江苏南通市如皋市2027届高三上学期第一次阶段检测数学试题

高三练习卷 公！)，3t 心。个效中州项一金兴 数学《≤ 一、j 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.若幂函数y=x“为偶函数且在(0，+∞)单调递增，则实数α的可能值为 A.-2 B.片 c.号小D.多 2.若z(2-i)=5,则以= A.1 B.5 C.10 1.X)D.5 3.下列函数f(x)是奇函数且在定义域上单调递增的是 Af网= B.f(x)=2--2 C.f(x)=l0g2 D.f问= 4.“a>b”的一个必要不充分条件是 A.(sI B.n(a-b)>0C.2°>2 D.a'>b 5. 己知平行六面体ABCD-4B,C,D,的体积为8，△ABC的面积为2√互，则A到平面4BC 的距离为 =A2 当B. 1 (D.√5 4 2 2 6. 已知函数fx)=x2+ax+b(a,beR)的值域为[0，∞)，若关于x的不等式f()<c的解 集为(m-2,m+4),则实数c的值为更 :量访 A,4 B.6 C.9 D.18 7.Peukert于1897年提出蓄电池的容量C(单位：A,h)、放电时间t(单位：h)与放电 电流1（单位：A)之间关系的经验公式c=n,,其中n=loB,2为Peukert常数.在电 池容量不变的条件下，当放电电流I=18A时，放电时间t=14h,则当放电电流I=8A时， 放电时间为 A.28h B.56h C.70h D.112h 高三数学第1页共4页 度其其球半》 8.已知函数f()及其导函数∫"()的定义域均为R,记g()=f(),若2x+3)为偶函 数，g(x+)为奇函数，则下列结论正确的是 A.g(x)的图象关于直线x=1对称 B.g冈的图象关于点，0)对称 .2 C.f(x)是偶函数 D. 宽r-1 ,k=1 城阁以 二、选择题：本题共3小题，每小题6分；共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 随机变量X服从正态分布N,), 令函数(x)=P(X≥x),则下列选项正确的是 月0 A.f0=2 B.f(x)是增函数 C.f(x)是偶函数 D.f(个的图象关于点中心对称 10.若正实数x,y满足6x+y=y,则 8政，：图 A.y>6 B.有序数对(x,y)(x,yeN)有4个 C.x+y的最大值为7+2√6 D.的最小值为24 11.楂长为1的正方体ABCD-AB1CD中，点P满足B驴=BC+BB,元∈[0，】， 4∈[0，].则下列结论正确的是 A.平面ABD⊥平面APC B.当入+4=1时，DP∥平面A1BD C.若D,P=√反，则AP与平面BCC,8所成角的最小值为翠 D.当元=之，H=时，过点P作正方体外接球的截面，截面面积的最小值为2π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。1、、 12.设f=1n1+2-+1,则f八-2+f2)F一 13.将(1-2x)二项展开式中的各项等可能地随机重新排列，观察排列中是否存在系数为负数 的项相邻，若存在，则记随机变量X=1,否则记X=0,则E(X)=、一 高三数学第2页共4页 14.设keR，若对任意的实数，都有（二）名2+（依-2%+≥0成立，则k的取值 范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知函数f()=log。x（a>0,且a≠1)，若函数f(x)在区间[3，a2]上的最大值与最小 ,中警情出溶容，代！共，公员小前 值之差为1. ,代0的学高代陪，之会。复写 （1)解不等式f(2x-2)<fx): 以六亚得资保 (2)当x[,9],求函数8)=f}fx)的最值，并求出取得最值时对应的x的值. 16.(15分y 点1天紧幽（国 5:}. 如图，圆柱OO的轴截面是边长为2的正方形A4CC,B是该圆柱底面圆周上异于从、C 两点的点， (1)设平面AAB∩平面CCB=1,证明：1114： 公可尺菜”学 (2)当三棱锥G-ABC的体积最大时，求二面角C-AC-B的余弦值. LC5A G8前5，i= 品的有58福？ 17.(15分)服画阿妇发物点6酒5：·以 B 已知函数f(x)=axnx(a∈R且a≠0)共心之小0小c本：遮二 -入+.x.段 (1)当a=1时，求函数y=f(x)的极值： 负民选 (2)若直线y=x-1是曲线y=∫(：)的一条切线，求a的值和切点的坐标； (3)若f)>1有解，求口的取值范围，大迹地寺器的. 句为政限应三高 高三数学第3页共4页 18. (17分) 器区热二高 袋子里有编号1~n(n≥2)的n个小球，除编号外完全一样，现随机从中取出m个，记取 出个小球的最大编号为，取出网个小球的最小编号为%：店一 (1)当n=5,m=3时， 复写褪公 ①求X,的分布列：算单+，)与没要易+：必在法1 @求P=X,=5引：3 (2)当m=n-1时，求D(xni): (3)求E(Xm).. 看道”巧三波元天，1 号1 isolfx 8二-f”8 品滑茶八天分“、， ·6、 )’ 还太、面吗k期，3面阳”小论心及-6.面六年说5 19.(17分) 设函数y=f(x)的定义域为D,其导函数为'()，若存在∈D,使得f()=() 成立，则称函数y=f()具有性质P). ! 1+y (1)判断函数f(x)=x是否具有性质P(),并说明理由：· (2)若函数f()=x+a具有性质P(-2),且满足条件的x恰有三个，求a的取值范围： 当己(：单)道 口立票《3)证明：函数f()=e+x具有性质P)的充要条件是1>0. ,锦产8=1备的学分颁，！前增，t43=‘京，中学，干成 0.0 2.团 12 酒》女中【部三的 高三数学第4页共4页高三练习卷 数学参考答案与评分标准 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D A D C B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 AD ABD ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2 14.L 四、解答题：本题共5小题，共7分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解】(1)因为a2>3.a>0.a≠1，所以a>√5，所以f(x)在(0，+∞）上单调递增， 2x-2<x 所以{2x-2>0,解之得1<x<2,所以解集为(1,2) ……4分 x>0 (2)因为f(x)在(0，+∞)上单调递增， 所以f(x)n=f(a2)=2,f(x)=f(3)=log.3, 即2-og.3=1, 所以a=3 …7分 所以f(x)=ogx, 所以g-周B-[e周g,6-gx-e,9g,3+e功 …9分 令log,x=1,因为x∈l,9],所以1∈0,2， 数学参考答案与评分标准第1页（共8页） 所以0--20+)=f1-2-(-} 所以40L=4)-0=2)=0, …11分 即1ogx=2→x=5,log,x=2x=9, 所以当x=5时，函数g倒有最小值-}、当x=9时，函数g国有最大值0 ……13分 注：如果第一问分a>1和0<a<1讨论求出a的值，再解不等式，要给相应求a的值的3分 16.(15分) 【解】(1)证明：因为A4CC为正方形， 所以AA∥CC,又因为CCc平面CBC,A4d面CCB, 所以A4/1平面CCB, 又因为平面AAB∩平面CCB=I,A4C平面AAB 所以I∥AA. …6分 (2)设△BC的边4C上的高为0<hs1,则ec-点cCG-a, 当三棱锥C,-ABC的体积最大时，h=1,即B为AC的中点. 法1：因为B为AC的中点，所以OB⊥OC,因为OO,⊥面ABC,OB,OCc面4BC, 2 所以O0⊥OC,O0⊥OB.以OB,OC,O元为x,”:轴正方向，建立如图所示坐 标系 …8分 因为OO,⊥OB,OB⊥OC,OO,ACc面ACC,00nAC=O,所以 C于OB⊥面ACC,所以面ACC的法向量m=(10,0) …10分 设面4C,B的法向量n=(xy:),B(1,0,0),4(0,-1,0) C(0,12).AB=(,10),AC=(02,2) 所以+y=0 2y+2:=0'令x=,则y,1,所以n=-） …13分 没二面角C-AC,-B的平面角为0，kos=cas<m,n> 数学参考答案与评分标准第2页（共8页） 由图可知，二面角为锐角，所以二面角C-4C,一B的余弦值为5 …15分 法2：连接OB,作OM⊥AC连接BM …8分 因为O0⊥OB,OB⊥OC,O0,ACc面ACC,OO∩AC=O, 所以OB⊥面ACC, 又因为AC,c面ACC所以OB⊥AC 又因为OM⊥AC,OM,OBc面OBM,OMOOB=O. 所以AC⊥面OBM 因为BMC面OBM, 所以AC⊥BM 因为OM⊥AC,OMC面ACC,BMC面ABC, 所以∠OMB为二面角C-AC-B的平面角 …12分 在AOBM中，∠BOM=90°，OB=l,OM=AC,= 所以BM 所以cOs∠OMB= OM 所以二面角C-4C,-B的余弦值为5 …15分 17.(15分) 【解】(1)当a=1时，f（x)=xnx,f(x)的定义域为(0，+o), r)=nx+1,令r)=0,得x= e 当0<x<上时，r)<0,f)单调递减 e 当x>二时，f(x)>0,f（x)单调递增. …2分 所以∫(x)在x=一处取极小值/ 无极大值. …3分 数学参考答案与评分标准第3页（共8页） (2)f'(x)=a(lhx+l), 设切点为(x,为)，切线y=x-1的斜率为1， 所以f'(x。)=a(lnx。+l)=1①， 因为切点同时在曲线和切线上，所以%=a试lnx=x-1②， 由①②得，ln无+1=， …6分 设m()=lhx-x+1,m()=-1, 由x>0,当0<x<1时，m(x)>0m(x)单调递增， x>1时，m(x)<0,m(x)单调递减， 又m()=0,所以x=1是m(x)=nx-x+I的唯一零点 ……8分 所以无=1，代入①得a=1,切点坐标为(1,0). …9分 (3)法1：令xnx=,=nx+l,令r>0,得x> 令r<0,得0<<所以在0单调递减，在化 单调递增 …10分 @re,a有a0·a<e, ……12分 ②1=0时，0>1，舍： …13分 ®1e0+)时a>有，a>·a>0: …14分 综上：ae(-o,-e)U(0,+o） ……15分 法2：因为f)>1有解，所以alnx-1>0有解 记g)=anx-,g=e+=m+ …10分 ①a>0时，g气x)>0恒成立，所以g(x)在(0+∞)单调递增， 数学参考答案与评分标准第4页（共8页） 当x→+0，g(x)→+0， 所以g(x)>0恒有解，所以a>0 …11分 ②a=0时，g)=-,g)>0无解，舍 …12分 ③a<0时，g(x)m>0 0-1 --,+0 a a a g(x) 0 g(x) 极大值 所以sg}h(}a>0,}1<0,-l, 所以a<-e ……14分 综上：ae(-o,-e)U(0,+o) …15分 18.(17分) 【解】(1)①n=5,m=3时，随机从编号1~5的5个小球中取出3个共有C=10种情况， X,的可能取值为3,4,5， P化=0P,4-器高P=列号合号一3分 分布列如表所示 2 3 10 10 …4分 ②Pg=K,=5-mK=5组y=山_C-3_1 …6分 nX=5)C62 (2)X-的可能取值为n-1或n …7分 11 P(X=n-)FC可n …8分 数学参考答案与评分标准第5页（共8页） P(X=)=1- ……9分 =a--}-a …10分 og)--m+a-m+- …12分 (3)选取m个不同的元素，有C种方法， 要满足X=k,则需取出元素k,其余(m-)个元素是从小于k的(k-)个元素中 选出的， 所以PX==供k=mm+l, …14分 ,)-2==2时 因为kC= k(k-明 =m- (m-1)1(k-m)1m(k-m)月 …15分 所以)22r岩2r2cc:c:…c -是c+c+c++c ……16分 =是c+c++c C ……17分 m+1 19.(17分) 【解】a)解：由/)=得，了 设p()=/)-fe)=r-子x>0, 当0味、p)-宁>0， 所以p(x)在(0，+∞)上单调递增. …2分 又因为p0=al-十-l<0pe=nel-片0 e 所以存在无∈(L©)，使得P(x)=0,即f()=() 故函数f(x)=lr具有性质P() …4分 数学参考答案与评分标准第6页（共8页） (2)解：由f(x)=x+a得，f'(x)=3x2, 因为函数f(x)=x2+a具有性质P(-2). 所以存在实数无，使得(-2x）=-2∫(x) 即(-2x)+a=-2(3x),即a=8x-6x, …6分 即存在实数x,使得a=8x-6x有三个实数根. 设h(x)=8x2-6x2,则(x)=24x2-12x=12x(2x-1) 令i()=0,解得x=0或x=2, 列表如下： (-0,0 0 G* (x) 0 0 h(x) 极大值0 极小值图 7 因为函数f(x)=x+a具有性质P(-2)时，x的值恰有三个， 所以满足条件的·的取值意围是（兮小 …10分 (3)证明：由f(x)=c'+x得，f(x)=c+1, 由f()=f'(x)得，c+r=e+, 设g(x)=e-e'+(x-), ……11分 先证充分性：当1>0时，g()=心-心， 考虑函数y=e'-xe,则y=e-e, 当0<x<1时，y<0,当x=1时，y=0,当x>1时，y>0, 所以函数y=e'-x心在(0，)上严格单调递减，在(L,+o)上严格单调递增， 在x=1时有极小值0， 所以，当1=1时，g()=e'-e=0,函数f(x)具有性质P() 当1>0且1≠1时，g(0)=c-e>c-1小e=0, 数学参考答案与评分标准第7页（共8页） 且当x→-0时，c→0，e2→0，(x-1)→-0，则g(x)→-0， 则存在无e(-。,)满足g()=0,即f()=f'(x)成立 所以函数y=f(x)具有性质P(). …14分 再证必要性：即证函数f(x)=e+x具有性质P(,则：>0. 由g(x)=e-e'+(x-)得g'(x)=te-心+) 若1=0，则g(x)=1,与已知矛盾： 若1<0，设h(x)=e-c+1,则(x)=e-e<0, 即函数(x)是严格减函数， 所以函数g(x)=1(e°-e+)是严格增函数， 又g(0)=e°-e°+1）=1<0，g(0=(e-e+)>(2-g>0, 则存在m∈(0,1)使得g'(m)=0,即cm-c+1=0, 当x∈（∞，m)时，g(x)<0,即函数g(x)严格减函数， 当x∈(m,+∞)时，g(x)>0,即函数g(x)严格增函数， 所以g(x)≥g(m)=e"-e"+1(m-l)=e"-1-e"+(m-1)=(1-）e+(m-l)-1, 需证e"≥m+l, 令y=c-x-1,x∈(0，l),则y=e-1>0,y=e-x-1在(0，)单调递增， 所以y=e-x-1>e°-1=0， 所以g(x)≥g(m)>(1-)(m+1)+1(m-1)-1=m-21>0, 侧不存在x。eD,使得f(低)=矿(x)成立，与y=f(x)具有性质P()矛盾： 综上，函数y=f(x)具有性质P()的充要条件为1>0， …17分 数学参考答案与评分标准第8页（共8页）