6.3角（7大知识点+13大题型+分层训练）2026年小升初人教版七年级数学上册讲义

6.3 角 学习目标导航 1、概念与表示：理解角的概念，掌握角的多种表示方法，并能根据图形正确表示角。 2、度量与换算：认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单的单位换算，会计算角的和与差。 3、比较与平分：能比较角的大小，理解角的平分线的意义，并能进行相关的简单计算。 4、余角与补角：理解余角和补角的概念，探索并掌握“同角（或等角）的余角相等”、“同角（或等角）的补角相等”的性质。 5、尺规作图：能用尺规完成“作一个角等于已知角”和“作一个角的平分线”，体会类比研究几何图形的方法 洞悉◆教材知识 知识点01 角的概念 1.定义 （1）（静态）从一点出发的两条射线所组成的图形，这一点叫作角的顶点，这两条射线叫作角的边． （2）（动态）角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，旋转开始时的射线叫作角的始边，终止时的射线叫作角的终边． 2.角的度量单位： 角的度量单位是“度、分、秒”．把一个周角360等分，每一等份是1度的角，1度记作1°；把1°的角60等分，每一等份是1分的角，1分记作1'；把1分的角60等分，每一等份是1秒的角，1秒记作1”．即，． 知识点02 角的分类 ①锐角(0°< α < 90°) ②直角(α = 90°) ③钝角(90°< α < 180°) ④平角(α =180°) ⑤周角(α =360°) 知识点03 方向角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 注意：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点． 知识点04 角的比较 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种： 度量法 叠合法 用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 把两个角的顶点和一边分别重合，另一边放在重合边的同旁，通过另一边的位置关系比较大小． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 知识点05 角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 知识点06 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 知识点07 余角、补角的概念 名称 定义 性质 互余 如果两个角的和等于一个直角，就称这两个角互为余角，简称互余． 同角（或等角）的余角相等同角（或等角）的补角相等 互补 如果两个角的和等于一个平角，就称这两个角互为补角，简称互补． 【注意】（1）余角和补角是成对出现的；（2）互余或互补的角只与数量有关，与位置无关；（3）同一个锐角的补角比它的余角大90°；（4）一个角的余（补）角有多个，这些余（补）角的度数都相等． 余角和补角 核心题型◆归纳 【题型1 角的概念和表示】 【题型2 角的单位与角度制】 【题型3 角的度数大小比较】 【题型4 钟面角】 【题型5 方向角的表示】 【题型6 与方向角有关的计算题】 【题型7 角的比较】 【题型8 角度的四则运算】 【题型9 三角板中角度计算问题】 【题型10 求一个角的余角】 【题型11 求一个角的补角】 【题型12 利用一元一次方程求余角或补角】 【题型13 与余角、补角有关的计算】 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 【题型1 角的概念和表示】 例题：下列说法错误的是（　　） A．由两条具有公共端点的射线组成的图形就是角 B．角是由始边绕着端点旋转形成的图形 C．角是由两条直线相交形成的图形 D．角的两边是射线 【变式训练】 1.如图，还可以表示为（   ） A． B． C． D． 【题型2 角的单位与角度制】 例题：用度、分、秒表示 ′ ″ 【变式训练】 1. ． 【题型3 角的度数大小比较】 例题：已知，请你比较大小： （填“或或”）． 【变式训练】 1．已知，，则 （填“”，“”或“”）． 【题型4 钟面角】 例题：自习课上，一名同学抬头看见挂在黑板上方的时钟显示为，此时时针与分针的夹角是 ． 【变式训练】 1.若此时时钟表上的时间是分，则时针与分针的夹角为 度． 【题型5 方向角的表示】 例题：如图，一艘船在A处遇险，则救生船B在船A的 方向． 1．如图，点O表示学校教学楼的位置，图书馆在教学楼南偏东的方向上，则图中最有可能表示图书馆位置的点是 ． 【题型6 与方向角有关的计算题】 例题：如图，已知轮船在灯塔的北偏东方向，轮船在灯塔的南偏东方向，则的度数为 ． 【变式训练】 1.如图，李华同学从点沿北偏东的方向行走到点，再从点沿南偏西方向行走到点，则的大小为 ． 【题型7 角的比较】 例题：如图，用同样大小的三角板此较和的大小，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．没有量角器，无法确定 【变式训练】 1.如图，下列各式中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型8 角度的四则运算】 例题：计算： (1)（结果用度、分、秒表示）； (2)（结果用度表示）． 【变式训练】 1．计算： (1)； (2)． 【题型9 三角板中角度计算问题】 例题：如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，若，为的角平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.如图，将一副三角板摆成如图形状，如果，那么的度数是 ．    【题型10 求一个角的余角】 例题：一个角是，则这个角的余角的度数是 ． 【变式训练】 1．已知，那么的余角度数为 ． 【题型11 求一个角的补角】 例题：已知，那么的补角等于 ． 【变式训练】 1．若，则的补角的余角为 ． 【题型12 利用一元一次方程求余角或补角】 例题：已知一个角的余角的4倍与这个角的补角的和是，求这个角的度数． 【变式训练】 1．已知一个角的余角的2倍比它的补角少，求这个角的度数． 【题型13 与余角、补角有关的计算】 例题：如图，O为直线上一点，平分，． (1)若，求的度数； (2)试判断和有怎样的数量关系，说说你的理由． 【变式训练】 1．如图，已知和都是直角，它们有公共顶点O． (1)若，求的度数． (2)判断和的大小关系，并说明理由． (3)猜想：和有怎样的数量关系，并说明理由． ABC分层训练 1．用一个放大5 倍的放大镜看一个30度的角，放大后看到角的度数是（   ） A．30度 B．150度 C．60度 D．不能确定 2．下列四个图中，能用，，三种方法表示同一个角的是（   ） A．B． C． D． 3．比较与的大小时，把它们的顶点和边重合，把和放在的同一侧，若，则　　 A．落在的内部 B．落在的外部 C．和重合 D． 4．把一副三角尺按如图所示的方式拼在一起，则（　　） A． B． C． D． 5．已知与互余，若，则（   ） A． B． C． D． 6．若，则的余角是（    ） A． B． C． D． 7．如图，图中共有_________条线段，_________个小于平角的角． 8．已知射线在的内部，则____．（填“”或“”） 9．如图，于点O，则的余角是________，的补角是________． 10．下图是按照上北下南，左西右东的规定，画出的十字线，若点表示小明家，请在图中画出表示下列方向的射线并填空 （1）商场在小明家北偏西； （2）公园在小明家东北方向； （3）学校在小明家南偏东； （4）若以学校为观测点，小明家在学校的_________ ． 11．如图，是的平分线，是的平分线，且，求： (1)的度数； (2)的度数． 12．如图，已知点A、B、C在同一条直线上，、分别是和的平分线． (1)求的度数； (2)直接写出的余角． 13．如图，的边经过的点是（    ）    A． B．B C． D． 14．用叠合的方法比较和两个角的大小，先将的顶点与的顶点O重合，边与边重合，边落在了的内部，则和的关系是（ 　） A． B． C． D．不确定 15．如图，将直角三角板的直角边放在直线上，射线在内部(不与 重合)，则与的关系是（   ） A．相等 B．互为余角 C．互为补角 D．互为邻补角 16．如图，用数字表示为___________，用三个字母表示为_______________    17．观察如图，用“＜”把连接起来． ______＜______＜______．    18．将两块三角板（）的直角顶点O重合如图放置在桌面上，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是__________．（请将正确的结论序号填在横线上） 19．根据图示，完成以下各题    (1)写出图中能用一个字母表示的角； (2)写出图中以为顶点小于平角的角； (3)图中小于平角的角共有几个？请写出来 20．估计图中与的大小关系，并用适当的方法检验． 21．如图，已知，． ‍ (1)与是什么关系？为什么？ (2)若要与相等，则与要满足什么关系？为什么？ 22．已知，在内部，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若平分，请说明：； (3)如图③，分别作，，其中，，试探究，，三者之间的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3 角 学习目标导航 1、概念与表示：理解角的概念，掌握角的多种表示方法，并能根据图形正确表示角。 2、度量与换算：认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单的单位换算，会计算角的和与差。 3、比较与平分：能比较角的大小，理解角的平分线的意义，并能进行相关的简单计算。 4、余角与补角：理解余角和补角的概念，探索并掌握“同角（或等角）的余角相等”、“同角（或等角）的补角相等”的性质。 5、尺规作图：能用尺规完成“作一个角等于已知角”和“作一个角的平分线”，体会类比研究几何图形的方法 洞悉◆教材知识 知识点01 角的概念 1.定义 （1）（静态）从一点出发的两条射线所组成的图形，这一点叫作角的顶点，这两条射线叫作角的边． （2）（动态）角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，旋转开始时的射线叫作角的始边，终止时的射线叫作角的终边． 2.角的度量单位： 角的度量单位是“度、分、秒”．把一个周角360等分，每一等份是1度的角，1度记作1°；把1°的角60等分，每一等份是1分的角，1分记作1'；把1分的角60等分，每一等份是1秒的角，1秒记作1”．即，． 知识点02 角的分类 ①锐角(0°< α < 90°) ②直角(α = 90°) ③钝角(90°< α < 180°) ④平角(α =180°) ⑤周角(α =360°) 知识点03 方向角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 注意：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点． 知识点04 角的比较 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种： 度量法 叠合法 用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 把两个角的顶点和一边分别重合，另一边放在重合边的同旁，通过另一边的位置关系比较大小． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 知识点05 角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 知识点06 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 知识点07 余角、补角的概念 名称 定义 性质 互余 如果两个角的和等于一个直角，就称这两个角互为余角，简称互余． 同角（或等角）的余角相等同角（或等角）的补角相等 互补 如果两个角的和等于一个平角，就称这两个角互为补角，简称互补． 【注意】（1）余角和补角是成对出现的；（2）互余或互补的角只与数量有关，与位置无关；（3）同一个锐角的补角比它的余角大90°；（4）一个角的余（补）角有多个，这些余（补）角的度数都相等． 余角和补角 核心题型◆归纳 【题型1 角的概念和表示】 【题型2 角的单位与角度制】 【题型3 角的度数大小比较】 【题型4 钟面角】 【题型5 方向角的表示】 【题型6 与方向角有关的计算题】 【题型7 角的比较】 【题型8 角度的四则运算】 【题型9 三角板中角度计算问题】 【题型10 求一个角的余角】 【题型11 求一个角的补角】 【题型12 利用一元一次方程求余角或补角】 【题型13 与余角、补角有关的计算】 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 【题型1 角的概念和表示】 例题：下列说法错误的是（　　） A．由两条具有公共端点的射线组成的图形就是角 B．角是由始边绕着端点旋转形成的图形 C．角是由两条直线相交形成的图形 D．角的两边是射线 【答案】C 【知识点】角的概念理解 【分析】本题考查了角的定义，由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角，也可以看作由一条射线绕其端点旋转而成的图形，根据定义逐一判断，即可解题． 【详解】解：A、由两条具有公共端点的射线组成的图形就是角，正确，不符合题意； B、角是由始边绕着端点旋转形成的图形，正确，不符合题意； C、角是由两条直线相交形成的图形，说法错误，两条相交直线可以形成四个角，符合题意； D、角的两边是射线，正确，不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1.如图，还可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角的表示方法 【分析】本题考查了角的表示，理解角的表示方法是解题的关键．根据角的表示方法，即可获得答案． 【详解】解：还可以表示为， 故选：C． 【题型2 角的单位与角度制】 例题：用度、分、秒表示 ′ ″ 【答案】 34 10 48 【知识点】角的单位与角度制 【分析】本题考查了度、分、秒的转化运算．进行度、分、秒的转化运算，注意以为进制．，． 【详解】解： ． 故答案为：34；10；48． 【变式训练】 1. ． 【答案】 【知识点】角的单位与角度制 【分析】角的单位换算计算即可． 本题考查了角的单位换算，熟练掌握换算进制是阶梯的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型3 角的度数大小比较】 例题：已知，请你比较大小： （填“或或”）． 【答案】 【知识点】角的度数大小比较 【分析】本题考查度分秒的换算、角的度数大小比较，熟练掌握度分秒的换算进率是解答的关键．根据度分秒的换算，解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式训练】 1．已知，，则 （填“”，“”或“”）． 【答案】 【知识点】角的单位与角度制、角的度数大小比较 【分析】本题主要考查了度分秒的换算，首先根据把化成，再比较和的大小即可． 【详解】解：， ． 故答案为： ． 【题型4 钟面角】 例题：自习课上，一名同学抬头看见挂在黑板上方的时钟显示为，此时时针与分针的夹角是 ． 【答案】/75度 【知识点】钟面角 【分析】本题考查钟面角，理解钟面角为把圆分成12等分是解题的关键，根据题意当时钟显示为，时针与分针的夹角由两部分组成，分别是之间的两格和之间的半格，求出它们的度数即可得到答案． 【详解】解：如图， ∴时针与分针的夹角为. 【变式训练】 1.若此时时钟表上的时间是分，则时针与分针的夹角为 度． 【答案】90 【知识点】钟面角 【分析】本题主要考查了钟面角的计算，先求出时钟上相邻数字之间的度数，再根据时，时针指向数字3，分钟指向数字12进行求解即可． 【详解】解：， ∴此时时针与分针的夹角为90度， 故答案为：90． 【题型5 方向角的表示】 例题：如图，一艘船在A处遇险，则救生船B在船A的 方向． 【答案】北偏东（答案不唯一） 【知识点】方向角的表示 【分析】本题主要考查方位角，熟练掌握方位角是解题的关键；因此此题可根据图形直接进行求解即可． 【详解】解：由图可知：救生船B在船A的北偏东方向或东偏北方向； 故答案为：北偏东． 1．如图，点O表示学校教学楼的位置，图书馆在教学楼南偏东的方向上，则图中最有可能表示图书馆位置的点是 ． 【答案】D 【知识点】方向角的表示 【分析】本题主要考查了方向角的表示，根据点O表示学校教学楼的位置，图书馆在教学楼南偏东的方向上则可得出图书馆位置的点是D． 【详解】解：∵点O表示学校教学楼的位置，图书馆在教学楼南偏东的方向上， ∴图中最有可能表示图书馆位置的点是D． 故答案为：D 【题型6 与方向角有关的计算题】 例题：如图，已知轮船在灯塔的北偏东方向，轮船在灯塔的南偏东方向，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】本题考查了方向角，根据题意即可求解，掌握方向角的定义是解题的关键 【详解】解：如图所示标注字母， 由题意知：， ， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1.如图，李华同学从点沿北偏东的方向行走到点，再从点沿南偏西方向行走到点，则的大小为 ． 【答案】 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】本题考查了方位角．画图正确表示出方位角，利用角的和与差计算即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，， ． 故答案是：40． 【题型7 角的比较】 例题：如图，用同样大小的三角板此较和的大小，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．没有量角器，无法确定 【答案】A 【知识点】角的比较 【分析】本题考查了角的大小比较，根据图中的三角尺为等腰直角三角形得，，利用中间角比较角的大小是解题的关键． 【详解】解：∵图中的三角尺为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 故选：A． 【变式训练】 1.如图，下列各式中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何图形中角度计算问题、角的比较 【分析】此题考查了角的比较大小与和差，根据图形进行判断即可． 【详解】解：∵在的内部， ∴，选项A正确，不符合题意； ∵， ∴选项B正确，不符合题意； 根据题意，无法比较和的大小，选项C不一定正确，符合题意； ∵， ∴选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【题型8 角度的四则运算】 例题：计算： (1)（结果用度、分、秒表示）； (2)（结果用度表示）． 【答案】(1) (2) 【知识点】角的单位与角度制、角度的四则运算 【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满，则转化为度； （2）先将分都转化为度，再进行减法计算，两个度数相减时，应先算最后一位，后面的位上的数不够减是向前一位借数． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题考查了度分秒的换算和计算，熟知进率、正确计算是解题关键.. （1）先进行度、分、秒的除法计算，再算加法． （2）先进行度、分、秒的乘法计算，再算减法． 【详解】（1）解： （2） 【题型9 三角板中角度计算问题】 例题：如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，若，为的角平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的有关计算、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了三角板中的角度计算和角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．设，则，得到，则，解得，则，即可求出的度数． 【详解】解：设，则， 由题意可知，， ， ∴ 解得，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴ 故选：D． 【变式训练】 1.如图，将一副三角板摆成如图形状，如果，那么的度数是 ．    【答案】/度 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题考查三角板中角度的计算．正确的识图，理清角的和差关系是解题的关键． 利用即可求解． 【详解】解：由图可知：， ， ， ． 故答案为：． 【题型10 求一个角的余角】 例题：一个角是，则这个角的余角的度数是 ． 【答案】/度 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题考查了余角的计算，熟练掌握定义是解题的关键．根据两个角的和为称作互为余角解答即可． 【详解】解：根据题意，得的余角为， 故答案为：． 【变式训练】 1．已知，那么的余角度数为 ． 【答案】 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题考查了余角，度分秒的换算，解决本题的关键是掌握度、分、秒的换算．根据余角的定义可知的余角为，计算时应首先从中取出化为，然后让分和分相减、度和度相减即可． 【详解】解：的余角为：． 故答案为： ． 【题型11 求一个角的补角】 例题：已知，那么的补角等于 ． 【答案】/ 【知识点】求一个角的补角 【分析】本题考查了补角的定义，根据补角的定义即可直接求解，熟练掌握补角的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴的补角等于， 故答案为：． 【变式训练】 1．若，则的补角的余角为 ． 【答案】 【知识点】求一个角的余角、求一个角的补角 【分析】本题考查求补角和余角，由互补定义“互补的两个角和为”即可求出的补角，再由互余定义“互余的两个角和为”即可求出的补角的余角．熟记互余、互补定义是解决问题的关键． 【详解】解：， 的补角为， 则的补角的余角为， 故答案为：． 【题型12 利用一元一次方程求余角或补角】 例题：已知一个角的余角的4倍与这个角的补角的和是，求这个角的度数． 【答案】 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角，补角，一元一次方程的应用，熟练掌握定义，找出等量关系列出方程是解题的关键．设这个角的度数为，根据这个角的余角的4倍与这个角的补角的和是，列方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数的度数为， 根据题意，得， 解得． 这个角的度数为． 【变式训练】 1．已知一个角的余角的2倍比它的补角少，求这个角的度数． 【答案】这个角的度数为 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查与余补角有关的计算，设这个角的度数为，根据余补角的定义，结合题意，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为，由题意，得： ， 解得：； 故这个角的度数为． 【题型13 与余角、补角有关的计算】 例题：如图，O为直线上一点，平分，． (1)若，求的度数； (2)试判断和有怎样的数量关系，说说你的理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查了几何图中的角度计算，角平分线的有关计算，补角的计算等知识． （1）根据角平分线的定义得出，再根据补角的定义求解即可． （2）根据角平分线的定义得出，再根据，可得出，，进而可得出． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴． 【变式训练】 1．如图，已知和都是直角，它们有公共顶点O． (1)若，求的度数． (2)判断和的大小关系，并说明理由． (3)猜想：和有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)相等，理由见解析 (3)，理由见解析 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】（1）根据和都是直角，，可得，进而可求的度数； （2）由，，可得； （3）由，可得． 本题考查了角的大小比较，解决本题的关键是掌握余角和补角定义． 【详解】（1）解：∵和都是直角，， ∴ ∴ 答：的度数为． （2）和的大小关系是相等，理由如下： ∵和都是直角 ∴， ∴． （3）．理由如下： ∵， ∴ ABC分层训练 1．用一个放大5 倍的放大镜看一个30度的角，放大后看到角的度数是（   ） A．30度 B．150度 C．60度 D．不能确定 【答案】A 【知识点】角的概念理解 【分析】本题主要考查了角的概念，角的大小由两边张开的程度决定，与边的长度无关．放大镜仅放大物体的长度，不会改变角的两边张开的程度． 【详解】解：用放大镜观察角时，虽然边的长度被放大，但角的两边张开的程度（即角度）保持不变．因此，原角为30度，放大后仍为30度． 故选：A． 2．下列四个图中，能用，，三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角的表示方法 【分析】本题考查了角的表示方法，根据角的表示方法并结合图形，逐项分析即可得解，熟练掌握角的表示方法是解此题的关键． 【详解】解：A、和表示同一个角，表示不同的角，故不符合题意； B、，，三种方法表示的都是同一个角，故符合题意； C、和表示同一个角，表示不同的角，故不符合题意； D、和表示不同的角，故不符合题意； 故选：B． 3．比较与的大小时，把它们的顶点和边重合，把和放在的同一侧，若，则　　 A．落在的内部 B．落在的外部 C．和重合 D． 【答案】A 【知识点】角的比较 【分析】此题考查利用重合的方法比较两个角的大小，注意两个重合：顶点和一边；一个同侧：两个角的另一条边再重合边的同侧．如果两个角的顶点重合，且有一边重合，两角的另一边均落在重合边的同旁：如果这两边也重合，说明两角相等；如果两边不重合，另一条边在里面的小，在外面的大；由此方法解答即可． 【详解】解：比较与时，把它们的顶点和边重合，把和放在的同一侧，若，如图： 则落在的内部． 故选：A． 4．把一副三角尺按如图所示的方式拼在一起，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题考查三角板中的角度计算．根据角的和计算即可． 【详解】解：由题意可得 故选：A． 5．已知与互余，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查余角，根据互余的定义，若两个角的和为，则这两个角互余，由此可解． 【详解】解：∵与互余，且， ． 故选A． 6．若，则的余角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题考查了求一个角的余角，解题关键是掌握求一个角的方法． 根据互余的意义，列式计算． 【详解】解：∵， ∴∠A的余角是， 故选：C． 7．如图，图中共有_________条线段，_________个小于平角的角． 【答案】 6 7 【知识点】直线、线段、射线的数量问题、角的概念理解 【分析】根据线段的定义，角的定义，可得答案． 【详解】图中的线段有线段AB，线段AC，线段BC，线段DC，线段AD，线段BD， 角有∠B，∠A，∠ACB，∠BDC，∠ADC，∠BCD，∠ACD． 故答案为：6，7． 【点睛】本题考查了线段和角的概念，利用线段和角的定义是解题的关键． 8．已知射线在的内部，则____．（填“”或“”） 【答案】 【知识点】角的比较 【分析】根据角的大小比较直接可以得出答案． 【详解】解：射线在的内部， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角的比较，比较简单． 9．如图，于点O，则的余角是________，的补角是________． 【答案】 / / 【知识点】求一个角的余角、求一个角的补角 【分析】本题考查的补角和余角的含义，直接利用补角和余角的含义作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的余角是， ∵， ∴的补角是， 故答案为：；． 10．下图是按照上北下南，左西右东的规定，画出的十字线，若点表示小明家，请在图中画出表示下列方向的射线并填空 （1）商场在小明家北偏西； （2）公园在小明家东北方向； （3）学校在小明家南偏东； （4）若以学校为观测点，小明家在学校的 ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）北偏西 【知识点】方向角的表示 【分析】（1）（2）（3）根据方向角的定义画出射线即可； （4）根据学校在小明家南偏东，即可得以学校为观测点，小明家在学校的北偏西． 【详解】解：（1）商场在小明家北偏西； （2）公园在小明家东北方向； （3）学校在小明家南偏东； 如图： （4）∵学校在小明家南偏东， ∴以学校为观测点，画出十字线，小明家在学校的北偏西． 故答案为：北偏西． 【点睛】本题考查方向角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 11．如图，是的平分线，是的平分线，且，求： (1)的度数； (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，几何图形中的角度运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为是的平分线，所以，，又结合是的平分线，进行列式计算，得出的度数； （2）由（1）得，，再把数值代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵是的平分线，且， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∴的度数为； （2）解：由（1）得， ∴， ∴的度数为． 12．如图，已知点A、B、C在同一条直线上，、分别是和的平分线． (1)求的度数； (2)直接写出的余角． 【答案】(1) (2)的余角有、 【知识点】角平分线的有关计算、求一个角的余角、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再根据，即可求解； （2）根据余角的定义，即可进行解答． 【详解】（1）解：∵、分别是和的平分线， ∴， ∴． （2）∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴的余角有：、． 【点睛】本题主要考查了与角平分线有关的运算，余角的定义，解题的关键是掌握角平分线的定义以及余角的定义． 13．如图，的边经过的点是（    ）    A． B．B C． D． 【答案】B 【知识点】角的概念理解 【分析】本题主要考查了角的有关概念，一个角是由有公共顶点的两条射线组成的，因此边经过的点一定在射线上，据此作图求解即可． 【详解】解：如图所示，的边经过的点是B，    故选：B． 14．用叠合的方法比较和两个角的大小，先将的顶点与的顶点O重合，边与边重合，边落在了的内部，则和的关系是（ 　） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【知识点】角的比较 【分析】本题考查了角的比较，熟练掌握叠合法比较角的大小是解题的关键，根据角的大小比较即可得到结论． 【详解】解：如图， ∴， 故选：A. 15．如图，将直角三角板的直角边放在直线上，射线在内部(不与 重合)，则与的关系是（   ） A．相等 B．互为余角 C．互为补角 D．互为邻补角 【答案】B 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了互余的概念，掌握互余的概念是关键，根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：将直角三角板的直角边放在直线上， ∴， ∴， ∴与的关系是互为余角， 故选：B ． 16．如图，用数字表示为___________，用三个字母表示为_______________    【答案】 【知识点】角的表示方法 【分析】根据角的表示方法可得答案． 【详解】解：用数字表示为，用三个字母表示为， 故答案为：， 【点睛】本题考查的是角的表示方法，掌握角的表示方法是解本题的关键． 17．观察如图，用“＜”把连接起来． ______＜______＜______．    【答案】 【知识点】角的比较 【分析】根据角的大小比较即可得出答案．此题主要考查了角的概念，理解角的大小比较是解答此题的关键． 【详解】解：根据角的大小比较得：． 故答案为：，，． 18．将两块三角板（）的直角顶点O重合如图放置在桌面上，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是__________．（请将正确的结论序号填在横线上） 【答案】①④/④① 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了与余角、补角有关的角度计算，正确运用角的和差计算是解题的关键． 根据角的和差关系，逐个分析判断即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵不一定是的角平分线， ∴不一定等于，故②错误； ∵与不一定相等， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等，故③错误； ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①④． 故答案为：①④． 19．根据图示，完成以下各题    (1)写出图中能用一个字母表示的角； (2)写出图中以为顶点小于平角的角； (3)图中小于平角的角共有几个？请写出来 【答案】(1)， (2)5个：，，，， (3)10个：，，，，，，，，， 【知识点】角的概念理解、角的表示方法 【分析】（1）根据角的表示方法解答； （2）根据角的定义解答； （3）根据角的定义解答． 【详解】（1）能用一个字母表示的角有2个：， （2）以为顶点小于平角的角有5个：，，，，； （3）图中小于平角的所有的角有10个：，，，，，，，，，． 【点睛】此题考查了角的定义及角的表示方法，正确掌握角的定义及表示方法是解题的关键． 20．估计图中与的大小关系，并用适当的方法检验． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】角的比较 【分析】（1）分别以两个角的顶点为圆心，以相同的任意长为半径画弧，分别与自身角的两端交于A、B，C、D，然后用圆规量出AB与CD的长，当AB=CD时，∠1=∠2，当AB＜CD时，∠1＜∠2，当AB>CD时，∠1＞∠2，由此即可求解； （2）同（1）原理求解即可． 【详解】解：（1）如图所示：分别以两个角的顶点为圆心，以相同的任意长为半径画弧，分别与自身角的两端交于A、B，C、D，然后用圆规量出AB与CD的长，当AB=CD时，∠1=∠2，当AB＜CD时，∠1＜∠2，当AB>CD时，∠1＞∠2， 如图所示，OE=AB，OF=CD ∴在图形中可以发现OF＞OE即CD＞AB，即∠1＜∠2； （2）同理可得下图中MN=GH，即下图中∠1=∠2． 【点睛】本题主要考查了角的比较大小，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 21．如图，已知，． ‍ (1)与是什么关系？为什么？ (2)若要与相等，则与要满足什么关系？为什么？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角和补角的概念．若两个角的和为，则这两个角互余；若两个角的和等于，则这两个角互补．熟练掌握余角和补角的概念是解题的关键． （1）根据同角的余角相等解答即可； （2）根据同角的余角相等解答即可． 【详解】（1）解：，， ． （2）解：，， ． 22．已知，在内部，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若平分，请说明：； (3)如图③，分别作，，其中，，试探究，，三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了角平分线的定义，余角的定义，几何图形中角度的计算等知识点，掌握消元的思想将无关的角消除，得到所求角的数量关系是关键． （1）根据即可得出答案； （2）设，根据平分可得，，然后表示出，再进行求解即可； （3）设，则，根据题意得，，结合，即可得出，，三者之间的数量关系． 【详解】（1）解：在内部，， ， ， ； （2）解：设， ， 平分， ， ， ， ； （3）解：，，三者之间的数量关系是：，理由如下： 设，则， ， ， 又， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $