专题12 角 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题12 角 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.角的基础认知：掌握角的双重定义、构成要素与四种规范表示方法； 2.角的度量体系：认识度、分、秒，掌握六十进制换算规则与基础角度运算； 3.特殊角与生活角：掌握直角、平角、周角及钟面角、方向角基础概念； 4.角的等分关系：掌握角平分线的定义与几何数量关系； 5.两角特殊数量关系：掌握余角、补角的定义与核心性质。 ✅本节涵盖角的定义、标注、度量换算、特殊角、角平分线及余补角内容，兼顾基础识记与初步几何推理，是初中几何角度运算与简单证明的重要基础。 ✺学习目标 1.基础知识：掌握角的双重定义、构成要素与规范表示方法；认识度、分、秒度量单位，熟记六十进制换算规则；掌握特殊角、钟面角、方向角概念；理解角平分线、余角与补角的定义及性质。 2.能力提升：能规范识别、标注图形中的角，熟练完成度、分、秒换算与基础运算；可从实物中抽象角的几何模型，具备基础钟面角辨识能力；能利用角平分线、余补角性质完成简单角度推导与计算。 3.综合素养：建立角的几何直观与空间观念，体会几何知识的严谨规范；培养观察辨析、精准运算、逻辑推理的数学思维，提升几何知识的生活应用能力。 ✺题型归纳 题型1.角的概念理解 题型2.角的表示方法 题型3.角的分类 题型4.画特殊角 题型5.钟面角 题型6.方向角的表示 题型7.与方向角有关的计算题 题型8.角的单位与角度制 题型9.角的度数大小比较 题型10.角的比较 题型11.三角板中角度计算问题 题型12.几何图形中角度计算问题 题型13.角度的四则运算 题型14.实际问题中角度计算问题 题型15.角平分线的有关计算 题型16.角n等分线的有关计算 题型17.求一个角的余角 题型18.求一个角的补角 题型19.与余角、补角有关的计算 题型20.同(等)角的余(补)角相等的应用 题型21.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、角的定义与构成 1.静态定义：由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角，公共端点为角的顶点，两条射线为角的两边。如下图：点O是角的顶点，OA、OB是角的两条边。 2.动态定义：角可以看作一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形。把起始位置的射线叫做始边，终止位置的射线叫做终边。如下图：图中的角可以看作射线OA绕着点O旋转到OB而形成的。 3.核心构成要素 角由一个顶点、两条射线边构成。角的大小仅与两边张开的幅度有关，与边长无关。 知识点二、角的规范表示方法 角有四种规范表示方法，需结合图形特点合理选用： 1.三字母表示法：通用方法，顶点字母居中，如∠AOB，适用于所有角，无使用限制。 2.当同一个顶点处只有一个角时，才可以只用顶点一个字母表示角； 3.数字表示法：角内部标注数字，记作∠1、∠2，多用于复杂图形，简洁直观。 4.希腊字母表示法：角内部标注小写希腊字母，记作∠α、∠β，为几何通用规范。 知识点三、角的度量单位与换算 ▲角的度量单位为度、分、秒，采用六十进制，是本节核心计算考点。 1.角的度量仪器：量角器。 2.角的度量单位：度、分、秒。 3.角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制。 把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″。即1°=60′，1′=60″，1′=，1″=。 换算规则：大单位换小单位乘60，小单位换大单位除以60，逐级换算。 知识点四、常见特殊角 根据射线旋转位置，教材定义三类特殊角： 平角：终边与始边成直线，1平角=180°； 周角：终边与始边重合，1周角=360°； 直角：平角的一半，1直角=90°。 换算关系：1周角=2平角=4直角。 知识点五、基础生活角认知 1.钟面角：钟面为360°周角，均分12个大格、60个小格，单一大格30°，单一小格6°，可结合时针、分针转动规律判定钟面角度。 2.方向角：以正东、正西、正南、正北为基准方向，描述物体偏转角度的角，是几何方位应用的基础。 知识点六、角平分线 定义：从一个角的顶点出发，引出一条射线，若这条射线将该角分成两个相等的角，则这条射线叫做这个角的平分线。OP即为∠AOB的角平分线。 几何语言： ∵OP平分∠ AOB ∴∠ AOP=∠BOP=∠AOB， ∠AOB=2∠AOP=2∠BOP. 核心要点：角平分线是位于角内部的射线。 知识点七、余角与补角 1.基本定义 余角：两角和为90°，则两角互余，互为对方的余角。 补角：两角和为180°，则两角互补，互为对方的补角。 2.核心性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。 ★易错提醒：互余、互补仅与角度和有关，与图形位置无关。 ✺题型精讲 题型1.角的概念理解 1．如图，的边经过的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的有关概念．一个角是由有公共顶点的两条射线组成的，因此边经过的点一定在射线上，据此作图求解即可． 【详解】解：如图所示，的边经过的点是，    故选：C． 2．图中有______个角． 【答案】 【分析】数角时，按一定顺序（如从一边开始，依次与其他边组成角）避免重复和遗漏． 【详解】解：按一定顺序（如从一边开始，依次与其他边组成角），则： 以为开始边的有，4个角； 以为开始边的有，3个角； 以为开始边的有，2个角； 以为开始边的有，1个角； 共有个角． 故选：． 3．图中以为边的角有几个？请把它们表示出来． 【答案】，， 【分析】此题考查了角的定义，也考查了角的表示，根据角的概念（有公共端点的两条射线组成的图形叫角）写出即可． 【详解】解：图中以为边的角有3个，分别是：，，． 题型2.角的表示方法 1．下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、和表示同一个角，表示不同的角，故不符合题意； B、和表示同一个角，表示不同的角，故不符合题意； C、不存在，和表示不同的角，故不符合题意； D、、和表示同一个角，故符合题意； 故选：D． 2．如图，给出画有弧线的角的表示方法： ①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的有____________（填序号）。 【答案】①④⑥ 【分析】要判断每个角的表示是否正确，需依据角的表示规则逐一分析每个选项． 【详解】解：①：角可以用三个大写字母表示且顶点字母在中间.图中画有弧线的角的顶点为，两边分别为和，故①正确； ②：两边是和，并非图中画有弧线的角的两边，故②错误； ③：顶点处有多个角，不能用单个大写字母表示，故③错误； ④：图中用数字“”标注了弧线的角，故④正确； ⑤：是较大的角，两边为和并非弧线标注的角，故⑤错误； ⑥：与一致，故⑥正确． 故答案为：①④⑥ ． 【点睛】本题考查了角的表示方法，解题关键是掌握角的不同表示形式的适用条件． 3．老师提出了以下问题：如图所示，请用恰当的方法表示图中给出的所有角（小于平角的角），某组同学在本组展示区的答案是：，，，，． 思考分析后，分别解答下列问题： (1)有位同学认为答案中有错误，你是否认同他的观点？ _______．（填“认同”或“不认同”） (2)如果你认为有错误，错误的答案为______________． (3)另一位同学认为答案不完整，还有符合要求的角没表示出来，请你将答案修改补充完整，图中还有_________________________________________________． 【答案】(1)认同 (2) (3)，， 【分析】本题主要考查了角的表达方式，即角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示，其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，角还可以用一个希腊字母或阿拉伯数字表示，熟练掌握角的表达方式是解题关键． （1）根据角的表达方式即可判断表达有错误； （2）根据角的表达方式即可判断表达有错误； （3）根据角的表达方式即可求解． 【详解】（1）解：其中表达有错误，所以我认同他的观点． 故答案为：认同． （2）解：表达有错误， 故答案为：． （3）解：应改为：，； 图中还有没表示出来． 故答案为：，，． 题型3.角的分类 1．一个钝角与一个锐角的差是（   ） A．锐角 B．钝角 C．锐角或直角 D．不能确定 【答案】D 【分析】本题是对钝角与锐角的取值的考查． 【详解】解：一个钝角与一个锐角的差可能是直角，也可能是锐角，也可能是钝角， 故选：D． 【点睛】本题主要考察角的计算，角的概念，解答的关键是对角的概念的掌握． 2．一个长方形沿某条直线剪去一个角后，剩下的角的个数为_____个． 【答案】3或4或5 【分析】本题主要考查了角的个数问题，①若剪掉长方形方形相邻两条边的一部分，则剩下的部分是五边形；②若从长方形一个角的顶点，沿直线向对角的邻边剪，且只剪掉一条邻边的一部分，则剩下的部分为四边形；③若沿着长方形的对角线剪，则剩余部分为三边形（三角形）；据此可得答案． 【详解】解：如图所示，当按照①减去一个角时，剩下5个角； 当按照②减去一个角时，剩下4个角； 当按照③减去一个角时，剩下3个角； 综上所述，一个长方形沿某条直线剪去一个角后，剩下的角的个数为3个或4个或5个； 故答案为：3或4或5. 3．看图，回答下列问题： (1)图中共有多少个角？ (2)请分别写出图中的锐角、直角和钝角． 【答案】(1)10个 (2) 直角是， 锐角是， 钝角是． 【分析】本题考查角度的概念及分类； （1）列举出来图形中所有的角度即可； （2）根据锐角、直角和钝角的定义分类即可． 【详解】（1）解：图中角有：、、、、、、、、、，共有10个角； （2） 略 题型4.画特殊角 1．用一副三角板不能画出的角是（    ）． A．75° B．105° C．110° D．135° 【答案】C 【分析】105°=60°+45°，105°角可以用一副三角板中的60°角和45°角画；75°=45°+30°，75°角可以用一副三角板中的45°角和30°角画；135°=90°+45°，135°角可以用一副三角板中的直角和90°角或45°角画；110°角用一副三角板不能画出． 【详解】解：105°角可以用一副三角板中的60°角和45°角画； 75°角可以用一副三角板中的45°角和30°角画； 110°角用一副三角板不能画出； 135°角可以用一副三角板中的直角和90°角或45°角画。 故选：C． 【点睛】本题考查了利用一副三角板画出的特殊角，找出规律是解决此类题的最好方法，应让学生记住凡是能用一副三角板画出的角的度数都是15°的整数倍． 2．已知（如图），用量角器求作一个角，使它等于已知角α． 【答案】 如图，为所求． 【分析】本题考查用量角器作角．用量角器量出的度数，再作一射线，以点A为顶点，作，则即为所求． 【详解】解：略． 3．凭你的感觉画出的角，再用量角器量一量，你画的准确度如何？ 【答案】图见解析，基本准确． 【分析】可借助三角板画出的角，然后利用120°的角等于30°+90°，135°的角等于45°+90°，这样画起来比较准确，然后可借助量角器量一量． 【详解】解：画出的角度如下， 经测量后，基本准确． 【点睛】本题考查作角．在作一些特殊的角时可借助三角板或者利用三角板上的角的和或者差作比较准确，本题主要是培养学生对特殊角度的感知． 题型5.钟面角 1．钟面上9点15时，时针与分针形成的最小夹角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】钟面每个大格为，时针每分钟走的角度为，分针每分钟走的角度为，再结合9点15分时，时针和分针分别走的格数，进而求出它们的夹角． 【详解】解：9点时，时针与分针的夹角为：， 9点15分时，时针从9点开始又走了15分钟， ∴时针15分钟走的度数为：， 分针15分钟走的度数为：， ∴此时时针与分针的夹角为：（大于平角）， 最小夹角为：． 2．计算3点整时，时针和分针的夹角________． 【答案】 【详解】解：钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是． 3点整时，时针指到3上，分针指到12上，时针和分针夹角是3份, ． ∴时钟上3点整时，时针和分针的夹角是． 3．在7点钟到8点钟之间，分针与时针什么时候成直线？ 【答案】在7点分时，分针与时针成直线 【分析】7点时，时针与分针的夹角为150度，当时针与分针成直线时，二者的夹角为180度，求出分针比时针多走30度的时间即可得到答案． 【详解】解：，， ， 分， 答：在7点分时，分针与时针成直线． 题型6.方向角的表示 1．如图，点相对于点的方向为（     ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西 【答案】B 【详解】解：由题意得：点相对于点的方向为北偏东 2．如图，货船与港口相距30海里，从港口看，货船的位置可描述为________方向． 【答案】南偏东 【分析】根据方位角的定义，通常以正北或正南方向为基准线，图中给出了与正东方向的夹角，利用互余关系求出与正南方向的夹角即可确定方向． 【详解】解：由图可知，射线与正东方向的夹角为， 正东方向与正南方向互相垂直，夹角为， 射线与正南方向的夹角为， 货船B在港口A的南偏东方向． 3．下面图表是学校周边线路及相关信息，请同学们仔细阅读图1和表1中所给信息，回答下列问题： 路线 方向 距离（米） 书店→小丽家 北偏西 400 小玲家→学校 书店→学校 600 表1 (1)结合表1、图1中信息，把表1中空白的三处信息填完整． (2)根据图表信息，在图1中找到小丽家位置．（距离、角度等位置信息要标清楚） 【答案】(1) 解：补全表1如下： 路线 方向 距离（米） 书店→小丽家 北偏西 400 小玲家→学校 南偏东 1000 书店→学校 南偏西 600 表1 (2) 解：如图，小丽家位置即为所求： 【分析】本题考查了位置与方向，理解题意是解题的关键． （1）结合表1、图1中信息，即可求解； （2）根据表1可知，小丽家在书店的北偏西，且距离为400米，即可找到小丽家位置． 【详解】（1）略 （3） 略 题型7.与方向角有关的计算题 1．如图，从登山电梯上的点处观察山顶处的仰角为与竖直方向的夹角分别为和，则从点处观察山脚处的俯角为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，可得，故可得从点处观察山脚处的俯角为． 【详解】解：如图，作， ∴， ∵， ∴，即从点处观察山脚处的俯角为． 2．如图，山东号航母在B处，测得黄岩岛A在北偏西方向，南昌舰C在西南方向，则的度数是__________． 【答案】105 【分析】由题意可得，，求出，即可得出结果． 【详解】解：如图： 由题意可得：，， ∴， ∴． 3．如图是一个飞机场的雷达屏幕（每相邻两个圆之间的距离相等，每相邻两条射线之间的夹角也相等）．已知以中心的机场为观测点，飞机在北偏东方向20千米处．回答下面的问题： (1)飞机在机场的______方向上，距离是______千米； (2)飞机在机场的南偏东方向，距离是50千米，请在图中标出的位置． 【答案】(1)南偏西， (2) 如图，点即为所求： 【分析】（1）根据飞机的位置用方位角和距离表示即可得到答案； （2）根据飞机的位置在图上标出点C的位置即可． 本题考查了用方位角和距离表示位置，理解方位角是解题关键． 【详解】（1）由题可知，飞机在北偏东方向20千米处， 则每相邻两个圆之间的距离相等为10千米， 则飞机在机场的南偏西方向上，距离是千米． 故答案为：南偏西，30 （2） 略 题型8.角的单位与角度制 1．下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用度分秒的60进制换算规则，，逐一对选项换算验证即可得到正确结果． 【详解】解：对选项A：，A错误． 对选项B：，B错误． 对选项C：，∴ C正确． 对选项D： ，∴ D错误． 2．如图一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是________度．如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是_________度．（精确到分） 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算，根据齿轮的齿数计算夹角即可． 【详解】解：15个齿的齿轮：； 22个齿的齿轮：． 3．单位换算： (1)； (2)　　　　　°； (3)； (4)________． 【答案】(1)2700 (2)1.3 (3)52，21，36 (4)49.5225 【分析】本题考查角度单位换算，涉及度、分、秒之间的相互转换．换算依据是：，，因此．进行换算时，度化分乘以60，分化秒乘以60，秒化度除以3600；小数度转换为度分秒时，整数部分为度，小数部分化分，再小数部分化秒． （1）根据度与分之间的换算依据计算即可； （2）根据秒与度之间的换算依据计算即可； （3）根据度、分、秒之间的换算依据计算即可； （4）根据度、分、秒之间的换算依据计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：2700； （2）解：， 故答案为：1.3； （3）解：， 故答案为：52，21，36； （4）解：，，， ， ∴． 故答案为：． 题型9.角的度数大小比较 1．若，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了角度的度分秒与十进制的转换，熟练掌握“度分秒之间的换算（）”是解题的关键．将角度统一转换为十进制形式，再比较大小． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，即， 故选：A． 2．比较角度的大小：________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】利用进行换算后再比较大小． 【详解】∵，即， 又∵， ∴． 3．对于如图所示的各个角，用“”、“”、“”填空： (1)___________； (2)___________； (3)___________； (4)___________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了角的大小比较，根据图形和角之间的关系即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）由题意得，， 故答案为：； （3）由题意得，， 故答案为：； （4）由题意得，， 故答案为：． 题型10.角的比较 1．已知和，移动将点与点重合，射线与射线重合，射线和射线置于重合边的同侧，如果射线在的外部，那么下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．无法判断和的大小 【答案】A 【分析】根据利用叠合法比较角的大小的方法逐项判断即可． 【详解】解：由题意，将的顶点与的顶点重合，边与重合，与在重合边同侧， 射线在的外部， . 2．如图是的正方形网格，点A，B，C，D，O均为格点，则________（填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查角的大小比较，掌握知识点是解题的关键． 先求出，，再比较大小即可． 【详解】解：由图，可知为等腰直角三角形， ∴， 由图，可知为直角三角形且，， ∴，即， ∴． 故答案为：． 3．在某工厂生产流水线上生产如图所示的零工件，其中称为工件的中心角，生产要求的标准角度为，一名质检员在检验时，手拿一量角器逐一测量的度数．请你运用所学的知识分析一下，该名质检员采用的是哪种比较方法？你还能给该质检员设计更好的质检方法吗？请说说你的方法．    【答案】 解：该质检员采用的方法是测量法， 还可以使用叠合法，即在工件中找出一个角度为31°和一个角度为29°的两个工件， 然后可把几个零工件夹在这两个工件中间，使顶点和一边重合，观察另一边的情况， 当零工件的另一边落在角度为31°和角度为29°的两个工件的另一边的中间，则零工件符合要求，否则，不符合要求． 【分析】根据角的比较方法：测量法和叠合法，测量法测量具体，而叠合法更直观，在质检中，采用叠合的方法比较快捷． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了角的比较大小，关键是掌握角比较大小的方法． 题型11.三角板中角度计算问题 1．利用一副三角尺的两个角拼叠一次，能画出不同度数的角，下面不符合的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一副三角尺包含一个、、三角板和一个、、三角板，可用角度为、、与、进行拼接重叠．拼叠一次指将两个角的度数相加或相减得到新角度． 【详解】解：一副三角尺拼叠一次可得到以下角度（列举部分）： 加法：，，，，，． 减法：，（结果为正且有效）． A．可由得到，符合； B．无法由、、、中任意两个角度的和或差得到，因此不符合． C．可由得到，符合； D．可由得到，符合． 2．如图所示，将一副三角板叠放在一起，使它们的直角顶点重合于点，已知，则的度数是________． 【答案】/度 【分析】先理解题意得，再运算出，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， 则． 3．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，；） (1)与相等吗？说说你的理由； (2)若点E在的上方，设，求的度数． 【答案】(1)与相等， 理由如下： 因为， 所以， 所以； (2) 【分析】（1）根据角的和与差计算即可； （2）根据角的和与差计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：因为， 所以， 所以． 题型12.几何图形中角度计算问题 1．如图，剪刀张开角度，射线与剪刀上半部分的夹角，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的和差进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 2．钟表上的时间显示为，这时时针和分针之间形成的角（小于平角）的度数为________． 【答案】 【分析】钟面一周为，分为12个大格，先计算每个大格和时针每分钟走的度数，再确定时，时针和分针的位置，计算得到小于平角的夹角． 【详解】解：钟面一周为，共分12个大格， ∴每个大格的度数为 ，时针60分钟走1个大格，即， 时针每分钟走 ， ∵时，分针指向6，从指向12走过的角度为 ， 时针从指向4出发走了30分钟，走过角度为 ， ∴时针和分针的夹角为 ． 3．如图，点为直线上一点，过点作射线，使．将直角三角板绕点旋转一周，当直线与直线互相垂直时，求的度数． 【答案】的度数为或 【分析】分在直线的右侧和在直线的左侧两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当在直线的右侧时，如图， ∵， ∴， ∴； 当在直线的左侧时，如图， ∵， ∴， ∴， 综上，的度数为或． 题型13.角度的四则运算 1．【新情境】如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高，春分日郑州市正午太阳光线与水平面的夹角为，若光能利用率最高，则集热板与水平面的夹角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用．解题的关键是理解题意，集热板与太阳光线垂直时，集热板与水平面的夹角和太阳光线与水平面的夹角互余，即，按互余关系计算即可． 【详解】解：集热板与太阳光线垂直， 集热板与水平面的夹角和太阳光线与水平面的夹角互余， 即, ， 故选：D 2．，，则___________. 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 3．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了度分秒的加减计算，熟练掌握换算方法是解题的关键． （1）先计算括号内的加法，两个度数相加，需要将度与度，分与分，秒与秒对应相加，分或秒的结果满60分别化为度和分．再计算减法，两个度数相减，借化为，借化为，然后进行计算即可． （2）先计算乘法，再计算减法即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型14.实际问题中角度计算问题 1．如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得，根据平角的定义，代入即可求解， 本题考查了，反射角等于入射角，平角的定义，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：依题意，，， ∵， ∴，解得：， 故选：． 2．如图所示，若入射光线与平面镜成夹角，且入射光线与反射光线与平面镜所成的角度相等，则入射光线与反射光线的夹角的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了角的和差，将物理情景转化为数学问题成为解题的关键． 如图：由题意可得，然后根据平角的定义列式计算即可． 【详解】解：∵, ∴，即入射光线与反射光线的夹角的度数为． 故答案为：． 3．给出如下定义：如果，且（k为正整数），那么称是的“倍锐角”． (1)下列三个条件中，能判断是的“倍锐角”的是________（填写序号）； ①；②；③是的角平分线； (2)如图，当时，在图中画出的一个“倍锐角”； (3)如图，当时，射线绕点O旋转，每次旋转10°，可得它的“倍锐角”_____°； (4)当且存在它的“倍锐角”时，则________°． 【答案】(1)①③ (2) 如图： (3)60或80 (4)或 【分析】（1）分别求出和后判断是否符合（k为正整数）； （2）先求出的度数，再任意画出一个符合题意的角即可； （3）先求出的所有可能性，再分别求出的度数； （4）分两种情况分别讨论． 【详解】（1）当时，，，①符合题意； 当时，，，②不符合题意； 当是的角平分线，，③符合题意； 故答案为①③． （2）∵，， ∴， （3）∵是的“倍锐角”， ∴（k为正整数）， ∵， ∴， ∴应逆时针旋转， ∵当时，射线绕点O旋转，每次旋转10°， ∴可取，，，， 当时，，此时，不符合题意； 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，不符合题意； 当时，，此时，符合题意； 故答案为：60或80． （4）∵是的“倍锐角”， ∴（k为正整数）， ∵， ∴， ①：如图， ； ②：如图， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了用新定义计算角的和差，正确理解“倍锐角”是解题的关键． 题型15.角平分线的有关计算 1．如图，点O是直线上一点，，平分，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ． ， ． 平分， ． ． 2．如图，点是直线上一点，．平分，于点，则________度． 【答案】 【详解】解：点是直线上一点，， ． 平分， ． ， ． 3．如图，直线，相交于点，射线平分，，，求的度数． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， 射线平分， ． 题型16.角n等分线的有关计算 1．已知射线是的三等分线之一，且，则不可能是（） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了等分线的有关计算．射线是的三等分线之一，，因此可能是或，但不可能是． 【详解】解：是的三等分线之一，且， 被分成三个相等的角，每个角为 的位置有两种可能：靠近时，；靠近时， 因为等于本身，作为三等分线应在角内部． 不可能为， 故选：C． 2．射线是的七等分线，，则每个小角的度数为_________． 【答案】 16 【分析】本题考查角等分线的有关计算． 将进行七等分，即可得每个小角的度数． 【详解】解：∵射线是的七等分线，， ∴每个小角的度数为． 故答案为：16． 3．定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线． (1)如图2，点A、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的3分位线，（，），，则______； (2)如果点A、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，则________． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了新定义——角的分位线．熟练掌握新定义和利用分类讨论的思想是解题的关键． （1）求出，根据，分别为与的3分位线，（，），得，则； （2）根据、分别为与的5分位线，得或；或，当， 时，，不合题意；当，时，， 得；当，时，，得；当，时，，不合题意． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，分别为与的3分位线，（，）， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵射线为的5分位线， ∴，即，或，即； ∵射线为的5分位线， ∴，即，或，即， 当，时，则， ∵， ∴此时不满足题意； 当，时， 则， ∴， ∴； 当，时， 则， ∴； 当，时， 则， ∴此时不满足题意； 综上所述，或． 故答案为：或． 题型17.求一个角的余角 1．若，则的余角为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：若，则的余角为． 2．已知，则的余角的度数为___________． 【答案】 【分析】根据互余两角的和为，计算求解即可． 【详解】解：因为互余两角的和为，且， 所以的余角的度数为． 3．如图，直线、相交于点O，，是的角平分线． (1)直接写出的余角：______； (2)若，求的度数．下面是小林的解答过程，请你补全解答过程． 解：∵， ∴______， ∵， ∴______， ∵平分， ∴__________________． ∵， ∴， ∵直线、相交于点O， ∴____________． (3)若，求的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】(1)， (2)90；52；；；52；；14 (3) 【分析】本题考查了垂直的定义、角平分线的定义、互为余角的定义，掌握它们的概念是解题的关键． （1）根据互为余角的定义得是的余角，再根据对顶角的性质得，则是的余角； （2）先计算出，再根据角平分线的定义得，然后根据计算，最后根据对顶角的性质可得答案； （3）根据对顶角的性质得，则，再根据角平分线的定义得，再根据解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是的余角， ∵， ∴是的余角， 综上所述，的余角有，； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∵直线、相交于点O， ∴． 故答案为：90；52；；；52；；14； （3）解：， ， ， ， 平分， ， ． 题型18.求一个角的补角 1．一个角的度数是，则它的补角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵若两个角互补，则两角的度数和为， 已知该角的度数为， ∴它的补角度数为． 2．如图，一个零件每个内角都相等，小美使用直尺与量角器测量，如图直尺经过量角器底边中点，并与线相贴，请问这个零件的内角为________． 【答案】120 【分析】根据补角先计算出，再结合题意即可求解． 【详解】解：如下图， 由题意得，， ∴， ∵该零件每个内角都相等， ∴每个内角的度数为． 3．如图所示，，平分，点，，在同一条直线上，试说明．请你阅读下面的说理过程，并在括号内填上推理的依据． 理由： 因为是的平分线，点，，在同一条直线上(________)， 所以(___________)． 因为(________)， 所以． 因为(________)， 所以(________)． 【答案】已知，角平分线的定义，已知，平角的定义，等式的性质 【分析】本题考查角平分线的定义、平角的定义及等式的性质，关键是结合已知条件，利用几何定义和等式变形逐步推导角度关系． 【详解】解：因为是的平分线，点，，在同一条直线上(已知)， 所以(角平分线的定义)． 因为(已知)， 所以． 因为(平角的定义)， 所以(等式的性质)． 故答案为：已知，角平分线的定义，已知，平角的定义，等式的性质． 题型19.与余角、补角有关的计算 1．已知和互为余角，且，则的补角是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵与互为余角， ∴， ∵， ∴， ∴的补角为． 2．如果和互补，且，下列表达式：①；②；③；④中，能表示的余角的式子是__________．（请把所有正确的序号填在横线上） 【答案】①③④ 【分析】已知和互补，可得，根据余角定义，若两个角和为则互余，逐一验证每个式子即可． 【详解】解：∵和互补，且， ∴， 可得． ①：的余角定义为，因此①符合要求． ②：，（），因此②不符合要求． ③：，刚好是的余角，因此③符合要求． ④：，刚好是的余角，因此④符合要求． 综上，能表示余角的式子是①③④． 3．如图，已知，与互余，平分． (1)若，求和； (2)设，试探究α与β之间的数量关系． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由与互余求出的度数，由角平分线的定义求出的度数，进而可得的度数； （2）根据互余的定义，用含α的式子表示出的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，进而找到α与β之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵与互余，， ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，且与互余， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∴α与β之间的数量关系是． 题型20.同(等)角的余(补)角相等的应用 1．如图，将一副直角三角板的直角顶点重叠在一起，由，可直接推导出，依据是（   ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了余角的知识．根据“同角的余角相等”，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴（同角的余角相等）． 故选：A 2．若，，则，理由是________ 【答案】同角的补角相等 【分析】和都与同一个角互补，根据补角的性质即可推出结论． 【详解】解：，， （同角的补角相等）． 故答案为：同角的补角相等 3．如图，将两块含角的三角板的直角顶点重合放置，得到如下图形，其中． (1)若，则__________； (2)若，求的度数； (3)猜想与的和是否为定值，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 是定值，理由如下： ， 设， 则， ． 【分析】本题考查图形中求角度，涉及互余定义、同角的余角相等，数形结合，准确表示出相关角度之间的和差关系是解决问题的关键． （1）根据题意，结合互余定义，由同角的余角相等即可得到答案； （2）由题意，先由图形中各个角度之间的关系求出，再由互余定义求出的度数即可得到答案； （3）设，则，计算为定值即可得到答案． 【详解】（1）解：将两块含角的三角板的直角顶点重合放置，， ，， 则 （2）解：，， ， ； （3） 略 ✺巩固测试 一、单选题 1．下列各角中，是钝角的是（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．平角 【答案】B 【分析】本题考查钝角的定义，以及周角、平角的度数，通过计算各选项的角度，结合钝角定义判断． 【详解】解：A、周角，计算得：，是直角，不符合题意； B、平角，计算得：，是钝角，符合题意； C、平角，计算得：，是直角，不符合题意； D、平角，计算得：，是锐角，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了钝角的定义以及周角、平角的度数，解题关键是掌握钝角的范围，并能结合周角、平角的度数准确计算角度． 2．如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时，时针走过的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】整个钟面分为12个格，每个大格为，时针每分钟走，据此即可解答． 【详解】解：整个钟面分为12个格，每个大格为，时针每分钟走， 从10时40分到11时经过了20分钟， ， 时针走过的度数是． 3．如图，在学校图书馆处观测到，物理实验室位于点的北偏东的方向，教学楼位于点的南偏西的方向，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ． 4．，两个海上观测站的位置如图所示，在灯塔北偏东方向上，，则在灯塔的（     ） A．南偏东方向 B．南偏东方向 C．南偏西方向 D．东偏南方向 【答案】A 【分析】先根据的方位得到，再利用已知求出，进而确定的方位． 【详解】解：如图， ∵在灯塔北偏东方向， ∴． ∵，， ∴． ∴在灯塔的南偏东方向． 5．如图，家用衣架支杆、交于，若、分别平分，，则下列结论不正确的是（   ） A．与互余 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线定义，补角和余角，同角的余角相等，根据角平分线定义，补角和余角，同角的余角相等逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵、分别平分，， ∴，， ∵， ∴，， ∴与互余，该选项正确，不符合题意； 、无法得到，该选项不正确，符合题意； 、∵， ∴，该选项正确，不符合题意； 、∵，， ∴， ∵，， ∴，该选项正确，不符合题意； 故选：． 二、填空题 6．和互余，和互补，，______度． 【答案】153 【详解】解：∵和互余，和互补， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．已知，，，将三个角按从小到大的顺序排列是_______ 【答案】 【分析】先根据角度单位的换算规则，将三个角统一单位，再比较角度大小，即可得到排序结果． 【详解】根据角度单位换算规则，可得，． 对进行换算：． ，即． 8．如图，点在直线上，，，是射线，则图中大于小于的角有___________个．    【答案】9 【分析】本题考查了角的表示方法，根据角的表示方法表示出图中所有小于平角的角即可． 【详解】解：图中大于小于的角有，，，，，，，，，共9个． 故答案为：9． 9．如图，已知，平分，且，则的度数为______． 【答案】20 【分析】本题考查了角平分线的定义，角度的和差计算，正确运用角平分线推理论证进行角度的和差计算是解题的关键．根据角平分线的定义求出的度数，根据可求出的度数，即可求解． 【详解】解：∵，平分，且， ∴，， ∴， 故答案为：20． 10．（1）_____________； （2）_____________； （3）_____________； （4）_____________． 【答案】 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 三、解答题 11．如图，写出所有符合下列条件的角： (1)以为顶点的角． (2)以为一边的角． (3)所有小于平角的角． 【答案】(1) (2)． (3)． 【分析】需找出顶点为的所有角，即由出发的射线组成的角； 需找出以为其中一条边的角，即与其他射线组成的角； 需找出所有度数小于的角，需将图中各顶点处的角进行筛选． 【详解】（1）解：角的顶点为,因此符合条件的角有、、 故答案为：、、 （2）解：以为一边时，另一边分别为、、对应的角为 故答案为： （3）解：平角的度数为,因此符合条件的角有: 故答案为： 【点睛】本题考查了角的识别与表示，解题关键是明确角的顶点、边的构成，以及平角的度数界限，从而准确找出符合条件的角． 12．如图，直线交于O点，且，平分，为的反向延长线． (1)求和的度数 (2)平分吗？为什么？ 【答案】(1)； (2)平分 理由：， ． ， 平分． 【详解】（1）解：， ； 是的角平分线， ． ， ； （2）略 13．如图1，与都是直角，． (1)求和的度数，并说明和的大小关系如何． (2)若的大小不确定，其他条件不变，（1）中的和的大小关系仍然成立吗？请说明理由． (3)试猜想与是相等、互余，还是互补关系，并说明你的猜想是否合理． (4)当绕点O旋转到图2的位置时，（3）中的猜想还成立吗？请说明理由． 【答案】(1)，； (2) 解：成立，理由如下： ∵， ∴， ∴（同角的余角相等）． (3) 解：互补关系，理由如下： ∵， ， ∴， 即与是互补关系． (4) 解：成立，理由如下： ∵， 结合， 上式为， 即， 故与依旧是互补关系． 【分析】本题考查角度的和差计算以及余角、补角的概念，熟练掌握角度之间的计算关系是解题的关键． （1）根据直角关系，求出，，并得到二者角度相等； （2）根据同角的余角相等即可证明； （3）将直角代入计算，可证出，即二者互补； （4）同理，将直角代入计算，得出，即二者互补． 【详解】（1）解：∵与都是直角， ∴， ∵， ∴，， 故． （2）略 （3）略 （4）略 14．已知：O为直线上的一点，射线表示向北方向，射线在北偏东的方向，射线在南偏东的方向，射线平分，且． (1)如图1，________°，和之间的数量关系为_________． (2)若将绕点O旋转至图2的位置，射线仍然平分时，试问（1）中和之间的数量关系是否发生变化？请说明理由． (3)若将绕点O旋转至图3的位置，射线仍然平分时，则和之间的数量关系发生变化吗？如不变化，说明理由，如变化，写出新的数量关系并说明理由． 【答案】(1)90， (2) 和之间的数量关系不发生变化． 证明如下：如图， ， ， ， ， ， ， ． (3) 发生变化，， 理由：如图， ， ， ， ， 又平分， ， 即， ． 【分析】本题主要考查了方向角的定义，以及角平分线的定义的运用，对定义的熟练掌握是解题的关键.解题时注意角的和差关系的运用． （1）根据方向角的定义，以及, 即可根据角的和差关系进行求解； （2）根据, 即可证得； （3）根据角的和差，以及角平分线的定义即可求得和之间的数量关系． 【详解】（1）解：（1）如图，， ∴， 射线平分， ， ， 由可知，， ， ． （2）略 （3）略 15．如图，点在直线上，与互补，且． (1)求、的度数； (2)若，猜想与的数量关系并说明理由； (3)在（2）的条件下，平分时，在内部作射线，使，求的度数． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由题意设，再由与互补，建立方程求解即可； （2）根据平角的定义结合，以及，求解即可； （3）设，则由（2）知，由角平分线可得，则由，得到，解得，再分两种情况，根据角的和差计算求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴设 ∵与互补， ∴ 解得 ∴，； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴； （3）解：设，则由（2）知 ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ 解得， ∴， ①当在内部时， ∵ ∴ ∴； ②当在内部时， ∵ ∴ ∴， 综上：的度数为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 角 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.角的基础认知：掌握角的双重定义、构成要素与四种规范表示方法； 2.角的度量体系：认识度、分、秒，掌握六十进制换算规则与基础角度运算； 3.特殊角与生活角：掌握直角、平角、周角及钟面角、方向角基础概念； 4.角的等分关系：掌握角平分线的定义与几何数量关系； 5.两角特殊数量关系：掌握余角、补角的定义与核心性质。 ✅本节涵盖角的定义、标注、度量换算、特殊角、角平分线及余补角内容，兼顾基础识记与初步几何推理，是初中几何角度运算与简单证明的重要基础。 ✺学习目标 1.基础知识：掌握角的双重定义、构成要素与规范表示方法；认识度、分、秒度量单位，熟记六十进制换算规则；掌握特殊角、钟面角、方向角概念；理解角平分线、余角与补角的定义及性质。 2.能力提升：能规范识别、标注图形中的角，熟练完成度、分、秒换算与基础运算；可从实物中抽象角的几何模型，具备基础钟面角辨识能力；能利用角平分线、余补角性质完成简单角度推导与计算。 3.综合素养：建立角的几何直观与空间观念，体会几何知识的严谨规范；培养观察辨析、精准运算、逻辑推理的数学思维，提升几何知识的生活应用能力。 ✺题型归纳 题型1.角的概念理解 题型2.角的表示方法 题型3.角的分类 题型4.画特殊角 题型5.钟面角 题型6.方向角的表示 题型7.与方向角有关的计算题 题型8.角的单位与角度制 题型9.角的度数大小比较 题型10.角的比较 题型11.三角板中角度计算问题 题型12.几何图形中角度计算问题 题型13.角度的四则运算 题型14.实际问题中角度计算问题 题型15.角平分线的有关计算 题型16.角n等分线的有关计算 题型17.求一个角的余角 题型18.求一个角的补角 题型19.与余角、补角有关的计算 题型20.同(等)角的余(补)角相等的应用 题型21.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、角的定义与构成 1.静态定义：由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角，公共端点为角的顶点，两条射线为角的两边。如下图：点O是角的顶点，OA、OB是角的两条边。 2.动态定义：角可以看作一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形。把起始位置的射线叫做始边，终止位置的射线叫做终边。如下图：图中的角可以看作射线OA绕着点O旋转到OB而形成的。 3.核心构成要素 角由一个顶点、两条射线边构成。角的大小仅与两边张开的幅度有关，与边长无关。 知识点二、角的规范表示方法 角有四种规范表示方法，需结合图形特点合理选用： 1.三字母表示法：通用方法，顶点字母居中，如∠AOB，适用于所有角，无使用限制。 2.当同一个顶点处只有一个角时，才可以只用顶点一个字母表示角； 3.数字表示法：角内部标注数字，记作∠1、∠2，多用于复杂图形，简洁直观。 4.希腊字母表示法：角内部标注小写希腊字母，记作∠α、∠β，为几何通用规范。 知识点三、角的度量单位与换算 ▲角的度量单位为度、分、秒，采用六十进制，是本节核心计算考点。 1.角的度量仪器：量角器。 2.角的度量单位：度、分、秒。 3.角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制。 把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″。即1°=60′，1′=60″，1′=，1″=。 换算规则：大单位换小单位乘60，小单位换大单位除以60，逐级换算。 知识点四、常见特殊角 根据射线旋转位置，教材定义三类特殊角： 平角：终边与始边成直线，1平角=180°； 周角：终边与始边重合，1周角=360°； 直角：平角的一半，1直角=90°。 换算关系：1周角=2平角=4直角。 知识点五、基础生活角认知 1.钟面角：钟面为360°周角，均分12个大格、60个小格，单一大格30°，单一小格6°，可结合时针、分针转动规律判定钟面角度。 2.方向角：以正东、正西、正南、正北为基准方向，描述物体偏转角度的角，是几何方位应用的基础。 知识点六、角平分线 定义：从一个角的顶点出发，引出一条射线，若这条射线将该角分成两个相等的角，则这条射线叫做这个角的平分线。OP即为∠AOB的角平分线。 几何语言： ∵OP平分∠ AOB ∴∠ AOP=∠BOP=∠AOB， ∠AOB=2∠AOP=2∠BOP. 核心要点：角平分线是位于角内部的射线。 知识点七、余角与补角 1.基本定义 余角：两角和为90°，则两角互余，互为对方的余角。 补角：两角和为180°，则两角互补，互为对方的补角。 2.核心性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。 ★易错提醒：互余、互补仅与角度和有关，与图形位置无关。 ✺题型精讲 题型1.角的概念理解 1．如图，的边经过的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．图中有______个角． 3．图中以为边的角有几个？请把它们表示出来． 题型2.角的表示方法 1．下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，给出画有弧线的角的表示方法： ①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的有____________（填序号）。 3．老师提出了以下问题：如图所示，请用恰当的方法表示图中给出的所有角（小于平角的角），某组同学在本组展示区的答案是：，，，，． 思考分析后，分别解答下列问题： (1)有位同学认为答案中有错误，你是否认同他的观点？ _______．（填“认同”或“不认同”） (2)如果你认为有错误，错误的答案为______________． (3)另一位同学认为答案不完整，还有符合要求的角没表示出来，请你将答案修改补充完整，图中还有_________________________________________________． 题型3.角的分类 1．一个钝角与一个锐角的差是（   ） A．锐角 B．钝角 C．锐角或直角 D．不能确定 2．一个长方形沿某条直线剪去一个角后，剩下的角的个数为_____个． 3．看图，回答下列问题： (1)图中共有多少个角？ (2)请分别写出图中的锐角、直角和钝角． 题型4.画特殊角 1．用一副三角板不能画出的角是（    ）． A．75° B．105° C．110° D．135° 2．已知（如图），用量角器求作一个角，使它等于已知角α． 3．凭你的感觉画出的角，再用量角器量一量，你画的准确度如何？ 题型5.钟面角 1．钟面上9点15时，时针与分针形成的最小夹角的度数是（     ） A． B． C． D． 2．计算3点整时，时针和分针的夹角________． 3．在7点钟到8点钟之间，分针与时针什么时候成直线？ 题型6.方向角的表示 1．如图，点相对于点的方向为（     ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西 2．如图，货船与港口相距30海里，从港口看，货船的位置可描述为________方向． 3．下面图表是学校周边线路及相关信息，请同学们仔细阅读图1和表1中所给信息，回答下列问题： 路线 方向 距离（米） 书店→小丽家 北偏西 400 小玲家→学校 书店→学校 600 表1 (1)结合表1、图1中信息，把表1中空白的三处信息填完整． (2)根据图表信息，在图1中找到小丽家位置．（距离、角度等位置信息要标清楚） 题型7.与方向角有关的计算题 1．如图，从登山电梯上的点处观察山顶处的仰角为与竖直方向的夹角分别为和，则从点处观察山脚处的俯角为（     ） A． B． C． D． 2．如图，山东号航母在B处，测得黄岩岛A在北偏西方向，南昌舰C在西南方向，则的度数是__________． 3．如图是一个飞机场的雷达屏幕（每相邻两个圆之间的距离相等，每相邻两条射线之间的夹角也相等）．已知以中心的机场为观测点，飞机在北偏东方向20千米处．回答下面的问题： (1)飞机在机场的______方向上，距离是______千米； (2)飞机在机场的南偏东方向，距离是50千米，请在图中标出的位置． 题型8.角的单位与角度制 1．下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是________度．如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是_________度．（精确到分） 3．单位换算： (1)； (2)　　　　　°； (3)； (4)________． 题型9.角的度数大小比较 1．若，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 2．比较角度的大小：________．（填“”“”或“”） 3．对于如图所示的各个角，用“”、“”、“”填空： (1)___________； (2)___________； (3)___________； (4)___________． 题型10.角的比较 1．已知和，移动将点与点重合，射线与射线重合，射线和射线置于重合边的同侧，如果射线在的外部，那么下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．无法判断和的大小 2．如图是的正方形网格，点A，B，C，D，O均为格点，则________（填“”或“”或“”）． 3．在某工厂生产流水线上生产如图所示的零工件，其中称为工件的中心角，生产要求的标准角度为，一名质检员在检验时，手拿一量角器逐一测量的度数．请你运用所学的知识分析一下，该名质检员采用的是哪种比较方法？你还能给该质检员设计更好的质检方法吗？请说说你的方法．    题型11.三角板中角度计算问题 1．利用一副三角尺的两个角拼叠一次，能画出不同度数的角，下面不符合的是（     ）． A． B． C． D． 2．如图所示，将一副三角板叠放在一起，使它们的直角顶点重合于点，已知，则的度数是________． 3．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，；） (1)与相等吗？说说你的理由； (2)若点E在的上方，设，求的度数． 题型12.几何图形中角度计算问题 1．如图，剪刀张开角度，射线与剪刀上半部分的夹角，则（     ） A． B． C． D． 2．钟表上的时间显示为，这时时针和分针之间形成的角（小于平角）的度数为________． 3．如图，点为直线上一点，过点作射线，使．将直角三角板绕点旋转一周，当直线与直线互相垂直时，求的度数． 题型13.角度的四则运算 1．【新情境】如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高，春分日郑州市正午太阳光线与水平面的夹角为，若光能利用率最高，则集热板与水平面的夹角的度数是（   ） A． B． C． D． 2．，，则___________. 3．计算： (1) (2)． 题型14.实际问题中角度计算问题 1．如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．如图所示，若入射光线与平面镜成夹角，且入射光线与反射光线与平面镜所成的角度相等，则入射光线与反射光线的夹角的度数为______． 3．给出如下定义：如果，且（k为正整数），那么称是的“倍锐角”． (1)下列三个条件中，能判断是的“倍锐角”的是________（填写序号）； ①；②；③是的角平分线； (2)如图，当时，在图中画出的一个“倍锐角”； (3)如图，当时，射线绕点O旋转，每次旋转10°，可得它的“倍锐角”_____°； (4)当且存在它的“倍锐角”时，则________°． 题型15.角平分线的有关计算 1．如图，点O是直线上一点，，平分，若，则等于（     ） A． B． C． D． 2．如图，点是直线上一点，．平分，于点，则________度． 3．如图，直线，相交于点，射线平分，，，求的度数． 题型16.角n等分线的有关计算 1．已知射线是的三等分线之一，且，则不可能是（） A． B． C． D．以上都不对 2．射线是的七等分线，，则每个小角的度数为_________． 3．定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线． (1)如图2，点A、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的3分位线，（，），，则______； (2)如果点A、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，则________． 题型17.求一个角的余角 1．若，则的余角为（     ） A． B． C． D． 2．已知，则的余角的度数为___________． 3．如图，直线、相交于点O，，是的角平分线． (1)直接写出的余角：______； (2)若，求的度数．下面是小林的解答过程，请你补全解答过程． 解：∵， ∴______， ∵， ∴______， ∵平分， ∴__________________． ∵， ∴， ∵直线、相交于点O， ∴____________． (3)若，求的度数（用含α的代数式表示）． 题型18.求一个角的补角 1．一个角的度数是，则它的补角的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，一个零件每个内角都相等，小美使用直尺与量角器测量，如图直尺经过量角器底边中点，并与线相贴，请问这个零件的内角为________． 3．如图所示，，平分，点，，在同一条直线上，试说明．请你阅读下面的说理过程，并在括号内填上推理的依据． 理由： 因为是的平分线，点，，在同一条直线上(________)， 所以(___________)． 因为(________)， 所以． 因为(________)， 所以(________)． 题型19.与余角、补角有关的计算 1．已知和互为余角，且，则的补角是（    ）． A． B． C． D． 2．如果和互补，且，下列表达式：①；②；③；④中，能表示的余角的式子是__________．（请把所有正确的序号填在横线上） 3．如图，已知，与互余，平分． (1)若，求和； (2)设，试探究α与β之间的数量关系． 题型20.同(等)角的余(补)角相等的应用 1．如图，将一副直角三角板的直角顶点重叠在一起，由，可直接推导出，依据是（   ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 2．若，，则，理由是________ 3．如图，将两块含角的三角板的直角顶点重合放置，得到如下图形，其中． (1)若，则__________； (2)若，求的度数； (3)猜想与的和是否为定值，并说明理由． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列各角中，是钝角的是（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．平角 2．如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时，时针走过的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在学校图书馆处观测到，物理实验室位于点的北偏东的方向，教学楼位于点的南偏西的方向，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．，两个海上观测站的位置如图所示，在灯塔北偏东方向上，，则在灯塔的（     ） A．南偏东方向 B．南偏东方向 C．南偏西方向 D．东偏南方向 5．如图，家用衣架支杆、交于，若、分别平分，，则下列结论不正确的是（   ） A．与互余 B． C． D． 二、填空题 6．和互余，和互补，，______度． 7．已知，，，将三个角按从小到大的顺序排列是_______ 8．如图，点在直线上，，，是射线，则图中大于小于的角有___________个．    9．如图，已知，平分，且，则的度数为______． 10．（1）_____________； （2）_____________； （3）_____________； （4）_____________． 三、解答题 11．如图，写出所有符合下列条件的角： (1)以为顶点的角． (2)以为一边的角． (3)所有小于平角的角． 12．如图，直线交于O点，且，平分，为的反向延长线． (1)求和的度数 (2)平分吗？为什么？ 13．如图1，与都是直角，． (1)求和的度数，并说明和的大小关系如何． (2)若的大小不确定，其他条件不变，（1）中的和的大小关系仍然成立吗？请说明理由． (3)试猜想与是相等、互余，还是互补关系，并说明你的猜想是否合理． (4)当绕点O旋转到图2的位置时，（3）中的猜想还成立吗？请说明理由． 14．已知：O为直线上的一点，射线表示向北方向，射线在北偏东的方向，射线在南偏东的方向，射线平分，且． (1)如图1，________°，和之间的数量关系为_________． (2)若将绕点O旋转至图2的位置，射线仍然平分时，试问（1）中和之间的数量关系是否发生变化？请说明理由． (3)若将绕点O旋转至图3的位置，射线仍然平分时，则和之间的数量关系发生变化吗？如不变化，说明理由，如变化，写出新的数量关系并说明理由． 15．如图，点在直线上，与互补，且． (1)求、的度数； (2)若，猜想与的数量关系并说明理由； (3)在（2）的条件下，平分时，在内部作射线，使，求的度数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $