两条直线的位置关系讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学单元复习讲义通过表格系统梳理两直线平行与垂直的判定条件，分类呈现三种距离公式，并结合对称问题、直线系方程等方法技巧，构建“判定-距离-对称-应用”的逻辑知识脉络，突出核心概念间的内在联系。 讲义亮点在于分层设计题型，涵盖位置关系判定、距离计算、对称应用等，如结合折纸问题（例2）、欧拉线定理（例3）培养数学思维与模型观念，方法指导提供对称问题三步法等实用技巧，基础学生可掌握通法，优秀学生能探究综合应用，助力教师实施精准化复习教学。

两条直线的位置关系 知识点一：两直线平行与垂直的判定 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 知识点二：三种距离 1．两点间的距离 平面上两点的距离公式为． 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 2．点到直线的距离 点到直线的距离 特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离 3．两条平行线间的距离 已知是两条平行线，求间距离的方法： （1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． （2）设，则与之间的距离 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 4．双根式 双根式型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解． 【方法技巧与总结】 1．点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有可得对称点的坐标为 2．点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． 3．直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 4．直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 5．常见的一些特殊的对称 点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于点的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 6．过定点直线系 过已知点的直线系方程（为参数）． 7．斜率为定值直线系 斜率为的直线系方程（是参数）． 8．平行直线系 与已知直线平行的直线系方程（为参数）． 9．垂直直线系 与已知直线垂直的直线系方程（为参数）． 10．过两直线交点的直线系 过直线与的交点的直线系方程：（为参数）． 题型一：两直线位置关系的判定 例1（1）（25-26高二上·上海·阶段检测）已知直线，直线，若，则实数的值为（   ） A．2 B． C．1 D．1或 【详解】若，则，即，解得或，当时，直线：与：，符合题意；当时，直线：与：，两直线重合，不合题意.综上， .故选：B. （2）（2026·天津河西·三模）设，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】由，若，则、重合，充分性不成立，由，则必有，必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件. （3）（25-26高二上·重庆·期中）已知直线与垂直，则实数的值为（    ） A． B．1或 C．1 D．或5 【详解】由于，所以，解得或.故选：B （4）（25-26高二下·浙江·开学考试）已知，q：直线与直线平行，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】因为直线与直线平行，所以，即，解得或.当时，，满足平行条件.当时，，满足平行条件.所以，两直线平行时或.因此是的充分不必要条件. 例2（1）（25-26高二上·江苏常州·期末）已知直线平行，则实数的值为（    ） A．－1 B．－7 C．－1或－7 D．1或7 【详解】直线平行，则 解得或；检验当时，两直线重合；当时，，两直线平行.实数的值应为－7． （2）（高二上·湖北武汉·期末）张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，点与点重合，则（    ） A． B． C． D． 【解析】设，，则点，所在直线的斜率为，由题意知，过点，的直线与直线平行，所以，整理得：.故选：B （3）（多选题）瑞士数学家欧拉（Euler）在1765年在其所著作的《三角形的几何学》－书中提出：三角形的外心（中垂线的交点）、重心（中线的交点）、垂心（高的交点）在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线．若△ABC的顶点A（－4，0），B（0，4），其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则下列说法正确的是（       ） A．△ABC的外心为（－1，1） B．△ABC的顶点C的坐标可能为（－2，0） C．△ABC的垂心坐标可能为（－2，0） D．△ABC的重心坐标可能为 【解析】由顶点A（－4，0），B（0，4），可知直线AB的垂直分线方程为，的外心在直线x－y＋2＝0上，联立，可得外心坐标为（－1，1），故A正确；设外心为G，则G（－1，1），故，所以外接圆方程为，设，则的重心为，代入欧拉线方程为x－y＋2＝0中，得：，和联立，解得或，即C点坐标可以为，故B错误；由C点坐标为，可知重心可能为，故D正确；当C点坐标为时，过C和AB垂直的直线方程为，联立欧拉线方程为x－y＋2＝0可解得垂心坐标为；当C点坐标为时，过C和AB垂直的直线方程为，联立欧拉线方程为x－y＋2＝0可解得垂心坐标为，故C正确 （4）（多选题）（25-26高二上·湖北十堰·期中）已知：，：，则下列说法正确的是（   ） A．的充要条件是或 B．若，则 C．若直线不经过第四象限，则 D．若将直线关于原点对称后得到的直线纵截距为1，则 【详解】对于A：若，则，即，解得或，当时，：，：，则，符合题意；当时，：，：，则，符合题意，所以的充要条件是或，故A正确；对于B：若，则，解得，故B正确；对于C：：即，若直线：不经过第四象限，则，解得，故C错误；对于D：直线：关于原点对称后得到的直线为，则纵截距为，解得，故D正确．故选：ABD 例3（1）（多选题）（25-26高二上·安徽宿州·期末）已知直线和直线，下列说法正确的是（   ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则 D．当时，始终不过第三象限 【详解】对于A，直线：，由，得，，始终过定点，故A正确；对于B，若，则有，解得，故B正确；对于C，，则，解得或，故C错误；对于D，当时，始终过，因为，所以直线斜率，不会过第三象限，故D正确．故选：ABD． （2）（25-26高二下·上海杨浦·期末）已知三条直线：，：，：，． （1）若，求的值； （2）若、、不能围成三角形，求的值． 【详解】（1）对于直线和，垂直的充要条件为， 代入、的系数得： ，解得 （2）三条直线不能围成三角形分两类： ① 三线共点：联立和的方程，解得交点为，代入得： ，化简得，解得或； ② 存在平行直线：若，则，解得，此时两直线平行；若，则，解得，此时两直线平行；若，则，即，无实根，不存在符合条件的， 综上，的取值为、、、. 题型二：直线的交点问题 例4（1）（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）经过与的交点且垂直于的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意联立方程，解得，则直线与的交点为，由可知其斜率为，则与直线垂直的直线斜率为，所以过直线与的交点且垂直于的直线方程为，化简可得.故选：B. （2）（24-25高二上·北京·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（   ） A．24 B．0 C．20 D． 【详解】因为直线与互相垂直，所以，解得； 垂足在直线上，所以，垂足在直线上，所以，所以.故选：C （3）（24-25高二上·江西抚州·阶段检测）已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（    ） A．20 B． C．0 D．24 【详解】已知直线的斜率为，直线的斜率为．又两直线垂直，则，解得． ，即，将交点代入直线的方程中，得．将交点代入直线的方程中，得．所以，．故选：B． （4）（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为(    ) A．4 B．8 C． D． 【详解】直线，当，得，即点，直线，当，得，即点，且两条直线满足，所以，即，， ，当时，等号成立，所以的最大值为4.故选：A 例5（1）（25-26高二上·江西九江·阶段检测）下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（    ） A． B． C． D． 【详解】当直线平行于时，．当直线平行于时，，当 平行于时，，无解．当三条直线经过同一个点时，把直线 与的交点，代入，得，解得：或，综上，满足条件的的集合为为.故选：C． （2）（24-25高二上·广东梅州·阶段检测）已知直线与的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意可得，两条直线不平行，故它们的斜率不相等，即，由，解得，两直线的交点在第四象限，则有，解得或，所以实数k的取值范围为.故选：D. （3）（24-25高二下·上海·阶段检测）若点既是的中点，又是直线与的交点，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【详解】直线与直线的方程相减可得，， 把点代入可得，所以，所以线段的垂直平分线的方程是，即，故选：C （4）（多选题）（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）已知三条直线能构成三角形，则实数可能为（   ） A． B． C． D．6 【详解】若三条直线不能构成三角形，则直线存在以下三种情况；①当与平行（或重合）时，则，解得； ②当与平行（或重合）时，则，解得； ③当三条直线交于同一点时，由，解得，代入解得. 所以选项中，三条直线能构成三角形的实数可能为，AC正确，故选：AC. 例6（1）（多选题）（25-26高二上·安徽亳州·阶段检测）已知与是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况说法错误的是（   ） A．无论k、M、N如何，总是无交点 B．存在k、M、N使之无交点 C．无论k、M、N如何，总是唯一交点 D．存在k、M、N使之有无穷多交点 【详解】由于与是直线（k为常数）上两个不同的点，故，， 又，由于，因此，故直线不平行，也不重合，故两直线相交，因此只有唯一的交点，故C正确，ABD错误，故选：ABD （2）（25-26高二上·山西·期中）在中，点A的坐标为,边的中线所在的直线方程为，边的高线所在的直线方程为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【详解】 设点,线段的中点为,则.因为点必在的高线上，故有；因为边的中线所在直线方程为上,即点在该直线方程上,故有.联立,解得.即点.故选：B. （3）（25-26高二上·福建福州·期中）三条直线与相交于一点，则___________． 【详解】根据题意，联立方程，解得，所以与相交于点，因为三条直线与相交于一点，所以点在上，即，解得所以.故答案为： （4）（24-25高二上·四川自贡·期中）设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【详解】由题设，的方向向量分别为，，， 若，则，此时，，，它们交于一点，不符；若，则或或，当时，，，，满足题设； 当时，，，，满足题设； 当时，，重合，不符；若，则或，当时，，，，满足题设； 当时，同上分析，不符.综上，、、时满足要求，故有3组.故选：B 例7（1）（多选题）（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）已知三条直线，与共有两个不同的交点，则的值可能是（   ） A． B． C． D．2 【详解】要使三条直线共有两个不同的交点，则有两条直线平行，第三条直线与它们不平行． 因为直线与不平行，所以或．当时，,解得；当时，，解得．综上，的值可能是或． （2）（25-26高二上·江西南昌·期中）已知两直线，． （1）求过直线交点P，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； （2）若直线与直线能构成三角形，求实数a的取值范围． 【详解】（1）由题意得，，解得，∴点P的坐标为．设所求直线为l， （i）当直线l在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为，则，解得，所以直线l的方程为，即； （ⅱ）当直线l在两坐标轴上的截距为0时，设直线方程为，则，解得， ∴直线l的方程为，即．综上，直线l的方程为或． （2）（i）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅱ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （iii）当直线过与的交点时，不能构成三角形，此时，解得．综上，当，且，且时，能构成三角形．即实数a的取值范围为. （3）（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知直线，直线和． （1）求证：直线恒过定点； （2）设（1）中的定点为与的交点分别为，若恰为的中点，求． 【详解】（1）证明：可化为，由于，则，解得，即直线恒过定点．所以直线恒过定点. （2）由（1）知，不妨设，因为恰为的中点，所以．因为分别在直线和直线上，所以，解得，所以．将代入直线的方程得：，解得. 题型三：有关距离的计算 例8（1）（24-25高二下·浙江·开学考试）已知点及直线上一点，则的值不可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】易知点到直线的距离为，所以，因此的值不可能是1.故选：A （2）（25-26高二上·江苏镇江·期末）两条平行直线与之间的距离（   ） A． B． C． D． 【详解】变形为，与之间的距离.故选：D. （3）（2026·北京顺义·二模）已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意，直线过点，且原点到直线的距离，则直线的斜率存在，设直线的方程为，即，则，由，则，解得或， 又，则的取值范围是. （4）（25-26高二上·广东深圳·期中）已知，两点到直线的距离相等，求a的值（    ） A． B． C．或 D．或 【解析】因为点到直线的距离相等，所以，即，化简得，解得或.故选：C. 例9（1）（25-26高二下·贵州·阶段检测）已知直线经过定点且与直线垂直．若点和点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A．1或 B．1或 C． D．1 【详解】设直线的方程为，因为直线经过定点，故即，故直线的方程为，而点和点到直线的距离相等，故， 所以，所以或，A正确. （2）（25-26高二上·江苏常州·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（   ） A．12 B． C． D．6 【详解】因为直线与平行，它们之间的距离是，所以，解得，即直线为：，即，又两条直线之间的距离是，所以有：，解得：或（舍去），所以． （3）（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）已知点到直线的距离是，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【详解】易知点的轨迹为单位圆；对于A，B，圆心O到直线的距离为，则，当时等号成立，所以或5取不到，因此A，B均错误；对于C，D，由，可知点M到直线的最大距离，即，解得，所以C正确，D错误. （4）（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知直线，且与不垂直，则直线与之间距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】由可得，又与不垂直，所以；将直线化为，也即；因此直线与之间的距离为，令，整理可得，易知，整理可得，解得；当时，，此时两直线重合；当时，，满足条件，因此. 故选：C 例10（1）（2026·江苏南通·模拟预测）写一个到直线：，：的距离相等的点的坐标_____． 【详解】，，因为，所以到和距离相等的点在这两条直线的中位线上，设中位线的方程为，根据平行线间的距离公式可得到的距离为，到的距离为，，解得，即，当时，代入可得，即到直线和的距离相等. （2）（多选题）（25-26高二上·江苏·期末）已知直线，，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则直线，之间的距离为 C．直线过定点 D．若直线在两坐标轴的截距相等，则或 【详解】对于，直线的斜率为，若，则直线的斜率为，则，所以不垂直，故错误；对于，若，所以可得，则直线，由两平行直线距离公式可得，故正确；对于，可化为，所以直线恒过，故正确；对于，当直线与轴无截距，不满足条件，当，在两坐标轴的截距相等，分别令，可求出与轴截距为和轴截距，即 解之可得或，故正确.故选： （3）（25-26高二上·浙江绍兴·阶段检测）已知直线. （1）若直线过点，且，求直线的方程； （2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 【详解】（1）直线的斜率，因为，所以直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程是，即； （2）设直线，则直线与直线之间的距离，解得或，所以直线的方程是或. （4）（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线： ，直线： ，其中为实数. （1）当时，求的值； （2）当 时，直线，的交点为， ①直线经过，且与直线 垂直，求直线的方程； ②设，若直线过交点，且点到直线的距离等于1，求直线的方程. 【详解】（1）直线： 的斜率为，由，得直线的斜率存在且为， 由得，即，解得. （2）当 时，直线：，由，得，则， ①直线的斜率为，因为，所以，得，因为直线经过，其方程为，化简得直线的方程为. ②若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时点到直线的距离等于1，符合题意； 若直线的斜率存在且过点，设直线的方程为，即， 因为点到直线的距离等于1，则，化简得，解得，所以直线的方程为，综上所述，直线的方程为或. （5）（25-26高二上·北京·阶段检测）已知点和点． （1）求证：点在定直线上，并求直线的方程； （2）点在直线上，且为等腰直角三角形，求点的坐标． 【详解】（1）设点，由点，得，消去得， 所以点在定直线上，直线的方程为. （2）当为等腰的直角顶点时，，设，直线的方程为，则，解得，于是；由，解得或，则点或；当为等腰的直角顶点时，同理得点，或； 以点为顶点的三角形是等腰直角三角形，且点为直角顶点，因此为等腰的直角顶点时，点，或点，点，所以点的坐标是或或. （6）（24-25高二上·甘肃白银·期中）已知的顶点，，直线l：过定点． （1）若是的重心，求三边所在直线的方程； （2）若，且，求顶点的坐标． 【详解】（1）将l：整理得，由，得，所以，设，因为是的重心，所以，解得，所以，故所在直线的方程为，整理得， 所在直线的方程为，整理得， 所在直线的方程为，整理得； （2）因为点到直线的距离，又，所以点C到直线的距离为，因为，所以点C在的垂直平分线上， 中点坐标为，即，则的垂直平分线的方程为，即， 所以，解得或，所以或． 题型四：有关距离的最值问题 例11（1）（2025海浦东新·高二统考期中）已知点在直线上，则的最小值为________． 【解析】可以理解为点到点的距离，又∵点在直线上，∴的最小值等于点到直线的距离，且． （2）（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）已知，是正数，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【详解】是正数，，，，，， ， 表示点到点的距离与点到点的距离之和， 的最小值就是的值，且， 的最小值即的最小值为.故选：A.    （3）（25-26高三上·北京海淀·期末）已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【详解】已知点和点，根据两点间距离公式可得： ，故当时，. 故选：A （4）已知两点，动点在线段AB上运动，则的范围是________，的范围是________. 【详解】，表示线段上的点与点连线的斜率（）， ，结合图象知：的取值范围是.表示线段上的点与点连线的距离的平方，，直线的方程为则，到直线的距离为所以的范围是.故答案为：； 例12（1）（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）函数的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【详解】由，设，，.得的几何意义为的值.点关于轴对称点，所以.故选：B （2）（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【详解】不妨设点在点的左边，因为直线的倾斜角为，且，所以点的坐标为，则． 记，则可将理解为直线上一动点到的距离之和，如图，作出点关于直线的对称点，则，连接，交直线于点，则即的最小值，且，故的最小值为．   故选：A. （3）（多选题）（25-26高三·全国·一轮复习）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则下列说法正确的是（    ） A． B．为定值 C．的最大值为 D．的最大值为 【详解】由，得．因为，所以，得． 由，得．因为，所以，得．所以，A正确．由直线：和直线：，知．所以．所以．所以，为定值，B正确． ，当且仅当时，等号成立，C错误．因为，所以，即的最大值为，当且仅当时，等号成立，D正确．故选：ABD． 例13（25-26高二上·四川自贡·期末）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.函数下列结论正确的是（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为 C．方程6有两解 D．方程7无解 【详解】因为，所以的几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，，作点关于轴的对称点，，当，，三点共线时，取得最小值， ，所以，故A错误，B正确，因为，所以无解，故C错误，因为，所以有两解，故D错误. 故选：B. 例14（1）（25-26高一上·浙江杭州·期中）关于的方程在上有实数解，其中为实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【详解】由，得.设，当时为增函数，而，所以. 所以方程转化为.而即为点到点的距离的平方，而点满足，则的最小值即为点到直线距离的平方的最小值，即的最小值.而，设，则在为增函数，所以，则.所以最小值为. （2）（25-26高二上·广东广州·期末）已知直线与相交于点，点为坐标原点，则直线的斜率的最大值与最小值之和为（   ） A． B． C． D． 【详解】直线整理为，令，得定点； 直线整理为，令，得定点；因为，所以，则交点在以为直径的圆上.的中点为，半径， 圆的方程为.设直线的方程为，则圆心到直线的距离， 整理得，解得，所以斜率的最大值为，最小值为，最值和为.故选： （3）（2025高三·全国·竞赛）已知点，若直线，且直线与内（包括边界）点的最短距离等于直线与内（包括边界）点的最短距离，则直线的方程为_____. 【详解】由题意，则直线，如图，点B到直线l的距离最短，在DF上取点G，使得，且直线于点M，则，即M为BG的中点，所以，又，则直线，联立，解得，由中点坐标公式得，且直线l的斜率，所以直线l的方程为，即. 故答案为： （4）（25-26高二上·湖北十堰·期中）已知实数，，，满足，则的最小值为________. 【详解】由题意得，化简得，所以点分别在两平行直线上，且，而表示这两点之间距离的平方，所以其最小值为两平行直线间距离的平方，即为.故答案为：. 15.（1）（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）函数的最大值为________． 【详解】因为，所以问题可转化为求动点与点，的距离之差的最大值．如图： 因为，当且仅当，，三点共线时等号成立，所以，此时．故答案为： （2）（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知，则的最大值是______. 【详解】因为，设， ， 令，则，则上式为， 设，点为双曲线位于第一象限的点， 可以看成点到点两点的距离之差，又，所以的最大值是.   故答案为： （3）（2026高二·全国·专题练习）已知非负实数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．7 D． 【详解】设原点关于直线的对称点为，则，故，故. 设，因为，为非负实数，且，欲求的最小值，即求线段上的点到轴的距离与到原点距离之和最小，即为的最小值，如图，设在轴上的垂足为，则， 当且仅当共线时等号成立， 故的最小值为. 题型五：直线的对称问题 16.（1）（25-26高二上·山东东营·阶段检测）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，则， 所以对称点的坐标为，故选：A. （2）（24-25高二上·浙江杭州·阶段检测）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为点关于直线对称的点为，所以直线为线段的中垂线，因为，中点为，且，所以直线的斜率为，所以直线的方程为即.故选：D （3）（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】由题意得，直线，∴两直线与直线间的距离相等，∵方程可化为：，，∴，解得.故选：C. （4）（25-26高二上·新疆克拉玛依·期中）已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好经过，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】由点，得出其关于轴的对称点为，又点在反射光线所在的直线上，且经轴反射后经过点，所以反射光线所在的直线为，化简得.故选：A 17.（1）（25-26高二上·广东·期末）一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】设点关于直线的对称点，则，解得，即点，故所求直线的斜率为，所以，所求直线的方程为，即.故选：A （2）（24-25高二上·湖南岳阳·阶段检测）将一张画有平面直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0，2)与点B(4，0)重合，若此时点C(7，3)与点D(m，n)也重合，则m+n的值为（    ） A． B． C． D． 【详解】根据题意不妨设点A与点B关于直线l对称，则点C与点D也关于直线l对称.易知kAB=-，所以直线l的斜率为2，又易知AB的中点坐标为(2，1)，则直线l的方程为y-1=2(x-2)，即y=2x-3， 因为CD中点在直线l上，且kCD=-，所以可列方程组为解得所以m+n=.故选：A （3）（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）一条沿直线传播的光线经过点，且在轴上的截距为，然后被直线反射，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】入射光线所在直线的方程为，即，由解得，即入射点的坐标为，设关于直线对称的点为，则，解得，即，因为反射光线所在直线经过入射点和点，所以反射光线所在直线的斜率为，所以反射光线所在直线的方程为，即．故选：B． （4）（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】由，解得，所以直线与直线的交点为，在直线上取点关于直线对称的点为，所以，解得，所以点关于直线对称的点为，所以直线的斜率为，故对称直线的方程为，即，故选：B. 18.（1）（25-26高二上·上海浦东新·期末）在等腰直角中，，点P是边上异于端点的一点，光线从点P出发经，边反射后又回到点P，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 【详解】在等腰直角中，，建立如图所示的直角坐标系，则，   直线方程为，且的重心为，设，关于直线的对称点为，则，解得，则，而关于轴的对称点为，由光的反射定律知四点共线，且，，因此直线的方程为，即，由直线过，得，而，解得，即点，，，则，所以的周长为.故选：B （2）（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（    ） A． B．4 C． D． 【详解】设点关于直线的对称点，则中点在直线上， 且与直线垂直，的斜率为，则的斜率为.根据垂直斜率关系，即.将中点代入直线得，将代入可得：，解得，把代入得，所以，所以.故选：C. （3）（25-26高二上·四川自贡·期中）在中，已知顶点，过点的角平分线方程是，过点的中线的方程是，则直线的方程为______________. 【详解】因为过点的角平分线方程是，所以设，又因为，所以线段的中点为，又因为过点的中线的方程是，所以，解之得，于是，设关于直线的对称点为，所以，解之得，即，因为直线为过点的角平分线方程，所以在直线上，所以直线即直线，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故答案为：. （4）（25-26高三上·河北石家庄·阶段检测）已知直线：与直线：交于点M，点M关于直线对称的点为，则的取值范围是________. 【详解】由，解得，可得，所以，即，，当时，，，则无意义；当时，，当且仅当即时等号成立；当时，，当且仅当即时等号成立；综上，的取值范围是.故答案为： （5）（25-26高二上·四川自贡·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，则面积为_____________ 【详解】由题意知，设，∵AB的中点在直线上， ∴，解得，∴.由角平分线的性质，点A关于平分线的对称点在直线BC上，得，解得，所以，由和B得BE的方程. 由，解得，即，得，点A到直线BE的距离为，所以.故答案为： 19.（1）（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）如图所示，在平面直角坐标中，已知矩形的长为2，宽为1，边､分别在轴､轴的正半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上，若折痕所在直线的斜率为，则折痕所在的直线方程为__________.    【详解】当时，此时点和点重合，折痕所在的直线的方程，当时，将矩形折叠后点落在线段上的点为，，所以与关于折痕所在的直线对称，由，即，解得：，故折痕所在的直线的方程. ，从而折痕所在的直线与的交点坐标为，折痕所在的直线方程为，即，综上所述：折痕所在的直线的方程为：.故答案为：. （2）（2026高二上·广东·专题练习）在等腰直角中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则____________． 【详解】在等腰直角中，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，则，的重心，直线方程为，设关于和直线的对称点分别为，则，记，则，解得，由光的反射定律知，三点共线，则，即，而，所以，即.故答案为： （3）（25-26高二上·湖北·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的角平分线方程为. （1）求点的坐标和直线的方程； （2）求边上的高所在直线方程. 【详解】（1）设，点，则线段的中点，∵点在直线方程上，∴，即①，∵点在直线上，∴②， 联立①②解得，故，设点关于的角平分线的对称点为，则，解得，即，由题意在直线上，所以直线的方程为，即.    （2）联立中线与直线的方程，得，解得，即， 所以，则边上的高所在直线的斜率为，又在高线上，所以边上的高所在直线方程，即. （4）（25-26高二上·江西·期中）已知直线，点．求： （1）点关于直线的对称点的坐标； （2）直线关于直线的对称直线的方程． 【详解】（1）直线的斜率为，设，又，依题意可得，解得，所以. （2）在直线上取一点，则关于直线的对称点必在直线上，设对称点， 则，解得，故.设直线与直线的交点为，则由，解得，即.所以直线经过点，则，所以直线的方程为，即.    （5）（25-26高二上·江苏宿迁·期中）在中，的平分线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，已知点坐标为. （1）求点的坐标； （2）求直线的方程. 【详解】（1）设直线的方程为，把点代入直线方程可得，所以直线的方程为，联立，解得，即点的坐标为. （2）设点关于直线的对称点为，直线的斜率为，则直线的斜率为，并且的中点在直线上，即，解得，所以， ，所以直线的方程为，即. （6）（25-26高二上·湖北武汉·期中）在中，顶点在一三象限的角平分线上，顶点的坐标为，的角平分线CD所在的直线方程为，边上的高线斜率为3. （1）求边所在的直线方程； （2）若直线l过点B，且点A、C到直线l的距离相等，求直线l的方程. 【详解】（1）由顶点B的坐标为，BC边的高线的斜率为3，得直线BC方程为，即，而的角平分线CD所在的直线方程为，由，解得，则，设顶点B关于直线CD的对称点为，显然在直线AC上， 则，解得，即，直线的斜率，所以直线AC的方程为，即. （2）由（1）知，直线，由点A在一三象限角平分线上，得点，由直线l过点B，且点A、C到直线l的距离相等，得直线l过边AC的中点或，当直线l过时，直线l的斜率为，方程为，即，当直线时，直线l的斜率为，方程为，即，所以直线l的方程为或. 题型六：直线的综合应用 20（1）（25-26高二上·安徽黄山·阶段检测）已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线l2： 2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（   ） A． B． C． D． 【详解】直线可化为，由可得，即直线恒过定点，直线可化为，由，解得，即直线恒过定点， 由可得，即直线与轴交点为，由可得，即直线与轴交点为，则四边形由点围成， 其面积，当时，取得最小值. 故选：D. （2）（25-26高二上·广东东莞·期中）如图，“爱心”图案由函数的图像的一部分及其关于直线的对称图形组成，点是该图案上一动点，是其图象上点关于直线的对称点，连接，则的最大值为_______． 【详解】由对称性可知，求的最大值，转化为该图案上的点到直线距离的最大值的2倍， 由对称性不妨设点为图案上上方的点，联立与，得，解得：，所以图案在上方的点的正坐标为，设图案在上方的点，，则点到直线的距离为，当时，取得最大值，所以的最大值为. （3）（25-26高二上·宁夏银川·期中）已知实数，则的取值范围是______. 【详解】根据题意，设直线：，设点那么点到直线的距离为：， 因为，所以，且直线的斜率，当直线的斜率不存在时，，所以，当时， ，所以，即，因为，所以，故答案为：. 21（1）（25-26高二上·湖北·期中）已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． （1）求垂心的坐标； （2）求所在的直线方程； （3）若关于直线：的对称点为，求点到直线的距离． 【详解】（1）如图所示：设的边上的高为，边上的高为，   设：，：，联立得， 解得，所以垂心； （2），由“三条高线交于一点”可得：，所以，因为，设所在直线方程为，代入解得：，所以所在直线方程：，联立直线与的方程，可得，解得，所以，所以所在直线方程：，整理后可得：.    （3）设关于直线：的对称点，则有，且的中点在上，所以，整理得，解得，所以，所以到直线的距离为． （2）（25-26高二上·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，已知两直线：和：，定点. （1）若与相交于点，求直线的方程； （2）若恰好是的角平分线所在的直线，是中线所在的直线，求的边所在直线的方程. 【详解】（1）由题意有：，所以，所以，所以 ，即，所以直线的方程为： （2）由题意，可设，又为的中点，所以，又因为在直线上，所以，解得，所以，所以，又的方程为，所以的斜率为，因为恰好是的角平分线所在的直线，所以，即，解得，所以，即，所以直线的方程为：. （3）（25-26高二上·安徽合肥·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点是. （1）若直线过点，且点到直线的距离相等，求直线的方程； （2）若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，求证：当取得最小值直线平分的面积. 【详解】（1）因为点到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点， ①当直线与平行，因为，且过点，所以方程为，即； ②当直线通过的中点，所以，所以的方程为，即．综上：直线的方程为或． （2）由题意设，其中为正数，可设直线的方程为，因为直线过点，所以，，由基本不等式可得，当且仅当即时，取等号， 此时直线的方程为，即，点到直线的距离，点到直线的距离，，，所以， 故当取得最小值时，直线平分的面积. （4）（24-25高二上·广东珠海·阶段检测）已知直线，的方程分别是，点的坐标为，过点的直线的斜率为，且与，分别交于点，（，的纵坐标均为正数） （1）当时，线段恰好被点平分，求斜率的值及的面积； （2）问是否存在实数，使得的值与无关？若存在，求出所有这样的实数；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）解：因为直线过点，且斜率为，可得直线的方程为， 因为直线与分别交于点，所以，联立方程组，解得，即，联立方程组，解得，即,又因为的纵坐标均为整数，可得，即，因为，所以，当时，可得，，，因为点为的中点，可得，解得，所以，，，则的面积. （2）解：假设存在满足题意的实数，使得的值与无关，由（1）知，，，且，可得，所以，因为，所以当时，（定值）， 所以存在实数时，使得的值与无关. 练习题 1.（25-26高二上·云南保山·期末）已知直线与平行，则两直线间的距离为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为直线与平行，所以，解得，则直线为，即，则两直线间的距离. 2.（2026·湖北·二模）将直线绕点逆时针旋转（为锐角，其中）后所得直线方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】设直线的倾斜角为，所求直线倾斜角为α，又为锐角，其中，所以，则，即，故直线方程为．故选：A 3.（25-26高二上·上海·期末）设常数，已知直线，直线，则“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【详解】当 时，直线 ：，则，直线 ：，则，两直线斜率相同，截距不同，故平行，所以 是直线 的充分条件；当 时，则 得 ，解得 或 ，验证 ：：，：，两直线重合，不满足平行，故舍去，因此， 是直线 的必要条件.综上，“”是“直线 与直线 平行”的充要条件.故选：C. 4.（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（    ） A． B． 或 C． D．或 【详解】整理直线的方程，可知直线恒过定点，所以直线的斜率为，直线的斜率为， 直线与线段相交（包含端点），则直线的斜率需或：当时，直线的方程为，即轴，与线段交于点，符合条件；当时，直线的斜截式方程为，斜率为，若，解得；若，解得或，综上，的取值范围是或. 5.（25-26高二上·广东东莞·期中）已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】直线方程可化为：，令得，所以直线恒过定点， 因为，所以，又，所以直线与线段有交点，如图所示， 由，则，，要使直线与线段有交点，则直线的斜率需满足，则直线的倾斜角范围为.故选：B 6.（25-26高二上·江苏南京·期中）若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【详解】由条件可知，，，且，两式相加得，即，得，点是直线和的交点，所以，    所以点满足直线，即直线方程为，，与直线垂直的直线方程的斜率为，所以中垂线方程为，整理为.故选：A 7.（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为(    ) A．4 B．8 C． D． 【详解】直线，当，得，即点，直线，当，得，即点，且两条直线满足，所以，即，，，当时，等号成立，所以的最大值为4.故选：A 8.（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【详解】如图，过点作点关于直线的对称点，则. 设，则有，解得，所以.设第一象限内的点，则，所以，而，，所以点到轴的距离为，所以可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和. 过作轴，显然有，当且仅当三点共线时，和有最小值.过点作轴，则即为的最小值，此时与重合.又，所以的最小值为.故选：B 9.（25-26高二上·广东东莞·期中）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则的长度等于（    ）    A． B． C． D． 【详解】  如图，建立平面直角坐标系，则，，，的重心坐标为，方程为，设，.根据光的反射原理以及已知可知，点关于的对称点在的反向延长线上，点关于轴的对称点在的延长线上，即四点共线.由已知可得点满足，解得，所以.易知.因为四点共线，所以有直线的斜率为，所以，直线的方程为.由于直线过重心，所以有，整理可得，解得或（舍去），所以直线的方程为，整理可得.所以，点坐标为.联立与的方程，解得，即，所以，. 10.（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）在平面直角坐标系中，，直线的斜率与直线的斜率的差是2，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 【详解】设 ，因为直线的斜率与直线的斜率的差是2，所以， 化简得到点 M 的轨迹方程， ，由，将代入得到 ，令得到且，所以，（且）为开口朝上的二次函数，对称轴当时，，所以.故选：A. 11.（25-26高三上·河北张家口·期末）已知直线的倾斜角为，直线与轴的交点为点，绕点顺时针方向旋转得到直线，与轴的交点为点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意，直线的倾斜角为，直线与轴的交点为点，所以， 又直线绕点顺时针方向旋转得到直线，所以直线的斜率，所以直线的方程为，令，可得，所以.故选：D 12.（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，，则的欧拉线方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以的重心，即， 又因为，，所以，所以，所以的外心为的中点，即，所以直线的方程为，即，又三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上，所以的欧拉线方程为.故选：B. 13.（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知点，且点在直线上，则下列说法错误的是（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．（为坐标原点）的最小值为 D．的最小值为3 【详解】因为点在直线上，所以设.对于A，因为点， 所以直线的方向向量分别为，.若，则，即，化简得.因为，所以此方程有两个不相等的实数根，所以存在点，使得，故A正确.对于B，由，，得，化简得. 因为，所以此方程有两个不相等的实数根，所以存在点，使得，故B正确.对于C，的最小值为点到直线的距离，由题意得，故C正确.对于D，因为点，所以线段的方程为，.在中，令，解得，所以点不在线段上，即点在直线的同侧.设点关于直线的对称点为，则当点为线段与直线的交点时，取得最小值，最小值为. 由题意，得，解得，所以，即的最小值为，故D错误，故选：D.    14.（24-25高二上·福建泉州·期中）已知为坐标原点，过点的直线分别与轴、轴交于两点，使的面积为的直线恰有3条，则为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【详解】由题意直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，令，得；令，得，则，所以的面积为，当时，有，当时，得，解得；当时，得，此方程无解，所以满足条件的直线有2条，故A错误；当时，有，当时，得，解得；当时，得，解得，所以满足条件的直线有3条，故B正确；当时，有， 当时，得，解得；当时，得，解得， 所以满足条件的直线有4条，故C错误；当时，有，当时，得，解得；当时，得，解得，所以满足条件的直线有4条，故D错误.故选：B. 15.（多选题）（25-26高二上·广东·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．若点，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 【详解】对于A：当时，与的斜率分别为1和，斜率之积为，故两直线相互垂直，即充分性成立；若“直线与直线互相垂直”，则，解得或，所以推不出，即必要性不成立，故A错误；对于B：因两直线平行等价于，解得，故“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，故B正确；对于C：直线的倾斜角为，当时，则直线方程为，则； 当时，则，因为，所以，综上可得，故C正确；对于D：如图所示： 可得，，结合图象知，故D正确.故选：BCD. 16.（多选题）（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）下列结论错误的是（   ） A．过点且在，轴上的截距互为相反数的直线方程为 B．直线与直线之间的距离为 C．已知点，，点在轴上，则的最小值为 D．已知两点，，过点的直线与线段没有公共点，则直线的斜率的取值范围是 【详解】对于A，当直线过原点的方程为，故选项A错误；对于B，由可得，与平行，则两条平行直线间的距离为，故选项B错误，对于C，点关于轴的对称点为，则，所以，即的最小值为，故C正确，对于D，，，又直线与线段没有公共点，所以，故D错误. 故选：ABD 17.（多选题）（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是．军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（   ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 【详解】由题可知在的同侧，设点关于直线的对称点为，如下图所示： 则，解得，即.对于A，将军从出发点到河边的路线所在直线即为，又，所以直线的方程为，即，故A错误；对于B，设将军在河边饮马的地点为，则即为与的交点，联立两直线方程解得，故B正确；对于C，将军从河边回军营的路线所在直线为，又，所以直线的方程为，即，故C错误；对于D，总路程，所以“将军饮马”的总路程为，故D正确. 故选：BD. 18.（多选题）（24-25高二下·吉林·开学考试）“曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵可夫斯基首先提出的，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点与点的曼哈顿距离为.若点，点，直线和的方程分别是和，则下列叙述正确的是（    ） A． B．点与直线上任意一点的曼哈顿距离最小值为2 C．若动点满足，则的轨迹围成图形的面积是32 D．若动点与直线上任意一点的曼哈顿距离最小值等于，则的轨迹与直线围成的封闭图形面积是2 【详解】对于A，，A错误；对于B，令直线a上任意点为， 则，则当时，的最小值为1，B错误； 对于C，设，则，当时，则；当时，则；当时，则；当时，则； 则M点轨迹为上述四条线段围城的封闭曲线，如图示正方形： 则的轨迹围成图形的面积是，C正确； 对于D，，设，当M与直线b上的点连线垂直于b时曼哈顿距离最小，由此可得， 当时，，则，不符合题意；当时，，则，不符合题意；当时，，则， 当时，，则，当时，，则，当时，，则， 则M点轨迹如图示： 则的轨迹与直线围成的封闭图形面积为，D正确，故选：CD 19.（25-26高二上·福建莆田·期中）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为_____. 【详解】设点，由点与点关于直线对称，得，解得，所以点的坐标为.故答案为： 20.（25-26高二上·河北·期中）一条光线从点射出，经直线反射后，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为___________． 【详解】设关于直线的对称点，所以，所以， 所以，由题意知：入射光线所在的直线经过和，而斜率， 所以入射光线所在的直线方程为．故答案为：． 21.（25-26高二上·四川自贡·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，则面积为_____________ 【详解】由题意知，设，∵AB的中点在直线上， ∴，解得，∴.由角平分线的性质，点A关于平分线的对称点在直线BC上，得，解得，所以，由和B得BE的方程. 由，解得，即，得，点A到直线BE的距离为，所以.故答案为： 22.（25-26高二上·甘肃张掖·阶段检测）已知的顶点，高所在直线方程为，角B的平分线所在直线方程为，则边所在直线方程________. 【详解】的顶点，高所在直线方程为，角B的平分线所在直线方程为，直线的斜率，直线的方程为:，即，联立，得，B点坐标为;，，角B的平分线所在直线方程为，，，解得或（舍），直线的方程为:，即.故答案为:. 23.（25-26高二上·山东济宁·期中）已知的三个顶点是. （1）求边上的高所在直线的方程； （2）若直线过点，且点到直线的距离相等，求直线的方程. 【详解】（1），，边上的高所在直线的斜率为， 又边上的高所在直线为，即为边上的高所在直线的方程. （2）∵点到直线的距离相等，∴直线与平行或过的中点. （i）当直线与平行，，，即. （ii）当直线过的中点，，，即. 综上，直线的方程为或. 24.（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知点，点与点关于直线对称，求： （1）过点且与点距离为2的直线的方程； （2）过点且与点距离最大的直线的方程，并求此最大距离. 【详解】（1）设，则的中点坐标为，所以，解得：，即，当直线斜率不存在时：直线：，此时点到直线的距离，满足题意； 当直线斜率存在时：设直线的斜率为，则直线为，化简得，点到直线的距离，解得，所以直线为，化简得，综上所述：直线为或 （2）由（1）知，由题意知当直线与垂直时，点到直线的距离最大为， ，设直线的斜率为，则，解得，所以直线为，化简得，.所以直线为，点到直线的最大距离. 25.（25-26高二上·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，已知两直线：和：，定点. （1）若与相交于点，求直线的方程； （2）若恰好是的角平分线所在的直线，是中线所在的直线，求的边所在直线的方程. 【详解】（1）由题意有：，所以，所以，所以 ，即，所以直线的方程为： （2）由题意，可设，又为的中点，所以，又因为在直线上，所以，解得，所以，所以，又的方程为，所以的斜率为，因为恰好是的角平分线所在的直线，所以，即，解得，所以，即，所以直线的方程为：. 26.（24-25高二上·福建福州·期中）平面直角坐标系Oxy中，射线，，过作直线分别与交于A，B两点. （1）若，求直线的方程; （2）求面积的最小值. 【详解】（1）设，，则， ∵，∴，∴，则，∴，即 （2）当直线与的斜率不存在时，，与两个交点重合，舍去；当直线与的斜率存在时，设，联立方程组解得，即；同理，联立方程组，解得，即，原点到直线的距离∵，∴，当时，最大，此时取最小值，∴最小值为. 27.（24-25高二上·江西上饶·期中）已知直线：. （1）求证：直线与直线总有公共点； （2）若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 【详解】（1）直线变形为，令，解得，故直线恒过点，又，故点在上，故直线与直线总有公共点； （2）直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，故直线的斜率存在且大于0，故，中，令，得， 中，令，得，显然，解得， 则，令，则，因为，所以当时，取得最小值，最小值为，所以的最小值为16，此时，，直线的方程为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 两条直线的位置关系 知识点一：两直线平行与垂直的判定 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 知识点二：三种距离 1．两点间的距离 平面上两点的距离公式为． 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 2．点到直线的距离 点到直线的距离 特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离 3．两条平行线间的距离 已知是两条平行线，求间距离的方法： （1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． （2）设，则与之间的距离 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 4．双根式 双根式型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解． 【方法技巧与总结】 1．点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有可得对称点的坐标为 2．点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． 3．直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 4．直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 5．常见的一些特殊的对称 点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于点的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 6．过定点直线系 过已知点的直线系方程（为参数）． 7．斜率为定值直线系 斜率为的直线系方程（是参数）． 8．平行直线系 与已知直线平行的直线系方程（为参数）． 9．垂直直线系 与已知直线垂直的直线系方程（为参数）． 10．过两直线交点的直线系 过直线与的交点的直线系方程：（为参数）． 题型一：两直线位置关系的判定 例1（1）（25-26高二上·上海·阶段检测）已知直线，直线，若，则实数的值为（   ） A．2 B． C．1 D．1或 （2）（2026·天津河西·三模）设，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （3）（25-26高二上·重庆·期中）已知直线与垂直，则实数的值为（    ） A． B．1或 C．1 D．或5 （4）（25-26高二下·浙江·开学考试）已知，q：直线与直线平行，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2（1）（25-26高二上·江苏常州·期末）已知直线平行，则实数的值为（    ） A．－1 B．－7 C．－1或－7 D．1或7 （2）（高二上·湖北武汉·期末）张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，点与点重合，则（    ） A． B． C． D． （3）（多选题）瑞士数学家欧拉（Euler）在1765年在其所著作的《三角形的几何学》－书中提出：三角形的外心（中垂线的交点）、重心（中线的交点）、垂心（高的交点）在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线．若△ABC的顶点A（－4，0），B（0，4），其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则下列说法正确的是（       ） A．△ABC的外心为（－1，1） B．△ABC的顶点C的坐标可能为（－2，0） C．△ABC的垂心坐标可能为（－2，0） D．△ABC的重心坐标可能为 （4）（多选题）（25-26高二上·湖北十堰·期中）已知：，：，则下列说法正确的是（   ） A．的充要条件是或 B．若，则 C．若直线不经过第四象限，则 D．若将直线关于原点对称后得到的直线纵截距为1，则 例3（1）（多选题）（25-26高二上·安徽宿州·期末）已知直线和直线，下列说法正确的是（   ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则 D．当时，始终不过第三象限 （2）（25-26高二下·上海杨浦·期末）已知三条直线：，：，：，． （1）若，求的值； （2）若、、不能围成三角形，求的值． 题型二：直线的交点问题 例4（1）（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）经过与的交点且垂直于的直线方程是（    ） A． B． C． D． （2）（24-25高二上·北京·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（   ） A．24 B．0 C．20 D． （3）（24-25高二上·江西抚州·阶段检测）已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（    ） A．20 B． C．0 D．24 （4）（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为(    ) A．4 B．8 C． D． 例5（1）（25-26高二上·江西九江·阶段检测）下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（    ） A． B． C． D． （2）（24-25高二上·广东梅州·阶段检测）已知直线与的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． （3）（24-25高二下·上海·阶段检测）若点既是的中点，又是直线与的交点，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． （4）（多选题）（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）已知三条直线能构成三角形，则实数可能为（   ） A． B． C． D．6 例6（1）（多选题）（25-26高二上·安徽亳州·阶段检测）已知与是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况说法错误的是（   ） A．无论k、M、N如何，总是无交点 B．存在k、M、N使之无交点 C．无论k、M、N如何，总是唯一交点 D．存在k、M、N使之有无穷多交点 （2）（25-26高二上·山西·期中）在中，点A的坐标为,边的中线所在的直线方程为，边的高线所在的直线方程为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． （3）（25-26高二上·福建福州·期中）三条直线与相交于一点，则___________． （4）（24-25高二上·四川自贡·期中）设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 例7（1）（多选题）（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）已知三条直线，与共有两个不同的交点，则的值可能是（   ） A． B． C． D．2 （2）（25-26高二上·江西南昌·期中）已知两直线，． （1）求过直线交点P，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； （2）若直线与直线能构成三角形，求实数a的取值范围． （3）（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知直线，直线和． （1）求证：直线恒过定点； （2）设（1）中的定点为与的交点分别为，若恰为的中点，求． 题型三：有关距离的计算 例8（1）（24-25高二下·浙江·开学考试）已知点及直线上一点，则的值不可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （2）（25-26高二上·江苏镇江·期末）两条平行直线与之间的距离（   ） A． B． C． D． （3）（2026·北京顺义·二模）已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． （4）（25-26高二上·广东深圳·期中）已知，两点到直线的距离相等，求a的值（    ） A． B． C．或 D．或 例9（1）（25-26高二下·贵州·阶段检测）已知直线经过定点且与直线垂直．若点和点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A．1或 B．1或 C． D．1 （2）（25-26高二上·江苏常州·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（   ） A．12 B． C． D．6 （3）（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）已知点到直线的距离是，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 （4）（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知直线，且与不垂直，则直线与之间距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例10（1）（2026·江苏南通·模拟预测）写一个到直线：，：的距离相等的点的坐标_____． （2）（多选题）（25-26高二上·江苏·期末）已知直线，，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则直线，之间的距离为 C．直线过定点 D．若直线在两坐标轴的截距相等，则或 （3）（25-26高二上·浙江绍兴·阶段检测）已知直线. （1）若直线过点，且，求直线的方程； （2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. （4）（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线： ，直线： ，其中为实数. （1）当时，求的值； （2）当 时，直线，的交点为， ①直线经过，且与直线 垂直，求直线的方程； ②设，若直线过交点，且点到直线的距离等于1，求直线的方程. （5）（25-26高二上·北京·阶段检测）已知点和点． （1）求证：点在定直线上，并求直线的方程； （2）点在直线上，且为等腰直角三角形，求点的坐标． （6）（24-25高二上·甘肃白银·期中）已知的顶点，，直线l：过定点． （1）若是的重心，求三边所在直线的方程； （2）若，且，求顶点的坐标． 题型四：有关距离的最值问题 例11（1）（2025海浦东新·高二统考期中）已知点在直线上，则的最小值为________． （2）（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）已知，是正数，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高三上·北京海淀·期末）已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 （4）已知两点，动点在线段AB上运动，则的范围是________，的范围是________. 例12（1）（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）函数的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 （2）（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． （3）（多选题）（25-26高三·全国·一轮复习）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则下列说法正确的是（    ） A． B．为定值 C．的最大值为 D．的最大值为 例13（25-26高二上·四川自贡·期末）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.函数下列结论正确的是（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为 C．方程6有两解 D．方程7无解 例14（1）（25-26高一上·浙江杭州·期中）关于的方程在上有实数解，其中为实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高二上·广东广州·期末）已知直线与相交于点，点为坐标原点，则直线的斜率的最大值与最小值之和为（   ） A． B． C． D． （3）（2025高三·全国·竞赛）已知点，若直线，且直线与内（包括边界）点的最短距离等于直线与内（包括边界）点的最短距离，则直线的方程为_____. （4）（25-26高二上·湖北十堰·期中）已知实数，，，满足，则的最小值为________. 15.（1）（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）函数的最大值为________． （2）（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知，则的最大值是______. （3）（2026高二·全国·专题练习）已知非负实数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．7 D． 题型五：直线的对称问题 16.（1）（25-26高二上·山东东营·阶段检测）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． （2）（24-25高二上·浙江杭州·阶段检测）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． （3）（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 （4）（25-26高二上·新疆克拉玛依·期中）已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好经过，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 17.（1）（25-26高二上·广东·期末）一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． （2）（24-25高二上·湖南岳阳·阶段检测）将一张画有平面直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0，2)与点B(4，0)重合，若此时点C(7，3)与点D(m，n)也重合，则m+n的值为（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）一条沿直线传播的光线经过点，且在轴上的截距为，然后被直线反射，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． （4）（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 18.（1）（25-26高二上·上海浦东新·期末）在等腰直角中，，点P是边上异于端点的一点，光线从点P出发经，边反射后又回到点P，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D．    （2）（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（    ） A． B．4 C． D． （3）（25-26高二上·四川自贡·期中）在中，已知顶点，过点的角平分线方程是，过点的中线的方程是，则直线的方程为______________. （4）（25-26高三上·河北石家庄·阶段检测）已知直线：与直线：交于点M，点M关于直线对称的点为，则的取值范围是________. （5）（25-26高二上·四川自贡·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，则面积为_____________ 19.（1）（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）如图所示，在平面直角坐标中，已知矩形的长为2，宽为1，边､分别在轴､轴的正半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上，若折痕所在直线的斜率为，则折痕所在的直线方程为__________.    （2）（2026高二上·广东·专题练习）在等腰直角中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则____________． （3）（25-26高二上·湖北·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的角平分线方程为. （1）求点的坐标和直线的方程； （2）求边上的高所在直线方程. （4）（25-26高二上·江西·期中）已知直线，点．求： （1）点关于直线的对称点的坐标； （2）直线关于直线的对称直线的方程． （5）（25-26高二上·江苏宿迁·期中）在中，的平分线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，已知点坐标为. （1）求点的坐标； （2）求直线的方程. （6）（25-26高二上·湖北武汉·期中）在中，顶点在一三象限的角平分线上，顶点的坐标为，的角平分线CD所在的直线方程为，边上的高线斜率为3. （1）求边所在的直线方程； （2）若直线l过点B，且点A、C到直线l的距离相等，求直线l的方程. 题型六：直线的综合应用 20（1）（25-26高二上·安徽黄山·阶段检测）已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线l2： 2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（   ） A． B． C． D． （2）（25-26高二上·广东东莞·期中）如图，“爱心”图案由函数的图像的一部分及其关于直线的对称图形组成，点是该图案上一动点，是其图象上点关于直线的对称点，连接，则的最大值为_______． （3）（25-26高二上·宁夏银川·期中）已知实数，则的取值范围是______. 21（1）（25-26高二上·湖北·期中）已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． （1）求垂心的坐标； （2）求所在的直线方程； （3）若关于直线：的对称点为，求点到直线的距离． （2）（25-26高二上·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，已知两直线：和：，定点. （1）若与相交于点，求直线的方程； （2）若恰好是的角平分线所在的直线，是中线所在的直线，求的边所在直线的方程. （3）（25-26高二上·安徽合肥·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点是. （1）若直线过点，且点到直线的距离相等，求直线的方程； （2）若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，求证：当取得最小值直线平分的面积. （4）（24-25高二上·广东珠海·阶段检测）已知直线，的方程分别是，点的坐标为，过点的直线的斜率为，且与，分别交于点，（，的纵坐标均为正数） （1）当时，线段恰好被点平分，求斜率的值及的面积； （2）问是否存在实数，使得的值与无关？若存在，求出所有这样的实数；若不存在，请说明理由. 练习题 1.（25-26高二上·云南保山·期末）已知直线与平行，则两直线间的距离为（   ） A． B． C． D． 2.（2026·湖北·二模）将直线绕点逆时针旋转（为锐角，其中）后所得直线方程为（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高二上·上海·期末）设常数，已知直线，直线，则“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 4.（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（    ） A． B． 或 C． D．或 5.（25-26高二上·广东东莞·期中）已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6.（25-26高二上·江苏南京·期中）若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 7.（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为(    ) A．4 B．8 C． D． 8.（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 9.（25-26高二上·广东东莞·期中）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则的长度等于（    ）    A． B． C． D． 10.（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）在平面直角坐标系中，，直线的斜率与直线的斜率的差是2，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 11.（25-26高三上·河北张家口·期末）已知直线的倾斜角为，直线与轴的交点为点，绕点顺时针方向旋转得到直线，与轴的交点为点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 12.（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，，则的欧拉线方程为（   ） A． B． C． D． 13.（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知点，且点在直线上，则下列说法错误的是（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．（为坐标原点）的最小值为 D．的最小值为3 14.（24-25高二上·福建泉州·期中）已知为坐标原点，过点的直线分别与轴、轴交于两点，使的面积为的直线恰有3条，则为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 15.（多选题）（25-26高二上·广东·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．若点，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 16.（多选题）（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）下列结论错误的是（   ） A．过点且在，轴上的截距互为相反数的直线方程为 B．直线与直线之间的距离为 C．已知点，，点在轴上，则的最小值为 D．已知两点，，过点的直线与线段没有公共点，则直线的斜率的取值范围是 17.（多选题）（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是．军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（   ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 18.（多选题）（24-25高二下·吉林·开学考试）“曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵可夫斯基首先提出的，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点与点的曼哈顿距离为.若点，点，直线和的方程分别是和，则下列叙述正确的是（    ） A． B．点与直线上任意一点的曼哈顿距离最小值为2 C．若动点满足，则的轨迹围成图形的面积是32 D．若动点与直线上任意一点的曼哈顿距离最小值等于，则的轨迹与直线围成的封闭图形面积是2 19.（25-26高二上·福建莆田·期中）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为_____. 20.（25-26高二上·河北·期中）一条光线从点射出，经直线反射后，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为___________． 21.（25-26高二上·四川自贡·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，则面积为__________ 22.（25-26高二上·甘肃张掖·阶段检测）已知的顶点，高所在直线方程为，角B的平分线所在直线方程为，则边所在直线方程________. 23.（25-26高二上·山东济宁·期中）已知的三个顶点是. （1）求边上的高所在直线的方程； （2）若直线过点，且点到直线的距离相等，求直线的方程. 24.（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知点，点与点关于直线对称，求： （1）过点且与点距离为2的直线的方程； （2）过点且与点距离最大的直线的方程，并求此最大距离. 25.（25-26高二上·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，已知两直线：和：，定点. （1）若与相交于点，求直线的方程； （2）若恰好是的角平分线所在的直线，是中线所在的直线，求的边所在直线的方程. 26.（24-25高二上·福建福州·期中）平面直角坐标系Oxy中，射线，，过作直线分别与交于A，B两点. （1）若，求直线的方程; （2）求面积的最小值. 27.（24-25高二上·江西上饶·期中）已知直线：. （1）求证：直线与直线总有公共点； （2）若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $