用时间与B型机器人搬运500所用时间相等，A型机器人每小时搬运多少千克原材料？ 题型十四：分式方程的其它实际问题 解题思路：①仔细读题，提取题目有效数量关系；②梳理各个变量之间的关系；③列出分式方程并求解；④既要检验增根，又要验证结果符合现实情况。 46．2025 年我国货物贸易进出口总值万亿元，同比增长．已知同比增长是指与上一年同期相比增长，设2024 年我国货物贸易进出口总值为x万亿元，则下列方程正确的是（     ） A．B． C． D． 47．生物学家估计某一地区的某种鸟的只数时，常采用“捉放捉”的方法．如先捕捉该种鸟500只，分别给它们做上记号，然后放归；一段时间后，重新捕捉一些该种鸟作为样本，如果多次这样捕捉到的该种鸟中平均每100只有5只带有记号，估计该地区该种鸟有______只． 48．学校准备组织七年级400名学生参加夏令营，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若学校租用的大客车数量是小客车的4倍，小客车总租金为4000元，大客车总租金为30400元，小客车每辆租金比大客车每辆租金少1800元，求小客车和大客车的数量． 解答题 1．计算与化简求值 (1) (2)，其中． 2．纳米是常用的微观长度单位，规定，某科研团队研制的纳米薄膜，单层薄膜厚度为． (1)求层该纳米薄膜叠加后的总厚度，结果用科学记数法表示； (2)已知一根头发丝的直径约为，求上述叠加后的纳米薄膜总厚度是头发丝直径的多少倍？ 3．解分式方程： (1)． (2)． 4．我们规定：如果两个实数，使得关于的分式方程的解为，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解为，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”若不是，打“×”： ①（ ）②（ ） (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 5．若关于x的分式方程无解，求m的值． 6．赛龙舟是中国端午节最重要的节日民俗活动之一．近年端午期间各地举行的龙舟赛更承载着同舟共济的精神，引领着全民健身的风潮．为备战某次龙舟赛，甲、乙两支龙舟队进行2000米追逐赛训练．已知甲队的平均速度是乙队平均速度的1.25倍，且甲队行完全程比乙队行完全程用时少100秒．求本次训练中乙龙舟队的平均速度． 7．甲、乙两厂装配同一种汽车，乙厂由于进行了技术创新，每天比甲厂多装配30辆． (1)若乙厂装配500辆所用时间与甲厂装配400辆所用时间相同，则甲厂每天可以装配这种汽车多少辆？ (2)若甲、乙两厂同时进行技术再创新，设甲厂每天装配辆（），乙厂每天比甲厂多装配20辆．甲厂装配900辆所用时间为（天），乙厂装配1000辆所用时间为（天），请你比较与的大小，并说明理由． 8．某超市用2000元购进某种水果销售，由于销售状况良好，很快售完．超市又调拨6000元资金购进该种水果，但这次的进价比第一次提高了，购进的数量比第一次的2倍还多200千克，超市此时按每千克10元的价格出售，当大部分售出后，余下的100千克按售价的8折售完． (1)该种水果的第一次的进价是每千克多少元？ (2)超市第二次销售该种水果盈利了多少元？ 9．2026吉马荣耀奖牌，以玫瑰花瓣为环、六枚“吉”字雪花为缀，将摇橹人图腾藏进雾凇纹理，把“北国江城”的浪漫与力量，凝作跑者胸前的荣耀．赛事组委会为完赛选手定制了全马、半马两款奖牌．据了解，每枚全马奖牌比半马奖牌贵4元；用1500元定制全马奖牌的数量与用1200元定制半马奖牌的数量相同．求全马、半马奖牌每枚的单价各是多少元？ 10．物理学中，电功率表示电能消耗的快慢，其大小等于消耗的电能与所用的时间之比，公式为（为消耗的电能，单位：；为所用的时间，单位：；为电功率，单位：）．实验课上，老师要求利用电能表和秒表测量并计算两盏小型护眼灯的电功率．小明通过实验得到以下数据：A护眼灯消耗电能，B护眼灯消耗电能，B护眼灯的工作时间比A护眼灯多．已知A，B两盏护眼灯的电功率相同． (1)求A、B两盏护眼灯分别工作了多长时间； (2)求A护眼灯的电功率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13整数指数幂与分式方程精讲学案 核心立意： 将幂的运算拓展到全体整数范围，掌握零指数幂、负整数指数幂，会用科学记数法表示绝对值小于1的小数；理解分式方程概念，掌握分式方程解法，理解增根成因，会处理含参数分式方程，能够列分式方程解决实际问题，体会转化思想，把分式相关问题转化为整式问题求解。 零指数幂 ①公式：a0=1； ②条件：a0； ③运算要点：00无意义，底数不能为0。 负整数指数幂 ①公式：a−p=； ②条件：a0，n为正整数； ③运算要点：负指数代表取倒数，不代表结果为负数； 拓展公式()-n=()n。 整数指数幂运算性质（a≠0，b≠0，m、n为整数） ①同底数幂乘法：aman=am+n； ②幂的乘方：(am)n=amn； ③积的乘方(ab)n=anbn：； ④同底数幂除法：am÷an=am−n。 科学记数法表示绝对值小于1的小数 ①形式：a10-n； ②要求：1|a|<10； ③运算要点：n等于小数点后，第一个非零数字前面0的个数。 分式方程的定义 ①概念：分母中含有未知数的方程；②辨析：分母只有常数的是整式方程，不属于分式方程。 分式方程的解法 ①基本思想：去分母，将分式方程转化为整式方程； ②步骤：分母因式分解→找最简公分母→两边同乘最简公分母化为整式方程→解整式方程→代入最简公分母检验→写出结论； ③检验规则：最简公分母不为0，是原方程的解；最简公分母等于0，该根为增根，予以舍去。 增根 ①本质：增根是去分母后整式方程的根，但会使原分式方程分母为0； ②产生原因：去分母时方程两边乘了值为0的代数式； ③注意：出现增根不等于方程一定无解。 分式方程的参数问题 ①考法：已知增根求参数；已知方程无解求参数；已知方程整数解求参数；②运算要点：求出整式方程的解，排除使最简公分母为0的取值，确定参数。 分式方程实际应用 ①解题步骤：审题→设未知数→列出分式方程→解整式方程； ②双重检验：检验是否为增根，检验结果符合实际意义； ③规范书写作答。 重点辨析 1. 负整数指数幂的负号只作用于指数，不能直接把运算结果当成负数。 2. 0的零次幂、0的负整数次幂均无意义。 3. 分式方程必须检验，整式方程不需要检验，二者有明显区别。 4. 增根只是整式方程的根，不是原分式方程的解。 5. 分式方程无解包含两种情况：①整式方程求出的根全部是增根；②化简得到的整式方程本身无解。 1. 计算负整数指数幂，直接把结果算成负数，忘记做倒数变形。 2. 科学记数法表示极小的数，10的负指数n计数出错。 3. 解分式方程，省略检验步骤，直接把整式方程的根当作分式方程的解。 4. 处理参数问题，只考虑增根，忽略整式方程本身无解的情况。 5. 分式方程应用题只检验方程，忽略检验结果是否符合现实实际。 题型 考察方向 难度 题型一 负整数指数幂 ★ 题型二 整数指数幂的运算 ★★ 题型三 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 ★ 题型四 还原用科学记数法表示的小数 ★ 题型五 分式方程的定义 ★ 题型六 解分式方程 ★★ 题型七 根据分式方程解的情况求值 ★★★ 题型八 分式方程无解问题 ★★★★ 题型九 列分式方程 ★★ 题型十 分式方程的行程问题 ★★★ 题型十一 分式方程的工程问题 ★★★ 题型十二 分式方程的经济问题 ★★★ 题型十三 分式方程和差倍分问题 ★★★ 题型十四 分式方程的其它实际问题 ★★★★ 拔高题 10题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难点★★★★★压轴 题型一：负整数指数幂 解题思路：①套用公式a−p=(a≠0)，负指数转化为倒数再做乘方；②分数的负指数，直接颠倒分子分母，指数改为正；③切记底数不能等于0。 1．计算的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 2．如图是一数值转换机，若输入的为，则输出的结果为（     ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数值转换机，输出的结果为 ，将输入 代入计算即可． 【详解】解：根据数值转换机，输出的结果为 ， 将输入 代入可得． 3．若则______． 【答案】 【分析】将已知等式两边平方，利用完全平方公式化简即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．已知实数m，n满足，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举反例说明A、B、C选项错误，利用不等式的性质，负整数指数幂的意义判断D选项即可. 【详解】解：当，时，，，满足， 此时，，，，， ，， 故A、B、C选项错误， ， ， ， ， ， ． 故D选项正确． 题型二：整数指数幂的运算 解题思路：①先分别计算式子中的零指数、负指数项；②再按照幂的乘、除运算法则运算；③遵循运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；④全程留意零指数、负指数要求底数不为0。 5．已知，则“★”代表的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，由同底数幂的乘法运算公式得，解方程，即可求解；掌握公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 故答案为：． 6．《孙子算经》卷上说：“十圭为抄，十抄为撮，十撮为勺，十勺为合．”说明“抄、撮、勺、合”均为十进制．则1圭等于（     ） A．合 B．合 C．合 D．合 【答案】D 【分析】根据题意给出的十进制单位换算关系，逐步将圭换算为合，结合负整数指数幂计算即可得到结果． 【详解】解：由题意可知，圭抄，抄撮，撮勺，勺合， ∴ 圭抄抄，抄撮撮，撮勺勺， 勺合合， 即圭等于合． 7．定义一种新运算“”：若，则规定．当时，则整数x的值为_____． 【答案】0 【分析】本题考查了幂运算，包括零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握幂运算法则是关键．根据新定义可得，再分三种情况求解即可． 【详解】解：当时， ， 分三种情况： 当时，，此时底数，但x不是整数，不符合题意，舍去； 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，，不符合题意，舍去； 综上所述，整数x的值为0． 故答案为：0． 8．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用整数指数幂的运算法则，可得，进一步即可求出n的值. 【详解】解：∵ ，， ∴， ∴， 解得. 题型三：用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 解题思路：①确定a，满足1|a|<10}；②确定n，n是小数点后第一个非零数字前面0的总个数；③写成a10-n形式。 9．唐朝李绅的《悯农》中有云：锄禾日当午，汗滴禾下土．谁知盘中餐，粒粒皆辛苦．所以我们要爱惜粮食．已知一粒大米的质量约为千克，这个数用科学记数法表示为______． 【答案】 【分析】将绝对值小于的数表示为科学记数法，形式为，需满足，原数小于时为负整数，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前零的个数． 【详解】解：． 10．我国“嫦娥六号”探测器携带的微型激光测距仪，对月球表面测量的精度可达（）．用科学记数法表示这一测量的精度是________．蜂鸟是世界上最小的鸟，某只蜂鸟从头到尾的长度大约仅为，问最大的蜂鸟的长度相当于该测量的精度的_______倍． 【答案】 /90000 【分析】先根据单位换算关系将换算为米，并用科学记数法表示，再计算蜂鸟体长与测量精度的倍数关系． 【详解】解：∵， ∴． 蜂鸟体长为， 倍数． 11．方框中所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：本题答案为1， ， 根据题意可得， ， 所以小数中总共有个“0”， 则破损处“0”的个数为个． 题型四：还原用科学记数法表示的小数 解题思路：①看10的负指数-n；②把a的小数点向左移动n位；③位数不够时，前面补0。 12．在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，使量子光源芯片输出波长的最大值约为，则这个数对应的原数是________． 【答案】0.000000102 【详解】解：对于科学记数法，当时，将的小数点向左移动位即可得到原数， 本题中，，． 将的小数点向左移动位，得到原数为． 13．一粒大米的质量约为，用小数表示为_______． 【答案】 【分析】本题考查了还原用科学记数法表示的小数，熟记科学记数法的定义是解题关键．根据科学记数法中的指数的绝对值可得将小数中的小数点向左移动5位即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 14．如下所示的是一道部分被污损的训练题，何楠查阅后发现本题的答案为11，则污损处“0”的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据科学记数法的表示方法求解出a和n的值，进而解答即可． 【详解】解：根据题意可知，， ∴， ∵， ∴污损处“0”的个数为3． 题型五：分式方程的定义 解题思路：①只看原方程分母，不需要化简；②分母里含有未知数，才是分式方程；③分母只有常数，属于整式方程。 15．下列关于x的方程中，是分式方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程是分式方程，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A.是一元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求； B.分母中含有未知数，是分式方程，符合要求； C.分母为常数和，不含未知数，是一元一次整式方程，不符合要求； D.是二元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求． 16．已知方程：①，②，③，④，⑤，⑥，其中分式方程有_________________． 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”是解题的关键．根据分式方程的定义，逐个判断即可，要注意分式方程中分母是关于未知数的整式． 【详解】解：①②分母中不含未知数，不是分式方程；③④⑤分母中含有未知数，是分式方程；⑥根号下含有未知数，是无理方程，不是分式方程， 故答案为：③④⑤． 17．岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题目的意思，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． 设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是．由于种植红薯地的面积=这块地的总产量÷平均每亩产量，根据改良红薯品种前后种植红薯地的面积不变列方程求解，用含a、m的代数式表示出x即可． 【详解】解：设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是． ∵总产量增加了， ∴， 解得：， 经检验符合题意， 所以现在平均每亩红薯的产量是． 故选：B． 题型六：解分式方程 解题思路：①对分母因式分解，确定最简公分母；②方程两边同乘最简公分母，消去分母化为整式方程；③求解这个整式方程；④把解代入最简公分母做检验；⑤根据检验结果写出方程的解或无解。 18．分式方程的解为________． 【答案】 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 19．若分式方程有增根，则m的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：令，得增根为 原方程整理为， 去分母得， 将代入得， 解得． 20．将分式方程去分母化为整式方程，所得的结果是________． 【答案】 【分析】将方程两边同时乘以最简公分母，即可解答． 【详解】解：方程两边同时乘以去分母，得． 21．已知关于的分式方程的增根是，则的值为（   ） A． B． C．16 D．18 【答案】D 【分析】先将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程计算的值． 【详解】解：方程两边同乘，得， ∵分式方程的增根为， ∴将代入整式方程，得， 计算得． 题型七：根据分式方程解的情况求值 解题思路：①去分母，转化为整式方程；②解整式方程，得到含参数的解；③根据解的限制条件列出不等式；④排除会使最简公分母等于0的参数；⑤得到参数最终取值。 22．若关于的分式方程的解为，则的值是__________． 【答案】 【分析】根据方程的解的定义，将已知解代入原分式方程，得到关于的一元一次方程，求解后检验即可得到的值． 【详解】解：因为是分式方程的解，所以将代入原方程，得， 计算得： ， 整理得：， 经检验，当时，满足原方程分母不为0的条件，符合题意． 23．若关于的方程有增根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出方程的增根，再将分式方程化为整式方程，代入增根计算的值即可． 【详解】解：∵关于的方程有增根， ∴， 解得，即方程的增根为4， ， 方程两边同乘去分母，得， 化简，得， ∴， 解得． 24．如果关于的方程有增根，那么的值为___________． 【答案】 【分析】先确定分式方程的增根，将分式方程化为整式方程，再把增根代入整式方程即可求出的值. 【详解】解：∵ 方程有增根，且方程分母为和， ∴ 增根满足，即. ， 方程两边同乘最简公分母，得 ， 整理得 ， 将代入上式，得 ， 解得 . 25．定义运算：对于任意实数、、，有．若关于的分式方程有增根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据新定义运算将原方程转化为常规分式方程，再利用增根的性质求解的值． 【详解】解：根据新定义运算，原方程可化为． 整理得． 两边同乘去分母，得． 分式方程有增根， ，即． 将代入整式方程，得． 解得． 题型八：分式方程无解问题 解题思路：①若整式方程的解使最简公分母为0，该解为增根，原分式方程无解；②若化简后整式方程化为Ax=B，满足A=0且B≠0，整式方程本身无解，则原分式方程无解；③上述两种情况全部要讨论。 26．如果关于的方程无解，那么的值是_____． 【答案】9 【分析】该题考查了分式方程无解问题，将分式方程去分母化为整式方程，根据分式方程无解的条件，即解为增根（使分母为零），求解m的值． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 化简得， 即． ∵原方程无解， ∴应为增根，即， ∴， 解得． 故答案为：9． 27．若关于的分式方程有增根，则增根是（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的增根，关键是理解分式方程为什么会有增根．方程中各分母的最简公分母为，令，即求出的值． 【详解】解：原方程中， 因此分式方程的最简公分母为． ∵分式方程有增根， ∴最简公分母的值为0，即， 解得． 28．若关于x的分式方程无解，则a的值为_______． 【答案】0或1 【分析】首先可将转化为，消去分母将分式方程转化为整式方程；再分类讨论分式方程无解的情况，第一种是化简后的整式方程无解，第二种是使原分式方程的分母为0的情况，进而求解a的值． 【详解】解：去分母得：， 整理得：． 当时， 解得． 此时整式方程为，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程也无解，符合要求． 当时， 解得， 则有， 解得．此时整式方程的解为，是原分式方程的增根，因此原分式方程无解，符合要求． 综上，a的值为0或1． 【点睛】分式方程无解包含两种情况：整式方程本身无解，或整式方程的解为原分式方程的增根． 29．若关于x的分式方程无解，则m的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分式方程无解包含两种情况，一是去分母后的整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，本题先将分式方程化为整式方程，再结合无解的条件计算的值． 【详解】解：方程两边同乘得， 解得， ，是整式方程，始终有解， ∴当或时，原方程分母为零，无解． 令，则，解得； 令，则，解得． ∴或时，原方程无解． 题型九：列分式方程 解题思路：①读懂题干，找准题目中的等量关系；②合理设出未知数，区分已知量与未知量；③列出方程，保证分母中含有未知数。 30．轮船在静水中速度为，往返于相距的A、B两码头之间，顺水比逆水少用1小时．设水流速度为，可列方程为_________． 【答案】 【分析】分别表示顺水速度和逆水速度，再根据顺水比逆水少用1小时的时间关系列方程． 【详解】解：∵水流速度为，轮船在静水中速度为， ∴顺水速度为，逆水速度为， ∵A，B两码头相距，时间=路程÷速度， ∴逆水航行时间为小时，顺水航行时间为小时， ∵顺水比逆水少用1小时， ∴可列方程为． 31．掀起了“人工智能+”的热潮，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以总工作量为单位，结合两模型的时间关系与合作完工条件列出分式方程即可得出答案． 【详解】解：∵设单独处理需要小时，单独处理时间比少3小时， ∴单独处理需要小时， 将总工作量看作单位1，则的工作效率为，的工作效率为， ∵两模型合作2小时完成全部工作， ∴，整理得． 32．北京至石家庄的铁路长392千米，为适应经济发展，自2001年10月21日起，某客运列车的行车速度每小时比原来增加40千米，使得石家庄至北京的行车时间缩短了1小时．如果设该列车提速前的速度为每小时x千米，那么为求x所列出的方程为______ ． 【答案】 【分析】根据路程、速度、时间的关系，分别表示出提速前后的行车时间，利用时间差为1小时列方程． 【详解】解：设该列车提速前的速度为每小时千米，根据题意，列出方程为 ． 33．某学校加强用水管理后，平均每月比原来节约用水吨，同样吨水现在可以比原来多用个月．设原来每月用水吨，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原来每月用水吨，现在每月节约用水吨，故现在每月用水吨，根据现在比原来多用个月列方程即可． 【详解】解：原来每月用水吨，现在每月节约用水吨，故现在每月用水吨， 吨水原来的使用时长为个月，现在的使用时长为个月， 现在比原来多用个月， ， 移项得． 题型十：分式方程的行程问题 解题思路：①牢记核心公式时间=；②一般以时间关系建立等式；③设未知数列出分式方程；④双重检验，既要检验增根，又要检验结果是否符合实际意义。 34．2026年4月，成都的孩子们迎来了春假，他们走出课堂，走进自然．小明、小亮两位同学分别从距离春游活动地点24千米和10千米的两地同时乘坐交通工具出发去参加活动，小明速度是小亮速度的2倍，小亮比小明提前8分钟到达活动地点．若假设小亮的速度是千米/小时，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设小亮速度为千米/小时，则小明速度为千米/小时，小亮的用时为小时，小明的用时为小时，根据小明的用时比小亮多8分钟，即小时，列方程得 ． 35．甲、乙二人从郑州出发到西安，甲乘坐高铁，乙乘坐普通列车，结果甲比乙少用．已知高铁的平均速度比普通列车快，求高铁、普通列车的平均速度分别是多少．假设从郑州到西安的高铁、普通列车线路长均为，高铁的平均速度为，则根据题意可列方程为__________． 【答案】 【分析】由题意可得普通列车的平均速度，再结合时间路程速度，列出分式方程即可． 【详解】解：∵高铁的平均速度为，高铁的平均速度比普通列车快， ∴普通列车的平均速度， 由题意可得． 36．有一个正在向上匀速移动的自动扶梯，旅客A从其顶端往下匀速行至其底端，共走了60级，旅客B从其底端往上匀速行至其顶端，共走了30级（扶梯行驶，两人也在梯上行走，且每次只跨1级），且A的速度（即单位时间所走的级数）是B的速度的3倍，那么自动扶梯露在外面的级数是多少？ 【答案】自动扶梯露在外面的级数是48． 【分析】设扶梯速度和外面级数为未知数，分别以A、B为参照，利用“人走的级数 ÷ 人速度 = 扶梯移动的级数 ÷ 扶梯速度”列方程，两式相除消去扶梯速度，解出外面级数即可． 【详解】解：设扶梯的速度为x级/分，旅客B的速度为y级/分，扶梯露在外面的级数为n， 则， 两式相除得：， 解得：n＝48， 经检验得n＝48是方程的根． 答：自动扶梯露在外面的级数是48． 题型十一：分式方程的工程问题 解题思路：①通常把工作总量设为1；②利用关系式工作效率=；③依据各部分工作量之和等于总工作量列等式；④求解完成后进行双重检验。 37．甲、乙两人加工一批零件，甲完成个与乙完成个所用的时间相同，已知甲比乙每天多完成个．设甲每天完成个零件，根据题意，所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设甲每天完成个零件，根据“甲完成个与乙完成个所用的时间相同”列出分式方程即可． 【详解】解：设甲每天完成个零件，则乙每天完成个，由题意，得 ． 38．我省特种钢技术全国领先，某企业生产A，B两种规格的手撕钢成品．已知生产B规格手撕钢所用的时间是生产A规格手撕钢所用时间的1.5倍，该企业用生产A规格手撕钢的数量比用生产B规格手撕钢的数量多．设该企业生产A规格的手撕钢需要，则根据题意，可列方程为__________． 【答案】 【分析】设该企业生产A规格的手撕钢需要，则生产B规格的手撕钢需要，根据该企业用生产A规格手撕钢的数量比用生产B规格手撕钢的数量多，建立分式方程即可． 【详解】解：设该企业生产A规格的手撕钢需要，则生产B规格的手撕钢需要， 根据题意，得． 39．某校周六、周日分别从甲班与乙班各选出20位同学去帮助某果园的果农采摘脐橙，任务都是完成脐橙的采摘、运送、包装三项工作，已知每个同学每小时完成同项工作的工作量一样，每人每小时可采摘． (1)周六时甲班将工作做如下分配：6人采摘，8人运送，6人包装，发现刚好各项工作完成的时间相等，请问每人每小时运送、包装各多少？ (2)得知相关信息后，周日乙班将分配方案调整如下：20人一起完成采摘任务后自由分成两组，第一组运送，第二组包装，发现当第一组完成了任务时，第二组在相同的时间内还有的脐橙没有包装，于是第一组同学马上帮助第二组同学进行包装直至完成任务，试问自由分成的两组各多少人？ 【答案】(1)每人每小时运送，包装 (2)运送的第一组有12人，包装的第二组有8人 【分析】（1）先求出工作时间，根据每个同学每小时完成同项工作的工作量一样，且每人每小时可采摘，6人采摘，8人运送，6人包装，刚好各项工作完成的时间相等，列式计算即可； （2）设负责包装的人数为y人，则负责运送人数为人，根据当第一组完成了任务时，第二组在相同的时间内还有的脐橙没有包装，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知采摘、运送、包装的人数为6、8、6. 设采摘了x小时，根据题意得： ， 解得：， 每人每小时包装：； 每人每小时运送：； （2）解：设负责包装的人数为y人，则负责运送的人数为人， 依题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的根， （人）， 答：运送的第一组有12人，包装的第二组有8人． 题型十二：分式方程的经济问题 解题思路：①利用核心关系式数量=；②抓住价格变动带来的数量变化梳理等量关系；③列出分式方程；④结果必须符合现实实际。 40．习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“套数总价单价”，结合“第二批购买的套数比第一批少4套”的等量关系列出方程，即可选出正确选项． 【详解】解：∵设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，第二批八折销售， ∴第二批每套的价格为元， ∴第一批购买的套数为，第二批购买的套数为， 又∵第二批购买的套数比第一批少4套， ∴， 因此正确选项为B． 41．互联网“微商”经营已成为大众创业新途径．线上平台上有一种标价为元的商品，若按标价的八折销售，每件商品的利润率为，则这种商品每件的成本价为___元． 【答案】 【分析】设成本为，由利润率计算公式列方程求解即可． 【详解】解：设这种商品每件的成本价为元，则 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 42．如图为未来文具店某种铅笔的销售方式． 小明到该店购买这种铅笔，如果给八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用120元；同样用120元，也可以按批发价付款，可多购买40支． (1)若小明所在学校八年级的学生总数是a人，用含a的式子解决下面的问题： ①一支铅笔的零售价为 元，一支铅笔的批发价为 元； ②一支铅笔的零售价比批发价多多少元？ (2)小明说，“根据我校八年级人数以及需要，我按批发价购买了336支，与按零售价购买280支的总花费相同”；文具店店长说，“你说的这种情况不可能”．请你判断小明和店长谁说得对，并说明理由． 【答案】(1)①，；②元； (2)店长的说法是对的，理由是： 设八年级学生总数为人， 则， 解得， 检验当时，， ∴是分式方程的解； ， 解得， ∴不符合题意； ∴店长的说法是对的 【分析】（1）①根据人数和钱数列式即可；②利用分式的减法进行解答即可； （2）设八年级学生总数为人，根据题意列方程并解方程得到，再列不等式组求出，则不符合题意，即可得到结论． 【详解】（1）解：若小明所在学校八年级的学生总数是a人， ①一支铅笔的零售价为元，一支铅笔的批发价为元； ②根据题意可得，， 即一支铅笔的零售价比批发价多元； （2）略 题型十三：分式方程和差倍分问题 解题思路：①读懂文字描述，翻译“比…多、比…少、是…几倍”条件，转化为等式；②恰当设未知数；③构建分式方程；④完成增根与实际意义双重检验。 43．某古籍修复中心用桑皮纸与普通宣纸封存古籍和吸附书页的潮气．已知一张桑皮纸的吸湿量是一张普通宣纸吸湿量的3倍少，吸附潮气所需桑皮纸的张数与吸附潮气所需普通宣纸的张数相同．设一张普通宣纸的吸湿量为，根据题意所列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意表示出一张桑皮纸的吸湿量，再利用张数总吸湿量单张吸湿量，结合两种纸张数相等的等量关系，列出方程即可． 【详解】解：∵设一张普通宣纸的吸湿量为， ∴一张桑皮纸的吸湿量为， ∵张数等于总吸湿量除以单张吸湿量，且题目中两种纸的张数相同， ∴吸附潮气的桑皮纸张数为，吸附潮气的普通宣纸张数为， 因此可得方程． 44．为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部换成感应水龙头．已知该景点设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天．该景点在设施改造后平均每天用水______吨． 【答案】2 【分析】设改造后平均每天用水吨，则原来平均每天用水吨，根据“20吨水改造后比原来多用5天”的等量关系列分式方程求解即可； 【详解】解：设该景点在设施改造后平均每天用水吨，则原来平均每天用水吨， 由题意得： 解方程得： ， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义； 答：该景点在设施改造后平均每天用水2吨； 45．某工厂在生产操作中需要用机器人来搬运原材料．现有A、B两种机器人，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30，A型机器人搬运750所用时间与B型机器人搬运500所用时间相等，A型机器人每小时搬运多少千克原材料？ 【答案】A型机器人每小时搬运90原料 【分析】设A型机器人每小时搬运x原料．根据“A型机器人搬运750所用时间与B型机器人搬运500所用时间相等”列分式方程，求解即可． 【详解】解：设A型机器人每小时搬运x原料． 根据题意，得． 解得． 检验：当时，． 是原方程的解． 答：A型机器人每小时搬运90原料． 题型十四：分式方程的其它实际问题 解题思路：①仔细读题，提取题目有效数量关系；②梳理各个变量之间的关系；③列出分式方程并求解；④既要检验增根，又要验证结果符合现实情况。 46．2025 年我国货物贸易进出口总值万亿元，同比增长．已知同比增长是指与上一年同期相比增长，设2024 年我国货物贸易进出口总值为x万亿元，则下列方程正确的是（     ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同比增长是相对上一年同期的增长率，增长率增长量上一年（基期）总值，据此列出方程即可判断选项． 【详解】解：∵设2024年我国货物贸易进出口总值为万亿元，2025年总值为万亿元，同比增长，同比增长以2024年总值为基期，增长量为， ∴可得方程． 47．生物学家估计某一地区的某种鸟的只数时，常采用“捉放捉”的方法．如先捕捉该种鸟500只，分别给它们做上记号，然后放归；一段时间后，重新捕捉一些该种鸟作为样本，如果多次这样捕捉到的该种鸟中平均每100只有5只带有记号，估计该地区该种鸟有______只． 【答案】 【分析】设该地区该种鸟有只，利用占比不变列出方程，求解并检验即可． 【详解】解：设该地区该种鸟有只， 根据题意，可列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴该地区该种鸟有只． 48．学校准备组织七年级400名学生参加夏令营，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若学校租用的大客车数量是小客车的4倍，小客车总租金为4000元，大客车总租金为30400元，小客车每辆租金比大客车每辆租金少1800元，求小客车和大客车的数量． 【答案】(1)每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生 (2)小客车有辆，大客车有辆 【分析】（1）设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案； （2）设小客车的数量为辆，则大客车的数量为辆，根据题意列出分式方程，求解并检验，即可获得答案． 【详解】（1）解：设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生， 根据题意可得：， 解得， 答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生； （2）解：设小客车的数量为辆，则大客车的数量为辆， 根据题意可得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， ∴， 答：小客车有2辆，大客车有8辆． 解答题 1．计算与化简求值 (1) (2)，其中． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，再计算； （2）先根据分式的乘除法法则运算，再根据分式的加减法法则计算，并化到最简，然后将数值代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 当时，原式． 2．纳米是常用的微观长度单位，规定，某科研团队研制的纳米薄膜，单层薄膜厚度为． (1)求层该纳米薄膜叠加后的总厚度，结果用科学记数法表示； (2)已知一根头发丝的直径约为，求上述叠加后的纳米薄膜总厚度是头发丝直径的多少倍？ 【答案】(1) (2)倍 【分析】（1）用单层薄膜厚度乘以薄膜的层数即可得到答案； （2）用（1）计算的结果除以一根头发丝的直径即可得到答案． 【详解】（1）解：， 答：层该纳米薄膜叠加后的总厚度为； （2）解：， 答：上述叠加后的纳米薄膜总厚度是头发丝直径的30倍． 3．解分式方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)无解 【详解】（1）解：， 方程两边同乘，得， 解得， 检验，时，， ∴分式方程的解为； （2）解：， 两边同乘，得， 解得， 检验：时，， ∴不是原分式方程的解，原分式方程无解． 4．我们规定：如果两个实数，使得关于的分式方程的解为，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解为，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”若不是，打“×”： ①（ ）②（ ） (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 【答案】(1)①√②× (2)4 【分析】（1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解，再根据“关联数对”的定义列等式，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：①当，时，分式方程为， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∵， ∴是“关联数对”； ②当，时，分式方程为， 解得， 经检验，是原方程的解， ∵， ∴不是“关联数对”； （2）解：∵是关于的分式方程的“关联数对”， ∴， 解得， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解． 5．若关于x的分式方程无解，求m的值． 【答案】或或 【分析】根据一元一次方程无解和分式方程无解的情况，分别讨论分析即可得解． 【详解】解：， 方程两边同时乘以得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得， 当，即时，该方程无解； 当时，， 关于x的分式方程无解， ， 解得或， 时，原分式方程无解， 解得，或． 综上所述，若关于x的分式方程无解，或或． 6．赛龙舟是中国端午节最重要的节日民俗活动之一．近年端午期间各地举行的龙舟赛更承载着同舟共济的精神，引领着全民健身的风潮．为备战某次龙舟赛，甲、乙两支龙舟队进行2000米追逐赛训练．已知甲队的平均速度是乙队平均速度的1.25倍，且甲队行完全程比乙队行完全程用时少100秒．求本次训练中乙龙舟队的平均速度． 【答案】本次训练中乙龙舟队的平均速度为4米/秒 【分析】设本次训练中乙龙舟队的平均速度为x米/秒，则甲龙舟队的平均速度为米/秒，根据时间路程速度，然后列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设本次训练中乙龙舟队的平均速度为x米/秒，则甲龙舟队的平均速度为米/秒．根据题意，得 ． 解得，． 经检验，是原方程的解． 答：本次训练中乙龙舟队的平均速度为4米/秒． 7．甲、乙两厂装配同一种汽车，乙厂由于进行了技术创新，每天比甲厂多装配30辆． (1)若乙厂装配500辆所用时间与甲厂装配400辆所用时间相同，则甲厂每天可以装配这种汽车多少辆？ (2)若甲、乙两厂同时进行技术再创新，设甲厂每天装配辆（），乙厂每天比甲厂多装配20辆．甲厂装配900辆所用时间为（天），乙厂装配1000辆所用时间为（天），请你比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)甲厂每天可以装配这种汽车120辆. (2)当甲厂每天装配的汽车数量小于180辆时，；当甲厂每天装配的汽车数量等于180辆时，；当甲厂每天装配的汽车数量大于180辆时，： 理由：设甲厂技术创新后每天装配辆，其中，则乙厂每天装配辆. 可得，； ∴ ∵， ∴， 差的符号由分子决定： 当时，，，即； 当时，，，即； 当时，，，即． 【分析】（1）利用工作时间=工作总量÷工作效率的关系，根据乙装配500辆与甲装配400辆用时相等的条件列分式方程求解即可； （2）设甲厂每天的装配量，分别表示出和，用作差法比较大小，根据差的符号分情况讨论得到结论． 【详解】（1）解：设甲厂每天可以装配这种汽车辆，则乙厂每天装配辆. 根据题意列方程得：， 解得， 检验：当时，， 因此是原方程的解， 答：甲厂每天可以装配这种汽车120辆； （2）略 8．某超市用2000元购进某种水果销售，由于销售状况良好，很快售完．超市又调拨6000元资金购进该种水果，但这次的进价比第一次提高了，购进的数量比第一次的2倍还多200千克，超市此时按每千克10元的价格出售，当大部分售出后，余下的100千克按售价的8折售完． (1)该种水果的第一次的进价是每千克多少元？ (2)超市第二次销售该种水果盈利了多少元？ 【答案】(1)该种水果第一次进价是每千克5元 (2)超市第二次销售该种水果盈利了3800元 【分析】（1）设该种水果第一次的进价是每千克x元，则第二次的进价是每千克元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）利用（1）的结论求解即可． 【详解】（1）解：设该种水果第一次的进价是每千克x元，则第二次的进价是每千克元， 依题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：该种水果第一次进价是每千克5元； （2）解：（千克）， （元）． 答：超市第二次销售该种水果盈利了3800元． 9．2026吉马荣耀奖牌，以玫瑰花瓣为环、六枚“吉”字雪花为缀，将摇橹人图腾藏进雾凇纹理，把“北国江城”的浪漫与力量，凝作跑者胸前的荣耀．赛事组委会为完赛选手定制了全马、半马两款奖牌．据了解，每枚全马奖牌比半马奖牌贵4元；用1500元定制全马奖牌的数量与用1200元定制半马奖牌的数量相同．求全马、半马奖牌每枚的单价各是多少元？ 【答案】全马奖牌单价为元，半马奖牌单价为元． 【分析】设半马奖牌每枚单价为元，则全马奖牌每枚单价为元，根据“用1500元定制全马奖牌的数量与用1200元定制半马奖牌的数量相同”列分式方程求解即可． 【详解】解：设半马奖牌每枚单价为元，则全马奖牌每枚单价为元， 由题意可知：， 解得：， 检验：当时，， 因此是原方程的解， 全马奖牌单价为：元． 答：全马奖牌单价为元，半马奖牌单价为元． 10．物理学中，电功率表示电能消耗的快慢，其大小等于消耗的电能与所用的时间之比，公式为（为消耗的电能，单位：；为所用的时间，单位：；为电功率，单位：）．实验课上，老师要求利用电能表和秒表测量并计算两盏小型护眼灯的电功率．小明通过实验得到以下数据：A护眼灯消耗电能，B护眼灯消耗电能，B护眼灯的工作时间比A护眼灯多．已知A，B两盏护眼灯的电功率相同． (1)求A、B两盏护眼灯分别工作了多长时间； (2)求A护眼灯的电功率． 【答案】(1)A护眼灯工作时间为，B护眼灯工作时间为 (2)A护眼灯的功率为 【分析】（1）设A护眼灯的工作时间为未知数，根据B的工作时间比A多，用含该未知数的式子表示B的工作时间．因为两灯电功率相同，根据，所以A的电能与时间的比值等于B的电能与时间的比值，据此列方程求解两灯的工作时间． （2）将已知A消耗的电能，求得的A的工作时间代入电功率公式​，计算A的电功率． 【详解】（1）解：设A护眼灯的工作时间为，由题意得B护眼灯的工作时间为． ∵两灯电功率相等， ∴根据公式​，可得， 代入、， 得， 去分母，整理，得：， 解得， 经检验是所列方程的解，且符合题意． B的工作时间为：． 故A护眼灯工作时间为，B护眼灯工作时间为． （2）解：代入公式计算A的电功率：． 答：A护眼灯的功率为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $