2.3一元二次方程的根与系数的关系》提优特训A·B卷 数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本练习通过A卷基础过关与B卷强化提优的分层设计，构建从概念理解到综合应用的知识巩固路径，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A卷·基础过关|韦达定理核心公式、基本变形（平方和、倒数和）、简单参数问题|以选择填空为主，强化判别式前提应用，规范含参数方程解题步骤，培养运算能力与推理意识| |B卷·强化提优|复杂代数式变形（差的平方、绝对值）、根的分布判定、几何与新定义综合应用|设置综合解答题与中考真题，深化整体代换思想，结合分类讨论解决参数取值问题，发展模型观念与创新意识|

数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上 《第二章一元二次方程第三节一元二次方程的根与系数的关系》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.抽象归纳一元二次方程系数与两根和、两根积的固定数量关系，理解韦达定理的本质；区分一般方程与简化方程的公式差异，建立方程系数与根的对应模型。 2.能结合求根公式严谨推导根与系数的关系；掌握判别式优先的解题逻辑，明确韦达定理的使用前提；能对含参数方程根的正负、大小关系进行推理分析，规范分类讨论思路。 3.熟练运用韦达定理不解方程，快速求解两根和、两根积、两根平方和、倒数和、差的平方等代数式的值；精准处理参数取值、符号判定、整体代换运算，规避符号错误。 4.利用根与系数关系解决已知一根求另一根、构造一元二次方程、参数求值、根的正负判定等中考高频题型；掌握整体代入建模思想，简化复杂代数运算。 ) 二．知识梳理 ( （一） 根与系数关系 （ 核心内容 ） 对于一元二次方程 ， 当判别式 △ = b 2 -4ac ≥ 0 ， 方程存在两个实数根x 1 、x 2 ，则根与系数满足固定关系： 1.两根之和：x 1 +x 2 =- ， 2.两根之积：x 1 x 2 = 关键前提：根与系数关系只对有实数根的方程成立，若判别式 △ = b 2 -4ac<0，方程无实数根，不能使用该定理，这是考试最核心易错点。 （二） 特殊形式方程的简化公式 当一元二次方程化为最简二次项系数为1的形式：x 2 +px+q=0（a=1）设两根为x 1 、x 2 ，则：两根和：x 1 +x 2 =-p ， 两根积：x 1 x 2 =q ， 该公式计算更简便，是选择、填空题的速算利器。 （三） 常用代数式恒等变形（提优核心） 根与系数复杂求值题型，均基于以下 四 个变形，采用整体代入思想求解，无需解出方程具体根： 1.两根平方和： 2.两根倒数和： 3.两根差的平方： 4 .两根差的 绝对值 ： （四） 四大必考应用场景 1.不解方程求值 已知一元二次方程，直接利用两根和、积，结合变形公式，求解各类代数式的值，避免繁琐解方程运算。 2. 已知一根，求另一根与参数 将已知根代入两根积或两根和公式，快速求出未知根；再结合系数关系，求解方程中的未知参数。 3.已知两根，构造一元二次方程 若已知方程两根为x 1 、x 2 ，可直接构造方程：x 2 -(x 1 +x 2 )x+x 1 x 2 =0。 4.判断根的正负性与分布 （1） 两个正数根 ： ) ( （ 2 ） 两个负数根： （ 3 ） 一正一负根：x 1 x 2 <0（积为负必然两根异号，无需判别式） （ 五 ） 含参数一元二次方程解题规范 1.先定范围：根据一元二次方程定义 a ≠ 0、实数根条件 △ ≥ 0，锁定参数取值范围； 2.再用定理：在取值范围内，使用韦达定理列式计算； 3.最后检验：计算出参数后，回代检验是否满足前提条件，舍去增根。 ) A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1．若方程有一个根是，则另一个根是（    ） A．7 B． C． D．2 2.（2025贵阳观山湖区期中）若x1、x2是x2+2x-4=0两根，则x12+x22=（ ） A.12 B.-12 C.8 D.-8 3．已知一元二次方程，则该方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．两根互为相反数 C．有两个相等的实数根 D．两根之和为4 4．已知，是方程的两个实数根，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则a的值为（    ） A．2 B． C．5 D．6 6．已知，且，则的值为（   ）． A． B． C．5 D． 7．设、是方程的两根，则的值是（    ） A．3 B． C． D． 8.（2026贵阳清镇一模）方程x2-2kx+k2-1=0两根关系（ ） A.和为2k B.积为k2+1 C.无实根 D.一正一负 9.已知，是方程x2-x-2028=0的两个实数根，则的值是(     ) A．2026 B．-2026 C．-2027 D．2027 10.若a满足不等式组则关于x的方程(a－2)x2－(2a－1)x＋a＋＝0的根的情况是(　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．以上三种情况都有可能 二．填空题（共30分） 11.（2025贵阳白云区期末）方程x2+7x-2=0，x1+x2=________。 12.关于x的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一个根是 ． 13.（2025贵阳观山湖期中）x1、x2是x2+2x-7=0，(x1+1)(x2+1)=________ 14.（2026贵阳花溪一模）方程2x2+bx+1=0一根为1，b=________ 15.（2025贵阳白云期中）x1+x2=4，x1x2=-5，方程为________ 16.（2025·盐城亭湖期末）方程3x2-6x=0，x1+x2+x1x2=___ 17.（2026·盐城滨海一模）x1、x2是x2-3x+1=0两根，则=___ 18．一元二次方程x2＝x－1的根的情况是__________________． 19．若关于x的方程kx2－4x－＝0有实数根，则k的取值范围是________． 20.直线y=x-a不经过第二象限，且关于x的方程ax2-2x+1=0有实数解，则a的取值范围是_____________________. 三．解答题（共60分） 21．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实根满足，求的值． 22．已知关于x的方程x2+2x+m﹣2＝0． （1）当该方程的一个根为0时，求m的值及方程的另一根； （2）若该方程有两个不相等的实数根，求符合条件的正整数m的值． 23．已知一元二次方程 (1)当时，解这个方程； (2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (3)设此方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 24．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”； （1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”． ①x2﹣x﹣12＝0； ②x2﹣9x+20＝0； （2）已知关于x的方程x2+（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值． 25．如图①，在平行四边形ABCD中，BC＝5，对角线AC，BD的长为x2﹣14x+48＝0的两根，且AC＜BD． （1）请判断四边形ABCD为何特殊的平行四边形，说明你的理由； （2）在（1）成立的情况下，如图②，作AE⊥BC，试求BE的长． 26．已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程根的情况，并说明理由． (2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数的值的和． (3)若此方程的两个实数根分别为，求代数式的值． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1．已知一元二次方程的一个根为．则另一个根为（　　） A． B． C． D． 2．关于x的一元二次方程的两个根是，则的值为（   ） A．8 B． C． D．2 3．一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0的所有实数根的和等于（　　） A．2 B．﹣4 C．4 D．3 4．已知a、b是一元二次方程x2+5x+3＝0的两个根，则的值是（　　） A． B． C． D． 5．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则点P（a﹣2，﹣a+3）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．如果m、n是一元二次方程x2+x＝4的两个实数根，那么多项式2n2﹣mn﹣2m的值是（ ） A．16 B．14 C．10 D．6 7．若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是(　　) A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2 8．已知α，β是方程的两个实数根，则式子的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．已知为互不相等的实数，且，，则的值为（    ） A． B．0 C． D．2 10．已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二．填空题（共30分） 11．已知分别是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 12.（2024·苏州姑苏期末）已知两根为2和-5，构造二次项系数为1的一元二次方程：___ 13.（2025·扬州江都期末）x1、x2是x2-2x-4=0两根，则(x1-x2)2=___ 14．若方程x2+5x﹣6＝0的两根为x1，x2，则|x1﹣x2|＝　 　． 15．已知矩形的长和宽分别是关于x的方程2x2+mx+8＝0（m≥8）的两根，则矩形的面积是 　 　． 16．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值是　 　． 17.已知关于x的一元二次方程ax2-2x+c=0有两个相等的实数根，则-c+1的值等于__. 18．若a，b是方程两个不相等的实数根，则代数式的值为 ． 19．若，是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值 ． 20．若关于x的方程（m为正整数）的两根分别记为，，如：当时，方程的两根记为，，则 ． 三．解答题（共60分） 21.已知一元二次方程x2﹣6x+4=0的两根分别是a，b，求 （1）a2+b2 （2）（a-b）2的值． 22．已知关于x的方程x2－2(m＋1)x＋m2＝0. (1)当m取何值时，方程有两个实数根？ (2)请你为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根． 23.已知x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m-2）x+m+10=0的两实数根． （1）求m的取值范围；（2）已知等腰△ABC的底边BC=4，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长． （3）阅读材料：若△ABC三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶-海伦公式可得：S△ABC=，其中p=，在（2）的条件下，若∠BAC和∠ABC的角平分线交于点I，根据以上信息，求△BIC的面积． 24.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根. (1)若(x1-1)(x2-1)=28,求m的值; (2)已知等腰三角形ABC的一边长为7,若x1,x2恰好是△ABC另外两边的长,求这个三角形的周长. 25．定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③． (2)已知方程是“邻根方程”，求m的值． (3)若方程是“邻根方程”，求证：． 26．阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ， ； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，则的值为 ； (3)提升：已知实数s，t满足，且，则的值 ； (4)拓展：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围是 ． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上 《第二章一元二次方程第三节一元二次方程的根与系数的关系》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.抽象归纳一元二次方程系数与两根和、两根积的固定数量关系，理解韦达定理的本质；区分一般方程与简化方程的公式差异，建立方程系数与根的对应模型。 2.能结合求根公式严谨推导根与系数的关系；掌握判别式优先的解题逻辑，明确韦达定理的使用前提；能对含参数方程根的正负、大小关系进行推理分析，规范分类讨论思路。 3.熟练运用韦达定理不解方程，快速求解两根和、两根积、两根平方和、倒数和、差的平方等代数式的值；精准处理参数取值、符号判定、整体代换运算，规避符号错误。 4.利用根与系数关系解决已知一根求另一根、构造一元二次方程、参数求值、根的正负判定等中考高频题型；掌握整体代入建模思想，简化复杂代数运算。 ) 二．知识梳理 ( （一） 根与系数关系 （ 核心内容 ） 对于一元二次方程 ， 当判别式 △ = b 2 -4ac ≥ 0 ， 方程存在两个实数根x 1 、x 2 ，则根与系数满足固定关系： 1.两根之和：x 1 +x 2 =- ， 2.两根之积：x 1 x 2 = 关键前提：根与系数关系只对有实数根的方程成立，若判别式 △ = b 2 -4ac<0，方程无实数根，不能使用该定理，这是考试最核心易错点。 （二） 特殊形式方程的简化公式 当一元二次方程化为最简二次项系数为1的形式：x 2 +px+q=0（a=1）设两根为x 1 、x 2 ，则：两根和：x 1 +x 2 =-p ， 两根积：x 1 x 2 =q ， 该公式计算更简便，是选择、填空题的速算利器。 （三） 常用代数式恒等变形（提优核心） 根与系数复杂求值题型，均基于以下 四 个变形，采用整体代入思想求解，无需解出方程具体根： 1.两根平方和： 2.两根倒数和： 3.两根差的平方： 4 .两根差的 绝对值 ： （四） 四大必考应用场景 1.不解方程求值 已知一元二次方程，直接利用两根和、积，结合变形公式，求解各类代数式的值，避免繁琐解方程运算。 2. 已知一根，求另一根与参数 将已知根代入两根积或两根和公式，快速求出未知根；再结合系数关系，求解方程中的未知参数。 3.已知两根，构造一元二次方程 若已知方程两根为x 1 、x 2 ，可直接构造方程：x 2 -(x 1 +x 2 )x+x 1 x 2 =0。 4.判断根的正负性与分布 （1） 两个正数根 ： ) ( （ 2 ） 两个负数根： （ 3 ） 一正一负根：x 1 x 2 <0（积为负必然两根异号，无需判别式） （ 五 ） 含参数一元二次方程解题规范 1.先定范围：根据一元二次方程定义 a ≠ 0、实数根条件 △ ≥ 0，锁定参数取值范围； 2.再用定理：在取值范围内，使用韦达定理列式计算； 3.最后检验：计算出参数后，回代检验是否满足前提条件，舍去增根。 ) A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1．若方程有一个根是，则另一个根是（    ） A．7 B． C． D．2 【答案】A 【解析】：方程有一个根是，根据一元二次方程的根与系数的关系可知，两根之和为5，则另一个根为7．故选：A． 2.（2025贵阳观山湖区期中）若x1、x2是x2+2x-4=0两根，则x12+x22=（ ） A.12 B.-12 C.8 D.-8 【答案】：A 【解析】：x1+x2=-2，x1x2=-4；x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4+8=12 3．已知一元二次方程，则该方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．两根互为相反数 C．有两个相等的实数根 D．两根之和为4 【答案】D 【解析】：方程化为一般式为，，方程有两个不相等的实数根，所以A选项、C选项的说法错误；设方程的两根为、，根据根与系数的关系得，即方程的两根之和为4，所以B选项的说法错误，D选项的说法正确．故选：D． 4．已知，是方程的两个实数根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】：∵，是方程的两个实数根，∴，，，∴，∴，故选：． 5．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则a的值为（    ） A．2 B． C．5 D．6 【答案】C 【解析】：根据题意得，解得，，，，，，．故选：C． 6．已知，且，则的值为（   ）． A． B． C．5 D． 【答案】D 【解析】：∵，∴，，设，则方程变为，∵，∴设，方程同样变为：，因此，和是方程 的两个根，∴，故选：D． 7．设、是方程的两根，则的值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解析】：、是方程的两根，故选：D． 8.（2026贵阳清镇一模）方程x2-2kx+k2-1=0两根关系（ ） A.和为2k B.积为k2+1 C.无实根 D.一正一负 【答案】：A 【解析】：x1+x2=2k，△=4k2-4(k2-1)=4>0 9.已知，是方程x2-x-2028=0的两个实数根，则的值是(     ) A．2026 B．-2026 C．-2027 D．2027 【答案】B 【解析】∵a，b是方程x2-x-2028=0的两个实数根，，∴a+b=1，ab=-2028，= Ab+a+b+1=-2028+1+1=-2026. 10.若a满足不等式组则关于x的方程(a－2)x2－(2a－1)x＋a＋＝0的根的情况是(　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．以上三种情况都有可能 【答案】：C 【解析】：解不等式组得a＜－3，∵Δ＝(2a－1)2－4(a－2)(a＋)＝2a＋5，∵a＜－3，∴Δ＝2a＋5＜0，∴方程(a－2)x2－(2a－1)x＋a＋＝0没有实数根． 二．填空题（共30分） 11.（2025贵阳白云区期末）方程x2+7x-2=0，x1+x2=________。 【答案】：-7 【解析】：x1+x2=-=-7 12.关于x的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一个根是 ． 【答案】 【解析】设方程的另一个根为，根据题意得，，解得：，∴方程的另一个根为．故答案为：． 13.（2025贵阳观山湖期中）x1、x2是x2+2x-7=0，(x1+1)(x2+1)=________ 【答案】：-8 【解析】：(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=-2-7+1=-8 14.（2026贵阳花溪一模）方程2x2+bx+1=0一根为1，b=________ 【答案】：-3 【解析】：2+b+1=0，b=-3 15.（2025贵阳白云期中）x1+x2=4，x1x2=-5，方程为________ 【答案】：x2-4x-5=0 【解析】：逆用韦达定理构造方程 16.（2025·盐城亭湖期末）方程3x2-6x=0，x1+x2+x1x2=___ 【答案】：2 【解析】：化为标准式3x2-6x+0=0，x1+x2=-=2，x1x2==0。x1+x2+x1x2=2 17.（2026·盐城滨海一模）x1、x2是x2-3x+1=0两根，则=___ 【答案】：3 【解析】：原式==3。 18．一元二次方程x2＝x－1的根的情况是__________________． 【答案】有两个相等的实数根　 【解析】将原方程化为一般形式得x2－x＋1＝0， 因为Δ＝(－)2－4××1＝0，所以原方程有两个相等的实数根． 19．若关于x的方程kx2－4x－＝0有实数根，则k的取值范围是________． 【答案】k≥－6　 【解析】k＝0时，－4x－＝0，解得x＝－，符合题意；当k≠0时，方程kx2－4x－＝0是一元二次方程，根据题意可得Δ＝16－4k×(－)≥0，解得k≥－6，k≠0，综上k≥－6. 20.直线y=x-a不经过第二象限，且关于x的方程ax2-2x+1=0有实数解，则a的取值范围是_____________________. 【答案】0≤a≤1 【解析】∵直线y=x-a不经过第二象限，∴-a≤0，即a≥0，①当a=0时，一元一次方程-2x+1=0有实数解x=，满足情况.②当a＞0时，一元二次方程ax2-2x+1=0有实数解，Δ=4-4a≥0，解得a≤1，综上可得，0≤a≤1 三．解答题（共60分） 21．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实根满足，求的值． 解：（1）∵关于的一元二次方程有两个实数根，∴，解得：； （2）∵一元二次方程的两个实根是和，∴，，∵，∴，解得：． 22．已知关于x的方程x2+2x+m﹣2＝0． （1）当该方程的一个根为0时，求m的值及方程的另一根； （2）若该方程有两个不相等的实数根，求符合条件的正整数m的值． 解：（1）当x＝0时，0+0+m﹣2＝0∴m＝2，∴x2+2x＝0，∴x＝0或x＝﹣2， 即方程的另一根是﹣2； （2））∵关于x的方程x2+2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴△＝22﹣4（m﹣2）＝﹣4m+12＞0，∴m＜3，∵m为正整数，∴m＝1，2． 23．已知一元二次方程 (1)当时，解这个方程； (2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (3)设此方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 解：（1）当时，方程变为，即，∴或，，； （2）根据题意，解得； （3）根据题意得，，而，，， 24．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”； （1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”． ①x2﹣x﹣12＝0； ②x2﹣9x+20＝0； （2）已知关于x的方程x2+（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值． 解：（1）①分解因式得：（x﹣4）（x+3）＝0，解得：x＝4或x＝﹣3，∵4≠﹣3+1， ∴x2﹣x﹣12＝0不是“邻根方程”； ②分解因式得：（x﹣4）（x﹣5）＝0，解得：x＝4或x＝5，∵5＝4+1， ∴x2﹣9x+20＝0是“邻根方程”； （2）分解因式得：（x+m）（x﹣1）＝0，解得：x＝﹣m或x＝1，∵方程x2+（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程，∴﹣m＝1+1或﹣m＝1﹣1，∴m＝0或﹣2． 25．如图①，在平行四边形ABCD中，BC＝5，对角线AC，BD的长为x2﹣14x+48＝0的两根，且AC＜BD． （1）请判断四边形ABCD为何特殊的平行四边形，说明你的理由； （2）在（1）成立的情况下，如图②，作AE⊥BC，试求BE的长． 解：（1）平行四边形ABCD为菱形，理由如下：解方程x2﹣14x+48＝0得x1＝6，x2＝8， ∵AC＜BD，∴AC＝6，BD＝8，∴BO＝4，CO＝3，∵32+42＝52，∴BO2+CO2＝BC2， ∴∠BOC＝90°，∵四边形ABCD为平行四边形，且AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形： （2）∵四边形ABCD为菱形：∴AE•BC＝BD，∴5AE＝，∴AE＝， ∴BE＝＝＝1.4．故BE的长为1.4． 26．已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程根的情况，并说明理由． (2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数的值的和． (3)若此方程的两个实数根分别为，求代数式的值． 解：（1）此方程总有两个实数根．理由：， 不论为何值，，此方程总有两个实数根． （2）设方程的两个根为，则，．此方程的两个实数根都是整数，的值为，符合条件的整数的值的和为0． （3）解：是方程的两个实数根， ，， ，， 以上两式相加，可得， 即． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1．已知一元二次方程的一个根为．则另一个根为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】：由题意得，，而，∴，故选：B． 2．关于x的一元二次方程的两个根是，则的值为（   ） A．8 B． C． D．2 【答案】A 【解析】：∵关于x的一元二次方程的两个根是，∴，，∴，故选：A． 3．一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0的所有实数根的和等于（　　） A．2 B．﹣4 C．4 D．3 【答案】D 【解析】方程x2﹣3x﹣1＝0中Δ＝（﹣3）2﹣4×（﹣1）＝13＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，根据两根之和公式求出两根之和为3．方程x2﹣x+3＝0中Δ＝（﹣1）2﹣4×3＝﹣11＜0，所以该方程无解．∴方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0一共只有两个实数根，即所有实数根的和3．故选：D． 4．已知a、b是一元二次方程x2+5x+3＝0的两个根，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵a、b是一元二次方程x2+5x+3＝0的两个根，∴ab＝3．∴＝+＝2＝2．故选：D． 5．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则点P（a﹣2，﹣a+3）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】：B 【解析】：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，∴a≠0，Δ＝（﹣1）﹣4a×（﹣）＝0，解得：a＝﹣1．∴a﹣2＝﹣3，﹣a+3＝2，∴点P（a﹣2，﹣a+3）在第二象限．故选：B． 6．如果m、n是一元二次方程x2+x＝4的两个实数根，那么多项式2n2﹣mn﹣2m的值是（ ） A．16 B．14 C．10 D．6 【答案】：B 【解析】：∵n是一元二次方程x2+x＝4的根，∴n2+n＝4，即n2＝﹣n+4，∵m、n是一元二次方程x2+x＝4的两个实数根，∴m+n＝﹣1，mn＝﹣4，∴2n2﹣mn﹣2m＝2（﹣n+4）﹣mn﹣2m＝﹣2（m+n）﹣mn+8＝2+4+8＝14．故选：B． 7．若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是(　　) A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2 【答案】D 【解析】因为关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＋1＝0有实数根，所以m－2≠0且Δ≥0，即22－4×(m－2)×1≥0，解得m≤3，故m的取值范围是m≤3且m≠2. 8．已知α，β是方程的两个实数根，则式子的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】∵是方程的根，，，，又∵、是方程的两个实根，，．故选：C． 9．已知为互不相等的实数，且，，则的值为（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【解析】：∵，，∴，．∵为互不相等的实数，∴m和n可以看作方程的两个根，∴，∴． 故选A． 10．已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】：∵，∴或，当时，则， 当时，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根， ∴，，，解得：， ∵方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长， ∴，∴，∴，解得：，综上：，故选：C 二．填空题（共30分） 11．已知分别是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】8 【解析】：，是一元二次方程的两个实数根，，，则，故答案为：． 12.（2024·苏州姑苏期末）已知两根为2和-5，构造二次项系数为1的一元二次方程：___ 【答案】：x2+3x-10=0 【解析】：p=-(2-5)=3，q=2×(-5)=-10，方程x2+px+q=0，x2+3x-10=0。 13.（2025·扬州江都期末）x1、x2是x2-2x-4=0两根，则(x1-x2)2=___ 【答案】：20 【解析】：x1+x2=2，x1x2=-4，原式=22-4×(-4)=4+16=20。 14．若方程x2+5x﹣6＝0的两根为x1，x2，则|x1﹣x2|＝　 　． 【答案】 7 【解析】∵方程x2+5x﹣6＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝﹣5，x1x2＝﹣6，∴|x1﹣x2|2＝ （x1+x2）2﹣4x1x2＝（﹣5）2﹣4×（﹣6）＝49，∴|x1﹣x2|＝7，故答案为：7． 15.已知矩形的长和宽分别是关于x的方程2x2+mx+8＝0（m≥8）的两根，则矩形的面积是 　 　． 【答案】 4 【解析】设矩形的长和宽分别为a、b，∵矩形的长和宽分别是关于x的方程2x2+mx+8＝0（m≥8）的两根，∴a+b＝﹣，ab＝＝4，即矩形的面积是4，故答案为：4 16．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值是　 　． 【答案】9 【解析】根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝﹣7，所以x12+3x1x2+x22＝（x1+x2）2+x1x2＝16﹣7＝9．故答案为：9． 17.已知关于x的一元二次方程ax2-2x+c=0有两个相等的实数根，则-c+1的值等于__. 【答案】1 【解析】∵方程是一元二次方程，∴a≠0，∵方程又两个相等的实数根，∴Δ=4-4ac=0，∴ac=1，即c=，∴-c+1=c-c+1=1，故答案为：1 18．若a，b是方程两个不相等的实数根，则代数式的值为 ． 【答案】4 【解析】a，b是方程两个不相等的实数根，，，， ， ，故答案为：4． 19．若，是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值 ． 【答案】1 【解析】：∵，是关于的一元二次方程的两个根， ∴，∵，∴， ∴，解得或，，∴， ∴，故答案为：1． 20．若关于x的方程（m为正整数）的两根分别记为，，如：当时，方程的两根记为，，则 ． 【答案】 【解析】：∵关于x的方程（m为正整数）的两根分别记为，， ∴，，∴， ∴ ，故答案为：． 三．解答题（共60分） 21.已知一元二次方程x2﹣6x+4=0的两根分别是a，b，求 （1）a2+b2 （2）（a-b）2的值． 解：（1）∵方程x2﹣6x+4=0的两根分别是a，b， ∴a+b=6，ab=4．a2+b2=（a+b）2﹣2ab=62﹣2×4=28． （2）（a-b）2=（a+b）2﹣4ab=62﹣4×4=20 22．已知关于x的方程x2－2(m＋1)x＋m2＝0. (1)当m取何值时，方程有两个实数根？ (2)请你为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根． 解：(1)由题意知Δ＝b2－4ac＝[－2(m＋1)]2－4m2＝[－2(m＋1)＋2m][－2(m＋1)－2m]＝－2(－4m－2)＝8m＋4≥0，解得m≥－.∴当m≥－时，方程有两个实数根． (2)答案不唯一，如选取m＝0， 方程为x2－2x＝0，解得x1＝0，x2＝2. 23.已知x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m-2）x+m+10=0的两实数根． （1）求m的取值范围；（2）已知等腰△ABC的底边BC=4，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长． （3）阅读材料：若△ABC三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶-海伦公式可得：S△ABC=，其中p=，在（2）的条件下，若∠BAC和∠ABC的角平分线交于点I，根据以上信息，求△BIC的面积． 解：（1）∵方程是一元二次方程，∴m+2≠0，即m≠-2Δ=4（m-2）2-4（m+2）（m+10）=-64（m+1）≥0解得，m≤-1 m的取值范围为m≤-1且m≠-2. （2）∵等腰△ABC的底边BC=4，∴x1，x2是△ABC的两腰，∴x1=x2∴Δ=0，解得m=-1， ∴x1=x2=3此时△ABC的周长为3+3+4=10. （3）过点I作三边的垂线，垂足分别是E，F，D.∵点I是△ABC的内角角平分线交点，∴DI=EI=FIp==5SABC== S△ABC=S△BCI+S△ACI+S△ABI∵BC=4，AB=AC=3，∴S△BCI=S△ABC= 24.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根. (1)若(x1-1)(x2-1)=28,求m的值; (2)已知等腰三角形ABC的一边长为7,若x1,x2恰好是△ABC另外两边的长,求这个三角形的周长. 解:(1)∵x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根, ∴Δ=[-2(m+1)]2-4(m2+5)=4(m+1)2-4(m2+5)=4m2+8m+4-4m2-20=8m-16≥0,解得m≥2. 根据根与系数的关系,得又∵(x1-1)(x2-1)=28, ∴(x1-1)(x2-1)=x1x2-x1-x2+1=x1x2-(x1+x2)+1=m2+5-2(m+1)+1=m2+5-2m-2+1=m2-2m+4=28, 即m2-2m-24=0,解得m1=-4(舍去),m2=6.∴m=6. (2)若7为一腰长,则x=7是原方程的一个根,∴72-2(m+1)×7+m2+5=0,整理,得m2-14m+40=0. 解得m1=4,m2=10,当m=4时,原方程为x2-10x+21=0,解得x1=3,x2=7.∵3+7>7,∴能组成三角形,此时三角形的周长为7+7+3=17.当m=10时,原方程x2-22x+105=0,解得x1=7,x2=15.∵7+7<15,∴不能组成三角形.若7为底边长,则x1=x2,∴Δ=8m-16=0,∴m=2,此时方程为x2-6x+9=0,∴x1=x2=3.∵3+3<7,∴不能组成三角形.综上,这个三角形的周长为17. 25．定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③． (2)已知方程是“邻根方程”，求m的值． (3)若方程是“邻根方程”，求证：． 解：（1），解得：，∴，故①不是“邻根方程”； ，解得：；∴，故②不是“邻根方程”； ，解得：，∴；故③是“邻根方程”；故答案为：③ （2）方程的两根为，方程是“邻根方程”，，即，或； （3）证明：设，是方程的两个根，由根与系数的关系得：，，方程是“邻根方程”，，，， 26．阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ， ； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，则的值为 ； (3)提升：已知实数s，t满足，且，则的值 ； (4)拓展：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围是 ． 解：（1）∵一元二次方程的两个根为，，∴，．故答案为：，； （2）∵一元二次方程的两根分别为m、n，∴，， ∴； （3）∵实数s、t满足，∴s、t可以看作方程的两个根，∴，，∵ ，∴或，当时，， 当时，，综上分析可知，的值为或． （4）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴解得∵关于的一元二次方程 ∴，∵∴ ∴解得综上所述，． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $