1.2菱形的性质与判定（1）课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦菱形的性质与面积计算，通过回顾平行四边形性质引入，结合度量、剪拼等活动引导学生自主探索菱形的特殊性质，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生逐步掌握菱形定义、边与对角线性质及面积公式。 其亮点在于注重数学思维与几何直观的培养，通过推理证明菱形四边相等和对角线垂直发展推理能力，利用面积公式推导（如对角线乘积的一半）体现数学语言的严谨。小结用表格系统梳理知识，助力学生构建体系，教师可高效教学，提升学生解决问题的能力。

2. 1菱形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 北师大版九年级数学上册 学习&目标 1.探究并掌握证明菱形的性质定理. 2.学会运用菱形的性质定理解决问题. 3.掌握菱形面积的求法. 情境&导入 回顾 & 思考 ☞ 回忆一下，什么是菱形，它有哪些性质？ 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. A B C D 情境&导入 回顾 & 思考 ☞ 菱形的性质 边 对边平行且相等. 角 对角相等，邻角互补. 对角线 对角线互相平分. 对称性 既是轴对称图形（有两条对称轴），又是中心对称图形. 探索&交流 菱形的特殊性质 1— 度量法 A B C O D 8 cm 8 cm 1.四条边都相等； 2.两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 探索&交流 菱形的特殊性质 1— 剪拼法 A B C D ( C ) O ( B ) 1.四条边都相等； 2.两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 总结：菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质. 角：对角相等. 边：对边平行且相等. 对角线：相互平分. 菱形的特殊性质 平行四边形的性质 对称性：是轴对称图形. 边：四条边都相等. 对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角. 探索&交流 已知：如图，在菱形ABCD 中，AB=AD, 对角线 AC 与BD相交于点O. 求证: （1）AB=BC=CD=AD;（2）AC⊥BD. 证明:（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=CD,AD=BC（菱形的对边相等）. 又∵AB=AD, ∴AB=BC=CD=AD. 探索&交流 如何推理证明“菱形的四条边相等，对角线互相垂直”这两个性质呢？ 已知：如图，在菱形ABCD 中，AB=AD, 对角线 AC 与BD相交于点O. 求证: （1）AB=BC=CD=AD;（2）AC⊥BD. (2)∵AB=AD, ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是菱形， ∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）. 在等腰三角形ABD中， ∵OB=OD, ∴AO⊥BD，即AC⊥BD. 探索&交流 如何推理证明“菱形的四条边相等，对角线互相垂直”这两个性质呢？ 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例1.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A.内角和为360° B.对角线互相垂直 C.对边平行 D.对角线互相平分 B 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝60°，BD＝6.求菱形的边长AB和对角线AC的长. 解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB=AD（菱形的四条边相等）， AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）， OB=OD= BD= =3（菱形的对角线互相平分）. 在等腰三角形 ABD 中，∵∠BAD=60°， ∴△ABD是等边三角形. ∴AB=BD=6. 在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2 + OB2 = AB2， ∴OA= . ∴AC=2OA= （菱形的对角线互相平分） 例题&解析 例3.如图，在菱形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°.求∠CEF的度数 . 例题&解析 例题欣赏 ☞ 解：如图 ，连接 AC. ∵ 四边形 ABCD 是菱形，∠ B=60° ， ∴ AB=BC=CD=DA，∠ D= ∠ B=60° . ∴△ ABC 和△ ACD 均为等边三角形 . ∴ AB=AC，∠ B= ∠ ACF= ∠ BAC=60° . ∵∠ EAF=60°，∴∠ BAC= ∠ EAF. 例题&解析 ∴∠ BAE= ∠ CAF. ∴△ ABE ≌△ ACF ( ASA ) . ∴ AE=AF. 又∵∠ EAF=60°，∴△ EAF 是等边三角形 . ∴∠ AEF=60° . ∵∠ AEC= ∠ B+ ∠ BAE= ∠ AEF+ ∠ CEF， ∴ 60°+18°=60°+ ∠ CEF. ∴∠ CEF=18° . 例题&解析 菱形面积 2— 探索&交流 回忆：平行四边形的面积怎么求？ 转化成长方形 平行四边形的面积 = 底 × 高 探索&交流 菱形是平行四边形 A B D C E 菱形的面积 = 底 × 高 S菱形ABCD = BC · AE 探索&交流 知道菱形 ABCD 的两条对角线长度，你能求出菱形的面积吗？ 解：∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD. ∴ S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC =AC·BO +AC·DO =AC·(BO + DO) =AC·BD. 你有什么发现？ 菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半 探索&交流 A B D C a h (1)S = a·h. (2)S = AC·DB. O 菱形的面积计算公式： 菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半 总结： 例4.如图，四边形ABCD 是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长为10cm. 求：(1)对角线 AC 的长度； (2)菱形 ABCD 的面积. 探索&交流 例题欣赏 ☞ 探索&交流 解：(1)∵四边形 ABCD 是菱形，AC 与 BD 相交于点 E， ∴∠AED = 90°（菱形对角线互相垂直）， DE = BD = ×10 = 5（cm）（菱形对角线互相平分）. ∴AE = = = 12（cm）. ∴AC=2AE=2×12=24（cm）（菱形的对角线互相平分）. (2) 菱形ABCD 的面积 = ×BD×AC = ×10×24 =120 （cm2）. 例题&解析 例5.如图所示，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h. 例题欣赏 ☞ 例题&解析 解：∵四边形ABCD为菱形， ∴BD=2OB=24，AC=2OA=10,OA⊥OB， ∴S菱形ABCD＝ BD×AC= ×24×10＝120，AB=13. ∵又因为菱形两组对边的距离相等， 所以S菱形ABCD＝AB•h＝13h， 即13h＝120，得 练习&巩固 1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 （ ） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等 C 2.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于（　　） A.18 B.16 C.15 D.14 B 练习&巩固 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)． 在Rt△AOB中， 由勾股定理，得AO2＋BO2＝AB2， ∵ ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD＝2BO＝2×3＝6(菱形的对角线互相平分)． 3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.已知AB＝5cm，AO＝4cm.求BD的长． 练习&巩固 练习&巩固 4.菱形 ABCD 的周长为 40 cm，它的一条对角线BD 长 10 cm. （1）求这个菱形的每一个内角的度数； （2）求这个菱形另一条对角线的长. 解：（1）∵菱形 ABCD 的周长为 40 cm， ∴AB = BC = CD = DA = 10（cm）, 又∵BD = 10（cm）， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠BAD = 60°，∴∠BCD = 60°， ∠ABC =∠CDA = 120°. 练习&巩固 （2）∵△AEB是直角三角形， AB =10（cm），BE = 5（cm）， AE = = = （cm）. AC = 2AE = （cm） 小结&反思 定义 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形 性质 对称性 菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线 边 定理1：菱形的四条边相等 对角线 定理2：菱形的对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角 周长 L=4a 面积 (1)S=ah (2)菱形的面积等于对角线乘积的一半 $