精品解析：黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题

2023年秋季开学考试高三数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：（本大题共8小题，每题5分，共计40分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 若集合，，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求解出集合和集合，根据集合的包含关系可确定结果. 【详解】， 本题正确选项： 【点睛】本题考查集合间的包含关系，属于基础题. 2. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质可判断A，利用特殊值可判断BD，根据指数函数的性质可判断C. 【详解】∵，，∴，故A错误； 当时，，故B错误； 由，可得，故C正确； 当时，，故D错误. 故选：C. 3. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. y＝x－1和y＝ B. y＝x0和y＝1 C. f（x）＝（x－1）2和g（x）＝（x＋1）2 D. f（x）＝和g（x）＝ 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义域、对应关系可逐项判断可得答案. 【详解】y＝x－1的定义域为，y＝的定义域为，函数定义域不同，A错误； y＝x0的定义域为，y＝1的定义域为，函数定义域不同，B错误； f（x）＝（x－1）2和g（x）＝（x＋1）2的定义域都为，但是两函数的对应关系不同，故C错误； f（x）＝的定义域为，g（x）＝的定义域为，故D正确. 故选：D. 4. 下列函数中，既是奇函数又在其定义域上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性的定义和正切函数，正弦函数，幂函数的单调性判断. 【详解】对于A：函数是奇函数， 但是在上不是单调递增函数，A错误； 对于B：函数为奇函数，但是在定义域上不是单调递增函数，B错误； 对于C：函数为奇函数，在定义域上为单调递增函数，C正确； 对于D：函数是奇函数，但是在定义域上不是单调递增函数. 故选：C. 5. 函数的导函数的图象如图所示，则 A. 是最小值点 B. 是极小值点 C. 是极小值点 D. 函数在上单调递增 【答案】C 【解析】 【详解】由图象得： 在 递增，在递减，在 递增， 是极小值点，故选C. 6. 函数的一个零点所在区间为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令,将化为,根据零点存在性定理可得 的一个零点在区间内,又的零点也是的零点,所以函数的一个零点所在区间为. 【详解】因为， 令，则，，，，. 又函数的图象是一条连续不断曲线，且, 所以根据零点存在性定理可得,有一个零点在区间内， 又的零点也是的零点, 所以的一个零点所在区间为. 故选A. 【点睛】本题考查了零点存在性定理,解题关键是转化为判断的零点所在的区间.属基础题. 7. 已知函数y= f(x)为奇函数，函数y= f(x+1)为偶函数，当时函数则（ ） A. 0 B. 1 C. 6 D. 2020 【答案】A 【解析】 【分析】 由y= f(x)为奇函数和函数y= f(x+1)为偶函数，可得y= f(x)的周期为4.再算出一个周期内的函数值之和以及多少个周期和余数，得解. 【详解】y= f(x)为奇函数 y= f(x+1)为偶函数 y= f(x+1)图像关于y 轴对称 y= f(x+1)由y= f(x)向左平移一个单位得到 y= f(x)关于直线x=1对称，即 y= f(x)周期T=4 ，，， 故选：A. 【点睛】本题综合考查函数的奇偶性、对称性、周期性，对知识的综合应用能力要求较高，难度一般. 8. 若正实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 12 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由，变形为，再利用基本不等式得到，从而得到，然后利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】因为， 所以， 因为x，y为正实数， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 解得. 所以的最小值为4 故选：D 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 二、多选题：（9-12题，每题5分，部分答对得2分，共计20分） 9. （多选）在同一直角坐标系中，函数（a＞0且a≠1）的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】 对a进行讨论，结合指数函数，对数函数的性质即可判断； 【详解】由函数， 当a＞1时，可得是递减函数，图象恒过（0，1）点， 函数，是递增函数，图象恒过， 当1＞a＞0时，可得是递增函数，图象恒过（0，1）点， 函数，是递减函数，图象恒过； ∴满足要求的图象为：A，C 故选：AC 【点睛】本小题主要考查指数函数、对数函数图象与性质. 10. 已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 关于x的不等式的解集为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系，即可由根与系数的关系得，进而结合选项即可求解. 【详解】由不等式的解集为，所以和1是方程的两个根，由根与系数的关系可得 ，解得 ， 故A错误，B正确，，故C正确， 不等式变为，解得，故D错误， 故选：BC 11. 已知、分别是方程，的两个实数根，则下列选项中正确的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】在同一直角坐标系中画出的图象，可判断AB，然后结合不等式的性质可判断CD. 【详解】函数在同一坐标系中的图象如下： 所以， 所以 所以 所以， 故选：BD 12. 已知函数对于任意的，均满足，其中是的导函数，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，结合单调性可判断各选项中不等式的正误. 【详解】令，其中，则， 当时，，则， 当时，，则， 所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 对于A选项，因为，则，即， 所以，，A对； 对于B选项，， 因为，则，即， 所以，，即，B对； 对于CD选项，， 因为，则，即， 所以，，即，C对D错. 故选：ABC. 第Ⅱ卷（共90分） 三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共计20分） 13. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据指数幂和对数的运算法则即可求解. 【详解】 . 故答案为：. 14. 曲线在点处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求切线斜率，利用点斜式求出切线方程. 【详解】设， 则， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 故答案为： 15. 若定义域为的函数是偶函数，则的递减区间是____________. 【答案】,（或者，） 【解析】 【分析】定义域为的函数是偶函数，得出，，可得，即可求出 的递减区间. 【详解】定义域为的函数是偶函数， ， 的递减区间是（或者，） 故答案为：（或者，） 【点睛】本题考查偶函数的定义，偶函数定义域关于原点对称，属于中等题型. 16. 已知函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2+2f(x)+m=0有三个不同的实根，则m的取值范围为____. 【答案】(-∞，-3] 【解析】 【分析】由函数的图象可得方程有两个不等实根，，或，即可求解． 【详解】解：函数，的图象如下： 关于的方程有三个不同的实根． 则方程有两个不等实根，． ①时，，此时方程有两个不等实根1，，符合题意． ②时，，． 综上，， 故答案为：． 【点睛】函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 四、解答题：（本大题共6小题，共计70分） 17. 已知；． （1）若，则是的什么条件？ （2）若p是q的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）充分不必要条件 （2） 【解析】 【分析】(1)由集合的包含关系即可确定;(2) 若p是q的必要不充分条件可确定包含关系,注意空集的情况即可. 【小问1详解】 由解得, 当时，q：， 显然是的真子集， 所以p是q的充分不必要条件． 【小问2详解】 p是q的必要不充分条件， 所以是的真子集． ①当时，即，解得 ,满足题意, ②当时，且等号不同时成立，解得 的取值范围：． 18. 已知函数，若函数的图象过点（0，4）． （1）求实数的值； （2）求函数的值域． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】 （1）把代入可解得； （2）求出的定义域，由对数运算法则化函数为，在定义域内求出的取值范围后可得函数的值域． 【详解】（1）函数 的图象过点0，4，∴，解得 （2）由（1）可知， ∵∴ ∴，设，则， 又在上是单调递减函数，∴ ∴函数的值域是． 【点睛】本题考查对数型复合函数的值域，解题时要注意先求得函数定义域，然后利用对数函数的单调性求解． 19. 如图，在三棱柱中，为边长为2的正三角形，为的中点，2，且，平面平面. （1）证明：； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，推导出，由平面平面，得平面，由此能证明； （2）由，平面，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值． 【小问1详解】 证明：连接， 在中，∵，， 所以为等边三角形， 又为的中点， ， 平面平面，平面平面， 平面， 平面， ； 【小问2详解】 解：为边长为2的正三角形，为的中点， ，由（1）知平面， 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，，0，，，0，，，0，，， ，1，，，0，， 设平面的法向量，，， 则，取，，， 因为，，， 所以平面， 则平面的法向量可取，1，， ， 平面与平面所成角的正弦值为． 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1） （2）最大值为4，最小值为0 【解析】 【分析】（1）直接求导找出切点处斜率，再将代入原函数得到纵坐标从而得到切线； （2）令其导函数大于0，判断函数在的单调性从而确定最值． 【小问1详解】 对函数求导，， ， 所求得的切线方程为， 即； 【小问2详解】 由（1）有， 令，解得：或， 故函数在递增，在递减， 故函数在取最大值， ，， 故函数在的最大值为4，最小值为0． 21. 已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线，交椭圆于异于点的，两点，直线，的斜率分别为，，证明为定值． 【答案】（1）；（2）当直线的斜率不存在时，直线与椭圆只有一个交点，不满足题意. 当直线的斜率存在时，设其方程为， 将直线方程代入椭圆， 整理得， 则，， 由题知不为零，从而 综上，恒有． 【解析】 【分析】（1）利用两点求斜率可得，再根据离心率，可得，即求出椭圆的方程. （2）讨论直线的斜率不存在时，不满足题意；直线的斜率存在时，设其方程为，将直线与椭圆方程联立，消去，整理出关于的一元二次方程，利用韦达定理即可求解. 【详解】（1）设，由条件知，得． 又，所以，． 故的方程为． （2）略 【点睛】本题考查了由离心率求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系中的定值问题，考查了考生的计算求解能力，属于中档题. 22. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）设，函数有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域以及，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （2）由可得，令，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：函数的定义域为，且. 当时，即当时，对任意的，，此时函数的增区间为； 当时，即当时，由可得，由可得， 此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 解：由，可得，其中， 构造函数，其中，所以，直线与函数的图象有两个交点， ，当时，，此时函数单调递增， 当时，，所以，函数单调递减， 所以，函数的极大值为，且当时，，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年秋季开学考试高三数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：（本大题共8小题，每题5分，共计40分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 若集合，，则 A. B. C. D. 2. 若，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. y＝x－1和y＝ B. y＝x0和y＝1 C. f（x）＝（x－1）2和g（x）＝（x＋1）2 D. f（x）＝和g（x）＝ 4. 下列函数中，既是奇函数又在其定义域上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的导函数的图象如图所示，则 A. 是最小值点 B. 是极小值点 C. 是极小值点 D. 函数在上单调递增 6. 函数的一个零点所在区间为 A. B. C. D. 7. 已知函数y= f(x)为奇函数，函数y= f(x+1)为偶函数，当时函数则（ ） A. 0 B. 1 C. 6 D. 2020 8. 若正实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 12 D. 4 二、多选题：（9-12题，每题5分，部分答对得2分，共计20分） 9. （多选）在同一直角坐标系中，函数（a＞0且a≠1）的图象可能是（　　） A. B. C. D. 10. 已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 关于x的不等式的解集为 11. 已知、分别是方程，的两个实数根，则下列选项中正确的是（ ）. A. B. C. D. 12. 已知函数对于任意的，均满足，其中是的导函数，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共90分） 三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共计20分） 13. 计算：_________． 14. 曲线在点处的切线方程为______. 15. 若定义域为的函数是偶函数，则的递减区间是____________. 16. 已知函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2+2f(x)+m=0有三个不同的实根，则m的取值范围为____. 四、解答题：（本大题共6小题，共计70分） 17. 已知；． （1）若，则是的什么条件？ （2）若p是q的必要不充分条件，求实数的取值范围． 18. 已知函数，若函数的图象过点（0，4）． （1）求实数的值； （2）求函数的值域． 19. 如图，在三棱柱中，为边长为2的正三角形，为的中点，2，且，平面平面. （1）证明：； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最值． 21. 已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线，交椭圆于异于点的，两点，直线，的斜率分别为，，证明为定值． 22. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）设，函数有两个不同的零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $