精品解析：2026年山东威海市环翠区塔山中学等校中考考前模拟数学试卷

九年级数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 在实数，，，3中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 3 2. 石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长，将0.0000000142用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家庭等都是必备的粮食度量用具．如图2，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），其中A转盘被分成相等的两个扇形，B转盘被分成相等的三个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代数学名著中有一题，其大意为：“现在有绫布和罗布，它们的长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入文，■”．设绫布有尺，则可得方程为．根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（ ） A. 买一尺绫布和一尺罗布一共需要文 B. 每尺绫布比每尺罗布便宜文 C. 绫布的总价比罗布的总价便宜文 D. 每尺绫布比每尺罗布贵文 7. 如图，点是正十二边形的中心，于点，则正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，轴，点B，D在反比例函数的图象上，若的面积是16，则k的值是（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 9. 如图，在中，，，，是边上的中线，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 一元二次方程有两个不相等的实数根，抛物线上有两点，下列条件中，一定能判断的是（    ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．只要求填出最后结果） 11. 因式分解：____________________． 12. 下表记录了甲、乙、丙三名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差： 甲 乙 丙 平均数 9.35 9.34 9.34 方差 6.6 6.9 6.7 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择_______． 13. 如图，在中，，，点为中点，点为边上的动点，且，连接，则的最小值为___________． 14. 老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置从开启到关闭及关闭后，温度与时间的变化图像，其中段是恒温阶段，段是恒温系统关闭阶段，是反比例函数图像的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为；②的值为；③温度在的时间有；④恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有．其中说法正确的是________（填序号）． 15. 观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），…，由此可发现：，，，…，请写出第6个数组：__． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算与化简求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．，下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：83，84，84，84，85，87，88． 八年级20名学生竞赛成绩是：62，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，96，97，98，98，99． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 a 83 众数 84 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生航天知识竞赛的成绩较好？请说明理由． （3）该校七年级有学生560人，八年级有学生500人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 18. 【课本重现】 你能用折纸、作图等方法得到一个菱形吗？动手试一试！ 小颖、小明和小刚三位同学分别做了以下操作： 【操作1】小颖同学按以下方式进行操作，如图1： 【操作2】小明同学按以下方式进行操作：如图2，在矩形的纸片上，利用无刻度直尺和圆规作对角线的垂直平分线分别交、于、两点，再连接，． 【操作3】小刚同学按以下方式进行操作：将两张相同的矩形纸片叠放在一起，可以重叠出菱形．当按如图3的方式将两个矩形的两个对角顶点重合进行叠放，得到的菱形边长最大． （1）请写出小颖这样操作的理论依据（提示：文字语言表述，说明理由即可）； （2）请按照操作2用尺规画出图形（保留作图痕迹，标明字母，不用写作法），并证明四边形是菱形； （3）已知如图3的矩形卡片中，，则此时菱形的边长为 ． 19. 【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间（分钟） 增加的电量 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程（千米） 显示电量 （1）【建立模型】：观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出关于的函数表达式及关于的函数表达式． （2）【解决问题】：某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点千米处的目的地，若电动汽车行驶千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，则电动汽车在服务区充电多长时间？（直接写出） 20. 九年级（1）班学生计划利用无人机测量宿舍楼的高度．如图，此时无人机在离地面的距离为，操控者从A处观测无人机D的仰角为，无人机D测得宿舍楼BC顶端点C处的俯角为，又经过人工测量测得操控者A和宿舍楼之间的距离为，点A，B，C，D，E都在同一平面上．求宿舍楼的高度（结果取整数）（参考数据：，，，）． 21. 如图，是的直径，点C，D在上，过点作直线分别交和的延长线于点E，F，且．连接，． （1）求证：是的切线； （2）过点作于点，交延长线于点，若，，求的长． 22. 已知二次函数，其中． （1）求该二次函数图象的对称轴； （2）若，当时，该二次函数的最大值与最小值的差等于9，求t的值； （3）若，是图象上不同的两点，当时，求m的值． 23. 在研究几何图形的变换规律时，常常遵循从一般到特殊、再从特殊到一般的探究思路，通过观察猜想、严谨推理、归纳提炼，开展研究． （1）【初步感知】如图1，在正方形的内部取一点E，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，则与的数量关系是____________；与的数量关系是____________． （2）【特例研究】如图2，在（1）的前提下，当时，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形． （3）【类比探究】如图3，在矩形中，，，在其内部取一点E，使，将线段绕点顺时针旋转得到线段，延长至点，使，连接，延长交的延长线于点． ①求证：四边形是矩形； ②连接，若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 在实数，，，3中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据，，，确定绝对值的大小，根据实数的大小比较，求解即可． 【详解】解：3是正数，，，均为负数， ∵正数大于负数， ∴3是最大的数； ，，的绝对值分别为，，，且，，， ∵， ∴， ∵ 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小， ∴， 故是最小的． 2. 石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长，将0.0000000142用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法表示数，先确定a，n，再写成的形式，其中，n为负整数． 【详解】解：根据题意，得． 故选：C． 3. 如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家庭等都是必备的粮食度量用具．如图2，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图的意义，判断解答即可． 【详解】解：“斗”的俯视图的是： ． 故选：C． 4. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方． 根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，对每个选项逐一计算判断即可． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误； 故选：C． 5. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），其中A转盘被分成相等的两个扇形，B转盘被分成相等的三个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法以及概率的计算方法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【详解】解：用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果如下： 共有6种等可能出现的结果，其中能配成紫色的有1种， 所以同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是， 故选：D． 6. 我国古代数学名著中有一题，其大意为：“现在有绫布和罗布，它们的长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入文，■”．设绫布有尺，则可得方程为．根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（ ） A. 买一尺绫布和一尺罗布一共需要文 B. 每尺绫布比每尺罗布便宜文 C. 绫布的总价比罗布的总价便宜文 D. 每尺绫布比每尺罗布贵文 【答案】A 【解析】 【分析】设绫布有尺，根据设出的未知数表示出两种布的单价，再结合给出的方程判断缺失条件． 【详解】解：设绫布有尺，由题意可知绫布和罗布总长为尺， 罗布的长度为尺， 绫布和罗布的总价均为文， 每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文， 已知方程为， 该方程的意义为：每尺绫布的价格与每尺罗布的价格之和为文，即买一尺绫布和一尺罗布一共需要文． 7. 如图，点是正十二边形的中心，于点，则正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，涉及正多边形性质、等腰三角形性质、三角函数定义等知识，根据正十二边形的性质、等腰三角形三线合一得到，在中，可得，恒等变形即可得到，熟记正多边形性质及三角函数定义是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 点是正十二边形的中心，于点， ， ， 在中，可得，则， 故选：C． 8. 如图，在中，轴，点B，D在反比例函数的图象上，若的面积是16，则k的值是（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例的性质，平行四边形的判定与性质，反比例函数的几何意义，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 设，分别交轴于两点，根据题意可得，分别为，的中点，且四边形为平行四边形，面积为的一半，根据的几何意义即可求解． 【详解】解：设，分别交轴于两点，连接，过作轴，如图， 由题意可得，四边形为矩形， 由对称性可得，过原点，则为线段和的中点， 根据题意可得，，， ∴，，即分别为，的中点， ∴四边形为平行四边形，且， ∴矩形的面积， 由反比例函数的几何意义可得， 由图象可得，图象过一、三象限，， ∴， D选项符合题意． 9. 如图，在中，，，，是边上的中线，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．利用勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出，过点作于点H，利用三角形面积公式求出，再求出，由余弦的定义代入数据计算即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵是边上的中线， ∴，， 过点作于点H， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：A． 10. 一元二次方程有两个不相等的实数根，抛物线上有两点，下列条件中，一定能判断的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线的图象与性质，涉及二次函数图形与轴交点与一元二次方程的根关系、二次函数的对称性等知识，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 先由二次函数图形与轴交点与一元二次方程的根关系得到抛物线的对称轴为，再结合抛物线上点的对称性分析，若，则由抛物线上点的对称性可知，对称轴，据此分析各个选项即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 则抛物线的对称轴是， 抛物线上有两点， 若，则由抛物线上点的对称性可知，， A、当时，，不符合题意； B、当时，，不符合题意； C、当时，，符合题意； D、当时，，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．只要求填出最后结果） 11. 因式分解：____________________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式完成因式分解． 【详解】解： ． 12. 下表记录了甲、乙、丙三名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差： 甲 乙 丙 平均数 9.35 9.34 9.34 方差 6.6 6.9 6.7 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择_______． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛． 【详解】解：∵甲的平均数较大，且甲的方差较小， ∴选择甲参加比赛， 故答案为：甲． 13. 如图，在中，，，点为中点，点为边上的动点，且，连接，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点M，连接，利用平行四边形的判定和性质，轴对称，勾股定理，三角形中位线，求解即可； 【详解】解：取的中点M，连接， ∵点为中点， ∴，， ∵在中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 作点C关于直线的对称点N，连接，设与的交点为G， 根据对称性质，得， ∴， ∵， ∴当三点共线时，即点F与点G重合时，取得最小值，且最小值为， 根据对称性质，得， ∴， 根据勾股定理，得， 故的最小值为； 14. 老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置从开启到关闭及关闭后，温度与时间的变化图像，其中段是恒温阶段，段是恒温系统关闭阶段，是反比例函数图像的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为；②的值为；③温度在的时间有；④恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有．其中说法正确的是________（填序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】水平线段代表恒温阶段，对应值就是恒温系统设定的温度；将点坐标代入反比例解析式中求出即可；恒温区间终点时间减去起点时间即可得出恒温持续时长；分别在升温一次函数和降温反比例函数两段求出对应的横坐标，后用右端点减去左端点即可得到恒温系统在一天内保持温度不低于的总时长． 【详解】解：段是恒温阶段，对应的纵坐标为， 恒温系统设定的温度为，故①正确； 由题意得段过，代入得，解得，故②错误； 段温度在， 温度在的时间有，故③正确； 如图， 由题意得段过，， 设线段的表达式为，（）， 把，代入得，解得， 故线段的表达式为，（）， 令得，解得， 令，解得， 恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有，故④正确． 15. 观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），…，由此可发现：，，，…，请写出第6个数组：__． 【答案】（13，84，85） 【解析】 【分析】先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答． 【详解】解：∵①3＝2×1+1，4＝2×12+2×1，5＝2×12+2×1+1； ②5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1； ③7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1； ④9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1； ⑤11＝2×5+1，60＝2×52+2×5，61＝2×52+2×5+1， 则⑥13＝2×6+1，2×62+2×6＝84，2×62+2×6+1＝85， 故答案为：（13，84，85）． 【点睛】本题考查了勾股数的规律探究问题，解题的关键是根据题中给出的勾股数，找出其中的规律，从而写出第5，第6个数组． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算与化简求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别算出乘方，负指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，再根据实数的混合运算法则计算即可； （2）根据分式的混合运算法则先化简，再代入计算，分母有理化即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 17. 学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．，下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：83，84，84，84，85，87，88． 八年级20名学生竞赛成绩是：62，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，96，97，98，98，99． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 a 83 众数 84 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生航天知识竞赛的成绩较好？请说明理由． （3）该校七年级有学生560人，八年级有学生500人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 【答案】（1）84，86，30 （2） 七年级学生的航天知识竞赛成绩较好，理由：因为两个年级的平均数相同，但七年级学生的中位数大于八年级的中位数，所以该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好； （3）293人 【解析】 【分析】（1）利用扇形百分比计算C、D组人数，根据中位数定义找排序后中间两数求中位数，识别出现次数最多的数据得到众数，再通过百分比总和求m的值； （2）根据题干所给信息分析即可； （3）用样本中不低于90分的占比，估算七、八年级对应人数，求和得到总估计人数． 【小问1详解】 解：解：七年级名学生竞赛成绩在组中的数据有（人），在组中的数据有（人）， ∵七年级竞赛成绩的中位数是数据从小到排列后的第和个数据，且数据从小到排列后的第和个数据是，， ∴， ∵八年级名学生竞赛成绩中出现次数最多的是， ∴， ∵七年级名学生竞赛成绩在组中的数据共个， ∴， ∴. 【小问2详解】 解：略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是293人． 18. 【课本重现】 你能用折纸、作图等方法得到一个菱形吗？动手试一试！ 小颖、小明和小刚三位同学分别做了以下操作： 【操作1】小颖同学按以下方式进行操作，如图1： 【操作2】小明同学按以下方式进行操作：如图2，在矩形的纸片上，利用无刻度直尺和圆规作对角线的垂直平分线分别交、于、两点，再连接，． 【操作3】小刚同学按以下方式进行操作：将两张相同的矩形纸片叠放在一起，可以重叠出菱形．当按如图3的方式将两个矩形的两个对角顶点重合进行叠放，得到的菱形边长最大． （1）请写出小颖这样操作的理论依据（提示：文字语言表述，说明理由即可）； （2）请按照操作2用尺规画出图形（保留作图痕迹，标明字母，不用写作法），并证明四边形是菱形； （3）已知如图3的矩形卡片中，，则此时菱形的边长为 ． 【答案】（1）小颖的操作中，虚线为四边形的边，而四边形的边为重合的同一虚线，即四边形的四条边相等，故沿虚线剪下的四边形是菱形 （2）， 证明：设交于点， 是的垂直平分线， ， ， ，， 在和中， ， ， 是的中垂线， ，， ， 四边形是菱形； （3） 【解析】 【分析】（1）两次对折后剪下的三角形展开后得到的四边形四条边完全相等，利用四条边相等的四边形为菱形判定所得图形是菱形； （2）尺规作图：分别以点，点为圆心，取大于的长度为半径画弧，两弧交于两点，连接这两点分别交、于、两点，则为所求的的垂直平分线，再连接，即可；由垂直平分线得到，利用矩形证，得到；再根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等，得到，，推出四条边相等，从而可证明四边形为菱形； （3）先利用证明，从而得到线段等量关系，设菱形边长为，在直角三角形中，利用勾股定理列出方程，求解即可得到菱形边长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，设点的对应点为点，交于点， 在和中， ， ， ，， 设，则， 在中，， ， 化简得，解得， ， 此时菱形的边长为． 19. 【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间（分钟） 增加的电量 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程（千米） 显示电量 （1）【建立模型】：观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出关于的函数表达式及关于的函数表达式． （2）【解决问题】：某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点千米处的目的地，若电动汽车行驶千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，则电动汽车在服务区充电多长时间？（直接写出） 【答案】（1）， （2）分钟 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）求出行驶千米后电动汽车仪表盘显示电量，再计算充电分钟后增加的电量，从而计算出充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量；计算出在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量，从而求出行驶完剩余的路程消耗的电量，再根据“充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量消耗的电量”列方程，求出的值即可． 【小问1详解】 解：①设关于的函数表达式为（为常数，且）， 将，代入，得， 解得， 关于的函数表达式为； ②设关于的函数表达式为（、为常数，且）， 将，和，分别代入得， 解得， 关于的函数表达式为； 【小问2详解】 当时，， 行驶千米后，电动汽车仪表盘显示电量为，充电分钟后，增加的电量为， 充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量为， 若在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量为， 行驶完剩余的路程消耗的电量为， ， 解得， 答：电动汽车在服务区充电分钟． 20. 九年级（1）班学生计划利用无人机测量宿舍楼的高度．如图，此时无人机在离地面的距离为，操控者从A处观测无人机D的仰角为，无人机D测得宿舍楼BC顶端点C处的俯角为，又经过人工测量测得操控者A和宿舍楼之间的距离为，点A，B，C，D，E都在同一平面上．求宿舍楼的高度（结果取整数）（参考数据：，，，）． 【答案】32米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质等知识．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 由题意知，，，，，则，，过点作于，则四边形是矩形，，，，，可得 ，，计算求解，进而可求． 【详解】解：由题意知，，，，， ∴， ∴， 如图，过点作于，则四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 宿舍楼的高度约为． 21. 如图，是的直径，点C，D在上，过点作直线分别交和的延长线于点E，F，且．连接，． （1）求证：是的切线； （2）过点作于点，交延长线于点，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，先由圆周角定理得，由得，由得，即可得，可证，进而得即，结合是的半径即可证明； （2）先的半径是2，设，则，，在中利用勾股定理列方程求解可得、，通过“三个角是直角的四边形是矩形”证得四边形是矩形求出，进而得，设，用含的式子表示、，由得，利用相似比列方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，交延长线于点， ∵是的直径，， ∴半径， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即， 解得，即． 22. 已知二次函数，其中． （1）求该二次函数图象的对称轴； （2）若，当时，该二次函数的最大值与最小值的差等于9，求t的值； （3）若，是图象上不同的两点，当时，求m的值． 【答案】（1）直线 （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）根据二次函数的对称轴公式求解即可； （2）有得到表达式，然后求出当时，二次函数有最小值3，求出当时，，然后根据题意得到当时，，然后代入求解即可； （3）根据题意得到，然后得到点和点关于对称轴对称，即可得到． 【小问1详解】 ∵二次函数 ∴对称轴为直线； 【小问2详解】 若， ∴二次函数 ∴当时，二次函数有最小值3 ∴当时， ∵当时，该二次函数的最大值与最小值的差等于9， ∴当时， ∴ 解得（舍去）或； 【小问3详解】 ∵若，是图象上不同的两点，当时， ∴ 由（1）得，该二次函数图象的对称轴为直线 ∴点和点关于对称轴对称 ∴． 23. 在研究几何图形的变换规律时，常常遵循从一般到特殊、再从特殊到一般的探究思路，通过观察猜想、严谨推理、归纳提炼，开展研究． （1）【初步感知】如图1，在正方形的内部取一点E，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，则与的数量关系是____________；与的数量关系是____________． （2）【特例研究】如图2，在（1）的前提下，当时，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形． （3）【类比探究】如图3，在矩形中，，，在其内部取一点E，使，将线段绕点顺时针旋转得到线段，延长至点，使，连接，延长交的延长线于点． ①求证：四边形是矩形； ②连接，若，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）利用正方形边长相等、内角为直角，结合旋转得边相等、旋转角，等量代换推出夹角相等，通过证三角形全等，得出边与角的关系． （2）借助全等三角形对应角相等得到直角，结合旋转直角，判定四边形为矩形；再由旋转性质得邻边相等，进而证出正方形． （3）①由矩形与旋转性质推出两组角相等，结合已知边长比例，证两边成比例且夹角相等，得到三角形相似；利用相似传递直角，依据三个内角为直角判定矩形．②按比例设未知数，结合矩形性质转化线段；作垂线构造相似三角形，把线段统一用含未知数式子表示；在直角三角形中套用勾股定理列方程求解，算出最终线段长度． 【小问1详解】 解：四边形是正方形 由旋转性质得： 在和中 ； 【小问2详解】 证明：由（1）得 又，则， 由旋转知， 四边形有三个内角为直角， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形； 【小问3详解】 ①证明四边形是矩形， ， 由旋转性质得：，， ， ， 已知，又，， ，即， 在与中 ， ， ， 又，可得，且， 四边形三个内角均为直角， 四边形是矩形， ②解：设， 绕点顺时针旋转得到， ， ∵， ， ∵四边形为矩形， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 过点作，垂足落在线段上， ， 四边形是矩形， ，， ， 又， ， 在和中 ∴， ， ， ， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理可得：， ， ， ， 线段长度为正数，且点在矩形内部， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $