精品解析：陕西西安市西安高级中学2026-2027学年高三上学期开学测试数学试题

西安高级中学2027届开学测试高三数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标好．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，给出如下两个命题： ①集合中的元素都是周期函数；②集合中的元素都是奇函数．则（ ） A. ①②都是真命题 B. ①②都是假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 3. 在三角形中，，，点满足，则的最大值为（ ） A. 11 B. 16 C. 18 D. 25 4. 已知函数（），且.若，则的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面坐标系内一曲线的初始状态，每次随机变换的概率按照下述规则之一进行：（1）关于轴对称的概率为；（2）关于轴对称的概率为；（3）关于直线对称的概率为；（4）关于直线对称的概率为．经过次变换后曲线的状态记为，则3次变换后中取值范围为的概率为（　　） A. B. C. D. 7. 已知函数，若存在正实数，，使得，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在正整数集上的函数满足，且有，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 若函数有两个零点，则 C. 不等式的解集为 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（　　） A. ，则实数的取值范围为 B. ，则实数的取值范围为 C. ，则实数的取值范围为 D. ，使得不等式成立，则实数的取值范围为 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的图象存在对称中心 B. 当时， C. 有且仅有2个零点 D. 当时，的极值点为，则 三、填空题（本题3小题；每小题5分，合计15分） 12. 设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是_____ ①．集合不是“闭集合” ②．正整数集是“闭集合” ③．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 ④．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 13. 设，（，），则的最小值为______． 14. 已知函数，实数，满足，．若恒成立，则实数的最大值为________． 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤；15题13分，16-17题15分，18-19题17分．） 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求C； （2）若，求周长的最大值． 16. 已知函数与的图象相交于点为坐标原点． （1）求函数图象在处的切线方程； （2）若直线与图象相切于点，求的值； （3）若直线与图象交于另一点，且，求的取值范围． 17. 已知函数 （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数有两个不同的极值点，，且， ①求实数的取值范围； ②求证：. 18. 在中，角的对边分别为，向量，且，点为上一点． （1）求角的大小； （2）若是的角平分线，，的周长为19，求的长度； （3）若为上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围． 19. 设，集合含有个元素，若存在三个元正整数集合，，满足如下两个条件，则称为三分集合.①；②，，元素可分别排列为有序数组，及，使得对，均有，特别地，当为三分集合时，称为完美三分数.如：因为为三分集合，所以为最小完美三分数. （1）请判断下列两个集合是否为三分集合（直接写出结论）：，； （2）求出大于的最小完美三分数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安高级中学2027届开学测试高三数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标好．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，， 所以． 2. 已知集合，给出如下两个命题： ①集合中的元素都是周期函数；②集合中的元素都是奇函数．则（ ） A. ①②都是真命题 B. ①②都是假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的周期性与奇偶性定义结合反例判定命题即可. 【详解】由可得， 两式相加得， 则有，即， 所以的一个正周期为6，①是真命题； 假设， 满足条件，但此时不是奇函数，所以②是假命题，即C正确. 3. 在三角形中，，，点满足，则的最大值为（ ） A. 11 B. 16 C. 18 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】如下图建立直角坐标系，利用数量积坐标运算结合辅助角公式可得答案. 【详解】如下图，以为原点建立直角坐标系，则，其中. 因，则，其中.又，，则. 则， ，其中. 则，当时取等号. 4. 已知函数（），且.若，则的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由求，再化简为，最后用余弦函数单调性求递增区间. 【详解】由且 得 ，则， 那么，， ，令 ， ， 则，故选C. 5. 在中，，，则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 ，．设外接圆的半径为, 由正弦定理，，， ， 所以外接圆的面积. 6. 已知平面坐标系内一曲线的初始状态，每次随机变换的概率按照下述规则之一进行：（1）关于轴对称的概率为；（2）关于轴对称的概率为；（3）关于直线对称的概率为；（4）关于直线对称的概率为．经过次变换后曲线的状态记为，则3次变换后中取值范围为的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过讨论第一次进行（1）或（2）或（3）或（4）变换，再分析后两次的变换情况，结合独立事件乘法公式即可求解. 【详解】根据题意，，其定义域为，进行（1）或（2）变换时，不影响定义域， 若第一次进行了（3）变换，变化为，定义域变为， 再进行（3）变换，变化为，定义域变为， 或再进行（4）变换，变化为，定义域变为， 或再进行（1）或（2）变换，定义域不会为； 若第一次进行了（4）变换，此时变化为，定义域变为， 再进行（3）变换，变化为，定义域变为， 或再进行（4）变换，变化为，定义域变为， 或再进行（1）或（2）变换，定义域不会为； 故3次变换后中取值范围为的变换有以下几种： 三次都为（1）或（2）变换，概率为； 第一次为（1）或（2）变换，第二、三次都为（3）或（4）变换， 概率为； 第一次为（3）或（4）变换， 后续两次其中一次为（3）或（4）变换，另一次为（1）或（2）变换， 概率为； 故3次变换后中范围为的概率． 7. 已知函数，若存在正实数，，使得，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为两个函数图象公共点问题，令，得，令，求导，根据导数判断函数的性质，得出直线与函数的图象有两个交点时的取值范围. 【详解】若存在正实数，使得， 则函数与的图象有两个公共点． 所以，即在时有两个不同的解． 又．令，问题转化为求直线与函数的图象有两个交点时的取值范围． ，令，得，解得． 当时，单调递增；当时，单调递减． 因此在处取得最大值，所以． 当时，；当时，，所以． 8. 已知定义在正整数集上的函数满足，且有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数定义，利用赋值法求出解析式，进而判断选项． 【详解】取，得， 又，故； 取，得，即， 对正整数x，， 累加，得，故． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 若函数有两个零点，则 C. 不等式的解集为 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用导数与函数单调性间的关系，直接求出单调区间，即可求解；对于B，利用选项A中结果，结合，即可求解；对于C，分和两种情况，当时，恒成立，当，构造函数，即可求解；对于D，根据条件得到，再结合选项A的结果，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，由，得到， 当时，，当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以选项A正确， 对于选项B，若有两个不同的零点，即直线与有两个交点， 因为是的极小值点，， 因为，且时， 所以，当时直线与有两个交点，选项B错误； 对于选项C，由，得到，当时，恒成立， 当时，由，得到， 令，在区间上单调递增，所以，则， 综上，不等式的解集为，C选项正确； 对于选项D，由，得到， 则，由选项A知，在区间上单调递增， 所以，则，故选项D正确， 10. 下列说法正确的是（　　） A. ，则实数的取值范围为 B. ，则实数的取值范围为 C. ，则实数的取值范围为 D. ，使得不等式成立，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，参变分离得；对于B，参变分离得；对于C，根据题意可得，再解不等式即可；对于D，不等式可变形为，则，则，再求出最值即可． 【详解】对于A：， 则，故A正确； 对于B：， 则，故B错误； 对于C：原式子可化为， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为，故C正确； 对于D：不等式可变形为，则，解得， 因，则，此时，即， 所以的取值范围为，故D正确． 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的图象存在对称中心 B. 当时， C. 有且仅有2个零点 D. 当时，的极值点为，则 【答案】BC 【解析】 【分析】A函数不满足中心对称的恒等关系，不存在对称中心；B求导可知函数在区间内先增后减，两端点函数值均非负，故恒大于 0；C由时函数恒正， 为一个零点，存在唯一正零点，共 2 个零点；D结合单调性及，得极值点小于，与选项区间不符. 【详解】已知函数 ，定义域为R， ，且， A：若存在对称中心 ，需满足 对任意 恒成立， 展开得， 由于 随 变化（如 与 时值不同），无法为常数， 因此不存在对称中心，A 错误； B：当 时，令 ，得 ，即 ， 解得正根 ， ， 当 时，，单调递增； 当 时，，单调递减。 ，在处取最大值且， ，因此在内存在唯一零点， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ， ， 所以当时，，B 正确； C：当时，由不等式，得， 因此， 令，，单调递减，， 故时，即，无零点， 当时，，是一个零点， 当时，是在内的唯一零点， 时，，单调递增； 时，，单调递减， 当时，，因此， 故在上严格单调递减， ，， 由零点存在定理，在内有且仅有 1 个正零点， 当时，，而恒成立， 因此， 即后，恒为负数， 没有零点，即后无零点， 综上：仅有和一个正零点，共 2 个零点， C 正确； D：当时，极值点是， 时，，单调递增； 时，，单调递减， ，则， 下面证明, ,,所以, , 所以成立，所以， 因此极值点 ，即 ， D 错误. 三、填空题（本题3小题；每小题5分，合计15分） 12. 设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是_____ ①．集合不是“闭集合” ②．正整数集是“闭集合” ③．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 ④．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对于①， 通过举反例，即可判断；对于②， 由正整数相乘的封闭性即可判断；对于③，通过举反例，说明其为有限集合即可；对于④， 利用闭集合定义检验即可判断. 【详解】 ①，集合，取，则，不满足闭集合的定义，故①正确； ②，正整数集中任意两个正整数相乘，结果仍为正整数，因此正整数集是闭集合，故②正确； ③，若取集合， ，，， 满足闭集合定义，但只有 2 个元素，是有限集， 故③错误； ④，任取，则且，因集合，都是“闭集合”， 则，，因此，满足闭集合定义，故④正确． 13. 设，（，），则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题为二元函数最值问题，式子呈现两个含的平方相加结构.优先把看作主元，利用二次函数最值特性消去变量，将二元最值转化为单变量函数最值.针对得到的一元函数，采用导数切线放缩法求解最小值，解题全程需要关注每一步等号成立条件，保证能够同时取到. 【详解】将视作关于的一元二次函数，展开的， 由二次函数的性质，当时，取得关于的最小值. 将代入原式消去，化简得. 令，求导得. 令，求得极值点，切点处. 由切线放缩可知，因此， 当且仅当时等号成立. 故的最小值为4. 【点睛】二元平方和型多元最值，可选定主元，借助二次函数极值先消元，转化为单变量函数；单变量函数最值可通过导数切线放缩求解，连续放缩务必验证所有等号条件能够同时成立. 14. 已知函数，实数，满足，．若恒成立，则实数的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】化简，根据题意可得或，讨论这两种情况即可求解. 【详解】， 由于，所以， 所以或， 当时，， 不妨设，，由， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，则， 由于，所以； 当时，，此时， 综上，，所以实数的最大值为. 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤；15题13分，16-17题15分，18-19题17分．） 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求C； （2）若，求周长的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换和正弦定理得到，进而由余弦定理得到，求出； （2）由条件结合正弦定理可得外接圆半径，再结合正弦定理求，结合余弦定理和基本不等式求的最大值. 【小问1详解】 由二倍角公式可得， 又． 所以， 由正弦定理得：， 由余弦定理得：， 所以，又， 所以． 【小问2详解】 由正弦定理得，，其中R为外接圆半径．． 由正弦定理得，． 由余弦定理得：，， 由基本不等式可知： ，当且仅当时取等号， 所以当时，的周长取最大值，最大值为． 16. 已知函数与的图象相交于点为坐标原点． （1）求函数图象在处的切线方程； （2）若直线与图象相切于点，求的值； （3）若直线与图象交于另一点，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求解； （2）设，根据条件可得，再利用点是两函数图象的交点，即可求解； （3）设，根据条件可得，进而可得，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而可得，利用，求出的取值范围，即可求解. 【小问1详解】 易知，所以， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 设，由题知， 所以，解得， 又点在函数与的图象上， 则 ，，则. 【小问3详解】 设，因为直线与图象交于另一点，且，则， 令，由，，即，得， 所以，整理得到， 令，则， 令，则对任意的恒成立， 故函数在上为减函数， 对任意的，， 所以在区间上恒成立， 所以在上单调递减，则，所以， 由（2）知， 令，则在区间上恒成立， 所以在上单调递增，则， 所以. 17. 已知函数 （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数有两个不同的极值点，，且， ①求实数的取值范围； ②求证：. 【答案】（1） （2）①②由（2）知，，是的两根. 两式相减得，故 要证，等价于证，将代入中， 即证整理得. 令，则即证.即证， 令，则， 令，则， 当时，，在上单调递增，， 即在上恒成立，在上单调递增，. 即在上恒成立，故，得证. 【解析】 【分析】（1）求导数得到切线斜率，再求切点，点斜式写切线; （2） ①原条件等价于导函数有两个不等正根，分离参数转化为函数交点问题求a范围；②利用换元法变为单变量，构造函数完成证明. 【小问1详解】 当时，，. ，又， 切线方程为，整理得 【小问2详解】 ①函数有两个不同的极值点，，等价于在上有两个不同的正根， 令，则由得. 令，，则应与的图象有两个交点， 令得. 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又时，，时，， 若与的图象有两个交点，则需，; ②略. 18. 在中，角的对边分别为，向量，且，点为上一点． （1）求角的大小； （2）若是的角平分线，，的周长为19，求的长度； （3）若为上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量垂直运算可得边角关系，然后由正弦定理边角互化可得答案； （2）由三角形面积相等及余弦定理可得答案； （3）解法一：设其中一角，然后利用正弦定理可得边角关系，将转化成用所设角表示，利用范围即可求出答案； 解法二：设其中一角，然后利用向量共线可得边的关系，再用边角互化将转化成用所设角表示，利用范围即可求出答案； 【小问1详解】 且， ，即， 所以在中，由正弦定理有， ， 又因为在中，， ，又， 又，； 【小问2详解】 由（1）知，， 则，又，， ， 为角的角平分线， ， 即，； 【小问3详解】 解法一：由（1）知，，则， 设，则； 设，则. 在中，即， 在中， 即， 则. 又，，又， ， 由和差化积公式可得， 则，， ； 解法二：已知为上靠近点的一个三等分点， 则， 又，由（1）知，，，则， 则， . ． ， ， . 19. 设，集合含有个元素，若存在三个元正整数集合，，满足如下两个条件，则称为三分集合.①；②，，元素可分别排列为有序数组，及，使得对，均有，特别地，当为三分集合时，称为完美三分数.如：因为为三分集合，所以为最小完美三分数. （1）请判断下列两个集合是否为三分集合（直接写出结论）：，； （2）求出大于的最小完美三分数. 【答案】（1）不是；是 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三分集合的定义直接判断. （2）根据三分集合及完美三分数的概念举例说明. 【小问1详解】 （i）不是三分集合，下面用反证法证明. 证明：假设是三分集合， 设，，，不妨设， 由，得， 则， 则，这与矛盾， 故假设错误，故不是三分集合； （ii）是三分集合. 理由如下：令，，， 则，满足条件①； 且由；；可知，满足条件②. 故是三分集合. 【小问2详解】 由（1）可知，当时，不是三分集合； 当时，， 假设是三分集合， 同理由， 得到，可推出与矛盾， 故假设也错误，故不是三分集合； 当时，， 存在三个元集合，，， 满足为三分集合的两个条件. 故大于的最小完美三分数为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $