1.3 矩形的性质 第1课时 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

这是一份初中数学同步教学课件，针对北师大版九年级上册“矩形的性质”第1课时，以平行四边形性质为基础，通过探究证明矩形角和对角线的特殊性质，结合例题解析、对称性拓展及直角三角形斜边中线定理，构建完整学习支架。 资料注重核心素养培养，通过观察矩形角与对角线发现性质培养几何直观，严谨证明过程发展推理能力，利用对称性和斜边中线定理构建模型意识。例题涵盖线段、角度、面积等类型，帮助学生掌握解题方法，为教师提供清晰教学路径，助力九年级学生应对升学考试重点。

第一章 特殊平行四边形 1.2 菱形的性质与判定 第1课时 菱形的性质 北师大版·九年级上册 第一章　特殊平行四边形 1.3 矩形的性质与判定 第1课时　矩形的性质 北师大版·九年级上册 [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 学习目标 02 目标一 理解菱形的概念，知道菱形具有平行四边形的一切性质． 目标二 掌握菱形的特殊性质，并能用规范的几何语言进行证明． 目标三 会用菱形的对角线计算面积，并解决相关问题． 学习方法 从一般到特殊：先继承平行四边形性质，再研究新增性质． 学习目标 本课研究矩形的特殊性质 目标一 探究并证明矩形的角和对角线性质． 目标二 理解矩形的轴对称性、中心对称性及其应用． 目标三 掌握直角三角形斜边中线定理及其逆命题． 学习方法 从平行四边形的一般性质出发，寻找矩形的特殊性质． [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 知识回顾 什么样的平行四边形叫做菱形？ 03 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB＝AD ∴ 四边形ABCD是菱形 平行四边形 菱形 ＋一组邻边相等 旧知回顾 矩形是特殊的平行四边形 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 矩形 （具备平行四边形的所有性质） A D B C 平行四边形 (对边平行且相等； 对角相等、邻角互补； 对角线互相平分） ＋一个直角 [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 知识回顾 什么样的平行四边形叫做菱形？ 03 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB＝AD ∴ 四边形ABCD是菱形 平行四边形 菱形 ＋一组邻边相等 尝试·思考 你能发现并证明矩形的特殊性质吗？ 你认为矩形有哪些特殊的性质？你是怎样发现的？能证明这些性质吗？ A D B C O 观察对象 ① 四个角 ② 两条对角线 [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 知识回顾 什么样的平行四边形叫做菱形？ 03 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB＝AD ∴ 四边形ABCD是菱形 平行四边形 菱形 ＋一组邻边相等 新知探究解析 证明：矩形的四个角都是直角 已知：四边形ABCD是矩形，∠ABC＝90°． 求证：∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°． 证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠ABC＝∠CDA，∠BCD＝∠DAB（矩形的对角相等），AB∥DC（矩形的对边平行）． ∴ ∠ABC＋∠BCD＝180°． 又∵ ∠ABC＝90°，∴ ∠BCD＝90°． ∴ ∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°． A D B C [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 知识回顾 什么样的平行四边形叫做菱形？ 03 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB＝AD ∴ 四边形ABCD是菱形 平行四边形 菱形 ＋一组邻边相等 新知探究解析 证明：矩形的对角线相等 已知：矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O． 求证：AC＝BD． 证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AB＝DC（矩形的对边相等）， ∠ABC＝∠DCB＝90°． 又∵ BC＝CB， ∴ △ABC≌△DCB（SAS）． ∴ AC＝DB． A D B C O [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 知识回顾 什么样的平行四边形叫做菱形？ 03 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB＝AD ∴ 四边形ABCD是菱形 平行四边形 菱形 ＋一组邻边相等 性质归纳 矩形继承平行四边形性质，并新增角和对角线性质 边 对边平行且相等；邻边互相垂直． 角 四个角都是直角． 对角线 互相平分且相等． [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 教材P6例题 例1：综合运用边、角和对角线性质 10 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ∠BAD＝60°，BD＝6． （1）求AB和AC的长； （2）求菱形ABCD的面积． B A D C O 教材P12例题 例1：利用矩形性质求线段长 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝2.5， 求这个矩形对角线的长． A D B C O [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 例题分析 例1（1）：菱形ABCD中，∠BAD＝60°，BD＝6．求AB和AC 11 解：（1）∵ 四边形ABCD是菱形， 　　　　∴ AB＝AD（菱形的四条边相等）， 　　　　　AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）， 　　OB＝OD＝½BD＝½×6＝3（菱形的对角线互相平分）． 　　 在等腰三角形ABD中， ∠BAD＝60°， 　 ∴ △ABD是等边三角形． 　 ∴ AB＝BD＝6． 　 在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA²＋OB²＝AB²， 　　∴ OA＝√(AB²－OB²)＝√(6²－3²)＝3√3． 　　∴ AC＝2OA＝6√3（菱形的对角线互相平分）． B A D C O 例题解析 例1：∠AOD＝120°，AB＝2.5 ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠DAB＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝½AC，OB＝OD＝½BD． ∴ OA＝OD． ∵ ∠AOD＝120°， ∴ ∠ODA＝∠OAD＝½（180°－120°）＝30°． 在Rt△ABD中，∠ADB＝30°， ∴ BD＝2AB＝2×2.5＝5． A D B C O [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 知识回顾 什么样的平行四边形叫做菱形？ 03 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB＝AD ∴ 四边形ABCD是菱形 平行四边形 菱形 ＋一组邻边相等 补充例题 例2：利用矩形性质求角度 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点E，∠ACB＝52°．AM平分∠BAC，交BC于点M；过点B作BF⊥AM，垂足为点F．求∠DBF的度数． A D B C E M F [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 知识回顾 什么样的平行四边形叫做菱形？ 03 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB＝AD ∴ 四边形ABCD是菱形 平行四边形 菱形 ＋一组邻边相等 例题解析 例2：∠ACB＝52°．AM平分∠BAC ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠ABC＝90°，AE＝BE． ∵ ∠ACB＝52°，∴ ∠BAC=38°． ∴ ∠ABD＝∠BAC＝38°． ∵ AM平分∠BAC，∴ ∠BAM＝½∠BAC=19°． ∵ BF⊥AM，∴ ∠ABF＝90°－19°＝71°． ∴ ∠DBF＝∠ABF－∠ABD＝71°－38°＝33°． A D B C E M F [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 知识回顾 什么样的平行四边形叫做菱形？ 03 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB＝AD ∴ 四边形ABCD是菱形 平行四边形 菱形 ＋一组邻边相等 性质拓展 矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形 A D B C O 轴对称： 矩形有两条对称轴，分别经过两组对边的中点；两条对称轴互相垂直． 中心对称： 对称中心是两条对角线的交点O． 矩形绕点O旋转180°后与自身重合． [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 知识回顾 什么样的平行四边形叫做菱形？ 03 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB＝AD ∴ 四边形ABCD是菱形 平行四边形 菱形 ＋一组邻边相等 探究活动 过矩形对称中心的直线会怎样分割矩形？ 任意一条经过矩形对称中心O的直线，能否把矩形分成两个全等的图形？ 请结合中心对称说明理由． A D B C O 注意：这条直线不一定是矩形的对称轴． [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 知识回顾 什么样的平行四边形叫做菱形？ 03 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB＝AD ∴ 四边形ABCD是菱形 平行四边形 菱形 ＋一组邻边相等 探究解析 中心对称把直线两侧的图形互相交换 证明：设直线l经过矩形的对称中心O． 将矩形绕点O旋转180°： ① 矩形与自身重合； ② 直线l旋转后仍与自身重合； ③ 直线l一侧的图形恰好与另一侧的图形重合． 因此，任意一条经过矩形对称中心的直线，都可以把矩形分成两个全等的图形． A D B C O [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 知识回顾 什么样的平行四边形叫做菱形？ 03 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB＝AD ∴ 四边形ABCD是菱形 平行四边形 菱形 ＋一组邻边相等 补充例题 例3：利用矩形的对称性求面积 如图，直线EF经过矩形ABCD两条对角线的交点O，且分别交AB、CD于点E、F． 若矩形ABCD的面积是12，求阴影部分的面积． A D B C O E F [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 边：对边平行且相等 菱形具有平行四边形 的所有性质 角：对角相等，邻角互补 对角线：互相平分 A B C D 对称性：中心对称， 对称中心是两条对角线的交点 例题解析 例3：全等法与中心对称法 法一：全等 ∵ AB∥CD，OA＝OC， ∴ ∠EAO＝∠FCO，∠AOE＝∠COF． ∴ △AOE≌△COF（ASA）． ∴ S△AOE＝S△COF． 阴影面积＝S△AOB＝¼S矩形＝3． 法二：中心对称 矩形绕点O旋转180°，△COF与△AOE重合． 因此两三角形面积相等，可直接把阴影转化为△AOB． A D B C O E F [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 定理证明：菱形的四条边相等 06 如图，在菱形ABCD中，AB＝AD，对角线AC与BD相交于点O． 求证：AB＝BC＝CD＝AD． 证明：∵ 四边形ABCD是菱形， 　　　∴ AB＝CD，AD＝BC（菱形的对边相等）． 　　　又∵ AB＝AD， 　　　∴ AB＝BC＝CD＝AD． B A D C O 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在Rt△ABC中， ∠ABC＝90°，点E是AC的中点， 则 BE＝½AC＝AE＝CE． A B C E [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 定理证明：菱形的对角线互相垂直 07 如图，在菱形ABCD中，AB＝AD，对角线AC与BD相交于点O．求证：AC⊥BD． 证明：∵ AB＝AD， 　　　∴ △ABD是等腰三角形． 　　　又∵ 四边形ABCD是菱形， 　　　∴ OB＝OD（菱形的对角线互相平分）． 　　　在等腰三角形ABD中， 　　　∵ OB＝OD， 　　　∴ AO⊥BD（等腰三角形三线合一）， 　　　即AC⊥BD． B A D C O 定理证明 补成矩形，利用矩形对角线相等 已知：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E为AC的中点． 求证：BE＝½AC． 证明：过点A作AD∥BC，交BE的延长线于点D，连接CD 由AE＝CE、∠AED＝∠CEB、∠EAD＝∠ECB， 得△AED≌△CEB（ASA），∴BE＝DE，AD＝CB． 又AD∥BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形． ∵ ∠ABC＝90°，∴ 四边形ABCD是矩形． ∴ AC＝BD，而BE＝½BD，故BE＝½AC． A D B C E [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 性质补充 菱形具有怎样的对称性？ 08 轴对称 菱形是轴对称图形． 对称轴 两条对角线所在直线都是它的对称轴． 中心对称 菱形是中心对称图形． 对称中心 两条对角线的交点是它的对称中心． 同一条对角线既平分一组对角，又把菱形分成两个全等三角形． 拓展探究 斜边中线定理的逆命题成立吗？ 在△ABC中，CD是AB边上的中线，且CD＝½AB． 能否说明△ABC是直角三角形？如果能，哪个角是直角？ A B C D [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 菱形的性质：先继承，再发现特殊 概念 平行四边形 ＋邻边相等 特殊性质 四边相等 对角线垂直 计算工具 S＝底×高 S＝1/2ab 菱形的性质 边：对边平行且四条边相等 角：对角相等，邻角互补 对角线：互相垂直且互相平分 A B C D 对称性：既是中心对称图形， 也是轴对称图形 拓展证明 在△ABC中，CD是AB边上的中线，且CD＝½AB，则△ABC是直角三角形． ∵ CD是AB边上的中线，且CD＝½AB， ∴ AD＝BD＝½AB＝CD． ∴ ∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD． ∴ ∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝∠A＋∠B． 又∵ ∠A＋∠B＋∠ACB＝180°， ∴ 2∠ACB＝180°，∴ ∠ACB＝90°． 因此△ABC是直角三角形． A B C D [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 面积公式 菱形的面积有两种常用算法 09 菱形是平行四边形：S＝底×高 设两条对角线长为a，b，S＝½ab 菱形的两条对角线互相垂直，菱形被分成四个直角三角形． B A D C 性质定理 直角三角形＋斜边中点 ⇒ 中线等于斜边的一半． ⇄ 逆命题 一边中点＋中线等于该边一半 ⇒ 该边所对的角是直角． 斜边中线定理小结 [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 例题分析 例1（2）：菱形ABCD中，∠BAD＝60°，BD＝6．求菱形的面积 12 （2） B A D C O 补充例题 例4：斜边中线与三角形中位线综合 如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，点M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，求四边形ABOM的周长． A D B C O M [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 教材P7随堂练习 随堂练习：先独立完成，再交流方法 13 提示：对角线互相垂直且互相平分，注意构造直角三角形． 第1题：在菱形ABCD中，AB＝5 cm，AO＝4 cm，求BD的长． 第2题：菱形ABCD的周长为40 cm，一条对角线长10 cm． （1）求这个菱形每一个内角的度数． （2）求这个菱形另一条对角线的长． 例题解析 例4： 在矩形ABCD中，AB＝CD＝5，BC＝AD＝12，∠ABC＝90°． ∵ O是AC的中点，M是AD的中点， ∴ OM是△ACD的中位线 则OM＝½CD＝2.5，AM＝½AD＝6． 在Rt△ABC中，AC＝√（5²＋12²）＝13． ∵ BO是斜边AC上的中线，∴ BO＝½AC＝6.5． 四边形ABOM的周长＝5＋6＋2.5＋6.5＝20． 技巧：遇到中点，可以考虑“斜边中线”和“三角形中位线”． A D B C O M [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 拓展练习 由周长与角的比求菱形面积 16 已知菱形的周长为8，两邻角的度数之比为1∶2， 则菱形的面积为（　　）． A．8√3　　B．8　　C．4√3　　D．2√3 B A D C O 教材P13随堂练习 先独立完成，再交流使用了哪些性质 在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝6，OA＝4． 求：（1）BD的长；（2）AD的长． A D B C O [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 补充练习讲评 已知菱形的周长为8，两邻角的度数之比为1∶2，求菱形的面积 17 解析：∵ 菱形的两邻角的度数之比为1∶2，两邻角的和为180°， 　　　∴ ∠ABC＝60°，∠BAD＝120°． 　　　∵ 菱形的周长为8， 　　　∴ 边长AB＝BC＝2． 方法一：由上知△ABC是等边三角形， 　　　　∴ 菱形的对角线AC＝2，AO＝½AC＝1． 　　　　在Rt△AOB中，BO＝√(AB²－AO²)＝√(2²－1²)＝√3， 　　　　∴ BD＝2BO＝2√3． 　　　　∴ ＝½AC·BD＝½×2×2√3＝2√3． B A D O C 随堂练习解析 解：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ BD＝AC＝2OA＝8． 又∵ AB＝6， ∴ 在Rt△BAD中， AD＝√（BD²－AB²） 　＝√（8²－6²） 　＝2√7． 答：BD＝8，AD＝2√7． A D B C O [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． 菱形的性质：先继承，再发现特殊 概念 平行四边形 ＋邻边相等 特殊性质 四边相等 对角线垂直 计算工具 S＝底×高 S＝1/2ab A B C D 课堂小结 角：四个角都是直角 对角线：相等且互相平分 对称性：两条对称轴＋中心对称 直角三角形斜边中线定理及其逆命题 矩形的性质 矩形的性质与直角三角形工具 课堂小结 边：对边平行且相等 [Sources] - 北师大版新教材数学九年级上册，第11—14页． - 中学教材全解九年级上册数学北师版，第14—26页． - 用户提供的教材全解重点截图． $