1.2 空间向量基本定理讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量基本定理及正交分解核心知识点，先阐述基底与基向量的定义及三要素，再讲解单位正交基底、坐标表示及特殊向量坐标特征，构建从基础概念到应用的学习支架。 资料通过五类典例（概念辨析、向量表示等）覆盖选择、解答等题型，培养抽象能力（数学眼光）、推理能力（数学思维）与数学语言表达，课中辅助分层教学，课后检测助力巩固知识、查漏补缺。

1.2 空间向量基本定理 第一部分：知识清单 知识点1：空间向量基本定理 1.空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2.基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 知识点2：空间向量的正交分解 1.单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用表示． 2.正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 我们把称作向量在单位正交基底下的坐标．记作此时向量的坐标恰是点在空间直角坐标系中的坐标其中分别叫做点的横坐标、纵坐标、竖坐标． 3.特殊向量的坐标表示 （1）当向量平行于轴时，纵坐标、竖坐标都为，即 （2）当向量平行于轴时，纵坐标、横坐标都为，即 （3）当向量平行于轴时，横坐标坐标、纵坐标都为，即 （4）当向量平行于平面时，竖坐标为，即 （5）当向量平行于平面时，横坐标为，即 （6）当向量平行于平面时，纵坐标为，即 第二部分：典型例题汇总 典例一 空间向量基底概念及辨析 典例二 用空间基底表示向量 典例三 利用空间基本向量求参数 典例四 利用空间基本向量证明平行垂直 典例五 利用空间基本向量求夹角或距离 第三部分：典型例题 典例一 空间向量基底概念及辨析 1．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）（多选）若是空间的一个基底，则下列各组向量不共面的有（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）（多选）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）（多选）关于空间向量，下列说法正确的是（    ） A．若三个向量所在的直线两两共面，则三个向量一定也共面 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．若向量是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若，则是钝角 4．（25-26高二上·天津西青·阶段检测）在以下命题中： ①若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则共线； ②对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面 ③若是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底： ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底． 其中真命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 典例二 用空间基底表示向量 5．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）如图，空间四边形中，，，，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在长方体中，，，分别是线段，，上靠近点的三等分点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，在四面体中：，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且． (1)求； (2)设． ①用向量表示； ②求的值． 8．（25-26高二下·江苏常州·阶段检测）如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点． (1)用向量，，表示； (2)求线段的长及向量与夹角的余弦值． 典例三 利用空间基本向量求参数 9．（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 10．（25-26高二上·山东临沂·期末）在四面体中，为线段靠近的三等分点，为的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）正四棱锥中，点、分别是棱，上一点，且，，平面交棱于点，若，则的值为______ 12．（25-26高二上·河北唐山·期末）在正方体中，为棱的中点，，则（　　） A． B． C． D． 典例四 利用空间基本向量证明平行垂直 13．（2026高二·全国·专题练习）如图所示，在三棱柱中，，，，，，，是的中点． (1)用，，表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由． 14．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 15．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）（多选）在正方体中，是棱上的动点，则（    ） A． B．的面积为定值 C．向量在平面上的投影向量为 D．若为的中点，则 16．（25-26高二上·山西阳泉·期末）（多选）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高二下·江苏镇江·阶段检测）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 18．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在平行六面体中，，，分别是，，的中点，请选择恰当的基向量证明： (1)； (2)平面平面． 典例五 利用空间基本向量求夹角或距离 19．（25-26高二下·江苏连云港·期中）在空间四边形中，，点，分别在上，且，则（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高二下·甘肃金昌·阶段检测）在平行六面体中，，，设，，． (1)若点，满足，，试用，，表示； (2)求与夹角的余弦值． 21．（2026·山东泰安·二模）已知三棱柱所有棱长均为为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）如图，空间四边形OABC中，，点M，N分别在OA，BC上，且． (1)以为一组基底表示向量； (2)求MN的长度； (3)求，两向量夹角的余弦值． 第四部分：课后检测 1．（25-26高二上·重庆北碚·期末）若构成空间的一个基底，则下列选项可构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·河北承德·期末）在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东汕头·期末）如图，在四面体中，，点在上，且，为中点，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·四川绵阳·期末）在正三棱柱 中，为的中点，设 ，，，则 （   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·吉林延边·期末）已知正方体，点是上底面的中心，若，则等于（    ） A．2 B． C． D． 6．（25-26高二上·河南·阶段检测）在平行六面体中，，且交平面于点M，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·河南省直辖县级单位·阶段检测）（多选）若是空间的一个基底，则下列向量中可以和，构成空间一个基底的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·陕西宝鸡·期中）（多选）给出下列命题，其中正确的有（    ） A．空间任意三个向量都可以作为一组基底 B．已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底 C．、、、是空间四点，若、、不能构成空间的一组基底，则、、、共面 D．已知是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 9．（25-26高二上·青海海南·期中）（多选）如图，在棱长为3的正四面体中，O为的中心，D为的中点，，则（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·贵州·期中）（多选）在三棱柱中，，，的中点为，则（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·江苏泰州·期末）在平行六面体中，底面是矩形，，，，，，则_______． 12．（25-26高二下·辽宁朝阳·阶段检测）如图所示，在三棱锥中，点在棱上，且，为中点，则时，则___________ 13．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点，，，与平面交于点，则________. 14．（25-26高二上·山东聊城·阶段检测）如图，在棱长为1的正四面体中，，分别是边，的中点，点在上，且，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)求． 15．（25-26高二上·江苏无锡·期中）1.如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，， (1)若，，，求； (2)试用向量，，表示． 16．（25-26高二上·吉林松原·期中）如图，在平行六面体中，AB＝4，AD＝3，，∠BAD＝90°，，且点F为与的交点，点E在线段上，有． （1）求的长； （2）将用基向量来进行表示．设xyz，求x，y，z的值． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 空间向量基本定理 第一部分：知识清单 知识点1：空间向量基本定理 1.空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2.基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 知识点2：空间向量的正交分解 1.单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用表示． 2.正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 我们把称作向量在单位正交基底下的坐标．记作此时向量的坐标恰是点在空间直角坐标系中的坐标其中分别叫做点的横坐标、纵坐标、竖坐标． 3.特殊向量的坐标表示 （1）当向量平行于轴时，纵坐标、竖坐标都为，即 （2）当向量平行于轴时，纵坐标、横坐标都为，即 （3）当向量平行于轴时，横坐标坐标、纵坐标都为，即 （4）当向量平行于平面时，竖坐标为，即 （5）当向量平行于平面时，横坐标为，即 （6）当向量平行于平面时，纵坐标为，即 第二部分：典型例题汇总 典例一 空间向量基底概念及辨析 典例二 用空间基底表示向量 典例三 利用空间基本向量求参数 典例四 利用空间基本向量证明平行垂直 典例五 利用空间基本向量求夹角或距离 第三部分：典型例题 典例一 空间向量基底概念及辨析 1．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）（多选）若是空间的一个基底，则下列各组向量不共面的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据空间向量共面的判定定理，结合基底的概念，对每个选项逐一分析向量是否共面，即可得出结果. 【详解】因为是空间的一个基底，所以不共面. 对于A，因为向量分别与向量共线，所以不共面，故A正确； 对于B，因为，所以共面，故B错误； 对于C，若共面，则存在唯一的实数对， 使得， 则，方程组无解，故矛盾， 所以不共面，故C正确； 对于D，若共面，则存在唯一的实数对， 使得， 则，方程组无解，故矛盾， 所以不共面，故D正确. 故选：ACD. 2．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）（多选）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AC 【分析】根据空间向量的基本定理判断各选项即可. 【详解】选项 A： 设， 整理得：， 因为是空间的一个基底，所以不共面， 故不成立， 所以能构成基底，故A正确； 选项 B： 由， 得：，，共面， 故不能构成基底，故B错误； 选项 C： 设， 整理得：， 因为是空间的一个基底，所以不共面， 所以， 解得：（唯一解），因此向量组线性无关， 所以，，不共面， 所以能构成基底，故C正确； 选项 D： 由， 得：，，共面， 故不能构成基底，故D错误. 故选：AC 3．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）（多选）关于空间向量，下列说法正确的是（    ） A．若三个向量所在的直线两两共面，则三个向量一定也共面 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．若向量是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若，则是钝角 【答案】BC 【分析】对A，根据空间图形可判断；对B，根据空间向量基本定理判断；对C，根据基底的定义判断；对D，根据向量夹角的范围判断. 【详解】对于A：当所在直线为四面体一个顶点的三条棱时，不共面，故A错误； 对于B：若对空间中任意一点，有， 因为，根据空间向量基本定理，可得，四点一定共面，故B正确； 对于C：由于是空间的一个基底，则向量不共面，可得向量 不共面，所以也是空间的一个基底，故C正确； 对于D：若，又，所以，故D不正确． 故选：BC． 4．（25-26高二上·天津西青·阶段检测）在以下命题中： ①若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则共线； ②对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面 ③若是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底： ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底． 其中真命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据空间向量基底的定义，逐一判断即可得到结论. 【详解】①由空间基底的定义知，若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线，故①正确； ②由，根据共面向量定理知四点不共面，故②错误； ③由，则向量与向量，共面，则不能构成空间的一个基底，故③错误； ④由于为空间的一个基底，则不共面， 设， 则无解，所以不共面， 所以能构成空间的一个基底，故④正确. 故选：C. 典例二 用空间基底表示向量 5．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）如图，空间四边形中，，，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形可得，结合向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意可得： ， 所以. 6．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在长方体中，，，分别是线段，，上靠近点的三等分点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量基本定理求解即可. 【详解】由题意可知，， ， 则， 又因为，所以. 7．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，在四面体中：，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且． (1)求； (2)设． ①用向量表示； ②求的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1） 利用及空间向量的数量积运算法则进行计算； （2）结合题干中的数量关系，把用、、向量的线性关系表达出来. 【详解】（1）由题意可知：，因为,,, 所以 （2）由题可得：因为是的中点，所以， 且，所以，又因为， 所以 . 根据题意即：. 易知， 所以 所以 8．（25-26高二下·江苏常州·阶段检测）如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点． (1)用向量，，表示； (2)求线段的长及向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）通过向量的线性运算进行表示； （2）通过向量的线性表示与模长公式计算线段，的长度，计算，再通过夹角公式求解. 【详解】（1）方法一：由题意知， ； 方法二：因为为的中点，所以 ． （2）因为四边形是正方形，，， 所以，，， 所以 ， 所以，即线段的长为． 因为， 所以 ，所以． 又 ， 则向量，夹角的余弦值为. 典例三 利用空间基本向量求参数 9．（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在空间四边形中，，， 则，又， 且不共面，因此， 所以. 10．（25-26高二上·山东临沂·期末）在四面体中，为线段靠近的三等分点，为的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的基本定理可求出、、的值，即可得出的值. 【详解】如下图所示： 因为为的中点，所以，由题意可知， 所以， 在三棱锥中，、、不共面，且， 所以，，故. 故选：A. 11．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）正四棱锥中，点、分别是棱，上一点，且，，平面交棱于点，若，则的值为______ 【答案】/0.4 【分析】根据空间向量的线性运算、空间基底等知识列方程，化简求得的值. 【详解】 由题知四点共面，可设， 则， 又由题可知，，， 且， 所以有 整理可得，. 又不共面，所以有， 解得. 故答案为：. 12．（25-26高二上·河北唐山·期末）在正方体中，为棱的中点，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用、、表示向量、、，利用空间向量基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出的值. 【详解】如下图所示： 因为为的中点，所以， 又因为，，且， 即 ， 显然、、不共面，所以，解得，故. 故选：C. 典例四 利用空间基本向量证明平行垂直 13．（2026高二·全国·专题练习）如图所示，在三棱柱中，，，，，，，是的中点． (1)用，，表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）利用向量加法的三角形法则，将分解为即可； （2）利用向量垂直的充要条件，建立关于 的方程求解即可. 【详解】（1）． （2）假设存在点，使， 设， 显然， 因为，所以， 即， 所以 ． 设， 又，， 所以， 即， 解得， 所以当时，． 14．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 【答案】(1)， (2) 因，，，， 则，， 由（1）得 ， 所以，即； (3) 【分析】（1）结合图形利用空间向量的线性运算求解； （2）利用空间向量的数量积证明； （3）利用空间向量的数量积的运算律计算即得. 【详解】（1）在中，根据空间向量的减法运算可得， ； （2）略 （3）由（1）知， 所以 ， 所以. 15．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）（多选）在正方体中，是棱上的动点，则（    ） A． B．的面积为定值 C．向量在平面上的投影向量为 D．若为的中点，则 【答案】ACD 【分析】对于A，由平面即可判断；对于B，作，，证明是的高，由判断；对于C，由点A，P在平面上的投影分别为点，判断；对于D，由空间向量的线性运算判断. 【详解】 如图所示，在正方体中，平面，平面，则， 又，，平面，则平面， 又平面，所以，故A正确； 作于点，则平面，又平面，则， 作于点，又平面，则平面， 又平面，则，所以是的高，因 ， 因为点是棱上的动点，则垂足也在动，则点到的距离也在变，即长度变， 虽然的长不变，但在变，而，则的面积不是定值，故B错误； 因为点A，P在平面上的投影分别为点，，所以向量在平面上的投影向量为，故C正确； 因为为的中点，且，所以，故D正确. 故选：ACD 16．（25-26高二上·山西阳泉·期末）（多选）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的线性运算可判断AB；根据向量的数量积计算可判断CD. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，， . 所以，故D正确. 故选：BCD. 17．（25-26高二下·江苏镇江·阶段检测）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 【答案】证明：因为在上，且， 所以. 同理. 所以 ， 又与不共线，则共面， 又平面，得平面. 【分析】根据题意，求得，，再结合向量的共面定理，得到共面，又平面，得平面. 【详解】略 18．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在平行六面体中，，，分别是，，的中点，请选择恰当的基向量证明： (1)； (2)平面平面． 【答案】(1)证明：取基， 因为 ， ， 所以， 又，无公共点，所以． (2)证明：因为 ， ， 所以， 又，无公共点， 所以． 又平面，平面， 所以平面． 又由（1）知， 同理可得平面， 又， 平面， 所以平面平面． 【分析】（1）取基底，根据图形将与用向量表示出来，进而可推出，从而得证； （2）要证明面面平行，首先要证线线平行，由（1）知，只需证明即可，方法同（1），用向量表示出与的线性关系；结合，即可证明结论. 【详解】（1）略； （2）略. 典例五 利用空间基本向量求夹角或距离 19．（25-26高二下·江苏连云港·期中）在空间四边形中，，点，分别在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由，得， 由，得， 所以， 因为， 所以 即 20．（25-26高二下·甘肃金昌·阶段检测）在平行六面体中，，，设，，． (1)若点，满足，，试用，，表示； (2)求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合已知条件，运用向量加减法运算规则计算求解； （2）运用向量夹角余弦公式计算求解． 【详解】（1），， ，， 又，， ． （2） ， ， ， ， ． 21．（2026·山东泰安·二模）已知三棱柱所有棱长均为为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设可得，然后以作为基底表示，最后由向量模长公式可得答案. 【详解】因三棱柱所有棱长均为1，， 则， ， 则 ， 又，， 则. 22．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）如图，空间四边形OABC中，，点M，N分别在OA，BC上，且． (1)以为一组基底表示向量； (2)求MN的长度； (3)求，两向量夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用空间向量运算的几何表示及空间向量基本定理求解； （2）利用空间向量数量积的运算性质即可求解； （3）利用空间向量夹角的余弦公式计算即可． 【详解】（1）因为， 所以． （2）因为， 所以， 所以 ， 所以． （3）因为， 所以 ， ， 所以． 第四部分：课后检测 1．（25-26高二上·重庆北碚·期末）若构成空间的一个基底，则下列选项可构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量基底的概念进行判断. 【详解】对A：因为，所以向量共面，所以不能构成空间向量的基底； 对B：因为，所以向量共面，所以不能构成空间向量的基底； 对C：因为，所以共面，所以不能构成空间向量的基底； 对D：因为不存在，使得，所以不共面，所以可以作为空间的另一组基底. 故选：D 2．（25-26高一下·河北承德·期末）在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 所以 ， 所以体对角线的长为. 3．（25-26高二上·广东汕头·期末）如图，在四面体中，，点在上，且，为中点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形，利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】因为，为中点， 所以，， 所以 . 故选：B. 4．（25-26高二上·四川绵阳·期末）在正三棱柱 中，为的中点，设 ，，，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算及正三棱柱的结构特征逐步转化，将用向量表示即可. 【详解】如图， 因为为的中点，所以， 根据正三棱柱的结构特征可知， 所以 ， 即. 故选：A. 5．（25-26高二上·吉林延边·期末）已知正方体，点是上底面的中心，若，则等于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量基本定理，结合正方体的结构特征求解作答. 【详解】正方体，点是上底面的中心，如图， 则， 不共面，又，于是得， 所以. 故选：C 6．（25-26高二上·河南·阶段检测）在平行六面体中，，且交平面于点M，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点H，连接与交于点O，由几何关系证明且点M与点O重合，则由求模即可. 【详解】根据题意，连接交于点H，连接与交于点O，如图， 在平行六面体中，，则， 根据平面的基本性质易知点M与点O重合，故 ． ∴ 故选：D． 7．（25-26高二上·河南省直辖县级单位·阶段检测）（多选）若是空间的一个基底，则下列向量中可以和，构成空间一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由可判断A；由可判断B；设，由共面定理可判断C；设，由共面定理可判断D. 【详解】对于A，， ∴，，共面，不能构成基底，A错误； 对于B，， ∴，，共面，不能构成基底，B错误； 对于C，设，则，无实数解， 所以，，不共面，构成基底，C正确； 对于D，设，则，无实数解， 所以，，不共面，构成基底，D正确. 故选：CD 8．（25-26高二上·陕西宝鸡·期中）（多选）给出下列命题，其中正确的有（    ） A．空间任意三个向量都可以作为一组基底 B．已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底 C．、、、是空间四点，若、、不能构成空间的一组基底，则、、、共面 D．已知是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 【答案】BCD 【分析】根据空间向量组成基底的条件逐项判断即可. 【详解】对于A项，空间任意的三个不共面的向量才可以作为一组基底，故A错误； 对于B项，若，则、与任何向量都共面，故不能构成空间的一组基底，故B正确； 对于C项，若、、不能构成空间的一组基底，则、、共面， 又、、过相同的点，则、、、四点共面，故C正确； 对于D项，若，，共面， 则，可知，，共面， 与为空间向量的一组基底相矛盾，故，，可以构成空间向量的一组基底. 故选：BCD. 9．（25-26高二上·青海海南·期中）（多选）如图，在棱长为3的正四面体中，O为的中心，D为的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A：根据向量的线性运算求解；对于B：根据正四面体的结构运算求解；对于CD：根据向量的数量积运算求解即可. 【详解】连接，，， 对于选项A：因为 ， ，故A正确； 对于选项B：因为，所以，故B正确； 对于选项CD： ，故C错误，D正确； 故选：ABD. 10．（25-26高三上·贵州·期中）（多选）在三棱柱中，，，的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用三棱柱性质可得A正确，再根据空间向量的运算法则计算可得B错误，C正确，由模长以及夹角余弦值计算可得D正确. 【详解】对于A，由题意得，可知A正确； 对于B，，即B错误； 对于C，，即C正确； 对于D，易知 ，即D正确. 故选：ACD 11．（25-26高二下·江苏泰州·期末）在平行六面体中，底面是矩形，，，，，，则_______． 【答案】 【分析】用基底表示出，再根据向量数量积运算律计算. 【详解】如图所示，记，以为基底. 由题意，. . . . 12．（25-26高二下·辽宁朝阳·阶段检测）如图所示，在三棱锥中，点在棱上，且，为中点，则时，则___________ 【答案】/ 【详解】由，为中点，可得， 所以 ， 所以，因此. 13．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点，，，与平面交于点，则________. 【答案】 【分析】设，其中，用、、表示向量、、，利用共面向量的基本定理可知存在、使得，由空间向量基本定理可得出关于、、的方程组，即可解得实数的方程组，即可解得实数的值. 【详解】设，其中， ， ，， 因为、、、四点共线，则向量、、共面， 由共面向量定理可知，存在、使得， 即 ， 所以，，解得. 故答案为：. 14．（25-26高二上·山东聊城·阶段检测）如图，在棱长为1的正四面体中，，分别是边，的中点，点在上，且，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量基底运算即可得到结果. （2）分别求出的值，再结合向量的夹角公式即可求得结果. 【详解】（1） （2）由题意知，，，， 则， ， 所以 15．（25-26高二上·江苏无锡·期中）1.如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，， (1)若，，，求； (2)试用向量，，表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用及空间向量的数量积运算法则进行计算；（2）结合题干中的数量关系，把用向量，，的线性关系表达出来. 【详解】（1）由题意得：，因为，，，所以 （2）因为是四面体的棱的中点，所以，因为，所以，又因为，所以 16．（25-26高二上·吉林松原·期中）如图，在平行六面体中，AB＝4，AD＝3，，∠BAD＝90°，，且点F为与的交点，点E在线段上，有． （1）求的长； （2）将用基向量来进行表示．设xyz，求x，y，z的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1），利用数量积运算性质即可得出． （2），再利用平行六面体、空间向量基本定理即可得出． 【详解】（1）， 85， ∴． （2） ， ∴． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $