2.2.3 一元二次不等式的解法 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦一元二次不等式的解法，通过矩形展板面积问题x(12-x)>20导入，从乘积符号法则推导“大于取两边、小于取中间”结论，结合因式分解法、配方法构建学习支架，衔接前后知识。 该资料以问题串引导探究，情境导入培养数学眼光，如矩形面积问题抽象数量关系，例题精讲与变式练习发展数学思维，如配方法处理恒成立问题，分式不等式转化体现数学语言应用，助力学生提升运算推理素养，为教师提供清晰教学路径。

数学 人教B版 教学设计-2026-2027学年 高一 必修第一册 2.2.3 一元二次不等式的解法 一、教学目标 （1）理解一元二次不等式的概念：一般地，形如ax²+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0，不等号也可以是<、≥、≤等。 （2）掌握一元二次不等式的解法：会利用两数乘积的符号法则把(x-x1)(x-x2)型不等式转化为不等式组，会用因式分解法和配方法求一元二次不等式的解集，理解大于取两边、小于取中间的结论。 （3）提升运算与推理能力：能判断恒成立与恒不成立的情形（解集为R或∅），能把分式不等式等价变形后借助一元二次不等式的解法求解，发展逻辑推理与数学运算素养。 二、教学重难点 重点：一元二次不等式的解法（因式分解法、配方法），大于取两边、小于取中间。 难点：配方法处理一般情形，恒成立与无解情形的判断，分式不等式的等价变形。 三、教学方法 教法上以问题串引导探究，辅以例题精讲与随堂演练：先由乘积符号法则推导基本结论，再通过典型例题示范因式分解法与配方法，最后借变式练习突破恒成立与分式不等式的难点。 四、教学过程 环节一 情境导入：教师展示一张海报设计问题——要在长为x分米、宽为(12-x)分米的矩形展板上布置图文，要求版面面积大于20平方分米，即x(12-x)>20，x应满足什么条件？学生列出式子后发现需要研究二次式取值的正负，由此引出一元二次不等式的课题。 环节二：从乘积符号到基本结论。教师引导：只有两个同号的数相乘，结果才能是正数，即ab>0当且仅当a>0且b>0，或a<0且b<0；ab<0当且仅当两数异号。据此把(x-x1)(x-x2)型的不等式转化为两个不等式组求解。师生共同归纳一般结论：如果x1<x2，则不等式(x-x1)(x-x2)<0的解集是(x1,x2)，不等式(x-x1)(x-x2)>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞)，可概括为大于取两边、小于取中间。 环节三：因式分解法。例1：求不等式x²-5x+6>0的解集。解：因式分解得(x-2)(x-3)>0，由大于取两边，解集为(-∞,2)∪(3,+∞)。例2：求不等式x²+x-6<0的解集。解：因式分解得(x+3)(x-2)<0，由小于取中间，解集为(-3,2)。例3：求不等式x²-4x+4≥0的解集。解：(x-2)²≥0，由于任何一个实数的平方一定是非负数，该不等式对一切实数成立，解集为R；进而指出x²-4x+4<0的解集为∅。 环节四：配方法。教师指出：一元二次不等式ax²+bx+c>0（a≠0）通过配方总是可以化为(x-h)²>k或(x-h)²<k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集。例4：求不等式x²-2x-3>0的解集。解：配方得(x-1)²>4，即x-1>2或x-1<-2，解集为(-∞,-1)∪(3,+∞)。例5：求不等式x²+2x+5<0的解集。解：配方得(x+1)²+4<0，即(x+1)²<-4，平方非负，解集为∅；追问x²+2x+5>0的解集为R，体会恒成立与恒不成立的判断。 环节五：分式不等式的转化。例6：求不等式(x-1)/(x-2)>0的解集。解：两边同乘(x-2)²（正数），等价于(x-1)(x-2)>0且x≠2，解集为(-∞,1)∪(2,+∞)。强调分式不等式可变形后借助一元二次不等式的解法求解，注意分母不为零。 环节六：课堂练习。（1）求x²-3x-10<0的解集；（2）求2x²-7x+3>0的解集；（3）求(x+1)/(x-4)≤0的解集。参考答案：（1）(x-5)(x+2)<0，解集为(-2,5)；（2）(2x-1)(x-3)>0，解集为(-∞,1/2)∪(3,+∞)；（3）等价于(x+1)(x-4)≤0且x≠4，解集为[-1,4)。 环节七：课堂小结。师生回顾：一元二次不等式的定义，乘积符号法则与两个基本结论，因式分解法与配方法的步骤，大于取两边、小于取中间的口诀，以及恒成立、无解和分式不等式转化的处理方法，强调等价变形与分类讨论的思想。 学科网（北京）股份有限公司 $