1.3矩形的性质与判定（1）课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦矩形的性质与判定，核心知识点包括矩形的定义、四个角为直角、对角线相等等性质及直角三角形斜边中线定理。课堂导入从回顾矩形定义出发，通过测量书本等实物引导学生猜想性质，再经证明形成从平行四边形到矩形的知识支架。 其亮点在于以实物测量活动培养数学眼光，通过猜想与逻辑证明发展数学思维，用几何语言描述和例题解析强化数学语言。例如测量课桌对角线得出猜想，证明矩形对角线相等，帮助学生构建知识体系，教师可依托此资料高效开展探究式教学。

3.1 矩形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 北师大版九年级数学上册 学习&目标 1.探究并掌握矩形的性质定理. 2.会用矩形的性质定理解决相关问题. 情境&导入 回忆一下，什么是矩形，它有哪些性质？ 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 回顾 & 思考 ☞ 矩形的性质 边 对边平行且相等. 角 对角相等，邻角互补，有一个内角为直角. 对角线 对角线互相平分. 对称性 既是轴对称图形（有两条对称轴），又是中心对称图形. 探索&交流 矩形的特殊性质 1— 思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 可以从边，角，对角线等方面来考虑. 探索&交流 活动1：准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等. （1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四条边的长度、四个角的度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果. 探索&交流 A B C D O AB AD AC BD ∠BAD ∠ADC ∠AOD ∠AOB 橡皮擦 课本 桌子 物体 测量 （实物） （形象图） （2）根据测量的结果,你有什么猜想？ 猜想1 矩形的四个角都是直角. 猜想2 矩形的对角线相等. 你能证明吗？ 探索&交流 已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O. 求证：（1）∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°；（2）AC = BD. 证明：（1）∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC=∠CDA， ∠BCD=∠DAB（矩形的对角相等）， AB∥DC（矩形的对边平行）. ∴∠ABC +∠BCD = 180°. 又∵∠ABC = 90°，∴∠BCD = 90°. ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB = 90°. 探索&交流 已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O. 求证：（1）∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°；（2）AC = BD. （2）∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB = DC（矩形的对边相等）， 在△ABC 和 △DCB 中， ∵AB = DC,∠ABC = ∠DCB，BC = CB. ∴△ABC≌∠DCB. ∴AC = DB. 探索&交流 矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有： 矩形的四个角都是直角. 矩形的对角线相等. 归纳总结 几何语言描述： 在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O. ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°，AC=DB. A B C D O 探索&交流 矩形的性质 矩形的对边平行且相等. 角 对角线 边 矩形的对角线相等. 矩形的对角线互相平分. 矩形的四个角都是直角. 矩形的对角相等. 对称性 矩形是轴对称图形，也是中心对称图形. 探索&交流 做一做 A 　 B 　 C 　 D 　 O 　 如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC剪去一半. B C O A 问题 Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？ 它的长度与斜边AC有什么关系？ 猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 试给出数学证明. 探索&交流 证明：延长 BE 至 D，使 ED = BE， 连接 AD，CD. ∵AE = EC，BE = ED， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. ∵∠ABC = 90°， ∴平行四边形 ABCD 是矩形. ∴ AC = BD. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，BE 是 AC 上的中线. 求证：BE = AC. ∴ BE = BD = AC. E C B A D 定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半. 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例1.如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线相交于点 O，∠AOD = 120°，AB = 2.5，求这个矩形对角线的长. 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD（矩形的对角线相等） OA = OC = AC，OB = OD = BD， ∴OA = OD。 ∵∠AOD = 120°， ∴∠ODA =∠OAD = (180°-120°) = 30°。 ∴BD = 2AB = 2×2.5 = 5. 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例2.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D为 AB 的中点，AE∥CD，CE∥AB，试判断四边形 ADCE 的形状，并证明你的结论. 解：四边形 ADCE 是菱形， 证明：∵ AE∥CD，CE∥AB， ∴四边形 ADCE 为平行四边形. 又∵在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°， D 为 AB 中点， ∴ AD = CD . ∴四边形 ADCE 为菱形. 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例3.证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 证明：如图，在△ABC 中，AC边的中线 BD 等于 AC 的一半，则 AD = BD = DC， ∴∠1=∠A，∠2=∠C. 又∵∠1+∠A+∠2+∠C = 180°， ∴2（∠1+∠2）=180°，即∠ABC = 90°， 故△ABC 为直角三角形. 练习&巩固 1.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为 ( ) A.13 B.6 C.6.5 D.不能确定 C 练习&巩固 2.如图，△ABC中，E在AC上，且BE⊥AC．D为AB中点，若DE=5，AE=8，则BE的长为______． 6 练习&巩固 3.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，求PE+PF的值. 解：连接OP. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90°，OA=OD=OC=OB， ∴S△AOD=S△DOC=S△AOB=S△BOC = S矩形ABCD= ×6×8=12. 在Rt△BAD中，由勾股定理得BD=10， ∴AO=OD=5， ∵S△APO+S△DPO=S△AOD， ∴ AO·PE+ DO·PF=12，即5PE+5PF=24， ∴PE+PF= . 小结&反思 定义 一个角是直角的平行四边形叫作矩形 性质 对称性 矩形是轴对称图形 角 定理1：矩形的四个角都是直角 对角线 定理2：矩形的对角线相等 定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 小结&反思 定义 一个角是直角的平行四边形叫作矩形 性质 对称性 矩形是轴对称图形 角 定理1：矩形的四个角都是直角 对角线 定理2：矩形的对角线相等 定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 $