专题 25.8 一元二次方程复习专题——运算与根的性质 专项突破讲与练- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学讲义通过知识清单系统梳理一元二次方程的核心内容，涵盖定义、四种解法、根的判别式、韦达定理及高频易错点，用框架图呈现知识脉络，突出二次项系数不为0、判别式与参数关系等重难点，明确各知识点内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础的方程定义判断到拉分的整数根综合题，如韦达定理整体代入题型（例题6）培养推理意识，配方法专项（例题3）提升运算能力。同步检测包含选择、填空、解答题，基础生巩固方法，优秀生突破难点，助力教师实施精准分层教学，支持学生自主复习。

专题 25.8 一元二次方程复习专题——运算与根的性质（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一、知识梳理（中考必考清单） 1 【知识点1】一元二次方程定义 1 【知识点2】一元二次方程四种解法 2 【知识点3】根的判别式 2 【知识点4】韦达定理 2 【知识点5】高频易错汇总 2 二、题型精析 3 【题型1】一元二次方程定义及方程的解（中考选择必考） 3 【题型2】优选方法解方程（中考计算真题） 3 【题型3】配方法专项（中考步骤题） 3 【题型4】判别式判断根的情况（中考基础） 4 【题型5】由根的情况求参数范围（中考中档） 4 【题型6】韦达定理整体代入（中考高频压轴填空） 5 【题型7】整数根、含参综合（中考拉分题） 5 三.同步检测 6 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 6 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 8 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 8 一、知识梳理（中考必考清单） 【知识点1】一元二次方程定义 只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程。 一般形式： 中考判定三要素：①整式方程 ②一个未知数 ③最高次为2 ④二次项系数a≠0 【知识点2】一元二次方程四种解法 1. 直接开平方法 适用：，适合完全平方式结构。 2. 因式分解法 适用：能十字相乘、提公因式，优先选用，计算量最小。 口诀：右化0、左分解、各为0、解出来。 3. 配方法 步骤：移项→二次项系数化为1→配方（加一次项系数一半的平方）→开方求解。 4. 公式法 ，适用于所有有实数根的方程。 【知识点3】根的判别式 1. ⇔ 方程有两个不相等的实数根 2. ⇔ 方程有两个相等的实数根 3. ⇔ 方程无实数根 中考易错：含参题型必须同时保证a≠0与Δ范围。 【知识点4】韦达定理 若两根为，且，则： 中考高频变形： 【知识点5】高频易错汇总 1. 忽略，误判一元二次方程； 2. 韦达定理不验证，无实根强行计算； 3. 配方时常数项漏加、系数未统一； 4. 两根之和符号记反、公式混淆。 二、题型精析 【题型1】一元二次方程定义及方程的解（中考选择必考） 【例题1】（23-24九年级上·广东汕头·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【变式2】（2026·甘肃天水·中考真题）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 【变式3】（2026·江苏南通·模拟预测）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【题型2】优选方法解方程（中考计算真题） 【例题2】（2026·江苏无锡·中考真题）按要求完成下列小题： （1）解方程：； （2）计算：． 【变式1】（2026·宁夏银川·三模）计算： （1） （2） 【变式2】（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 【变式3】（2026·江苏徐州·模拟预测）解方程： （1）； （2） 【题型3】配方法专项（中考步骤题） 【例题3】（26-27八年级·上海·暑假作业）解方程： （1）（用配方法） （2）（用配方法） 【变式1】（2026·江苏连云港·中考真题）若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 【变式2】（2025·江苏连云港·中考真题）若（为实数），则的最小值为__________． 【变式3】（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）解方程：（用配方法）； （1） （2）． 【题型4】判别式判断根的情况（中考基础） 【例题4】（2026·浙江·中考真题）关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【变式1】（2026·四川内江·中考真题）对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【变式2】（2024·山东潍坊·中考真题）已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【变式3】（2026·四川遂宁·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【题型5】由根的情况求参数范围（中考中档） 【例题5】（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【变式1】（2026·四川广元·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·四川广元·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 【变式3】（2026·安徽·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（     ） A． B． C． D．2 【题型6】韦达定理整体代入（中考高频压轴填空） 【例题6】（2025·山东·中考真题）一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【变式1】（2026·四川巴中·中考真题）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 【变式2】（2025·四川泸州·中考真题）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2026·河北·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 【题型7】整数根、含参综合（中考拉分题） 【例题7】（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【变式1】（24-25九年级上·重庆·阶段检测）从这七个数中，随机抽一个数，记为a．若数a使关于x的一元二次方程有实数解，且关于y的分式方程有正整数解，则抽到的数a恰好符合条件的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）从背面完全相同，正面分别标有数的四张卡片中任取一张，将该卡片上的数记为，则使关于的方程有整数解且使关于的一元二次方程有正数解的概率为___________． 【变式3】（2026·广西·中考真题）关于的一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，是坐标原点． 【性质初探】 （1）随的增大而 （填“增大”或“减小”）； （2）求证：的面积为1； 【归纳提炼】我们把形如的一次函数称为“正向积1”函数． 【深入探究】 （3）图象经过点的“正向积1”函数是否存在？若存在，求出该函数解析式；若不存在，请说明理由； （4）已知点不在坐标轴上，若图象过点的“正向积1”函数有且只有一个． ①求关于的函数解析式； ②选取一个符合条件的点，并验证该点是线段的中点． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·河南·中考真题）已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 2．（2025·辽宁锦州·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（        ） A． B． C．且 D．且 3．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·北京·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．4 5．（2025·上海·中考真题）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·四川雅安·一模）若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2025 C． D．2025 7．（2026·甘肃嘉峪关·二模）若分式的值为0，则x的值为（     ） A．或2 B．0 C．2 D． 8．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）在物理实验中，一个物体的运动可以用一元二次方程来描述其位移时间关系（其中代表位移相关量），该方程的两个实数根为，．在后续的数据分析中，需要用到两根的关系，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 9．（2025·湖北黄石·中考真题）已知二次函数的图像经过三点，且对称轴为直线．有以下结论：①；②；③当，时，有；④对于任何实数，关于的方程必有两个不相等的实数根．其中结论正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．（2026·河南平顶山·三模）如图，在菱形中，，，分别是边，上的点，将沿折叠，使点B的对应点G落在边上，且．若，则的长为（     ） A．4 B． C．5 D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·广东·中考真题）已知方程的一个根是1，则_____． 12．（2024·广东深圳·中考真题）一元二次方程的一个解为，则______． 13．（2025·四川达州·中考真题）已知关于的方程的一个根是，则的值为_______． 14．（2025·贵州·中考真题）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是_______． 15．（2025·青海·中考真题）若是一元二次方程的一个根，则的值为______． 16．（2026·河南平顶山·三模）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是___________． 17．（2026·北京·模拟预测）已知抛物线与直线有且只有一个交点，则的值为_____． 18．（2026·河南南阳·模拟预测）在中，，点为的中点，为边上一点，连接，．当以、、为顶点的三角形是等腰三角形时，的长为__________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：． 20．（本小题满分8分）（2026·四川凉山·中考真题）解方程：． 21．（本小题满分10分）（2026·宁夏银川·一模）解下列方程 （1） （2） 22．（本小题满分10分）（2026·广东深圳·二模）在数学课上，老师展示两道习题的解答过程： 习题1：计算：． 解：原式    第一步         第二步         第三步 习题2：解方程： 解：        第一步         第二步             第三步                 第四步 （1）解答过程中，习题1从第______步开始出现错误，习题2从第______步开始出现错误； （2）任选其中一个习题写出正确的解答过程（若两个题都作答，则只按习题1给分）． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级上·福建莆田·阶段检测）关于的一元二次方程． （1）当时，利用根的判别式判断方程根的情况； （2）若方程的两个实数根满足，写出一组满足条件的，的值． 24．（本小题满分12分）（2026·新疆·中考真题）解决问题： （1）解方程：； （2）被誉为“东方数学瑰宝”的赵爽弦图，是我国古代证明勾股定理的经典方法之一．如图，已知正方形的面积为100，正方形的面积为4，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 25.8 一元二次方程复习专题——运算与根的性质（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一、知识梳理（中考必考清单） 1 【知识点1】一元二次方程定义 1 【知识点2】一元二次方程四种解法 2 【知识点3】根的判别式 2 【知识点4】韦达定理 2 【知识点5】高频易错汇总 2 二、题型精析 3 【题型1】一元二次方程定义及方程的解（中考选择必考） 3 【题型2】优选方法解方程（中考计算真题） 4 【题型3】配方法专项（中考步骤题） 7 【题型4】判别式判断根的情况（中考基础） 9 【题型5】由根的情况求参数范围（中考中档） 11 【题型6】韦达定理整体代入（中考高频压轴填空） 13 【题型7】整数根、含参综合（中考拉分题） 15 三.同步检测 20 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 20 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 25 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 28 一、知识梳理（中考必考清单） 【知识点1】一元二次方程定义 只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程。 一般形式： 中考判定三要素：①整式方程 ②一个未知数 ③最高次为2 ④二次项系数a≠0 【知识点2】一元二次方程四种解法 1. 直接开平方法 适用：，适合完全平方式结构。 2. 因式分解法 适用：能十字相乘、提公因式，优先选用，计算量最小。 口诀：右化0、左分解、各为0、解出来。 3. 配方法 步骤：移项→二次项系数化为1→配方（加一次项系数一半的平方）→开方求解。 4. 公式法 ，适用于所有有实数根的方程。 【知识点3】根的判别式 1. ⇔ 方程有两个不相等的实数根 2. ⇔ 方程有两个相等的实数根 3. ⇔ 方程无实数根 中考易错：含参题型必须同时保证a≠0与Δ范围。 【知识点4】韦达定理 若两根为，且，则： 中考高频变形： 【知识点5】高频易错汇总 1. 忽略，误判一元二次方程； 2. 韦达定理不验证，无实根强行计算； 3. 配方时常数项漏加、系数未统一； 4. 两根之和符号记反、公式混淆。 二、题型精析 【题型1】一元二次方程定义及方程的解（中考选择必考） 【例题1】（23-24九年级上·广东汕头·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程是一元二次方程，即可判断求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 解：、方程，未知数的最高次数是，不是一元二次方程，不合题意； 、方程，含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意； 、方程，不是整式方程，不是一元二次方程，不合题意； 、方程，是一元二次方程，符合题意； 故选：． 【变式1】（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 【变式2】（2026·甘肃天水·中考真题）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，再变形所求代数式代入计算即可． 解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（2026·江苏南通·模拟预测）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，列等式和不等式求解即可． 解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴ 且， 解第一个等式，得或， 解不等式，得， ∴． 【题型2】优选方法解方程（中考计算真题） 【例题2】（2026·江苏无锡·中考真题）按要求完成下列小题： （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）根据整式的混合运算法则计算即可得解． （1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． （2）解：原式 ． 【变式1】（2026·宁夏银川·三模）计算： （1） （2） 【答案】（1） .；（2） . 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； （1）解：， ， ， 解得; （2）解：， ， ， 解得; 【变式2】（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 【答案】（1）或；（2）第三边的长是或 【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理． （1）用因式分解法解即可； （2）分情况讨论，一是两根都是直角边，二是两根一个是直角边，一个是斜边，再用勾股定理分别计算即可． 解：（1） 或； （2）当两条直角边分别为3和1时， 根据勾股定理得，第三边为； 当一条直角边为1，斜边为3时， 根据勾股定理得，第三边为． 答：第三边的长是或． 【变式3】（2026·江苏徐州·模拟预测）解方程： （1）； （2） 【答案】（1），；（2） （1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，； （2）解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 【题型3】配方法专项（中考步骤题） 【例题3】（26-27八年级·上海·暑假作业）解方程： （1）（用配方法） （2）（用配方法） 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，再开方求解即可； （2）先展开左侧并整理成一元二次方程的一般形式，后续按照配方法的步骤，移常数项、配方、开方求解即可． （1）解：原方程化为， ， ，即， ，； （2）解：原方程化为， ， ， ，即， ，； 【变式1】（2026·江苏连云港·中考真题）若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 【答案】/ 【分析】利用已知条件对所求式子进行换元，将原式转化为关于新变量的代数式，再用配方法最小值即可． 解：，且都不为， ， ， 设则，原式， ， ，当时，原式取得最小值， 即的最小值为． 【变式2】（2025·江苏连云港·中考真题）若（为实数），则的最小值为__________． 【答案】 【分析】运用配方法将变形为，然后根据非负数的性质求出的最小值即可． 解： = = = ∵为实数， ∴ ∴的最小值为, 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时注意配方的步骤，注意在变形的过程 中不要改变式子的值． 【变式3】（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）解方程：（用配方法）； （1） （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）根据配方法的步骤解方程即可； （2）先将方程左边展开，再根据配方法的步骤解方程即可． （1）解： ，； （2）解： ，． 【题型4】判别式判断根的情况（中考基础） 【例题4】（2026·浙江·中考真题）关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 解：∵一元二次方程中，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 【变式1】（2026·四川内江·中考真题）对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据题目给出的新定义，将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断根的情况即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 【变式2】（2024·山东潍坊·中考真题）已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此先求出，再求出的符号即可得到结论． 解： ∵， ∴， ∴ ， ， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 【变式3】（2026·四川遂宁·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】利用根的判别式的符号即可得出结论. 解：∵对于一元二次方程，，， ∴判别式， 又∵任意实数的平方非负，即， ∴， ∴ 原方程有两个不相等的实数根. 【题型5】由根的情况求参数范围（中考中档） 【例题5】（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案. 解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 【变式1】（2026·四川广元·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数计算即可得到的值． 解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 根的判别式满足，其中二次项系数，常数项， 代入得，， 整理得，， 解得，． 【变式2】（2025·四川广元·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据判别式可得，根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可． 解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（2026·安徽·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（     ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的判别式性质，方程有两个相等实数根时判别式，整理等式即可求出的值． 解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 展开整理得， 即， ∴，得， ∵， 等式两边同除以得． 【题型6】韦达定理整体代入（中考高频压轴填空） 【例题6】（2025·山东·中考真题）一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】先求得，，再将变形，代入与的值求解即可． 解：∵一元二次方程的两根为， ∴， ∴ ． 故选C． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记，是解决本题的关键． 【变式1】（2026·四川巴中·中考真题）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根的判别式确定参数的取值范围，再利用根与系数的关系将变形为关于的一次式，结合一次函数的增减性求出最小值． 解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ， 解得， 由根与系数的关系得：，， ， ， 随的增大而减小， 当取最大值时，取得最小值， 代入得，最小值为． 【变式2】（2025·四川泸州·中考真题）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到，根据菱形的面积得到，利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案． 解：设方程的两根分别为a，b， ∴， ∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11， ∴，即， ∵菱形对角线垂直且互相平分， ∴该菱形的边长为 ，故C正确． 故选：C． 【点拨】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得出是解题的关键． 【变式3】（2026·河北·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 【答案】 【分析】设方程的两根分别为和，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，先求解的值，再计算，最后验证原方程满足有两个实数根的条件即可． 解：设一元二次方程的两根分别为，． 根据根与系数的关系可得，． 整理得．变形得． 解得． 将代入得． 验证判别式：，符合题意． 【题型7】整数根、含参综合（中考拉分题） 【例题7】（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． （2） 的值为或 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 解：（1）略 （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 【变式1】（24-25九年级上·重庆·阶段检测）从这七个数中，随机抽一个数，记为a．若数a使关于x的一元二次方程有实数解，且关于y的分式方程有正整数解，则抽到的数a恰好符合条件的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查概率公式，根的判别式，分式方程的解，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 利用一元二次方程根的判别式可得，即．由分式方程可得，进而可得为正整数，且不等于1．由题意可知，抽到的数共有7种等可能的结果，其中抽到的数恰好符合条件的结果有2种，利用概率公式可得答案． 解：∵关于的一元二次方程有实数解， ， 解得：． 解分式方程得， ∵关于的分式方程有正整数解， ∴为正整数，且不等于1． ∴这七个数中，满足以上条件的的值有：0，2， ∴抽到的数恰好符合条件的概率是． 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）从背面完全相同，正面分别标有数的四张卡片中任取一张，将该卡片上的数记为，则使关于的方程有整数解且使关于的一元二次方程有正数解的概率为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了概率公式的应用、分式方程、一元二次方程解等知识点．掌握分式方程的解法是解题的关键． 先求得使关于x的方程有整数解，且使关于x的一元二次方程有正数解时的情况，再利用概率公式求解即可． 解：∵， ∴， 当，即时原分式无解， ∴使关于x的方程有整数解的：，1，2； ∵， ∴，解得：， ∵关于x的一元二次方程x2+mx=0有正数解， ∴或， ∴使关于x的方程有整数解，且使关于x的一元二次方程有正数解的只有， ∴使关于x的一元二次方程有正数解的概率为：． 故答案为：． 【变式3】（2026·广西·中考真题）关于的一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，是坐标原点． 【性质初探】 （1）随的增大而 （填“增大”或“减小”）； （2）求证：的面积为1； 【归纳提炼】我们把形如的一次函数称为“正向积1”函数． 【深入探究】 （3）图象经过点的“正向积1”函数是否存在？若存在，求出该函数解析式；若不存在，请说明理由； （4）已知点不在坐标轴上，若图象过点的“正向积1”函数有且只有一个． ①求关于的函数解析式； ②选取一个符合条件的点，并验证该点是线段的中点． 【答案】（1）增大 （2）证明：函数与轴，轴分别交于，两点， 令，得， ，， 令，得， ，两边除以得， 解得， ，， （3）存在，函数解析式为和 （4）① ；② 示例：点符合条件，验证见分析（答案不唯一） 【分析】（1）根据一次函数增减性的判定，由得一次项系数，可直接判断增减性； （2）先求出函数与两坐标轴的交点坐标，得到直角三角形两条直角边的长度，代入三角形面积公式计算即可证明结论； （3）将点坐标代入函数解析式，得到关于的一元二次方程，求解得到非零的，即可得到对应函数解析式； （4） ① 将点代入函数，整理得到关于的一元二次方程，由函数有且只有一个可知方程有两个相等实根，利用判别式为0整理即可得到关于的解析式； ② 任意取符合条件的点，求出对应函数和坐标，计算中点验证即可． 解：（1）一次函数为， ， ，即， 随的增大而增大. （2）略 （3）解： 将代入得： ， 整理得， 解得，，均满足， 因此存在符合要求的函数， 当时，解析式为， 当时，解析式为. （4）① 解： 将代入 得： ， 整理得， 函数有且只有一个，即关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 判别式， 令得， 不在坐标轴上， ， 整理得. ② 验证： 取，得，即， 代入得， 解得，满足， 函数解析式为， 令得， ， 令得， ， 中点坐标为，与坐标一致，因此是的中点. 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·河南·中考真题）已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于参数的一元一次方程，解出即可． 解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 整理得， 移项得， 两边同除以，得． 2．（2025·辽宁锦州·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（        ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答． 解：∵为一元二次方程， ∴， ∵该一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， ∴且， 故选：D． 【点拨】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟知当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0． 3．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断． 解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意； B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意； C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意； D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意； 故选：D． 4．（2025·北京·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 5．（2025·上海·中考真题）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则原方程可变形为，再化为整式方程即可得出答案. 解：设，则原方程可变形为， 即； 故选：D. 【点拨】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程. 6．（2026·四川雅安·一模）若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2025 C． D．2025 【答案】A 【分析】把代入一元二次方程中，得到，再把代入，即可． 解：将代入，得， ， ． 7．（2026·甘肃嘉峪关·二模）若分式的值为0，则x的值为（     ） A．或2 B．0 C．2 D． 【答案】D 【分析】解题需同时满足分子为0、分母不为0两个条件，不可忽略分母的限制. 解：由题意得且， ∵ ， ∴ 或， ∵ ， ∴ ， ∴ . 8．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）在物理实验中，一个物体的运动可以用一元二次方程来描述其位移时间关系（其中代表位移相关量），该方程的两个实数根为，．在后续的数据分析中，需要用到两根的关系，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根与系数的关系计算两根之和与两根之积，即可得到正确结论． 解：对于一元二次方程，若方程有两个实数根，，则，， ∵给定方程为， ∴，，， ∴，故错误， ，故错误，正确． 9．（2025·湖北黄石·中考真题）已知二次函数的图像经过三点，且对称轴为直线．有以下结论：①；②；③当，时，有；④对于任何实数，关于的方程必有两个不相等的实数根．其中结论正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据二次函数图像的对称轴为，且过，结合抛物线的对称轴即可求解． 解： ∵二次函数的对称轴为，且图像经过， ∴，即， ∴点在抛物线上， ∴，故结论①正确； 由结论①正确可得，，且，则 ∴，则，故结论②正确； ∵当，时， ∴点离对称轴更近， 当时，；当时，；故结论③错误； 由得，， ∵结论①正确可得，，结论②正确可得，， ∴，， ∴，整理得，， ∵， ∴， ∴该方程有两个不相等的实根，故结论④正确； 综上所述，正确的有，个， 故选：． 【点拨】本题主要考查二次函数图像的性质，根与系数的关系，二次函数图像上点的特征，由对称轴确定系数的关系，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 10．（2026·河南平顶山·三模）如图，在菱形中，，，分别是边，上的点，将沿折叠，使点B的对应点G落在边上，且．若，则的长为（     ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】过点G作，交BC的延长线于点H．设，则．先根据含30度的直角三角形性质得到，．再利用线段和差关系得到，再利用勾股定理列方程解答即可． 解：过点G作，交BC的延长线于点H．设，则． 四边形为菱形， ，． ． ，． ， ． ． 由折叠的性质，得． 在中，，即， 解得（不合题意，已舍去）． ． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·广东·中考真题）已知方程的一个根是1，则_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 解：因为是方程的根， 将代入方程得：， 整理得， 移项得． 12．（2024·广东深圳·中考真题）一元二次方程的一个解为，则______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，由题意可得，解方程即可得解． 解：∵一元二次方程的一个解为， ∴， 解得：， 故答案为：． 13．（2025·四川达州·中考真题）已知关于的方程的一个根是，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意将代入原方程，得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 解：∵关于的方程的一个根是， ∴ 解得：， 故答案为：． 14．（2025·贵州·中考真题）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是_______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可． 解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 15．（2025·青海·中考真题）若是一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 解：将代入原方程得：， 解得：， 故答案为：． 16．（2026·河南平顶山·三模）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据题意得，求解即可． 解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴， 整理，得， 解得． 17．（2026·北京·模拟预测）已知抛物线与直线有且只有一个交点，则的值为_____． 【答案】4 【分析】抛物线与直线有且只有一个交点，说明联立两个解析式得到的一元二次方程判别式为，据此列方程求解即可得到的值. 解：抛物线与直线有且只有一个交点 联立两个解析式得 整理得 该一元二次方程判别式 即 化简得 解得 ； 18．（2026·河南南阳·模拟预测）在中，，点为的中点，为边上一点，连接，．当以、、为顶点的三角形是等腰三角形时，的长为__________． 【答案】或 【分析】本题利用直角三角形斜边中线的性质，结合等腰三角形的定义分三种情况讨论，通过建立平面直角坐标系表示各点坐标，根据距离公式推导关系，舍去不能构成三角形的情况，计算得到的长． 解：如图，建立平面直角坐标系，令，在轴上，在轴上， 设，， 由得，由中点坐标公式得 ， 由，根据两点间距离公式得：， 整理得，即， 又，故，即①， 为等腰三角形，分三种情况讨论： 当时：，， 因此，解得， 代入，故，符合题意； 当时：，，因此，代入得， 此时，与 重合，无法构成三角形，舍去； 当时：，， 因此，即， 整理得， 解得（负值已舍），符合题意． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：． 【答案】， 解： 或 ，． 20．（本小题满分8分）（2026·四川凉山·中考真题）解方程：． 【答案】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 解： 方程两边同乘， 得， 整理得，， ∴， 解得：，， 检验：当时，，是增根， 当时，， 原方程的解为． 【点拨】本题考查了分式方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键． 21．（本小题满分10分）（2026·宁夏银川·一模）解下列方程 （1） （2） 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）先将方程左边因式分解，然后再移项，最后利用因式分解法求解即可； （2）直接利用因式分解法求解即可． （1）解：， ， ， ， ， 或， ，． （2）解：， ， 或， ，． 22．（本小题满分10分）（2026·广东深圳·二模）在数学课上，老师展示两道习题的解答过程： 习题1：计算：． 解：原式    第一步         第二步         第三步 习题2：解方程： 解：        第一步         第二步             第三步                 第四步 （1）解答过程中，习题1从第______步开始出现错误，习题2从第______步开始出现错误； （2）任选其中一个习题写出正确的解答过程（若两个题都作答，则只按习题1给分）． 【答案】（1）二，三；（2）见解析. 【分析】（1）根据分式的通分和平方根解题即可； （2）根据分式的通分可解答习题，根据配方法可解答习题． （1）解：习题中第二步在合并分子时，对分子去括号时出错，应为； 习题中第三步应为； （2）解：习题1：原式 ； 习题2：∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴，． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级上·福建莆田·阶段检测）关于的一元二次方程． （1）当时，利用根的判别式判断方程根的情况； （2）若方程的两个实数根满足，写出一组满足条件的，的值． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2），（答案不唯一） 【分析】本题考查一元二次方程的知识，掌握根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）由方程的系数结合根的判别式、 ，可得出，进而可找出方程有两个不相等实数根； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，接下来结合已知条件，求得，故可得到a，b的值． 解：（1）解∶把代入，得， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系，得，， ∵， ∴， ∴， ∴可取，． 24．（本小题满分12分）（2026·新疆·中考真题）解决问题： （1）解方程：； （2）被誉为“东方数学瑰宝”的赵爽弦图，是我国古代证明勾股定理的经典方法之一．如图，已知正方形的面积为100，正方形的面积为4，求的长． 【答案】（1）；（2）6 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）根据正方形的面积求出边长，设，在中，利用勾股定理列方程求解即可． （1）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项合并得，， 经检验，当时，， 分式方程的解为； （2）解：正方形的面积为100，正方形的面积为4， ，， 设，则， 在中，， ， 解得：或（舍）， 即的长为6． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $