第04讲 二次函数定义、三种解析式、图象基本性质 复习讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学二次函数核心知识，系统梳理定义（强调二次项系数不为0的整式函数）、三种解析式（一般式适配三点坐标，顶点式关联顶点与最值，交点式限用于与x轴有交点场景）及图象性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、与坐标轴交点及符号判断），构建从概念到应用的递进式学习支架。 资料以“核心知识+8易错辨析+6典例精讲+课后作业”为框架，通过易错点（如顶点式顶点坐标符号转换）培养抽象能力与推理意识，典例（如头盔销售量函数建模）渗透模型意识，帮助学生用数学语言表达现实问题。课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过分层练习查漏补缺，强化知识应用能力。

第04讲 二次函数定义、三种解析式、图象基本性质 （核心知识+8易错辨析+6典例精讲+课后作业） 【知识点01】二次函数的定义 一般地，形如 （ 是常数，）的函数，叫做二次函数。 核心要点： 是自变量， 是因变量； 为二次项系数， 是二次函数的必备前提； 为二次项， 为一次项， 为常数项； 自变量最高次数必须为2，不含分式、根式等非整式形式。 【知识点02】二次函数三种解析式（必考） （1）一般式： 适用场景：已知抛物线上任意三个不共线的点坐标，代入解析式列三元一次方程组，求解 。是最通用的解析式形式。 （2）顶点式： 核心参数：顶点坐标 ，对称轴为直线 。 适用场景：已知抛物线顶点、对称轴、最值，或任意一个含最值特征的条件，搭配一个抛物线上的点求解析式。 补充：一般式可通过配方转化为顶点式，是求顶点、最值的核心方法。 （3）交点式（两根式）： 核心参数： 是抛物线与 轴两个交点的横坐标，对应一元二次方程 的两个实数根。 适用场景：已知抛物线与 轴的两个交点 ，再结合一个抛物线上的点求解。 限制条件：仅当 （抛物线与 轴有交点）时，可使用交点式。 【知识点03】二次函数图象基本性质（抛物线） 二次函数的图象是一条平滑、对称的曲线，叫做抛物线。 （1）开口方向与宽窄（由 决定） ：开口向上，抛物线有最低点，有最小值，无最大值； ：开口向下，抛物线有最高点，有最大值，无最小值； 越大，抛物线开口越窄； 越小，抛物线开口越宽。 （2）对称轴 一般式：直线 ； 顶点式：直线 ； 特征：抛物线关于对称轴左右完全对称。 （3）顶点坐标 一般式：； 顶点式：； 顶点是抛物线的最值点，也是单调性的分界点。 （4）增减性（必须限定对称轴范围） 当 （开口向上）： 对称轴左侧（）： 随 增大而减小； 对称轴右侧（）： 随 增大而增大； 顶点处取得最小值 。 当 （开口向下）： 对称轴左侧（）： 随 增大而增大； 对称轴右侧（）： 随 增大而减小； 顶点处取得最大值 。 （5）与坐标轴的交点 与 轴交点：令 ，得交点坐标 ，交点位置仅由 决定。 与 轴交点：令 ，解方程 ，由判别式 判断交点个数： ：抛物线与 轴有2个不重合交点； ：抛物线与 轴有1个交点（顶点在 轴上）； ：抛物线与 轴无交点。 （6） 符号的图象判断 ：看开口，上正下负； ：看对称轴，口诀“左同右异”：对称轴在 轴左侧， 同号；对称轴在 轴右侧， 异号；对称轴为 轴，； ：看与 轴交点，交点在正半轴 ，负半轴 ，过原点 。 1. ❌易错认知：形如 的函数就是二次函数 ✅正确辨析：必须满足 ，若 ，函数退化为一次函数 ，不再是二次函数。 2. ❌易错认知：顶点式 的顶点是 ✅正确辨析：顶点坐标为 。例：，顶点为 ，需注意括号内符号转换。 3. ❌易错认知：所有二次函数都能写成交点式 ✅正确辨析：仅当 ，抛物线与 轴有实数交点时，才可使用交点式；无交点时不能用。 4. ❌易错认知：直接笼统描述二次函数增减性 ✅正确辨析：二次函数增减性具有分段性，必须指明“对称轴左侧/右侧”，不能直接说 随 增大而增大/减小。 5. ❌易错认知：直接套用最值公式，不区分最值类型 ✅正确辨析：， 为最小值， 为最大值，必须区分开口方向。 6. ❌易错认知：抛物线过原点则 ✅正确辨析：抛物线与 轴交点由 决定，过原点说明 ， 可不为0。 7. ❌易错：配方时常数项运算失误 ❌错误示例： ✅正确示例： 核心规则：配方加了一次项系数一半的平方，必须同步减去该数值，保证式子恒等。 8. ❌易错：混淆“左同右异”规则 ✅正确原理：由对称轴公式 推导，左侧 同号，右侧 异号，可结合公式快速判断。 【题型一】二次函数概念辨析（选择/填空） 【例1】．（25-26九年级·河南周口·阶段检测）下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【例2】．（25-26九年级上·广东珠海·期末）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【例3】．（2025九年级上·全国·专题练习）把变成一般式，它的常数项为_____． 【变式1】．（25-26九年级下·全国·单元测试）若是关于的二次函数，则的值是（ ） A． B． C． D．或 【变式2】．（25-26九年级上·河南信阳·期中）二次函数化简后，其一次项系数是_________． 【变式3】．（25-26九年级上·广东江门·期中）若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【变式4】．（25-26九年级下·全国·课后作业）2020年，我国新增水土流失治理面积约为6万；2021年，我国新增水土流失治理面积比2020年增长约． (1)2021年，我国新增水土流失治理面积大约是多少万平方千米？（结果精确到万） (2)如果2022年、2023年我国新增水土流失治理面积年均增长率为x，2023年我国新增水土流失治理面积为y万，那么y的表达式是什么？ 【题型二】三种方法求解析式（解答题基础） 【例4】．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）已知二次函数的顶点坐标为，其图象经过，求此二次函数的表达式． 【例5】．（23-24九年级上·云南保山·阶段检测）抛物线经过，，三点，求抛物线的解析式． 【例6】．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）二次函数图象经过，求二次函数解析式． 【变式1】．（23-24九年级上·陕西渭南·期中）已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，求该二次函数的解析式． 【变式2】．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为．求该抛物线和直线的函数解析式． 【变式3】．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）二次函数图象与轴交于点，． (1)求该二次函数解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【变式4】．（24-25九年级上·北京昌平·期中）已知抛物线与x轴相交于点，，且过点． (1)求此函数的表达式； (2)求顶点坐标． 【题型三】图象性质基础计算（开口、对称轴、最值、增减性） 【例7】．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【例8】．（25-26九年级·吉林长春·期中）若点和点都在抛物线上，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【例9】．（25-26九年级下·全国·课后作业）根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知点， 在函数图像上，则______．（填“”、“”或“”） 【变式2】．（24-25九年级上·广东惠州·期中）抛物线的对称轴为 ___________． 【变式3】．（22-23九年级上·云南昭通·阶段检测）请选择一组你喜欢的a，b，c的值，使二次函数的图象同时满足下列条件： ①开口向下； ②当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 这样的二次函数的解析式可以是______． 【变式4】．（25-26九年级上·河北·阶段检测）已知抛物线的图象经过坐标原点O，并与x轴交于点． (1)求此抛物线的解析式 (2)利用配方法或公式法将函数写成顶点式，并写出顶点坐标、对称轴和最值 (3)若抛物线上有一点B，且，求点B的坐标 【题型四】图象符号判断（选择压轴高频） 【例10】．（25-26九年级上·北京·阶段检测）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 【例11】．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①②④ 【例12】．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有______个． 【变式1】．（2026·宁夏银川·三模）二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】．（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）如图是二次函数图像的一部分，且过点，二次函数图像的对称轴是，下列结论：①；②；③；④不等式的解集是；⑤当时，y随x的增大而减小，其中结论正确的序号是______________________． 【变式3】．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④，其中正确的有________（填序号）． 【变式4】．（25-26九年级上·北京西城·期中）二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴的交点在与之间不包括这两点下列结论： ①；②；③若，，则；④；⑤若m为任意实数，则 其中正确的结论序号有______． 【题型五】抛物线对称性应用 【例13】．二次函数的部分对应值如下表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 由表可知该二次函数的图象对称轴为直线______，对应的函数值______． 【例14】．（2026·上海闵行·三模）定义：如果二次函数满足，那么我们称这个函数为“和谐”函数；如果二次函数满足，那么我们称这个函数为“美好”函数；如果一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数，那么这个二次函数图像的对称轴为______． 【例15】．（25-26九年级上·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知拋物线． (1)当时， ①该抛物线的对称轴为__________； ②点和是抛物线上的两点，比较和的大小关系，并说明理由； (2)如果点和是抛物线上的两点，且对于，都有，求的取值范围． 【变式1】．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）在平面直角坐标系中，，是抛物线（）上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．当，时，，则______． 【变式2】．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线过点，设抛物线的对称轴为， (1)求的值； (2)如果点，，是抛物线上的点，且总有，求的取值范围． 【变式3】．（2024·北京延庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线． (1)若，求t的值； (2)点在该抛物线上，若对于都有，求t的取值范围． 【变式4】．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知抛物线（）经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和分别在抛物线和上（A，B与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求a与b的值． 【题型六】抛物线平移问题 【例16】．将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【例17】．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．向左平移3个单位，向上平移5个单位 B．向右平移3个单位，向上平移5个单位 C．向左平移5个单位，向下平移3个单位 D．向右平移5个单位，向上平移3个单位 【例18】．（25-26九年级上·上海宝山·期末）新定义：若抛物线与x轴正半轴有两个交点，且其中一个交点与抛物线在y轴上的交点的连线与x轴夹角为，则称该抛物线为“半垂抛物线”，称抛物线在x轴上的这个交点为“半垂点”，称抛物线在坐标轴上的三个交点形成的三角形为抛物线的“半垂三角形”． 已知抛物线是“半垂抛物线”，且为该抛物线的“半垂三角形”，点，点，点C为“半垂点”．将抛物线先向左平移4个单位，再向下平移3个单位后，得到新抛物线的对称轴是直线______． 【变式1】．（2026·山西朔州·模拟预测）将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·江西九江·期末）把抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线表达式为_________． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数（m，n为常数）的图象经过点． (1)将该函数图象向右平移4个单位后仍过点A，则______； (2)当时，求n的取值范围； (3)当时，函数的最大值为M，则下列结论中正确的是______． A．M随m的增大而增大 B．M随m的增大而减小 C．M随m的增大先增大后减小 D．M随m的增大先减小后增大 1. 定义核心：二次函数本质是自变量最高次数为2的整式函数，核心限制条件，基础形式为 。 2. 三种解析式各司其职：一般式适配三点坐标求值，顶点式适配顶点、最值、对称轴问题，交点式仅限与 轴有交点的题型，做题需按需选择最简解析式。 3. 图象性质核心：抛物线的开口、宽窄由 决定，对称轴是单调性分界核心，顶点是最值核心；增减性、最值问题必须结合开口方向和对称轴分析。 4. 图象参数判断技巧：开口看 ，对称轴看 （左同右异）， 轴交点看 ， 判定 轴交点个数，可快速解决图象信息判断题。 5. 高频避坑总结：牢记 前提、顶点符号规则、交点式使用限制、增减性分段描述、配方恒等变形五大易错点，规避基础丢分。 一、单选题 1．在同一坐标系中，图象与的图象关于x轴对称的函数为（   ） A． B． C． D． 2．下列抛物线的顶点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的开口向下，则□可能是（    ） A． B． C． D．5 4．已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 5．下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（    ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 6．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．当时，的值随值的增大而减小 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 7．如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（     ） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 二、填空题 9．抛物线的顶点坐标为_______ 10．若二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是______． 11．将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式是________． 12．已知点，都在抛物线上，则_____．（用“”，“”或“”填空） 13．在二次函数中，y与x的部分对应值如下表： … 0 1 3 4 … y … 2 4 2 … 下列结论： ①抛物线开口向下；②当时，y随x的增大而减小；③抛物线一定经过点；④当时，或；⑤对称轴是直线．其中正确的结论有_________．（只填序号） 14．已知抛物线的y与x的部分对应值如表： 1 4 0 5 9 5 下列结论： ①对称轴为直线； ②方程有两个不相等的实数根； ③若点，均在二次函数图象上，则； ④满足的x的取值范围是或． 其中正确结论的序号为______． 三、解答题 15．如图为二次函数的图象，请在同一坐标系中画出二次函数和的图象，并回答下列问题． x … 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … … … … … (1)二次函数和图象的形状是 ．开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．在对称轴的左侧，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，y随x的增大而 ．当x＝ 时，y有最 值为 ． (2)如果，a越大，即越大．抛物线的开口越 （填“大”或“小”）． 16．在平面直角坐标系中，，，． (1)写出A，B两点分别关于y轴的对称点，的坐标． (2)画出以O为顶点并过A和B两点的抛物线图象． 17．已知函数，和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出这三个函数的图象； (2)分别说出这三个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)试讨论函数的性质． 18．已知二次函数的图象与直线交于点． (1)求a和b的值； (2)当x取何值时，二次函数中的函数值y随x值的增大而增大？ (3)求抛物线与直线的另一个交点 B的坐标． 19．已知二次函数的图象经过点． (1)求证：； (2)若该二次函数的最小值为． ①求二次函数的表达式； ②若，为二次函数图象上的不同的两点，且，求证：． 20．在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图像交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图像的生长点． (1)二次函数的图像如图所示． ①在的不同取值2、、5中，使该函数图像有生长点的的值是_____； ②已知是该函数图像的生长点，猜想的取值范围，并说明理由． (2)二次函数（h、k为常数）的图像经过点，若是该函数图像的生长点，求该函数的表达式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 二次函数定义、三种解析式、图象基本性质 （核心知识+8易错辨析+6典例精讲+课后作业） 【知识点01】二次函数的定义 一般地，形如 （ 是常数，）的函数，叫做二次函数。 核心要点： 是自变量， 是因变量； 为二次项系数， 是二次函数的必备前提； 为二次项， 为一次项， 为常数项； 自变量最高次数必须为2，不含分式、根式等非整式形式。 【知识点02】二次函数三种解析式（必考） （1）一般式： 适用场景：已知抛物线上任意三个不共线的点坐标，代入解析式列三元一次方程组，求解 。是最通用的解析式形式。 （2）顶点式： 核心参数：顶点坐标 ，对称轴为直线 。 适用场景：已知抛物线顶点、对称轴、最值，或任意一个含最值特征的条件，搭配一个抛物线上的点求解析式。 补充：一般式可通过配方转化为顶点式，是求顶点、最值的核心方法。 （3）交点式（两根式）： 核心参数： 是抛物线与 轴两个交点的横坐标，对应一元二次方程 的两个实数根。 适用场景：已知抛物线与 轴的两个交点 ，再结合一个抛物线上的点求解。 限制条件：仅当 （抛物线与 轴有交点）时，可使用交点式。 【知识点03】二次函数图象基本性质（抛物线） 二次函数的图象是一条平滑、对称的曲线，叫做抛物线。 （1）开口方向与宽窄（由 决定） ：开口向上，抛物线有最低点，有最小值，无最大值； ：开口向下，抛物线有最高点，有最大值，无最小值； 越大，抛物线开口越窄； 越小，抛物线开口越宽。 （2）对称轴 一般式：直线 ； 顶点式：直线 ； 特征：抛物线关于对称轴左右完全对称。 （3）顶点坐标 一般式：； 顶点式：； 顶点是抛物线的最值点，也是单调性的分界点。 （4）增减性（必须限定对称轴范围） 当 （开口向上）： 对称轴左侧（）： 随 增大而减小； 对称轴右侧（）： 随 增大而增大； 顶点处取得最小值 。 当 （开口向下）： 对称轴左侧（）： 随 增大而增大； 对称轴右侧（）： 随 增大而减小； 顶点处取得最大值 。 （5）与坐标轴的交点 与 轴交点：令 ，得交点坐标 ，交点位置仅由 决定。 与 轴交点：令 ，解方程 ，由判别式 判断交点个数： ：抛物线与 轴有2个不重合交点； ：抛物线与 轴有1个交点（顶点在 轴上）； ：抛物线与 轴无交点。 （6） 符号的图象判断 ：看开口，上正下负； ：看对称轴，口诀“左同右异”：对称轴在 轴左侧， 同号；对称轴在 轴右侧， 异号；对称轴为 轴，； ：看与 轴交点，交点在正半轴 ，负半轴 ，过原点 。 1. ❌易错认知：形如 的函数就是二次函数 ✅正确辨析：必须满足 ，若 ，函数退化为一次函数 ，不再是二次函数。 2. ❌易错认知：顶点式 的顶点是 ✅正确辨析：顶点坐标为 。例：，顶点为 ，需注意括号内符号转换。 3. ❌易错认知：所有二次函数都能写成交点式 ✅正确辨析：仅当 ，抛物线与 轴有实数交点时，才可使用交点式；无交点时不能用。 4. ❌易错认知：直接笼统描述二次函数增减性 ✅正确辨析：二次函数增减性具有分段性，必须指明“对称轴左侧/右侧”，不能直接说 随 增大而增大/减小。 5. ❌易错认知：直接套用最值公式，不区分最值类型 ✅正确辨析：， 为最小值， 为最大值，必须区分开口方向。 6. ❌易错认知：抛物线过原点则 ✅正确辨析：抛物线与 轴交点由 决定，过原点说明 ， 可不为0。 7. ❌易错：配方时常数项运算失误 ❌错误示例： ✅正确示例： 核心规则：配方加了一次项系数一半的平方，必须同步减去该数值，保证式子恒等。 8. ❌易错：混淆“左同右异”规则 ✅正确原理：由对称轴公式 推导，左侧 同号，右侧 异号，可结合公式快速判断。 【题型一】二次函数概念辨析（选择/填空） 【例1】．（25-26九年级·河南周口·阶段检测）下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，，是常数，）的整式函数，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A. 不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意； B. ，该函数是一次函数，不是二次函数，故不符合题意； C. 符合（，，）的形式，是二次函数，故符合题意； D. ，不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意， 综上，选C． 【例2】．（25-26九年级上·广东珠海·期末）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查根据题意列函数关系式． 根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量关于x的函数解析式． 【详解】解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x， ∴8月份的销售量为个， ∴9月份的销售量． 故选：A． 【例3】．（2025九年级上·全国·专题练习）把变成一般式，它的常数项为_____． 【答案】18 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题重点考查二次函数的一般形式及多项式乘法法则，将二次函数表达式展开为一般形式，常数项即为． 【详解】解：， 故常数项为． 故答案为：18． 【变式1】．（25-26九年级下·全国·单元测试）若是关于的二次函数，则的值是（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查二次函数的定义．需满足自变量最高次数为2且二次项系数不为0，据此列方程与不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数． ∴根据二次函数定义可得： 由，得， 即或 又∵， ∴ ∴． 故选：C 【变式2】．（25-26九年级上·河南信阳·期中）二次函数化简后，其一次项系数是_________． 【答案】 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的展开化简及项的系数识别，解题的关键是将二次函数的乘积形式展开为一般式，再确定一次项的系数． 将按多项式乘法法则展开，合并同类项得到二次函数的一般式，进而找出一次项对应的系数． 【详解】解：， 其一次项为，系数是． 故答案为：． 【变式3】．（25-26九年级上·广东江门·期中）若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，需满足的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此进行求解即可. 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， . 【变式4】．（25-26九年级下·全国·课后作业）2020年，我国新增水土流失治理面积约为6万；2021年，我国新增水土流失治理面积比2020年增长约． (1)2021年，我国新增水土流失治理面积大约是多少万平方千米？（结果精确到万） (2)如果2022年、2023年我国新增水土流失治理面积年均增长率为x，2023年我国新增水土流失治理面积为y万，那么y的表达式是什么？ 【答案】(1)万 (2) 【知识点】求一个数的近似数、列代数式、列二次函数关系式 【分析】（1）根据增长率的意义列式求近似数即可； （2）根据增长率的意义，列式求解即可； 【详解】（1）解：2021年，我国新增水土流失治理面积大约是 万平方千米； （2）解：2021年新增水土流失治理面积万平方千米，2022年新增水土流失治理面积万平方千米， 2023年新增水土流失治理面积万平方千米， 2023年我国新增水土流失治理面积为y万，得到； 【题型二】三种方法求解析式（解答题基础） 【例4】．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）已知二次函数的顶点坐标为，其图象经过，求此二次函数的表达式． 【答案】． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查二次函数的解析式求法；由函数顶点坐标可设二次函数的解析式为，再将点代入解析式中即可求a． 【详解】解：设二次函数的表达式为， 因为函数图象经过， ∴， ∴， ∴． 【例5】．（23-24九年级上·云南保山·阶段检测）抛物线经过，，三点，求抛物线的解析式． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法．把三个点的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：将，，代入抛物线中得： ， 解方程组得：， ∴抛物线的解析式为：． 【例6】．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）二次函数图象经过，求二次函数解析式． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的三种表达式是解题的关键；由题意可设该抛物线的解析式为，然后代入点B坐标可进行求解． 【详解】解：设该抛物线的解析式为， 把代入函数得：， 解得：， 该抛物线的解析式为，即． 【变式1】．（23-24九年级上·陕西渭南·期中）已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，求该二次函数的解析式． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设该二次函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴该二次函数解析式为． 【变式2】．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为．求该抛物线和直线的函数解析式． 【答案】抛物线的函数解析式为；直线的函数解析式为. 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查求函数解析式，利用待定系数法是解决问题的关键． 利用待定系数法将点，代入所求解析式即可求解； 【详解】解：把点，代入，得： ， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为； 设直线的函数解析式为，把点，代入得： 解得， ∴直线的函数解析式为． 【变式3】．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）二次函数图象与轴交于点，． (1)求该二次函数解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握解析式的求法、函数的最值及函数图象的交点是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）依据题意，由，进而结合求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数图象与轴交于点，， ∴把，代入解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，为9； 又当时，； 当时，； 所以，当时，． 【变式4】．（24-25九年级上·北京昌平·期中）已知抛物线与x轴相交于点，，且过点． (1)求此函数的表达式； (2)求顶点坐标． 【答案】(1)． (2)顶点坐标为． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，以及求二次函数的顶点坐标， （1）设函数解析式为，将三点代入，解出、、即可； （2）将函数解析式化成顶点式，即可知道顶点坐标． 【详解】（1）解：设函数解析式为， ∵抛物线与x轴相交于点，，且过点． ∴， 解得：， ∴函数的表达式为：． （2）将函数的表达式变形：． ∴顶点坐标为． 【题型三】图象性质基础计算（开口、对称轴、最值、增减性） 【例7】．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】抛物线顶点式的形式为，其对称轴为直线． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线． 【例8】．（25-26九年级·吉林长春·期中）若点和点都在抛物线上，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【知识点】y=ax²的图象和性质 【详解】解：∵抛物线的二次项系数为， ∴抛物线开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 【例9】．（25-26九年级下·全国·课后作业）根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 【答案】 轴（或直线） 下 下 高 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查形如的二次函数的图象性质．根据二次项系数的符号判断开口方向．结合函数性质即可求解各空． 【详解】（1）抛物线属于型二次函数． 根据二次函数性质，其对称轴是轴，即直线．顶点坐标是． ．则抛物线开口向上．且． 仅当时． 当时．．抛物线上的点都在轴上方． （2）抛物线中． ．根据二次函数性质，抛物线开口向下． ． 仅当，即顶点处时． 除顶点外，抛物线上的点都满足，都在轴的下方．开口向下的抛物线，顶点是抛物线上的最高点． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知点， 在函数图像上，则______．（填“”、“”或“”） 【答案】< 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据二次函数（）的性质，其图像开口向下，对称轴为y轴，将点A和点B的横坐标代入函数解析式，计算和的值，并利用比较大小即可． 【详解】解：由函数（），点在图像上，代入得；点在图像上，代入得， 因为，所以，即； 故答案为<． 【变式2】．（24-25九年级上·广东惠州·期中）抛物线的对称轴为 ___________． 【答案】直线 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查的是二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的对称轴公式． 利用二次函数图象的对称性，结合与x轴的两个交点坐标推导即可． 【详解】解： 与x轴的交点坐标为，， ∴对称轴为直线． 故答案为：直线． 【变式3】．（22-23九年级上·云南昭通·阶段检测）请选择一组你喜欢的a，b，c的值，使二次函数的图象同时满足下列条件： ①开口向下； ②当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 这样的二次函数的解析式可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据开口向下确定，根据二次函数的增减性确定对称轴为直线，选取满足条件的参数即可得到符合要求的解析式． 【详解】解：∵开口向下， ∴， ∵当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， ∴对称轴为直线， ∴满足题意的二次函数的解析式可以是． 【变式4】．（25-26九年级上·河北·阶段检测）已知抛物线的图象经过坐标原点O，并与x轴交于点． (1)求此抛物线的解析式 (2)利用配方法或公式法将函数写成顶点式，并写出顶点坐标、对称轴和最值 (3)若抛物线上有一点B，且，求点B的坐标 【答案】(1) (2)顶点式为；顶点坐标为；对称轴为直线；函数的最小值为，无最大值． (3)和 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用配方法把解析式化为顶点式即可得到答案； （3）根据三角形的面积公式得到，据此求出点B的纵坐标，进而可求出点B的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过坐标原点，并与x轴交于点， ∴ ， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线， ∵， ∴函数开口向上， ∴在对称轴处函数有最小值，最小值为； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，解得或， 当时，，此时方程无解， ∴点B的坐标为和． 【题型四】图象符号判断（选择压轴高频） 【例10】．（25-26九年级上·北京·阶段检测）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】①由抛物线开口方向得到，对称轴在轴右侧，得到与异号，又抛物线与轴负半轴相交，得到，可得出，选项①错误；②把代入中得，所以②正确；③当时，，即， 当时，，即，即可判断选项③正确；④由对称轴为直线，即时，有最小值，可得结论，即可得到④正确． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴在轴右侧， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，①错误； ②当时，， ∴， ∵， ∴， 把代入中得，所以②正确； ③由图象可知，当时，，即， 当时，，即， ， 即，所以③正确 ④∵抛物线的对称轴为直线， ∴时，函数的最小值为， ∴， 即，所以④正确． 综上所述，结论正确的有②③④，共3个． 【例11】．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的对称性求函数值、y=ax²+bx+c的最值 【分析】抛物线开口向下，且交轴于正半轴及对称轴为，推导出，，以及与之间的关系：，即可判断①；根据二次函数图象经过点，及对称轴为，可得出抛物线经过，再把点代入解析式，结合即可判断②⑤；再由二次函数的对称性，当时，距离对称轴越远所对应的越小，即可判断③；由抛物线开口向下，对称轴是直线，可知当时，有最大值，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， 即，故②正确，⑤不正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确，不符合题意； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ∴，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的结论是①②④． 【例12】．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有______个． 【答案】3 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与各系数符号，理解二次函数的图象和性质是解答关键． ①根据二次函数图象的开口方向，与轴的正半轴的交点和对称轴来求解；②根据图象过点得，再结合对称轴得来求解；③利用当时，来求解；④利用A、B、C到对称轴的距离分别为4，0，1进行判定求解． 【详解】解：①由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴，故结论①正确； ②∵对称轴为直线， 即， ∴，故结论②正确； ③∵图象过点，对称轴为直线， ∴当时，， 即，故结论③错误； ④∵点，点、点在该函数图象上，对称轴为直线， ∴A、B、C到对称轴的距离分别为4，0，1， ，故结论斯正确． 综上所述，正确的结论共3个． 故答案为：3． 【变式1】．（2026·宁夏银川·三模）二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】①根据图象的开口方向即可判断，②根据图象与轴交点坐标即可判断；③根据图象与轴的交点的个数即可判断；④根据对称点，判断对称轴，再根据对称轴公式求出的关系即可判断． 【详解】关于①，由图可知二次函数开口向下，即，故①符合题意； 关于②，由图可知二次函数与轴交于正半轴，即，故②符合题意； 关于③，由图可知二次函数与轴有两个交点，即，故③符合题意； 关于④，由图可知二次函数与轴有两个交点分别为，，则对称轴为直线，因为，所以，即，故④符合题意； 综上，共有4个符合题意． 【变式2】．（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）如图是二次函数图像的一部分，且过点，二次函数图像的对称轴是，下列结论：①；②；③；④不等式的解集是；⑤当时，y随x的增大而减小，其中结论正确的序号是______________________． 【答案】①④⑤ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． 根据图像可知，二次函数开口向下，与轴正半轴有交点，则、，根据对称轴可得与轴的一个交点坐标为，令得到，根据二次函数图像与轴有两个交点， 得到判别式，根据 二次函数图像的对称轴判断增减性即可． 【详解】解：根据题意得二次函数图像的对称轴是，与轴的一个交点为，则与轴的一个交点坐标为， 令得， 故③错误； 由图像可知，对称轴是，图像开口向下， 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 不等式的解集是， 故④⑤正确； 由图像可知，二次函数图像开口向下，与轴正半轴有交点， 则、， 那么， 故②错误； 由于二次函数图像与轴有两个交点，则令得：， 则判别式，即， 故①正确； 综上所述，结论正确的有①④⑤， 故答案为：①④⑤． 【变式3】．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④，其中正确的有________（填序号）． 【答案】②③④ 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题等知识点，利用数形结合的思想是解题的关键． 由抛物线开口方向得到，由图象可得抛物线与轴有两个交点，则，利用对称得出抛物线与轴正半轴相交，确定，再由，结合得到，，即可判断①②；再将和代入中，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线，抛物线与轴一个交点在和之间， ∴抛物线与轴另一个交点在和之间， ∴抛物线与轴正半轴相交，且，故③正确； ∴， ∵对称轴为直线，则，而， ∴，， ∴，， 故①错误，②正确； 当时，， 当时，， ∴， ∴，故④正确． ∴正确的为②③④， 故答案为：②③④． 【变式4】．（25-26九年级上·北京西城·期中）二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴的交点在与之间不包括这两点下列结论： ①；②；③若，，则；④；⑤若m为任意实数，则 其中正确的结论序号有______． 【答案】②③④ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数与x轴的交点可设解析式为，从而得到，，由与y轴交点范围可得的范围，进而求出的范围，再结合开口方向、对称轴及函数性质判断各结论即可． 【详解】解：二次函数图象与x轴交于点，， 设解析式为， 则，， 由于二次函数图象与y轴的交点在与之间， 则，即， 解得，故结论④正确； 对于结论①：，，，则，故①错误； 对于结论②：当时， 由得，当时，， 则，故②正确； 对于结论③：对称轴为直线，抛物线开口向上， 由且，得，点离对称轴比点更远， 则，故③正确； 对于结论⑤：考虑函数， 由于，为开口向上的抛物线， 顶点在， 则，当时取等号， 故，不一定大于，故⑤错误； 综上，正确结论为②、③、④． 故答案为：②③④． 【题型五】抛物线对称性应用 【例13】．二次函数的部分对应值如下表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 由表可知该二次函数的图象对称轴为直线______，对应的函数值______． 【答案】 1 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】利用二次函数的对称性，函数值相等的两个点关于对称轴对称，先求对称轴，再根据对称轴求对应的函数值． 【详解】解：从表格中可知，当和时，对应的值都为， ∵二次函数图象上，纵坐标相等的两个点关于对称轴对称， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∵关于对称轴的对称点横坐标为， ∴对应的函数值与对应的函数值相等， ∵由表格可知时，， ∴对应的函数值． 【例14】．（2026·上海闵行·三模）定义：如果二次函数满足，那么我们称这个函数为“和谐”函数；如果二次函数满足，那么我们称这个函数为“美好”函数；如果一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数，那么这个二次函数图像的对称轴为______． 【答案】轴（或直线） 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】根据题意可得这个二次函数经过点和，根据抛物线的对称性，即可求解． 【详解】解：∵一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数 ∴满足， ∴这个二次函数的图像经过点和 ∴这个二次函数图像的对称轴为轴． 【例15】．（25-26九年级上·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知拋物线． (1)当时， ①该抛物线的对称轴为__________； ②点和是抛物线上的两点，比较和的大小关系，并说明理由； (2)如果点和是抛物线上的两点，且对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1)①；②； (2)或 【知识点】绝对值方程、y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据题意得到二次函数解析式，从而得到二次函数的对称轴； ②结合函数图象，当，对称轴左侧的图象随的增大而减小，从而得到，的大小； （2），由题意分时，根据抛物线的开口方向及对称轴可知抛物线的增减性，再结合自变量和函数值的大小关系得出不等式，求出解集即可；当时，仿照上述解答过程解答即可． 【详解】（1）解：①当时，， 抛物线的对称轴是． 它的对称轴为直线； ②∵抛物线的图象开口向上，对称轴为直线， ∵点和是抛物线上的两点，且 ，两点关于对称轴直线对称 ； （2）解：当时，抛物线的对称轴是， 此时抛物线的开口方向向上，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小 ∵点和是抛物线上的两点，都有， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ ∵， 解得； 当时，抛物线的对称轴是， 此时抛物线的开口方向向下，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大 ∵点和是抛物线上的两点，都有， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴或， ∴或， ∵， ∴， 综上：a的取值范围是或 【变式1】．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）在平面直角坐标系中，，是抛物线（）上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．当，时，，则______． 【答案】1 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．因为当，时，，所以将，代入解析式得，化简求得，进而对称轴可求，题目可解． 【详解】解：对于，，有， ， ， ， 对称轴为， ． 故答案为：1． 【变式2】．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线过点，设抛物线的对称轴为， (1)求的值； (2)如果点，，是抛物线上的点，且总有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把代入求出得到抛物线的对称轴为直线，即可得到答案； （2）根据二次函数的性质得到抛物线开口向上，得出，分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线过点， ， ， 抛物线的对称轴为直线， （2）解：点，，是抛物线上的点， ， 抛物线开口向上，且总有， ， ， 当时，，不成立； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，不成立； 的取值范围是． 【变式3】．（2024·北京延庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线． (1)若，求t的值； (2)点在该抛物线上，若对于都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查了二次函数性质，熟悉相关结论是解题关键． （1）由题意得，据此即可求解； （2）分类讨论①当时，②当时，两种情况即可求解； 【详解】（1）解：点，点在抛物线上， 且，抛物线的对称轴为， ， ． （2）解：点，点，点在抛物线上， ，，． 且． ①当时，有， ②当时，有， ． ． ． ． 综上：． 【变式4】．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知抛物线（）经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和分别在抛物线和上（A，B与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求a与b的值． 【答案】(1) (2)①；②， 【知识点】整式加减中的无关型问题、y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求抛物线的对称轴，判断函数值的大小，利用函数值的数量关系求系数，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）将已知点的坐标代入解析式中，得出系数之间的关系，利用对称轴公式即可求解； （2）①根据题意得出函数的解析式，将代入解析式中，利用作差法即可得出函数值的大小； ②将函数值用各自自变量表示，整理得出，然后利用特殊值法即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，将点代入得，，即， 故所求抛物线的对称轴是直线； （2）解：①由（1）可知，， ∴抛物线的解析式为 又， ∵抛物线过原点，且点A与原点不重合， ， ， 故； ②， ∴， ∴，且， ∴， 是与无关的定值． ， ，． 【题型六】抛物线平移问题 【例16】．将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 【详解】解：将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为． 【例17】．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．向左平移3个单位，向上平移5个单位 B．向右平移3个单位，向上平移5个单位 C．向左平移5个单位，向下平移3个单位 D．向右平移5个单位，向上平移3个单位 【答案】A 【知识点】二次函数图象的平移 【详解】解：∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴顶点从平移到，需要先向左平移3个单位，再向上平移5个单位． 【例18】．（25-26九年级上·上海宝山·期末）新定义：若抛物线与x轴正半轴有两个交点，且其中一个交点与抛物线在y轴上的交点的连线与x轴夹角为，则称该抛物线为“半垂抛物线”，称抛物线在x轴上的这个交点为“半垂点”，称抛物线在坐标轴上的三个交点形成的三角形为抛物线的“半垂三角形”． 已知抛物线是“半垂抛物线”，且为该抛物线的“半垂三角形”，点，点，点C为“半垂点”．将抛物线先向左平移4个单位，再向下平移3个单位后，得到新抛物线的对称轴是直线______． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了新定义、待定系数法求抛物线解析式、二次函数的平移，理解新定义是解题的关键． 先根据“半垂点”的定义确定点坐标，进而求出抛物线的解析式，再根据平移的性质即可求出新抛物线的对称轴． 【详解】解：∵为该抛物线的“半垂三角形”，点，点C为“半垂点”， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∵点C在x轴正半轴上， ∴点， 设抛物线的解析式为， 则， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵将抛物线先向左平移4个单位，再向下平移3个单位， ∴新抛物线的解析式为， ∴新抛物线的对称轴是直线． 故答案为：． 【变式1】．（2026·山西朔州·模拟预测）将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，得到原顶点坐标，再根据平移规则得到平移后的顶点坐标，最后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可，二次函数平移后二次项系数不变． 【详解】解：∵ ， ∴ 原抛物线的顶点坐标为， ∵ 将顶点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度， ∴ 平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即新顶点坐标为， ∵ 抛物线平移后二次项系数不变， ∴ 平移后抛物线的解析式为． 【变式2】．（25-26九年级上·江西九江·期末）把抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线表达式为_________． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】根据抛物线平移“上加下减，左加右减”的原则，推导平移后的抛物线表达式． 【详解】解：抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线表达式为， 化简得． 故答案为：． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数（m，n为常数）的图象经过点． (1)将该函数图象向右平移4个单位后仍过点A，则______； (2)当时，求n的取值范围； (3)当时，函数的最大值为M，则下列结论中正确的是______． A．M随m的增大而增大 B．M随m的增大而减小 C．M随m的增大先增大后减小 D．M随m的增大先减小后增大 【答案】(1)1 (2) (3)A 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的最值，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意，得出关于m的方程，据此进行求解即可； （2）根据题意，结合m的范围进行计算即可求n的取值范围； （3）对m的取值范围进行分类讨论，据此进行判断即可． 【详解】（1）解：将二次函数的图象向右平移4个单位后得到函数， 点平移后对应点的坐标为， 新图象对称轴是直线，顶点坐标是； ，， 故答案为：1； （2）当时， 时，， 将代入，， ， 时，， 将代入，， ， n的取值范围为； （3）解：因为函数的对称轴为直线且开口向上， 所以当时，函数的最大值为离对称轴较远点的坐标． 当时，； 当时，， 又因为， 所以当时，， 则随的增大而增大； 当时，， 所以随的增大而增大，所以A选项符合题意． 故答案为：A． 1. 定义核心：二次函数本质是自变量最高次数为2的整式函数，核心限制条件，基础形式为 。 2. 三种解析式各司其职：一般式适配三点坐标求值，顶点式适配顶点、最值、对称轴问题，交点式仅限与 轴有交点的题型，做题需按需选择最简解析式。 3. 图象性质核心：抛物线的开口、宽窄由 决定，对称轴是单调性分界核心，顶点是最值核心；增减性、最值问题必须结合开口方向和对称轴分析。 4. 图象参数判断技巧：开口看 ，对称轴看 （左同右异）， 轴交点看 ， 判定 轴交点个数，可快速解决图象信息判断题。 5. 高频避坑总结：牢记 前提、顶点符号规则、交点式使用限制、增减性分段描述、配方恒等变形五大易错点，规避基础丢分。 一、单选题 1．在同一坐标系中，图象与的图象关于x轴对称的函数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知直角坐标系中关于轴对称的点的坐标的关系是解题的关键．根据关于轴对称的点的坐标特征求得即可． 【详解】解：函数的图象关于轴对称的函数为，即． 故选：． 2．下列抛物线的顶点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点式为，则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．先根据二次函数的性质确定各抛物线的顶点坐标，然后进行判断． 【详解】解：A、，顶点坐标为，本选项不符合题意； B、，顶点坐标为，本选项不符合题意； C、，顶点坐标为，本选项符合题意； D、，顶点坐标为，本选项不符合题意； 故选：C． 3．已知二次函数的开口向下，则□可能是（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数性质是解题的关键． 二次函数开口向下需二次项系数为负，且□应为常数以保证函数为二次函数． 【详解】解：A、代入后函数变为 ，不是二次函数，故选项不符合题意； B、代入后，开口向下，故选项符合题意； C、代入后，不是二次函数，故选项不符合题意； D、代入后，开口向上，故选项不符合题意； 故选：B． 4．已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式可得函数图象的开口方向向下和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越小，求出三个点到对称轴的距离，比较即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴． 5．下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（    ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【分析】根据各问题中的数量关系列出y与x的函数解析式，再判断函数类型即可． 【详解】解：① 由矩形面积公式可得，即，y是x的反比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ② 由圆柱侧面积公式可得，y是x的正比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ③∵利润（售价进价）销售量， ∴， 符合二次函数定义，y是x的二次函数，故此选项符合题意； 综上，y与满足的函数关系是二次函数的是③． 6．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．当时，的值随值的增大而减小 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，分析开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性逐一排除即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即开口向下，对称轴为，顶点坐标为， 、开口向下，原选项错误，不符合题意； 、由于，则当时，的值随值的增大而减小，原选项正确，符合题意； 、对称轴为，原选项错误，不符合题意； 、顶点坐标为，原选项错误，不符合题意； 故选 ：． 7．如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由题意可知抛物线开口向上，结合对称轴及点 坐标可得 ，利用的范围求的范围，利用顶点纵坐标为最小值判断不等式及方程根的情况． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上， ， 对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ， 故①错误； ∵抛物线过点 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故②正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时， 有最小值 ， ∴对于任意实数，都有 ， ∴ ，即 ， 故③正确； 抛物线顶点坐标为 ，且开口向上， ∴ 的最小值为， ∴直线 与抛物线 没有交点， ∴关于的方程 没有实数根， 故④错误． 综上所述，正确的结论有②，共2个． 8．如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（     ） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】①由函数图象的开口方向、对称轴、与轴的交点分别判断、、的正负，进而判断的正负；②用对称轴公式变形推导等式；③把、代入解析式得，结合的范围解不等式；④利用二次函数图象的对称性得点坐标，据得点坐标，将，，代入得出点的坐标，根据勾股定理列方程求出． 【详解】解：二次函数图象开口向下， ， 对称轴为， ， 二次函数的图象与轴的交点位于和之间， ， ，①错； 对称轴为， ， ，②正确； 二次函数的图象与轴交于点， ， ， ， ， 二次函数图象与轴的交点位于和之间， 可得， ，③正确； 二次函数的图象与轴交于点，对称轴为， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 当，可得， 将，代入，可得， 点的坐标为， ，，， ， ， 可得， 解得或， ， ，④正确． 综上，正确的说法为②③④． 二、填空题 9．抛物线的顶点坐标为_______ 【答案】 【详解】抛物线的顶点坐标为． 10．若二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是______． 【答案】 【分析】将两点的横坐标分别代入二次函数解析式，求出对应函数值，再比较大小即可． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 11．将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式是________． 【答案】 【分析】根据“自变量加减左右移，函数值加减上下移”的平移规律求解即可． 【详解】据题意可得： 12．已知点，都在抛物线上，则_____．（用“”，“”或“”填空） 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的函数值，通过直接计算点A和点B的纵坐标值进行比较． 【详解】解：对于抛物线， 当时， ； 当时， ． 因为， 所以 故答案为：． 13．在二次函数中，y与x的部分对应值如下表： … 0 1 3 4 … y … 2 4 2 … 下列结论： ①抛物线开口向下；②当时，y随x的增大而减小；③抛物线一定经过点；④当时，或；⑤对称轴是直线．其中正确的结论有_________．（只填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，对称轴，抛物线的增减性，熟练掌握待定系数法，准确判断符号与系数的关系，用好二次函数的增减性是解题的关键． 利用待定系数法确定二次函数的解析式，根据解析式求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过，和， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴抛物线开口向下，故①正确； ∴抛物线的对称轴为直线，故⑤错误； ②∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小；故②正确； 当时，，故③正确； ∵和是对称点，且抛物线开口向下， ∴当时，，故④错误． 综上所述，其中正确结论的个数是3． 故答案为：①②③． 14．已知抛物线的y与x的部分对应值如表： 1 4 0 5 9 5 下列结论： ①对称轴为直线； ②方程有两个不相等的实数根； ③若点，均在二次函数图象上，则； ④满足的x的取值范围是或． 其中正确结论的序号为______． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， 利用待定系数法求出的值，再根据对称轴公式求出对称轴即可判断①；利用根的判别式即可判断②；利用二次函数的性质可判断；利用对称性可判断③；画出函数图形可判断④；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：把 代入得， 解得： ∴ ∴对称轴为直线，故①正确； ∵ ∴，即为， ∴， ∵ ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故②错误； ∵， ∴点，关于对称轴对称， ∴，故③正确； 由得， 即 则和： 由 解得：， ∴， 由图形可得，当或时，，即，故④正确； 综上，正确的结论为①③④， 故答案为：①③④． 三、解答题 15．如图为二次函数的图象，请在同一坐标系中画出二次函数和的图象，并回答下列问题． x … 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … … … … … (1)二次函数和图象的形状是 ．开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．在对称轴的左侧，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，y随x的增大而 ．当x＝ 时，y有最 值为 ． (2)如果，a越大，即越大．抛物线的开口越 （填“大”或“小”）． 【答案】(1)抛物线，上，y轴，，减小，增大，0，小，0； (2)小 【分析】本题结合图象考查了二次函数的性质，重点是注意函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及单调性与最值的问题． 先列表，描点、连线作出函数的图象． （1）根据画出的函数图象并结合其性质即可求解； （2）根据图象即可得到结论． 【详解】（1）列表： x … 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … … 8 2 0 2 8 … … 2 0 2 … 描点、连线画出函数的图象如图： 二次函数和图象的形状是抛物线．开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是．在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．当时，y有最小值为0． （2）解：由图象可知，如果，a越大，即越大．抛物线的开口越小． 16．在平面直角坐标系中，，，． (1)写出A，B两点分别关于y轴的对称点，的坐标． (2)画出以O为顶点并过A和B两点的抛物线图象． 【答案】(1)， (2) 如图所示： 【分析】本题考查坐标与图形变换-轴对称，二次函数的性质、画二次函数的图象，掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）根据点关于y轴对称的点的坐标特征“纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解即可； （2）根据二次函数的对称性描点画图即可． 【详解】（1）解：∵A，B两点分别关于y轴的对称点为，，，， ∴，； （2）解：∵抛物线以O为顶点并过A和B两点， ∴该抛物线关于y轴对称，并经过，两点， 在平面直角坐标系中描点、连线可得抛物线 17．已知函数，和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出这三个函数的图象； (2)分别说出这三个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)试讨论函数的性质． 【答案】(1) 解：列表： x … 0 1 2 … … … 列表： x … … … … 列表： x … … … … 如图所示为所求： (2) ：开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； ：开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； ：开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为. (3) 函数开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大.函数有最小值，最小值为． 【分析】（1）利用描点法画出函数图象即可； （2）利用顶点式二次函数的特征，可直接得到开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）观察图象即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：对于顶点形式的二次函数，决定开口方向，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． （3）解：函数开口向上，对称轴为直线， 因此当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，当时，有最小值． 18．已知二次函数的图象与直线交于点． (1)求a和b的值； (2)当x取何值时，二次函数中的函数值y随x值的增大而增大？ (3)求抛物线与直线的另一个交点 B的坐标． 【答案】(1)，． (2)当时，二次函数的函数值随的增大而增大． (3)点的坐标为． 【分析】（1）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）联立两函数解析式，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴，即， 把点A的坐标代入得， ∴； （2）解：由（1）得二次函数的解析式为， ∴对称轴为y轴，函数图象开口向下， ∴当时，二次函数的函数值随的增大而增大； （3）解：联立，解得或， ∴点B的坐标为． 19．已知二次函数的图象经过点． (1)求证：； (2)若该二次函数的最小值为． ①求二次函数的表达式； ②若，为二次函数图象上的不同的两点，且，求证：． 【答案】(1) 证明：二次函数的图象经过点， ， ； (2)①； ②证明：点在二次函数的图象上， ，， ， ， ， 由题意可知，点，关于直线对称， ，， ． 【分析】（1）把点代入解析式，求出即可； （2）①利用配方法得到顶点，再列式求解即可； ②根据题意可得，利用二次函数的对称性得到，再代入计算即可证明． 【详解】（1）略 （2）①解：， ， 该二次函数的最小值为， ，且， 解得，（舍去）， 该二次函数的表达式为； ②略 20．在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图像交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图像的生长点． (1)二次函数的图像如图所示． ①在的不同取值2、、5中，使该函数图像有生长点的的值是_____； ②已知是该函数图像的生长点，猜想的取值范围，并说明理由． (2)二次函数（h、k为常数）的图像经过点，若是该函数图像的生长点，求该函数的表达式． 【答案】(1)① ②猜想，理由如下： ∵点在直线上， ∴， 由（1）知：当时，此时， ∴当时，，此时直线上不存在点使， ∴； 又∵过点作轴的垂线与的图像交于点， 而的最小值为， ∴； ∴； (2)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图像和性质，新定义，是解题的关键： （1）①令，得到，进而得到，根据新定义，进行讨论即可得出结果； ②点在直线上，得到，由①可知，再根据与的图像有2个交点，得到，即可得出结果； （2）把代入函数表达式，得到，令，得到，分3种情况求解即可． 【详解】（1）解：①当时，， ∴， ∴， ∴当时，， 此时在线段的延长线上或线段的延长线上，存在点使，满足题意； 当时，， ∴当点在线段上时，，满足题意； 当时，， ∴直线上不存在点使，不满足题意； 综上：使该函数图像有生长点的的值是； ②略 （2）∵二次函数（h、k为常数）的图像经过点， ∴； ∵是该函数图像的生长点， ∴， 当时，则：， ∴， ∴， ∴， ①当点在线段上时，则：， ∴， 解得， 把代入，得：或， 当时，，满足题意； 当时，，此时点不在线段上，不符合题意，舍去； ∴； ②当点在点的左侧时，则：， ∴， ∴， ∴， 把，代入，得：， 此时，符合题意； ∴； ③当点在点的右侧时，则：， ∴， ∴， 把，代入，得：， ∴ 此时，点不在点的右侧，不符合题意，舍去； 综上：或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $