陕西西安市西安高级中学2026-2027学年高三上学期开学测试数学试题

西安高级中学2027届开学测试高三数学试题 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标好。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效。 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求） 1.已知集合A={xx2-2x-3≤0}，B={x-2≤x<2},则AUB=() A.{xl-1≤x<2} B.{xl-1≤x≤2} C.{xl-2<x<2} D.{xl-2≤x≤3} 2.已知集合M=f(x)f(x)+f(x+2)=f(x+1),x∈R},给出如下两个命题： ①集合M中的元素都是周期函数：②集合M中的元素都是奇函数.则() A.①②都是真命题 B.①②都是假命题 C.①是真命题，②是假命题 D.①是假命题，②是真命题 3.在三角形ABC中，∠C=90°，AB=6,点P满足CP=2,则PA·PB的最大值为() A.11 B.16 C.18 D.25 4.已知函数fx)=cos(2x+p)(0≤p<),且f(0)=号若g()=f()+f(x-),则g()的单调递增区 间为() A.【晋+km,晋+k阿 B.【+kmg+k如 c.【晋+km-+kn D.+kr+knt 5.在△ABC中，cos(A-B)-c0s(A+B)=}Qb=子则△ABC外接圆的面积为() A.牙 B.π C.2π D.4π 6.已知平面坐标系内一曲线的初始状态T:y=e*,每次随机变换的概率按照下述规则之一进行：(1)关于 x轴对称的概率为：(2)关于y轴对称的概率为：(3)关于直线y=x对称的概率为：(4)关于直线y=-x 对称的概率为 经过n次变换后曲线的状态记为n,则3次变换后T3中x取值范围为R的概率为() A. B.9 c.号 D.子 7.已制国数r因气中≥8若存在交数：e*小.使得-)+)0， 试卷第1页共4页 f(-x2)+f(x2)=0,则a的取值范围是() A.[e2,+o) B.[0,1) C.(0,e) D.(0,2e) 8.己知定义在正整数集上的函数f(x)满足f(x+fy)=f(x)+y,且有f(1+f1)=2,则() A.f(2026)>2026 B.f(2027)>2027 C.f(2027)<2026 D.f(2026)<2027 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分， 选对但不全得部分分，有选错的得0分) 9.已知函数f(x)=xe,则下列结论正确的是() A.f(x)在(-1，+o)上单调递增 B.若函数y=f()-a有两个零点，则a>-日 C.不等式f(x)≤e的解集为(-o,1] D.若f(x1)=x2nx2=4,则x1x2=4 10.下列说法正确的是() A.x∈R,-2+9x+a+3<0,则实数a的取值范围为(-∞，-婴) B.3x∈R,-x2+9x+a+3<-2x2+5x+3,则实数a的取值范围为(-∞，) C.a∈R,x∈R,-2x2-(4-b)x+3<-x2+bx+a+3<10,则实数b的取值范围为 (-23,2v3 D.x∈(-o,0),使得不等式0<-x2+9x+a+3<-2x2+5x+3成立，则实数a的取值范围为 （-3) 11.己知函数f(x)=esi血x-x-1,下列说法正确的是() A.f(x)的图象存在对称中心 B.当xe(0,)时，f)>0 C.f(x)有且仅有2个零点 D.当x∈(o,引时，f的极值点为a,则晋<a<号 试卷第2页共4页 三、填空题（本题3小题；每小题5分，合计15分） 12.设集合M是非空数集，若对任意x,y∈M,都有xy∈M,则称集合M为“闭集合”.则下列说法正确的 是 ①.集合A={0,1,2}不是“闭集合” ②.正整数集是“闭集合” ③.若集合M是“闭集合”，且M≠{O},则集合M中的元素个数一定是无数个 ④.若集合M1,M2都是“闭集合”，且M1∩M2≠D,则M1∩M2一定是“闭集合” 13.设F,y)=(x+)2+(x-),(x,y∈Ry≠0)，则Fx,y)的最小值为一 14.已知函数f(x)=sin2x-V3cos2x,实数x1,x2满足x1x2<0,f(x1)+f(x2)=0.若x1-x2l>m恒成 立，则实数m的最大值为 四、解答题：（本题共5小题，共77分。解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤；15题13分，1617 题15分，18-19题17分，) 15.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知cos2A+cos2B-cos2C=1-2 sinAsinB. (1)求C: ②若n8=4,求△ABC周长的最大值， 16.已知函数f(x)=logax(a>1)与g(x)=tx-2(t>0)的图象相交于点P,0为坐标原点. (I)求函数y=f(x)图象在M(a,1)处的切线方程； (2)若直线OP与y=f(x)图象相切于点P,求a的值： (3)若直线0P与y=f(x)图象交于另一点Q,且|OQ≥20P,求a的取值范围. 17.己知函数f(x)=xnx-ax2+x(a∈R) (1)当a=时，求曲线y=f()在x=1处的切线方程： (2)若函数f(x)有两个不同的极值点x1,x2,且x1<x2, ①求实数a的取值范围： ②求证：x1+幻> 试卷第3页共4页 18.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为ab,c,向量m=(b,c),元=(V3,2sin(A-)且元1元，点D为AB 上一点 (1)求角C的大小： (2)若CD是∠ACB的角平分线，c=9,△ABC的周长为19，求CD的长度： (3)若D为AB上靠近点A的一个三等分点，CD=tAD,求实数t的取值范围. 19.设n∈N*,集合U含有3n个元素，若存在三个n元正整数集合A,B,C满足如下两个条件，则称U为三 分集合.①U=AUBUC:②A,B,C元素可分别排列为有序数组(a1,a2,,an),(b1,b2,,bn)及(c1,c2,,cn), 使得对i=1,2,3,…,n,均有a+b=C,特别地，当U={1,2,3,4,,3n-2,3n-1,3n为三分集合时，称n 为完美三分数.如：因为U={1,2,3}为三分集合，所以n=1为最小完美三分数. (1)请判断下列两个集合是否为三分集合（直接写出结论)：U1={1,2,3,4,5,6},U2={1,3,5,7,8,9,10,11,12}: (2)求出大于1的最小完美三分数. 试卷第4页共4页 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D c ⊙ C B D D ACD ACD 题号 11 答案 BC 1.D 【分析】根据并集定义计算 【详解】由已知A={xx2-2x-3≤0}={xl-1≤x≤3}， 所以AUB={x|-2≤x≤3 2.C 【分析】利用函数的周期性与奇偶性定义结合反例判定命题即可， 【详解】由f(x)+f(x+2)=f(x+1)可得f(x+1)+f(x+3)=f(x+2), 两式相加得f(x)+f(x+3)=0, 则有f(x+3)+f(x+6)=0,即f(x)=f(x+6), 所以f(x)的一个正周期为6，①是真命题： 假设f)=cos5x,f(x+1)-fx+2)=cos(Gx+)-cos(（传x+=cos5x, 满足条件，但f(x)此时不是奇函数，所以②是假命题，即C正确， 3.B 【分析】如下图建立直角坐标系，利用数量积坐标运算结合辅助角公式可得答案 【详解】如下图，以C为原点建立直角坐标系，则C(0,0),A(0,y),B(x,0),其中x,y>0. 因cP=2,则P(2cos8,2sin0),其中6∈[0,2m.又AB=6,AB=(x,-),则x2+y2=36 PA=(-2cose,y-2sine),PB =(x-2cose,-2sin), PA:PB=4cos20-2xc0s0+4sin20-2ysin6=4-2√x+ysim(0+p),其中tanp=三p∈(0，) 则PA-pB=4-12sin(0+p)≤16，当6=-p时取等号。 YA B 答案第1页共14页 4.C 【分析】先由f(O)=求p=F,再化简g()为V3cos(2x+),最后用余弦函数单调性求递增区间. 【详解】由f(0)=cos0=且0≤p<π得p=5,则f)=cos(2x+), 那么fe-8)=cos2x,∴g(网=c0s(2x+到+c0s2x=0s2x-号sm2x+0s2x, =cos2x-sin2x=V3c0s(2x+8,令-r+2km≤2x+≤2km,·7g+2km≤2x≤2km-看 则-晋+km≤x≤-是+km,故选C 12 5.B 【详解】cos(A-B)-cos(A+B)=cosAcosB+sinAsinB-(cosAcosB-sinAsinB)=2 sinAsinB ÷2 2sinAsinB=景sinAsinB=设△ABc外接圆的半径为R, 由正弦定理a=2 RsinA,.b=2 RsinB,.b=4R2 sinAsinB=4R2×g=号 4R2×君=3R2=1, 所以△ABC外接圆的面积S=πR2=π. 6.B 【分析】通过讨论第一次进行(1)或(2)或(3)或(4)变换，再分析后两次的变换情况，结合独立事 件乘法公式即可求解. 【详解】根据题意，『oy=*,其定义域为R,进行(1)或(2)变换时，不影响定义域， 若第一次进行了(3)变换，y=ex变化为y=nx,定义域变为(0，+o), 再进行(3)变换，y=nx变化为y=ex,定义域变为R, 或再进行(4)变换，y=nx变化为y=-ex,定义域变为R, 或再进行(1)或(2)变换，定义域不会为R: 若第一次进行了(4)变换，此时y=ex变化为y=-ln(-x),定义域变为(-o,0), 再进行(3)变换，y=-ln(-x)变化为y=-ex,定义域变为R, 或再进行(4)变换，y=-ln(-x)变化为y=ex,定义域变为R, 或再进行(1)或(2)变换，定义域不会为R: 故3次变换后I3中x取值范围为R的变换有以下几种： 三次都为(1)或(2)变换，概率为()=是 第一次为(1)或(2)变换，第二、三次都为(3)或(4)变换， 答案第2页共14页 概率为(+)×（后+名）2= 第一次为(3)或(4)变换， 后续两次其中一次为(3)或(4)变换，另一次为(1)或(2)变换， 概率为（名+）×(+)×（后+）×2= 故3次变换后，中x范国为R的概率P=号+号+号-兰 7.D 【分析】将问题转化为两个函数图象公共点问题，令ax2一x+1=2xnx+1,得a=2nx+,令g()=2nx+出 求导，根据导数判断函数的性质，得出直线y=a与函数g(x)的图象有两个交点时a的取值范围。 【详解】若存在正实数x1,x2,使得f(-x1)+f(x1)=0,f(-x2)+f(x2)=0, 则函数y=ax2-x+1(x>0)与y=2xx+1(x>0)的图象有两个公共点. 所以ax2-x+1=2xnx+1,即ax=2lnx+1在x>0时有两个不同的解. 又a=血+中.令g()=2nx+1,问题转化为求直线y=a与函数g()的图象有两个交点时a的取值范围. g)=,令g')=0,得1-21nx=0,解得x=VE. 当0<x<√e时，g(x)>0,g(x)单调递增：当x>Ve时，g'(x)<0,g(x)单调递减. 因此g()在x=VE处取得最大值，所以g)mx=g(V同)=2e. 当x→0时，g()→0：当x→+0时，g()→0+，所以0<a<2e克. 8.D 【分析】根据函数定义，利用赋值法求出f(x)解析式，进而判断选项 【详解】取x=y=1,得f(1+f(1)=f(1)+1, 又f(1+f(1)=2,故f(1)=1: 取y=1,得f(x+f(1)=f(x)+1,即f(x+1)=f(x)+1, 对正整数x,f(x+1)-f(x)=1, 累加，得f(x)=x,故f(2026)=2026<2027. 9.ACD 【分析】对于A,利用导数与函数单调性间的关系，直接求出单调区间，即可求解；对于B,利用选项A 中结果，结合f(-1)=-即可求解；对于C,分x≤0和x>0两种情况，当x≤0时，恒成立，当x>0, 构造函数h(x)=lnx+x,即可求解；对于D,根据条件得到x1e1=x2lnx2=nx2elnx2=4>0,再结合选 答案第3页共14页 项A的结果，即可求解 【详解】对于选项A,因为f'(x)=(x+1)e*,由f'(x)=0,得到x=-1, 当x<-1时，f(x)<0,当x>-1时，f(x)>0, 即f(x)=xe*在区间(-∞，-1)上单调递减，在区间(-1，+∞)上单调递增，所以选项A正确， 对于选项B,若y=f(x)-a有两个不同的零点，即直线y=a与y=f(x)有两个交点， 因为x=-1是f)的极小值点，f(-1)=-是 因为f(0)=0,且x<0时f(x)<0, 所以，当-<Q<0时直线y=a与y=fx)有两个交点，选项B错误： 对于选项C,由fx)≤e,得到xe'≤e,当x≤0时，xe'≤0<e恒成立， 当x>0时，由xex≤e,得到lnx+x≤1， 令h(x)=lnx+x,在区间(0，+o)上单调递增，所以h(x)≤h(1),则0<x≤1， 综上，不等式f(x)≤e的解集为(-o,1],C选项正确： 对于选项D,由f(x1)=x2lnx2=4,得到x1e1=x2lnx2=lnx2enx2=4>0, 则x1>0,x2>1,由选项A知，f(x)=xe*在区间(-1，+o)上单调递增， 所以x1=nx2,则x1x2=x2lx2=4,故选项D正确， 10.ACD 【分析】对于A,参变分离得a<(x2-9x-3)min:对于B,参变分离得a<(-x2-4)max:对于C,根 据题意可得(-x2-4x)max<(x2-bx+7)min,再解不等式即可；对于D,不等式可变形为x2-9x-3<a< -x2-4比，则x2-9x-3<-X2-4x,则(x2-9x-3)mn<a<(-x2-4)max再求出最值即可. 【详解】对于A:x∈R,-x2+9x+a+3<0, 则a<(x2-9x-3)mn=-,故A正确： 对于B:x∈R,-x2+9x+a+3<-2x2+5x+3, 则a<(-X2-4x)max=4,故B错误； 对于C:原式子可化为3a∈R,x∈R,-x2-4x<a<x2-bx+7, 则(-2-4)<2-bx+)n即4<-经+7，解得-2V3<b<23, 所以实数b的取值范围为(-2V3,2V3,故C正确： 对于D:不等式可变形为x2-9x-3<a<-x2-4x,则x2-9x-3<-x2-4x,解得-号<x<3, 因x<0,则-<x<0,此时2-9x-3)n<a<(-2-4x)nx即-3<a<子 答案第4页共14页 所以a的取值范围为(-3，)，故D正确。 11.BC 【分析】A函数不满足中心对称的恒等关系，不存在对称中心：B求导可知函数在区间内先增后减，两端点 函数值均非负，故恒大于0：C由x<0时函数恒正，x=0为一个零点，x>0存在唯一正零点，共2个 零点：D结合单调性及f'(假<0，得极值点小于受与选项区间不符 【详解】己知函数f(x)=esinx-x-1,定义域为R, f(x)=cosx.esinx-1,f'(x)=esinx(cos2x-sinx),f(0)=0, A:若存在对称中心(h,k),需满足f(2h-x)+f(x)=2k对任意x恒成立， 展开得f(h+x)+fh-x)=esin(h++esin(h-0-2h-2, 由于eih+)+eim(h-)随x变化（如x=0与x=乏时值不同），无法为常数， 因此不存在对称中心，A错误： B:当xe(0,习时，令f()=0,得cos2x=sinx,即1-sin2x=simx, 解得正根sinx,=S,xo∈(0，) 当x∈(0，xo)时，f(x)>0,f(x)单调递增； 当xE(x,)时，f“()<0,f()单调递减。 f(O)=0,f(x)在xo处取最大值且f(x)>0, f(囹=-1<0，因此f()在(xo习内存在唯一零点a, 当x∈(0，a)时，f'(x)>0,f(x)单调递增： 当xe(a)时，f()<0,f)单调递减， f0)=0,f(9=e4-5-1>0, 所以当xE(0,)时，f)>0,B正确： C:当x<0时，由不等式et≥1+t,得esinx≥1+sinx, 因此f(x)=esix-x-1≥1+sinx-x-1=sinx-x, 令g(x)=sinx-x,g'(x)=cosx-1≤0，g(x)单调递减，g(0)=0, 故x<0时sinx-x>0,即f(x)>0,无零点， 当x=0时，f(0)=0,是一个零点， 答案第5页共14页 当x>0时，a是f(x=0在(0，)内的唯一零点， x∈(0，a)时，f(x)>0,f(x)单调递增： x∈(a,时，f()<0,fx)单调递减， 当x∈(（作)时，cosx<0,因此f()=cosx·emx-1<0-1=-1<0, 故f)在（怎，）上严格单调递减， f=e--1>0,fm=-n<0, 由零点存在定理，fx)在（低，n)内有且仅有1个正零点， 当x>e时，x+1>e+1,而esinx≤e恒成立， 因此f(x)=esinx-x-1<e-(e+1)=-1<0, 即x>e后，f(x)恒为负数，没有零点，即x>π后无零点， 综上：f(x)仅有x=0和一个正零点，共2个零点，C正确： D:当xe(0,)时，极值点是a, x∈(0，a)时，f(x)>0,f(x)单调递增： xe(a,)时，fx<0,fx)单调递减， os=6sm音-则斯r(筒-6e-1, 4 4 下面证明f'(<0, f(假06：学-1<0台型G+2e656+网 e<2.72,V6+V2<3+2=5,所以e6+5<2.725<149, (V6+V24=(8+4w32=112+64V3>112+64=176, 所以e+i<(V6+V②成立，所以f'(9<0, 因此极值点ae(o,),即a<晋D错误 12.①②④ 【分析】对于①，通过举反例，即可判断：对于②，由正整数相乘的封闭性即可判断；对于③，通过举 反例M={-1,1),说明其为有限集合即可；对于④，利用闭集合定义检验即可判断！ 【详解】①，集合A={0,1,2},取x=y=2,则xy=4庄A,不满足闭集合的定义，故①正确； 答案第6页共14页 ②，正整数集中任意两个正整数相乘，结果仍为正整数，因此正整数集是闭集合，故②正确： ③，若取集合M={-1,1},(-1)×(-1)=1∈M,(-1)×1=-1∈M,1×1=1∈M, 满足闭集合定义，但M只有2个元素，是有限集，故③错误： ④，任取x,y∈M1∩M2,则x,y∈M1且x,y∈M2,因集合M1,M2都是“闭集合”， 则xy∈M1,xy∈M2,因此xy∈M1∩M2,M1nM2满足闭集合定义，故④正确. 13.4 【分析】本题为二元函数最值问题，式子呈现两个含x的平方相加结构.优先把x看作主元，利用二次函数最 值特性消去变量x,将二元最值转化为单变量函数最值.针对得到的一元函数，采用导数切线放缩法求解最小 值，解题全程需要关注每一步等号成立条件，保证能够同时取到， 【详解】将Fx,)=(x+y+(x-)视作关于x的一元二次函数，展开的F(x,)=2x2+2(-)x+ y2+ 由二次函数的性质，当x=号-时，F(x,y)取得关于x的最小值。 将x=代入原式消去x,化简得Fx)=2很+) 令t0)=+0>0),求导得t0)=是 令t'y)=0,求得极值点y=V2,切点处t(V②=V2 由切线放缩可知t(y)≥V2,因此F(x,)≥2×()=4， 当且仅当y=V2,x=0时等号成立. 故F(x,y)的最小值为4. 【点睛】二元平方和型多元最值，可选定主元，借助二次函数极值先消元，转化为单变量函数：单变量函 数最值可通过导数切线放缩求解，连续放缩务必验证所有等号条件能够同时成立， 14.月 【分析】化简f()=2sim(2x-),根据题意可得2x1-号=-(2x2-)+2k或2x1-5=(2x,-爱)+ 2kπ+π(k∈Z),讨论这两种情况即可求解. 【详解】f()=sin2x-V3cos2x=2sin(2x-7), 由于f(x1)+f(x)=0,所以2sin(2x1-)=-2sin(2x2-), 所以2x1-5=-(2x2-3)+2km或2x1-5=(2x2-)+2km+π(ke2), 答案第7页共14页 当2x1-号=-(2x2-)+2km时，x1+x2=号+k, 不妨设x1>0,名2<0，由x1+x2=写+k 当k=0时，x1-x2=5-2x2> 当k≥1时，x1-x=音-2x,+km>智 当k≤-1时，x1+为=背+km≤-器 所以0<x≤-号-，则≤-等 由于x1>0,所以x1-xl>: 当2x1-5=(2x2-)+2k+m时，x1-x=5+km,此时x1-xl≥影 综上，x1-x>行，所以实数m的最大值为5 15.c=胃 (2)6V3 【分析】水1)根据三角恒等变换和正弦定理得到a2+b2-c2=ab,进而由余弦定理得到C∈(0，m,求出C-于 (2)由条件结合正弦定理可得△ABC外接圆半径，再结合正弦定理求c,结合余弦定理和基本不等式求a+b 的最大值， 【详解】(1)由二倍角公式可得cos2A+cos2B-cos2C=1-2sin2A+1-2sin2B-(1-2sin2C)=1 2sin2A-2sin2B+2sin2C, cos2A+cos2B-cos2C =1-2sinAsinB. 所以1-2sin2A-2sin2B+2sin2C=1-2 sinAsinB, 由正弦定理得：a2+b2-c2=ab: 由余弦定理得：a2+b2-c2=ab=2 abcosC, 所以cosC= ,又C∈(0，m), 所以C=于 (2)由正弦定理得，mn。=2R,其中及为△ABC外接圆半径。“R=2. 由正弦定理得，c=2 RsinC=2V3. 由余弦定理得：c2=a2+b2-2 abcosC,(a+b)2-12=3ab, 答案第8页共14页 由基本不等式可知：(a+b)2-12=3ab≤(a+b)2 a+b≤4v3,当且仅当a=b=2V3时取等号， 所以当a=b=2V3时，△ABC的周长取最大值，最大值为6V3. 16.()y=ainax-i+1 (2)ee2 (3)(1,16] 【分析】(1)根据条件，利用导数的几何意义，即可求解： (2)设P(x1,y1),根据条件可得x1=e,再利用点P是两函数图象的交点，即可求解； (3)设Q,2),根据条件可得x2≥2x1,进而可得血1=晋（m≥2)，构造函数h(m=0m≥2)， 利用导数与函数单调性间的关系，求出h(m)的单调区间，进而可得nx1∈(0，ln2],利用a=exnx1,求出 x1nx1的取值范围，即可求解。 【详解】(1)易知f)=a所以f(@)= a-Ing 所以切线方程为y-1=（c-),y=品x-品+1 (2)设P(x1,y1),由题知1=1o8a=m立， xilna x1 x1Ina 所以lnx1=1,解得x1=e, 又点P在函数f(x)=logax(a>1)与g(x)=tx-2(t>0)的图象上， 则y1=tx=logaX1t=xy1,x1=a,则a=(a)好-(x)好=e2 (3)设Q(x2,y2),因为直线0P与y=f(x)图象交于另一点Q,且I0Q|≥20P|,则x2≥2x1, 令m=2(0m≥2)，由头-2，o3a=1oa兰，即=n2，得4-2 X1 X1 X2 xiIna x2lna' X1 X2 所以警-2-，整理得到x1=m之2)， mx1 令hm）=0m≥2)，则hm=1之 (m-1)2 令p0m)=1-台-1nm(m≥2刃，.则p)=京一点景<0对任意的m之2恒成立， 故函数p(m)在[2，+oo)上为减函数， 对任意的m≥2，p(m≤p(2)=1--ln2=-ln2<0, 所以hm=一D<0在区间2.+)上恒成立， 答案第9页共14页 所以h(m)在[2，+o)上单调递减，则h(m)=lnx1∈(0，ln2],所以x1∈(1,2]， 由(2)知a=(x)好=e好n, 令p(x)=x2.lnx,则p'(x)=2xnx+x=x(2nx+1)>0在区间(1,2]上恒成立， 所以p(x)=x2.lnx在x∈(1,2]上单调递增，则p(x)∈(0，ln16], 所以a∈(1,16]. 17.0y=x-月 (2)①(0，)②由(2)知，x1,x2是g(x)=lnx-2ax+2的两根. 二22，-两式相减得nx-x1=2aC2-x放20= X2-x1 要证x1+x2>等价于证2a(x1+x2)>2,将2a=2n4代入2a(x1+x2)>2中， X2-x1 即证6K1+)>2整理得n全 x2-x1 1>2 X1 X1 令t=号(t>1),则即证lnt·告>2.即证(t+1)lnt-2(t-1)>0 令h()=(t+1)nt-2(t-1)(t>1),则h()=lnt+-1, 令k0=h因=t+:1(t>1),则k(因=3=号 当t>1时，k't)>0,k(t)在(1，+o)上单调递增，k(t)>k(1)=0, 即h(t)>0在(1，+o)上恒成立，∴h(t)在(1，+o)上单调递增，h(t)>h(1)=0. 即1ntt+1)-2(t-1)>0在(1，+∞)上恒成立，故x1+x2>得证. 【分析】()求导数得到切线斜率，再求切点，点斜式写切线： (2)①极值点等价于导函数有两个不等正根，分离参数转化为函数交点问题求α范围；②利用换元法变为单 变量，构造函数完成证明 【详解】(1)当a=时，f(x)=xnx-x2+x,fx)=lnx-x+2. f)=1,又f1= 切线方程为y-x-1,整理得y=x-月 (2)①函数f(x)有两个不同的极值点x1,x2,等价于f(x)=0在(0，+∞)上有两个不同的正根 令gx)=f(x)=lx-2ax+2,则由g()=0得2a=x+ 令h个)=名，x∈(0，+四)，则y=2a应与h)的图像产生两个交点 答案第10页共14页 令h()=兰=0得x=日 当x∈(0，)时，h()>0,h(x)单调递增， 当x∈（点，+o)时，h(x)<0,h(x)单调递减， 1 “h()mx=h(合)=e 又：x→+o时，h(x)→0，x→0时，h(x)-o, 若y=2a与h(x)的图像产生两个交点，则需2a∈(0，e),∴a∈(0，)； ②略 18.a号 喘 (3)[3-1,2) 【分析】(1)由向量垂直运算可得边角关系，然后由正弦定理边角互化可得答案； (2)由三角形面积相等及余弦定理可得答案： (3)解法一：设其中一角，然后利用正弦定理可得边角关系，将转化成用所设角表示，利用范围即可求出 答案； 解法二：设其中一角，然后利用向量共线可得边的关系，再用边角互化将t转化成用所设角表示，利用范围 即可求出答案： 【详解】(1)m=(亿，c),元=(3,2sin(4-)且元1元， m·元=0，即V3b+2csim(4-)=0, 所以在△ABC中，由正弦定理有V3sinB+2 sinCsin(A-)=0, .V3sinB sinCsinA-V3sinCcosA =0, 又因为在△ABC中，sinB=sin(C+A)=sinCcosA+cosCsinA, ∴v3 cosCsinA+sinCsinA=0,又sinA≠0∴.v3cosC+sinC=0, tanC=-3又c∈(0，m,∴c=2年 3 (2) 答案第11页共14页 B 由(1)知，C=5 则c2=a2+b2+ab=81,又c=9,a+b+c=19, ∴(a+b)2-ab=81,a+b=10,∴ab=19, CD为角C的角平分线， 5AACD +5a0CD =SAAC(CA+CB CDlsin=CAl ICBlsin 即ab=(a+bc,÷cD=8 (3) D A 解法一：由(1)知，C=否则B=晋A, 设LACD=日，则∠BCD=否-0： 设AD=x,则|cD=tx,BD=2x ICDl AD 在△ACD中 sinA sinLACD' 即sinA=tsin0, 在△BCD中 2x sn(停-可s血 即simB=m(昏-0）=sin(G-A)=9cosA-simA, 则吃sin(-0）+sin9=cosA→sin5cos(（后-0）=9cosA sin=cos(-0)..cosA=tsin()sinA=tsine, ÷1=sim2A+cos2A=2(sim2(g+月)+sim29）=t21-cos(20+)-cos20], 由和差化积公式可得c0s(20+)+cos20=cos(28+)c0s君=cos(20+君 则t2= 1nea月，9e(o,引.cos(20+月e19reh-2wa4, t∈[3-1,2)： 解法二：己知D为AB上靠近点A的一个三等分点， 则cD=2CA+CB，9cD2=4C2+CB2+4CA.CB, 答案第12页共14项 又ICD=tAD,由(1)知，C=,则B=-A, 则AD=行，cD=5.t2c2=4b2+a2-2ab, ..t2sin2C=sin2A +4sin2B-2sinAsinB. ÷2--icos2A-2cos(售-2A）-2sinA(停cosA-sinA) .t2=4-2V3sin2A, A∈(0，)2A∈(0，），sin2A∈(0,1]， 4-25≤t2<4,.3-1≤t<2. 19.(1)U1不是：U2是 (2)4 【分析】(1)根据三分集合的定义直接判断. (2)根据三分集合及完美三分数的概念举例说明： 【详解】（1)(i)U1=1,2,3,45,6不是三分集合，下面用反证法证明. 证明：假设U1={1,2,3,4,5,6}是三分集合， 设A={a1,a2},B={b1,b2},C={c,c2},不妨设C1<c2, 由a1+b1=C1,a2+b2=C2得， 则a1+a2+b1+b2+c1+c2=2(c1+c2)=1+2+3+4+5+6=21, 则c1+G2=号，这与c1,c2∈N矛盾， 故假设错误，故U1={1,2,3,4,5,6}不是三分集合： (ii)U2={1,3,5,7,8,9,10,11,123是三分集合. 理由如下：令A={1,3,5},B={9,7,8},C={10,11,12, 则AUBUC=U2=1,3,5,7,8,9,10,11,12},满足条件①： 且由1+9=10：3+8=11：5+7=12可知，满足条件②. 故U2={1,3,5,7,8,9,10,11,12}是三分集合 (2)由(1)可知，当n=2时，U={1,2,3,4,5,6}不是三分集合： 当n=3时，U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}； 假设U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}是三分集合， 同理由a1+a2+a3+b1+b2+b3+c1+c2+c3=2(c1+c2+c3)=1+2+…+9=45, 得到c1十+c9=经可推出与cc2,c3∈N矛盾， 答案第13页共14项 故假设也错误，故U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}不是三分集合： 当n=4时，U={1,2,,12}, 存在三个4元集合A={1,2,3,4},B={5,8,7,9},C={6,10,11,12}, 满足U={1,2,,12}为三分集合的两个条件. 故大于1的最小完美三分数为4. 答案第14页共14页