精品解析：2026年山东省威海市九年级中考 考前模数学试题

2026年威海市初中学业考试模拟试题（三） 数学 本试卷共7页，满分120分．考试时长120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一项符合题目要求． 1. 的相反数的绝对值是（ ） A. － B. 2 C. －2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值与相反数的性质先求出的相反数，再求出绝对值即可解答． 【详解】解：的相反数是，的绝对值还是． 故选：． 【点睛】本题主要考查相反数与绝对值的意义，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 2. 如图是一个放在水平桌面上的半球体，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可． 本题考查的是简单组合体的三视图的作图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形． 【详解】解：从正面看，该几何体的主视图是为： ， 故选：A． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查零次幂，熟练掌握零次幂是解题的关键；根据零指数幂的性质，任何非零数的0次幂都等于1，由此问题可求解． 【详解】解：∵（其中）， ∴； 故选C． 4. 根据第七次全国人口普查结果，日照市常住人口约为297万人，297万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10n，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：297万=2970000=． 故选：A． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键． 5. 已知一组数据：3，3，4，6，若再添加一个数据4得到一组新数据，则这组新数据的统计量不会发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查数据统计量的变化，需逐一计算原数据与添加数据后的新数据的平均数、众数、中位数和方差，判断是否发生变化． 【详解】原数据为3、3、4、6，添加一个4后，新数据为3、3、4、4、6． ∴原平均数：，新平均数： ∴平均数未变，故A选项符合题意； 原众数为3（出现2次）； 新数据中3和4均出现2次， ∴众数变为3和4． ∴众数改变，故B选项不符合题意； 原数据排序后为3、3、4、6，中位数为； ∴新数据排序后为3、3、4、4、6，中位数为4． ∴中位数改变，故C选项不符合题意； 原方差：； 新方差：． ∴方差改变，故D选项不符合题意； 故选A． 6. 如图，在的网格中构造正方形，以长度为半径，数轴的原点为圆心画圆，交数轴正半轴于点，在的右侧取最近整数点；再以为圆心，长为半径画圆，交数轴正半轴于点，在的右侧取最近整数点：以为圆心，长为半径画圆，交数轴正半轴于点．以此类推，点在数轴上对应的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用勾股定理求出的长，确定对应的数，进而求出，，，等点对应的数，通过观察数据找出的规律，最后代入的值求解． 【详解】解：由图可知，点坐标为，点坐标为， ∴， ∵以长度为半径，原点为圆心画圆交数轴正半轴于点， ∴对应的数为， ∵，在的右侧取最近整数点， ∴对应的数为3， ∵以为圆心，长为半径画圆交数轴正半轴于点， ∴， ∴对应的数为， ∵，在的右侧取最近整数点， ∴对应的数为4， ∵以为圆心，长为半径画圆交数轴正半轴于点， ∴， ∴对应的数为， 同理可得对应的数为5，对应的数为，   ， 观察规律可知：  对应的数为，  对应的数为，   ， 对应的数为， ∵， ∴对应的数为． 故选：A． 7. 如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点，，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．一次函数的图象落在轴及其上方的部分对应的自变量的取值范围即为不等式的解集． 【详解】解：一次函数的图象分别与轴，轴交于点，， 关于的不等式的解集为． 故选：A． 8. 如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°．若AH＝2，AD＝5＋．则四边形EFGH的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明四边形EFGH为平行四边形，作交于点P，交于点K，设，表示出，，，，进一步表示出，，，利用勾股定理即可求出a的值，进一步可求出边形EFGH的周长． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴，， ∵，， ∴，， 在和中， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴四边形EFGH为平行四边形， 作交于点P，交于点K， 设， ∵，，，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴ABKH为矩形，即， ∵，， ∴， 即， 解得：， ∴四边形EFGH的周长为：， 故选：A. 【点睛】本题考查矩形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，解题的关键是利用求出a的值． 9. 如图，等边中，D、E分别在边上，且将绕点E顺时针旋转60°，得到，取中点G，连接，延长交于点H．若，则长是（　　） A. B. 9 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】在上截取，连接，则利用等边三角形的性质得，再根据旋转的性质得到，接着可证明，得到，则，所以平分；延长交于N，作于O，于P，根据等边三角形的性质得垂直平分，所以，利用平行线分线段成比例定理得到，则，，则，所以于是，然后利用得到，所以，易得，再利用进行计算即可． 【详解】 解：在上截取，连接， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵将线段绕点E顺时针旋转60°，得到线段， ∴， ∴， 而， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； 延长交于N，作于O，于P， ∵平分 ∴垂直平分，， ∴， ∴，即， ∵G点为的中点， ∴， ∴，即 ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的性质等知识，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，本题难度较大． 10. 已知四个整式，，，，现对四个整式进行如下操作：任取其中三个整式相加后取其绝对值再减去第四个整式，根据不同的选择可得到四个结果，，，，称为第一次操作；按照上述方法对，，，再进行一次操作，可得到四个结果，，，，称为第二次操作；以此类推…，下列说法： ①若，，，，则四个结果，，，的和为14； ②若，，，，则存在一个的值是方程的实数根； ③若，且满足关于的二次函数的对称轴在轴右侧，则第次操作的结果为，，，． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，读懂题意，理解题中的操作方式是解题的关键，根据题中提供的操作方式对①计算四个整式第一次操作后的结果并求和；②分析是否存在使四个结果之和为0；③验证每次操作后的结果是否满足递推关系． 【详解】解：①：由题可得：，，，，四个整式为，0，3，7， ∴第一次操作结果： 若选：，则， 若选：，则， 若选：，则， 若选：，则， ∴， ∴①正确； ②：∵四个整式为，4，3，， 若选：，则， 若选：，则， 若选：，则， 若选：，则， 则第一次操作结果之和为：， 当时，和为， 对于，， ∴方程无实根； 当时，和为， 对于，解得，但矛盾， ∴方程无解， ∴②错误； ③：∵， ∴四个整式为，，，， ∵二次函数的对称轴在轴右侧， ∴，即， ∴第一次操作结果为，，，； 第二次操作结果为，，，； 以此类推，第次结果为，，，， ∴③正确； 结论：①③正确， 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若关于的一元一次不等式组至少有两个整数解；且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是______． 【答案】20 【解析】 【分析】根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的非负数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论． 本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数及分式方程的解确定a的取值范围． 【详解】解：∵ ， 解不等式①得：； 解不等式②得， ∴的解集为， ∵不等式组至少有两个整数解， ∴， 解得； ∵， 去分母得：， 整理，得， 故， ∵方程有非负数整数解， ∴， ∴， ∵时，是方程的增根， 此时，无意义，舍去， ∴或或或且 ∴符合题意的整数a的值为， ∴符合条件的所有整数a的和是， 故答案为：． 12. 从﹣1，2，4，﹣8这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点（m，n）在函数y＝图象上的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点（m，n）恰好在反比例函数y＝图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，点（m，n）恰好在反比例函数y＝图象上的有：（﹣1，﹣8），（2，4），（4，2），（﹣8，﹣1）， ∴点（m，n）在函数y＝图象上的概率是：． 故答案为． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 13. 如图，在中，，，，都是的中线，点是的中点，若，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】证明△BCE是等边三角形，求出BE=CE=BC=2，由D是BC的中点可得结论． 【详解】解：在中，， ∵是的中线， ∴ ∵， ∴是等边三角形 ∴ ∵点是的中点，且， ∴ ∵是边上的中线， ∴ 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和三角形中线的性质，证明是等边三角形是解答此题的关键． 14. 如图，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，连接．若阴影部分的面积为，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题可利用扇形面积公式以及三角形面积公式，用大扇形面积减去空白部分面积求得阴影部分面积，继而根据已知列方程求解． 【详解】将原图区域划分为四部分，阴影部分分别为S1，S2；两块空白分别为S3，S4，连接DC，如下图所示： 由已知得：三角形ABC为等腰直角三角形，S1+ S2=π-1， ∵BC为直径， ∴∠CDB=90°，即CD⊥AB， 故CD=DB=DA， ∴D点为 中点，由对称性可知与弦CD围成的面积与S3相等． 设AC=BC=x， 则， 其中 ，， 故：， 求解得：（舍去） 故答案：2． 【点睛】本题考查几何图形面积的求法，常用割补法配合扇形面积公式以及三角形面积公式求解． 15. 如图，在矩形中，，，点是边上一动点，将沿折叠，使得点落在点处，点分别到的距离分别记为．若，则的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况：当点在矩形内时，过点作交于，交于；当点在矩形外，过点作交于，交于点，则四边形是矩形，分别利用矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，当点在矩形内时，过点作交于，交于， ， 则四边形是矩形， ， ， 点分别到的距离分别记为，， ， ，， 由折叠可知：，， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ； 如图，当点在矩形外，过点作交于，交于点，则四边形是矩形， ， ， 点分别到的距离分别记为，， ，即， ，， 由折叠可知：，， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知． （1）若． ①直接写出的值为________； ②求的值； ③求的值． （2）若，求的最小值． 【答案】（1）① ② ③ （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，平方差公式及完全平方公式的应用，关键是灵活应用知识点解题； （1）①直接根据平方差公式计算即可； ②先通分，再展开，然后将的结果代入即可； ③先提出，再仿照②解答； （2）由已知得，再将待求式整理为含，的式子，然后分两种情况讨论最小值即可． 【小问1详解】 ①解：由题意得：． 故答案为：； ②解：∵， ∴ ∴原式； ③解：原式 ； 【小问2详解】 解：由题意得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵有实数根， ∴， 即： 当时，，， 即： ∴原式 ， ∵， ∴当时， 上式最小，最小值为：， 当时，，， 即： ∴原式 ， ∵， ∴当时， 上式的值最小，最小值为； 综上所述，的最小值为． 17. 某校对七年级600名学生的视力进行检测．现从中随机抽取了40名学生的视力数据进行了整理、描述、分析，绘制了如下统计图表（每组包含最小值，不包含最大值）： 视力情况频数分布表 组别 1组 2组 3组 4组 视力范围 频数 7 a b 10 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全频数直方图； （2）视力范围在扇形统计图中对应扇形的圆心角的度数是______； （3）请估计该校视力在4.7及以上的人数； （4）根据《国家学生体质健康标准》，初中生裸眼视力应达4.7及以上．结合以上信息，提出你的两条建议． 【答案】（1） 补全频数直方图，如图所示： （2） （3）人 （4）依题意，建议一：多做眼保健操；建议二：减少看电子产品． 【解析】 【分析】本题考查了频数直方图与扇形统计图，求扇形统计图的圆心角，样本估计总体，补全频数直方图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合扇形统计图的占比求出视力范围的人数，再求出视力范围的人数，即可补全频数直方图； （2）运用视力范围人数的占比乘上，即可得出对应扇形的圆心角的度数； （3）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． （4）根据初中生裸眼视力应达4.7及以上，故建议多做眼保健操以及减少看电子产品． 【小问1详解】 解：依题意，（人） 则（人） 【小问2详解】 解：， ∴视力范围在扇形统计图中对应扇形的圆心角的度数是； 故答案为： 【小问3详解】 解：（人） ∴该校视力在4.7及以上的人数为人； 【小问4详解】 略 18. 如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）①若的面积为15，则的面积为__________； ②当的度数为__________时，四边形是菱形． 【答案】（1）证明：，， ，， ， ， ， ， 又为的半径， 是的切线； （2）①60；②． 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质得出，证出，由已知条件得出，即可得出结论； (2)①根据平行线的性质得出，得出，，即可得出结果； ②证出是等边三角形，得出，证出是等边三角形，，证出是等边三角形，得出，因此，证出四边形是平行四边形，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ， ∴； ②当的度数为时，四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ，， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 19. 某超市销售A、B两种品牌的洗衣液，已知A品牌洗衣液每瓶进价为25元，售价为35元；B品牌洗衣液每瓶进价为15元，售价为20元． （1）若超市购进A、B两种品牌洗衣液共100瓶，花费2100元，求购进A、B两种品牌洗衣液各多少瓶? （2）在（1）的条件下，全部售出后可获得多少利润? （3）若超市计划购进A、B两种品牌洗衣液共100瓶，且总利润不低于850元，求至少购进A品牌洗衣液多少瓶? 【答案】（1）购进A品牌洗衣液60瓶，B品牌洗衣液40瓶 （2）800元 （3）至少购进A品牌洗衣液70瓶 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、有理数运算的应用等知识，正确理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设购进A品牌洗衣液瓶，购进B品牌洗衣液瓶，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案； （2）根据“利润=单瓶销售利润数量”，将两种品牌洗衣液的销售利润求和即可； （3）设购进A品牌洗衣液瓶，则购进B品牌洗衣液瓶，根据题意列出一元一次不等式并求解，即可获得答案． 【小问1详解】 解：设购进A品牌洗衣液瓶，购进B品牌洗衣液瓶， 根据题意，可得， 解得 ， 答：购进A品牌洗衣液60瓶，B品牌洗衣液40瓶； 【小问2详解】 （元）， 答：全部售出后可获得利润800元； 【小问3详解】 设购进A品牌洗衣液瓶，则购进B品牌洗衣液瓶， 根据题意，可得 ， 解得 ， 答：至少购进A品牌洗衣液70瓶． 20. 图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别)，其示意图如图2所示，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头的高度，识别的最远水平距离．( 参考数据：，， ，，，) （1）若直立站在离摄像头水平距离的点C处，请求出该人脸识别系统能识别的最大身高； （2）小兰身高，头部高度为，无法被该人脸识别系统识别，所以物业将摄像头的仰角、俯角都调整为 (如图3)，此时小兰能被识别吗？请计算说明． 【答案】（1） （2） 能，理由如下： 如图：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点P，则，    在中，， ， ， ， ， ． ∵， ∴ ∴小兰能被识别． 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用、锐角三角函数中的正切值、矩形的性质、三角形的全等知识点，熟练掌握相关概念、性质是解题的关键． （1）如图：过点C作的垂线分别交仰角、俯角线于点E、D，交水平线于点F，根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，从而求出最大身高； （2）如图：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点P，则，根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，再求出长度，然后与头部以下身高比较即可解答． 【小问1详解】 解：如图：过点C作的垂线分别交仰角、俯角线于点E、D，交水平线于点F，     在中，． ． ， ∴， ， ， ∴该人脸识别系统能识别的最大身高． 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，，，，是的外接圆，是延长线上一点，且，连接，点是射线上的动点 （1）求证：是的切线； （2）的长度为多少时，的度数最大，最大度数是多少？请说明理由； （3）点运动的过程中，的值能否达到最小，若能，求出这个最小值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）当时，的度数达到最大为90°；理由见解析；（3）能； 的最小值为． 【解析】 【分析】（1）本题首先通过外角性质求解∠AOB度数，继而确定等边△AOB，随即利用边的长度证明BD=BA以求得∠D度数，最后求得∠DAO度数结合半径判定切线． （2）本题根据点P分别在DA上，与A重合，在DA延长线上三种情况分类讨论，与A重合时利用三角函数知识求解AC，继而根据等腰性质求解DP；其他两种情况需要利用三角形外角性质并结合同弧所对的圆周角相等进行判断． （3）本题作点C关于DA的对称点，进而确定点P位置，继而利用对称性质判定等边△，继而求解、，最后利用勾股定理求解本题． 【详解】（1）连接，如下图所示： ， ． ， 是等边三角形． ， ． 又， ． ． ， ， 为的半径， 是的切线． （2）根据点P不同位置，本题分三种情况讨论，如下图所示： ①当点运动到处，即点P与点A重合时， 由第一问可知∠D=∠ACB=30°，故AD=AC=DP，且∠BAC=∠BPC=90° ∵BC=4， ∴； ②当点在的延长线上时，连接，交于点，连接， 因为， 则； ③当点在线段上时，同②方法得，． 综上，当时，的度数最大，最大度数为90°； （3）能． 作点关于射线的对称点，连接，，交于点，如下图所示： 则， 当点、、三点共线时，的值最小，最小值为的长度， 过点作于点，连接． 由第一问可知，故结合对称性质有， ∴为等边三角形． 为的中点． ∵，， ，． 在中，根据勾股定理得： ． 的最小值为． 【点睛】本题考查圆与动点的综合问题，切线判定掌握两条原则，即是半径、是直角；涉及动点问题常需要分类讨论，解题时首先选取特殊情况求解，借此观察一般情况下动点运动规律；线段和最值问题通常利用对称性质做辅助线解答，可与将军饮马模型进行对比练习． 22. 已知四边形中，，，． 　　 （1）如图1，求证：四边形为平行四边形； （2）如图2，过A作于E，若，平分．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，M是上一点，连接，H为的中点，连接，若，，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）先作，，证明四边形为矩形，然后通过三角形全等证明且，而得证； （2）过点D作，交延长线于点H，延长至M，使，首先证四边形为正方形，然后证明，最后得出结论； （3）延长至K，使，连接，过F作．设，，，首先证明并求出，，然后解得，而后在、、中，用勾股定理，求解得出，而得． 【小问1详解】 过点A作于G， 过点D作交延长线于H， ，可证明四边形为矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形ABCD为平行四边形． 【小问2详解】 过点D作，交延长线于点H， 延长至M，使，设， 由（1）得， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴矩形为正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 如下图3，设，∵， ∴， ∴， 设，∵， ∴， 延长至K，使，连接， ∴中垂， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 解得 ∵，， 解得， ∵H是中点， ∴， 过F作， 在、、中，设， 勾股定理：， ， 解得或（舍）， ∴． 【点睛】此题是四边形的综合题，主要考查了平行四边形、正方形、等腰三角形的判定，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，熟练运用相关的性质、定理去推理论证是解题的关键．添加辅助线也是此题的一大难点． 23. 如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． （1）求该抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系； （3）在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），顶点的坐标为 （2），且 （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）直线与抛物线交于A、E两点，可得点A和点E坐标，再求出点B、C的坐标分别为：、，利用待定系数法即可求解； （2）分别求出和的长，根据待定系数法求出直线的解析式，即可求解； （3）分、、三种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：直线与抛物线交于、两点， ∴令，则，解得； 令,则， ∴点，点． ，， 点B的坐标为， 故抛物线的表达式为， 将点的坐标代入，得， 解得， 抛物线的表达式为， 顶点的坐标为． 【小问2详解】 解：，且，理由： ，， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 故直线的解析式为． 、点， ， 故； 直线的解析式为，直线的解析式为， 故将直线向上平移个单位得到直线， ， 故，且． 【小问3详解】 解：存在，点的坐标为或． 设点，点，，而点， 联立， 得，， ∴，， ∵P点在直线的上方， ∴． ①当时， 如图，过点作轴的平行线，过点、点作轴的平行线，交过点且平行于轴的直线于点、， ，， ， ，， ， ，， 即，， 解得． 当时，， 解得，（舍去）， 点． ②当时，如图，过Q点作y轴的垂线，过P、H分别作的垂线，交于M、N两点， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵, ∴， ∴，， ∴，， 解得，， 又∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴． ③当时， 当点在抛物线对称轴的右侧时，如图， 点在的下方，与题意不符，舍去； 当点在抛物线对称轴的左侧时，如图，过H点作直线轴，分别过P、Q点作直线的垂线，垂足分别为M、N ， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， 解得， 又∵， ∴， 解得（舍去），， 故点． 综上可得，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，难度较大，涉及到一次函数、三角形全等，要注意分类求解，避免遗漏．熟练掌握这些性质、判定、二次函数的图象和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年威海市初中学业考试模拟试题（三） 数学 本试卷共7页，满分120分．考试时长120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一项符合题目要求． 1. 的相反数的绝对值是（ ） A. － B. 2 C. －2 D. 2. 如图是一个放在水平桌面上的半球体，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 4. 根据第七次全国人口普查结果，日照市常住人口约为297万人，297万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一组数据：3，3，4，6，若再添加一个数据4得到一组新数据，则这组新数据的统计量不会发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 6. 如图，在的网格中构造正方形，以长度为半径，数轴的原点为圆心画圆，交数轴正半轴于点，在的右侧取最近整数点；再以为圆心，长为半径画圆，交数轴正半轴于点，在的右侧取最近整数点：以为圆心，长为半径画圆，交数轴正半轴于点．以此类推，点在数轴上对应的数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点，，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°．若AH＝2，AD＝5＋．则四边形EFGH的周长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，等边中，D、E分别在边上，且将绕点E顺时针旋转60°，得到，取中点G，连接，延长交于点H．若，则长是（　　） A. B. 9 C. D. 3 10. 已知四个整式，，，，现对四个整式进行如下操作：任取其中三个整式相加后取其绝对值再减去第四个整式，根据不同的选择可得到四个结果，，，，称为第一次操作；按照上述方法对，，，再进行一次操作，可得到四个结果，，，，称为第二次操作；以此类推…，下列说法： ①若，，，，则四个结果，，，的和为14； ②若，，，，则存在一个的值是方程的实数根； ③若，且满足关于的二次函数的对称轴在轴右侧，则第次操作的结果为，，，． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若关于的一元一次不等式组至少有两个整数解；且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是______． 12. 从﹣1，2，4，﹣8这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点（m，n）在函数y＝图象上的概率是_____． 13. 如图，在中，，，，都是的中线，点是的中点，若，则______． 14. 如图，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，连接．若阴影部分的面积为，则______． 15. 如图，在矩形中，，，点是边上一动点，将沿折叠，使得点落在点处，点分别到的距离分别记为．若，则的长为___________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知． （1）若． ①直接写出的值为________； ②求的值； ③求的值． （2）若，求的最小值． 17. 某校对七年级600名学生的视力进行检测．现从中随机抽取了40名学生的视力数据进行了整理、描述、分析，绘制了如下统计图表（每组包含最小值，不包含最大值）： 视力情况频数分布表 组别 1组 2组 3组 4组 视力范围 频数 7 a b 10 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全频数直方图； （2）视力范围在扇形统计图中对应扇形的圆心角的度数是______； （3）请估计该校视力在4.7及以上的人数； （4）根据《国家学生体质健康标准》，初中生裸眼视力应达4.7及以上．结合以上信息，提出你的两条建议． 18. 如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）①若的面积为15，则的面积为__________； ②当的度数为__________时，四边形是菱形． 19. 某超市销售A、B两种品牌的洗衣液，已知A品牌洗衣液每瓶进价为25元，售价为35元；B品牌洗衣液每瓶进价为15元，售价为20元． （1）若超市购进A、B两种品牌洗衣液共100瓶，花费2100元，求购进A、B两种品牌洗衣液各多少瓶? （2）在（1）的条件下，全部售出后可获得多少利润? （3）若超市计划购进A、B两种品牌洗衣液共100瓶，且总利润不低于850元，求至少购进A品牌洗衣液多少瓶? 20. 图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别)，其示意图如图2所示，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头的高度，识别的最远水平距离．( 参考数据：，， ，，，) （1）若直立站在离摄像头水平距离的点C处，请求出该人脸识别系统能识别的最大身高； （2）小兰身高，头部高度为，无法被该人脸识别系统识别，所以物业将摄像头的仰角、俯角都调整为 (如图3)，此时小兰能被识别吗？请计算说明． 21. 如图，在中，，，，是的外接圆，是延长线上一点，且，连接，点是射线上的动点 （1）求证：是的切线； （2）的长度为多少时，的度数最大，最大度数是多少？请说明理由； （3）点运动的过程中，的值能否达到最小，若能，求出这个最小值；若不能，请说明理由． 22. 已知四边形中，，，． 　　 （1）如图1，求证：四边形为平行四边形； （2）如图2，过A作于E，若，平分．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，M是上一点，连接，H为的中点，连接，若，，，求的长． 23. 如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． （1）求该抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系； （3）在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $