3.1列代数式表示数量关系 第3课时 反比例关系课件2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦反比例关系，通过温习列代数式书写规范与正比例关系，结合智能机器人识别面积实例过渡到造雪问题情境，搭建新旧知识联系的学习支架，帮助学生理解定义及代数式表示。 其亮点是以智慧农业、冬奥会等现实情境为载体，通过对比表格明晰正反比例异同，培养抽象能力与模型意识。采用情境探究与分层练习结合的方法，课堂小结梳理知识，助力学生建立变量思想，教师可高效落实重难点。

第三章代数式 3.1列代数式表示数量关系 第3课时 反比例关系 学习目标： 1. 结合具体实际情境，理解反比例关系的定义与本质特征，掌握反比例数量关系的代数式规范写法，能够准确判断生活与数学情境中两个关联变量是否成反比例关系。 2.经历观察变量变化规律、分析数量关系、抽象代数式的完整探究过程，初步建立变量思想与数学建模思想，提升从实际问题中提炼数学关系、列代数式表达规律的能力。 3.感受代数式与现实生活的紧密联系，体会数形结合、抽象概括的数学思想，增强用数学知识解决实际问题的意识，培养严谨的数学思维习惯。 教学重点：理解反比例关系的核心概念，掌握用代数式规范表示反比例数量关系的方法。 教学难点：从复杂的实际问题情境中，精准抽象、提炼出反比例数量关系，建立对应的数学代数式模型。 （1）数与字母相乘或字母与字母相乘，可省略乘号； （2）数与字母相乘，数通常写在字母的前面； （3）数与数相乘，必须写乘号，不能省略； （4）式子中出现除法运算时，一般按分数形式来写； （5）在实际问题中，如果代数式是和或差的形式，要把整个式子括起来，再写单位； (6)带分数与字母相乘时，带分数要化成假分数. 代数式的书写规范 列代数式就是将文字语言译成符号语言的过程 列代数式:把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来的过程,就叫作列代数式. 温习旧知 (1)正比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着 变化，且这两个量的比值一定． (2)表示：用 或 y＝kx (k为常数，且k≠0)来表示正比例关系， 其中k叫作比例系数． 温习旧知 智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一.某品牌苹果采摘机器人平均每秒完成 5 m²范围内苹果的识别，识别面积随时间变化的关系如下表: 识别的面积/m² 5 10 … 识别时长/s 1 2 3 4 … (1)补全上面表格． (2)采摘机器人识别的面积是怎样随着机器人的识别时长变化而变化的？ 15 20 解：(2)苹果采摘机器人识别的面积随着采摘机器人的识别时长的增大而增大． 创设情境 智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一.某品牌苹果采摘机器人平均每秒完成 5 m²范围内苹果的识别，识别面积随时间变化的关系如下表: 识别的面积/m² 5 10 15 20 … 识别时长/s 1 2 3 4 … (3)用y表示识别苹果的面积，用t表示采摘机器人的识别时长，用式子表示y与t的关系． 解：(3) (或写成 y＝5t)，y与t成正比例关系． 创设情境 一般地，对于工程问题，当工作效率保持不变，工作量与工作时间是成正比例的量，它们成正比例关系.下面我们来讨论，如果工作量保持不变，工作时间与工作效率之间的关系.先看一个实际问题. (2)每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的?它们之间有什么关系? 每天造雪量/m³ 5000 5200 6500 … 造雪天数 … 52 50 40 可以发现，造雪天数随着每天造雪量的变大而变小， 而且造雪天数与每天造雪量的乘积一定，总是260000. 例如，5000×52＝5200×50＝6500×40＝260 000. 创设情境 北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市，在冬季奥运会前，某赛场计划造雪 260 000 m3. 解答下列问题： （1）根据每天造雪量，计算所需的造雪天数，填写表格. 每天造雪量/m3 5000 5200 6500 … 造雪天数 … 52 50 40 （2）每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的？它们之间有什么关系？ 每天造雪量变大 造雪天数变小 5 000×52 = 5 200×50 = 6 500×40 = 260 000 造雪天数与每天造雪量的乘积一定 探究新知 一个长方形的面积为12 cm²，请填空: (1)当一边长为2cm时，其邻边长时__________cm； (2)当一边长为3 cm时，其邻边长时__________cm； (3)当一边长为4 cm时，其邻边长时__________cm； (4)当一边长为5 cm时，其邻边长时__________cm； 6 4 3 2.4 上面问题涉及几个变化的量，几个不变的量？变化的量之间存在什么不变的规律？它们与不变的量之间有什么关系？能用文字表述上述规律吗？ 探究新知 反比例关系 两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系. 思考：正比例关系和反比例关系有什么相同点和不同点呢？ 形成新知 正比例关系和反比例关系的异同： 正比例关系 反比例关系 相同点 异同点 (1)两种关系中都有两个变量，一个定量； (2)在两个变量中当一个变量变化时，另一个变量也随着变化。 1.两个变量变化的方向相同； 2.两个变量的商一定 1.两个变量变化的方向相反； 2.两个变量的积一定 知识类比 例 1. 如图，四个圆柱形容器内部的底面积分别为 10 cm2，20 cm2，30 cm2，60 cm2. 分别往这四个容器中注入 300 cm3 的水. （1）四个容器中的高度分别是多少厘米？ 分析：题中涉及圆柱的体积、底面积及高三个量，它们之间具有关系： 圆柱的体积 = 底面积×高 高 = 例题分析 例 1. 如图，四个圆柱形容器内部的底面积分别为 10 cm2，20 cm2， 30 cm2，60 cm2. 分别往这四个容器中注入 300 cm3 的水. （1）四个容器中的高度分别是多少厘米？ 圆柱的体积 底面积 高 = 注入的水量 300 cm3 底面积 10 cm2 20 cm2 30 cm2 60 cm2 高 30 15 10 5 xy = 300. y 与 x 成反比例关系. 例题分析 生活中，成反比例关系的例子是很常见的. 例如，在购买某种物品时，总价一定，购物的数量与商品的单价成反比例关系. 你还能举出一些例子吗？ 铺地面积一定，每块砖的面积和用砖块数 判断两个量是否成反比例关系的方法： 两个量是不是相关联的量 不是 是 不成比例关系 比较两个量中相对 应的两个数的乘积 乘积改变，不成反比例关系 乘积一定，成反比例关系 方法小结 1.汽车从甲地驶往乙地，汽车行驶的平均速度与时间是否成反比例关系?为什么? 2.判断下面各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由: (1)一批水果质量一定，按每箱质量相等的规定分装，装箱数与每箱的质量; (2)长方体的体积一定，长方体的底面积与高; (3)购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用与中性笔的费用. 解：汽车行驶的平均速度与时间成反比例关系.汽车行驶的平均速度与时间的乘积一定，表明这两个量成反比例关系. 解：(1)是，装箱数与每箱的质量的乘积一定. (2)是，长方体的底面积与高的乘积一定. (3)否，荧光笔的费用与中性笔的费用的和不变，乘积不是一定的. 分层练习 3.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，用式子表示汽车的速度y(千米/时)与时间x(小时)的关系为__________; 4.某高科技研发公司从2020年起投入技术改进资金，经过技术改进，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表： 请你认真分析表中数据，写出可以表示该变化规律的y与x之间的关系式是__________. 分层练习 5.某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数之间的关系如下表: (1)这批货物共有多少吨?. (2)运输的天数是怎样随着每天运输的吨数的变化而变化的? 每天运输的吨数 500 250 100 50 … 运输的天数 1 2 5 10 … 解：（1）500×1＝500（吨） 答：这批货物共有500 t. （2）运输的天数随着每天运输的吨数的增大而减少.且每天运输的吨数 与运输的天数的乘积一定. 分层练习 5.某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数之间的关系如下表: (3)用 t 表示运输的天数，用 a 表示每天运输的吨数，用式子表示t与a 的关系. t 与 a 成什么比例关系? 每天运输的吨数 500 250 100 50 … 运输的天数 1 2 5 10 … （3）at＝500；t 与 a 成反比例关系. 分层练习 比值一定 乘积一定 课堂小结 $