2027年中考数学一轮复习之概率

**基本信息** 以情境化问题为载体，系统覆盖概率核心概念与计算方法，强化知识逻辑与实际应用的结合。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|4题（如成语描述事件类型）|事件分类（必然/不可能/随机）|从事件定义到概率本质的认知递进| |基础计算|7题（如摸球、抽卡片）|概率公式、列表/树状图法|古典概型中“等可能结果”的量化计算| |综合应用|4题（如统计图表与概率结合）|频率估计概率、跨学科建模|统计与概率的融合，体现数据观念与应用意识|

2027年中考数学一轮复习：概率 一．选择题（共10小题） 1．（2026•浙江）科学实验课上，老师准备了除酸碱性外其他都相同的3瓶溶液，弱酸性溶液、弱碱性溶液和中性溶液各1瓶．若从中随机选取1瓶溶液让学生检测，则选到弱酸性溶液的概率是（　　） A． B． C． D． 2．（2026•淮北模拟）为弘扬中华优秀传统文化，某校举办了“非遗进校园”活动，展示了三种非物质文化遗产：京剧脸谱、剪纸、皮影戏．现将正面分别印有这三种非物质文化遗产图案的三张卡片（除正面图案不同外其他完全相同）背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，则两次抽取的卡片正面图案相同的概率为（　　） A． B． C． D． 3．（2026•安阳县一模）汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（　　） A．旭日东升 B．画饼充饥 C．守株待兔 D．竹篮打水 4．（2026•武昌区一模）已知一个布袋里装有3个红球，4个白球和n个绿球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出一个球是白球的概率为，则n的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2026•余姚市校级三模）下列说法正确的是（　　） A．射击运动员射击一次，命中十环是必然事件 B．两个负数相乘，积是正数是不可能事件 C．了解某品牌手机电池待机时间用全面调查 D．了解宁波市中学生目前的睡眠情况用抽样调查 6．（2026•界首市二模）现代电子技术飞速发展，许多家庭都用起了密码锁，只要正确输入密码即可打开门．小明家的密码锁密码由六个数字组成，每个数字都是从0～9中任选的，小明记得前五个数字，第六个数字只记得是偶数，他一次随机试验就能打开门的概率为（　　） A． B． C． D． 7．（2026•湖北模拟）成语以简洁凝练的形式，承载着深厚的历史文化内涵，是汉语的精华和中华文化的瑰宝．下列成语描述的事件是随机事件的是（　　） A．水中捞月 B．瓮中捉鳖 C．不期而遇 D．叶落归根 8．（2026•孝感模拟）以下事件为随机事件的是（　　） A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 B．通常加热到100℃时，水沸腾 C．任意画一个三角形，其内角和是360° D．明天太阳从东方升起 9．（2026•琼海一模）在英文单词“banana”中任选一个字母，字母“a”被选中的概率是（　　） A． B． C． D． 10．（2026•科尔沁区校级三模）在生物学中，根据生物细胞结构的不同可分为真核生物和原核生物．下列卡片除正面图案不同外其他均相同，其中酵母菌、黏菌属于真核生物，螺旋藻、支原体则属于原核生物．现将这四张卡片背面朝上洗匀放好，琦琦从中随机抽取一张卡片，则所抽取的卡片上的生物属于真核生物的概率是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 11．（2026•辽宁）3支试管中装有无色无味溶液，分别为稀H2SO4、NaOH溶液、Ca（OH）2溶液，将紫色石蕊溶液（紫色石蕊溶液遇酸性溶液变红，遇碱性溶液变蓝）随机滴加到1支试管中，溶液颜色变红的概率是　 　 ． 12．（2026•贵州模拟）在2026年3月公开的资料中，教育部部长怀进鹏对学生健康的要求集中体现为“健康第一”的教育理念．通过课间调查李老师发现，篮球、乒乓球、羽毛球、跳绳这四项体育活动深受学生们的喜爱，于是他决定将班里的同学随机分成：A．篮球、B．乒乓球、C．羽毛球、D．跳绳四组，以确保学生全员、有序地参加课间体育活动，小红和小星被分到同一组的概率是　 　 ． 13．（2026•鹤壁一模）有五张背面完全相同且不透明的卡片，正面分别标有数字，，0，2，π，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取两张，两张卡片上的数字之和为正数的概率为　 　 ． 14．（2026•金华模拟）一个袋中装有6个红球、4个黑球，每个球除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是　 　 ． 15．（2026•涪城区校级三模）在一次物理和数学融合的科技实践活动中，某机械零件模型要求承受的压力F为100N，同时承受的压强P要大于500Pa．现同学们制作出四个机械零件模型的表面受力面积S（m2）分别为：0.05，0.1，0.2，0.4．要从这四个零件模型中随机同时选取两个零件模型进行展示，则选取的两个零件模型中恰有两个合格的概率是　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．（2026•绵阳校级模拟）某校开展阳光体育活动，开设了跳绳、篮球、排球、足球共四门选修课，要求每位同学只能选择其中的一门参加．全校共有100名男生选择了跳绳，为了解选择跳绳的男生的情况，从这100名男生中随机抽取了部分男生在操场进行测试，将他们按1分钟跳绳的成绩分为A、B、C、D四个组，并绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答以下问题： （1）抽取的男生一共有　 　 人，请补全条形统计图． （2）学校准备随机推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的两名参加全区的跳绳比赛，请用画树状图或列表的方法计算甲和乙两名同学同时被选中的概率． 17．（2026•延边州模拟）2025年3月14日（国际圆周率日）发行了名称为《数学之美》的邮票．如图，A：“圆周率”、B：“勾股定理”、C：“欧拉公式”、D：“莫比乌斯环带”（邮票背面完全相同）．将这四张邮票背面朝上，洗匀后放在桌面上．从中随机抽取两张，请用画树状图或列表的方法求抽到的两张邮票恰好是A和B的概率． 18．（2026•望城区校级模拟）在一个不透明的口袋里，装有若干个除颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 78 123 b 402 644 801 摸到白球的频率 a 0.82 0.79 0.804 0.805 0.801 （1）上表中的a＝　 　 ，b＝　 　 ． （2）“摸到白球”的概率的估计值是 　 　 （精确到0.1）． （3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，大约还有多少个其他颜色的小球？ 19．（2026•丰南区二模）嘉琪所在学校以“探航天奥秘，做追梦少年”为主题，组织学生开展了航天知识竞赛活动．为了解学生对航天知识的掌握情况，学校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩从高到低分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： （1）本次共抽取了　 　 名学生的竞赛成绩，请补全条形统计图； （2）若该校共有1500名学生参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩不低于B等级的学生人数； （3）学校在成绩为A等级里的2名男生、2名女生中，随机抽取2人担任校园航天文化节的主持人，用画树状图或列表法求出选中1名男生1名女生的概率． 20．（2026•秦都区校级模拟）中国在数学领域有着悠久的历史和丰富的成就，其中广为流传的数学著作有《九章算术》《周髀算经》等，而代表古希腊数学最高成就的著作当属《几何原本》，学校图书馆现有《九章算术》现代印刷版2本，《周髀算经》《几何原本》现代印刷版各1本，爱好数学的曹妍和李颖一起来到图书馆，曹妍从这4本数学著作中随机选取1本进行阅读，李颖再从剩余3本数学著作中随机选取1本进行阅读． （1）曹妍恰好选取到《九章算术》的概率为　 　 ； （2）将2本《九章算术》，1本《周髀算经》和1本《几何原本》分别用A1，A2，B，C表示，请列表或画树状图的方法，求曹妍和李颖都选取到中国数学著作的概率． 参考答案 一．选择题（共10小题） 1．（2026•浙江）科学实验课上，老师准备了除酸碱性外其他都相同的3瓶溶液，弱酸性溶液、弱碱性溶液和中性溶液各1瓶．若从中随机选取1瓶溶液让学生检测，则选到弱酸性溶液的概率是（　　） A． B． C． D． 【考点】概率公式． 【专题】概率及其应用；推理能力． 【答案】A 【分析】根据概率等于所求情况数与总情况数之比解答即可． 【解答】解：∵老师准备了除酸碱性外其他都相同的3瓶溶液，弱酸性溶液、弱碱性溶液和中性溶液各1瓶， ∴从3瓶溶液中随机选取1瓶，共有3种等可能的结果，其中选到弱酸性溶液的结果有1种， ∴选到弱酸性溶液的概率为． 故选：A． 【点评】本题考查的是概率公式，熟记概率公式是解题的关键． 2．（2026•淮北模拟）为弘扬中华优秀传统文化，某校举办了“非遗进校园”活动，展示了三种非物质文化遗产：京剧脸谱、剪纸、皮影戏．现将正面分别印有这三种非物质文化遗产图案的三张卡片（除正面图案不同外其他完全相同）背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，则两次抽取的卡片正面图案相同的概率为（　　） A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【专题】概率及其应用；数据观念． 【答案】B 【分析】画树状图法或列表法，可得所有的结果，利用概率计算公式，进行计算即可． 【解答】解：A：京剧脸谱，B：剪纸，C：皮影戏，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，列表如下： A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 共有9种等可能结果，两次抽取的卡片正面图案相同的结果有3种， ∴两次抽取的卡片正面图案相同的概率为， 故选：B． 【点评】本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握概率的求法是解答本题的关键． 3．（2026•安阳县一模）汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（　　） A．旭日东升 B．画饼充饥 C．守株待兔 D．竹篮打水 【考点】随机事件． 【专题】概率及其应用；数据观念． 【答案】C 【分析】根据事件发生的可能性大小判断 【解答】解：A、旭日东升，是必然事件，不符合题意； B、画饼充饥，是不可能事件，不符合题意； C、守株待兔，是随机事件，符合题意； D、竹篮打水，是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4．（2026•武昌区一模）已知一个布袋里装有3个红球，4个白球和n个绿球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出一个球是白球的概率为，则n的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】概率公式． 【专题】概率及其应用；数据观念． 【答案】D 【分析】根据从该布袋里任意摸出一个球是白球的概率为，列出方程，解方程即可． 【解答】解：由题意得：， 解得：n＝5， 经检验，n＝5是原方程的解，且符合题意， 即n的值是5， 故选：D． 【点评】本题考查了概率公式，熟记概率公式是解题的关键． 5．（2026•余姚市校级三模）下列说法正确的是（　　） A．射击运动员射击一次，命中十环是必然事件 B．两个负数相乘，积是正数是不可能事件 C．了解某品牌手机电池待机时间用全面调查 D．了解宁波市中学生目前的睡眠情况用抽样调查 【考点】随机事件；有理数的乘法． 【专题】数据的收集与整理；应用意识． 【答案】D 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念、全面调查与抽样调查判断即可． 【解答】解：A、射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，故本选项不符合题意； B、两个负数相乘，积是正数是必然事件，故本选项不符合题意； C、了解某品牌手机电池待机时间用抽样调查，故本选项不符合题意； D、了解宁波市中学生目前的睡眠情况用抽样调查，故本选项符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了随机事件，解题的关键是根据定义进行判断． 6．（2026•界首市二模）现代电子技术飞速发展，许多家庭都用起了密码锁，只要正确输入密码即可打开门．小明家的密码锁密码由六个数字组成，每个数字都是从0～9中任选的，小明记得前五个数字，第六个数字只记得是偶数，他一次随机试验就能打开门的概率为（　　） A． B． C． D． 【考点】概率公式． 【专题】概率及其应用；运算能力． 【答案】B 【分析】根据概率的定义分析出相关数据，代入即可． 【解答】解：记小明能打开门为事件A． 每个数字为0～9中任意一个，小明记得前五个数字，第六个数字必须为偶数，为0，2，4，6，8共5种， 而正确的只有其中一个，所以． 故选：B． 【点评】本题考查概率公式，正确记忆概率公式是解题关键． 7．（2026•湖北模拟）成语以简洁凝练的形式，承载着深厚的历史文化内涵，是汉语的精华和中华文化的瑰宝．下列成语描述的事件是随机事件的是（　　） A．水中捞月 B．瓮中捉鳖 C．不期而遇 D．叶落归根 【考点】随机事件． 【专题】统计的应用；数据观念． 【答案】C 【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的概念逐一判断选项即可得到结果． 【解答】解：A、水中捞月一定不会发生，是不可能事件，不符合题意； B、瓮中捉鳖一定会发生，是必然事件，不符合题意； C、不期而遇可能发生，也可能不发生，是随机事件，符合题意； D、叶落归根一定会发生，是必然事件，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了随机事件，掌握随机事件、必然事件、不可能事件的概念是关键． 8．（2026•孝感模拟）以下事件为随机事件的是（　　） A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 B．通常加热到100℃时，水沸腾 C．任意画一个三角形，其内角和是360° D．明天太阳从东方升起 【考点】随机事件；三角形内角和定理． 【专题】统计的应用；数据观念． 【答案】A 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、属于随机事件，故A符合题意； B、属于必然事件，故B不符合题意； C、属于不可能事件，故C不符合题意； D、属于必然事件，故D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了随机事件，三角形内角和定理，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． 9．（2026•琼海一模）在英文单词“banana”中任选一个字母，字母“a”被选中的概率是（　　） A． B． C． D． 【考点】概率公式． 【专题】概率及其应用；数据观念． 【答案】D 【分析】需数出单词总字母数和字母a的个数，代入公式计算即可． 【解答】解：根据概率公式可知： 单词banana中共有6个字母，其中字母a共有3个， ∴任选一个字母，选中a的概率为． 故选：D． 【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握该知识点是关键． 10．（2026•科尔沁区校级三模）在生物学中，根据生物细胞结构的不同可分为真核生物和原核生物．下列卡片除正面图案不同外其他均相同，其中酵母菌、黏菌属于真核生物，螺旋藻、支原体则属于原核生物．现将这四张卡片背面朝上洗匀放好，琦琦从中随机抽取一张卡片，则所抽取的卡片上的生物属于真核生物的概率是（　　） A． B． C． D． 【考点】概率公式． 【专题】概率及其应用；运算能力． 【答案】B 【分析】直接利用概率公式计算即可． 【解答】解：∵共有四张卡片，属于真核生物的有两张， ∴所抽取的卡片上的生物属于真核生物的概率是． 故选：B． 【点评】此题考查了概率公式，理解题意和掌握概率公式是解决本题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．（2026•辽宁）3支试管中装有无色无味溶液，分别为稀H2SO4、NaOH溶液、Ca（OH）2溶液，将紫色石蕊溶液（紫色石蕊溶液遇酸性溶液变红，遇碱性溶液变蓝）随机滴加到1支试管中，溶液颜色变红的概率是　　 ． 【考点】概率公式． 【专题】概率及其应用；数据观念． 【答案】． 【分析】直接由概率公式求解即可． 【解答】解：∵3支试管中装有无色无味溶液，分别为稀H2SO4、NaOH溶液、Ca（OH）2溶液， ∴将紫色石蕊溶液（紫色石蕊溶液遇酸性溶液变红，遇碱性溶液变蓝）随机滴加到1支试管中，溶液颜色变红的概率为， 故答案为：． 【点评】本题考查了概率公式，数据概率公式是解题的关键． 12．（2026•贵州模拟）在2026年3月公开的资料中，教育部部长怀进鹏对学生健康的要求集中体现为“健康第一”的教育理念．通过课间调查李老师发现，篮球、乒乓球、羽毛球、跳绳这四项体育活动深受学生们的喜爱，于是他决定将班里的同学随机分成：A．篮球、B．乒乓球、C．羽毛球、D．跳绳四组，以确保学生全员、有序地参加课间体育活动，小红和小星被分到同一组的概率是　　 ． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【专题】概率及其应用；几何直观；推理能力． 【答案】． 【分析】通过画树状图列举所有等可能结果，再计算两人同组的概率． 【解答】解：将班里的同学随机分成：A．篮球、B．乒乓球、C．羽毛球、D．跳绳四组，小红和小星分组情况，作树状图如下： ∴所有等可能的结果共有16种，其中小红和小星被分到同一组的结果有4种， ∴小红和小星被分到同一组的概率为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握概率的求法是解答本题的关键． 13．（2026•鹤壁一模）有五张背面完全相同且不透明的卡片，正面分别标有数字，，0，2，π，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取两张，两张卡片上的数字之和为正数的概率为　　 ． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【专题】概率及其应用；数据观念． 【答案】． 【分析】先列出所有等可能的抽取结果，再找出数字之和为正数的结果，根据概率公式计算即可． 【解答】解：将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取两张，两张卡片上的数字之和，列表如下： 0 2 π / / 0 / 0+2＞0 0+π＞0 2 2+0＞0 / 2+π＞0 π π+0＞0 π+2＞0 / 由表可知，共有20种等可能的结果，其中两张卡片上的数字之和为正数的结果有12种， ∴两张卡片上的数字之和为正数的概率为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握概率的求法是解答本题的关键． 14．（2026•金华模拟）一个袋中装有6个红球、4个黑球，每个球除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是　　 ． 【考点】概率公式． 【专题】概率及其应用；运算能力． 【答案】． 【分析】直接利用概率公式求解即可． 【解答】解：从袋中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是． 故答案为：． 【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 15．（2026•涪城区校级三模）在一次物理和数学融合的科技实践活动中，某机械零件模型要求承受的压力F为100N，同时承受的压强P要大于500Pa．现同学们制作出四个机械零件模型的表面受力面积S（m2）分别为：0.05，0.1，0.2，0.4．要从这四个零件模型中随机同时选取两个零件模型进行展示，则选取的两个零件模型中恰有两个合格的概率是　　 ． 【考点】列表法与树状图法． 【专题】概率及其应用；数据观念． 【答案】． 【分析】先根据压强公式结合题意求出合格零件受力面积的范围，确定合格零件的数量，再列举出从四个零件中随机选取两个的所有等可能结果，数出两个都合格的结果数，利用概率公式计算即可． 【解答】解：根据P可知，当p＝500Pa时，S＝0.2m2， 当p＞500Pa时，S＜0.2m2， 已知四个零件的受力面积分别为0.05，0.1，0.2，0.4，因此合格零件是0.05，0.1，共2个，不合格零件是0.2，0.4共2个． 随机同时选取两个，所有可能的结果列表如下： 0.05 0.1 0.2 0.4 0.05 两个都合格 一个合格 一个合格 0.1 两个都合格 一个合格 一个合格 0.2 一个合格 一个合格 两个都不合格 0.4 一个合格 一个合格 两个都不合格 共12种等可能的结果，其中两个零件都合格的结果共有2种， 所以选取的两个零件模型中恰有两个合格的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，列出所有等可能的结果． 三．解答题（共5小题） 16．（2026•绵阳校级模拟）某校开展阳光体育活动，开设了跳绳、篮球、排球、足球共四门选修课，要求每位同学只能选择其中的一门参加．全校共有100名男生选择了跳绳，为了解选择跳绳的男生的情况，从这100名男生中随机抽取了部分男生在操场进行测试，将他们按1分钟跳绳的成绩分为A、B、C、D四个组，并绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答以下问题： （1）抽取的男生一共有　30　 人，请补全条形统计图． （2）学校准备随机推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的两名参加全区的跳绳比赛，请用画树状图或列表的方法计算甲和乙两名同学同时被选中的概率． 【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图；概率公式． 【专题】统计的应用；概率及其应用；数据观念． 【答案】（1）补全条形统计图，如图即为所求； 30； （2）． 【分析】（1）根据A组的人数和百分比可求出抽取的男生一共有多少人，再求出B组、D组人数补全条形统计图； （2）根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好同时选中甲、乙两位同学的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：（1）抽取的男生一共有：3÷10%＝30（人）， B组人数为：30×30%＝9（人）， D组人数为：30﹣3﹣9﹣15＝3（人）， 补全条形统计图，如图即为所求； 故答案为：30； （2）随机推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的两名参加全区的跳绳比赛，作树状图如下： ∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种， ∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为：． 【点评】本题主要考查了列表法与树状图法，扇形统计图，条形统计图，概率公式，熟练掌握概率的求法是解答本题的关键． 17．（2026•延边州模拟）2025年3月14日（国际圆周率日）发行了名称为《数学之美》的邮票．如图，A：“圆周率”、B：“勾股定理”、C：“欧拉公式”、D：“莫比乌斯环带”（邮票背面完全相同）．将这四张邮票背面朝上，洗匀后放在桌面上．从中随机抽取两张，请用画树状图或列表的方法求抽到的两张邮票恰好是A和B的概率． 【考点】列表法与树状图法． 【专题】数据的收集与整理；统计的应用；推理能力． 【答案】． 【分析】画出树状图根据列出的情况即可分析解答． 【解答】解：画树状图如下： 其中两张邮票恰好是A和B有2种结果，共有12种等可能结果， ∴抽到的两张邮票恰好是A和B的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与树状图法，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 18．（2026•望城区校级模拟）在一个不透明的口袋里，装有若干个除颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 78 123 b 402 644 801 摸到白球的频率 a 0.82 0.79 0.804 0.805 0.801 （1）上表中的a＝　0.78　 ，b＝　158　 ． （2）“摸到白球”的概率的估计值是 　0.8　 （精确到0.1）． （3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，大约还有多少个其他颜色的小球？ 【考点】利用频率估计概率． 【专题】概率及其应用；推理能力． 【答案】（1）0.78；158； （2）0.8； （3）除白球外，还有大约3个其它颜色的小球． 【分析】（1）根据表中的数据，计算得出摸到白球的频率； （2）由表中数据即可得； （3）根据摸到白球的频率即可求出摸到白球概率．根据口袋中白球的数量和概率即可求出口袋中球的总数，用总数减去白颜色的球数量即可解答． 【解答】解：（1），b＝200×0.79＝158； 故答案为：0.78；158； （2）由表可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.8， ∴摸到白球的概率估计值是0.8； 故答案为：0.8； （3）12÷0.8﹣12＝3（个）； 答：除白球外，还有大约3个其它颜色的小球． 【点评】本题考查了利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键． 19．（2026•丰南区二模）嘉琪所在学校以“探航天奥秘，做追梦少年”为主题，组织学生开展了航天知识竞赛活动．为了解学生对航天知识的掌握情况，学校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩从高到低分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： （1）本次共抽取了　400　 名学生的竞赛成绩，请补全条形统计图； （2）若该校共有1500名学生参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩不低于B等级的学生人数； （3）学校在成绩为A等级里的2名男生、2名女生中，随机抽取2人担任校园航天文化节的主持人，用画树状图或列表法求出选中1名男生1名女生的概率． 【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图． 【专题】数据的收集与整理；统计的应用；概率及其应用；运算能力；推理能力． 【答案】（1）400，补全条形统计图如图： （2）估计竞赛成绩不低于B等级的学生人数约为1050名； （3）． 【分析】（1）由C等级的人数除以其所占的百分比可得抽取人数，再由总人数减去已知等级人数求得D等级人数，进而补全条形统计图即可； （2）用样本估计总体即可解答； （3）画树状图得到所有等可能的结果数，从中找出符合条件的结果，然后利用概率公式求解即可． 【解答】解：（1）抽取总人数为80÷20%＝400（名）， 等级D的人数为400﹣120﹣160﹣80＝40（名）， 补全条形统计图如图： 故答案为：400； （2）（名）， 答：估计竞赛成绩不低于B等级的学生人数约为1050名； （3）树状图如下： 其中选中1名男生和1名女生的结果有8种，共有12种等可能的结果， ∴P（选中1名男生和1名女生）． 【点评】本题考查列表法与树状图法，条形统计图，用样本估计总体，扇形统计图，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 20．（2026•秦都区校级模拟）中国在数学领域有着悠久的历史和丰富的成就，其中广为流传的数学著作有《九章算术》《周髀算经》等，而代表古希腊数学最高成就的著作当属《几何原本》，学校图书馆现有《九章算术》现代印刷版2本，《周髀算经》《几何原本》现代印刷版各1本，爱好数学的曹妍和李颖一起来到图书馆，曹妍从这4本数学著作中随机选取1本进行阅读，李颖再从剩余3本数学著作中随机选取1本进行阅读． （1）曹妍恰好选取到《九章算术》的概率为　　 ； （2）将2本《九章算术》，1本《周髀算经》和1本《几何原本》分别用A1，A2，B，C表示，请列表或画树状图的方法，求曹妍和李颖都选取到中国数学著作的概率． 【考点】列表法与树状图法． 【专题】概率及其应用；数据观念． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）列表得出共有12种等可能的结果，其中曹妍和李颖都选取到中国数学著作的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）∵学校图书馆现有《九章算术》现代印刷版2本，《周髀算经》《几何原本》现代印刷版各1本，曹妍从这4本数学著作中随机选取1本进行阅读， ∴曹妍恰好选取到《九章算术》的概率为， 故答案为：； （2）列表如下： A1 A2 B C A1 ﹣ （A2，A1） （B，A1） （C，A1） A2 （A1，A2） ﹣ （B，A2） （C，A2） B （A1，B） （A2，B） ﹣ （C，B） C （A1，C） （A2，C） （B，C） ﹣ 列表得出共有12种等可能的结果，其中曹妍和李颖都选取到中国数学著作的结果有6种， ∴曹妍和李颖都选取到中国数学著作的概率为． 【点评】此题考查的是用列表法与树状图法求概率．列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 学科网（北京）股份有限公司 $