2.2直线的方程 专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以“概念-原理-应用”为逻辑链，系统整合倾斜角与斜率、直线方程知识，提炼直接法与待定系数法等核心方法，通过分层题型培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |倾斜角与斜率|30题/例1-7|斜率公式应用、倾斜角范围分析、三点共线判定|从倾斜角定义到斜率性质，推导公式并应用于共线与斜率范围问题| |直线方程及应用|29题/例8-16|直接法与待定系数法、方程形式选择、面积优化|五种方程形式及适用范围→求法→综合应用于面积、夹角、定点问题|

直线的方程 知识点一：直线的倾斜角和斜率 1．直线的倾斜角 若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示 （1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为 （2）倾斜角的取值范围 2．直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）越大，直线越陡峭 （5）倾斜角与斜率的关系 当时，直线平行于轴或与轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小； 3．过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点，，则 （1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关． （2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 4．三点共线． 两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在． 知识点二：直线的方程 1．直线的截距 若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距 （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关） （2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线 2．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于轴的直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 3．求曲线（或直线）方程的方法： 在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种： （1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率 （2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） 4．线段中点坐标公式 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式． 5．两直线的夹角公式 若直线与直线的夹角为，则. 题型一：倾斜角与斜率的计算 例1（1）（25-26高二上·陕西汉中·期中）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高二上·江苏盐城·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知直线，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 例2（1）（25-26高二上·福建宁德·期中）直线的倾斜角是，则的值是（    ） A． B． C． D． （2）（2025·湖北荆州·高二统考阶段练习）若直线经过两点，，且其倾斜角为135°，则的值为（    ） A．0 B． C． D． （3）（25-26高二上·浙江杭州·期中）直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（   ） A． B． C． D． （4）（25-26高二上·广东广州·期末）经过，两点的直线的一个方向向量为，则实数t的值为（    ） A． B．2 C． D．6 （5）（25-26高二上·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为正方形，所在直线的斜率存在且分别为．若，则（    ） A． B． C．2 D． 例3（1）（24-25高二上·湖南常德·期中）直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高二上·安徽六安·期中）设直线的方程，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知点A，B位于直线上，其中点A在x轴上，点C是平面xOy中的一点，若为正三角形，则直线AC的斜率为（ ） A． B． C．或 D．或 （4）（多选题）（25-26高二上·山东临沂·期中）对于直线，下列说法中正确的是（   ） A．的倾斜角可以为 B．时，不经过第二象限 C．的一个方向向量为时， D．直线恒过定点 （5）（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知点，直线的倾斜角，那么的取值范围是__________． 题型二：三点共线问题 例4（1）（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）若，，三点共线，则实数a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 （2）（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）下列三点在同一直线上的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， （3）（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知三点，则“三点共线”是“或”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 （4）（2025海松江·高二上海市松江二中校考期中）已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是________. （5）（多选题）（25-26高二上·四川成都·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A．若三点共线，则m的值为0 B．已知两点，过点的直线与线段有公共点，则的斜率k的取值范围为 C．已知点，点B在坐标轴上，经过两点直线的方向向量为，则可以是点B的坐标 D．若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则 题型三：过定点的直线与线段相交问题 例5（1）（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． （2）（25-26高二上·四川内江·期中）设点，若过点的直线与线段有公共点．则直线的斜率取值范围是（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高二上·天津·期中）已知直线经过点，且与以，为端点的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为___________． （4）（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知直线与线段不相交，其中，，则直线斜率的取值范围为_______． 例6（1）（25-26高二上·安徽·期中）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． （2）（25-26高二上·广东深圳·期中）已知点，直线与线段相交（不含，两点），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高二上·湖北孝感·期中）若直线与以为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（    ） A． B． C． D． （4）（25-26高二上·湖南·阶段检测）已知，，直线与线段有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例7（1）（25-26高二上·河南·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点是线段上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知、，点在线段上，则的取值范围为________. （3）（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知，则的取值范围是________． 题型四：直线的方程 例8（1）（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． （2）（25-26高二上·湖北黄石·期末）已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． （3）（24-25高二下·上海·期中）已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. （4）（多选题）（25-26高二上·河北雄安·期末）过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为（    ） A． B． C． D． 例9（1）（25-26高二上·福建宁德·期末）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 （2）（25-26高二上·福建厦门·期中）过点且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． （3）（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． （4）（多选题）（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A．方程与方程可表示同一直线 B．直线过点，倾斜角为，则其方程是 C．直线过点，斜率不存在，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和截距式方程 （5）（多选题）（25-26高二上·河北石家庄·期末）下列说法正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．过、两点的所有直线的方程为 D．设直线的方程为，则直线倾斜角的取值范围是 例10（1）（25-26高二上·江苏常州·期末）设直线的方程为． （1）求经过定点的坐标； （2）若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． （2）（25-26高二上·安徽·期中）求出满足下列条件的直线方程： （1）经过点，且与直线平行； （2）经过点，且与直线垂直； （3）经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等． （3）（25-26高二上·安徽六安·期末）已知的三个顶点分别为，是的重心． （1）试求点的坐标； （2）试求的值； （3）试求以为顶点构成的平行四边形的两条对角线所在的直线方程． （4）（25-26高二上·广东·期中）已知点，位于直线上，其中在轴上，是平面中的一点. （1）若为正三角形，求直线的斜率； （2）设为的重心. （i）证明：始终在同一条直线上，并求这条直线的方程； （ii）若的面积为3，求点的坐标. 题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题 例11（1）（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．40 （2）已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（       ） A． B． C． D． （3）（多选题）在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点，，则下列选项中正确的是（       ） A．存在正实数使得△面积为的直线l恰有一条 B．存在正实数使得△面积为的直线l恰有二条 C．存在正实数使得△面积为的直线l恰有三条 D．存在正实数使得△面积为的直线l恰有四条 （4）（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）已知直线过点，且与轴正半轴、轴正半轴分别交于，，则面积的最小值________，此时的直线方程为________________. 例12（1）（25-26高二上·上海松江·阶段检测）直角三角形的斜边在轴上，其中点在点的左侧，直角顶点的坐标是. （1）设直线的斜率为，试求点和点的坐标（用表示）； （2）试求直角三角形的面积的最小值及面积取到最小值时的点坐标. （2）（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知直线均过点． （1）若直线过点，且，求直线的方程（写成斜截式）； （2）若直线在轴和轴上的截距互为相反数，求直线的方程（写成斜截式）； （3）若直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程（写成斜截式）． （3）（25-26高二上·山东枣庄·期中）已知直线． （1）若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； （2）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求直线的方程． （4）（25-26高二上·福建福州·期中）已知直线经过点. （1）若直线被两条相交直线和所截得的线段恰被点平分，求直线的方程； （2）若直线与轴，轴的正半轴分别交于，两点，求的最小值，其中. （5）（25-26高二上·上海·期末）已知一条动直线， （1）求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标． （2）若直线与轴的正半轴分别交于两点，当取最小值时，求直线的方程． 题型六：两直线的夹角问题 例13（1）（25-26高二上·上海徐汇·期末）已知直线的方程为，若直线过点，且直线与直线的夹角为，则直线的方程为____________. （2）（25-26高二上·浙江杭州·期中）直线和的夹角的余弦值为________． （3）已知直线，，若直线l过且与直线m､n在第一象限围成一个等腰锐角三角形，则直线l的斜率是（       ） A． B． C． D．2 题型七：直线过定点问题 例14（1）（25-26高二上·河北石家庄·期中）直线恒过定点的坐标为_____． （2）已知直线恒过定点A，点A在直线上，其中m、n均为正数，则的最小值为（       ） A．4 B． C．8 D． 题型八：轨迹方程 例15（1）过点作两条互相垂直的直线，若交轴于点，交轴于点，求线段的中点的轨迹方程. （2）已知是坐标原点，.若点满足，其中，且，求点的轨迹方程. 题型九：中点公式 例16（1）过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_________． （2）已知直线 ：过定点，若直线被直线和轴截得的线段恰好被定点平分，求的值. （3）从点出发的一束光线依次经过直线和反射后回到点．设和上反射点分别为和，求直线的方程． 练习题 1.（25-26高二下·上海·期中）直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 2.（25-26高二上·安徽淮北·期末）直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则直线l的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 4.（2026·广东江门·二模）若直线，的倾斜角分别为，，则（   ） A． B． C． D． 5.（2026·陕西咸阳·二模）已知点，，若直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6.（25-26高二上·四川成都·期中）已知，，直线上存在点P，满足，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7.（25-26高二上·安徽芜湖·期中）已知函数的图象经过点和点，直线经过点，且直线交线段于点，记的周长为，的周长为，若，则（    ） A．2 B．4 C．-2 D．-4 8.（25-26高二上·北京朝阳·期末）已知和是平面直角坐标系中的两个点集，其中中的点被涂成红色，中的点被涂成蓝色．若直线l：满足红色点和蓝色点分别位于l的两侧（红色点和蓝色点均不在上），则（   ） A．当时，b的值可以为6 B．当时，k的值可以为 C．当时，b的取值范围是 D．当时，的取值范围是 9.（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知直线恒过定点，点也在直线上，其中、均为正数，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 10.（25-26高二上·浙江杭州·期中），过定点的动直线和过定点的动直线交于点（与不重合，为坐标原点），则以下结论：（1）为定值；（2）的面积的最大值为；（3）的最大值为5；（4）的最大值为.其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11.（多选题）（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）下列关于直线的结论中，正确的有（   ） A．直线的倾斜角为 B．经过平面上不同的两点，的直线方程为 C．直线：，：，则的充要条件是或 D．经过在两坐标轴上截距相等的直线恰有三条 12.（多选题）（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．直线在轴上的截距为2 B．直线的方向向量为 C．经过点，且在轴上截距相等的直线方程为 D．若点在直线上，且满足，则的取值范围为 13.（多选题）（25-26高二上·山东淄博·阶段检测）下列四个命题中正确的是（    ） A．过点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为； B．已知两条直线，若，则； C．若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为或； D．若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为． 14.（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知斜率为2的直线与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为______． 15.（24-25高二上·江苏·阶段检测）的顶点坐标分别为，则角的平分线所在的直线方程为__________. 16.（25-26高二上·河南濮阳·期中）已知点，，直线l：上总存在一点P，使得（），则实数k的取值范围为________． 17.（25-26高二下·贵州·阶段检测）在中，点在线段BC上，且，过点的直线分别交直线于不同的两点．若．直线恒过定点，则点的坐标为__________． 18.（25-26高二上·上海·期末）平面直角坐标系内，直线和上分别取点和，这三个点和原点可以围成一个正方形，则直线的斜率为__________. 19.（25-26高二上·安徽淮南·阶段检测）已知直线经过点． （1）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； （2）设为坐标原点，若直线与轴正半轴交于点、与轴正半轴交于点，求的最小值，并求此时直线的方程； 20.（25-26高二上·广东广州·期中）已知在平行四边形中，，，，． （1）求直线BC的方程； （2）若一条光线从点A射出，经x轴反射，反射光线经过点B，求入射光线所在直线的方程； （3）过点A的直线l与x轴正半轴交于点E，与y轴正半轴交于点F，求的最小值． 21.（25-26高二上·辽宁大连·期中）设为实数，直线恒过一定点记作，为的一个直角顶点，另两个顶点为、，其中点在轴上，点 （1）求点，的坐标； （2）求斜边中线所在的直线方程； （3）设点，若是线段上的动点，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 直线的方程 知识点一：直线的倾斜角和斜率 1．直线的倾斜角 若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示 （1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为 （2）倾斜角的取值范围 2．直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）越大，直线越陡峭 （5）倾斜角与斜率的关系 当时，直线平行于轴或与轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小； 3．过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点，，则 （1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关． （2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 4．三点共线． 两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在． 知识点二：直线的方程 1．直线的截距 若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距 （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关） （2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线 2．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于轴的直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 3．求曲线（或直线）方程的方法： 在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种： （1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率 （2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） 4．线段中点坐标公式 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式． 5．两直线的夹角公式 若直线与直线的夹角为，则. 题型一：倾斜角与斜率的计算 例1（1）（25-26高二上·陕西汉中·期中）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高二上·江苏盐城·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知直线，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 例2（1）（25-26高二上·福建宁德·期中）直线的倾斜角是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为直线的倾斜角是，所以，所以直线方程变形为. 所以，解得.故选：B. （2）（2025·湖北荆州·高二统考阶段练习）若直线经过两点，，且其倾斜角为135°，则的值为（    ） A．0 B． C． D． （3）（25-26高二上·浙江杭州·期中）直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 【详解】由直线经过两点，得直线的斜率，则直线的倾斜角，直线的倾斜角为，所以的斜率为. （4）（25-26高二上·广东广州·期末）经过，两点的直线的一个方向向量为，则实数t的值为（    ） A． B．2 C． D．6 【详解】由题意，，则.故选：C （5）（25-26高二上·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为正方形，所在直线的斜率存在且分别为．若，则（    ） A． B． C．2 D． 【详解】不妨设直线的倾斜角为，则直线的斜率分别为， ，，又，，即．又，，化简得，解得（负值舍去）．故选：D. 例3（1）（24-25高二上·湖南常德·期中）直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，直线的方程为，此时倾斜角，当时，由直线方程可得斜率，因为且，所以，即，又，所以，综上，故选：D （2）（25-26高二上·安徽六安·期中）设直线的方程，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由直线的方程，可得其斜率，依题意，直线的倾斜角满足，且，结合正切函数的图象，可得.故选：C （3）（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知点A，B位于直线上，其中点A在x轴上，点C是平面xOy中的一点，若为正三角形，则直线AC的斜率为（ ） A． B． C．或 D．或 【详解】因为点A在x轴上，且在直线上，所以，易知直线l的倾斜角为，若为正三角形，则直线AC的倾斜角为或，即或，故直线AC的斜率为，或.故选：D （4）（多选题）（25-26高二上·山东临沂·期中）对于直线，下列说法中正确的是（   ） A．的倾斜角可以为 B．时，不经过第二象限 C．的一个方向向量为时， D．直线恒过定点 【详解】对于：直线：，斜率，所以斜率肯定存在，所以倾斜角不可能是，故选项错误；对于：可化简为：，所以直线恒过定点，时，斜率，所以直线经过一、三、四象限，不经过第二象限，故选项正确；对于：l的一个方向向量为时，斜率，又，所以，故选项错误；对于：可化简为：，所以直线恒过定点，故选项正确；故选：. （5）（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知点，直线的倾斜角，那么的取值范围是__________． 【详解】因为直线的倾斜角，可得直线的斜率，又因为，可得直线的斜率，解得，即的范围为 题型二：三点共线问题 例4（1）（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）若，，三点共线，则实数a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【详解】由三点共线得，即，解得．故选：A. （2）（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）下列三点在同一直线上的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， （3）（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知三点，则“三点共线”是“或”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】当时，三点均在直线上；当时，，而直线的斜率不存在，显然三点不在一条直线上；当时，若三点共线，则，即，解得或．综上，若三点共线，则或或，故“三点共线”是“－4或”的必要不充分条件．故选：C. （4）（2025海松江·高二上海市松江二中校考期中）已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是________. 【详解】因为线段，，不能构成三角形，所以三点共线， 显然直线的斜率存在，故，即，解得，故答案为：4 （5）（多选题）（25-26高二上·四川成都·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A．若三点共线，则m的值为0 B．已知两点，过点的直线与线段有公共点，则的斜率k的取值范围为 C．已知点，点B在坐标轴上，经过两点直线的方向向量为，则可以是点B的坐标 D．若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则 【详解】对于A选项，由可得，由三点共线得，得，A选项正确；对于B选项，由、，，则，， 由图可知，要使过点的直线与线段MN有公共点，则或，即的斜率k的取值范围为，故B错误；对于C选项，若，则，故与平行，故C选项正确；对于D选项，若，但是，故D选项错误；故选：AC. 题型三：过定点的直线与线段相交问题 例5（1）（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】由，得直线的斜率分别为，， 而过点的直线与线段有交点，如图， 所以直线l斜率的取值范围为. （2）（25-26高二上·四川内江·期中）设点，若过点的直线与线段有公共点．则直线的斜率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】设过点且垂直于轴的直线交线段于点，如下图所示： ，，当直线从的位置旋转至与的位置靠近时，此时直线的倾斜角逐渐增大，且为锐角，则；当直线从靠近的位置旋转至的位置时，此时直线的倾斜角逐渐增大，且为钝角，则.综上所述，直线的斜率的取值范围是.故选：A. （3）（25-26高二上·天津·期中）已知直线经过点，且与以，为端点的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为___________． 【详解】   如图，先求出直线的斜率分别为：， 则可得直线的倾斜角分别为，由图知，要使直线与线段没有公共点，需使直线的倾斜角满足，即直线的倾斜角的取值范围为.故答案为：. （4）（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知直线与线段不相交，其中，，则直线斜率的取值范围为_______． 【详解】直线过定点，则，如图，则由图可知当直线与线段相交时或.   故直线与线段不相交时，斜率的取值范围为 例6（1）（25-26高二上·安徽·期中）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】 由题可知直线过定点．，， 与线段相交，由题意设直线的斜率为或．由于在及上均单调递增，直线的倾斜角的范围为．故选:C． （2）（25-26高二上·广东深圳·期中）已知点，直线与线段相交（不含，两点），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】由直线，可得，又由直线的点斜式方程，可得直线恒过定点， 因为，可得，如图所示，若直线与线段相交（不包含端点），则，即直线斜率的取值范围为.故选：B. （3）（25-26高二上·湖北孝感·期中）若直线与以为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】直线，即，则直线恒过定点，且斜率为， ，，直线与以为端点的线段相交，   或，或，直线的倾斜角取值范围为.故选：A. （4）（25-26高二上·湖南·阶段检测）已知，，直线与线段有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由，得. 令，解得，则直线经过定点，则，， 如图，设直线的斜率为，则或， 即或，解得或. 因为当时，直线与线段也有交点，所以的取值范围是，故A正确.故选：A 例7（1）（25-26高二上·河南·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点是线段上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，；当时，，所以线段的最左端是，最右端是，表示点与点连线的斜率，当点在点A处时，；当点在点B处时，；   结合图象可知，的取值范围是．故选：C． （2）（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知、，点在线段上，则的取值范围为________. 【详解】由直线的斜率公式可得：；.将看成线段上一点与定点连线的斜率，结合图形，要使直线经过点，且与线段有交点，的斜率需满足或.故答案为：    （3）（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知，则的取值范围是________． 【详解】表示平面直角坐标系中点与点连线的斜率，其中点在直线的的部分上，点在线段上，取点，点的坐标为时，直线的斜率为，当时，直线的斜率小于0且趋近于0，所以的取值范围是． 故答案为：. 题型四：直线的方程 例8（1）（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． （2）（25-26高二上·湖北黄石·期末）已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． （3）（24-25高二下·上海·期中）已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 【详解】由题意得：直线的斜率为，所以其倾斜角为，设直线的倾斜角为， 又直线与直线的夹角为，所以或，又直线过点， 当时，直线的方程为：，当时，斜率，所以直线的方程为：，即. （4）（多选题）（25-26高二上·河北雄安·期末）过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】若两截距都为，则该直线过原点，其方程为，即； 若截距不为，不妨设其在横轴上的截距为，则在纵轴上的截距为， 此方程为，代入得，解得，整理得． 例9（1）（25-26高二上·福建宁德·期末）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 【详解】当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为，则，所以直线方程为， 当截距都不为零，设直线方程为，则，所以直线方程为，即.综上直线方程为：或.故选：C （2）（25-26高二上·福建厦门·期中）过点且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】直线的斜率为，所求直线与其平行，故其斜率为，又直线过点，则所求直线的方程为，即.故选：C （3）（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【详解】设直线的倾斜角为，则，由直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线， 故直线的倾斜角为，故直线的斜率为，又在直线上，故直线过点，即直线的方程为，化简得. （4）（多选题）（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A．方程与方程可表示同一直线 B．直线过点，倾斜角为，则其方程是 C．直线过点，斜率不存在，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和截距式方程 【详解】对于A：方程分母不为0，要求，对应的直线不包含点，而包含点，二者不能表示同一直线，A错误；对于B： 倾斜角为，斜率，代入点斜式方程得，整理得，B正确；对于C：斜率不存在的直线垂直于轴，直线上所有点的横坐标恒为，方程为，C正确；对于D：点斜式要求斜率存在，斜率不存在的直线没有点斜式；截距式要求横、纵截距都存在且不为0，过原点的直线没有截距式，因此不是所有直线都有点斜式和截距式，D错误. （5）（多选题）（25-26高二上·河北石家庄·期末）下列说法正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．过、两点的所有直线的方程为 D．设直线的方程为，则直线倾斜角的取值范围是 【详解】对于A，直线可得，则斜率，所以直线倾斜角满足，且，即，故正确；对于B，当截距不为0时，由直线截距式可设直线方程为，代入得，解得；当截距为0时，可设直线方程为，代入得，即，故错误； 对于C，根据直线方程两点式可知，且，故错误；对于D，由直线的方程为可得，斜率，由得，设倾斜角为，则，由，得,故正确，故选：AD. 例10（1）（25-26高二上·江苏常州·期末）设直线的方程为． （1）求经过定点的坐标； （2）若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 【详解】（1）由整理可得，令，解得， 所以不论为何值，直线必过一定点. （2）由题意可知：，且，令，解得；令，解得； 因为，解得或，当时，直线的方程为：； 当时，直线的方程为：；综上所述：所求直线的方程为或. （2）（25-26高二上·安徽·期中）求出满足下列条件的直线方程： （1）经过点，且与直线平行； （2）经过点，且与直线垂直； （3）经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等． 【详解】（1）解：由直线的斜率，设所求直线的斜率为，因为所求直线与直线平行，所以，又因为所求直线经过，所以， 即所求直线方程为. （2）解：由直线的斜率，因为两条直线垂直且斜率均存在，所以斜率之积为， 设所求直线的斜率为，可得，解得，又因为所求直线经过点，可得，即直线方程为. （3）解：设直线在轴截距为，在轴截距为，①当时，直线过原点，设方程为， 因为直线过点，可得，此时在坐标轴截距都是0，绝对值相等，满足条件， 此时直线方程为； ②当时，则直线方程为且．又所求直线过点，可得， （i）若，代入得，解得，所以直线方程为； （ii）若，代入得，解得，所以直线方程为. 综上所述，所求直线方程为或或. （3）（25-26高二上·安徽六安·期末）已知的三个顶点分别为，是的重心． （1）试求点的坐标； （2）试求的值； （3）试求以为顶点构成的平行四边形的两条对角线所在的直线方程． 【详解】（1）因为的三个顶点分别为，是的重心所以重心坐标为，即. （2）因为的三个顶点分别为，所以. 所以. （3）以为顶点的平行四边形有三种情况，对应三组对角线： ①对角线（为第四个顶点）因为，所以所在直线方程为，即.的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即. ②对角线（为第四个顶点）因为，所以所在直线方程为，即.的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即. ③对角线（为第四个顶点）因为，所以所在直线方程为，即.的坐标为，所以，所以直线的方程为，即. （4）（25-26高二上·广东·期中）已知点，位于直线上，其中在轴上，是平面中的一点. （1）若为正三角形，求直线的斜率； （2）设为的重心. （i）证明：始终在同一条直线上，并求这条直线的方程； （ii）若的面积为3，求点的坐标. 【详解】（1）因为在轴上，所以，因为直线的倾斜角为，若为正三角形，则直线的倾斜角为或，故斜率为， 或. （2）（i）设，设中点，由为的重心，故，解得. ，，解得，故始终在直线上. （ii）因为为的重心，所以，故， ，解得或，故代入的坐标得或. 题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题 例11（1）（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．40 【详解】如图： 依题意设直线的方程为（，），则，且，， 所以，即，当且仅当，时，等号成立，所以的面积，则面积的最小值为20.故选：B （2）已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（       ） A． B． C． D． 【解析】直线可变为，所以过定点，又因为直线在两坐标轴上的截距都是正值，可知，令，所以直线与轴的交点为，令，所以直线与轴的交点为，所以，当且仅当即时取等，所以此时直线为：.故选：C. （3）（多选题）在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点，，则下列选项中正确的是（       ） A．存在正实数使得△面积为的直线l恰有一条 B．存在正实数使得△面积为的直线l恰有二条 C．存在正实数使得△面积为的直线l恰有三条 D．存在正实数使得△面积为的直线l恰有四条 【解析】由题意，直线与轴、轴交点分别为，， ∴，作出其图象如图所示， 由图知，当时，有两解；当时，有三解；当时，有四解. （4）（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）已知直线过点，且与轴正半轴、轴正半轴分别交于，，则面积的最小值________，此时的直线方程为________________. 【详解】依题意设，，则直线的方程为，直线过点，，，， 当且仅当，即时，，此时，则直线的方程为，即. 故答案为：；. 例12（1）（25-26高二上·上海松江·阶段检测）直角三角形的斜边在轴上，其中点在点的左侧，直角顶点的坐标是. （1）设直线的斜率为，试求点和点的坐标（用表示）； （2）试求直角三角形的面积的最小值及面积取到最小值时的点坐标. 【详解】（1）因为直线的斜率为，直角顶点的坐标是.所以直线的方程为，即.令，则，所以.因为，所以直线的斜率为，那么直线的方程为.令，则，所以. （2）由（1）知，，所以直角三角形的面积为.由图可知，所以根据基本不等式的性质得，当且仅当，即时，等号成立，此时直角三角形的面积取最小值为，此时点的坐标为. （2）（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知直线均过点． （1）若直线过点，且，求直线的方程（写成斜截式）； （2）若直线在轴和轴上的截距互为相反数，求直线的方程（写成斜截式）； （3）若直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程（写成斜截式）． 【详解】（1），又，所以，所以直线的方程为，即； （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，不满足条件；当直线斜率为时，直线的方程为，不满足条件；当斜率存在且不为时，设直线的方程为，令，则，令，则，因为直线在轴和轴上的截距互为相反数，所以，所以或，又因为直线过点，所以，所以当时，；当时，；所以直线的方程为或； （3）因为直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，所以直线的斜率一定存在且不为，又直线过点，所以设直线的方程为，令，则，令，则，所以，解得，， 当且仅当，即时，取得最小值，所以直线的方程为，即. （3）（25-26高二上·山东枣庄·期中）已知直线． （1）若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； （2）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求直线的方程． 【详解】（1）由，即，则，解得，所以直线过定点.因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以，此时，直线的方程可化为，记点，则， 由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （2）已知直线，且由题意知， 令，得，得，令，得，得， 则，所以当时，取最小值，此时直线的方程为，即. （4）（25-26高二上·福建福州·期中）已知直线经过点. （1）若直线被两条相交直线和所截得的线段恰被点平分，求直线的方程； （2）若直线与轴，轴的正半轴分别交于，两点，求的最小值，其中. 【详解】（1）设直线与直线和分别相交于，两点，设，因为点为线段的中点，则，因为点在直线上， 则，解得，则，所以直线的方程为：，即. （2）由题意可知直线的斜率存在，且，设直线的方程为，则，，，当且仅当，即时取等号. （5）（25-26高二上·上海·期末）已知一条动直线， （1）求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标． （2）若直线与轴的正半轴分别交于两点，当取最小值时，求直线的方程． 【详解】（1）整理直线方程得 ，由可得 ，， 故直线恒过定点 . （2）由（1）知，如图，作轴于M，轴于N，且直线与轴的正半轴分别交于两点，设直线倾斜角为，， 因为，所以，，，，，， 令 ，由 得 ，，则 ，在 上单调递增，当 即 时，上式取最小值 ，此时直线方程为化简得直线方程为 . 题型六：两直线的夹角问题 例13（1）（25-26高二上·上海徐汇·期末）已知直线的方程为，若直线过点，且直线与直线的夹角为，则直线的方程为____________. 【详解】，所以直线的斜率为，倾斜角为，当直线不存在斜率时，方程为，显然此时直线与直线的夹角为，符合题意；当直线存在斜率时，设为，因为直线与直线的夹角为，所以，此时方程为.故答案为：或 （2）（25-26高二上·浙江杭州·期中）直线和的夹角的余弦值为________． 【详解】设直线和的倾斜角分别为，两直线的夹角为， 则，所以，而，，，解得，则直线和的夹角的余弦值为. （3）已知直线，，若直线l过且与直线m､n在第一象限围成一个等腰锐角三角形，则直线l的斜率是（       ） A． B． C． D．2 【解析】根据题意，设直线的斜率为，直线，，两直线相交于点，设，点在直线上，直线与直线相交于点，为等腰锐角三角形，则，则，故必为顶点，必有，则有，必有，解可得：或，则，故选：． 题型七：直线过定点问题 例14（1）（25-26高二上·河北石家庄·期中）直线恒过定点的坐标为_____． 【详解】直线，即，联立可得，∴，即直线恒过定点. （2）已知直线恒过定点A，点A在直线上，其中m、n均为正数，则的最小值为（       ） A．4 B． C．8 D． 【解析】由，得．∴直线恒过定点，即，∵点A在直线上，∴，∴，当且仅当，即时取等号．∴的最小值为：8．故选:C． 题型八：轨迹方程 例15（1）过点作两条互相垂直的直线，若交轴于点，交轴于点，求线段的中点的轨迹方程. 【解析】设M（x，y），连结MP，则A（2x，0），B（0，2y）， ∵l1⊥l2，∴△PAB为直角三角形， ，化简，得x＋2y－5＝0，此即M的轨迹方程. 综上可知，点M的轨迹方程为x＋2y－5＝0. （2）已知是坐标原点，.若点满足，其中，且，求点的轨迹方程. 【解析】设，则，， 即，解得即 题型九：中点公式 例16（1）过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_________． 【详解】设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.故答案为：x＋4y－4＝0. （2）已知直线 ：过定点，若直线被直线和轴截得的线段恰好被定点平分，求的值. 【解析】则直线过定点 设直线与直线交于点，与轴交于点，依题意为中点，在中令，则，即所以，，即，将其代入直线中可得，解之得 （3）从点出发的一束光线依次经过直线和反射后回到点．设和上反射点分别为和，求直线的方程． 解：由题可知，和的斜率分别为：，设关于对称点，则，所以的中点坐标为，且在上，则，同理得关于对称点，由于从点出发的一束光线依次经过直线和反射后回到点，则，，，四点同在一条直线上，则，即，所以，直线方程为. 练习题 1.（25-26高二下·上海·期中）直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 2.（25-26高二上·安徽淮北·期末）直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，又斜率的取值范围是，所以，当时，，当时，，又，所以根据正切函数的图象可得，. 3.（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则直线l的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 【详解】如图，设，直线过和．①当直线垂直于轴时，方程为，直线、直线与轴围成的三角形是，不是等腰三角形，所以直线的斜率存在； ②当直线的斜率小于零时，设关于轴的对称点为，当直线过两点时，，是等腰三角形．又由直线知其斜率为，所以，所以为等边三角形，所以直线的斜率小于零时只有这一种情况，此时直线的倾斜角为，斜率为，方程为，即； ③当直线的斜率为零时，直线平行于轴，不能与直线及x轴围成三角形.所以直线的斜率不为零； ④当直线的斜率大于零时，只有如图一种情况可使直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形. 设直线与轴负半轴相交于点，则，因为直线的斜率为，倾斜角为，可得，所以，所以直线（即直线）的斜率为，对应方程为，即．综上所述，直线的方程为或．故选:A． 4.（2026·广东江门·二模）若直线，的倾斜角分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】依题意，直线的斜率，所以直线的斜率. 5.（2026·陕西咸阳·二模）已知点，，若直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】直线的斜率为.直线：可变形为，则直线恒过点，，直线的斜率为.当直线与平行时，. 结合图象可知，若直线与线段的延长线相交，则，即. 6.（25-26高二上·四川成都·期中）已知，，直线上存在点P，满足，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】直线方程可化为：，令得：，直线恒过定点，由得：，当直线上存在点满足时，直线与线段有交点，如图所示， ，，由直线斜率不为，直线的斜率，.故选：D. 7.（25-26高二上·安徽芜湖·期中）已知函数的图象经过点和点，直线经过点，且直线交线段于点，记的周长为，的周长为，若，则（    ） A．2 B．4 C．-2 D．-4 【详解】因为所以的图象关于直线对称，故.因为在上都单调递增，在上都单调递减，则在上单调递增； 在上单调递减.所以直线与的图象只有两个交点为和点，设则，设直线与相交于点，则， 于是，则，即，因为直线经过点，，所以.  故选：B. 8.（25-26高二上·北京朝阳·期末）已知和是平面直角坐标系中的两个点集，其中中的点被涂成红色，中的点被涂成蓝色．若直线l：满足红色点和蓝色点分别位于l的两侧（红色点和蓝色点均不在上），则（   ） A．当时，b的值可以为6 B．当时，k的值可以为 C．当时，b的取值范围是 D．当时，的取值范围是 【详解】若，，则，则点满足方程，不符合题意，故A错误；若，，则，则满足方程，不符合题意，故B错误；当时，，即， 将中的坐标依次代入中得，①，将中的坐标依次代入中得，②，因为直线l：满足红色点和蓝色点分别位于l的两侧，所以①中各式与②中各式正负性相反，若①中各式均为正数，②中各式均为负数，则，，舍；若①中各式均为负数，②中各式均为正数，则，故C正确； 当时，，即，将中的坐标依次代入中得，，因为，所以各式均为正数，则，将中的坐标依次代入中得，，均为负数，则，则的取值范围是，故D错误.故选：C 9.（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知直线恒过定点，点也在直线上，其中、均为正数，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【详解】由，得，由得，则直线过定点，故， 代入直线，得，整理得，，当且仅当时，即时取等号，故最小值为.故选：D． 10.（25-26高二上·浙江杭州·期中），过定点的动直线和过定点的动直线交于点（与不重合，为坐标原点），则以下结论：（1）为定值；（2）的面积的最大值为；（3）的最大值为5；（4）的最大值为.其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】对于直线，变形为，令，解得，定点， 对于直线，变形为，令，解得，定点， 对直线和直线，，故两条直线垂直，, ,，为定值，故（1）正确，设，由以上可知，根据基本不等式可得，当且仅当时等号成立，的面积，的面积的最大值为，故（2）正确；设，，，则，， ，即，在以为圆心，为半径的圆上，故的最大值为，故（3）正确；设，由上可知，根据柯西不等式可得，即，，当且仅当时取等号，的最大值为，故（4）正确.故选：. 11.（多选题）（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）下列关于直线的结论中，正确的有（   ） A．直线的倾斜角为 B．经过平面上不同的两点，的直线方程为 C．直线：，：，则的充要条件是或 D．经过在两坐标轴上截距相等的直线恰有三条 【详解】对于选项A，直线方程化为斜截式得，斜率，但倾斜角范围为，且任意时，不一定在范围内，故A错误；对于选项B，经过平面上不同两点，的直线方程，无论两点是否在水平线或竖直线上均成立，故B正确；对于选项C，两直线垂直的充要条件是一般式中，对于：和：，有，解得或，当时，：，：，此时，当时，：，：，此时，故C正确；对于选项D，截距相等的直线分两种情况：①截距为：直线过原点，方程为（过）；②截距不为0：设方程为，代入，解得，所以方程为，所以经过在两坐标轴上截距相等的直线恰有两条直线，故D错误.故选：BC. 12.（多选题）（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．直线在轴上的截距为2 B．直线的方向向量为 C．经过点，且在轴上截距相等的直线方程为 D．若点在直线上，且满足，则的取值范围为 【详解】直线过点所以其在轴上的截距为，故A选项错误； 直线的斜率为，故该直线的方向向量为，故B选项正确；经过点，且在轴上截距相等的直线方程为或，故C选项错误；因为点在直线上，所以，又因为，所以即，，当时即故当时，故，所以的取值范围为，故D选项正确；故选：BD 13.（多选题）（25-26高二上·山东淄博·阶段检测）下列四个命题中正确的是（    ） A．过点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为； B．已知两条直线，若，则； C．若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为或； D．若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为． 【详解】选项A：如下图所示，过点在轴和轴上的截距互为相反数的直线为：和，共两条，故A错误；   选项B：，整理得：，，①，②，解①得或，解②得，，故B正确；选项C：直线等价于，恒过定点，直线的斜率分别为， 又直线与线段相交，或，即为或，故C正确；   选项D：当直线与平行时，即时不能构成三角形； 当直线与平行时，即时不能构成三角形；直线与交于点，当点在直线上时，即时，三条直线不能构成三角形，实数的取值集合为，故D错误．故选：BC． 14.（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知斜率为2的直线与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为______． 【详解】令直线的倾斜角为，则，而直线绕点逆时针旋转得到直线， 所以直线的倾斜角为，则其斜率为. 15.（24-25高二上·江苏·阶段检测）的顶点坐标分别为，则角的平分线所在的直线方程为__________. 【详解】 如图，角的平分线与交于点.由题意得，，.由角平分线定理得，，∴, 设点坐标为，则，∴，∴， ∴直线方程为：，整理得.故答案为：. 16.（25-26高二上·河南濮阳·期中）已知点，，直线l：上总存在一点P，使得（），则实数k的取值范围为________． 【详解】直线l：过定点.由题意直线l：与线段相交， 临界情况为恰好经过点或经过点时，由图可知，或. 故答案为：. 17.（25-26高二下·贵州·阶段检测）在中，点在线段BC上，且，过点的直线分别交直线于不同的两点．若．直线恒过定点，则点的坐标为__________． 【详解】连接，如图所示. 因为，所以，所以.因为，所以.因为，，三点共线，所以，则. 则为，即，令，解得，则点的坐标为. 18.（25-26高二上·上海·期末）平面直角坐标系内，直线和上分别取点和，这三个点和原点可以围成一个正方形，则直线的斜率为__________. 【详解】设，，，则，，由题意知，即，解得或，当时，，， 当时，，此时四边形为正方形，符合题意，此时直线的斜率为；当时，，，当时，，此时四边形为正方形，符合题意， 此时直线的斜率为.综上所述，直线的斜率为或.故答案为：或. 19.（25-26高二上·安徽淮南·阶段检测）已知直线经过点． （1）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； （2）设为坐标原点，若直线与轴正半轴交于点、与轴正半轴交于点，求的最小值，并求此时直线的方程； 【详解】（1）当过坐标原点时，方程为，即，满足题意；当不过坐标原点时，可设其方程为：，，，∴直线l方程为：或； （2）由题意可知：直线斜率存在，且，可设， 令，解得：，，令，解得：，， ∴，当且仅当即等号成立，直线的方程为：，即，∴的最小值为，此时直线方程为：. 20.（25-26高二上·广东广州·期中）已知在平行四边形中，，，，． （1）求直线BC的方程； （2）若一条光线从点A射出，经x轴反射，反射光线经过点B，求入射光线所在直线的方程； （3）过点A的直线l与x轴正半轴交于点E，与y轴正半轴交于点F，求的最小值． 【详解】（1）易知在平行四边形中，，故，已知点，由直线的点斜式方程可得直线：，整理得，即直线BC的方程为. （2）设点关于轴的对称点为，由光的反射原理可知，从点射出的入射光线的延长线必经过，故入射光线所在的直线方程即直线.，由直线的点斜式方程得直线：，整理为，即入射光线所在直线的方程为. （3）设直线与轴的交点，与轴的交点，故可设直线的截距式方程：，因为直线过点，故有.，三点共线，且与方向相反，.又因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即的最小值为. 21.（25-26高二上·辽宁大连·期中）设为实数，直线恒过一定点记作，为的一个直角顶点，另两个顶点为、，其中点在轴上，点 （1）求点，的坐标； （2）求斜边中线所在的直线方程； （3）设点，若是线段上的动点，求的取值范围. 【详解】（1） 由可得，令且，解得，，故直线恒过定点        设，则，故则，解得，故 （2）由于，，故的中点坐标，则，故直线方程为，即 （3）法一：设与轴的交点为，①当动点在上运动时，由斜率的几何意义可得， 当与重合时，，当在轴上时，，所以.   ②当动点在上运动时，由斜率的几何意义可得，当在轴上时，，当与重合时，，所以，            综上可得.        法二：由于，，得，所以，即 则线段的方程为且③③    设，其中不为0，得代入③化简整理得，即，且，令，且，解得 ，则，即. 1 学科网（北京）股份有限公司 $