2.2 直线的方程 经典题型分类训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以直线方程五种形式为核心，通过七类题型系统覆盖基础应用、综合转换及拓展问题，实现概念生成到问题解决的逻辑递进，培养几何直观与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |点斜式方程|7题|已知点和斜率/倾斜角求方程，平行垂直应用|方程基本形式，斜率与倾斜角关联| |斜截式方程|6题|倾斜角/斜率与y轴截距结合求方程|点斜式特例，截距概念引入| |两点式方程|6题|两点坐标求方程，方程表示条件辨析|两点确定斜率，推导方程形式| |截距式方程|9题|截距相等/相反数问题，含参数讨论|截距几何意义，与其他形式转换| |一般式方程|13题|方程系数与象限关系，平行垂直判定|统一方程形式，综合应用五种形式| |直线过定点|8题|含参数直线恒过定点，对称定点问题|参数分离法，方程恒成立条件| |面积问题|6题|直线与坐标轴围成面积最值，综合应用|方程与几何量（截距）关联，代数求最值|

《直线的方程》经典题型分类训练 题型一：直线的点斜式方程 1．过点（﹣1，2）且斜率为﹣1的直线，其点斜式方程为（　　） A．y﹣2＝﹣（x+1） B．y+2＝﹣（x﹣1） C．y﹣2＝（x+1） D．y+2＝（x﹣1） 2．经过点（2，﹣1），且倾斜角是150°的直线方程是（　　） A． B． C． D． 3．过点（3，﹣2），倾斜角为30°的直线方程为（　　） A． B． C． D． 4．倾斜角为135°且经过点（2，﹣1）的直线方程是 　 　 ． 5．过点（1，2），且倾斜角为30°的直线方程是　 　 ． 6．若直线l经过点P（2，﹣3），斜率为﹣2，则直线l的点斜式方程为 　 　 ． 7．已知平面内两点A（6，﹣6），B（2，2）． （1）求过点P（2，﹣3）且与直线AB平行的直线l的点斜式方程； （2）求过点P（2，﹣3）且与直线AB垂直的直线m的点斜式方程． 题型二：直线的斜截式方程 8．已知直线l的倾斜角为120°，在y轴上的截距是3，则直线l的方程为（　　） A．yx+3 B．yx﹣3 C．yx+3 D．yx﹣3 9．直线的倾斜角30°，过点（0，1），则直线的斜截式方程为（　　） A． B． C． D． 10．已知直线l的斜率是2，且在y轴上的截距是﹣3，则直线l的方程是（　　） A．y＝2x﹣3 B．y＝2x+3 C．y＝﹣2x﹣3 D．y＝﹣2x+3 11．倾斜角为135°，在y轴上的截距为﹣1的直线方程是（　　） A．y＝x+1 B．y＝x﹣1 C．y＝﹣x+1 D．y＝﹣x﹣1 12．直线l过点M（1，﹣2），倾斜角为60°．则直线l的斜截式方程为　 　 ． 13．写出下列直线的斜截式方程： （1）直线的倾斜角为45°且在y轴上的截距是2； （2）直线过点A（3，1）且在y轴上的截距是﹣1． 14．根据条件写出下列直线的斜截式方程： （1）斜率为2，在y轴上的截距是5； （2）倾斜角为150°，在y轴上的截距是﹣2； （3）倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3． 题型三：直线的两点式方程 15．过（1，2），（5，3）的直线方程是（　　） A． B． C． D． 16．经过两点（x1，y1）、（x2，y2）的直线方程都可以表示为（　　） A． B． C．（y﹣y1）（x2﹣x1）＝（x﹣x1）（y2﹣y1） D． 17．若直线l经过点A（2，﹣3）、B（3，1），则以下是直线l的方程的为（　　） A． B．y﹣1＝4（x﹣3） C．4x﹣y+11＝0 D．（x﹣2）+4（y+3）＝0 18．经过A（2，1），B（6，﹣2）两点的直线方程是（　　） A． B． C． D． 19．过A（2，3），B（4，﹣5）两点的直线的两点式方程为（　　） A． B． C． D． 20．（多选）下列说法正确的是（　　） A．直线的倾斜角为120° B．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0 C．过（x1，y1）、（x2，y2）两点的所有直线的方程为 D．设直线l的方程为y﹣xcosθ+3＝0，则直线l倾斜角的取值范围是 题型四：直线的截距式方程 21．经过点（1，2），且在x轴和y轴上截距相等的直线方程是（　　） A．x+y﹣3＝0 B．x+y﹣3＝0或2x﹣y＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x﹣y+1＝0或2x﹣y＝0 22．过点P（3，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（　　） A．x﹣y﹣1＝0或y＝0 B．x+y﹣5＝0或2x﹣3y＝0 C．x+y﹣5＝0或y＝0 D．x﹣y﹣1＝0或2x﹣3y＝0 23．（多选）过点M（﹣2，5）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为（　　） A．x﹣y+7＝0 B．5x+2y＝0 C．x+y﹣3＝0 D．2x﹣5y＝0 24．（多选）下列说法中，正确的有（　　） A．直线y＝2x﹣2在y轴上的截距是﹣2 B．直线2x﹣y+5＝0经过第一、二、三象限 C．过点（5，0），且倾斜角为0°的直线方程为x﹣5＝0 D．过点P（3，2）且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为x+y﹣5＝0 25．（多选）已知直线l：ax+y﹣2+a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值可能是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 26.（多选）下列关于直线的方程，叙述不正确的是（　　） A．经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y﹣y0＝k（x﹣x0）表示 B．经过任意两个不同点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y﹣y1）•（x2﹣x1）＝（x﹣x1）（y2﹣y1）表示 C．不经过原点的直线都可以用方程1表示 D．经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y＝kx+b表示 27．已知直线l过点M（2，2），且l在x轴上的截距是在y轴上的截距的两倍，则l的方程为　 　 ． 28．若直线l过点（4，﹣2）且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为 　 　 ． 29．已知点P（2，﹣1）和直线l：x+2y﹣5＝0． （1）若直线l1经过点P，且l1∥l，求直线l1的方程； （2）若直线l2经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l2的方程． 题型五：直线的一般式方程 30．如果AC＜0且BC＜0，那么直线Ax+By﹣C＝0不通过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 31．直线l：3x+y+1＝0在y轴上的截距是（　　） A． B． C．1 D．﹣1 32．直线2x﹣y+1＝0不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 33．直线3x+2y+1＝0在y轴上的截距为（　　） A． B． C． D． 34．直线y＝kx+b经过点（﹣2，0）和（0，3），则它的斜率k和在y轴上的截距b是（　　） A．，b＝﹣2 B．，b＝3 C．，b＝3 D．，b＝﹣2 35．在△ABC中，已知A（1，2），B（3，1），C（5，5），则BC边上中线所在的直线方程为（　　） A．x﹣3y+5＝0 B．x﹣3y﹣5＝0 C．2x﹣y﹣5＝0 D．2x﹣y+5＝0 36．设直线l1：x+ay+3＝0，l2：（a﹣2）x+3y+a＝0，若l1∥l2，则实数a的值为（　　） A．3 B．﹣1 C．3或﹣1 D．﹣3或1 37．过点（0，﹣2）且与直线x+2y﹣3＝0垂直的直线方程为（　　） A．2x﹣y+2＝0 B．x+2y+2＝0 C．2x﹣y﹣2＝0 D．2x+y﹣2＝0 38．瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为“欧拉线”．已知△ABC的顶点A（﹣3，0），B（3，0），C（3，3），则△ABC的欧拉线方程为（　　） A．2x﹣y﹣1＝0 B． C．x+2y﹣3＝0 D．x﹣2y+1＝0 39．（多选）下列说法正确的有（　　） A．直线y＝3x﹣2在y轴上的截距为2 B．过点M（﹣3，2）且与直线x+2y﹣9＝0平行的直线方程是x+2y﹣1＝0 C．经过点（﹣1，2）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为x+y＝1 D．若AB＞0，BC＞0，则直线Ax﹣By﹣C＝0不经过第二象限 40．设m∈R，直线l：（m+1）x+my+3﹣m＝0经过平面直角坐标系的第二、第三与第四象限，则m的取值范围是　 　 ． 41．已知直线l1：（m+2）x+my﹣6＝0和直线l2：mx+y﹣3＝0，其中m为实数． （1）若l1⊥l2，求m的值； （2）若点P（1，2m）在直线l2上，直线l过P点，且在x轴上的截距与在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程． 42．已知△ABC的顶点A（2，1），边AB的中线CM所在直线方程为x﹣y+1＝0，边AC的高BH所在直线方程为x﹣2y+2＝0． （1）求点B的坐标； （2）若入射光线经过点A（2，1），被直线CM反射，反射光线过点N（4，2），求反射光线所在的直线方程． 43．（1）若过点（1，﹣1）的直线在y轴上的截距比在x轴上的截距大，求此直线的方程； （2）求过点A（﹣5，2），且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程． 题型六：直线过定点的问题 44．已知直线l：mx﹣m+y﹣1＝0过定点，则定点的坐标为（　　） A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（1，﹣1） D．（1，1） 45．直线mx+（3m﹣1）y+1＝0必过定点（　　） A．（3，1） B．（﹣3，1） C． D．（，0） 46．已知a，b满足2a+3b＝1，则直线4x+ay﹣2b＝0过定点（　　） A． B． C． D． 47．不论m取何值，直线mx﹣y+m+1＝0都过定点（　　） A．（0，m+1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（0，0） 48．已知直线l1：y＝kx﹣2k+1与直线l2关于点（1，0）对称，则l2恒过的定点为（　　） A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（0，﹣1） D．（﹣1，﹣1） 49．直线l：（1+2λ）x+（1+λ）y﹣2﹣4λ＝0（λ为任意实数）过定点（　　） A．（0，2） B．（2，0） C．（2，1） D．（1，2） 50．（多选）已知直线l1：（a+1）x﹣（2a﹣2）y+4＝0，l2：x+y﹣1＝0，则下列说法正确的是（　　） A．.直线l1过定点（﹣2，﹣1） B．直线l2的倾斜角为 C．若l1⊥l2，则a＝3 D．若l1∥l2，则 51．已知直线l：（m﹣2）x﹣（m+1）y+3m＝0（m∈R），直线l1：x+y+3＝0和l2：x﹣y﹣5＝0． （1）求证：直线l恒过定点； （2）设（1）中的定点为P，l与l1，l2的交点分别为A，B，若P恰为AB的中点，求m． 题型七：直线与坐标轴围成图形的面积问题 52．直线l方程为（m+1）x+y+2m﹣3＝0（m∈R）． （1）证明：无论m为何值，直线l过定点，并求出定点坐标； （2）已知O是坐标原点，若直线l分别与x轴负半轴、y轴正半轴交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求△AOB的周长及此时直线l的方程． 53．已知直线l的方程为：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0． （1）求证：不论m为何值，直线必过定点M； （2）过点M引直线l1交坐标轴正半轴于A、B两点，当△AOB面积最小时，求△AOB的周长． 54．已知直线l：kx﹣y+2+3k＝0（k∈R）． （1）求直线l过定点的坐标； （2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值． 55．已知直线l：kx﹣y+2+4k＝0（k∈R）． （1）证明：直线l恒过定点，并求该点坐标． （2）若直线l与x轴的交点的横坐标与其在y轴上的截距相等，求k的值； （3）若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设三角形AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 56．已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣5m﹣4＝0． （1）当m＝0时，一条光线从点P（2，0）射出，经直线l反射后过原点，求反射光线所在直线的方程； （2）求证：直线l恒过定点； （3）若直线l交x轴的正半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值． 57．已知直线l1：kx﹣y﹣3﹣4k＝0（k∈R）过定点P． （1）求过点P且在两坐标轴上截距相等的直线l2的方程； （2）若直线l1交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B． （ⅰ）求实数k的取值范围； （ⅱ）若三角形ABO的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值并求此时直线l1的方程． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 《直线的方程》经典题型分类训练 题型一：直线的点斜式方程 1．过点（﹣1，2）且斜率为﹣1的直线，其点斜式方程为（　　） A．y﹣2＝﹣（x+1） B．y+2＝﹣（x﹣1） C．y﹣2＝（x+1） D．y+2＝（x﹣1） 【分析】根据直线方程的点斜式进行求解，即可得到本题的答案． 【解答】解：根据题意，经过点（﹣1，2）且斜率为﹣1的直线， 其点斜式方程为：y﹣2＝﹣（x+1），A项符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查了直线的点斜式方程及其应用，属于基础题． 2．经过点（2，﹣1），且倾斜角是150°的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【分析】由及直线的点斜式方程求解即可． 【解答】解：由经过点（2，﹣1），且倾斜角是150°， 可得，所以． 故选：D． 【点评】本题考查直线的点斜式方程，是基础题． 3．过点（3，﹣2），倾斜角为30°的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据倾斜角可得斜率，即可根据点斜式求解即可． 【解答】解：因为直线倾斜角为30°， 所以直线的斜率， 由直线点斜式方程为y﹣（﹣2）（x﹣3），即y+2（x﹣3）． 故选：D． 【点评】本题考查直线方程的求法，属于基础题． 4．倾斜角为135°且经过点（2，﹣1）的直线方程是 x+y﹣1＝0　 ． 【分析】根据已知条件，求出直线的斜率，再结合直线过点（2，﹣1），即可求解． 【解答】解：直线的倾斜角为135°， 则直线的斜率k＝tan135°＝﹣1， 直线过点（2，﹣1）， 故直线方程为y﹣（﹣1）＝﹣（x﹣2），即x+y﹣1＝0． 故答案为：x+y﹣1＝0． 【点评】本题主要考查直线方程的求解，属于基础题． 5．过点（1，2），且倾斜角为30°的直线方程是　　 ． 【分析】根据直线的倾斜角求出直线的斜率，然后由直线的点斜式方程求解，可得所求直线的方程． 【解答】解：若直线的倾斜角为30°，则直线的斜率， 结合点（1，2）在该直线上，可得， 即，化简得． 故答案为：． 【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角、直线的方程等知识，属于基础题． 6．若直线l经过点P（2，﹣3），斜率为﹣2，则直线l的点斜式方程为 y+3＝﹣2（x﹣2）　 ． 【分析】利用点斜式方程可得出直线l的方程． 【解答】解：若直线l经过点P（2，﹣3），斜率为﹣2， 则直线l的点斜式方程为y+3＝﹣2（x﹣2）． 故答案为：y+3＝﹣2（x﹣2）． 【点评】本题考查了直线的点斜式方程，属于基础题． 7．已知平面内两点A（6，﹣6），B（2，2）． （1）求过点P（2，﹣3）且与直线AB平行的直线l的点斜式方程； （2）求过点P（2，﹣3）且与直线AB垂直的直线m的点斜式方程． 【分析】（1）求出直线AB的斜率，由平行关系得到kl＝kAB＝﹣2，由点斜式求出直线方程； （2）在（1）的基础上，由垂直关系得到直线m的斜率，由点斜式求出直线方程． 【解答】解：（1）因为A（6，﹣6），B（2，2）， 所以k2， 因为直线l与直线AB平行，所以kl＝kAB＝﹣2． 又直线l过点P（2，﹣3）， 所以直线l的点斜式方程为y+3＝﹣2（x﹣2）． （2）由（1）知kAB＝﹣2． 因为直线m与直线AB垂直， 可得直线m的斜率为， 又直线m过点P（2，﹣3）， 所以直线m的点斜式方程为y﹣（﹣3）（x﹣2）． 【点评】本题考查与已知直线平行，垂直的直线方程的求法，属于基础题． 题型二：直线的斜截式方程 8．已知直线l的倾斜角为120°，在y轴上的截距是3，则直线l的方程为（　　） A．yx+3 B．yx﹣3 C．yx+3 D．yx﹣3 【分析】先求出直线的斜率，结合直线的斜截式即可求解． 【解答】解：直线l的倾斜角为120°，即斜率为， 因为在y轴上的截距是3， 则直线l的方程为yx+3． 故选：C． 【点评】本题主要考查了直线的斜率与倾斜角关系及直线方程的斜截式的应用，属于基础题． 9．直线的倾斜角30°，过点（0，1），则直线的斜截式方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】由直线倾斜角得斜率，求出过点（0，1）可得直线的斜截式方程． 【解答】解：由直线的倾斜角30°， 所以过（0，1）直线的斜截式方程为：y＝xtan30°+1x+1． 即yx+1． 故选：A． 【点评】本题考查直线的斜截式方程的应用，属于基础题． 10．已知直线l的斜率是2，且在y轴上的截距是﹣3，则直线l的方程是（　　） A．y＝2x﹣3 B．y＝2x+3 C．y＝﹣2x﹣3 D．y＝﹣2x+3 【分析】根据已知条件，结合直线的斜截式方程，即可求解． 【解答】解：直线l的斜率是2，且在y轴上的截距是﹣3， 则直线l的方程为y＝2x﹣3． 故选：A． 【点评】本题主要考查直线的斜截式方程，属于基础题． 11．倾斜角为135°，在y轴上的截距为﹣1的直线方程是（　　） A．y＝x+1 B．y＝x﹣1 C．y＝﹣x+1 D．y＝﹣x﹣1 【分析】由直线的斜率等于tan135°＝﹣1，在y轴上的截距等于﹣1，用斜截式求得直线方程． 【解答】解：倾斜角为135°，在y轴上的截距为﹣1的直线 的斜率等于tan135°＝﹣1， 在y轴上的截距等于﹣1，由斜截式求得直线方程为y＝﹣x﹣1， 故选：D． 【点评】本题考查用斜截式求直线方程的方法，求出直线的斜率，属于基础题． 12．直线l过点M（1，﹣2），倾斜角为60°．则直线l的斜截式方程为yx2　 ． 【分析】根据直线的斜率和倾斜角的关系求出斜率，再用点斜式求出直线的方程，再化为斜截式方程． 【解答】解：直线l过点M（1，﹣2），倾斜角为60°，则直线l的斜率为 tan60°， 则直线的方程为 y+2（x﹣1），故直线的斜截式方程为yx2， 故答案为：yx2． 【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，用点斜式求直线的方程，直线的斜截式方程，属于基础题． 13．写出下列直线的斜截式方程： （1）直线的倾斜角为45°且在y轴上的截距是2； （2）直线过点A（3，1）且在y轴上的截距是﹣1． 【分析】（1）斜率k＝tan45°＝1，即可得出斜截式． （2）k，可得：斜截式． 【解答】解：（1）斜率k＝tan45°＝1，可得斜截式：y＝x+2． （2）k，可得：斜截式：yx﹣1． 【点评】本题考查了直线的斜截式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 14．根据条件写出下列直线的斜截式方程： （1）斜率为2，在y轴上的截距是5； （2）倾斜角为150°，在y轴上的截距是﹣2； （3）倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3． 【分析】（1）直接由已知写出直线的斜截式方程； （2）由直线的倾斜角求得斜率，即可得到直线的斜截式方程； （3）由已知求得直线的斜率与在y轴上的截距，则答案可求． 【解答】解：（1）∵直线的斜率为2，在y轴上的截距是5， ∴直线的斜截式方程为y＝2x+5； （2）∵直线的倾斜角为150°，∴直线的斜率为k＝tan150°， 又直线在y轴上的截距是﹣2， ∴直线的斜截式方程为y； （3）∵直线的倾斜角为60°，∴直线的斜率为k＝tan60， 又直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，即直线在y轴上的截距为3， ∴直线的斜截式方程为y． 【点评】本题考查直线的斜截式方程，考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础题． 题型三：直线的两点式方程 15．过（1，2），（5，3）的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【分析】由斜率公式可得直线的斜率，可得直线的方程． 【解答】解：直线过（1，2），（5，3）， ∴直线的斜率为k， ∴由两点式直线的方程得：． 故选：B． 【点评】本题考查直线的方程，涉及斜率公式，属基础题． 16．经过两点（x1，y1）、（x2，y2）的直线方程都可以表示为（　　） A． B． C．（y﹣y1）（x2﹣x1）＝（x﹣x1）（y2﹣y1） D． 【分析】根据两点式直线方程即可求解． 【解答】解：当经过（x1，y1）、（x2，y2）的直线不与x，y轴平行时，所有直线均可以用， 由于x1，x2可能相等，所以只有选项C满足包括与x，y轴平行的直线． 故选：C． 【点评】本题主要考查了直线方程的两点式应用条件的判断，属于基础题． 17．若直线l经过点A（2，﹣3）、B（3，1），则以下是直线l的方程的为（　　） A． B．y﹣1＝4（x﹣3） C．4x﹣y+11＝0 D．（x﹣2）+4（y+3）＝0 【分析】由直线l过两点的坐标，可得直线的斜率，由两点式或点斜式可得直线的方程． 【解答】解：因为直线l经过点A（2，﹣3）、B（3，1），所以直线的斜率k4， 所以直线的两点式方程为：，所以A不正确． 直线的点斜式方程为y﹣1＝4（x﹣3），整理可得4x﹣y﹣11＝0，所以B正确，CD不正确． 故选：B． 【点评】本题考查直线过两点的直线方程的求法，属于基础题． 18．经过A（2，1），B（6，﹣2）两点的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【分析】由直线的两点式方程直接得解． 【解答】解：过A（2，1），B（6，﹣2）两点的直线方程为， 故选：C． 【点评】本题考查直线方程的求法，考查运算求解能力，属于基础题． 19．过A（2，3），B（4，﹣5）两点的直线的两点式方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据两点式方程即可求解． 【解答】解：两点式方程为，代入坐标得． 故选：B． 【点评】本题考查了两点式方程，属于基础题． （多选）20．下列说法正确的是（　　） A．直线的倾斜角为120° B．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0 C．过（x1，y1）、（x2，y2）两点的所有直线的方程为 D．设直线l的方程为y﹣xcosθ+3＝0，则直线l倾斜角的取值范围是 【分析】根据斜率和倾斜角的关系可以判断A；根据截距是否为0进行分类讨论求解直线方程可以判断B；根据两点式的使用条件可以判断C；根据斜率和倾斜角的关系，结合余弦函数的值域求解范围可以判断D． 【解答】解：对于A，直线可得，则斜率， 所以直线倾斜角α满足，且α∈[0°，180°）， 所以α＝120°，故A正确； 对于B，当截距不为0时，由直线截距式可设直线方程为， 代入（1，1）得， 解得m＝2； 当截距为0时，可设直线方程为y＝kx， 代入（1，1）得k＝1，即y＝x，故B错误； 对于C，根据直线方程两点式可知，y1≠y2目x1≠x2，故C错误； 对于D，由直线l的方程为y﹣xcosθ+3＝0可得y＝xcosθ﹣3，斜率k＝cosθ， 由cosθ∈[﹣1，1]得k∈[﹣1，1]， 设倾斜角为α，则tanα＝k∈[﹣1，1]， 由α∈[0，π），得，故D正确． 故选：AD． 【点评】本题主要考查了直线的倾斜角和斜率的关系，考查了直线方程的截距式和两点式，属于基础题． 题型四：直线的截距式方程 21．经过点（1，2），且在x轴和y轴上截距相等的直线方程是（　　） A．x+y﹣3＝0 B．x+y﹣3＝0或2x﹣y＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x﹣y+1＝0或2x﹣y＝0 【分析】分别讨论截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，将点（1，2）代入求解即可． 【解答】解：当直线在x轴和y轴上截距相等且不为0时，设直线方程为，将点（1，2）代入解得a＝3， 此时直线方程为x+y﹣3＝0， 当直线在x轴和y轴上截距都为0时，设直线方程为y＝kx， 将点（1，2）代入解得k＝2， 此时直线方程为2x﹣y＝0， 所以满足题意的直线方程为x+y﹣3＝0或2x﹣y＝0， 故选：B． 【点评】本题主要考查直线的截距式方程，属于基础题． 22．过点P（3，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（　　） A．x﹣y﹣1＝0或y＝0 B．x+y﹣5＝0或2x﹣3y＝0 C．x+y﹣5＝0或y＝0 D．x﹣y﹣1＝0或2x﹣3y＝0 【分析】根据已知条件，分截距是否为0讨论，即可求解． 【解答】解：当直线在坐标轴上的截距为0时，此时直线方程过点P（3，2）和原点（0，0）， 直线方程为，整理得2x﹣3y＝0； 当横截距不为0时，此时直线方程为，把P（3，2）代入得，，解得a＝5， ∴直线方程为，即x+y﹣5＝0． 过点P（3，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是x+y﹣5＝0 或2x﹣3y＝0． 故选：B． 【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题． （多选）23．过点M（﹣2，5）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为（　　） A．x﹣y+7＝0 B．5x+2y＝0 C．x+y﹣3＝0 D．2x﹣5y＝0 【分析】分“截距为0”和“截距不为0”两种情况，分别设直线方程，再代入点M（﹣2，5）求出对应方程． 【解答】解：若两截距都为0，则该直线过原点，所以过点M（﹣2，5）的直线方程为，即5x+2y＝0； 若截距不为0，不妨设其在横轴上的截距为a，则在纵轴上的截距为﹣a， 此方程为，代入M（﹣2，5）得1，可得a＝﹣7， 此时直线的方程为1，整理得x﹣y+7＝0； 综上所述：满足条件的直线的方程为5x+2y＝0或x﹣y+7＝0． 故选：AB． 【点评】本题考查分类讨论求直线在坐标轴上的截距互为相反数的直线方程的求法，属于基础题． （多选）24．下列说法中，正确的有（　　） A．直线y＝2x﹣2在y轴上的截距是﹣2 B．直线2x﹣y+5＝0经过第一、二、三象限 C．过点（5，0），且倾斜角为0°的直线方程为x﹣5＝0 D．过点P（3，2）且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为x+y﹣5＝0 【分析】A中，将直线中的x＝0，可得直线在y轴上的截距，判断出A的真假；B中，求出直线在x，y轴上的截距，判断出直线过的象限，判断出B的真假；C中，由直线的倾斜角可得直线的斜率，进而可得直线的方程，判断出C的真假；D中，分直线在x，y轴上的为0和不为0，可得直线的方程，判断出D的真假． 【解答】解：A中，直线y＝2x﹣2中，令x＝0，可得y＝﹣2，所以直线在y轴上的截距为﹣2，所以A正确； B中，直线2x﹣y+5＝0，令x＝0，可得y＝5，令y＝0，可得x，即直线过（0，5），（，0），可得直线第一，二，三象限，所以B正确； C中，直线的倾斜角为0°，可得直线的斜率为0，又过点（5，0），可得直线方程为y＝5，所以C不正确； D中，当直线过原点时，可得直线过点P（3，2）的方程为yx， 当直线不过原点时，设直线的方程为x+y＝a，将点P（3，2）的坐标代入可得3+2＝a，即a＝5，可得此时的直线方程为x+y﹣5＝0， 综上所述：直线l的方程为yx或x+y﹣5＝0．所以D不正确． 故选：AB． 【点评】本题考查直线在坐标轴的截距的求法及直线过的象限的判断，属于基础题． （多选）25．已知直线l：ax+y﹣2+a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值可能是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【分析】根据已知条件，分直线过原点和直线不过原点两种情况讨论，即可求解． 【解答】解：直线l过原点， 则﹣2+a＝0，解得a＝2， 直线l不过原点， 则直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为2﹣a， 故，解得a＝1， 故a的值可能为1或2． 故选：AC． 【点评】本题主要考查直线的截距式方程，属于基础题． （多选）26．下列关于直线的方程，叙述不正确的是（　　） A．经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y﹣y0＝k（x﹣x0）表示 B．经过任意两个不同点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y﹣y1）•（x2﹣x1）＝（x﹣x1）（y2﹣y1）表示 C．不经过原点的直线都可以用方程1表示 D．经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y＝kx+b表示 【分析】根据直线的两点式方程的适用范围，直线方程的求解，以及直线与直线位置关系的判断以及两平行线的距离公式，结合充分性和必要性的判断，对选项进行逐一分析即可判断． 【解答】解：A．当直线与x轴垂直时直线方程不能用点斜式表示，故错误；B．因为P1与P2两点不相同，所以经过这两点的直线方程可以表示为：（y﹣y1）•（x2﹣x1）＝（x﹣x1）（y2﹣y1）故正确； C．当直线平行（垂直）于x轴时，直线方程不能用截距式表示，故错误； D．当直线过点A（0，b）且与x轴垂直时，不能表示成y＝kx+b，故错误； 综上所述，不正确的选项是ACD． 故选：ACD． 【点评】本题才查了直线方程，除一般式外，每一种方程都有一定局限性，记住这些局限性是解答本题的关键，属于基础题． 27．已知直线l过点M（2，2），且l在x轴上的截距是在y轴上的截距的两倍，则l的方程为y＝x或x+2y﹣6＝0　 ． 【分析】结合直线的截距是否为0进行分类讨论，即可求解． 【解答】解：当直线经过原点时，直线方程为y＝x， 当直线不过原点时，可设直线方程为1， 代入（2，2）可得1，即a＝3，此时直线方程为1， 即直线方程为y＝x或x+2y﹣6＝0． 故答案为：y＝x或x+2y﹣6＝0． 【点评】本题主要考查了直线方程的求解，属于基础题． 28．若直线l过点（4，﹣2）且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为 x+2y＝0或x﹣y﹣6＝0　 ． 【分析】通过讨论截距为0和不为0两类情况讨论即可． 【解答】解：当截距不为0时，设l的方程为，由l过点（4，﹣2），得， 解得a＝6，所以l的方程为x﹣y﹣6＝0． 当截距为0时，l过点（4，﹣2）和原点，所以l的方程为，即x+2y＝0． 故答案为：x+2y＝0或x﹣y﹣6＝0． 【点评】本题主要考查直线方程的求解，属于基础题． 29．已知点P（2，﹣1）和直线l：x+2y﹣5＝0． （1）若直线l1经过点P，且l1∥l，求直线l1的方程； （2）若直线l2经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l2的方程． 【分析】（1）先根据平行得出斜率，再点斜式得出直线方程，最后转化为一般式即可； （2）先分直线l2经过原点及直线l2不经过原点，应用点斜式及截距式设直线再代入点计算求参，最后转化为一般式即可． 【解答】解：（1）直线l：x+2y﹣5＝0．则它的斜率为， 因为l1∥l，所以直线l1的斜率为． 又直线l1经过点P（2，﹣1）， 所以直线l1的方程为：，即x+2y＝0． （2）若直线l2不经过原点，设直线方程为， 代入P（2，﹣1）可得，即a＝1，故直线l2方程为x+y﹣1＝0． 若直线l2经过原点，直线l2的斜率为， 则直线l2的方程为，即x+2y＝0； 综上所述，直线l2的方程为x+2y＝0或x+y﹣1＝0． 【点评】本题主要考查直线方程的求解，属于基础题． 题型五：直线的一般式方程 30．如果AC＜0且BC＜0，那么直线Ax+By﹣C＝0不通过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】由直线直线Ax+By﹣C＝0，AC＜0且BC＜0，化成截距式即可判断出结论． 【解答】解：由直线直线Ax+By﹣C＝0，C≠0，可得y＝1， ∵AC＜0且BC＜0， ∴0，0， 即直线在坐标轴上的截距都小于零，必不过第一象限． 故选：A． 【点评】本题考查了直线的截距式、斜率与截距的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 31．直线l：3x+y+1＝0在y轴上的截距是（　　） A． B． C．1 D．﹣1 【分析】令x＝0求出y的值，即可判断． 【解答】解：由题意令x＝0，可得y+1＝0，解得y＝﹣1， 所以直线l：3x+y+1＝0在y轴上的截距是﹣1． 故选：D． 【点评】本题考查直线方程，考查截距的概念，属于基础题． 32．直线2x﹣y+1＝0不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】由于直线2x﹣y+1＝0变形为：y＝2x+1，斜率k＝2＞0，在y轴上的截距b＝1＞0．即可判断出． 【解答】解：直线2x﹣y+1＝0变形为：y＝2x+1，斜率k＝2＞0，在y轴上的截距b＝1＞0． 可知直线l不经过第四象限． 故选：D． 【点评】本题考查了直线的斜率和截距的性质，属于基础题． 33．直线3x+2y+1＝0在y轴上的截距为（　　） A． B． C． D． 【分析】令x＝0，解出y，即可求解． 【解答】解：直线3x+2y+1＝0中， 令x＝0，可得y． 故选：A． 【点评】本题主要考查直线的截距，属于基础题． 34．直线y＝kx+b经过点（﹣2，0）和（0，3），则它的斜率k和在y轴上的截距b是（　　） A．，b＝﹣2 B．，b＝3 C．，b＝3 D．，b＝﹣2 【分析】由条件列方程求k，b，由此可得结论． 【解答】解：点（﹣2，0）和（0，3）代入直线y＝kx+b， 可得， 所以， 所以直线y＝kx+b的斜率，在y轴上的截距b＝3． 故选：B． 【点评】本题考查直线的斜截式方程，考查学生的计算能力，属于基础题． 35．在△ABC中，已知A（1，2），B（3，1），C（5，5），则BC边上中线所在的直线方程为（　　） A．x﹣3y+5＝0 B．x﹣3y﹣5＝0 C．2x﹣y﹣5＝0 D．2x﹣y+5＝0 【分析】求得线段BC的中点D的坐标，根据直线的两点式方程求出直线AD的方程，即可得到本题的答案． 【解答】解：根据题意，可得BC的中点为D（，），即D（4，3）， 直线AD：，化简得x﹣3y+5＝0，A项符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查了线段的中点坐标公式、直线的两点式与一般式方程等知识，属于基础题． 36．设直线l1：x+ay+3＝0，l2：（a﹣2）x+3y+a＝0，若l1∥l2，则实数a的值为（　　） A．3 B．﹣1 C．3或﹣1 D．﹣3或1 【分析】由a（a﹣2）﹣3＝0，解得a．经过验证即可得出． 【解答】解：由直线l1：x+ay+3＝0，l2：（a﹣2）x+3y+a＝0平行， 可得a（a﹣2）﹣3＝0，解得a＝3或﹣1． 经过验证可得：a＝3时两条直线重合，舍去． ∴a＝﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查了直线相互平行与斜率截距之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 37．过点（0，﹣2）且与直线x+2y﹣3＝0垂直的直线方程为（　　） A．2x﹣y+2＝0 B．x+2y+2＝0 C．2x﹣y﹣2＝0 D．2x+y﹣2＝0 【分析】由题意，利用两直线垂直的性质，用待定系数法求直线的方程． 【解答】解：设过点（0，﹣2）且与直线x+2y﹣3＝0垂直的直线方程为2x﹣y+m＝0， 则0+2+m＝0，求得m＝﹣2， 故过点（0，﹣2）且与直线x+2y﹣3＝0垂直的直线方程为2x﹣y﹣2＝0， 故选：C． 【点评】本题主要考查两直线垂直的性质，用待定系数法求直线的方程，属于基础题． 38．瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为“欧拉线”．已知△ABC的顶点A（﹣3，0），B（3，0），C（3，3），则△ABC的欧拉线方程为（　　） A．2x﹣y﹣1＝0 B． C．x+2y﹣3＝0 D．x﹣2y+1＝0 【分析】根据题意求△ABC的重心和外心，结合直线的两点式方程可得欧拉线方程． 【解答】解：△ABC的重心为点，即点（1，1）， 又BC⊥AB， 所以△ABC的外心为斜边的中点，即点， 所以△ABC的欧拉线方程为，即x+2y﹣3＝0． 故选：C． 【点评】本题主要考查直线方程的求解，考查计算能力，属于基础题． （多选）39．下列说法正确的有（　　） A．直线y＝3x﹣2在y轴上的截距为2 B．过点M（﹣3，2）且与直线x+2y﹣9＝0平行的直线方程是x+2y﹣1＝0 C．经过点（﹣1，2）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为x+y＝1 D．若AB＞0，BC＞0，则直线Ax﹣By﹣C＝0不经过第二象限 【分析】求出纵截距判断A；利用平行关系求出直线方程判断B；借助截距式方程判断C；确定直线位置判断D． 【解答】解：对于A选项，当x＝0时，直线y＝3x﹣2在y轴上的截距为﹣2，故A选项错误； 对于B选项，设与直线x+2y﹣9＝0平行的直线方程为x+2y+t＝0（t≠﹣9）， 因为所求直线过点M（﹣3，2），所以﹣3+2×2+t＝0，解得t＝﹣1， 则所求直线方程为x+2y﹣1＝0，故B选项正确； 对于C选项，当过点（﹣1，2）且在两坐标轴上截距相等的直线过原点时， 所求直线方程为y＝﹣2x，故C选项错误； 对于D选项，由AB＞0，BC＞0，得AC＞0， 则直线Ax﹣By﹣C＝0的横、纵截距分别为， 因此直线Ax﹣By﹣C＝0不经过第二象限，故D选项正确． 故选：BD． 【点评】本题考查了直线位置关系和直线截距的计算，属于中档题． 40．设m∈R，直线l：（m+1）x+my+3﹣m＝0经过平面直角坐标系的第二、第三与第四象限，则m的取值范围是　（0，3）　 ． 【分析】由题意得直线l的斜率k＜0，在y轴上的截距b＜0，将直线l的一般式方程化为斜截式后，列不等式组求解即可． 【解答】解：因为直线l经过平面直角坐标系的第二、三、四象限， 所以直线l的斜率k＜0，在y轴上的截距b＜0， 因为直线l：（m+1）x+my+3﹣m＝0， 所以yx（m≠0）， 则0且0， 解得0＜m＜3， 即实数m的取值范围是（0，3）． 故答案为：（0，3）． 【点评】本题考查直线的方程及其性质，属于基础题． 41．已知直线l1：（m+2）x+my﹣6＝0和直线l2：mx+y﹣3＝0，其中m为实数． （1）若l1⊥l2，求m的值； （2）若点P（1，2m）在直线l2上，直线l过P点，且在x轴上的截距与在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程． 【分析】（1）根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解； （2）先设出直线l的方程，再结合截距的定义，列出等式，即可求解． 【解答】解：（1）若m＝0，则直线l1：2x﹣6＝0，即x＝3，l2：y＝3，两直线垂直，符合题意； 若m≠0，则，解得m＝﹣3． 综上所述，m＝﹣3或0． （2）由P（1，2m）在直线l2上， 则m+2m﹣3＝0，解得m＝1， 故P（1，2） 显然直线l的斜率一定存在且不为0，设直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣1）， 令x＝0，可得y＝2﹣k，再令y＝0，可得， 在x轴上的截距与在y轴上的截距互为相反数， 所以，解得k＝2或k＝1， 所以直线l的方程为2x﹣y＝0或x﹣y+1＝0． 【点评】本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题． 42．已知△ABC的顶点A（2，1），边AB的中线CM所在直线方程为x﹣y+1＝0，边AC的高BH所在直线方程为x﹣2y+2＝0． （1）求点B的坐标； （2）若入射光线经过点A（2，1），被直线CM反射，反射光线过点N（4，2），求反射光线所在的直线方程． 【分析】（1）设B（2a﹣2，a），分析可知AB的中点在直线x﹣y+1＝0上，运算即可； （2）求A（2，1）关于直线x﹣y+1＝0的对称点为A′，进而可求反射光线所在的直线方程． 【解答】解：（1）已知△ABC的顶点A（2，1）， 边AB的中线CM所在直线方程为x﹣y+1＝0， 边AC的高BH所在直线方程为x﹣2y+2＝0， 可设点B（2a﹣2，a）， 因为A（2，1），则AB的中点在直线x﹣y+1＝0上， 可得，解得a＝﹣1， 所以点B的坐标为B（﹣4，﹣1）； （2）设A（2，1）关于直线x﹣y+1＝0的对称点为A′（m，n）， 则，解得，即A′（0，3）， 所以反射光线所在的直线方程为，可得x+4y﹣12＝0． 【点评】本题考查了点关于直线对称点和反射光线所在直线方程的计算，属于中档题． 43．（1）若过点（1，﹣1）的直线在y轴上的截距比在x轴上的截距大，求此直线的方程； （2）求过点A（﹣5，2），且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程． 【分析】（1）设直线在x轴上的截距是a，求出a的值，求出直线方程即可； （2）当直线不过原点时，设直线的方程为1，把点A（﹣5，2）代入求得a的值，即可求得直线方程．当直线过原点时，直线的方程可设为y＝kx，把点A（﹣5，2）代入求得k的值，即可求得直线方程．综合可得答案． 【解答】解：（1）设直线在x轴上的截距是a， 则在y轴上的截距为a， 由题意知a≠0且a， 则此直线的方程为1， 又此直线过点（1，﹣1）， 故1，解得：a＝﹣1或a， 故所求直线的方程是1或1， 可化为x+2y+1＝0或2x+y﹣1＝0； （2）当直线不过原点时，设直线的方程为1， 把点A（﹣5，2）代入可得，∴2a＝﹣1， 此时，直线方程为x+2y+1＝0． 当直线过原点时，直线的方程为y＝kx， 把点A（﹣5，2）代入可得，∴k， 即2x+5y＝0， 综上可得，满足条件的直线方程为：2x+5y＝0或x+2y+1＝0． 【点评】本题主要考查求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题． 题型六：直线过定点的问题 44．已知直线l：mx﹣m+y﹣1＝0过定点，则定点的坐标为（　　） A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（1，﹣1） D．（1，1） 【分析】将直线化为l：m（x﹣1）+y﹣1＝0，即可得定点． 【解答】解：将直线l：mx﹣m+y﹣1＝0可化为m（x﹣1）+y﹣1＝0， 令，解得， 即恒过定点（1，1）． 故选：D． 【点评】本题考查直线恒过定点的求法，属于基础题． 45．直线mx+（3m﹣1）y+1＝0必过定点（　　） A．（3，1） B．（﹣3，1） C． D．（，0） 【分析】将直线方程整理，可得关于x，y的方程组，求出恒过的定点的坐标． 【解答】解：将直线mx+（3m﹣1）y+1＝0整理可得m（x+3y）﹣y+1＝0， 令，解得x＝﹣3，y＝1， 即直线恒过定点（﹣3，1）． 故选：B． 【点评】本题考查直线恒过定点的求法，属于基础题． 46．已知a，b满足2a+3b＝1，则直线4x+ay﹣2b＝0过定点（　　） A． B． C． D． 【分析】根据直线的性质即可求解． 【解答】解：由2a+3b＝1得，将代入直线方程4x+ay﹣2b＝0， 整理得8x+y﹣b（3y+4）＝0，令解得 故直线4x+ay﹣2b＝0必过定点． 故选：D． 【点评】本题考查了恒过定点的性质，属于基础题． 47．不论m取何值，直线mx﹣y+m+1＝0都过定点（　　） A．（0，m+1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（0，0） 【分析】把直线mx﹣y+m+1＝0化为m（x+1）﹣y+1＝0，令m的系数为0，即可求得直线所过定点． 【解答】解：直线mx﹣y+m+1＝0可化为m（x+1）﹣y+1＝0，得， 解得，所以直线过定点（﹣1，1）． 故选：C． 【点评】本题考查了直线恒过定点问题，是基础题． 48．已知直线l1：y＝kx﹣2k+1与直线l2关于点（1，0）对称，则l2恒过的定点为（　　） A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（0，﹣1） D．（﹣1，﹣1） 【分析】求出直线l1所过定点A的坐标，求出点A关于点（1，0）的对称点B的坐标，即为所求． 【解答】解：直线l1：y＝kx﹣2k+1，即k（x﹣2）+1﹣y＝0， 令，解得， 所以直线l1过定点A（2，1）， 点A（2，1）关于点（1，0）的对称点为B（0，﹣1）， 因此，直线l2恒过的定点（0，﹣1）． 故选：C． 【点评】本题主要考查恒过定点的直线，属于基础题． 49．直线l：（1+2λ）x+（1+λ）y﹣2﹣4λ＝0（λ为任意实数）过定点（　　） A．（0，2） B．（2，0） C．（2，1） D．（1，2） 【分析】将直线方程化为λ（2x+y﹣4）+x+y﹣2＝0，通过解方程组得到点（2，0）适合直线l的方程，进而可得本题答案． 【解答】解：直线l的方程可化为λ（2x+y﹣4）+x+y﹣2＝0， 由，解得，可知点（2，0）适合直线l的方程， 因此，直线l经过定点（2，0）． 故选：B． 【点评】本题主要考查直线的方程、恒过定点的直线等知识，属于基础题． （多选）50．已知直线l1：（a+1）x﹣（2a﹣2）y+4＝0，l2：x+y﹣1＝0，则下列说法正确的是（　　） A．.直线l1过定点（﹣2，﹣1） B．直线l2的倾斜角为 C．若l1⊥l2，则a＝3 D．若l1∥l2，则 【分析】直线l1化简得到 a（x﹣2y）+（x+2y+4）＝0，再列式求出x，y，判断A选项；直线l2的斜率为﹣1，求出倾斜角判断B选项；由直线的斜率与平行、垂直之间的关系列式判断C，D选项． 【解答】解：直线l：（a+1）x﹣（2a﹣2）y+4＝0，化简得到 a（x﹣2y）+（x+2y+4）＝0， 令，所以x＝﹣2，y＝﹣1，所以直线l1过定点（﹣2，﹣1），故A正确； 直线l2的斜率为﹣1，对应倾斜角为，故B错误； 因为直线l2的斜率为﹣1，若l1⊥l2，则直线l1的斜率为1， 所以，所以a＝3，故C正确； 因为直线l2的斜率为﹣1，若l1∥l2，则直线l1的斜率为﹣1， 所以，所以，故D正确． 故选：ACD． 【点评】本题考查直线的倾斜角与斜率、直线恒过定点问题，属于基础题． 51．已知直线l：（m﹣2）x﹣（m+1）y+3m＝0（m∈R），直线l1：x+y+3＝0和l2：x﹣y﹣5＝0． （1）求证：直线l恒过定点； （2）设（1）中的定点为P，l与l1，l2的交点分别为A，B，若P恰为AB的中点，求m． 【分析】（1）把直线l的方程化为m（x﹣y+3）﹣（2x+y）＝0，通过解方程组求出直线l恒过的定点坐标，可证出结论； （2）设出点A的坐标，线段的中点坐标公式求出点B的坐标，结合A、B分别在直线l1、l2上求出A点的坐标，然后将A点坐标代入直线l1的方程求出m的值． 【解答】（1）证明：直线l的方程可化为：m（x﹣y+3）﹣（2x+y）＝0， 由，解得，所以点（﹣1，2）适合直线l的方程， 即直线l恒过定点（﹣1，2）； （2）解：由（1）可知直线l恒过定点P（﹣1，2）， 设A（x0，y0），根据P为AB的中点，可得B（﹣2﹣x0，4﹣y0）， 根据A、B分别在直线l1和直线l2上， 所以，解得， 所以A（﹣7，4），代入直线l1的方程，可得（m﹣2）（﹣7）﹣4（m+1）+3m＝0，解得． 【点评】本题主要考查直线的方程、线段的中点坐标公式、恒过定点的直线等知识，属于基础题． 题型七：直线与坐标轴围成图形的面积问题 52．直线l方程为（m+1）x+y+2m﹣3＝0（m∈R）． （1）证明：无论m为何值，直线l过定点，并求出定点坐标； （2）已知O是坐标原点，若直线l分别与x轴负半轴、y轴正半轴交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求△AOB的周长及此时直线l的方程． 【分析】（1）将直线的方程变形为m（x+2）+x+y﹣3＝0，令，求解即可； （2）方法一：首先求出直线在x，y轴上的截距，即可求出m的范围，再由面积公式及基本不等式求出面积最小值及此时m的值，从而求出直线l的方程及三角形的周长．方法二：设直线l的方程，利用直线过定点可得，利用基本不等式可求得﹣ab≥40，进而可求面积的最小值和直线l的方程及三角形的周长． 【解答】解：（1）证明：由题意直线l的方程（m+1）x+y+2m﹣3＝0，即m（x+2）+x+y﹣3＝0， 令，解得，即时，上述等式对于一切m∈R均成立， 所以直线l恒过定点（﹣2，5）； （2）方法一：由题意直线l的方程（m+1）x+y+2m﹣3＝0， 令x＝0，解得y＝﹣2m+3；令y＝0，解得； 令，解得m＜﹣1， 可得， 令﹣（m+1）＝t＞0，则， 当且仅当，即时，等号成立， 此时△ABO的周长为，此时直线l的方程为﹣5x+2y﹣20＝0， 方法二：由题意直线l分别与x轴负半轴、y轴正半轴交于A，B两点， 可设直线l的方程， 由（1）知：，由基本不等式得， 可得：﹣ab≥40，∴， ，当且仅当a＝﹣4，b＝10取得等号， 此时△ABO的周长为.直线l的方程﹣5x+2y﹣20＝0． 【点评】本题考查了直线的方程，是中档题． 53．已知直线l的方程为：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0． （1）求证：不论m为何值，直线必过定点M； （2）过点M引直线l1交坐标轴正半轴于A、B两点，当△AOB面积最小时，求△AOB的周长． 【分析】（1）将直线方程改写成m（2x+y﹣7）+x+y﹣4＝0形式，解方程组即可得解； （2）设直线l1的方程为y﹣1＝k（x﹣3）（k＜0），求出点A，B坐标，表示出△AOB面积，利用基本不等式求出面积的最小值，进一步求得A，B的坐标，则答案可求． 【解答】（1）证明：由（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0，可得m（2x+y﹣7）+x+y﹣4＝0， 令． 所以直线l过定点M（3，1）； （2）解：由（1）知，直线l1恒过定点M（3，1）， 由题意可设直线l1的方程为y﹣1＝k（x﹣3）（k＜0），设直线l1与x轴，y轴正半轴交点为A，B， 令x＝0，得yB＝1﹣3k；令y＝0，得， 所以△AOB面积 ， 当且仅当，即时，△AOB面积最小， 此时A（6，0），B（0，2），， 则△AOB的周长为． 所以当△AOB面积最小时，△AOB的周长为． 【点评】本题考查恒过定点的直线，考查基本不等式的应用，是中档题． 54．已知直线l：kx﹣y+2+3k＝0（k∈R）． （1）求直线l过定点的坐标； （2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值． 【分析】（1）将直线化为k（x+3）+（﹣y+2）＝0，然后解方程组求得直线l经过的定点坐标； （2）将直线l方程化简为斜截式，结合斜率的意义求出k的取值范围； （3）利用直线l在坐标轴上的截距表示出△AOB的面积，然后根据基本不等式求出S的最小值． 【解答】解：（1）由直线l化简为：k（x+3）+（﹣y+2）＝0， 由，解得，可知直线l经过定点（﹣3，2）； （2）由直线l化简为：y﹣2＝k（x+3）， 表示经过点P（﹣3，2），斜率为k的直线， 若直线l不经过第四象限，则直线l经过第一、二、三象限，呈单调递增的趋势， 或直线l经过点P与x轴平行，经过第一、二象限， 可知l的斜率k≥0，即k的取值范围为[0，+∞）； （3）求得直线l在x轴、y轴上的截距分别为、2+3k， 所以，B（0，2+3k）， 满足且2+3k＞0，即k＞0， 所以， 当且仅当，即时取等号，可知△AOB的面积S的最小值为12． 【点评】本题主要考查了直线的方程、恒过定点的直线、经过基本不等式求最值等知识，属于中档题． 55．已知直线l：kx﹣y+2+4k＝0（k∈R）． （1）证明：直线l恒过定点，并求该点坐标． （2）若直线l与x轴的交点的横坐标与其在y轴上的截距相等，求k的值； （3）若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设三角形AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 【分析】（1）利用直线的点斜式方程加以证明，可得本题答案； （2）分别求出直线l在x轴、y轴上的截距，根据二者相等建立关于k的方程，解之即可得到本题的答案； （3）求出A、B两点的坐标关于k的表达式，结合三角形的面积公式算出△AOB的面积关于k的表达式，然后根据基本不等式求解，可得△AOB的面积S 的最小值及相应直线l的方程． 【解答】（1）证明：直线l：kx﹣y+2+4k＝0，可化为y﹣2＝k（x+4）， 所以直线l表示经过点（﹣4，2），且斜率为k的直线，可知直线l恒过定点（﹣4，2）． （2）解：当k＝0时，直线l的方程为y＝2，与x轴无交点，不符合题意； 当k≠0时，直线l的方程为kx﹣y+2+4k＝0， 在x轴、y轴上的截距分别为、4k+2，由题意得4k+2， 化简得2k2+3k+1＝0，解得或k＝﹣1，经检验，均符合题意， 综上所述，实数k的值为或﹣1． （3）解：由题意知k＞0，由（2）的结论，可得，B（0，4k+2）， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 所以k时，S取得最小值16，此时直线l的方程为． 【点评】本题主要考查直线的基本量与基本形式、运用基本不等式求最值等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力、等价转化的数学思想，属于中档题． 56．已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣5m﹣4＝0． （1）当m＝0时，一条光线从点P（2，0）射出，经直线l反射后过原点，求反射光线所在直线的方程； （2）求证：直线l恒过定点； （3）若直线l交x轴的正半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值． 【分析】（1）求出点P（2，0）关于直线l的对称点，然后求出直线OP′的方程，即可得到本题的答案； （2）将直线l的方程化为（2x+y﹣5）m+x+y﹣4＝0，通过解方程组求出直线恒过的定点坐标，进而证出结论； （3）求出A、B坐标，利用三角形的面积公式、基本不等式加以计算，可得S的最小值． 【解答】（1）解：当m＝0时，l方程为x+y﹣4＝0， 设点P（2，0）关于直线l的对称点P′（a，b）， 则，解得，即P′的坐标为（4，2）， 所以直线OP′的斜率为，可得直线OP′的方程为，即x﹣2y＝0， 综上所述，反射光线所在直线的方程为x﹣2y＝0； （2）证明：直线l的方程可化为（2x+y﹣5）m+x+y﹣4＝0， 由，解得，所以点（1，3）适合直线l的方程， 即直线l恒过定点（1，3）； （3）解：直线l的方程可化为（2m+1）x+（m+1）y﹣5m﹣4＝0， 结合题意，可知2m+1≠0且m+1≠0， 可得直线l与x轴、y轴分别相交于、， 由且，解得m＜﹣1或， 所以， 根据基本不等式，可得， 当3m+3＝2m+1时，即m＝﹣2，等号成立， 所以，当m＝﹣2时，△OAB面积的最小值为6． 【点评】本题主要考查直线的方程、三角形的面积公式、运用基本不等式求最值等知识，属于中档题． 57．已知直线l1：kx﹣y﹣3﹣4k＝0（k∈R）过定点P． （1）求过点P且在两坐标轴上截距相等的直线l2的方程； （2）若直线l1交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B． （ⅰ）求实数k的取值范围； （ⅱ）若三角形ABO的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值并求此时直线l1的方程． 【分析】（1）先将直线l1的方程整理，可得恒过的定点的坐标，分直线l2经过原点和不经过原点讨论，可得直线l2的方程； （2）（i）分别令y＝0，x＝0，可得点A，B的坐标，由点A，B所在的位置，可得关于k的不等式组，解得k的范围； （ii）由（i）可得面积的表达式，再由基本不等式可得△OAB面积的最小值． 【解答】解：（1）将l1：kx﹣y﹣3﹣4k＝0（k∈R）整理可得k（x﹣4）﹣（y+3）＝0， 令，可得，所以直线l1过定点P（4，﹣3）， 若直线l2在两坐标轴上截距都为零，可得直线l2的方程为3x+4y＝0； 若直线l2在两坐标轴上截距不为零且相等，设直线l2的截距式方程为x+y＝a，将点P的坐标代入可得4+（﹣3）＝a， 即a＝1，此时直线l2的方程为x+y﹣1＝0； 综上可知直线l2的方程为3x+4y＝0或x+y﹣1＝0； （2）（ⅰ）显然k≠0，分别令y＝0，x＝0可得， 又因为正半轴的点A，y轴负半轴的点B，则， 解得k＞0，即k的范围为（0，+∞）； （ⅱ）由（ⅰ）得△ABO的面积为S|OA|•|OB|••（3+4k） ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以S的最小值为24，此时直线l1的方程为3x﹣4y﹣24＝0． 【点评】本题考查分类讨论求直线的方程及三角形面积公式的应用，基本不等式的性质的应用，属于基础题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/24 10:26:49；用户：15972902576；邮箱：15972902576；学号：21498003 APP 公众号 小程序 学科网（北京）股份有限公司 $