函数的值域专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以函数值域概念为核心，通过五大题型系统构建“概念-方法-应用”逻辑链，突出换元法、分类讨论等通性通法，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数|6例|配方法、分类讨论定义域与参数|从基本定义到含参最值，体现数形结合思想| |根式型|5例|换元法三步转化（设t→表x→求值域）|通过变量替换将复杂函数转化为基本函数| |对勾函数|2例|单调性分析与最值判定|结合函数图像特征突破值域求解| |分式函数|5例|分离常数、判别式法|从简单分式到含参数分式，强化转化能力| |分段函数|3例|分段求值域再合并|体现分类整合的数学思维，培养严谨性|

函数的值域 值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{fx)x∈A}叫做函数的值域. 题型一二次函数的值域 例1.已知函数/9=2x2-6x+1 求函数的值域： (1)t∈R x∈[-3,0] x∈[2,5] x∈[-2,0] (2) (3) (4) 例2.已知函数f(x)=2x2-10x f-r+lal (1)若x∈[-1,3]，求值域： r迎 (2)求函数在[t,t+1]的最值。 例3.已知函数四)=2x2+(c-a2 1)者 “>2对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围： （2)若在0,1]上有最大值9，求a的值。 1 例4己知函数f心闭=+2r+1,在x∈-2引上的最大值为4，求实数“的值。 例5.已知函数f(闭=-+2r+1-a,在x∈0刂上的最大值为3，求实数“的值. 例6.已知函数f)=ar2+(2a-1)x+1在区间2,2]上的最大值为3，求实数a的值. 2 题型二根式型函数的值域 形如y=a+b+Vcx+d(ac≠0)的函数 第一步：把函数中的根式VCx+d设为一个变量t,并用t表示x,求出t的取值范围. 第二步：将所求关于x的函数变换为关于t的函数。 第三步：求出y的取值范围，即所求函数的值域。 例7.函数y=2x+4V3-x的值域为( ) A.（-0,8] B.(-0o,-8] C.[2,+oo) D.[4,+oo) 例8.函数f()=x+2V8-x的值域为( A.（o,4V2 B.[-40,9] c.（-o,9] D.（-o,8] 例9.已知函数f(x)=Vx2-2x+3,求函数的值域： 例10.已知函数f(x)=√一x2-2x+1求函数的值域： 3 例11.己知函数3x2-2x-3求函数的值域： 题型三对勾函数值域问题 1 例12.求函数y=X+的值域。 例13.求函数y=2X+文的值域. 1)xe分：m (2)xe-3, 题型四分式函数的值域 5 例14求函数y=2x2-4r+3的值域. 4 1 例15.求函数=x-2红-3的值域. 例16.若x∈[0,2]，则函数y=x+i的值域为( A.[-2,0] B.(0,-2]U[0,+∞)c.[0, D.[-2,) 例17.求函数少=x+1的值 x2-x 例18求函数'产-x十1的值域。 题型五分段函数求值求参 例19.函数f()=x+,-2≤x<1 -x+51≤x≤3的值域是 (用区间表示) 5 例0已如画版)-1，则付》一若7o小。则。的k位足 例21.已知函数f()= [3x+1,x<2 若2.则实数。 A.-1 B.1 C.-2 D.2 课后练习 1.已知函数/0=-x2+2x+3 求函数的值域： (1)t∈R (2)x∈4-1 (3)re2,4 (4)*-2,3 2函数=-2x-1在1+刃上的最小值 3.求函数y=x-V-2x 的值域 3 4.求函数y=x+二+2的值域. X 6 3x+2 5.函数y= x-1 ,的值域为 x2+2x+2 6.函数 x+1的值域是() A<-2或>2} 8.p≤-2或≥2} c.外2≤y≤2} D.p≤-22或≥25 「x2-1,x<0 7.已知函数f(x)= 2,x=0,则 x-2,x>0 O奶=) A.2 B.1 C.0 D.-1 7 函数的值域 值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 题型一 二次函数的值域 例1.已知函数，求函数的值域： （1） （2） （3） （4） 【答案】；；； 例2.已知函数 （1）若x∈[-1,3],求值域； （2）求函数在[t,t+1]的最值。 【答案】（1）[- ，12] （2）例 例3.已知函数 （1）若＞2对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围； （2）若在[0,1]上有最大值9，求a的值。 【答案】（1）（2）1-或3 例4.已知函数，在上的最大值为，求实数的值． 【答案】a=-1或a= - 例5.已知函数，在上的最大值为3，求实数的值． 【答案】a=-2或a=3 例6.已知函数在区间上的最大值为，求实数的值． 【答案】a= 或a=- 题型二 根式型函数的值域. 形如的函数 第一步：把函数中的根式设为一个变量t，并用t表示x，求出t的取值范围． 第二步：将所求关于x的函数变换为关于t的函数． 第三步：求出y的取值范围，即所求函数的值域． 例7.函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】设，化简函数为，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设，则，且， 则函数可化为， 所以函数的值域为 例8.函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】根据换元法以及二次函数的性质求解结果. 【详解】令，则． 设函数，当时，取最大值9． 因为，所以． 函数的值域为. 例9.已知函数，求函数的值域： (2)令，则， 因为，所以，即， 所以函数的值域为； 例10.已知函数，求函数的值域： 答案：值域为[0,]； 例11.已知函数求函数的值域： 答案：值域为[0,+∞）； 题型三 对勾函数值域问题 例12．求函数的值域． 【答案】 【分析】考虑到和函数的两个和式的积为常数，故可利用基本不等式求其最值，从而得到函数的值域，注意讨论x的正负． 【详解】解：当当且仅当x=1取等号， 当当且仅当x=1取等号 故函数的值域为(-∞，-2]U[2，+∞) 例13．求函数的值域． （1） （2） 【答案】； 题型四 分式函数的值域 例14.求函数的值域． 【答案】（0，5] 例15.求函数的值域． 【答案】（-∞，-]∪（0，+∞） 例16.若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】将函数变现为，结合反比例函数的性质计算可得. 【详解】因为，又因为，所以， 所以，所以，所以函数，的值域为． 例17.求函数的值域． 【答案】{y/y≤-3或y≥1} 例18.求函数的值域． 【答案】[- ，1） 题型五 分段函数求值求参 例19.函数的值域是______________(用区间表示) 【答案】 【解析】当-2≤x＜1时，，为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以， 当时，，为单调递减函数， 所以， 综上：，即的值域为. 例20.已知函数，则 ；若，则的取值范围是 ． 【答案】 4 【解析】因为，所以； 当时，，解得， 当时，，解得， 所以不等式的解集为 例21.已知函数．若．则实数（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】结合题意可得： ， ，解得：.故选：B. 课后练习 1.已知函数，求函数的值域： （1） （2） （3） （4） 【答案】；；； 2.函数在上的最小值． 【答案】 3.求函数的值域． 【答案】（-∞，] 4.求函数的值域． 【答案】 5.函数的值域为________ 【答案】 【详解】因为，又因为，所以， 所以函数的值域为． 6.函数的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 7.已知函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】A 【解析】因为，所以， ， 所以.故选：A 1 学科网（北京）股份有限公司 $