专题 25.5 一元二次方程根与系数的关系（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），通过知识回顾梳理一元二次方程一般形式、根的判别式及求根公式，搭建基础支架，进而系统讲解定理内容、适用前提与代数式变形公式，覆盖直接求根和积、对称代数式求值等基础题型及综合拓展。 资料特色为分层设计，基础题型巩固定理直接应用，提升题型结合判别式、几何（如菱形边长问题）、函数（如倒数点问题）培养推理能力与应用意识，易错点点拨强化严谨思维。课中助力教师分层教学，课后同步检测帮助学生查漏补缺，强化知识运用。

专题 25.5 一元二次方程根与系数的关系（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】知识回顾 1 【知识点二】一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 2 【知识点三】常见代数式变形公式（常考点） 2 【题型 1】直接求两根和、两根积 3 【题型 2】求对称代数式的值 4 【题型 3】已知一元二次方程两根关系，求参数 6 【题型 4】利用根的关系构造方程 9 二.思路点拨与题型精析（巩固提升） 11 【知识点四】常用解题思路总结 11 【知识点五】易错点深度点拨 11 【题型 5】根的判别式与韦达定理综合求值 11 【题型 6】根的判别式与韦达定理综合求值证明 14 【题型 7】韦达定理与几何综合求值证明 17 【题型 8】韦达定理与函数综合求值证明 20 三.同步检测 22 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 23 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 26 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 30 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】知识回顾 1. 一元二次方程一般形式：，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项。 2. 根的判别式： （1）：方程有两个不相等的实数根； （2）：方程有两个相等的实数根； （3）：方程没有实数根。 3. 求根公式：当时，一元二次方程的实数根为：。 【知识点二】一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 1. 定理内容 若一元二次方程的两个实数根为，则：， 2. 适用前提（重中之重） （1）方程必须是一元二次方程，即；（2）方程必须有实数根，即。 关键提醒：使用韦达定理前，必须先判断方程是否有实数根，无实数根时，根与系数的关系无意义！ 3. 特殊形式结论 （1）若方程为（二次项系数为1），则，； （2）当时，方程有一个根为0，两根之和； （3）当时，两根互为相反数，即。 4. 定理简单推导 由一元二次方程求根公式，设方程的两根：， 推导两根和： 推导两根积： 【知识点三】常见代数式变形公式（常考点） 已知为方程两根，不解方程求代数式的值，常用变形： 1. 2. 3. 4. 5. 【题型 1】直接求两根和、两根积 【例题1】（24-25九年级上·山东临沂·阶段检测）不解方程，求下列方程的两根的和与积 （1） （2） 【答案】（1）4，1；（2）， 【分析】（1）首先根据一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，再根据一元二次方程根与系数的关系，即可求得； （2）首先根据一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，再根据一元二次方程根与系数的关系，即可求得． 解：（1）解：， 方程有两个不相等的实数根， 方程的两根之和为：4，两根之积为：1； （2）解：， 方程有两个不相等的实数根， 方程的两根之和为：，两根之积为：． 【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解决本题的关键． 【变式1】（2026·河北邯郸·模拟预测）若一元二次方程的两根为，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，若两根为，由根与系数的关系得，，先得到两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可得到结果． 解：∵方程中，，，， ∴，， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·重庆渝中·期末）若是一元二次方程的两实数根，则的值是___________． 【答案】 【分析】先得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算即可得到结果． 解：对于方程可得 ， ∴． 【变式3】（24-25九年级上·云南红河·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，求的值． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握根的判别式和根与系数之间的关系，是解题的关键： （1）求出判别式的符号进行判断即可； （2）根据根与系数的关系进行求解即可． 解：（1）证明：∵， ∴ ； ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）由题意，得：， ∴． 【题型 2】求对称代数式的值 【例题2】（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）已知，是一元二次方程的两个根，求的值． 【答案】30 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 根据根与系数的关系得到，进而根据完全平方公式计算即可． 解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴ 【变式1】（25-26八年级下·山东烟台·期末）一元二次方程的两个实数根为m和n，则代数式的值为（     ） A．17 B．6 C．33 D．26 【答案】C 【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算即可． 解：∵一元二次方程的两个实数根为和， ∴由一元二次方程根与系数的关系可得：，， ． 【变式2】（24-25九年级上·四川成都·阶段检测）设、是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将所求代数式展开变形为含两根之和与两根之积的形式，代入计算即可求解． 解：∵、是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可知：，， ． 【变式3】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若、是一元二次方程的两个根，求下列代数式的值． （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． （1）利用一元二次方程根与系数的关系，直接求出； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，直接求出； （3）先计算，再代入，求解； （4）先由完全平方公式得到，再计算，然后再代入求值． 解：（1）解：∵ 、是一元二次方程的两个根， ，，。 ∴根据根与系数的关系得，， （2）解：根据根与系数的关系得，； （3）解：； （4）解：， ∴． 【题型 3】已知一元二次方程两根关系，求参数 【例题3】（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． （1）求k的取值范围； （2）若，满足，求实数k的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据方程有两个实数根，得判别式，解不等式即可得到的取值范围； （2）先根据根与系数的关系用表示和，再代入已知等式得到关于的方程，结合（1）中的范围筛选出符合条件的值即可； 解：（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 即， 展开整理得， 解得； （2）解：由一元二次方程根与系数的关系可得，， ， 代入得， 整理得， 解得， ，， 不符合题意，舍去， ． 【变式1】（25-26八年级下·福建福州·期末）若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和与已知条件先求出方程的两个根，再通过两根之积计算的值． 解：∵ 方程的两根为、， ∴ 根据根与系数的关系可得 ， ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴ ． 【变式2】（25-26八年级下·福建厦门·期末）设关于的方程的两个实数根分别为，若，那么实数的值是___________． 【答案】 【分析】由根与系数的关系得到，则可得到方程，解方程即可得到答案． 解：∵关于的方程的两个实数根分别为， ∴， ∴， ∴， 此时，故符合题意． 【变式3】（25-26八年级下·山东威海·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根； （2）若，是该方程的两个根，且，求的值． 【答案】（1）另一个实数根为；（2）或 【分析】（1）设该方程的另一个实数根为m，由根与系数的关系得到，解方程组即可得到答案； （2）由根与系数的关系得到，根据完全平方公式的变形得到，即，解方程即可得到答案． 解：（1）解：设该方程的另一个实数根为m， 由根与系数的关系得， 解得， ∴另一个实数根为； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 综上所述，a的值为或． 【题型 4】利用根的关系构造方程 【例题4】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的方程的两根为，则以为两根的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用根与系数的关系求得，则新方程的两个根为再逐项判断即可． 解：A．由根与系数的关系可得方程的，符合题意； B．由根与系数的关系可得方程的，不符合题意； C．由根与系数的关系可得方程的，不符合题意； D．由根与系数的关系可得方程的，不符合题意． 【变式1】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知一元二次方程的两个根为，，且，，那么这个一元二次方程是_____. 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：， ∵，， ∴， ∴这个一元二次方程是． 【变式2】（25-26九年级上·全国·期末）如果关于x的一元二次方程 的两根分别为，，那么这个一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，由，，求出p 和 q，即可写出这个一元二次方程．本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 解：∵方程 的两根为 , ， ∴ ，得 ， ， 得 ， ∴这个一元二次方程为 ， 故选：B． 【变式3】．（2026·江苏南京·三模）写出一个两根之和为，两根之积为的一元二次方程：__________． 【答案】 解：设这个一元二次方程为， ∵这个一元二次方程的两根之和为1，两根之积为， ∴，， ∴取时，， ∴此时这个一元二次方程为（答案不唯一）． 构造方程口诀：和为一次项相反数，积为常数项，二次项系数为1。 二.思路点拨与题型精析（巩固提升） 【知识点四】常用解题思路总结 1. 求值类问题：先判判别式→求两根和与积→代数式整体代入变形求解，全程不解方程。 2. 求系数问题：已知一根优先用两根积/和求另一根，再代入求系数，步骤更简便。 3. 构造方程问题：固定模板，可根据需求整理为整数系数方程。 4. 综合问题：系数含参数时，先由确定参数取值范围，再用韦达定理解题。 【知识点五】易错点深度点拨 1. 忽略适用条件：未判断直接使用韦达定理，无实数根时定理不成立，解题必错。 2. 符号混淆错误：两根和公式为，极易遗漏负号，是最高频易错点。 3. 非一般形式直接套用：使用定理前必须将方程整理为标准形式，不可直接套用原式系数。 4. 代数式变形出错：混淆与，忘记减去。 【题型 5】根的判别式与韦达定理综合求值 【例题5】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求实数k的取值范围； （2）若方程的两个实数根，满足，求k的值． 【答案】（1）实数的取值范围是；（2） 【分析】（1）一元二次方程有两个实数根，说明根的判别式大于等于，据此列出不等式求解即可得到的取值范围． （2） 利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入已知等式得到关于的方程，求解后结合（1）中的范围筛选得到正确的值． 解：（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴ ，解得． 即实数的取值范围为． （2）解：∵一元二次方程的两个实数根，， ∴， ， 又∵， ∴ ，解得，． 由（1）知，故不符合要求舍去，因此． 【变式1】（25-26九年级下·山东烟台·期末）若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（     ） A． B．2 C．2或 D．1 【答案】A 【分析】先根据两根互为倒数得到两根乘积为1，求出k的可能值，再利用判别式验证方程存在实根，舍去不符合的解得到结果． 解：设方程的两根为． ∵ 方程两根互为倒数， ∴ ． 又∵由根与系数的关系得． ∴ ，解得或． ∵ 一元二次方程有两个实数根， ∴． ∴． ∵ ，不符合要求舍去， ∴ ． 【变式2】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程，方程有两个互为相反数的实数根，则的值是__________． 【答案】/ 【分析】根据两根互为相反数得出两根之和为0，求出的值后，再验证方程是否存在实数根，即可得到结果． 解：设方程的两个实数根为， 由根与系数的关系，结合两个根互为相反数，得：， 解得：， 将代入原方程，得， 此时判别式，方程有两个不相等的实数根，符合题意． 【变式3】（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意可知，代入求解即可． （2）根据根与系数的关系得出，，代入到，得出关于m的一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 解：（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴，， 将，，代入， ∴，即， ∴， 解得， 由（1）知， ∴． 【题型 6】根的判别式与韦达定理综合求值证明 【例题6】（25-26八年级下·山东济南·期末）关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两个实根，且，求的值． 【答案】（1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根． （2）2 【分析】（1）一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根； （2）关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 解：（1）略； （2）解：由题意可得，， ∵， ∴， 解得． 【变式1】（北京市通州区2025-2026学年度第二学期期末初中八年级考试数学试卷）已知，关于的一元二次方程． （1）求证：取任意实数时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根，，满足，求的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴ ． ∵ ∴． ∴取任意实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）， 【分析】（1）根据根的判别式求解即可； （2）先根据根与系数的关系求出和，再整理，代入和列出一元二次方程，求解即可． 解：（1）略 （2）∵方程有两个实数根，， ∴根据根与系数的关系得，，， ∵， ∴，整理得：，即， 解得：，． 【变式2】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1）证明：已知一元二次方程为， 可得，，， ∴， ， ，即， 方程总有两个不相等的实数根． （2） 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算，通过判断证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根之和，联立已知条件求出两根，再根据两根之积得到关于的方程，求解即可得到的值． 解：（1）略 （2）解：方程的两个实数根为，，由根与系数的关系得：，， 又， 可得方程组， 解得， 将，代入，得，即， 解得． 【变式3】（25-26八年级下·安徽六安·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1）证明： ， ∵， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根． （2） 【分析】（1）计算出根的判别式，再利用完全平方公式变形可得，因此方程总有两个不相等的实数根； （2）由根与系数的关系，用表示和，代入解方程即可． 解：（1）略 （2）解：， 由根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， 解得． 【题型 7】韦达定理与几何综合求值证明 【例题7】（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）已知四边形相邻两边，的长度分别是关于的一元二次方程的两个实数根，． （1）若四边形为菱形，求的值； （2）若四边形为矩形，且该矩形对角线的长度为，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据菱形的四条边相等，所以方程有两个相等的实数根，所以有，解方程即可求出的值； （2）四边形为矩形，所以方程一定有两个实数根，所以有，解不等式求出的取值范围，因为矩形对角线的长度为，所以，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，解方程即可求出的值． 解：（1）解：四边形为菱形， 方程有两个相等的实数根， ， 整理可得：， 解得：； （2）解：四边形为矩形， 一定有两个实数根， ， ， ， ，， 矩形对角线的长度为， ， 整理可得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ． 【变式1】（25-26八年级下·浙江湖州·期末）已知一个矩形相邻两边长（单位：）是关于的方程（是常数）的两个根，则这个矩形的面积（单位：）可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】矩形相邻两边是方程的两个实根，矩形面积等于两根乘积，利用一元二次方程判别式得到面积的取值范围，即可得到符合条件的选项． 解：设矩形相邻两边长为方程的两个根， ∵矩形面积， 由一元二次方程根与系数的关系得， ∴， ∵方程有两个正实根， ∴判别式， ∵， ∴，解得， 即， 观察选项，只有A选项，符合要求． 【变式2】（25-26九年级上·广东佛山·期中）已知矩形的对角线、的长度是关于的方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，根据一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程的根与系数的关系． 由矩形的性质，结合已知可得方程有两个相等实根，由一元二次方程的根的判别式，结合对角线长度为正，即可得的值． 解：∵矩形的对角线，且、是方程的实数根， ∴方程有两个相等实数根， ∴判别式， 解得， 又∵，由根与系数的关系，两根之和为， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·山东日照·阶段检测）解答下列各题： （1）解方程： . （2）已知平行四边形的两条对角线的长是关于x的一元二次方程的两个根，求k的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）根据平行四边形的性质、一元二次方程的定义和根的判别式、根与系数关系等得到不等式组，解不等式即可． 解：（1）解： ， ∴或， 解得； （2）解：∵平行四边形的两条对角线的长是关于x的一元二次方程的两个根， ∴一元二次方程有两个实数根，且， ∴，，，四个条件同时成立， 即 解得． 【题型 8】韦达定理与函数综合求值证明 【例题8】（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段检测）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：、、都是“倒数点”． （1）求直线：上的“倒数点”坐标； （2）如果直线：上有且只有一个“倒数点”，记作点P，求直线的解析式； （3）如果、是直线：上的两个“倒数点"，求代数式的值． 【答案】（1）或；（2）；（3）27 【分析】本题考查一次函数的图象性质，解一元二次方程，根与系数的关系，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）设点在直线上，待定系数法进行求解即可； （2）设点在直线上，代入转化为一元二次方程，根据只有一个倒数点，得到，进行求解即可； （3）易得，是方程的两个实数根，进而得到，整体代入法求值即可． 解：（1）解：设点在直线上，则：， 解得或， 当时，；当时，； 故直线：上的“倒数点”坐标为或； （2）设点在直线上， 则：， ∴， ∵直线：上有且只有一个“倒数点”， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴； （3）由题意，， 整理，得：， ∴是方程的两个实数根，， ∴， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·山东青岛·阶段检测）若一元二次方程的两个实数根分别是，则一次函数的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一次函数的图象与性质．根据根与系数的关系即可求出与的值，然后根据一次函数的图象与性质即可求出答案． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别是， ∴，， ∴一次函数解析式为：， 故一次函数的图象一定不经过第三象限． 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）关于x方程的两根为1和5，则一次函数不经过第__________象限． 【答案】三 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系和一次函数图像的性质，解决此题的关键是灵活的运用各个知识点；先根据根与系数的关系算出和，再根据一次函数的图形性质即可得到结果； 解：∵关于x方程的两根为1和5， ∴，， ∴， ∴一次函数解析式为， ∵， ∴一次函数图形经过一、二、四象限，不经过第三象限； 故答案为：三 【变式3】（2024·江西南昌·二模）若一元二次方程x2﹣8x＋3＝0的两个实数根分别是a、b，则关于x的一次函数y＝abx﹣a﹣b的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据根与系数的关系可得出a+b=8、ab=3，再结合一次函数图象与系数的关系，即可找出一次函数y=abx-a-b的图象经过的象限，此题得解． 解：∵方程x2-8x+3=0的两个实数根分别是a、b， ∴a+b=8、ab=3， 则一次函数的解析式为y=3x-8， ∴该一次函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故选：B． 【点拨】本题考查了根与系数的关系以及一次函数图象与系数的关系，利用根与系数的关系结合一次函数图象与系数的关系，找出一次函数图象经过的象限是解题的关键． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程 ，若方程的两个实数根为 ，，则 ，． 解：∵ ，是一元二次方程的两个实数根． ∴ ，． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】设方程的另一个根为t，由根与系数的关系可得，解方程即可得到答案． 解：设方程的另一个根为t， 由根与系数的关系可得， 解得， ∴该方程的另一个根为． 3．（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，若两根为，则，，据此求出两根和与两根积，再代入所求代数式计算即可． 解：∵，是一元二次方程的两个根，且，， ∴， ∴． 4．（2026·广西桂林·二模）若的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根，则的面积为（   ） A．5 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，再根据直角三角形面积公式计算面积，即可得到答案． 解：∵的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ 的面积． 5．（2026·湖北襄阳·二模）若一元二次方程的两根分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系列出方程求解． 解：根据题意得，， ∴， 解得． 6．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系，从第一个方程得到两根和与两根积，再对第二个方程利用根与系数的关系得到的表达式，代入计算即可得到结果． 解：∵一元二次方程的两根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵一元二次方程的两根为，， ∴两根之积满足， ∴． 7．（25-26八年级下·重庆·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据两根之积得到关于的方程，求解后再利用判别式验证，舍去无实根的情况，得到最终结果． 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴由根与系数的关系得， 又∵， ∴，整理得：，解得：或， ∵方程有两个实数根， ∴判别式， ， 当时，，此时方程无实数根，舍去； 当时，，符合题意， ∴的值为． 8．（25-26八年级下·广西百色·期中）问题“解方程”：小李说“其中一个解是”；小珍说“，此方程无实数根”；小邓说“方程有两个实数根，这两个实数根的和为”，判断下列结论正确的是（    ） A．小李说得对 B．小珍说得对 C．小邓说得对 D．三名同学说法都不对 【答案】B 解：对于一元二次方程， ，，， ， 方程无实数根， 小李的说法错误，小邓说方程有两个实数根的说法也错误，只有小珍说得对． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）设，分别是一元二次方程的两个根，则________． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系可直接求出两根之和 解：一元二次方程为， ，， 10．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知长方形相邻两边长是一元二次方程的两个根，则这个长方形的面积是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之积，长方形面积为相邻两边长的乘积，即可得到结果． 解：设一元二次方程的两个根分别为和． 根据根与系数的关系可得：． 长方形相邻两边长是该一元二次方程的两个根， 这个长方形的面积为． 11．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则__________ 【答案】4 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和的表达式，结合已知条件构造关于的方程，求解即可得到的值． 解：已知一元二次方程 ，其中二次项系数，一次项系数， 根据根与系数的关系，可得：， ∵， ∴， 解得：， 验证判别式 ，原方程恒有两个不相等的实数根，符合题意． 12．（2026·四川成都·一模）已知一元二次方程的两根之和为，两根之积为，若点在正比例函数的图象上，则的值为_____． 【答案】 【分析】首先，根据一元二次方程根与系数的关系，设方程的两根分别为，得，再将点代入中，即可得出k的值． 解：设方程的两根分别为，则， ， 点在正比例函数的图象上， 将点代入，得 ． 13．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，则这个三角形的斜边长____． 【答案】 【分析】设直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为，利用根与系数的关系得到与的值，再利用勾股定理结合完全平方公式的变形求出斜边长即可． 解：设直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为， ∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根， ∴，， ∴， ∵， ∴． 14．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）已知关于的一元二次方程的一个根为． （1）________； （2）求代数式的值为________． 【答案】 1 【分析】（1）设一元二次方程的另一个根为，利用根与系数的关系求得，； （2）由题意得，对原式化简，再利用整体代入求解即可． 解：（1）设一元二次方程的另一个根为， 则， ， ， ， ； （2）， ， ． 15．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知、是关于的一元二次方程两个不相等的实数根，其中．则_____； 【答案】6 【分析】先由一元二次方程根与系数的关系得到，求出的值，再验证是否满足方程两个不相等的实数根，然后根据一元二次方程解的定义以及根与系数的关系整体代入求值即可． 解：由题意得，， 解得或； 当时，方程为，此时，不符合题意； 当时，方程为，， 由的两个实数根为、 ∴， ∴ ∴ ． 16．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，四边形是边长为的菱形，对角线和的长度分别是关于的一元二次方程的两个实数根，于点，则的长度是________． 【答案】 【分析】先根据菱形的性质得到，，，，利用勾股定理得到，利用根与系数的关系求出，，再根据完全平方公式的变形求出的值，得到，再根据菱形面积公式求出的长即可． 解：四边形是边长为的菱形， ，，，， ， ， 对角线和的长度分别是关于的一元二次方程的两个实数根， ，， ，， ， ， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， ， ， ， ，即， ． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26九年级上·湖南湘西·期末）已知关于的方程． （1）若方程总有两个实数根，求的取值范围； （2）若与是该方程的两个实数根，且满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据方程有实数根得到，进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到关于m的方程，进行求解即可． 解：（1）解：∵方程有两个实数根， ∴， 即， 解得； （2）解：∵与是该方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴ 解方程 得． 18．（25-26八年级下·安徽六安·期中）已知关于的方程． （1）求证：无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若等腰的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1）见分析；（2）的周长为16或14 【分析】（）一元二次方程实根情况由判别式决定，当有两个不相等的实数根时，判别式大于0； （）计算方程的两个根，讨论两根分别为腰的情况． 解：（1）证明：对于方程， 无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2），解得， 该等腰三角形的两条边长分别为和， 已知等腰的一边长为5，分两种情况讨论： ①当时，此时三边长分别为5，5，6，可以构成三角形，此时周长为； ②当时，，此时三边长分别为4，5，5，可以构成三角形，此时周长为； 综上，的周长为16或14． 【点拨】本题主要考查一元二次方程实根情况与系数的关系，解含参数一元二次方程，等腰三角形在没告诉腰具体是哪条边的情况下，要进行分类讨论． 19．（2026·广东广州·二模）如图，已知． （1）尺规作图：和关于所在直线对称，请画出（保留作图痕迹，不用写作法）； （2）在（1）的条件下，过点B作交于点E，若线段和的长是方程的两个实数根，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】（1）以点B为圆心，为半径作弧，再以点A为圆心，为半径作弧，两弧交于点D，连接即可； （2）过点B作交于点E，可得，根据线段和的长是方程的两个实数根，则，即可求解． 解：（1）解：画出如解图所示； （2）解：如图，过点B作交于点E， ∵， ∵和关于所在直线对称， ∴，， ∴， ∴， ∵线段和的长是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴． 20．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）阅读材料：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则 x1+x2＝______，x1•x2＝________． （2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根分别为m、n，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值． 【答案】（1），；（2）；（3）﹣3． 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得m+n＝，mn＝ ，再根据完全平方公式求出m2+n2，进一步即可求出分式的值； （3）根据题意可得s+t＝，st＝，进一步即可求出分式的值． 解：（1）解：（1）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2， ∴x1+x2＝，x1•x2＝， 故答案为：，； （2）（2）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根分别为m、n， ∴m+n＝，mn＝， ∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝， ∴ ； （3）∵实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t， ∴s， t可以看成是方程的两个实数根， ∴s+t＝，st＝， ∴ 【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，涉及完全平方公式，分式的加法等，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 25.5 一元二次方程根与系数的关系（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】知识回顾 1 【知识点二】一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 2 【知识点三】常见代数式变形公式（常考点） 2 【题型 1】直接求两根和、两根积 3 【题型 2】求对称代数式的值 3 【题型 3】已知一元二次方程两根关系，求参数 3 【题型 4】利用根的关系构造方程 4 二.思路点拨与题型精析（巩固提升） 5 【知识点四】常用解题思路总结 5 【知识点五】易错点深度点拨 5 【题型 5】根的判别式与韦达定理综合求值 5 【题型 6】根的判别式与韦达定理综合求值证明 6 【题型 7】韦达定理与几何综合求值证明 6 【题型 8】韦达定理与函数综合求值证明 7 三.同步检测 7 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 7 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 8 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 9 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】知识回顾 1. 一元二次方程一般形式：，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项。 2. 根的判别式： （1）：方程有两个不相等的实数根； （2）：方程有两个相等的实数根； （3）：方程没有实数根。 3. 求根公式：当时，一元二次方程的实数根为：。 【知识点二】一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 1. 定理内容 若一元二次方程的两个实数根为，则：， 2. 适用前提（重中之重） （1）方程必须是一元二次方程，即；（2）方程必须有实数根，即。 关键提醒：使用韦达定理前，必须先判断方程是否有实数根，无实数根时，根与系数的关系无意义！ 3. 特殊形式结论 （1）若方程为（二次项系数为1），则，； （2）当时，方程有一个根为0，两根之和； （3）当时，两根互为相反数，即。 4. 定理简单推导 由一元二次方程求根公式，设方程的两根：， 推导两根和： 推导两根积： 【知识点三】常见代数式变形公式（常考点） 已知为方程两根，不解方程求代数式的值，常用变形： 1. 2. 3. 4. 5. 【题型 1】直接求两根和、两根积 【例题1】（24-25九年级上·山东临沂·阶段检测）不解方程，求下列方程的两根的和与积 （1） （2） 【变式1】（2026·河北邯郸·模拟预测）若一元二次方程的两根为，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·重庆渝中·期末）若是一元二次方程的两实数根，则的值是___________． 【变式3】（24-25九年级上·云南红河·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，求的值． 【题型 2】求对称代数式的值 【例题2】（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）已知，是一元二次方程的两个根，求的值． 【变式1】（25-26八年级下·山东烟台·期末）一元二次方程的两个实数根为m和n，则代数式的值为（     ） A．17 B．6 C．33 D．26 【变式2】（24-25九年级上·四川成都·阶段检测）设、是方程的两个实数根，则的值为________． 【变式3】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若、是一元二次方程的两个根，求下列代数式的值． （1） （2） （3） （4） 【题型 3】已知一元二次方程两根关系，求参数 【例题3】（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． （1）求k的取值范围； （2）若，满足，求实数k的值． 【变式1】（25-26八年级下·福建福州·期末）若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【变式2】（25-26八年级下·福建厦门·期末）设关于的方程的两个实数根分别为，若，那么实数的值是___________． 【变式3】（25-26八年级下·山东威海·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根； （2）若，是该方程的两个根，且，求的值． 【题型 4】利用根的关系构造方程 【例题4】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的方程的两根为，则以为两根的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知一元二次方程的两个根为，，且，，那么这个一元二次方程是_____. 【变式2】（25-26九年级上·全国·期末）如果关于x的一元二次方程 的两根分别为，，那么这个一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3】．（2026·江苏南京·三模）写出一个两根之和为，两根之积为的一元二次方程：__________． 构造方程口诀：和为一次项相反数，积为常数项，二次项系数为1。 二.思路点拨与题型精析（巩固提升） 【知识点四】常用解题思路总结 1. 求值类问题：先判判别式→求两根和与积→代数式整体代入变形求解，全程不解方程。 2. 求系数问题：已知一根优先用两根积/和求另一根，再代入求系数，步骤更简便。 3. 构造方程问题：固定模板，可根据需求整理为整数系数方程。 4. 综合问题：系数含参数时，先由确定参数取值范围，再用韦达定理解题。 【知识点五】易错点深度点拨 1. 忽略适用条件：未判断直接使用韦达定理，无实数根时定理不成立，解题必错。 2. 符号混淆错误：两根和公式为，极易遗漏负号，是最高频易错点。 3. 非一般形式直接套用：使用定理前必须将方程整理为标准形式，不可直接套用原式系数。 4. 代数式变形出错：混淆与，忘记减去。 【题型 5】根的判别式与韦达定理综合求值 【例题5】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求实数k的取值范围； （2）若方程的两个实数根，满足，求k的值． 【变式1】（25-26九年级下·山东烟台·期末）若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（     ） A． B．2 C．2或 D．1 【变式2】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程，方程有两个互为相反数的实数根，则的值是__________． 【变式3】（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【题型 6】根的判别式与韦达定理综合求值证明 【例题6】（25-26八年级下·山东济南·期末）关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两个实根，且，求的值． 【变式1】（北京市通州区2025-2026学年度第二学期期末初中八年级考试数学试卷）已知，关于的一元二次方程． （1）求证：取任意实数时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根，，满足，求的值． 【变式2】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【变式3】（25-26八年级下·安徽六安·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 【题型 7】韦达定理与几何综合求值证明 【例题7】（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）已知四边形相邻两边，的长度分别是关于的一元二次方程的两个实数根，． （1）若四边形为菱形，求的值； （2）若四边形为矩形，且该矩形对角线的长度为，求的值． 【变式1】（25-26八年级下·浙江湖州·期末）已知一个矩形相邻两边长（单位：）是关于的方程（是常数）的两个根，则这个矩形的面积（单位：）可能是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·广东佛山·期中）已知矩形的对角线、的长度是关于的方程的两个实数根，则的值为______． 【变式3】（25-26八年级下·山东日照·阶段检测）解答下列各题： （1）解方程： . （2）已知平行四边形的两条对角线的长是关于x的一元二次方程的两个根，求k的取值范围． 【题型 8】韦达定理与函数综合求值证明 【例题8】（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段检测）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：、、都是“倒数点”． （1）求直线：上的“倒数点”坐标； （2）如果直线：上有且只有一个“倒数点”，记作点P，求直线的解析式； （3）如果、是直线：上的两个“倒数点"，求代数式的值． 【变式1】（24-25九年级上·山东青岛·阶段检测）若一元二次方程的两个实数根分别是，则一次函数的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）关于x方程的两根为1和5，则一次函数不经过第__________象限． 【变式3】（2024·江西南昌·二模）若一元二次方程x2﹣8x＋3＝0的两个实数根分别是a、b，则关于x的一次函数y＝abx﹣a﹣b的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是（     ） A． B． C．1 D．2 3．（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·广西桂林·二模）若的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根，则的面积为（   ） A．5 B．3 C． D． 5．（2026·湖北襄阳·二模）若一元二次方程的两根分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（    ） A．1 B． C．5 D． 7．（25-26八年级下·重庆·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 8．（25-26八年级下·广西百色·期中）问题“解方程”：小李说“其中一个解是”；小珍说“，此方程无实数根”；小邓说“方程有两个实数根，这两个实数根的和为”，判断下列结论正确的是（    ） A．小李说得对 B．小珍说得对 C．小邓说得对 D．三名同学说法都不对 （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）设，分别是一元二次方程的两个根，则________． 10．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知长方形相邻两边长是一元二次方程的两个根，则这个长方形的面积是________． 11．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则__________ 12．（2026·四川成都·一模）已知一元二次方程的两根之和为，两根之积为，若点在正比例函数的图象上，则的值为_____． 13．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，则这个三角形的斜边长____． 14．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）已知关于的一元二次方程的一个根为． （1）________； （2）求代数式的值为________． 15．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知、是关于的一元二次方程两个不相等的实数根，其中．则_____； 16．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，四边形是边长为的菱形，对角线和的长度分别是关于的一元二次方程的两个实数根，于点，则的长度是________． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26九年级上·湖南湘西·期末）已知关于的方程． （1）若方程总有两个实数根，求的取值范围； （2）若与是该方程的两个实数根，且满足，求的值． 18．（25-26八年级下·安徽六安·期中）已知关于的方程． （1）求证：无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若等腰的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 19．（2026·广东广州·二模）如图，已知． （1）尺规作图：和关于所在直线对称，请画出（保留作图痕迹，不用写作法）； （2）在（1）的条件下，过点B作交于点E，若线段和的长是方程的两个实数根，求的长． 20．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）阅读材料：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则 x1+x2＝______，x1•x2＝________． （2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根分别为m、n，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $