第02讲 概率（专项练习，16题型）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第八章 统计与概率 第02讲 概率 目 录 01·趋势领航练 02·考点通关练 03·真题诊断练 基础通关 题型01 事件的分类（★★★） 题型02判断事件发生的可能性大小（★★） 题型03根据概率公式进行计算（★★★） 题型04已知概率求数量（★★★） 题型05概率在几何中的应用（★★★） 题型06用列举法求事件的概率（★★★） 题型07用列表法求事件的概率（★★） 题型08用树状图求事件的概率（★★） 题型09列表法或树状图解答题综合（★★★） 题型10关于频率和概率之间的关系（★★★） 题型11求某事件的概率（★★★） 题型12由频率估算概率（★★★） 题型13由频率估算概率解答题综合（★） 题型14概率在转盘抽奖中的应用（★★） 题型15游戏的公平性（★★★） 题型16概率的其他应用（★★） 能力通关 【跨学科综合】（将概率与物理、化学、生物等学科融合在一起进行考查） 1．（2026·上海杨浦·二模）小明正在进行“关于生物遗传概率的探究”： 他从互联网上收集到了这些信息： 1．相对性状：同种生物同一性状的不同表现形式（如卷发、直发、双眼皮、单眼皮）； 2．显隐性：题目中标注“显性”的性状，只要有1个显性基因就会表现（如 表现卷发）；“隐性”性状必须有2个隐性基因才会表现（如表现直发）； 3．基因型：用字母表示基因组成，显性基因用大写（D、A、B），隐性基因用小写（d、a、b）； 显性性状基因型：2种可能（纯合子：如，2个显性基因；杂合子：如，1显1隐）； 隐性性状基因型：只有1种（纯合子：如，2个隐性基因）； 4．遗传规律：亲代会将一对基因（例如：）中的1个（例如：D）传给子代，子代的一对基因来自父亲和母亲； 5．独立遗传：本题三对性状的基因互不影响》 已知性状显隐性（均为常染色体遗传） ①毛发直卷：卷发（D）对直发（d）为显性（表现卷发，表现直发）； ②眼睑形状：双眼皮（A）对单眼皮（a）为显性（表现双眼皮，表现单眼皮）； ③拇指形态：直拇指（B）对弯拇指（b）为显性（表现直拇指，表现弯拇指）． 小明的数学老师提出了下列问题： (1)一对卷发夫妇，丈夫基因型为，妻子基因型为，求二人生育一个直发孩子的概率． (2)一对双眼皮夫妇，生育了1个单眼皮孩子，据此先判断夫妇的基因型，再求二人再生育一个双眼皮纯合子孩子的概率． (3)已知男性基因型为（卷发、直拇指），女性基因型为（直发、直拇指），求二人生育一个卷发、弯拇指孩子的概率． (4)一对卷发夫妇，男方父母均为“卷发、单眼皮”（且男方父亲为卷发纯合子，男方母亲为卷发杂合子），女方母亲为“直发、单眼皮”、女方父亲为“卷发、双眼皮（纯合子）”．求这对夫妇生育一个直发、单眼皮孩子的概率． 题型01 事件的分类（★★★） 1．（2026·福建泉州·模拟预测）下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．经过路口，恰好遇到绿灯 B．从只有红球的袋子中摸出白球 C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．抛一枚硬币，落地后正面朝上 2．（25-26九年级上·福建泉州·期末）下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．从装有10个黑球的不透明袋子中随机摸出一个球恰为黑球 B．从装有10个黑球的不透明袋子中随机摸出一个球恰为白球 C．从装有9个黑球和1个白球的不透明袋子中随机摸出1个球，恰有白球 D．从装有9个黑球和1个白球的不透明袋子中随机摸出2个球，恰有黑球 3．（25-26九年级上·四川宜宾·期末）下列与宜宾相关的事件中，属于随机事件的是（    ） A．宜宾境内的金沙江与岷江在三江口汇入长江 B．游览宜宾蜀南竹海时，遇到下雨天气 C．宜宾兴文石海景区的溶洞内会出现阳光直射现象 D．宜宾李庄古镇的“李庄白肉”在制作过程中会使用猪肉 4．（2026·湖北·模拟预测）下列说法中，正确的是（    ） A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件 B．“天气预报说孝感明天的降水概率为”意味着孝感明天有半天都在降雨 C．“掷一次质地均匀的正方体骰子，向上一面的数字是2”是随机事件 D．甲、乙两人的10次数学测试成绩，方差越大的成绩越好 题型02判断事件发生的可能性大小（★★） 1．（2025·山西长治·二模）班级趣味运动会上，老师准备以抽签的方式将男生随机分为若干组进行拔河比赛．抽签方式：老师将数字1，2，3分别写在3张相同的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后每位男生从中一次抽出两张纸条，抽到两张纸条上的数字和相同的分为一组，下列描述正确的是（   ） A．抽到数字和为2的概率为 B．抽到数字和为5的概率为 C．抽到数字和为3的概率为 D．这种方式抽到数字和为4的可能性较大 2．（2025·湖北·一模）某路口红绿灯的时间设置如下：绿灯60秒，红灯40秒，黄灯3秒，当车随机经过该路口，遇到哪一种灯的可能性最小（    ） A．绿灯 B．红灯 C．黄灯 D．不能确定 3．（2025·湖北·二模）下列成语所反映的事件中，可能性最小的是（    ） A．水涨船高 B．瓜熟蒂落 C．守株待兔 D．旭日东升 题型03根据概率公式进行计算（★★★） 1．（25-26九年级上·四川成都·期末）现从﹣1、0、1、2、3、4这六个数中任取一个作为m的值，使得关于x的方程的所有根都是比1小的正实数的概率为___________________ 2．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）某商场门口有甲、乙两公司投放的5辆共享单车，其中3辆是甲公司的，2辆是乙公司的，现随机挑选一辆，则选中甲公司共享单车的概率是______． 3．（25-26九年级上·四川成都·期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的两个，能同时点亮灯泡、的概率为_____． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）现有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片，随机摸出一张卡片，摸出的卡片数字是3的概率是______． 题型04已知概率求数量（★★★） 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）一只不透明的袋子中，装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，若摸到白球的概率为，则红球的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有个，玻璃球除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，则布袋中白色球的个数可能是（    ） A．6 B． C． D． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）在一个不透明的纸箱中装30个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4左右，则口袋中白球最可能为（    ） A．15个 B．20个 C．28个 D．32个 题型05概率在几何中的应用（★★★） 1．（2025·河北邯郸·三模）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽滁州·三模）如图，在内部有两条射线，定点P在的内部，从图中任选一个角，则定点P在所选角内部的概率是（   ）    A． B． C． D． 3．（2025·广东深圳·三模）如图是由9个全等的小正方形组成的图案，假设可以在图案中随意取一个点（不包括边界线），那么这个点取在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D．1 4．（2025·山东东营·三模）小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点E，F分别是平行四边形的两边，上的点，，点M，N是上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 题型06用列举法求事件的概率（★★★） 1．（2025·湖南·模拟预测）如图是一组悬挂在天花板上的吊灯，清洗时每次取下一个吊灯，且取吊灯前必须先取下吊灯，直到3个吊灯都被取下为止，则清洗时第二个取下的吊灯是的概率是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·安徽·模拟预测）为了培养学生的劳动能力，学校将一块正方形实验地分成A，B，C，D四部分给学生种白菜、茄子、辣椒、毛豆四种蔬菜（如图所示），每块实验田只能种一种农作物，则白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河南信阳·三模）“博物馆”是很多同学研学的喜爱目的地．某同学计划利用暑假时间去北京的“国家博物馆”、“自然博物馆”，“军事博物馆”参观，先后顺序抽签决定．他先将三个目的地分别写在卡片的正面，卡片除正面外完全相同，然后将卡片背面朝上洗匀，抽取的第一张作为第一个目的地，取的第二张和第三张分别作为第二和第三目的地．最终“国家博物馆”排在第二目的地的概率是（   ） A． B． C． D． 题型07用列表法求事件的概率（★★） 1．（2026·河南信阳·一模）在“健康中国2030”与“体重管理年”的行动引领下，某校田径社团开展了“2025健康长跑”活动．由于参加的人数较多，场地空间有限，活动将分三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，分组工作由计算机软件完成，则参与者小刚和小利被分配到同一组的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河北张家口·一模）如图1，有三张卡片，上面分别标有数字1，2，4，它们的背面完全相同．如图2，点P是正五边形边上的动点，点P的起始位置在点A处．现将三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，抽取的数字是几，点P就按顺时针方向走几个边长，然后将卡片放回，按照规则再次抽取，第二次从第一次结束后的位置开始，继续按照规则进行下去，则点P经过两次运动后到达点D的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山东滨州·一模）“以史为鉴，可以知兴替”，历史蕴含着国家与民族的共同记忆．在四张形状、大小相同及质地无差别的卡片上(如图)，分别用图案表示了四个不同历史事件：鸦片战争、土地运动、五四运动、抗美援朝．将卡片置于不透明的箱子中，摇匀后随机抽取两张，则所抽取卡片中的事件都发生于新中国成立以后的概率为（   ） A． B． C． D． 题型08用树状图求事件的概率（★★） 1．（2026·河南周口·一模）中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》发布吉祥物形象“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”．其设计融合传统纹样与时代气息，饱含美好寓意．除夕夜，小明和小红准备了正面分别印有“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的四张卡片（如图），它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，小明从中随机抽取一张后，放回并混在一起，小红再随机抽取一张，则这两张卡片相同的概率是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·江苏南通·模拟预测）阿嘉和小杨都有5张分别标示数字1、2、3、4、5的纸牌，如图表示两人的牌中皆有三张牌被自己盖住的情形．今两人打算从自己盖住的纸牌中翻开一张牌，若阿嘉盖住的牌中每张牌被翻开的机会相等，小杨盖住的牌中每张牌被翻开的机会相等，则比较两人翻开的那张牌上的数字，阿嘉比小杨大的机率为何？（　　） A． B． C． D． 题型09列表法或树状图解答题综合（★★★） 1．（2026·江苏徐州·一模）2026年冬奥会在意大利举行，这是冬奥会诞生100周年后的第一届赛事．吉祥物是一对名为蒂娜和米罗的白鼬姐弟，核心口号是敢于梦想．除了蒂娜和米罗，还有六朵名为弗洛的雪花伙伴，作为重生与成长的象征．下面是本届冬奥会一些贴画：某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取贴画作为奖品． (1)在抢答环节中，若答对一题，可从4张贴画中任意抽取1张作为奖品，则恰好抽到贴画“④”的概率是_______； (2)在抢答环节中，若答对两题，则可从4张贴画中任意抽取2张贴作为奖品，求恰好抽到贴画“②”和“③”的概率． 2．（2026·广西柳州·一模）某校为了了解九年级学生的身体健康情况，从九年级随机抽取了若干名学生，测量他们的体重（均取整数，单位：kg），并将他们的体重进行整理，绘制了如下统计表与统计图： 已知组的具体体重为（单位：）：，，，，，，， 组别 体重（） 频数（人） 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空： ，所抽取学生体重的中位数是 ； (2)所抽取学生平均体重为，小敏的体重是，小敏推测自己的体重在所抽取的学生中处于中下游水平，请问小敏的推测正确吗？请简单说明理由． (3)学校决定选出优秀运动达人带动同学们参加体育运动，若从3名男生和1名女生中随机抽取两名，请用画树状图或列表法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 3．（2026·山西长治·一模）我国航天技术飞速发展，我校以“探航天奥秘，立报国之志，做追梦少年”为主题，组织学生开展了航天知识科普竞赛活动．为了解学生对航天知识的掌握情况，我校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： (1)本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图； (2)若该校共有1500名学生参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数； (3)学校在航天知识科普竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名同学中，随机抽取2人担任校园航天文化节的主持人，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率． 4．（2026·湖南衡阳·一模）湖南省某校为了增强学生的体质、适应体育中考新要求，引导同学们积极参加体育锻炼，学校购买了一批跳绳供学生借用，现从九年级随机抽取了部分学生对跳绳进行测试，并绘制了如下的两幅不完整的统计表和统计图．请根据相关信息，解答下列问题． 一分钟跳绳成绩的频数统计表 组别 跳绳次数分段 频数 70 76 34 一分钟跳绳成绩的扇形统计图 (1)本次接受随机抽样调查的学生人数为 人；统计表中的的值是 ；扇形统计图中B组所对的圆心角是 ． (2)求抽取学生一分钟跳绳成绩的中位数所在的组别； (3)现在指定两名男生和两名女生负责跳绳发放和整理工作，若两人一组，随机组合，请用画树状图或列表法求出恰好分组是一男一女的概率是多少？ 题型10关于频率和概率之间的关系（★★★） 1．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数很大时，f等于P D．当试验次数很大时，在P附近摆动，并趋于稳定 2．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）做随机抛掷一枚质地不均匀的纪念币试验，得到的结果如表所示： 抛掷次数m 1000 2000 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 512 1034 1558 2083 2598 “正面向上”的频率（） ①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是； ③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中合理推断的序号是 A．②③ B．①③ C．①② D．①②③ 题型11求某事件的概率（★★★） 1．（25-26九年级上·山东东营·期末）暑假将至，东营区教育局向全区师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“水”字出现的频率为______． 2．（25-26九年级上·四川宜宾·期末）八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是_________． 3．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）“鹅要过河，河要渡鹅，不知是鹅渡河，还是河渡鹅”，在这句含有个汉字的绕口令中“鹅”出现的频率为______． 题型12由频率估算概率（★★★） 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共40个，这些球除颜色外都相同．通过多次试验，发现摸出红球的频率稳定在左右，则可估计袋子里红球约有__________个． 2．（2026·四川成都·一模）一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球，则可估计这个口袋中白球的个数是_____． 3．（25-26九年级上·四川成都·期末）一个不透明的盒子中装有8支黑笔和若干支蓝笔，这些笔除颜色外都相同，搅匀后每次随机从盒子中摸出一支笔，记下颜色后放回盒子中．通过大量重复试验后发现，摸到黑笔的频率稳定在，则估计盒子中蓝笔的数量为______ 支． 4．（2025·四川广安·一模）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数n “射中9环及以上”的次数m “射中9环及以上”的频率 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环及以上”的概率为________．（结果精确到） 题型13由频率估算概率解答题综合（★） 1．（2025·甘肃武威·模拟预测）某班学生就老百姓最关注的热点问题，在网络上发布了相应的调查问卷．到目前为止，共有不同年龄段的2880人参与，具体情况统计如下： 抽取的30-35岁人群的关注情况 关心问题 频数 频率 收入分配 90 0.25 住房问题 0.15 物价调控 36 0.1 医疗改革 18 养老保险 0.15 其他 108 合计 所调查的2880人年龄的分布情况 (1)根据统计表可得： _____， _____， _____， _____． (2)扇形图中表示30-35岁的扇形的圆心角是多少度？ (3)在参加调查的30-35岁段中随机抽取一人，关心物价调控或医疗改革的概率是多少？ (4)从上表中，你还能获得其他的信息吗（写出一条即可）？ 2．某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 400 500 800 1000 落在“可乐”区域的次数m 60 122 240 298 604 落在“可乐”区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.59 0.604 (1)完成上述表格；（结果全部精确到0.1） (2)请估计当n很大时，频率将会接近 ，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是 ；（结果全部精确到0.1） (3)转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 3．（2025·江苏无锡·模拟预测）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)请估计：当 很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到 ）； (2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？ (3)在（）的条件下，若从中先摸出一只球，不放回，再摸出一只球，请用列表或树状图的方法求两次都摸到白球的概率． 题型14概率在转盘抽奖中的应用（★★） 1．（25-26九年级上·广东清远·期末）学校科技节设置转盘抽奖活动，转盘上有六个全等的区域，颜色分布如图(黄、蓝、蓝、红、蓝、红)．若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域即可获奖，则获奖的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东汕头·期末）某超市的抽奖活动转盘，一等奖、二等奖、三等奖区域的面积比为，则一名顾客转动一次转盘，获奖可能性最大的奖项是_________． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）某商场进行促销活动，设计了如下两种摇奖方式： 方式一：有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖； 方式二：一个均匀的转盘被等分成份，分别标有1至这个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为6的倍数则获奖． (1)若采用方式一，骰子掷出后，“4”朝上的概率为 (2)选择哪种摇奖方式获奖机会更大？请说明理由． 题型15游戏的公平性（★★★） 1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，小明和小春制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A盘被等分为四个扇形，分别标有数字，，，；盘中圆心角为的扇形上标有数字，其余部分标有数字．他们用如图所示的两个转盘做游戏，制定如下规则：随意转动，转盘各一次，转盘停止后，将，转盘的指针所指数字相乘（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘），若积为偶数，则小明胜；若积为奇数，则小春胜． (1)随意转动盘，指针指向的概率为____________； (2)这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 2．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）四大名著是中国文学史中的经典作品，也是世界宝贵的文化遗产之一，其中的人物和故事情节千古传诵．如图所示的四张卡片中，有一张正面印着《西游记》中人物肖像，一张正面印着《水浒传》中人物肖像，两张正面印着《三国演义》中人物肖像（依次记为A、B、C、D），这些卡片除正面不同外其余均相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． (1)从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到正面印有“诸葛亮”的概率是_______； (2)小明和小颖玩抽卡片游戏，规则如下：小明从这四张卡片中随机抽取一张，并记录卡片上的人物，不放回，小颖再随机抽取一张，并记录卡片上的人物，若他们抽到的两张卡片上对应的人物出自同一本名著，则小明胜，否则小颖胜，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平． 3．（2026·陕西西安·一模）小明和小亮玩游戏：将正面分别写有数字1，7，8，8的四张卡片（这些卡片除数字外其余均相同）洗匀后，背面向上放在桌面上，小明从中任意抽取一张卡片（不放回），小亮从剩余的卡片中任意抽取一张，若两张卡片上的数字之和是8的倍数，则小亮获胜，否则小明获胜． (1)小明抽到写有偶数的卡片的概率是______； (2)请利用画树状图或列表的方法，判断这个游戏是否公平． 4．（2025·江西抚州·二模）某班在选拔人员参加年级数学竞赛过程中，有A，B两同学分数相同，由于参赛名额所限，这两人中只能一个参赛，经商议决定采取摸球方式解决，将2个红球、1个绿球放到一个不透明的袋子中，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出2个球． (1)“摸出的2个球，都是红球”是________事件；（填“随机”或“不可能”或“必然”） (2)若两同学以摸球方式决定代表参加数学竞赛，摸出的2个球，若颜色相同，则同学去参赛；若颜色不同，则同学去参赛，这游戏方案设计公平吗？说明理由． 题型16概率的其他应用（★★） 1．（2025·福建厦门·模拟预测）商场在国庆期间举行部分商品优惠促销活动，顾客只能从以下两种方案中选择一种： 方案一：购物每满元减元； 方案二：顾客购物达元可抽奖一次，具体规则是：在一个箱子内装有四张一样的卡片，四张卡片中有张写着数字，张写着数字，顾客随机从箱子内抽出两张卡片，两张卡片上的数字和记为，的值和享受优惠如表所示． 的值 实际付款 折 折 折 (1)若按方案二的抽奖方式，利用树形图（或列表法）求一次抽奖获得折优惠的概率； (2)若某顾客的购物金额为元，请你应用统计概率的知识帮助分析该顾客应选择哪种方案较为实惠． 2．（2025·福建厦门·二模）在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，男性、女性日常生活中几乎全部领域都支持手机支付．出门不带现金的人数正在迅速增加．中国人民大学和法国调查公司益普素合作，调查了腾讯服务的名用户（男性人，女性人），从中随机抽取了名（女性人），统计他们出门随身携带现金（单位：元），规定：随身携带的现金在元以下（不含元）的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”． 手机支付 非手机支付 合计 男 女 合计 (1)①：根据已知条件，将下列横线表格部分补充完整（其中，）； ②：用样本估计总体，由①可得，若从腾讯服务的女性用户中随机抽取位，求这位女性用户是“手机支付族”的概率． (2)某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案、 方案一：手机支付消费每满元可直减元： 方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖一次，抽奖规则如下：从装有个小球（其中个红球个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出个小球（逐个放回后抽取），若摸到个红球则打折，若摸到个红球则打折，若未摸到红球按原价付款． 如果你打算用手机支付购买某样价值元的商品，请从实际付款的平均金额的角度分析，选择哪种优惠方案更划算． 3．（2025·浙江宁波·模拟预测）为鼓励学生积极加入中因共青团组织，某学校团委在八、九年级各抽取50名学生开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分．竞赛成绩如图所示： 平均数 众数 中位数 方差 八年级 8 7 九年级 8 8 (1)请根据图表中的信息，回答下列问题． ①表中的______，______，______； ②现要给成绩突出的年级颁奖，如果从方差的角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？ (2)若规定成绩10分获一等奖，9分获二等奖，8分获三等奖，请通过计算说明哪个年级的获奖率高？ 1．（2026·河南郑州·一模）如图将一个圆形转盘均分成3个扇形，扇形上写有三个等式，随机转动转盘两次，记录得到的两个等式（指向边界处重转），则两次记录的等式都错误的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河南·模拟预测）有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜； B．取出的两个数乘积不大于15胜，否则乙获胜； C．取出的两个数乘积大于等于20得5，否则乙得3，游戏结束后，累计得分高的人获胜； D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜． 3．（24-25九年级上·山西长治·期末）物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是（ ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽阜阳·一模）某机械零件要求承受的压力为，同时承受的压强要大于．现生产出四个机械零件的表面受力面积分别为，则从中随机同时选取两个零件，两个零件都合格的概率是______． 5．（25-26九年级上·广东潮州·期末）小华设计了一个圆内接正方形的气枪射击的靶盘，如图，正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成，直角三角形的直角边长度分别为2和1．若随机射击一次，则击中阴影区域的概率约为_____． 6．（2026·陕西咸阳·一模）某校开展主题为“逐梦九天”的航天科普活动，设置了五个科普小组，分别探索“载人航天”“探月工程”“火星探测”“北斗导航”“空间站建设”（分别记作）五大航天领域，现有五张背面完全相同的不透明卡片，在卡片正面绘制如图所示的图案． (1)将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“探月工程”的概率为______． (2)各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的科普方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组科普方向不同的概率． 7．（2026·河北张家口·一模）为增强学生交通安全意识，某中学举办了交通安全知识竞赛，现随机抽取了部分学生成绩（大于60分）进行分析，成绩按百分制分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表． 等级 成绩/分 人数/人 A 18 B m C 68 D 30 (1)本次调查共抽取了 名学生； (2)求表中m的值和扇形统计图中x的值； (3)若抽取的A等级学生的成绩（单位：分）是：91，92，92，93，94，94，95，95，96，97，97，97，97，98，98，99，99，100，求这组成绩的众数和中位数；若随机从该组数据中抽取一个成绩，求该成绩大于中位数的概率； (4)已知该校共有学生2000人，学校准备对本次测验安全意识薄弱的学生（D：）进行安全教育，请估计该校需要参加安全教育活动的学生人数． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 统计与概率 第02讲 概率 目 录 01·趋势领航练 02·考点通关练 03·真题诊断练 基础通关 题型01 事件的分类（★★★） 题型02判断事件发生的可能性大小（★★） 题型03根据概率公式进行计算（★★★） 题型04已知概率求数量（★★★） 题型05概率在几何中的应用（★★★） 题型06用列举法求事件的概率（★★★） 题型07用列表法求事件的概率（★★） 题型08用树状图求事件的概率（★★） 题型09列表法或树状图解答题综合（★★★） 题型10关于频率和概率之间的关系（★★★） 题型11求某事件的概率（★★★） 题型12由频率估算概率（★★★） 题型13由频率估算概率解答题综合（★） 题型14概率在转盘抽奖中的应用（★★） 题型15游戏的公平性（★★★） 题型16概率的其他应用（★★） 能力通关 【跨学科综合】（将概率与物理、化学、生物等学科融合在一起进行考查） 1．（2026·上海杨浦·二模）小明正在进行“关于生物遗传概率的探究”： 他从互联网上收集到了这些信息： 1．相对性状：同种生物同一性状的不同表现形式（如卷发、直发、双眼皮、单眼皮）； 2．显隐性：题目中标注“显性”的性状，只要有1个显性基因就会表现（如 表现卷发）；“隐性”性状必须有2个隐性基因才会表现（如表现直发）； 3．基因型：用字母表示基因组成，显性基因用大写（D、A、B），隐性基因用小写（d、a、b）； 显性性状基因型：2种可能（纯合子：如，2个显性基因；杂合子：如，1显1隐）； 隐性性状基因型：只有1种（纯合子：如，2个隐性基因）； 4．遗传规律：亲代会将一对基因（例如：）中的1个（例如：D）传给子代，子代的一对基因来自父亲和母亲； 5．独立遗传：本题三对性状的基因互不影响》 已知性状显隐性（均为常染色体遗传） ①毛发直卷：卷发（D）对直发（d）为显性（表现卷发，表现直发）； ②眼睑形状：双眼皮（A）对单眼皮（a）为显性（表现双眼皮，表现单眼皮）； ③拇指形态：直拇指（B）对弯拇指（b）为显性（表现直拇指，表现弯拇指）． 小明的数学老师提出了下列问题： (1)一对卷发夫妇，丈夫基因型为，妻子基因型为，求二人生育一个直发孩子的概率． (2)一对双眼皮夫妇，生育了1个单眼皮孩子，据此先判断夫妇的基因型，再求二人再生育一个双眼皮纯合子孩子的概率． (3)已知男性基因型为（卷发、直拇指），女性基因型为（直发、直拇指），求二人生育一个卷发、弯拇指孩子的概率． (4)一对卷发夫妇，男方父母均为“卷发、单眼皮”（且男方父亲为卷发纯合子，男方母亲为卷发杂合子），女方母亲为“直发、单眼皮”、女方父亲为“卷发、双眼皮（纯合子）”．求这对夫妇生育一个直发、单眼皮孩子的概率． 【答案】(1) (2)夫妇基因型均为，概率为 (3) (4) 【分析】（1）根据题意，两人无法生出基因为的孩子，即可得出结果； （2）根据单眼皮为隐性，双眼皮为显性，进而得到夫妇的基因为，列表法求出概率即可； （3）根据题意，列出表格，利用概率公式进行求解即可； （4）根据题意，得到男方的基因型为或，概率均为，女方的基因型为，再求出男方的基因型为时，生出一个直发、单眼皮孩子的概率，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵卷发（D）对直发（d）为显性，丈夫基因型为，妻子基因型为， ∴无法得到基因型为的孩子，即二人不可能生育一个直发孩子， ∴； （2）解：∵双眼皮（A）对单眼皮（a）为显性，且一对双眼皮夫妇，生育了1个单眼皮孩子， ∴孩子的基因型为， ∴夫妇的基因型均为， 列表如下： A a A a 共有4种等可能的结果，其中二人再生育一个双眼皮纯合子孩子的结果有1种， ∴； （3）解：由题意，列表如下： 共有8种等可能的结果，其中二人生育一个卷发、弯拇指孩子的结果只有1种， ∴； （4）解：由题意，男方父亲的基因型为，母亲的基因型为，女方父亲的基因型为，母亲的基因型为， ∴男方的基因型为或，概率均为，女方的基因型为， 当男方的基因型为时，孩子的头发不能是直发， 当男方的基因型为时，列表如下： 共有8种等可能的结果，其中生育一个直发、单眼皮孩子的结果只有1种， ∴， 又∵男方的基因型为的概率为， ∴该对夫妇生育一个直发、单眼皮孩子的概率为． 题型01 事件的分类（★★★） 1．（2026·福建泉州·模拟预测）下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．经过路口，恰好遇到绿灯 B．从只有红球的袋子中摸出白球 C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．抛一枚硬币，落地后正面朝上 【答案】B 【分析】本题考查事件的分类，需根据不可能事件、必然事件、随机事件的定义判断选项，不可能事件是指一定条件下一定不会发生的事件． 【详解】解：A．经过路口恰好遇到绿灯是可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合要求； B．袋子只有红球，一定无法摸出白球，该事件一定不发生，属于不可能事件，符合要求； C．任意圆都是轴对称图形，该事件一定发生，属于必然事件，不符合要求； D．抛硬币落地后正面朝上是可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合要求． 2．（25-26九年级上·福建泉州·期末）下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．从装有10个黑球的不透明袋子中随机摸出一个球恰为黑球 B．从装有10个黑球的不透明袋子中随机摸出一个球恰为白球 C．从装有9个黑球和1个白球的不透明袋子中随机摸出1个球，恰有白球 D．从装有9个黑球和1个白球的不透明袋子中随机摸出2个球，恰有黑球 【答案】C 【分析】本题考查随机事件的定义，需依据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，对每个选项的事件类型进行判断． 【详解】解：∵必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件， ∴对各选项逐一分析： A选项：袋子中只有黑球，随机摸出一个球必为黑球，属于必然事件，不符合题意； B选项：袋子中无白球，不可能摸出白球，属于不可能事件，不符合题意； C选项：袋子中有黑球和白球，随机摸出1个球，可能是白球也可能是黑球，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，符合题意； D选项：袋子中仅有1个白球，随机摸出2个球时，至少有1个黑球，即“恰有黑球”是一定发生的，属于必然事件，不符合题意； 故选：C 3．（25-26九年级上·四川宜宾·期末）下列与宜宾相关的事件中，属于随机事件的是（    ） A．宜宾境内的金沙江与岷江在三江口汇入长江 B．游览宜宾蜀南竹海时，遇到下雨天气 C．宜宾兴文石海景区的溶洞内会出现阳光直射现象 D．宜宾李庄古镇的“李庄白肉”在制作过程中会使用猪肉 【答案】B 【分析】本题考查随机事件、必然事件、不可能事件的定义，需依据三类事件的概念对各选项进行判断． 【详解】∵必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件． ∵A选项中金沙江与岷江在三江口汇入长江是客观既定事实，属于必然事件． ∵C选项中溶洞内不具备阳光直射的条件，一定不会出现阳光直射现象，属于不可能事件． ∵D选项中李庄白肉制作过程使用猪肉是其固有属性，属于必然事件． ∵B选项中游览蜀南竹海时是否遇到下雨，结果具有不确定性，可能发生也可能不发生，属于随机事件． 故选：B． 4．（2026·湖北·模拟预测）下列说法中，正确的是（    ） A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件 B．“天气预报说孝感明天的降水概率为”意味着孝感明天有半天都在降雨 C．“掷一次质地均匀的正方体骰子，向上一面的数字是2”是随机事件 D．甲、乙两人的10次数学测试成绩，方差越大的成绩越好 【答案】C 【分析】本题考查概率与统计中的事件类型和方差概念． 根据必然事件、随机事件的定义和方差的意义逐一判断各选项． 【详解】解：选项A，“打开电视，正在播放《新闻联播》”是随机事件，故A选项错误，不符合题意； 选项B，“天气预报说孝感明天的降水概率为”意味着孝感明天有可能性降雨，故B选项错误，不符合题意； 选项C，“掷一次质地均匀的正方体骰子，向上一面的数字是2”是随机事件，故C选项正确，符合题意； 选项D，甲、乙两人的10次数学测试成绩，方差越大，成绩越不稳定，成绩越不好，故D选项错误，不符合题意； 故选C． 题型02判断事件发生的可能性大小（★★） 1．（2025·山西长治·二模）班级趣味运动会上，老师准备以抽签的方式将男生随机分为若干组进行拔河比赛．抽签方式：老师将数字1，2，3分别写在3张相同的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后每位男生从中一次抽出两张纸条，抽到两张纸条上的数字和相同的分为一组，下列描述正确的是（   ） A．抽到数字和为2的概率为 B．抽到数字和为5的概率为 C．抽到数字和为3的概率为 D．这种方式抽到数字和为4的可能性较大 【答案】B 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．画树状图得出所有等可能的结果数，再依次求出各选项中的事件的概率，进行对比则可获解． 【详解】解：根据题意，可画树状图如下： ∴抽到数字和为2的概率为0，故A选项错误； 抽到数字和为5的概率为，故B选项正确； 抽到数字和为3的概率为，故C选项错误； 抽到数字和为4的概率为，与抽到和为3、5的概率相同，故D选项错误； 故选：B． 2．（2025·湖北·一模）某路口红绿灯的时间设置如下：绿灯60秒，红灯40秒，黄灯3秒，当车随机经过该路口，遇到哪一种灯的可能性最小（    ） A．绿灯 B．红灯 C．黄灯 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查事件发生的可能性；可能性大小与每种灯亮的时间成正比，黄灯时间最短，故可能性最小． 【详解】解：总时间绿灯时间红灯时间黄灯时间 ． ∵可能性该灯时间总时间， ∴绿灯可能性，红灯可能性，黄灯可能性， ∵， ∴遇到黄灯的可能性最小． 故选：C． 3．（2025·湖北·二模）下列成语所反映的事件中，可能性最小的是（    ） A．水涨船高 B．瓜熟蒂落 C．守株待兔 D．旭日东升 【答案】C 【分析】本题考查了判断事件发生的可能性的大小，根据成语描述的事件是否为必然事件或随机事件，判断可能性大小，必然事件的可能性大于随机事件的可能性，得出答案即可． 【详解】解：A．水涨船高：水位上升，船随之升高，属于必然事件，可能性最大； B．瓜熟蒂落：瓜成熟后瓜蒂自然脱落，属于必然事件，可能性最大； C．守株待兔：偶然捡到撞树的兔子，属于极小概率的随机事件，可能性最小； D．旭日东升：太阳每天从东方升起，属于必然事件，可能性最大． 故选：C． 题型03根据概率公式进行计算（★★★） 1．（25-26九年级上·四川成都·期末）现从﹣1、0、1、2、3、4这六个数中任取一个作为m的值，使得关于x的方程的所有根都是比1小的正实数的概率为___________________ 【答案】 【分析】本题考查了方程的根，一元二次方程根的判别式和概率．方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论，得到满足所有根都是比1小的正实数的m的个数，再根据概率公式计算概率． 【详解】解：总共有6个数，即共有6种等可能的结果，分情况讨论如下： 当时，即，此时方程为一元一次方程； 若，原方程化为，解得，满足，符合条件； 若，原方程化为，解得，为负数，不符合条件． 当时，即，此时方程为一元二次方程，计算得：， 由求根公式得，∴，． 根据题意，两根都满足，因此： 由，得且，即． 当时，恒成立，且恒成立，满足的条件． 因此在所给数中，，符合条件，，不符合条件． 综上，符合条件的共有3种，由概率公式可得：． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）某商场门口有甲、乙两公司投放的5辆共享单车，其中3辆是甲公司的，2辆是乙公司的，现随机挑选一辆，则选中甲公司共享单车的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式求概率．根据概率公式，总共有5辆共享单车，甲公司有3辆，根据概率公式即可求解． 【详解】解：总共有5辆共享单车，甲公司有3辆，选中甲公司共享单车的概率是 故答案为：． 3．（25-26九年级上·四川成都·期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的两个，能同时点亮灯泡、的概率为_____． 【答案】 【分析】本题考查利用列举法求随机事件的概率，解题关键是正确分析电路通路情况，列举出所有等可能的结果．首先确定随机闭合两个开关的所有等可能结果，再逐一分析每种结果下、的点亮情况，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：随机闭合开关、、中的两个，所有可能的结果有：、、，共3种等可能的结果． ∵当闭合和时，电路形成通路，能同时点亮灯泡、；闭合和时，无法形成通路，均不亮；闭合和时，只有亮． ∴能同时点亮灯泡、的结果只有1种． 根据概率公式，． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）现有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片，随机摸出一张卡片，摸出的卡片数字是3的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．直接利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片， ∴随机摸出一张卡片，摸出的卡片数字是3的概率是． 故答案为：． 题型04已知概率求数量（★★★） 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）一只不透明的袋子中，装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，若摸到白球的概率为，则红球的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了根据概率求球的数量，设红球的个数为个，根据摸到白球的概率等于白球的个数除以球的总数建立方程求解即可． 【详解】解：设红球的个数为个． 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴红球的个数为1个． 故选：A． 2．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有个，玻璃球除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，则布袋中白色球的个数可能是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用频率估计概率的知识，先根据已知的红、黑球频率求出白球的频率，再用总球数乘以白球频率得到白球个数. 【详解】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在和， ∴摸到白色球的频率为， 又∵总球数为个， ∴白色球的个数为（个）， 故选：C． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）在一个不透明的纸箱中装30个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4左右，则口袋中白球最可能为（    ） A．15个 B．20个 C．28个 D．32个 【答案】B 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，掌握大量反复试验下频率稳定值即概率是解题关键．由摸到白球的频率稳定在左右，估计摸到白球的概率为，设袋中白球的个数为x，通过列方程进而求出白球个数即可． 【详解】解：设袋中白球的个数为x，根据题意，得： ， 解得， 经检验是分式方程的解， 所以口袋中白球可能有20个， 故选：B． 题型05概率在几何中的应用（★★★） 1．（2025·河北邯郸·三模）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何概型的概率计算问题，根据图形的对称性求出黑色图形的面积，利用几何概型的计算方法计算可得． 【详解】解：根据图形的对称性知，黑色部分为圆面积的一半， 设圆的半径为1，则正方形的面积为4， 所以黑色部分的面积为， 则所求的概率， 故选：B 2．（2025·安徽滁州·三模）如图，在内部有两条射线，定点P在的内部，从图中任选一个角，则定点P在所选角内部的概率是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角的认识及表示，简单事件概率的计算，根据题意可得共有共6个角，其中定点P在角内部的有共4个，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：图中以点O为端点的射线共有4条，分别是和， 可以构成6个不同的角：，其中定点P在角内部的有4个：， 则从图中任选一个角，则定点P在所选角内部的概率是． 故选：D． 3．（2025·广东深圳·三模）如图是由9个全等的小正方形组成的图案，假设可以在图案中随意取一个点（不包括边界线），那么这个点取在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】设阴影部分的面积是，得出整个图形的面积是，再根据几何概率的求法即可得出答案． 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． 【详解】解：设阴影部分的面积是，则整个图形的面积是， 则这个点取在阴影部分的概率是． 故选：B． 4．（2025·山东东营·三模）小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点E，F分别是平行四边形的两边，上的点，，点M，N是上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、几何概率的知识点，准确计算是解题的关键． 将平行四边形分成平行四边形和平行四边形两部分，可得四边形内阴影部分是四边形面积的一半，四边形内阴影部分是四边形面积的一半，从而可得飞镖落在阴影部分的概率； 【详解】∵平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∵四边形内阴影部分面积四边形面积， 四边形内阴影部分面积四边形面积， ∴阴影部分的面积平行四边形的面积， ∴飞镖在阴影部分的概率是． 故选：B． 题型06用列举法求事件的概率（★★★） 1．（2025·湖南·模拟预测）如图是一组悬挂在天花板上的吊灯，清洗时每次取下一个吊灯，且取吊灯前必须先取下吊灯，直到3个吊灯都被取下为止，则清洗时第二个取下的吊灯是的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列举法求概率，先列举出所有的可能情况：，然后根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：由摘取顺序可知，共有三种等可能的结果， ∴清洗时第二个取下的吊灯是的概率是， 故选：C． 2．（2025·安徽·模拟预测）为了培养学生的劳动能力，学校将一块正方形实验地分成A，B，C，D四部分给学生种白菜、茄子、辣椒、毛豆四种蔬菜（如图所示），每块实验田只能种一种农作物，则白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用枚举法求概率，解题关键是枚举出所有可能结果． 先枚举出所有可能结果，并求出所有可能结果种数与符合条件的结果数，再利用概率公式求解． 【详解】根据题意，如果A部分种植白菜，则A，B，C，D四部分种植蔬菜的方式如下： 白菜、茄子，辣椒、毛豆； 白菜、茄子、毛豆、辣椒； 白菜、辣椒、茄子、毛豆； 白菜、辣椒、毛豆、茄子； 白菜、毛豆、茄子、辣椒； 白菜、毛豆、辣椒、茄子． 共有6种等可能的结果，其中白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的结果有2种． 类似的，如果部分种植茄子，辣椒或毛豆结果均一样， （白菜与辣椒两种蔬菜不相邻）． 故选：A． 3．（2025·河南信阳·三模）“博物馆”是很多同学研学的喜爱目的地．某同学计划利用暑假时间去北京的“国家博物馆”、“自然博物馆”，“军事博物馆”参观，先后顺序抽签决定．他先将三个目的地分别写在卡片的正面，卡片除正面外完全相同，然后将卡片背面朝上洗匀，抽取的第一张作为第一个目的地，取的第二张和第三张分别作为第二和第三目的地．最终“国家博物馆”排在第二目的地的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是用列举法求概率，不遗漏的列出所有可能的结果，熟练掌握求概率的公式是解题关键． 将3张卡片分别记为A、B、C，然后利用列举法得出所有可能结果，再得出满足条件的结果，根据概率公式求解即可． 【详解】解：将3张卡片分别记为A、B、C， 抽取的结果共有：，6种， 其中 “国家博物馆”排在第二目的地的有2种， ∴“国家博物馆”排在第二目的地的概率是． 故选：B． 题型07用列表法求事件的概率（★★） 1．（2026·河南信阳·一模）在“健康中国2030”与“体重管理年”的行动引领下，某校田径社团开展了“2025健康长跑”活动．由于参加的人数较多，场地空间有限，活动将分三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，分组工作由计算机软件完成，则参与者小刚和小利被分配到同一组的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先列出所有等可能的分配结果，再找出两人分到同一组的结果数，根据概率公式计算即可得到答案． 【详解】解：列表如下： 小利\小刚 A B C A B C 由表格可得，一共有9种等可能性的结果，其中小刚和小利被分配到同一组的结果有3种． ∴参与者小刚和小利被分配到同一组的概率是． 2．（2026·河北张家口·一模）如图1，有三张卡片，上面分别标有数字1，2，4，它们的背面完全相同．如图2，点P是正五边形边上的动点，点P的起始位置在点A处．现将三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，抽取的数字是几，点P就按顺时针方向走几个边长，然后将卡片放回，按照规则再次抽取，第二次从第一次结束后的位置开始，继续按照规则进行下去，则点P经过两次运动后到达点D的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】理解题意，熟练掌握列表法和概率公式是关键 根据题意列出表格，然后找出符合题意的情况，利用概率公式法求解即可 【详解】解：根据题意列表求和如下： 1 2 4 1 2 3 5 2 3 4 6 4 5 6 8 ∵点P经过两次运动后到达点D， ∴点P两次运动的数字和为3或8， 由表格得：共有9种等可能的结果，其中符合题意的有3种， ∴点P经过两次运动后到达点D的概率是 3．（2026·山东滨州·一模）“以史为鉴，可以知兴替”，历史蕴含着国家与民族的共同记忆．在四张形状、大小相同及质地无差别的卡片上(如图)，分别用图案表示了四个不同历史事件：鸦片战争、土地运动、五四运动、抗美援朝．将卡片置于不透明的箱子中，摇匀后随机抽取两张，则所抽取卡片中的事件都发生于新中国成立以后的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定四个历史事件发生在新中国成立以后的事件，再通过列表法列出所有抽取两张卡片的等可能结果，最后计算符合条件的结果数占总结果数的比例． 【详解】解：设鸦片战争、土地运动、五四运动、抗美援朝分别用、、、表示，其中新中国成立以后的事件为（土地运动）、（抗美援朝）． 列表如下： 由表可知，总共有种等可能的结果．其中，所抽取卡片中的事件都发生在新中国成立以后的结果有：、，共种． ∴． 题型08用树状图求事件的概率（★★） 1．（2026·河南周口·一模）中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》发布吉祥物形象“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”．其设计融合传统纹样与时代气息，饱含美好寓意．除夕夜，小明和小红准备了正面分别印有“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的四张卡片（如图），它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，小明从中随机抽取一张后，放回并混在一起，小红再随机抽取一张，则这两张卡片相同的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可． 【详解】将“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中两张卡片相同的结果有4种， ∴这两张卡片相同的概率为． 2．（2026·江苏南通·模拟预测）阿嘉和小杨都有5张分别标示数字1、2、3、4、5的纸牌，如图表示两人的牌中皆有三张牌被自己盖住的情形．今两人打算从自己盖住的纸牌中翻开一张牌，若阿嘉盖住的牌中每张牌被翻开的机会相等，小杨盖住的牌中每张牌被翻开的机会相等，则比较两人翻开的那张牌上的数字，阿嘉比小杨大的机率为何？（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率；根据题意画出树状图，可得共有9种等可能的结果，其中阿嘉比小杨大的情况有6种，然后利用概率公式得出答案． 【详解】解：由题意知：阿嘉盖住的牌中的数字为2，4，5， 小杨盖住的牌中的数字为1，3，4， 画树状图如图： 由树状图可知：共有9种等可能的结果，其中阿嘉比小杨大的情况有6种， 所以阿嘉比小杨大的机率为， 故选：B． 题型09列表法或树状图解答题综合（★★★） 1．（2026·江苏徐州·一模）2026年冬奥会在意大利举行，这是冬奥会诞生100周年后的第一届赛事．吉祥物是一对名为蒂娜和米罗的白鼬姐弟，核心口号是敢于梦想．除了蒂娜和米罗，还有六朵名为弗洛的雪花伙伴，作为重生与成长的象征．下面是本届冬奥会一些贴画：某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取贴画作为奖品． (1)在抢答环节中，若答对一题，可从4张贴画中任意抽取1张作为奖品，则恰好抽到贴画“④”的概率是_______； (2)在抢答环节中，若答对两题，则可从4张贴画中任意抽取2张贴作为奖品，求恰好抽到贴画“②”和“③”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式直接求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：从4张贴画任取一张共有4种情况，其中贴画“④”只有1种情况， ∴恰好抽到贴画“④”的概率是； （2）解：可画树状图为： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好抽到贴画“②”和“③”的结果数有2种， ∴恰好抽到贴画“②”和“③”的概率是． 2．（2026·广西柳州·一模）某校为了了解九年级学生的身体健康情况，从九年级随机抽取了若干名学生，测量他们的体重（均取整数，单位：kg），并将他们的体重进行整理，绘制了如下统计表与统计图： 已知组的具体体重为（单位：）：，，，，，，， 组别 体重（） 频数（人） 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空： ，所抽取学生体重的中位数是 ； (2)所抽取学生平均体重为，小敏的体重是，小敏推测自己的体重在所抽取的学生中处于中下游水平，请问小敏的推测正确吗？请简单说明理由． (3)学校决定选出优秀运动达人带动同学们参加体育运动，若从3名男生和1名女生中随机抽取两名，请用画树状图或列表法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)6；56 (2)不正确，见解析 (3) 【分析】（1）利用组的人数除以对应的百分数，求出总人数，然后用总人数减去其余各组人数即可求出的值，根据中位数的定义求解即可； （2）根据中位数判断即可； （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：调查的总人数为（人） ∴， 一共调查了人， 中位数是第人的体重， 又组人，组人，组人， 中位数在组， 组的具体体重为（单位：）：，，，，，，，， 中位数为； 故答案为：，； （2）解：不正确． 因为小敏的体重 是高于中位数， 所以小敏的体重在所抽取的学生中处于中上游水平， 故小敏的推测不正确； （3）解：将个男生分别用、、表示，个女生用表示， 画树状图如下： 由树状图可知一共有种等可能性的结果数，其中抽到名男生和名女生的结果数有种， 抽到名男生和名女生的概率是． 3．（2026·山西长治·一模）我国航天技术飞速发展，我校以“探航天奥秘，立报国之志，做追梦少年”为主题，组织学生开展了航天知识科普竞赛活动．为了解学生对航天知识的掌握情况，我校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： (1)本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图； (2)若该校共有1500名学生参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数； (3)学校在航天知识科普竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名同学中，随机抽取2人担任校园航天文化节的主持人，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率． 【答案】(1)400，见解析 (2)600名 (3) 【分析】（1）由C等级的人数除以其所占的百分比可得抽取人数，再由总人数减去已知等级人数求得D等级人数，进而补全条形统计图即可； （2）用该校总人数乘以样本中B等级所占比例即可解答； （3）画树状图得到所有等可能的结果数，从中找出符合条件的结果，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：抽取总人数为（名）， 等级D的人数为（名）， 补全条形统计图如图所示： （2）解：（名） 答：竞赛成绩为B等级的学生人数为600名； （3）解：树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲乙两人同时被选中的结果有2种， ∴P（甲乙两人同时被选中）． 4．（2026·湖南衡阳·一模）湖南省某校为了增强学生的体质、适应体育中考新要求，引导同学们积极参加体育锻炼，学校购买了一批跳绳供学生借用，现从九年级随机抽取了部分学生对跳绳进行测试，并绘制了如下的两幅不完整的统计表和统计图．请根据相关信息，解答下列问题． 一分钟跳绳成绩的频数统计表 组别 跳绳次数分段 频数 70 76 34 一分钟跳绳成绩的扇形统计图 (1)本次接受随机抽样调查的学生人数为 人；统计表中的的值是 ；扇形统计图中B组所对的圆心角是 ． (2)求抽取学生一分钟跳绳成绩的中位数所在的组别； (3)现在指定两名男生和两名女生负责跳绳发放和整理工作，若两人一组，随机组合，请用画树状图或列表法求出恰好分组是一男一女的概率是多少？ 【答案】(1)200；20； (2)C组 (3) 【分析】（1）将C组的频数除以扇形所占的百分比即可求出学生总数，再将总数减去A、C、D的频数即可求出n，扇形统计图中B组的频率计算即可； （2）由（1）可知学生总数为200人，按顺序排列后，中位数应该是100和101两个数的平均数，A组是20人，B组为70人，C组为76人即可得答案； （3）通过列表得出出现所有等可能情况，从中找出满足条件的情况有8种，即可得出一男一女的概率． 【详解】（1）解：由统计表知C组的频数为76，由扇形统计图知C组所占的频率为， 本次接受随机抽样调查的学生人数为：（人）， ， 扇形统计图中B组的圆心角度数为：； 即本次接受随机抽样调查的学生人数为200人，统计表中的的值是20，扇形统计图中B组所对的圆心角是． （2）解：∵A、B、C、D组已经按顺序排列，学生总数为200人，A组是20人，B组为70人，，而C组是76人，， ∴中位数应该是第100个数和第101个数的平均数， ∴中位数在C组， 即抽取学生一分钟跳绳成绩的中位数所在的组别C组； （3）根据题意列表 男1 男2 女1 女2 男1 男2，男1 女1，男1 女2，男1 男2 男1，男2 女1，男2 女2，男2 女1 男1，女1 男2，女1 女2，女1 女2 男1，女2 男2，女2 女1，女2 由上表可知，共有12种情况，并且它们出现的机会均等，其中都是一男一女的有8种， 所以，恰好分组是一男一女的概率． 题型10关于频率和概率之间的关系（★★★） 1．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数很大时，f等于P D．当试验次数很大时，在P附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【分析】本题考查了频率与概率，掌握频率的稳定性是关键．根据频率的稳定性解答即可． 【详解】解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性． 故选：D． 2．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）做随机抛掷一枚质地不均匀的纪念币试验，得到的结果如表所示： 抛掷次数m 1000 2000 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 512 1034 1558 2083 2598 “正面向上”的频率（） ①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是； ③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中合理推断的序号是 A．②③ B．①③ C．①② D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，但是并不是频率值就一定等于概率值，据此求解即可． 【详解】解：由于频率不等于概率，故当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是，“正面向上”的概率不一定是，故①错误； 大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，故随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是，故②正确； 若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．故③正确； 故选：A． 题型11求某事件的概率（★★★） 1．（25-26九年级上·山东东营·期末）暑假将至，东营区教育局向全区师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“水”字出现的频率为______． 【答案】 【分析】本题考查了频率的计算，用“水”字出现的次数除以总的字的个数即可求解，掌握频率的计算方法是解题的关键． 【详解】解：“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”，共有个字，其中“水”字出现的次数为次， ∴“水”字出现的频率为， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·四川宜宾·期末）八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算的应用、频率的概念等知识点，根据题意列出代数式即可解答． 先求出参加扎染社团的学生数，然后除以全班总人数即可解答． 【详解】解：参加扎染社团的学生数为：， 八年级2班学生参加扎染社团的频率是． 故答案为． 3．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）“鹅要过河，河要渡鹅，不知是鹅渡河，还是河渡鹅”，在这句含有个汉字的绕口令中“鹅”出现的频率为______． 【答案】 【分析】根据频率＝频数÷总次数进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∴在这句含有个汉字的绕口令中“鹅”出现的频率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了频数与频率，熟练掌握频率＝频数÷总次数是解题的关键． 题型12由频率估算概率（★★★） 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共40个，这些球除颜色外都相同．通过多次试验，发现摸出红球的频率稳定在左右，则可估计袋子里红球约有__________个． 【答案】8 【详解】解：根据频率估计概率的知识，摸出红球的频率稳定在0.2， 因此摸出红球的概率为0.2， 则袋子中红球的个数约为． 2．（2026·四川成都·一模）一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球，则可估计这个口袋中白球的个数是_____． 【答案】 【分析】本题考查频率的计算，用频率估算概率，掌握好相关知识是关键． 先计算出红球的频率，从而得到白球的频率，由频率的稳定性估算出概率，得到结果． 【详解】解：摸到红球的频率为， ∴摸到白球的频率为， ∴白球个数估计为． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·四川成都·期末）一个不透明的盒子中装有8支黑笔和若干支蓝笔，这些笔除颜色外都相同，搅匀后每次随机从盒子中摸出一支笔，记下颜色后放回盒子中．通过大量重复试验后发现，摸到黑笔的频率稳定在，则估计盒子中蓝笔的数量为______ 支． 【答案】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，根据频率估计概率，摸到黑笔的频率稳定在0.4，即摸到黑笔的概率为0.4，利用概率公式建立方程求解． 【详解】解：设蓝笔有x支，则总笔数为支，摸到黑笔的概率为， 由题意得， 解方程得， 故答案为：12． 4．（2025·四川广安·一模）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数n “射中9环及以上”的次数m “射中9环及以上”的频率 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环及以上”的概率为________．（结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在附近， 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环及以上”的概率为， 故答案为：． 题型13由频率估算概率解答题综合（★） 1．（2025·甘肃武威·模拟预测）某班学生就老百姓最关注的热点问题，在网络上发布了相应的调查问卷．到目前为止，共有不同年龄段的2880人参与，具体情况统计如下： 抽取的30-35岁人群的关注情况 关心问题 频数 频率 收入分配 90 0.25 住房问题 0.15 物价调控 36 0.1 医疗改革 18 养老保险 0.15 其他 108 合计 所调查的2880人年龄的分布情况 (1)根据统计表可得： _____， _____， _____， _____． (2)扇形图中表示30-35岁的扇形的圆心角是多少度？ (3)在参加调查的30-35岁段中随机抽取一人，关心物价调控或医疗改革的概率是多少？ (4)从上表中，你还能获得其他的信息吗（写出一条即可）？ 【答案】(1) (2)度； (3) (4)所调查的2880人中年龄在-40岁的人数最多． 【分析】此题考查了频率估计概率，频数分布统计表，扇形圆心角等知识． （1）根据频数分布统计表求出相关数据即可； （2）用占比乘以即可得到答案； （3）用频率估计概率即可； （4）根据数据进行回答即可． 【详解】（1）解：观察频数统计表可知：, 故答案为： （2） 即扇形图中表示30-35岁的扇形的圆心角是度； （3）关心物价调控或医疗改革的概率是 （4）所调查的2880人中年龄在-40岁的人数最多（答案不唯一） 2．某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 400 500 800 1000 落在“可乐”区域的次数m 60 122 240 298 604 落在“可乐”区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.59 0.604 (1)完成上述表格；（结果全部精确到0.1） (2)请估计当n很大时，频率将会接近 ，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是 ；（结果全部精确到0.1） (3)转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 【答案】(1)472；0.6 (2)0.6，0.6 (3) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）根据频率的定义计算时的频率和频率为0.59时的频数． （2）从表中频率的变化，可得到估计当n很大时，频率将会接近0.6，然后根据利用频率估计概率得“可乐”的概率约是0.6． （3）可根据获得“洗衣粉”的概率为，然后根据扇形统计图的意义，用乘以0.4即可得到表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角． 【详解】（1）解：； ． （2）解：估计当n很大时，频率将会接近0.6，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是0.6； 故答案为：0.6；0.6． （3）解：， 所以表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是． 3．（2025·江苏无锡·模拟预测）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)请估计：当 很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到 ）； (2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？ (3)在（）的条件下，若从中先摸出一只球，不放回，再摸出一只球，请用列表或树状图的方法求两次都摸到白球的概率． 【答案】(1) (2)口袋中黑色的球只，白色的球有只 (3)两次都摸到白球的概率为 【分析】本题考查了频率估计概率，画树状图或列表法求概率，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据表中的数据，估计出摸到白球的频率； （）通过摸到白球的频率即可求出摸到白球和黑球的概率，然后通过口袋中黑、白两种颜色的球的概率即可求出口袋中黑、白两种颜色的球； （）画出树状图，一共有种等可能结果，两次都摸到白球的情况有种结果，然后利用概率公式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得当很大时，摸到白球的频率将会接近， 故答案为：； （2）解：∵当很大时，摸到白球的频率将会接近， ∴摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是， ∴口袋中有白球（只），黑球（只）， 答：口袋中黑色的球只，白色的球有只； （3）解：画树状图如图， 一共有种等可能结果，两次都摸到白球的情况有种结果， ∴两次都摸到白球的概率为． 题型14概率在转盘抽奖中的应用（★★） 1．（25-26九年级上·广东清远·期末）学校科技节设置转盘抽奖活动，转盘上有六个全等的区域，颜色分布如图(黄、蓝、蓝、红、蓝、红)．若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域即可获奖，则获奖的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，关键是确定总等可能结果数与符合获奖条件的结果数，再根据概率公式计算概率． 【详解】解：∵转盘上有6个全等的区域，转动转盘后每个区域被指到的可能性相等，其中红色区域有2个， ∴获奖的概率为； 故选：B． 2．（25-26九年级上·广东汕头·期末）某超市的抽奖活动转盘，一等奖、二等奖、三等奖区域的面积比为，则一名顾客转动一次转盘，获奖可能性最大的奖项是_________． 【答案】三等奖 【分析】本题考查概率在转盘抽奖中的应用，由奖项比例计算各奖项概率，比较大小即可． 【详解】一等奖、二等奖、三等奖的比为，总比例为， 获一等奖的概率为，获二等奖的概率为，获三等奖的概率为， 由于，则获奖可能性最大的奖项是三等奖． 故答案为三等奖． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）某商场进行促销活动，设计了如下两种摇奖方式： 方式一：有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖； 方式二：一个均匀的转盘被等分成份，分别标有1至这个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为6的倍数则获奖． (1)若采用方式一，骰子掷出后，“4”朝上的概率为 (2)选择哪种摇奖方式获奖机会更大？请说明理由． 【答案】(1) (2)选择摇奖方式一获奖机会更大，理由见解析 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，关键是确定每种事件包含的基本事件数，再利用概率公式计算． （1）直接根据标有“4”的面数与总面数的比值计算概率； （2）分别计算两种摇奖方式的获奖概率，再比较大小． 【详解】（1）解：∵正二十面体骰子总共有个面，其中标有“4”的面有4个， ∴骰子掷出后，“4”朝上的概率为； 故答案为：； （2）解：先计算方式一的获奖概率： 骰子总面数为，标有“6”的面数为， ∴选择方式一获奖的概率为． 再计算方式二的获奖概率： 转盘被等分成份，6的倍数为6、，共2个， ∴选择方式二获奖的概率为． ∵， ∴方式一的获奖机会更大； 答：选择方式一获奖机会更大． 题型15游戏的公平性（★★★） 1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，小明和小春制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A盘被等分为四个扇形，分别标有数字，，，；盘中圆心角为的扇形上标有数字，其余部分标有数字．他们用如图所示的两个转盘做游戏，制定如下规则：随意转动，转盘各一次，转盘停止后，将，转盘的指针所指数字相乘（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘），若积为偶数，则小明胜；若积为奇数，则小春胜． (1)随意转动盘，指针指向的概率为____________； (2)这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 【答案】(1) (2)游戏公平，见解析 【分析】（1）根据概率公式计算，即可求解． （2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案，运用列表法求得各自获胜的概率是解题的关键． 【详解】（1）解：∵盘中圆心角为的扇形上标有数字，其余部分标有数字． ∴指针指向的概率为 （2）解：游戏公平，理由， 将盘上数字的扇形平分成两个圆心角为的扇形，则列表如下，          共有种等可能的结果，其中积为偶数的结果有种，积为奇数的结果有种． ∴小明胜的概率，小春胜的概率， ∵， ∴游戏公平． 2．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）四大名著是中国文学史中的经典作品，也是世界宝贵的文化遗产之一，其中的人物和故事情节千古传诵．如图所示的四张卡片中，有一张正面印着《西游记》中人物肖像，一张正面印着《水浒传》中人物肖像，两张正面印着《三国演义》中人物肖像（依次记为A、B、C、D），这些卡片除正面不同外其余均相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． (1)从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到正面印有“诸葛亮”的概率是_______； (2)小明和小颖玩抽卡片游戏，规则如下：小明从这四张卡片中随机抽取一张，并记录卡片上的人物，不放回，小颖再随机抽取一张，并记录卡片上的人物，若他们抽到的两张卡片上对应的人物出自同一本名著，则小明胜，否则小颖胜，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平． 【答案】(1) (2)游戏不公平，见解析 【分析】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了概率公式． （1）直接利用概率公式求解； （2）先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出抽到的两张卡片上对应的人物出自同一本名著的结果数，接着利用概率公式计算出小明胜的概率和小颖胜的概率，然后比较两概率的大小即可判断这个游戏是否公平． 【详解】（1）解：从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到正面印有“诸葛亮”的概率是； 故答案为：； （2）解：只有C、D出自同一本名著， 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片上对应的人物出自同一本名著的结果数为2， 所以小明胜的概率， 所以小颖胜的概率， 因为， 所以这个游戏不公平． 3．（2026·陕西西安·一模）小明和小亮玩游戏：将正面分别写有数字1，7，8，8的四张卡片（这些卡片除数字外其余均相同）洗匀后，背面向上放在桌面上，小明从中任意抽取一张卡片（不放回），小亮从剩余的卡片中任意抽取一张，若两张卡片上的数字之和是8的倍数，则小亮获胜，否则小明获胜． (1)小明抽到写有偶数的卡片的概率是______； (2)请利用画树状图或列表的方法，判断这个游戏是否公平． 【答案】(1) (2)见解析，这个游戏不公平 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两张卡片上的数字之和是8的倍数的结果数和两张卡片上的数字之和不是8的倍数的结果数，最后根据概率公式求出两人获胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：∵一共有四张卡片，其中写有偶数的卡片有两张， ∴小明抽到写有偶数的卡片的概率是； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两张卡片上的数字之和是8的倍数的结果数有4种，两张卡片上的数字之和不是8的倍数的结果数有8种， ∴小亮获胜的概率为，小明获胜的概率为， ∵， ∴这个游戏不公平． 4．（2025·江西抚州·二模）某班在选拔人员参加年级数学竞赛过程中，有A，B两同学分数相同，由于参赛名额所限，这两人中只能一个参赛，经商议决定采取摸球方式解决，将2个红球、1个绿球放到一个不透明的袋子中，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出2个球． (1)“摸出的2个球，都是红球”是________事件；（填“随机”或“不可能”或“必然”） (2)若两同学以摸球方式决定代表参加数学竞赛，摸出的2个球，若颜色相同，则同学去参赛；若颜色不同，则同学去参赛，这游戏方案设计公平吗？说明理由． 【答案】(1)随机 (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据事件的分类进行判断即可； （2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等即可． 【详解】（1）解：∵一个不透明的袋子中放有2个红球、1个绿球， ∴摸出的2个球都是红球”是随机事件， 故答案为：随机； （2）解：不公平．理由如下： 列表如下：      球1 球2 红1 红2 绿 红1 （红2，红1） （绿，红1） 红2 （红1，红2） （绿，红2） 绿 （红1，绿） （红2，绿） ∴共有6种结果，每种结果出现的可能性相等，且摸出的2个球颜色相同的结果有2种． ∴P（摸出的2个球颜色相同）， P（摸出的2个球颜色不同）． 故该游戏方案对双方不公平． 题型16概率的其他应用（★★） 1．（2025·福建厦门·模拟预测）商场在国庆期间举行部分商品优惠促销活动，顾客只能从以下两种方案中选择一种： 方案一：购物每满元减元； 方案二：顾客购物达元可抽奖一次，具体规则是：在一个箱子内装有四张一样的卡片，四张卡片中有张写着数字，张写着数字，顾客随机从箱子内抽出两张卡片，两张卡片上的数字和记为，的值和享受优惠如表所示． 的值 实际付款 折 折 折 (1)若按方案二的抽奖方式，利用树形图（或列表法）求一次抽奖获得折优惠的概率； (2)若某顾客的购物金额为元，请你应用统计概率的知识帮助分析该顾客应选择哪种方案较为实惠． 【答案】(1)； (2)选择方案一较为实惠． 【分析】本题主要考查了画树状图求某个事件发生的概率、根据概率选择方案． 画出树状图，由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中值为的情况有种情况，一次抽奖获得折优惠的概率； 根据概率可知，如果选择方案二，顾客大概率可能只省元，如果选择方案一，顾客一定可以省元，选择方案一较为实惠． 【详解】（1）解：画树状图如下， 由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中值为的情况有种情况， 一次抽奖获得折优惠的概率； （2）解：如果先择方案二，则顾客打折的概率为， 打折的概率为， 打折的概率为， 如果打折，顾客可以省元， 如果打折，顾客可以省元， 如果打折，顾客可以省元， 打折的概率是， 如果选择方案二，顾客大约可以省元， 如果选择方案一，顾客一定可以省元， 选择方案一较为实惠． 2．（2025·福建厦门·二模）在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，男性、女性日常生活中几乎全部领域都支持手机支付．出门不带现金的人数正在迅速增加．中国人民大学和法国调查公司益普素合作，调查了腾讯服务的名用户（男性人，女性人），从中随机抽取了名（女性人），统计他们出门随身携带现金（单位：元），规定：随身携带的现金在元以下（不含元）的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”． 手机支付 非手机支付 合计 男 女 合计 (1)①：根据已知条件，将下列横线表格部分补充完整（其中，）； ②：用样本估计总体，由①可得，若从腾讯服务的女性用户中随机抽取位，求这位女性用户是“手机支付族”的概率． (2)某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案、 方案一：手机支付消费每满元可直减元： 方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖一次，抽奖规则如下：从装有个小球（其中个红球个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出个小球（逐个放回后抽取），若摸到个红球则打折，若摸到个红球则打折，若未摸到红球按原价付款． 如果你打算用手机支付购买某样价值元的商品，请从实际付款的平均金额的角度分析，选择哪种优惠方案更划算． 【答案】(1) (2)选择方案二更划算 【分析】本题考查了列表法与树状图法、用样本估计总体、平均数、概率公式，解决本题的关键是掌握树状图法求概率． （1）①因为随机抽取了名（女性人），所以男性人，进而可以补充表格数据； ②用手机支付的女性人数除以调查的女性总人数即可； （2）若选方案一：则需付款：元；若选方案二：设实际付款元，则取值为：元，元，元，根据从装有个小球（其中个红球个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出个小球（逐个放回后抽取），设两个红球为、，白球为、，画出树状图分别求出摸到个红球，摸到个红球，未摸到红球的概率，求出实际付款的平均金额，进行比较即可． 【详解】（1）解：①因为随机抽取了名（女性人），所以男性人， ∵，， ∴，， 补充表格如下： 手机支付 非手机支付 合计 男 女 合计 ②由①可得，女性用户中随机抽取位，这位女性用户是“手机支付族”的概率是． （2）解：若选方案一：则需付款：元； 若选方案二：设实际付款元，则取值为：元，元，元， 根据从装有个小球（其中个红球个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出个小球（逐个放回后抽取），设两个红球为、，白球为、， 画出树状图为： 根据树状图可知：所有可能的结果共种，摸到个红球的有种，摸到个红球的有种，未摸到红球的有种， 所以摸到个红球的概率为：，则打折， 摸到个红球的概率为：，则打折， 未摸到红球的概率为：，按原价付款． 所以实际付款的平均金额为： （元）． 因为元元， 所以选择方案二更划算． 3．（2025·浙江宁波·模拟预测）为鼓励学生积极加入中因共青团组织，某学校团委在八、九年级各抽取50名学生开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分．竞赛成绩如图所示： 平均数 众数 中位数 方差 八年级 8 7 九年级 8 8 (1)请根据图表中的信息，回答下列问题． ①表中的______，______，______； ②现要给成绩突出的年级颁奖，如果从方差的角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？ (2)若规定成绩10分获一等奖，9分获二等奖，8分获三等奖，请通过计算说明哪个年级的获奖率高？ 【答案】(1)①8；8；；②给九年级颁奖，分析见解析 (2)九年级的获奖率高，计算过程见解析 【分析】本题主要考查了中位数、众数、方差以及加权平均数，掌握各个概念和计算方法是解题的关键． （1）①根据中位数、众数和方差的定义即可解答；②根据两个年级众数和方差解答即可； （2）先根据概率列式计算，然后再比较即可解答． 【详解】（1）解：①九年级竞赛成绩中8分出现的次数最多，故众数分； 八年级竞赛成绩中第25、26位的分数都是8分，故中位数分； 九年级竞赛成绩的方差为： ， 故； 故答案为：8；8；； ②如果从方差角度看，八年级的方差为，九年级的方差为，又因为两个年级的平均数相同，九年级的成绩的波动小，所以应该给九年级颁奖， 故如果方差角度来分析，应该给九年级颁奖； （2）解：八年级的获奖率为：， 九年级的获奖率为：， ， 九年级的获奖率高． 1．（2026·河南郑州·一模）如图将一个圆形转盘均分成3个扇形，扇形上写有三个等式，随机转动转盘两次，记录得到的两个等式（指向边界处重转），则两次记录的等式都错误的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解：设为A（计算正确），为B（计算错误），为C（计算错误）， 列表如下： A B C A B C ∴共有9种可能结果，其中两次记录的等式都错误的有4种， ∴两次记录的等式都错误的概率为． 2．（2025·河南·模拟预测）有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜； B．取出的两个数乘积不大于15胜，否则乙获胜； C．取出的两个数乘积大于等于20得5，否则乙得3，游戏结束后，累计得分高的人获胜； D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜． 【答案】A 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．掌握“概率=所求情况数与总情况数之比”是解题的关键． 画树状图，共有16种可能的结果，分别求出各个选项中甲、乙获胜的概率，再分别判断即可． 【详解】解：画树状图如下： A、由树状图可知，共有16可能的结果，其中在直线上的点有、、、，在直线上的点有、、， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 而，故选项A符合题意； B、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的两个数乘积不大于15的结果有8种，乘积大于15的结果有8种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项B不符合题意； C、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的两个数乘积大于等于20时甲得5分的结果有6种，乙得3分的结果有10种，， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项C不符合题意； D、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中得到的和为奇数的结果8种，得到的和为偶数的结果8种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项D不符合题意； 故选：A． 3．（24-25九年级上·山西长治·期末）物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列表得出共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有6种，再由概率公式求解即可． 此题考查了列表法求概率．列表法可以不重不漏地表示出所有等可能的情况，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：列表如下： - - - - 由表可知，共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有6种， 灯泡发光的概率为， 故选：A． 4．（2026·安徽阜阳·一模）某机械零件要求承受的压力为，同时承受的压强要大于．现生产出四个机械零件的表面受力面积分别为，则从中随机同时选取两个零件，两个零件都合格的概率是______． 【答案】 【分析】先根据压强公式结合题意求出合格零件受力面积的范围，确定合格零件的数量，再列举出从四个零件中随机选取两个的所有等可能结果，数出两个都合格的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：根据压强公式 ，由题意得， 当一定时，与成反比，即， 当时，， 当时，， 已知四个零件的受力面积分别为，因此合格零件是共个，不合格零件是共个． 随机同时选取两个，所有可能的结果列表如下： 两个都合格 两个都合格 一个合格 两个都合格 两个都合格 一个合格 两个都合格 两个都合格 一个合格 一个合格 一个合格 一个合格 共12种等可能的结果，其中两个零件都合格的结果共有6种， 根据概率公式，（两个零件都合格）． 5．（25-26九年级上·广东潮州·期末）小华设计了一个圆内接正方形的气枪射击的靶盘，如图，正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成，直角三角形的直角边长度分别为2和1．若随机射击一次，则击中阴影区域的概率约为_____． 【答案】 【分析】本题考查几何概型的求法．根据几何概型的意义，求出小正方形的面积，求出大正方形的面积，圆的面积，再算出阴影部分的面积，求其比值即可． 【详解】解：根据题意分析可得： 大正方形的边长为，故面积为5； 小正方形的边长为，面积为1； 圆的直径为，面积为； 阴影部分的面积为； 则击中阴影区域的概率即两部分面积的比值为． 故答案为：． 6．（2026·陕西咸阳·一模）某校开展主题为“逐梦九天”的航天科普活动，设置了五个科普小组，分别探索“载人航天”“探月工程”“火星探测”“北斗导航”“空间站建设”（分别记作）五大航天领域，现有五张背面完全相同的不透明卡片，在卡片正面绘制如图所示的图案． (1)将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“探月工程”的概率为______． (2)各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的科普方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组科普方向不同的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）理解题意，得一共有五张卡片，卡片内容是“探月工程”的有一张，运用概率公式进行计算，即可作答． （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：依题意，一共有五张卡片，卡片内容是“探月工程”的有一张， ∴将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张， 抽到的卡片内容是“探月工程”的概率为； （2）解：依题意得，列表如下：        小博 小秦 由表格可得，共有25种等可能出现的结果，其中这两个小组科普方向不同的情况有20种， ∴这两个小组科普方向不同的概率为． 7．（2026·河北张家口·一模）为增强学生交通安全意识，某中学举办了交通安全知识竞赛，现随机抽取了部分学生成绩（大于60分）进行分析，成绩按百分制分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表． 等级 成绩/分 人数/人 A 18 B m C 68 D 30 (1)本次调查共抽取了 名学生； (2)求表中m的值和扇形统计图中x的值； (3)若抽取的A等级学生的成绩（单位：分）是：91，92，92，93，94，94，95，95，96，97，97，97，97，98，98，99，99，100，求这组成绩的众数和中位数；若随机从该组数据中抽取一个成绩，求该成绩大于中位数的概率； (4)已知该校共有学生2000人，学校准备对本次测验安全意识薄弱的学生（D：）进行安全教育，请估计该校需要参加安全教育活动的学生人数． 【答案】(1)200 (2)，， (3)众数为97，中位数为，概率为 (4)300名 【分析】（1）用C等级人数除以所占百分比即可； （2）用总人数乘以B等级所占百分比可得m，用D等级人数除以总人数可求所占百分比； （3）根据众数、中位数的定义及概率公式求解； （4）利用样本估计总体思想求解． 【详解】（1）解：抽取学生总数为：（名）； （2）解：， ； （3）解：A组数据中97出现了4次，出现的次数最多，因此众数为97； A组数据共18个，按从小到大顺序排列后，第9位、第10位分别为96，97， 因此中位数为：； 随机从该组数据中抽取一个成绩，该成绩大于中位数的概率为； （4）解：（名） 答：估计该校需要参加安全教育活动的学生人数为300名． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $