专题11 直线、射线、线段 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题11 直线、射线、线段 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.直线基础认知：掌握直线基本事实、几何特征及规范表示方法； 2.射线与线段认知：掌握两类线型的定义、特征与表示规则； 3.几何位置关系：掌握点与直线、直线与直线的位置关系； 4.线段运算应用：掌握线段长短比较、和差运算、中点与等分点； 5.线段基本事实：掌握两点间距离定义，理解并运用“两点之间，线段最短”的基本事实。 ✅本节系统讲解直线、射线、线段的概念、特征、表示方法、位置关系及线段相关运算与基本事实，是初中几何作图、线段计算与初步推理的重要基础。 ✺学习目标 1.基础知识：理解直线、射线、线段的概念与特征，掌握“两点确定一条直线”的基本事实；熟练掌握三类线型的规范表示方法；掌握线段比较、和差运算及中点、等分点概念；理解两点间距离定义，熟记“两点之间，线段最短”基本事实。 2.能力提升：能准确区分三类线型差异，规范书写几何语言与符号；可独立比较线段长短、完成线段和差计算，利用中点性质求解线段长度；能运用线段基本事实解决简单实际问题。 3.综合素养：建立几何直观与空间观念，养成规范作图、严谨表述的几何学习习惯，提升图形辨析、运算与简单推理能力。 ✺题型归纳 题型1.直线、射线、线段的联系与区别 题型2.画出直线、射线、线段 题型3.点与线的位置关系 题型4.直线、线段、射线的数量问题 题型5.直线相交的交点个数问题 题型6.线段的应用 题型7.两点确定一条直线 题型8.作线段(尺规作图) 题型9.线段的和与差 题型10.线段中点的有关计算 题型11.线段n等分点的有关计算 题型12.线段之间的数量关系 题型13.与线段有关的动点问题 题型14.两点之间线段最短 题型15.两点间的距离 题型16.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、直线的基本事实与特征 1.直线的基本事实 内容：两点确定一条直线。 精准解释：经过两点，有且只有一条直线。 拓展结论：经过一点可以画无数条直线；经过两点有且只有一条直线。 生活实例：固定木条只需两枚钉子、排队看齐、三点瞄准等，均依据该基本事实。 知识点二、射线、线段的定义与特征 1.线段：直线上两点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。线段有两个端点，不延伸，可以度量长度。 如下图一条线段： 2.射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线，这个点叫做射线的端点。射线有一个端点，向一方无限延伸，不能度量长度。 如下图一条射线： 知识点三、线段、射线、直线的规范表示方法 三类线型均有规范几何表示方法，规则如下： 1.线段的表示 可选用两个端点大写字母表示：线段AB（线段BA，顺序通用）；也可用单个小写字母表示：线段a。 2.射线的表示 射线可以用两个大写字母表示，端点字母优先书写，延伸方向字母在后。例如：以A为端点、向B延伸的射线，记作射线AB。也可以用单个小写字母表示。 ★要点提示：射线由端点和延伸方向共同确定，端点不同或延伸方向不同，均为不同射线。 3.直线的表示 可选用直线上任意两个大写字母表示：直线AB（直线BA，顺序通用）；也可用单个小写字母表示：直线l。 知识点四、三类几何线的联系与区别 1.内在联系：射线、线段都是直线的一部分。线段向一端延伸可得射线，向两端延伸可得直线。 2.核心区别：直线无端点、双向无限延伸、不可度量；射线一个端点、单向无限延伸、不可度量；线段两个端点、不延伸、可度量。用表格表示如下： ☘包含关系总结：直线包含所有射线与对应线段，射线包含以自身端点为顶点的线段。 知识点五、直线、射线、线段的画法 知识点六、几何位置关系 1.点与直线的位置关系 点在直线上：直线经过该点，该点属于直线上的点；如下图，点A在直线L上。 点在直线外：直线不经过该点，该点不属于直线上的点。如下图，点B.C都在直线L外 知识点七、线段长短比较 线段长短有两种标准比较方法： 度量法：用刻度尺测量线段长度，依据数值大小比较长短。 叠合法：重合一条线段的端点，通过另一端点的位置判定线段长短。 知识点八、线段的基本事实 内容：两点之间，线段最短。 两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。 生活实例：道路改直、行走抄近路等场景，均依据该基本事实。 ✺题型精讲 题型1.直线、射线、线段的联系与区别 1．如图，下列说法不正确的是（   ） A．线段和射线都是直线的一部分 B．射线和射线是同一条射线 C．线段与线段是同一条线段 D．直线与直线为同一条直线 2．下列说法中，正确的是_____． ①延长直线到点；②延长射线到点；③延长线段到点；④画出长的直线；⑤画出长的射线；⑥画出长的线段；⑦射线长度是直线长度的一半． 3．如图，数轴上的原点为O，点A表示3，点B表示． (1)数轴是什么图形？ (2)数轴在原点O右边的部分（包括原点）是什么图形？怎样表示？ (3)射线OB上的点表示什么数？端点表示什么数？ (4)数轴上不小于且不大于3的数对应的点组成什么图形？怎样表示？ 题型2.画出直线、射线、线段 1．如图，已知三点，画直线，画射线，连接，按照上述语句画图正确的是（    ） A． B． C． D． 2．两个小朋友欣欣和希希在捉迷藏，欣欣站在图中的点处，没有看到希希，那么在图中所给出的位置点中，希希不可能躲藏的位置是点________处（图中带阴影部分为足够高且不透明的障碍物）． 3．如图，平面上有四个点，，，．根据下列语句画图： (1)画直线； (2)连接； (3)画射线，并与直线交于点； (4)连接，并反向延长至，使． 题型3.点与线的位置关系 1．如图，，三点在直线上依次排列，关于点位置的描述，正确的是（   ） A．点在线段上 B．点在线段的延长线上 C．点在直线上 D．点在射线上 2．如图，已知点P与直线l，用适当的语句表述图中点P与直线l的关系：________． 3．用适当的语句表述图中点与直线的关系．（至少写3句） 题型4.直线、线段、射线的数量问题 1．过平面上五个点中的任意两点画一条直线，最多可以画（     ）条． A．11 B．10 C．9 D．8 2．如图，，，三点在一条直线上，则图中共有射线__________条． 3．如图，已知、、三点在直线上，是外一点，请用无刻度直尺按下列要求作图： (1)画直线、线段、连接线段并反向延长； (2)图中以为端点的线段共有________条． 题型5.直线相交的交点个数问题 1．平面内四条直线最少有个交点，最多有个交点，则（　　） A．6 B．4 C．2 D．0 2．在同一平面内的三条直线，它们的交点个数是______ 3．先阅读，然后解答． 问题：两条直线将平面分成几部分？ 解：如图①，两条直线平行时，它们将平面分成三部分； 如图②，两条直线不平行时，它们将平面分成四部分． 根据上述内容，解答下面的问题． (1)上面问题的解题过程应用了________的数学思想（填“转化”“分类讨论”“整体处理”或“数形结合”）； (2)三条直线将平面分成几部分？ 题型6.线段的应用 1．如图，围绕在正方形四周的四条线段a，b，c，d中，长度最长的是（    ） A．a B．b C．c D．d 2．已知线段，那么满足的点P的轨迹是_______． 3．比较折线AB和线段的长短，你有什么方法？需要什么工具？ 题型7.两点确定一条直线 1．墨斗是中国传统木工行业中画直线的常用工具．如图，木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点上，另一端固定在另一点上，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．其蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．三角形内角和定理 D．两点确定一条直线 2．要把一根实木挂衣架水平固定在墙上，则至少需要两枚钉子，其中蕴含的数学知识是___________． 3．如图，已知点A，B，C，请画出下列图形： (1)直线； (2)射线； (3)线段． 题型8.作线段(尺规作图) 1．如图，用圆规比较两条线段AB和CD的长短，结果正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 2．“已知：线段．求作：线段，使得．”小明给出了四个步骤：①在射线上画线段；②则线段；③在射线上顺次画线段；④画射线；你认为正确的顺序是___． 3．用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段，，c 求作：线段，使． 题型9.线段的和与差 1．如图，在四边形中，点E在线段上，连接．已知，，的周长为17，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．把两个含有角的直角三角板如图放置，点D在上，连接、，且的延长线交于点F．若，，的长为__________． 3．如图，点，，是不在一条直线上的三个点，且，过，两点作直线，并连接，． (1)尺规作图：延长至，使得点为的中点，作射线，在射线上截取．（作图工具只限直尺和圆规，只保留作图痕迹，不用写做法） (2)若，求的长． 题型10.线段中点的有关计算 1．如图，点在线段上，线段，，点、分别是、的中点，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．已知线段，线段上有一点，且，是线段的中点，则线段的长是________． 3．完成下列小题 (1)如图所示，点D、E分别为线段的中点，若，求线段的长度． (2)若点C在线段的延长线上，点D、E分别为线段的中点，，画出图形并求的长度． 题型11.线段n等分点的有关计算 1．若将线段分成八等份，其内部的等分点个数为，则的值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．M所在位置如下图，的位置是点( )，的位置是点( )．（填序号） 3．如图，是线段的中点，是线段的三等分点且在点的左侧． (1)若线段的长为，求线段的长． (2)设线段的长为，若是直线上一点，且，求线段的长． 题型12.线段之间的数量关系 1．已知线段，在线段的延长线上取一点，使，是线段的中点，若，则线段的长为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 2．如图，已知线段上有C，D两点，且，E，F分别为，的中点． （1）若，则______； （2）若，则______． 3．如图，已知线段，在线段上有四个点，，，，在的右侧，且，，，求线段的长． 题型13.与线段有关的动点问题 1．如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（　　） A． B． C． D． 2．如图直线l上有AB两点，，点O是线段AB上的一点，，若点C是射线AB上一点，且满足，则OC＝______cm． 3．已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）． (1)若；当点 C、D运动了，此时 ， ．（直接填空） (2)若，点C、D运动时是否存在？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． (3)若点C、D运动时，总有，N是直线上一点，且，则 （直接填空）． 题型14.两点之间线段最短 1．数学在生活中有着广泛应用．下列最能直接体现数学应用的是（     ） A．我国自古代起就开始使用数学中的几何知识计算土地面积 B．宋朝的人们已经掌握了先进的造纸技术 C．先秦时期的人们通过观察生活现象写下优美的诗篇 D．如今我们可以通过书籍传播文化知识 2．2025年12月6日，经过52个月的艰苦建设，天山胜利隧道顺利贯通．此前，车辆沿盘山公路翻越天山需要3.5个小时，隧道贯通后，穿越天山仅需约20分钟．请你用所学数学知识解释这一现象________． 3．如图，平面内有四个点，，，，根据下列语句用尺规画图（保留画图痕迹，不写画法）： (1)画直线、线段、射线； (2)在平面内确定一个点，使到，，，的距离之和最小，请在图中画出点的位置，并说明理由：_________________________； (3)在直线上取点，使，请画出点；若，则___________． 题型15.两点间的距离 1．已知线段，点C在直线上，且，则的长为（   ） A． B． C． D．或 2．如图，C，D是线段上的两点，且是线段的中点，若，则线段___________． 3．如图，A、B、C、D四点在同一直线上． (1)若，，且，求的长； (2)若线段被点B、C分成了三部分，且的中点M和的中点N之间的距离是，求的长． ✺巩固测试 一、单选题 1．甲、乙两地开通了高铁，中途有两个站停靠，如果站与站之间的路程及站点与甲、乙两地的路程都不相等，那么高铁公司需要在这段路上准备（    ）种不同的高铁票． A．种 B．种 C．种 D．种 2．从杭州东站出发到金华南站的动车，中途要停靠诸暨站和义乌站，则铁路部门供旅客购买的火车票要准备（　　） A．12种 B．10种 C．6种 D．4种 3．如图，已知为线段的中点，在线段上，且，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 4．如图，点C，D把线段三等分，点是线段上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 二、填空题 6．如图所示的是一条直线和两个点的位置关系，现有以下结论：①直线在点C上；②点C在直线上；③点O不经过直线；④直线a经过点C，其中叙述正确的有_______（填序号）． 7．一平面内共有10条直线，它们之间的位置关系未知，这10条直线最多有______个交点． 8．将一根小木条固定在墙面上，至少需要_____颗钉子． 9．已知线段，延长至点，使是线段的中点，如果，那么的长为______． 10．若A、B、C在同一直线上，，D为中点，则A、D两点间的距离是________． 三、解答题 11．如图，已知四个点A、B、C、D，根据下列要求画图： (1)画线段； (2)画射线，与线段的延长线交于点E； (3)找一点P，使P既在直线上，又在直线上． 12．已知、、三点如图所示． (1)画直线，射线，线段； (2)在线段上任取一点（不同于），连接，并延长至，使；（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (3)在完成（1）（2）后，图中的线段共有多少条？并写出以点为端点的所有线段． 13．观察图形，并回答下列问题：    (1)图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路； (2)请你用上面的思路来解决“十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了多少次”这个问题； (3)十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？ 14．新定义：点P是线段上一点，此时三条线段中，若有一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“二倍点”． (1)若点是线段的中点，则点 线段的“二倍点”；(填“是”或“不是”)； (2)若，点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，设点的运动时间为秒，求当为何值时，点是线段的“二倍点”； (3)如图，点P是线段的“二倍点”，且，点M是延长线上一点，点C在线段上运动，当时，点C是否是线段的“二倍点”，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 直线、射线、线段 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.直线基础认知：掌握直线基本事实、几何特征及规范表示方法； 2.射线与线段认知：掌握两类线型的定义、特征与表示规则； 3.几何位置关系：掌握点与直线、直线与直线的位置关系； 4.线段运算应用：掌握线段长短比较、和差运算、中点与等分点； 5.线段基本事实：掌握两点间距离定义，理解并运用“两点之间，线段最短”的基本事实。 ✅本节系统讲解直线、射线、线段的概念、特征、表示方法、位置关系及线段相关运算与基本事实，是初中几何作图、线段计算与初步推理的重要基础。 ✺学习目标 1.基础知识：理解直线、射线、线段的概念与特征，掌握“两点确定一条直线”的基本事实；熟练掌握三类线型的规范表示方法；掌握线段比较、和差运算及中点、等分点概念；理解两点间距离定义，熟记“两点之间，线段最短”基本事实。 2.能力提升：能准确区分三类线型差异，规范书写几何语言与符号；可独立比较线段长短、完成线段和差计算，利用中点性质求解线段长度；能运用线段基本事实解决简单实际问题。 3.综合素养：建立几何直观与空间观念，养成规范作图、严谨表述的几何学习习惯，提升图形辨析、运算与简单推理能力。 ✺题型归纳 题型1.直线、射线、线段的联系与区别 题型2.画出直线、射线、线段 题型3.点与线的位置关系 题型4.直线、线段、射线的数量问题 题型5.直线相交的交点个数问题 题型6.线段的应用 题型7.两点确定一条直线 题型8.作线段(尺规作图) 题型9.线段的和与差 题型10.线段中点的有关计算 题型11.线段n等分点的有关计算 题型12.线段之间的数量关系 题型13.与线段有关的动点问题 题型14.两点之间线段最短 题型15.两点间的距离 题型16.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、直线的基本事实与特征 1.直线的基本事实 内容：两点确定一条直线。 精准解释：经过两点，有且只有一条直线。 拓展结论：经过一点可以画无数条直线；经过两点有且只有一条直线。 生活实例：固定木条只需两枚钉子、排队看齐、三点瞄准等，均依据该基本事实。 知识点二、射线、线段的定义与特征 1.线段：直线上两点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。线段有两个端点，不延伸，可以度量长度。 如下图一条线段： 2.射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线，这个点叫做射线的端点。射线有一个端点，向一方无限延伸，不能度量长度。 如下图一条射线： 知识点三、线段、射线、直线的规范表示方法 三类线型均有规范几何表示方法，规则如下： 1.线段的表示 可选用两个端点大写字母表示：线段AB（线段BA，顺序通用）；也可用单个小写字母表示：线段a。 2.射线的表示 射线可以用两个大写字母表示，端点字母优先书写，延伸方向字母在后。例如：以A为端点、向B延伸的射线，记作射线AB。也可以用单个小写字母表示。 ★要点提示：射线由端点和延伸方向共同确定，端点不同或延伸方向不同，均为不同射线。 3.直线的表示 可选用直线上任意两个大写字母表示：直线AB（直线BA，顺序通用）；也可用单个小写字母表示：直线l。 知识点四、三类几何线的联系与区别 1.内在联系：射线、线段都是直线的一部分。线段向一端延伸可得射线，向两端延伸可得直线。 2.核心区别：直线无端点、双向无限延伸、不可度量；射线一个端点、单向无限延伸、不可度量；线段两个端点、不延伸、可度量。用表格表示如下： ☘包含关系总结：直线包含所有射线与对应线段，射线包含以自身端点为顶点的线段。 知识点五、直线、射线、线段的画法 知识点六、几何位置关系 1.点与直线的位置关系 点在直线上：直线经过该点，该点属于直线上的点；如下图，点A在直线L上。 点在直线外：直线不经过该点，该点不属于直线上的点。如下图，点B.C都在直线L外 知识点七、线段长短比较 线段长短有两种标准比较方法： 度量法：用刻度尺测量线段长度，依据数值大小比较长短。 叠合法：重合一条线段的端点，通过另一端点的位置判定线段长短。 知识点八、线段的基本事实 内容：两点之间，线段最短。 两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。 生活实例：道路改直、行走抄近路等场景，均依据该基本事实。 ✺题型精讲 题型1.直线、射线、线段的联系与区别 1．如图，下列说法不正确的是（   ） A．线段和射线都是直线的一部分 B．射线和射线是同一条射线 C．线段与线段是同一条线段 D．直线与直线为同一条直线 【答案】B 【详解】解：、线段和射线都是直线的一部分，说法正确，故本选项不符合题意； 、射线和射线不是同一条射线，说法不正确，故本选项符合题意； 、线段与线段是同一条线段，说法正确，故本选项不符合题意； 、直线与直线为同一条直线，说法正确，故本选项不符合题意． 2．下列说法中，正确的是_____． ①延长直线到点；②延长射线到点；③延长线段到点；④画出长的直线；⑤画出长的射线；⑥画出长的线段；⑦射线长度是直线长度的一半． 【答案】③⑥/⑥③ 【分析】本题考查了直线、射线和线段的定义，直线：在平面内，无端点，向两方无限延伸的线，射线：在平面内，有一个端点，向一方无限延伸，线段：在平面内，有两个端点，不延伸． 根据直线、射线和线段的定义逐一判断即可． 【详解】解：①直线是无限长的，无法延长，故错误； ②射线是无限长的，无法延长，故错误； ③线段可以延长到点M，故正确； ④直线是无限长的，无法画出有限长度，故错误； ⑤射线是无限长的，无法画出有限长度，故错误； ⑥线段可以画出长的线段，故正确； ⑦射线和直线都是无限长的，无法比较长度，故错误； 故答案为：③⑥． 3．如图，数轴上的原点为O，点A表示3，点B表示． (1)数轴是什么图形？ (2)数轴在原点O右边的部分（包括原点）是什么图形？怎样表示？ (3)射线OB上的点表示什么数？端点表示什么数？ (4)数轴上不小于且不大于3的数对应的点组成什么图形？怎样表示？ 【答案】(1)直线 (2)射线，射线 (3)非正数， (4)线段，线段 【分析】本题考查了有理数大小比较，数轴，直线、射线、线段，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． （1）根据数轴的特征，即可解答； （2）根据数轴的特征，以及射线的定义即可解答； （3）根据数轴的特征，即可解答； （4）根据数轴的特征，以及线段的定义即可解答． 【详解】（1）数轴是直线； （2）数轴在原点右边的部分（包括原点）是射线，表示为射线； （3）射线上的点表示非正数，端点表示； （4）数轴上不小于且不大于的数对应的点组成线段，表示为线段． 题型2.画出直线、射线、线段 1．如图，已知三点，画直线，画射线，连接，按照上述语句画图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线、射线和线段，掌握直线、射线和线段的区别是解决问题的关键．依据直线、射线和线段的画法，即可得出图形． 【详解】解：画直线，画射线，连接，如图所示： 故选：C． 2．两个小朋友欣欣和希希在捉迷藏，欣欣站在图中的点处，没有看到希希，那么在图中所给出的位置点中，希希不可能躲藏的位置是点________处（图中带阴影部分为足够高且不透明的障碍物）． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了线段的知识，理解线段的定义是解题关键．连接，观察这些线段是否与障碍物相交，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接， 由图可知，仅有没有与障碍物相交， 故希希不可能躲藏的位置是点或处． 故答案为：或． 3．如图，平面上有四个点，，，．根据下列语句画图： (1)画直线； (2)连接； (3)画射线，并与直线交于点； (4)连接，并反向延长至，使． 【答案】(1) 如图所示，直线即为所求． (2) 如图所示，线段即为所求． (3) 如图所示，射线和点即为所求． (4) 如图所示，线段和即为所求． 【分析】本题主要考查线段、射线和直线： （1）线段向两个方向无限延伸得到直线，直线没有端点； （2）线段有两个端点； （3）线段向一个方向无限延伸得到射线，射线只有一个端点； （4）线段向一个方向无限延伸得到射线，射线只有一个端点． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 题型3.点与线的位置关系 1．如图，，三点在直线上依次排列，关于点位置的描述，正确的是（   ） A．点在线段上 B．点在线段的延长线上 C．点在直线上 D．点在射线上 【答案】C 【分析】本题考查了点和线的关系，根据图形，即可求解． 【详解】解：根据图形可得点在直线上，或线段的延长线上，或射线上， 故选：C． 2．如图，已知点P与直线l，用适当的语句表述图中点P与直线l的关系：________． 【答案】点P在直线l外 【分析】本题考查点和直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．根据点与直线的位置关系可得答案． 【详解】解：由图知，点P在直线l外， 故答案为：点P在直线l外． 3．用适当的语句表述图中点与直线的关系．（至少写3句） 【答案】 （1）点在直线上； （2）点在直线上； （3）点在直线外； （4）点不在直线上； （5）直线经过点； （6）直线经过点； （7）直线经过点和点； （8）直线不经过点． 【分析】根据点与直线的位置关系即可解答 【详解】略 【点睛】本题主要考查了几何作图，注意叙述要准确． 题型4.直线、线段、射线的数量问题 1．过平面上五个点中的任意两点画一条直线，最多可以画（     ）条． A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】当五个点中任意三点不共线时，画出的直线数量最多，再计算总条数 【详解】解：∵ 要使画出的直线数量最多， ∴ 五个点中任意三点不能共线 ∵ 每个点可与其余4个点各画1条直线，5个点共计算得条 又∵ 每条直线被两个点分别计算1次，存在重复 ∴ 实际最多可画条 2．如图，，，三点在一条直线上，则图中共有射线__________条． 【答案】6 【详解】解：一个点有2条射线， 所以图中共有射线条． 3．如图，已知、、三点在直线上，是外一点，请用无刻度直尺按下列要求作图： (1)画直线、线段、连接线段并反向延长； (2)图中以为端点的线段共有________条． 【答案】(1)如图所示： (2) 【分析】本题考查直线、线段的定义及线段的计数．关键是根据直线、线段的基本特征，利用无刻度直尺作出指定图形；通过列举所有以为端点的线段，统计数量得到结果． （1）依据直线向两方无限延伸、线段有两个端点的性质，分别画出直线、线段，再连接并完成反向延长操作； （2）逐一找出所有以为端点的线段，再统计线段的总条数． 【详解】（1）略 （2）解：以为端点的线段有、、，共3条； 故答案为：． 题型5.直线相交的交点个数问题 1．平面内四条直线最少有个交点，最多有个交点，则（　　） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查相交线的交点问题，掌握平行线时交点最少为0，交点最多时，交点个数为是解题的关键． 首先四条直线最少交点当所有直线平行时，交点为0；最多交点当每两条直线有一个交点，无任何两条平行且无三线共点时，为；即可求解的值． 【详解】∵当四条直线全部平行时，无交点， ∴； ∵当每两条直线有一个交点，且无三线共点时，交点最多， ∴； ∴， 故选：A． 2．在同一平面内的三条直线，它们的交点个数是______ 【答案】 0或1或2或3个 【分析】本题主要考查了相交线和平行线．正确画出图形，即可得到正确结果． 分类讨论画出图形，①当三条直线平行时，没有交点；②三条直线交于一点时，有一个交点；③两条平行线与一条直线相交时，有两个交点；④三条直线两两相交时有三个交点，即可得出答案． 【详解】解：如图， 由图可知：同一平面内的三条直线，其交点个数为：0个；1个；2个；3个． 故答案是：0个或1个或2个或3个． 3．先阅读，然后解答． 问题：两条直线将平面分成几部分？ 解：如图①，两条直线平行时，它们将平面分成三部分； 如图②，两条直线不平行时，它们将平面分成四部分． 根据上述内容，解答下面的问题． (1)上面问题的解题过程应用了________的数学思想（填“转化”“分类讨论”“整体处理”或“数形结合”）； (2)三条直线将平面分成几部分？ 【答案】(1)分类讨论 (2)四或六或七 【详解】（1）分类讨论 （2）由答图①②③④可知，三条直线可以将平面分成四或六或七部分． 题型6.线段的应用 1．如图，围绕在正方形四周的四条线段a，b，c，d中，长度最长的是（    ） A．a B．b C．c D．d 【答案】D 【分析】根据正方形的性质可得四边相等，根据图形比较线段与四边形的边长的长度即可求解．本题考查了正方形的性质，线段长短比较，理解正方形的四边相等是解题的关键． 【详解】解：根据图形可知，d的长度大于正方形的边长，c的长度等于正方形的边长，的长度小于正方形的边长，的长度大于正方形的边长但小于d的长度， 所以长度最长的是d． 故选：D． 2．已知线段，那么满足的点P的轨迹是_______． 【答案】线段 【分析】本题考查了点的轨迹．根据点的轨迹即可求解． 【详解】解：∵，， ∴点P的轨迹是线段． 故答案为：线段． 3．比较折线AB和线段的长短，你有什么方法？需要什么工具？ 【答案】 采用细线和直尺，采用细线弯折成和折线一样长，然后拉直，用直尺分别量出其长度，然后比较． 【分析】结合所给的图形，一条折线，一条线段，可以采用细线和直尺，采用细线弯折成和折线一样长，然后拉直，用直尺分别量出其长度，然后比较即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了长度的测量方法，采用化曲为直的方法进行比较是解题关键． 题型7.两点确定一条直线 1．墨斗是中国传统木工行业中画直线的常用工具．如图，木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点上，另一端固定在另一点上，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．其蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．三角形内角和定理 D．两点确定一条直线 【答案】D 【详解】解：木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点上，另一端固定在另一点上，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线， ∴其蕴含的数学道理是两点确定一条直线． 2．要把一根实木挂衣架水平固定在墙上，则至少需要两枚钉子，其中蕴含的数学知识是___________． 【答案】两点确定一条直线 【分析】分析两枚钉子固定挂衣架的实际作用，对应数学中“两点确定一条直线”的性质，通过两个点锁定挂衣架的位置，使其保持水平状态且不会随意偏移． 【详解】解：用两枚钉子固定实木挂衣架时，两枚钉子的位置相当于两个点，这两个点能唯一确定挂衣架所在的直线位置，从而将挂衣架水平固定在墙上，防止其晃动或移位． 因此其中蕴含的数学知识是两点确定一条直线． 3．如图，已知点A，B，C，请画出下列图形： (1)直线； (2)射线； (3)线段． 【答案】(1)如图，直线为所求的直线； (2)如图，射线为所求的射线； (3) 如图，线段为所求的线段． 【分析】本题考查了画图题，两点确定一条直线，直线、射线、线段的定义，正确理解定义是解题的关键． （1）根据直线的定义画图即可． （2）根据射线的定义画图即可． （3）根据线段的定义画图即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型8.作线段(尺规作图) 1．如图，用圆规比较两条线段AB和CD的长短，结果正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了线段的大小比较，熟练掌握线段大小的比较方法是解决问题的关键． 根据比较线段的长短的方法即可解答． 【详解】解：观察题中所给的图可知，点重合，点在线段AB上，可得． 故选：． 2．“已知：线段．求作：线段，使得．”小明给出了四个步骤：①在射线上画线段；②则线段；③在射线上顺次画线段；④画射线；你认为正确的顺序是___． 【答案】④①③② 【分析】本题主要考查了尺规作图—作线段，尺规作图需先作射线作为基准，再依次截取线段，最后得到目标线段，即第一步要画射线，然后在射线上画线段，再在射线上依次画线段，则线段，据此可得答案． 【详解】解：首先画射线（步骤④），作为作图基准；然后在射线上截取线段（步骤①）；接着在射线（从点沿方向）上顺次截取和（步骤③），此时；最后得到线段（步骤②）． 故答案为：④①③② 3．用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段，，c 求作：线段，使． 【答案】 线段即为所求： 【分析】先画出射线，在射线上截取，在射线上截取，在线段上截取即可解答． 【详解】略 题型9.线段的和与差 1．如图，在四边形中，点E在线段上，连接．已知，，的周长为17，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据的周长和相关数据可得出可判断选项A正确，选项B，C，D错误 【详解】解：已知，的周长为17， 所以，， 又因为，且， 所以，， 所以，， 所以，， 故选项A正确； 没有合适的条件使选项B，C，D成立． 2．把两个含有角的直角三角板如图放置，点D在上，连接、，且的延长线交于点F．若，，的长为__________． 【答案】8 【分析】根据线段的和差和等量代换，即可进行解答． 【详解】解：， ，即， ， ． ，， ，即， ∴， ∴． 3．如图，点，，是不在一条直线上的三个点，且，过，两点作直线，并连接，． (1)尺规作图：延长至，使得点为的中点，作射线，在射线上截取．（作图工具只限直尺和圆规，只保留作图痕迹，不用写做法） (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）以为圆心，为半径画弧，延长交该弧于点；以为圆心，为半径画弧，延长与该弧相交，并以该交点为圆心，为半径画弧，继续延长与第二条弧相交，该点即为点； （2）由点为的中点，求出、的长，继而可得、的长，最后由即可得解． 【详解】（1）解：如图所示，点，射线，线段即为所求： （2）解：为的中点， ， ， ， ， ， ． 题型10.线段中点的有关计算 1．如图，点在线段上，线段，，点、分别是、的中点，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据线段中点的定义求出和的长，再利用线段的和差关系求解． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴，． ∴． 2．已知线段，线段上有一点，且，是线段的中点，则线段的长是________． 【答案】 【分析】先求出的长度，再利用中点的定义即可求出线段的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是线段的中点， ∴． 3．完成下列小题 (1)如图所示，点D、E分别为线段的中点，若，求线段的长度． (2)若点C在线段的延长线上，点D、E分别为线段的中点，，画出图形并求的长度． 【答案】(1)15 (2)画出图形如图所示： ， 【分析】（1）根据图象得出，即，进而求出即可； （2）根据已知画出图形，进而利用求出即可． 【详解】（1）解：∵点D、E分别为线段的中点， ∴， ∴； （2）解：∵点D、E分别为线段的中点， ∴， ∵， ∴． 题型11.线段n等分点的有关计算 1．若将线段分成八等份，其内部的等分点个数为，则的值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查线段之间的数量关系，熟练掌握等分点的定义是解题的关键；线段八等分点是指将线段分成8等份的内部点，不包括端点，因此有7个点． 【详解】解：∵ 把线段进行八等分点， ∴八等分点可能为、、、、、、处的点， ∴ ． 故选：B． 2．M所在位置如下图，的位置是点( )，的位置是点( )．（填序号） 【答案】 ② ④ 【详解】解：将0到三等分，则的位置是点②； 将到平分，则的位置是点④． 3．如图，是线段的中点，是线段的三等分点且在点的左侧． (1)若线段的长为，求线段的长． (2)设线段的长为，若是直线上一点，且，求线段的长． 【答案】(1)． (2)或． 【分析】本题主要考查了线段的中点、三等分点的定义及线段的和差计算，熟练掌握线段的延长线分类讨论，结合线段间的数量关系分析计算是解题的关键． （1）先根据中点和三等分点的定义，分别求出、的长度，再用减去得到的长． （2）先根据判断在延长线上，分在左侧、在右侧两种情况，结合的长度，利用线段和差计算的长． 【详解】（1）解：∵是的中点，， ∴． ∵是的三等分点且在左侧， ∴． ∴． （2）解：∵，若在上，则，而， ∴在线段的延长线上或在线段的延长线上． 情况：在的右侧时， ∵是的三等分点， ∴． 设，则， ∴， 解得，即． ∴． ∴． 情况：在的左侧 设，则， ∴， 解得，即． ∴． 综上，或． 题型12.线段之间的数量关系 1．已知线段，在线段的延长线上取一点，使，是线段的中点，若，则线段的长为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】C 【分析】本题考查线段的中点的相关计算，根据倍数关系和线段的中点的性质计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点在线段的延长线上， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， 故选C． 2．如图，已知线段上有C，D两点，且，E，F分别为，的中点． （1）若，则______； （2）若，则______． 【答案】 12 3.6 【分析】此题主要考查线段的中点的特征和应用、线段的和与差． （1）根据所给线段比例得到，，再根据线段中点的定义得到，，进而可求解； （2）设，则线段，，然后根据E、F分别是线段、的中点，分别用x表示出、，根据，求出x的值，即可求出线段的长． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∵E，F分别为，的中点， ∴，， ∴， 故答案为：12； （2）设，则线段，， ∵E、F分别是线段、的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，已知线段，在线段上有四个点，，，，在的右侧，且，，，求线段的长． 【答案】 【分析】根据，求出，，，由，求出及，由此可得的长． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型13.与线段有关的动点问题 1．如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可以写出前几个点表示的数，从而可以发现数字的变化特点，然后即可得到2023次跳动后的点与A1A的中点的距离，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 点A1表示的数为8×＝4， 点A2表示的数为8××＝2， 点A3表示的数为8××＝1， …， 点An表示的数为8×（）n， ∵A1A的中点表示的数为（8+4）÷2＝6， ∴2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是：6﹣8×（）2023＝6﹣（）2020＝6﹣， 故选：D． 【点睛】本题考查数字的变化类、数轴，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点． 2．如图直线l上有AB两点，，点O是线段AB上的一点，，若点C是射线AB上一点，且满足，则OC＝______cm． 【答案】或 【分析】根据题意可求出，．设，分类讨论①当点C在AO之间时；②当点C在OB之间时；③当点C在点B右侧时，利用x可分别表示出AC，CB的长，根据，即得出关于x的等式，解出x即可． 【详解】∵AB=12cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB， ∴，． 设， 分类讨论：①当点C在AO之间时，如图， 由图可知，，， ∵， ∴， 解得：． 故此时； ②当点C在OB之间时，如图， 由图可知，，． ∴此时不成立； ③当点C在点B右侧时，如图， 由图可知，，， ∵， ∴， 解得：． 故此时； 综上可知OC的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查线段n等分点的有关计算，与线段有关的动点问题的计算．利用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键． 3．已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）． (1)若；当点 C、D运动了，此时 ， ．（直接填空） (2)若，点C、D运动时是否存在？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． (3)若点C、D运动时，总有，N是直线上一点，且，则 （直接填空）． 【答案】(1)，； (2)存在，； (3)或 【分析】（1）利用路程速度时间，求出，，即可得解； （2）设运动时间为，则，，进而表示出，，列方程求解即可； （3）设运动时间为，则，，结合，求出，，再判断出点在点的右侧，分两种情况讨论：①当点在上时；②当点在的延长线上时，利用线段的和差分别求解即可． 【详解】（1）解：当点 C、D运动了，，， ，， ， ； （2）解：存在， 设运动时间为，则，， ，， ，， ， ， 解得：， 即点C、D运动时存在，运动时间为； （3）解：设运动时间为，则，， ，， ， ， ， ， ，， ， ，即， 点在点的右侧， 分两种情况讨论： ①当点在上时，，， ， ， ； ②当点在的延长线上时，， ， ， ； 综上可知，或． 题型14.两点之间线段最短 1．数学在生活中有着广泛应用．下列最能直接体现数学应用的是（     ） A．我国自古代起就开始使用数学中的几何知识计算土地面积 B．宋朝的人们已经掌握了先进的造纸技术 C．先秦时期的人们通过观察生活现象写下优美的诗篇 D．如今我们可以通过书籍传播文化知识 【答案】A 【详解】解：只有选项A直接将数学领域的几何知识应用于解决生活中的土地面积计算问题，B选项造纸技术，C选项文学创作，D选项文化传播，均不涉及数学知识的直接应用． 2．2025年12月6日，经过52个月的艰苦建设，天山胜利隧道顺利贯通．此前，车辆沿盘山公路翻越天山需要3.5个小时，隧道贯通后，穿越天山仅需约20分钟．请你用所学数学知识解释这一现象________． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】原有盘山公路为弯曲路线，路程更长，隧道近似为两地之间的直线路段，路程更短，结合路程速度时间的关系即可解释． 【详解】解：通行的起点和终点为两个固定点，原有盘山公路为弯曲路线，路程大于两点间的直线距离， 隧道贯通后，新路线近似为连接起点和终点的线段， 根据两点之间线段最短的性质，新路线的路程比原路线更短． 车辆行驶的平均速度相近，由时间路程速度可得，路程越短，所需行驶时间越少， 隧道贯通后穿越天山的时间远少于原来翻越天山的时间． 3．如图，平面内有四个点，，，，根据下列语句用尺规画图（保留画图痕迹，不写画法）： (1)画直线、线段、射线； (2)在平面内确定一个点，使到，，，的距离之和最小，请在图中画出点的位置，并说明理由：_________________________； (3)在直线上取点，使，请画出点；若，则___________． 【答案】(1)直线、线段、射线如图所示． (2)如图，点即为所求．理由为：两点之间，线段最短． (3)点如图所示，或， 【分析】（1）根据直线、线段及射线的定义画图即可； （2）连接、，交于点，根据两点之间，线段最短解答即可； （3）根据求出，分点在点右侧和左侧两种情况求解即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：略 （3）解：∵，， ∴， 如图，当点在点右侧时，， 当点在点左侧时，． 题型15.两点间的距离 1．已知线段，点C在直线上，且，则的长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据点C在直线上，需分类讨论点C的两种位置情况，分别是点C在线段上，点C在线段的延长线上，利用线段和差关系计算即可． 【详解】解：①当点C在线段上时， ∵，， ∴； ②当点C在线段的延长线上时， ∵，， ∴； 综上，的长为或． 2．如图，C，D是线段上的两点，且是线段的中点，若，则线段___________． 【答案】3 【分析】本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．先求出，再根据中点得到． 【详解】解：，， ， 是线段的中点， ， 故答案为：3． 3．如图，A、B、C、D四点在同一直线上． (1)若，，且，求的长； (2)若线段被点B、C分成了三部分，且的中点M和的中点N之间的距离是，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查两点间的距离，线段之间的数量关系，解题的关键是掌握线段的加减，线段中点的定义． （1）利用线段的和差计算即可； （2）利用线段之间的比例关系，以及线段中点的定义，即可求出线段的长； 【详解】（1）解：，，且， ， ， ； （2）解：∵线段被点B、C分成了三部分， 设，则， ， 的中点M和的中点N之间的距离是， ， ， 解得：， ． ✺巩固测试 一、单选题 1．甲、乙两地开通了高铁，中途有两个站停靠，如果站与站之间的路程及站点与甲、乙两地的路程都不相等，那么高铁公司需要在这段路上准备（    ）种不同的高铁票． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】先确定总站点数，中途2个停靠站加甲，乙两地共4个站点，由于高铁票往返方向不同是不同的车票，且所有路程都不相等，先计算单向的不同车票数量，再乘2得到总票数． 【详解】解：∵甲，乙两地加中途2个停靠站，总站点数为 个， 又∵所有站之间路程都不相等，且往返方向不同，车票不同. ∴单向的不同车票种类为 种. ∴总的不同高铁票种类为 种． 2．从杭州东站出发到金华南站的动车，中途要停靠诸暨站和义乌站，则铁路部门供旅客购买的火车票要准备（　　） A．12种 B．10种 C．6种 D．4种 【答案】A 【分析】一共有4个站，由一个站到其它3个站就需要3张不同的车票，由此可求出车票总数． 【详解】解：根据题意，一共有4个站，由一个站到其它3个站就需要3张不同的车票， ∴铁路部门供旅客购买的火车票要准备（种）， 故选：A． 【点睛】本题考查线段，解答的关键是理解题意，熟知两站之间有两种不同的车票，不能遗漏返程票． 3．如图，已知为线段的中点，在线段上，且，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据线段的和差关系求出的长，再利用中点定义求出的长，最后根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∵在线段上， ∴． 4．如图，点C，D把线段三等分，点是线段上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差关系，线段三等分点的定义等知识，根据线段三等分点的定义得出，由，可求出，则，结合，，即可求解． 【详解】解：∵点C，D把线段三等分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 5．如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，，， M为的中点， ， ，故①错误； 设运动t秒，则，， M为的中点，N为的中点， ， ， 的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ，， ， 的值不变，故③正确； ，， ， 解得：，故④正确； 故选：D 二、填空题 6．如图所示的是一条直线和两个点的位置关系，现有以下结论：①直线在点C上；②点C在直线上；③点O不经过直线；④直线a经过点C，其中叙述正确的有_______（填序号）． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了直线的基本特征，点与直线的关系，熟记直线的基本知识是解题的关键． 根据直线的基本特征及点与直线的关系进行判断即可． 【详解】解∶直线经过点C，或“点C在直线上”，不能说“直线在点C上”，故①错误，②正确； 直线不经过点O，直线a经过点C，故③错误，④正确； 所以正确的是②④． 故答案为：②④． 7．一平面内共有10条直线，它们之间的位置关系未知，这10条直线最多有______个交点． 【答案】45 【分析】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法． 由在同一平面内，条直线两两相交，则最多有个交点，代入即可求解． 【详解】解：∵在同一平面内，条直线两两相交，则最多有个交点， ∴条直线两两相交，交点的个数最多为． 故答案为：45． 8．将一根小木条固定在墙面上，至少需要_____颗钉子． 【答案】2 【分析】本题考查了两点确定一条直线，根据平面几何中“两点确定一条直线”的基本原理，固定木条需确保其无法移动或旋转，因此至少需要两个点即可解答． 【详解】解：一点固定时，木条可绕该点旋转；两点固定时，木条被完全约束，无法平移或旋转．故至少需要2颗钉子． 故答案为：2． 9．已知线段，延长至点，使是线段的中点，如果，那么的长为______． 【答案】4 【分析】本题考查了线段中点的定义与线段的和差计算，解题的关键是利用中点的性质求出的长度，再根据线段间的数量关系建立方程求解． 先根据是的中点，由的长度求出AC的长度；再根据，将用表示，进而求出的长度． 【详解】解：是线段的中点，， ， ， ， ， 解得． 故答案为：． 10．若A、B、C在同一直线上，，D为中点，则A、D两点间的距离是________． 【答案】或 【分析】分两种情况，根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系求解即可． 【详解】解：当点C，A在点B异侧时， ， 为中点， 即两点间的距离是． 当点C，A在点B同侧时， ， 为中点， 即两点间的距离是． 综上，两点间的距离是或． 三、解答题 11．如图，已知四个点A、B、C、D，根据下列要求画图： (1)画线段； (2)画射线，与线段的延长线交于点E； (3)找一点P，使P既在直线上，又在直线上． 【答案】(1) 解：如图，连接，线段即为所求； (2) 解：如图，连接并延长交线段的延长线于点E，射线，点E即为所求； (3) 解：如图，直线与直线交于点P，点P即为所求． 【分析】（1）根据线段的定义画出图形； （2）根据射线，线段的延长线的定义画出图形即可； （3）直线与直线的交点即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 12．已知、、三点如图所示． (1)画直线，射线，线段； (2)在线段上任取一点（不同于），连接，并延长至，使；（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (3)在完成（1）（2）后，图中的线段共有多少条？并写出以点为端点的所有线段． 【答案】(1) 如图，直线，射线，线段即为所求： (2) 如图，点D即为所求： (3)8条，线段、线段、线段． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由图可知，图中共8条线段，以点为端点的线段：线段、线段、线段． 13．观察图形，并回答下列问题：    (1)图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路； (2)请你用上面的思路来解决“十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了多少次”这个问题； (3)十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？ 【答案】(1) 图中共有10条线段，分析思路如下： 以为端点的线段有：、、、，共4条； 以为端点，且与前面不重复的线段有：、、，共3条； 以为端点，且与前面不重复的线段有：、，共2条； 以为端点，且与前面不重复的线段有：，共1条； 答：图中共有条线段； (2)共握了105次； (3)共送了210张． 【分析】（1）根据线段的概念，分别得到以、、、为端点，且不重复的线段，相加即可得到答案； （2）将人演化成点，根据（1）结论，即可得到答案； （3）十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片，即每个人都送了14次，据此即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：将人演化成点，根据（1）结论可知， 握手的次数为：， 答：十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了105次； （3）解：十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片，即每个人都送了14次， ， 答：十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了210张． 【点睛】本题考查了线段的计数，线段计数时注意分类讨论，做到不遗漏，不重复，理解（3）互送的区别． 14．新定义：点P是线段上一点，此时三条线段中，若有一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“二倍点”． (1)若点是线段的中点，则点 线段的“二倍点”；(填“是”或“不是”)； (2)若，点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，设点的运动时间为秒，求当为何值时，点是线段的“二倍点”； (3)如图，点P是线段的“二倍点”，且，点M是延长线上一点，点C在线段上运动，当时，点C是否是线段的“二倍点”，请说明理由． 【答案】(1)是 (2)当为、或时，点是线段的“二倍点” (3) 点是线段的“二倍点”，理由如下 ∵ 点是线段的“二倍点”，且， ∴ ， ∴ ， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 点是线段的“二倍点”． 【分析】本题考查了线段的和差关系、动点问题以及新定义“二倍点”的应用，解题的关键是根据“二倍点”的定义分类讨论线段之间的倍数关系，结合线段长度的计算方法进行求解． （1）根据中点定义及“二倍点”定义判断； （2）用表示和的长度，分三种情况讨论与的倍数关系，列方程求解； （3）先由“二倍点”及确定与的关系，再结合推导与的关系，判断点C是否为线段的“二倍点”． 【详解】（1）解：∵ 点是线段的中点， ∴ ， 满足“二倍点”定义， 故答案为：是． （2）解：由题意得：， ① 当时：， 解得； ② 当时：， 解得； ③ 当时：， 解得； ④ 当时：， 解得； 答：当为、或时，点是线段的“二倍点”． （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $