18.5 第1课时 分式方程及其解法 课件 2025--2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦分式方程的概念及解法，通过轮船顺流逆流航行的情境问题导入，关联一元一次方程解法与最简公分母知识，构建从旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于以情境驱动和探究式学习为主，结合核心素养中的运算能力与推理意识，通过实例分析（如航行问题列方程）、分步探究（概念辨析、解法步骤）及无解情况讨论，培养学生严谨思维。结构化小结与分层检测题，助力学生巩固知识，教师可直接用于高效教学。

第十八章　分式 18.5　分式方程 第1课时　分式方程及其解法 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 问题1:解一元一次方程: 问题2:找出下列各组分式的最简公分母: 知识关联 与 与 与 与 答案： (x+1)(x-1) (a+2)(a-2) 6x(x+1) (y-1)2 【情境引入】 一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等. 江水的流速为多少? 探究与应用 分析 : 设水流的速度为v千米/时. (2)顺流航行90千米所用的时间为　　　 小时，逆流航行60千米所用的时 间为　 小时; 　　　　　　 (1)轮船顺流航行的速度为　　　　千米/时，逆流航行的速度为　　　　千米/时;  (3)根据题意可列方程为:　　　　　　　 　.  30+v 30-v 想一想:所列方程与方程 相比有什么不同? 【探究1】分式方程的概念 【尝试交流】 1.观察:方程 有什么特征? 探究与应用 分母中含有未知数 2.填空:分母中含有　　　 的方程叫作分式方程.  未知数 【理解应用】 探究与应用 例1下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 整式方程 分式方程 【探究1】分式方程的概念 【概括新知】 探究与应用 方法总结:判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π不是未知数)． 因此，分式方程的两个重要特征： ①是方程；②分母中含有未知数． 【探究2】分式方程的解法 【思考】 (1)如何解分式方程呢？ . 探究与应用 解 : 最简公分母为　　　　 ，方程两边同时乘最简公分母，  得　 (此方程是　　　　方程).  　　　　　　 解，得　　　　　　　 （30+v) (30-v) 90（30-v) =60(30+v) v=6 去分母 能否将分式方程化成整式方程呢? 整式 检验：将v=6代入原分式方程中，左边=右边。 因此v=6 是分式方程的解  【探究2】分式方程的解法 【尝试交流】 运用上述“去分母化成整式方程”的方法，解方程 探究与应用 解 : 最简公分母为　　　　 ，方程两边同时乘最简公分母，  得　　　　 解方程得　　　　.  将x=5代入分式方程，分母x-5和 x2-5的值为0.相应的分式无意义 （x+5）(x-5) x=5 因此 : x=5不是此分式方程的解。这个分式方程无解 x+5=10 【探究2】分式方程的解法 【思考】 为什么上面2个分式方程去分母后得到整式方程的解一个是分式方程的解而另一个却不是分式方程的解呢？ 探究与应用 去分母时两边都要乘最简公分母，方程　　　　 ， 两边同时乘  得到整式方程的解v=6, 当v=6时，最简分母不等于0.这就是说分母时分式方程两边同乘了同一个不为0的式子。 因此所得整式方程的解与分式方程的解相同。 而方程 去分母时两边同乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使分式方程的分母为0，因此这样的解不是分式方程的解 （30+v）(30-v) 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解。否则，这个解不是原分式方程的解。 助力教学 (助) - 解分式方程时，有时会产生增根，这是因为我们把分式方程转化为整式方程的过程中，无形中去掉了原分式方程中分母不为零这一限制条件，从而扩大了未知数的取值范围，于是就产生了如下两种情况：(1)如果整式方程的根都在分式方程未知数的取值范围内，那么整式方程的解就是分式方程的解；(2)如果整式方程的有些解不在分式方程未知数的取值范围内，那么这种解就不是分式方程的解，是分式方程的增根。因此，解分式方程时，验根是必不可少的步骤. 【理解应用】 探究与应用 例2 解方程 解： 方程两边乘x(x-3),得 2x=3x-9. 解得 x=9. 检验：当x=9时，x(x-3) ≠0. 所以，原分式方程的解为x=9. 【探究2】分式方程的解法 【概括新知】 探究与应用 1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去。 4.写出原方程的根. 简记为：“一化二解三检验”. “去分母法”解分式方程的步骤 探究与应用 例3 解方程 解： 方程两边乘(x-1)(x+2),得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3. 解得 x=1. 检验：当x=1时， (x-1)(x+2) =0, 因此x=1不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 【理解应用】 【探究2】分式方程的解法 【概况归纳】 探究与应用 例4　若关于x的方程 无解，则m的值是 ( ) A.3　　　　　　B.2　　　　　　C.1　　　　　　D.-1 【探究2】有理数的概念及分类 B 探究与应用 【拓展提升】对分式方程无解的讨论 【变式一】 若分式方程 无解，则实数a的取值是 ( ) A.0或2 B.4 C.8 D.4或8 D 变式二　若关于x的方程 无解，则m的值为　 .  -1或 或5　 【小结】 课堂小结与检测 分式 方程 定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 注意 (1)去分母时，原方程的整式部分要乘． 步骤 （去分母法） 一化（分式方程转化为整式方程）； 二解（整式方程）； 三检验（代入最简公分母看是否为零） (2)约去分母后，分子是多项式时,要添括号．(因分数线有括号的作用） (3) 检验 【检测】 课堂小结与检测 D 2. 要把方程 化为整式方程，方程两边可以同乘以（ ） A. 3y-6 B. 3y C. 3 (3y-6) D. 3y (y-2) 1.下列关于x的方程中，是分式方程的是(　　) A. B. C. D. D 【 检测】 课堂小结与检测 3. 解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是（ ） A.2（x-8)+5x=16(x-7) B.2(x-8)+5x=8 C.2(x-8)-5x=16(x-7) D.2(x-8)-5x=8 A 4．若关于x的分式方程 无解，则m的值为 ( ) A．－1，5 B．1 C．－1.5或2 D．－0.5或－1.5 D 【 检测】 课堂小结与检测 解：去分母，得 解得 检验：把 代入 所以原方程的解为 5. 解方程： $