北京市景山学校2026-2027学年高三上学期开学考数学试题

2026北京景山学校高三（上)开学考 数 学 2026.8 (考试时间120分钟满分150分) 本试卷分为选择题（共50分)和非选择题（共100分）两部分，考生务必将答案答在答题卡 上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第一部分（选择题共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项， 1.集合A-{xeZ-3≤x<2},B-{xx2≤4}，则AnB的元素个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 2.设a,b,c∈R,且a>b,则() A.ac>be B.1_1 C.a2>b2 D.a3>b3 a b 3.昆明以其多样的民族文化和独特的地方美食闻名现有一名游客计划在三天内品尝完过桥米线、汽锅 鸡、烧饵块、鲜花饼这4种特色美食，每天至少选择1种（当天选择的种类不分先后顺序）.若三天后他恰 好品尝完所有4种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为() A.18 B.24 C.36 D.42 4.物体甲、乙在时间0到，范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是() S 甲 o A.在0到t。范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B.在0到t。范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C.在t=t,时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D.在t=时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 第1页/共15页 5.若(1-x)7=a+ax+a2x2+…+ax,则a2+a4+a6=() A.31 B.32 C.63 D.64 6.2024年10月30日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪 感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏， “90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”·假设6人站成一排，要求 三位“80后”相邻，两位“90后”不相邻，则不同的站法共有() A.32种 B.48种 C.64种 D.72种 7.设函数f(x)=x3+ax2+bx+c,则“a2>3b”是“f(x)有3个零点”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.设函数f(x)是R上可导的偶函数，且f(3)=2,当x>0,满足2f(x)+f'(x)>1,则x2f(x)<18的 解集为() A.(-0,-3) B.(3,+0) C.(-3,3) D.(00,-3)U(3,+0) 9.丹麦数学家琴生(Jensen)是l9世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式 方面留下了很多宝贵的成果，设函数f(x)在(a,b)上的导函数为f'(x),f'(x)在(a,b)上的导函数为 f"(x),若在(a,b)上∫”(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”，以下四个函数在 02 上不是凸函数的是() A.f(x)=sinx+cosx B.f(x)=Inx-2x C.f(x)=-x3+2x-1 D.f(x)=-xe 10.若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m,记△(X)=M-m.下列命题中正确的是() A.已知X={-1,1},Y={0,b},且（△X)=△(Y),则b=2 B.已知X=[a,a+2小，Y={yy=x之，x∈X,则存在实数a,使得△()<1 C.已知X={xf(x)≥g(x),x∈[-1，]，若△(X)=2,则对任意x∈[-1，川，都有f(x)≥g(x) D.已知X=[a,a+2】,Y=[b,b+3],则对任意的实数a,总存在实数b,使得△(XUY)≤3 第二部分（非选择题共100分） 第2页/共15页 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 的二项展开式中，x项的系数为 l2.己知函数f(x)=sinx-xcoSx,则f （)=一：f)在区同(-2x2)上有个楼位点 13.已知函数f(x)=e*-x-l,g(x)=x-lnx+a,若x∈R,3x2∈(0，e],使得f(x)≥g(x2), 则实数a的取值范围是 x-c,x≥0 14.设ceR,函数f(x)= 2-2c,x<0'若f9恰有一个零点，则c的取值范国是】 15.已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x+2)=2f(x),且当x∈(0,2]时，f(x)=2x-3.有以下 三个结论： ①-)=) (11 ②当ae42 时，方程f(x)=a在区间[4,4]上有三个不同的实根： ③函数∫(x)有无穷多个零点，且存在一个零点b∈Z. 其中，所有正确结论的序号是 -Inx,x>0 16.已知函数f(x)= -x2+2ar-2,xs0'其中a∈R.给出下列四个结论： ①当a>0时，函数f(x)有极大值，无极小值： ②若方程f(x)=a存在三个根，则ae[-2,-1): ③当a<0时，函数f(x)的图象上存在关于原点对称的两个点： @当a=25-l时，存在5，飞化≠，)使得函数fx)的图象在点(k,f(5)》和点(，f3》处的切 2 线是同一条直线， 其中所有正确结论的序号是 三、解答题共5小题，共0分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程， 17.已知集合A={-x2+6x-8>0,集合B={x2-4ac+3a2<0 (1)当a=2时，求CBA: 第3页/共15页 (2)若AUB=A,求实数a的值： (3)设集合C=B∩N,若C中有且只有三个元素，请直接写出所有的集合C 18已知函数f0)=lhar+1)+(x≥0，a为正实数。 1+x (I)若a=1,求曲线y=f(x)在点(L,f(I)处的切线方程： (Ⅱ)求函数f(x)的单调区间： (Ⅲ)若函数f(x)的最小值为1，求a的取值范围. 19.为了提高中小学生的身体素质，某地区开展了中小学生跳绳比赛系列活动，活动结束后，利用简单随 机抽样的方法，抽取了部分学生的成绩，按照不同年龄段公组记录如下表： 男生 女生 组别 合格 不合格 合格 不合格 第一组 90 10 80 20 第二组 88 12 72 28 第三组 60 40 58 42 第四组 80 20 62 38 第五组 82 18 78 22 合计 400 100 350 150 假设每个中小学生跳绳成绩是否合格相互独立， (1)从样本中的中小学生随机抽取1人，求该同学跳绳成绩合格的概率： (2)从该地区众多中小学的男生、女生中各随机抽取1人，记这2人中恰有X人跳绳成绩合格，求X的分 布列与数学期望； (3)假设该地区中小学生跳绳成绩合格的概率与表格中该地区中小学生跳绳成绩合格的频率相等，用 “5=1”表示第k组同学跳绳成绩合格，“5=0”表示第k组同学跳绳成绩不合格(k=1,2,3,4,5),试确 定方差D5,D5,D5,D54,D5、中哪个最大？哪个最小？（只需写出结论） 20.已知函数f(x)=xe-x(a∈R). (I)若y=f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围： 第4页/共15页 (2)当a=1时，判断0是否为函数f(x)的极值点，并说明理由： (3)若存在三个实数x<x2<x,满足f(x)=f(x2)=f(x),求实数a的取值范围. 21.已知集合M={,2,3,,n(neN),若集合A={a,a,…,an}cM(m∈N),且对任意的beM,存在a, a,∈A(1≤i≤j≤m),使得b=乃a,+2a(其中，22∈{-1,0，})，则称集合A为集合M的一个m元 基底 (1)分别判断下列集合A是否为集合M的一个二元基底，并说明理由： ①A={1,5},M={1,2,3,4,5}: ②A={2,3,M={1,2,3,4,5,6}. (2)若集合A是集合M的一个m元基底，证明：m(m+1)≥n: (3)若集合A为集合M=1,2,3,…,19的一个m元基底，求出m的最小可能值，并写出当m取最小值 时M的一个基底A. 第5页/共15页 参考答案 第一部分（选择题共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 答案 D D C C C D B C D D 第二部分（非选择题共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分 11. 【答案】60 【详解】由题意得二项式的展开式的通项公式为Tx1=C哈·x- -Ch.2kx-2k 令6-2k=2,得k=2,所以x2项的系数为C2·2=60 故答案为：60 12.【答案】 ①.拼1 ②.2 12"12 【详解】由题意有f'(x)=cosx-(cosx-xsinx)=xsinx,所以f' si 6 612 令f'(x)=0有x=0或sinx=0,当sinx=0时，有x=0或±π， .x<0 由f"(x)>0有 x>0 sinx>0 sinx<0解得-<x<0或0<x<元， x>0 x<0 由f'(x)<0有 或 解得-2π<x<-π或π<x<2π， sinx<0 sinx>0 所以f(x)的单调增区间为(-兀，π)，单调减区间为(-2π，-元)，（π，2π）， 所以f(x)的极大值点为兀，极小值点为-π，f(x)在区间(-2π，2π)上有2个极值点， 故答案为： 12:2 13.【答案】(-0，-l] 【详解】由f(x)=e-x-l,可得f'(x)=e-1, 当x>0时，f'(x)>0:当x<0时，f(x)<0, 第6页/共15页 即f(x)在(-o,0)上单调递减，在(0+o)上单调递增， 故f(x)min=f(0)=0: 由g()=x-lnx+a,戈∈(0，el,可得g)=1-1--l 当0<x<1时，g'(x)<0;当x>1时，g'(x)>0, 即g(x)在(0，)上单调递减，在(L,©]上单调递增， 故g(x)mm=g()=1+a, 由于若x∈R,3x,∈(0，e],使得f(x)≥g(xa),故f(x)m≥g()mm, 即0≥1+a,∴.a≤-1，即实数a的取值范围是(-oo,-l], 故答案为：(-0，-1] 14.【答案】{0U[5,+o) 【详解】当c≤0时，若x<0,则f(x)=2-2c≥2>0， 若x≥0，则f(x)=x-c≥-c,当且仅当x=0时取等号， 则当c=0时，f(x)恰有一个零点，因此c=0: 当c>0时，若x<0,则f(x)=2-2c∈(-2c,1-2c), 若x≥0，f(x)=x-≥-C,显然-c<0,此时x-c=0有一个解， 由f(x)恰有一个零点，则当且仅当1-2c≤0，解得c之 所以c的取值范围是{OU[),+o) 故答案为：{0U与+o) 15.【答案】①② 【详解】因为f(x+2)=2f(x),所以f(-1+2)=2f(-1),即 f-)=2f0=)×2x1-3)=-)放0正确： 由f(x+2)=2f(x),且当x∈(0,2]时，f(x)=2x-3得 第7页/共15页 1 4x∈(4，-2] f(x)= 1 x+2xe(-2,0] 2x-3,x∈(0,2] 4x-14,x∈(2,4] 函数f(x)在[4,4的大致图象如图所示，由图可得，当a∈ 时，函数f(x)与直线y=a有三个 交点，即方程f(x)=a在区间[4,4上有三个不同的实根，故②正确： y=f(x) V=a -6 当x∈(0,2]时，由f(x)=2x-3=0得x=3 由f(+2)=2f(✉)得若/()=0，则f(+2)=2/)=0,f(6-2)=2f(6)=0,所以函 数f(x)的所有零点为x=)+2k,k∈乙 所以函数∫(x)有无穷多个零点，但不存在整数零点.故③错误. 16.【答案】②③④ 【详解】对于①，第二段的对称轴为x=α>0，画出函数草图，则函数无极大值，故①错误. 32 y=f(x) 4-3-2-10 234 第8页/共15页 对于②，如图所示. y=fx) 2 43-2-升034 -2 -3 方程f(x)=a存在三个根，在f(x)第一段内显然有一个根，则在第二段内一定有两个根。 即-x2+2a-2=a在x≤0上有两根，即h(x)=-x2+2ar-a-2=0在x≤0有两根.必须满足 a<0 △=4a2+4(-2-a>0,解得a∈[-2，-1)，故②正确 h(0)≤0 对于③，当a<0时，函数∫(x)的图象上存在关于原点对称的两个点，等价于∫(x)第二段函数图像关于 原点对称的图像，与原函数∫(x)的第一段图像有交点，如图所示，显然成立.故③正确。 32 .y=x) 4-3-2-10 34 3 对.3u=25l.因--5+-2s0 -Inx,x>0 ,大概画出草图如下 2 3 2 fx) -43-2-134 由图像得在原点两侧才能存在公共切线， 当x>0时，f=-hx,f=-1。 第9页/共15页 在点(k,nr)处的切线方程为：y+x=-(x-x) 即：y=-x+l-lnx 当x≤0时，f(x)=-x2+2ax-2,f'(x)=-2x+2a。 在点（x2,-x号+2a2-2）处的切线方程为：y-（-x号+2ax2-2=(-2x2+2a)(x-x2) 即：y=(-2x2+2a)x+x-2 切线重合需满足斜率相等和截距相等： 1 =-2x2-23-1,1-nx=x号-2， 由第二式得nx=3-,代入第一式得（2x2+23+1)e好=1， 令F(x)=(2x+23+1e2,则F(0)=(23+le>1, 且F(x)→0（当x→-0），故存在x2<0使F(x2)=1, 因此存在x(x>0),x(x<0),使得函数f(x)的图象在点(：，f(x)和点(x,f(x)处的切线是同 一条直线，④正确。 故答案为：②③④. 三、解答题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程， 17.【答案】(1)CA={x4≤x<6 (2)a=0 (3){2,3,4,{3,4,5} 【小问1详解】 令-x2+6x-8>0,解得2<x<4,A={x2<x<4, 当a=2时，B={xx2-8x+12<0, 令x2-8x+12<0,解得2<x<6,B={x2<x<6}, 所以CA={x4≤x<6. 【小问2详解】 第10页/共15页 由x2-4ar+3a2=(x-a）(x-3a), ①当a=0时，B=☑，符合题意， ②当a<0时，B={x3a<x<a},此时不满足AUB=A, ③当a>0时，B={xa<x<3a}, a≥2 若AUB=A,则需 3a≤4 此时方程组无实数解. 综上，a=0 【小问3详解】 集合B={x2-4ax+3a2<0}={x(x-a)(x-3a<0, 由（2)可知， 当a=0时，B=☑，C=B∩N=☑，C没有元素，不符合题意 当a<0时，B={x3a<x<a,C=B∩N=☑，C没有元素，不符合题意. 当a>0时，B={xa<x<3a},要使C=B⌒N中有且只有三个元素， 而3a-a=a,则3<2山5，则a号}a号 2 所以C={2,3,4}或C=3,4,5}. l8.【答案】(I)y=ln2,(II)见解析，（Ⅲ）[2，+oo) 【详解】①当a=1时，f()=n(x+)++x 1-x 则f(x+i*0+ 1+-2 所以f'(1)=0.又f(①=n2, 因此所求的切线方程为y=ln2: 四f(= -2 ax2+a-2 ac+1'(1+x)}2(a+1)1+x)月 当a-2≥0，即a≥2时，因为x≥0，所以'(x)>0, 所以函数f(x)在[0，+o)上单调递增， 当a-2<0,即0<a<2时， 第11页/共15页 令f'(x)=0,则ax2+a-2=0(x≥0)，解得x= 2-a a 所以函数∫(x)的单调递增区间为 函数f(x)的单调递减区间为 四由m)知当a≥2时，函数f(x)在[0，+∞)上单调递增， 则f(x)的最小值为f(0)=1,满足题意. 当0<a<2时，函数f(x)的单调递增区间为 函数f(x)的单调递减区间为 则f(x)的最小值为 而f(0)=1,不合题意 所以a的取值范围是2，+oo) 19.【答案】(1)4 (2)X的分布列为 0 l 2 P 3 19 14 50 50 25 X的数学期望E(X)=, (3)D5最小，D53最大 【详解】(1)设事件A=“从样本中的中小学生随机抽取1人，该同学跳绳成绩合格” 样本中男生跳绳成绩合格的有：90+88+60+80+82-400人， 样本中女生跳绳成绩合格的有：80+72+58+62+78350人， 样本中男、女跳绳成绩合格的共有：400+350=750， 第12页/共15页 样本中的男生总人数：400+100=500人， 样本中的男生总人数：350+150=500人， 样本中男、女生总数：500+500=1000， 所以P()= 400+3503 500+5004 (2)设事件B=“从该地区众多中小学的男生中随机抽取1个，该生跳绳成绩合格”， 则P(B)= 4004 5005 设事件C=“从该地区众多中小学的女生中随机抽取1个，该生跳绳成绩合格”， 3507 则P(C)= 500-10 由题可知X的可能取值为0,1,2， 0=P(BC)=P(BP(C)=-x(1-0)=50 X=）=P(RCURC©=PBP9UP®P9=0专x+s9 1050 4.72814 P(X=2)=P(BC)=P(B)P(C)=-× 5105025 所以X的分布列为 0 2 3 19 14 50 50 25 19 143 所以X的数学期望E(X)=0× +1× +2× 50 50 25-2 (3)D5最小，D53最大 0.【塔案】1Du (2)是，理由见解析 【小问1详解】 :f(x)=xe-ax(a∈R),则f'(x)=(1+x)e-a,若y=f(x)在R上是增函数，即f'(x)≥0恒成 立，得a≤(1+x)e,设g(x)=(1+x)e*,g(x)=(x+2)e,g(x)>0得x>2,g'(x)<0得 x<-2,即8()在(0-2)道减在(-2m)递猫，则g()≥g(-2)=,故a≤-号 第13页/共15页 【小问2详解】 当a=1时，f'(x)=(1+x)e-1,"(x)=(x+2)e,f"(x)>0得x>-2,则f'(x)递增， '(0)=0,则x∈(-2,0)时，f'(x)<0,x∈(0，+o)时，f'(x)>0,则f(x)在(-2,0)上递减，在 (0,+0)上递增，故x=0是函数的极小值点. 【小问3详解】 :f'(x)=(1+x)e-a,令f'(x)=0,得(1+x)e=a,由(1)得g(x)=a, 又g)在(-，-2列速该，在(-2+m)道附，则8)≥8-2列= 且x→-o0时，g(x)→0，g(-1)=0,当x<-1时，g(x)<0, 若存在三个实数x<x2<x,满足f(x)=f(x2)=f(x),故当g(x)=a有两根x4,x使得 x4<-2<x<-1,故x<x4或x>x时，g(x)>a,此时f(x)递增，x4<x<x时，g(x)<a,此时 f(x)递减，且x→+o时，f()→+o,则必有f(x)先增后减再增，故必存在x<x2<x,满足 )=f)=3).放g(-2到<a<0,副-<a<0 21.【答案】(1) ①A=1,5}不是M=1,2,3,4,5}的一个二元基底 理由是3≠21+2·5(2,2∈{-1,0,1)： ②A={2,3}是M={1,2,3,4,5,6}的一个二元基底 理由是1=-1×2+1×3,2=1×2+0×3,3=0×2+1×3， 4=1×2+1×2,5=1×2+1×3,6=1×3+1×3 (2)不妨设a<a<…<an,则 形如la,+0a,(1≤i≤j≤m)的正整数共有m个： 形如la,十1a,(1≤i≤m)的正整数共有m个： 形如la,+1a(1≤i<j≤m)的正整数至多有C个： 形如(-1)a,+1a(1≤i<j≤m)的正整数至多有C2个 又集合M={1,2,3,,n}含n个不同的正整数，A为集合M的一个m元基底. 第14页/共15页 故m+m+Cm+C2≥n,即m(m+)≥n. (3)m的最小可能值为5.M的一个基底A=1,3,5,9,16} 由(2)可知m(m+1)≥19，所以m≥4. 当m=4时，m(m+1)-19=1,即用基底中元素表示出的数最多重复一个.* 假设A={a,a2,4,a4}为M={1,2,3,…,19}的一个4元基底， 不妨设4<a2<a<a4,则a4≥10 当a4=10时，有a3=9,这时a2=8或7. 如果42=8，则由1=10-9,1=9-8,18=9+9,18=10+8，与结论*矛盾. 如果a2=7,则a,=6或5.易知A={6,7,9,10}和A={5,7,9,10}都不是M={1,2,3,…,19}的4元基 底，矛盾 当44=11时，有43=8，这时42=7,41=6，易知A={6,7,8,11}不是M=1,2,3,…,19}的4元基底， 矛盾。 当a4=12时，有43=7，这时42=6，a=5,易知A={5,6,7,12}不是M={1,2,3,…,19}的4元基 底，矛盾 当a4=13时，有4=6,42=5,4=4，易知A={4,5,6,13}不是M={1,2,3,…,19}的4元基底， 矛盾 当a4=14时，有a=5,4=4,a=3,易知A={3,4,5,14}不是M={1,2,3,,19}的4元基底，矛 盾 当a4=15时，有4=4，42=3,4=2，易知A=2,3,4,15}不是M={1,2,3,…,19的4元基底， 矛盾 当44=16时，有4=3，a2=2,a,=1,易知A={1,2,3,16}不是M={1,2,3,…,19}的4元基底，矛 盾 当44≥17时，A均不可能是M的4元基底. 当m=5时，M的一个基底A=1,3,5,9,16；或{3,7,8,9,10}：或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可. 综上，m的最小可能值为5. 第15页/共15页