2.3 一元二次方程的根与系数的关系（1）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学九年级上册“一元二次方程的根与系数的关系”同步练，通过基础-发展-提升三级梯度设计，覆盖从单一知识应用到综合问题解决的路径，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|根与系数关系直接应用（求两根和/积）|以选择、填空题为主，如选择1直接计算两根和，填空11构造方程，强化概念理解| |发展层|代数式变形（如a²+b²）、错误情境分析|引入知识迁移，如选择8通过错解反推方程，填空14化简代数式，培养推理意识| |提升层|结合判别式求参数、综合应用|设置解答题17含参数方程的根与系数关系，融合运算与逻辑推理，发展模型意识|

北师大版数学九年级上册2.3 一元二次方程的根与系数的关系（1） 一、选择题 1．（2025九上·南宁月考）若一元二次方程的两个实数根为，，则的值是（　　） A．7 B．4 C．3 D． 2．（2024九上·京山期中）已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ） A． B．1 C．15 D．17 3．（2026九上·番禺期末）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　）. A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025九上·龙岗开学考）已知是方程的两个实数根，则的值为（　　） A． B．1 C． D．3 5．（2025九上·滨海期末）若，是方程的两个根，则（　　） A． B． C． D． 6．（2025九上·东丽期中） 已知m，n是方程的两个实数根，则的值为（　　）． A．2 B．6 C． D．0 7．（2025九上·东莞月考）已知、是一元二次方程的两个实数根，则等于（　　）． A．－2 B． C． D．2 8．（2025九上·汇川月考）嘉嘉和琪琪一起写作业，在解一道一元二次方程时，嘉嘉在化简过程中写错了常数项．因而得到方程的两个根是和；琪琪在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是3和2．则正确的方程是（　　） A． B． C． D． 9．（2025九上·白银期末）设，是方程的两个实数根，则的值为（　　） A．2025 B．2026 C．1 D． 10．（2025九上·广汉期末）已知关于x的一元二次方程的一个根，则方程的另一根是（　　） A．3 B． C．1 D． 二、填空题 11．（2026九上·金平期末）写出一个以1和为根的一元二次方程是　 　 12．（2025九上·西青期中）已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是　 　． 13．（2024九上·金平期末）若关于x的方程的两根为，则　 　． 14．（2025九上·成都期中）已知是方程的两个实数根，则代数式　 　． 15．（2025九上·南海期末）关于的一元二次方程的中的一次项系数被◼遮挡，若方程的一个解为2，则另一个解是　 　． 三、解答题 16．（2026九上·濠江期末）已知关于的一元二次方程的一个根是1，求它的另一个根及的值． 17．（2025九上·天河月考）已知关于的一元二次方程两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的两个实数根，满足，求的值． 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】C 【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【分析】将x=a代入方程可得，根据二次方程根与系数的关系可得，，化简代数式，再整体代入即可求出答案. 3．【答案】D 【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根时，其判别式。 在方程中，，，， ∴， 又∵方程有两个相等的实数根，∴，即， 解得。 故答案为：D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，关键是掌握根的情况与判别式之间的对应关系。当方程有两个相等实数根时，判别式等于0，先明确方程中、、的具体数值，再代入判别式公式列出关于的方程，求解该方程就能得到的值。 4．【答案】B 【解析】【解答】解：根据一元二次方程根与系数的关系，得 ． 故选：B． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求出答案. 5．【答案】A 【解析】【解答】解：是方程的两个根， ，． 故选∶ A． 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求得. 6．【答案】B 【解析】【解答】解：∵ m，n是方程的两个实数根， ∴mn=-2，， ∴， ∴原式=2-2×（-2） =2+4 =6. 故答案为：B . 【分析】根据已知条件可得mn=-2，，再整体代入即可. 7．【答案】C 【解析】【解答】解：∵、是方程的根， ∴，， ∴， 故答案为：C． 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，关键是熟练掌握根与系数的关系式并灵活变形。对于一元二次方程 （），其两根 、 满足 ，。对于方程 ，确定 、、，代入关系式可求出 ，；再将所求表达式 变形为 ，把前面求出的两根之和与两根之积代入变形后的式子，即可计算出结果。 8．【答案】D 【解析】【解答】解：根据得， 由得，当时，一元二次方程的一次项系数为6， 由得，当时，一元二次方程的常数项为6， ∴该一元二次方程为， 故答案为：D． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系（）分析求解即可. 9．【答案】A 【解析】【解答】解：∵，是方程的两个实数根 ∴a+b=-1，ab=-2026 ∴=-1-(-2026)=2025 故答案为：A 【分析】根据二次方程根与系数的关系可得a+b=-1，ab=-2026，再整体代入代数式即可求出答案. 10．【答案】A 【解析】【解答】解：设另一根为，则， ∴， ∴方程的另一根为3． 故答案为：A. 【分析】由一元二次方程根与系数的关系，若x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，则x1+x2=，据此结合题意求解即可. 11．【答案】 【解析】【解答】解：， ∴写出一个以1和为根的一元二次方程可以是：. 故答案为：． 【分析】根据根与系数的关系，求出，即可得以1和为根的一元二次方程可以是：. 12．【答案】-2 13．【答案】2 【解析】【解答】解：∵ 方程的两根为 、， ∴，， 则． 故答案为：2。 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），从方程 中直接得出：两根之和 ，两根之积 。将上述结果代入待求式 ，计算得 。 14．【答案】1 【解析】【解答】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 代入得：． 故答案为：． 【分析】根据二次方程根与系数的关系可得，，化简代数式，再整体代入即可求出答案. 15．【答案】1 【解析】【解答】解：设另一个根据为，则， ∴． 故答案为：1． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得，进一步解出即可. 16．【答案】解：设方程的另一个根为n，则， ∴， ∴方程的另一个根是2，的值是4． 【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），设出另一根，列出关于两根和与积的方程组，求解得到另一根及 m 的值。 17．【答案】（1）解：根据题意得： ， 解得， 实数的取值范围为； （2）解：根据题意得： ， ， ， 解得， ， ． 【解析】【分析】（1）根据二次方程有两个实数根，则判别式，解不等式即可求出答案. （2）根据二次方程根与系数的关系可得，根据题意建立方程，解方程即可求出答案. （1）解：根据题意得： ， 解得， 实数的取值范围为； （2）解：根据题意得： ， ， ， 解得， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $