18.5 第1课时 分式方程及其解法 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦分式方程的概念及解法，通过轮船顺逆流航行时间相等的情境导入，对比整式方程突出分母含未知数的核心特征，以“化分为整”为解法主线，承接分式运算知识，为后续应用题学习搭建支架。 其亮点在于以情境抽象培养数学眼光，如从航行问题提炼分式方程；通过去分母转化整式方程发展数学思维，强调检验步骤理解增根；用解题口诀规范数学语言。帮助学生夯实基础培养严谨性，教师可借助分层练习和易错总结提升教学效率。

人教版（新教材）数学八年级上册 第十八章 分式 18.5 第1课时 分式方程及其解法 授课教师： . 班 级： 八年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/22 人教版数学八年级上册18.5第1课时 分式方程及其解法 专项练习 ## 核心知识点梳理 分式方程是初中方程体系的重要组成部分，区别于此前学习的整式方程，是本章的核心重难点，承接分式运算的所有知识点，也是后续解决实际应用题的基础。分母中含有未知数的方程叫做分式方程，其最核心的特征是未知数出现在分母位置，这也是分式方程与一元一次方程、二元一次方程的本质区别。分式方程的解法核心是“化分为整”，通过去分母将分式方程转化为熟悉的整式方程求解。标准解题步骤分为四步：第一，找最简公分母，若分母可因式分解需先分解；第二，方程两边同乘最简公分母，约去分母，转化为整式方程；第三，解所得整式方程；第四，检验，这是分式方程必不可少的步骤。由于去分母过程中会默认分母不为零，可能产生使原分母为零的增根，因此必须将整式方程的解代入最简公分母，若结果不为零，则是原方程的解，若结果为零，则该解为增根，原方程无解。常见易错点：忘记因式分解分母找错公分母、去分母时常数项漏乘公分母、省略检验步骤、混淆增根与无解的概念。 ## 基础巩固练习（共6题） 1. 判断下列方程是否为分式方程：$$\dfrac{2}{x}+3=5$$ 解析：该方程分母中含有未知数x，符合分式方程定义，因此属于分式方程。区分关键仅看分母是否含未知数，与分子是否含未知数无关。 2. 解方程：$$\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{x+1}$$ 解析：最简公分母为$$x(x+1)$$，两边同乘公分母得$$x+1=2x$$，解得$$x=1$$。检验：将$$x=1$$代入公分母，$$1\times2=2 eq0$$，故$$x=1$$是原方程的解。 3. 解方程：$$\dfrac{3}{x-1}=\dfrac{4}{x}$$ 解析：最简公分母为$$x(x-1)$$，去分母得$$3x=4(x-1)$$，展开化简得$$3x=4x-4$$，解得$$x=4$$。检验：公分母不为0，方程成立，$$x=4$$为方程的解。 4. 解方程：$$\dfrac{1}{x-2}+3=\dfrac{x-1}{x-2}$$ 解析：最简公分母为$$x-2$$，两边同乘公分母得$$1+3(x-2)=x-1$$，化简得$$1+3x-6=x-1$$，解得$$x=2$$。检验：$$x=2$$时公分母为0，该解为增根，原分式方程无解。 5. 判断正误并改正：分式方程求解后无需检验，整式方程不用检验。 解析：错误。整式方程求解无需检验，但分式方程去分母会扩大未知数取值范围，极易产生增根，因此所有分式方程必须检验，缺一不可。 6. 解方程：$$\dfrac{2}{x}=\dfrac{3}{x+2}$$ 解析：交叉相乘去分母得$$2(x+2)=3x$$，展开计算得$$2x+4=3x$$，解得$$x=4$$。代入检验，公分母不为零，解有效。 ## 能力提升练习（共4题） 1. 解方程：$$\dfrac{x}{x-1}-1=\dfrac{3}{(x-1)(x+2)}$$ 解析：最简公分母为$$(x-1)(x+2)$$，去分母得$$x(x+2)-(x-1)(x+2)=3$$，化简后得$$x+2=3$$，解得$$x=1$$。检验得该解为增根，原方程无解。 2. 已知$$x=3$$是分式方程$$\dfrac{k}{x}+\dfrac{2}{x-1}=1$$的解，求k的值。 解析：将解代入方程即可求参数。把$$x=3$$代入得$$\dfrac{k}{3}+\dfrac{2}{2}=1$$，化简得$$\dfrac{k}{3}+1=1$$，解得$$k=0$$，考查方程解的定义与逆向应用。 3. 解方程：$$\dfrac{4}{x^2-1}+\dfrac{x+2}{1-x}=1$$ 解析：先因式分解分母，$$x^2-1=(x+1)(x-1)$$，变形统一公分母为$$(x+1)(x-1)$$，去分母化简求解，最终检验得解，重点考查分母变形与符号转换。 4. 若分式方程$$\dfrac{x}{x-3}-2=\dfrac{m}{x-3}$$有增根，求m的值。 解析：分式方程增根为$$x=3$$，先去分母化为整式方程$$x-2(x-3)=m$$，将增根$$x=3$$代入，解得$$m=3$$，考查增根的核心应用，是高频考点题型。 ## 易错总结与解题心得 分式方程解题核心口诀：先找公分母，去分化为整，解后必检验，增根要分清。解题第一步优先观察分母，能因式分解的必须分解，避免找错最简公分母；去分母时，方程中的常数项最易漏乘，务必保证每一项都乘公分母；求解后绝对不能省略检验步骤，这是分式方程解题的得分关键。要明确核心概念：增根是整式方程的解，但不是原分式方程的解，出现增根则原方程无解。日常练习中，重点规避符号错误、漏乘、不检验三大问题，熟练掌握分式方程解法，不仅能夯实分式运算基础，也为后续分式方程实际应用题的列式与求解筑牢根基。 情境导入 1.能从实际情境中抽象出分式方程，了解分式方程的概念，并会正确识别分式方程. 2.经历解分式方程基本思路的探究过程，了解需要对分式方程的解进行检验的原因，能解可化为一元一次方程的分式方程，体会转化和化归思想. 学习目标 问题 一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行90 km所用的时间，与以最大航速逆流航行60 km所用的时间相等，江水的流速为多少？ 解：设江水的流速为 v km/h， 则轮船顺流航行90 km所用的时间为 h， 逆流航行60 km所用的时间为 h， 由方程 ，可以解出v的值. 情境导入 知识点1：分式方程的概念 合作探究 问题1：为了解决引言中的问题，我们得到了方程 分母中含有未知数． 仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？ ① 探究新知 像这样分母中含未知数的方程叫作分式方程. 定义总结 我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中. 探究新知 练一练 ②③ ① 1. 下列式子中，属于分式方程的是________； 属于整式方程的是_______. 探究新知 （2）怎样去分母？ （3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母 都约去？ （4）这样做的依据是什么？ 解分式方程最关键的问题是什么？ （1）如何把它转化为整式方程呢？ 如何去分母 你能试着解这个分式方程吗？ 知识点2：分式方程的解法 探究新知 合作探究 方程的最简公分母是：(30 + v)(30 - v). 解：方程两边同乘 (30 + v)(30 - v)，得 90(30 - v) = 60(30 + v)， 解得 v = 6. x = 6 是原分式方程的解吗？ 检验：将 v = 6 代入原分式方程中，左边 = = 右边， 因此 v = 6 是原分式方程的解. 探究新知 归纳总结 解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母. 这也是解分式方程的一般方法. 探究新知 合作探究 探究2：下面我们再解一个分式方程： 解：方程两边乘最简公分母 (x + 5)(x - 5)，得整式方程 x + 5 = 10. 解得 x = 5. x = 5 是原分式方程的解吗？ 探究新知 检验：将 x = 5 代入原分式方程检验，发现这时分母 x - 5 和 x2 - 25 的值都为 0，相应的分式方程无意义. 因此 x = 5 虽是整式方程 x + 5 = 10 的解，但不是原分式方程 的解. 实际上，这个分式方程无解. 探究新知 想一想 上面两个分式方程中，为什么 ① 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解， 而 ② 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 探究新知 真相揭秘：分式两边同乘不为 0 的式子，所得整式方程的解与分式方程的解相同. 我们再来观察去分母的过程： 90(30-x)=60(30+x) 两边同乘(30+x)(30-x) 当x=6时，(30+x)(30-x)≠0 探究新知 真相揭秘：分式两边同乘了等于 0 的式子，所得整式方程的等式必然成立（即整式方程的解与原分式方程无关），但其解使原分式方程中的分母为 0，故这个整式方程的解就不是原分式方程的解. x + 5 = 10 两边同乘(x + 5)(x - 5) 当 x=5 时，(x + 5)(x - 5)=0 探究新知 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为 0，所以分式方程的解必须检验． 怎样检验？ 分式方程解的检验——必不可少的步骤 检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解就不是原分式方程的解. 归纳总结 探究新知 典例精析 例1 解方程： 解： 方程两边同乘 x(x - 3)，得 2x = 3x - 9. 解得 x = 9. 检验：当 x = 9 时， x(x - 3)≠0， 所以，原分式方程的解为 x = 9. 探究新知 例2 解方程： 解：方程两边同乘 (x - 1)(x + 2)，得 x(x + 2) - (x - 1)(x + 2) = 3. 解得 x = 1. 检验：当 x = 1 时， (x - 1)(x + 2) = 0， 因此 x = 1 不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 探究新知 1.解方程：(1) ； (2) . 解：(1)方程两边乘x(x-2)， 得5(x-2)=7x， 解得x=-5， 检验：当x=-5时，x(x-2)≠0， 所以x=-5是原分式方程的解. 解：(2)方程两边乘(x+3)(x-1)， 得2(x-1)=x+3， 解得x=5， 检验：当x=5时，(x+3)(x-1)≠0， 所以x=5是原分式方程的解. 当堂检测 2.解方程： . 解：原方程可化为 ， 即 解法1 当堂检测 2.解方程 . 因为x2-10x+16≠x2-10x+24， 所以2x-10=0，解得x=5. 经检验，x=5是原分式方程的解，所以原分式方程的解为x=5. 当堂检测 解法2 移项，得. 通分，得 所以x2-6x+8=x2-14x+48. 解得x=5. 经检验，x=5是原分式方程的解. 所以原分式方程的解为x=5. 2.解方程 . 当堂检测 3. 当a为何值时，关于 x 的方程3 解：由方程，得x-4=3x，解得x=-2. 因为方程的解与方程=3的解相同， 所以x=-2也是方程的解. 把x=-2代入方程， 得，解得. 当堂检测 知识点1 分式方程的概念 1.下列式子中，属于分式方程的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 23 2. 请利用式子1，， ，5组成一个分式方程： ________________________. （答案不唯一） 返回 举一反三 24 知识点2 分式方程的解法 3.化分式方程 为整式方程时，方程两边同乘的最简公分母是 ( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 25 4.将分式方程 化为整式方程，正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 26 5.［2024无锡中考］分式方程 的解是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 27 6.［2025怀化期末］若关于的分式方程的解是，则 ___. 1 返回 举一反三 28 7.［教材P 练习变式］解分式方程： （1）［2024广州中考］ ; 解：方程两边乘，得，解得 ， 检验：当时， ， 原分式方程的解为 . 举一反三 29 （2）［2024南通中考］ ； 解：方程两边乘，得，解得 ， 检验：当时， ， 原分式方程的解为 . 举一反三 （3） . 解：方程两边乘 ， 得 ， 解得 ， 检验：当时， ， 不是原分式方程的解. 原分式方程无解. 返回 举一反三 31 当堂小结 分式 方程 误区 (1) 去分母时，原方程的整式部分漏乘 步骤 (去分母法) 一化 (分式方程转化为整式方程)； 二解 (整式方程)； 三检验 (把解代入到最简公分母中，看是否为零) (2) 去分母后，分子是多项式时，没有添括号 (因分数线有括号的作用) (3) 忘记检验 定义 分母中含未知数的方程叫作分式方程 谢谢观看 THANKS $