考点10：导数的运算及几何意义（四大题型25题）导学案-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了导数的运算及几何意义核心考点，涵盖导数定义、几何意义、基本公式、运算法则及复合函数求导，按概念运算、已知切点切线、未知切点切线、公切线问题构建题型体系，通过问题链和解题步骤引导学生自主梳理知识逻辑，形成层级分明的知识网络。 亮点在于诊断性题型设计与方法指导结合，如已知切点切线题明确“求导-求斜率-点斜式”三步法，培养学生数学思维中的运算能力和推理意识。包含近三年高考真题及模拟题自测，学生可通过错题定位薄弱环节，教师能依据题型掌握情况实施分层指导，助力学生自主提升，实现因材施教。

2027届高考数学一轮复习·专项训练学案 考点10 导数的运算及几何意义 考情分析 新高考对知识的考查要求：了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；理解导数的几何意义；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数的导数。纵观近三年的新高考试题难度比较低，但是作为计算需要精准，不能有任何计算错误。分别考查导数的计算，切线的方程。可以预测2027年新高考命题方向将按照这个方向。 1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝. (2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0). 2.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα，(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 3.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0). 4.复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 1.（2026·新高考Ⅰ卷高考真题第4题）曲线在点（1，5）处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 2.（2025·新高考Ⅰ卷高考真题第12题）若直线是曲线的切线，则 . 3.（2024·高考全国甲卷（理）真题第6题）设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 题型一：导数的概念与运算 题型分析：侧重考查导数定义、基本求导公式、四则运算法则、复合函数求导，属于导数模块的基础题型。 1.（2026届·四川字节精准教育联盟· 3月检测）下列求导数计算错误的是（    ） A． B． C． D． 2.（2026届·东北师大附中· 第三次摸底）已知函数，若，则 ． 3.（2026届· 东北三省三校· 二模）人工智能（AI）领域中，神经网络是用于模仿神经元，用来学习规律做预测和识别的数学模型.神经网络中的激活函数能把线性输入变成非线性输出.是最常用的激活函数,下面关于表述错误的是（   ） A． B． C． D． 4.（2026届· 上海徐汇区· 诊断）若函数在处的切线方程为，则__________. 5.（2026届·湖南名校联盟· 联考）函数在点处的切线斜率为4，则 . 6.（2026届·广东湛江· 二模）已知定义在上的可导函数满足是偶函数；；，，则（   ） A． B． C．1 D．3 题型二：曲线的切线方程（切点已知） 题型分析：已知切点求切线方程是导数几何意义最基础考法。解题固定步骤：①求函数导数；②把切点横坐标代入导函数，得到切线斜率；③使用点斜y－y0＝f′(x0)(x－x0).写出切线方程，整理为一般式。 1.（2026届·湖南多校· 4月联考）函数的图象在点处的切线方程为__________. 2.（2026届· 山东济宁· 模拟）曲线在点（0，1）处的切线方程为_________. 3.（2026届· 辽宁辽阳· 4月调研）函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 4.（2026届· 河北唐山· 二模）设曲线在点处的切线与直线垂直．求a的值（    ） A． B． C． D． 5.（2026届·江西“三新”· 4月训练）奇函数满足当时，，则曲线在点处的切线方程为_______. 6.（2026届·厦大附属中学· 3月训练）设曲线在点处的切线与直线垂直，则_____． 7.（2026届·浙江强基联盟· 1月联考）若函数的图象在处的切线过点，则（    ） A． B． C． D． 8.（2026届· 湖南永州· 三模）已知曲线在点处的切线与圆：相切，则__________． 9.（2026届·辽宁沈阳· 一模）如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 题型三：曲线的切线方程（切点未知） 题型分析：切点未知是切线问题高频难点。解题核心思路：设切点（，），切点满足 3 个条件：①切点在曲线上；②切点处导数等于切线斜率；③切点在切线上。联立方程求解切点横坐标，再求参数。 1.（2026届· 广东深圳· 二模）若直线是曲线的一条切线，则___________． 2.（2026届· 安徽皖南八校· 4月质检）若直线与曲线相切，则实数的值为___________. 3.（2026届·雅礼中学· 开学考）若曲线的一条切线为，其中为正实数，则的取值范围是__________. 4.（2026届· 辽宁大连· 双基模拟）已知曲线在点处的切线与轴平行，则点的坐标为 . 5.（2026届·江西九江· 一模）若直线是曲线的切线，则 . 题型四：公切线问题 题型分析：公切线是两条不同曲线拥有同一条切线，属于导数几何意义的拔高题型，新高考高频压轴小考点。解题步骤：①分别设两条曲线上的切点，分别写出两条曲线的切线方程；②因为是同一条直线，故斜率相等、截距相等，联立方程组；③之后消元得到单变量方程，转化为函数零点、方程解的个数，进而求参数的值或者参数范围。 1. （2026届·湖北部分市州· 1月联考）若曲线在点（1，3）处的切线也是曲线的切线，则 . 2.（2026届· 吉林G35联合体· 二模）若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则_______． 3.（2026届·南京中华中学· 模拟预测）若曲线与圆有公共点，且在点处的切线相同，则实数________. 4.（2026届·湖北云学联盟· 期末联考）已知函数 ,其中 ,若存在两条不同的直线同时与曲线 和 相切,则正数 的取值范围是 A. B. C. D. 5.（2026届·辽宁协作体· 二模）若曲线：与曲线：（其中无理数…）存在公切线，则整数的最值情况为 A. 最大值为2，没有最小值 B. 最小值为2，没有最大值 C. 既没有最大值也没有最小值 D. 最小值为1，最大值为2 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高考数学一轮复习·专项训练学案 考点10 导数的运算及几何意义 考情分析 新高考对知识的考查要求：了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；理解导数的几何意义；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数的导数。纵观近三年的新高考试题难度比较低，但是作为计算需要精准，不能有任何计算错误。分别考查导数的计算，切线的方程。可以预测2027年新高考命题方向将按照这个方向。 1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝. (2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0). 2.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα，(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 3.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0). 4.复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 1.（2026·新高考Ⅰ卷高考真题第4题）曲线在点（1，5）处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为，则，当时，， 所以曲线在点（1，5）处的切线方程为，即. 故选：D. 2.（2025·新高考Ⅰ卷高考真题第12题）若直线是曲线的切线，则 . 【答案】4 【解析】对于，其导数为，假设与的切点为，则，解得. 3.（2024·高考全国甲卷（理）真题第6题）设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，则， 即该切线方程为，即，令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 题型一：导数的概念与运算 题型分析：侧重考查导数定义、基本求导公式、四则运算法则、复合函数求导，属于导数模块的基础题型。 1.（2026届·四川字节精准教育联盟· 3月检测）下列求导数计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A．，正确，不符合题意； B．，错误，符合题意； C．，正确，不符合题意； D．，正确，不符合题意． 故选：B． 2.（2026届·东北师大附中· 第三次摸底）已知函数，若，则 ． 【答案】 【解析】由，得， 又， 所以为奇函数，所以. 故答案为：. 3.（2026届· 东北三省三校· 二模）人工智能（AI）领域中，神经网络是用于模仿神经元，用来学习规律做预测和识别的数学模型.神经网络中的激活函数能把线性输入变成非线性输出.是最常用的激活函数,下面关于表述错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，故A正确； 恒成立，故，则，故，故B正确； ，， ，故C正确； ，又，，， ，故D错误. 故选：D． 4.（2026届· 上海徐汇区· 诊断）若函数在处的切线方程为，则__________. 【答案】 【解析】根据导数的定义，函数在处的导数为：， 根据导数的几何意义，就是函数在该点处切线的斜率， 因为在处的切线方程为，所以切线斜率为， 所以. 5.（2026届·湖南名校联盟· 联考）函数在点处的切线斜率为4，则 . 【答案】1 【解析】易知，根据题意有，解得. 故答案为：1 6.（2026届·广东湛江· 二模）已知定义在上的可导函数满足是偶函数；；，，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【解析】由， 令，得， 所以的图象关于直线对称，所以. 将换为代入得. 又，因此， 即，则①， 所以， 对①两边求导得，故， 故和的周期均为4， 于是，. 在中，取得. 在中取得， 所以. 故选：B． 题型二：曲线的切线方程（切点已知） 题型分析：已知切点求切线方程是导数几何意义最基础考法。解题固定步骤：①求函数导数；②把切点横坐标代入导函数，得到切线斜率；③使用点斜y－y0＝f′(x0)(x－x0).写出切线方程，整理为一般式。 1.（2026届·湖南多校· 4月联考）函数的图象在点处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】由，得， ，得， 故所求切线方程为，即. 2.（2026届· 山东济宁· 模拟）曲线在点（0，1）处的切线方程为_________. 【答案】 【解析】试题分析：，，切线斜率为，切线方程为，即. 故答案为. 3.（2026届· 辽宁辽阳· 4月调研）函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数，所以，则在处的切线斜率是， 函数过， 在处的切线方程是，即得. 故选：A 4.（2026届· 河北唐山· 二模）设曲线在点处的切线与直线垂直．求a的值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得， 所以在点处的切线斜率为， 又因为切线与直线垂直，即可得， 因此． 故选：A 5.（2026届·江西“三新”· 4月训练）奇函数满足当时，，则曲线在点处的切线方程为_______. 【答案】 【解析】当时，则，所以， 因为是奇函数，所以， 当时，， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 6.（2026届·厦大附属中学· 3月训练）设曲线在点处的切线与直线垂直，则_____． 【答案】 【解析】，，由题意可得，解得. 故答案为：. 7.（2026届·浙江强基联盟· 1月联考）若函数的图象在处的切线过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，则，所以， 又，所以在处的切线方程为， 又切线过点，所以，解得， 故选：A. 8.（2026届· 湖南永州· 三模）已知曲线在点处的切线与圆：相切，则__________． 【答案】 【解析】已知，求导得，则， 所以曲线在点处的切线为，即. 又切线与圆相切，所以， 整理得，解得. 9.（2026届·辽宁沈阳· 一模）如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由给定定义得，对左右两侧同时求导， 可得，将点代入，得， 解得，故切线斜率为，得到切线方程为， 化简得方程为，故B正确. 故选：B 题型三：曲线的切线方程（切点未知） 题型分析：切点未知是切线问题高频难点。解题核心思路：设切点（，），切点满足 3 个条件：①切点在曲线上；②切点处导数等于切线斜率；③切点在切线上。联立方程求解切点横坐标，再求参数。 1.（2026届· 广东深圳· 二模）若直线是曲线的一条切线，则___________． 【答案】 【解析】设切点为， 由于，则，解得， 于是切点为，则，解得． 2.（2026届· 安徽皖南八校· 4月质检）若直线与曲线相切，则实数的值为___________. 【答案】5 【解析】设直线与曲线相切于点， 由得， 所以，整理得，解得或（舍去）， 所以，即切点为 所以将代入直线方程得，解得． 3.（2026届·雅礼中学· 开学考）若曲线的一条切线为，其中为正实数，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】设切点为，由所以，且过切点的直线为， 所以有：，因为，所以， 所以，当且仅当时取等号， 故答案为：. 4.（2026届· 辽宁大连· 双基模拟）已知曲线在点处的切线与轴平行，则点的坐标为 . 【答案】或 【解析】易知，设，所以曲线在点处的切线斜率为，由题意可知，解之得或， 当时，；当时，；所以或. 5.（2026届·江西九江· 一模）若直线是曲线的切线，则 . 【答案】 【解析】设直线与曲线相切于点，因为，直线的斜率为所以，解得，所以，即切点为所以 故答案为： 题型四：公切线问题 题型分析：公切线是两条不同曲线拥有同一条切线，属于导数几何意义的拔高题型，新高考高频压轴小考点。解题步骤：①分别设两条曲线上的切点，分别写出两条曲线的切线方程；②因为是同一条直线，故斜率相等、截距相等，联立方程组；③之后消元得到单变量方程，转化为函数零点、方程解的个数，进而求参数的值或者参数范围。 1.（2026届·湖北部分市州· 1月联考）若曲线在点（1，3）处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【解析】由，得，， 故曲线在处的切线方程为，即； 由，得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 故切线方程为，即， 因两切线为同一条直线，方程相同，则，解得． 故答案为：． 2.（2026届· 吉林G35联合体· 二模）若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则_______． 【答案】或 【解析】由，所以，又由，所以， 设公共点为，所以，由，即，解得或，当时，，解得， 当时，，解得. 3.（2026届·南京中华中学· 模拟预测）若曲线与圆有公共点，且在点处的切线相同，则实数________. 【答案】/ 【解析】由知定义域为，则， 此时曲线在点处的切线斜率为：， 又圆的圆心与点所在直线的斜率为：， 所以圆在点处的切线斜率为：， 由题意知，① 又在圆上所以：，② 将①代入②中得：， 化简得：，解得：或（舍去）， 又由题意知，所以，此时，所以， 将代入中有：，解得：. 4.（2026届·湖北云学联盟· 期末联考）已知函数 ,其中 ,若存在两条不同的直线同时与曲线 和 相切,则正数 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解析: 切点 的解 ，令 在 。 故选：B 5.（2026届·辽宁协作体· 二模）若曲线：与曲线：（其中无理数…）存在公切线，则整数的最值情况为 A. 最大值为2，没有最小值 B. 最小值为2，没有最大值 C. 既没有最大值也没有最小值 D. 最小值为1，最大值为2 【答案】C 【解析】当a≠0时，显然不满足题意.由得，由得. 因为曲线：与曲线：（其中无理数…）存在公切线， 设公切线与曲线切于点，与曲线切于点，则 将代入得，由得， 设 当x＜2时，，f(x)单调递减，当x＞2时，，f(x)单调递增. 或a<0. 故选：C 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $