第2章 2.2.4 第1课时 均值不等式（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦均值不等式核心知识点，从天平实际问题引入，通过国际数学家大会会标、圆直径与弦等几何图形推导，结合作差法、分析法完成代数证明，明确算术与几何平均值关系及几何意义，构建“问题-推导-应用”学习支架，涵盖直接法和拼凑法求最值。 该资料以“数学眼光”观察几何图形发现数量关系，如会标面积关系引出不等式，“数学思维”通过严谨推导培养逻辑推理，例3拼凑法训练转化能力。课中问题链引导探究，课后分层练习助学生巩固，提升教学效果与查漏补缺效率。

2.2.4　均值不等式及其应用 第1课时　均值不等式 学习目标　 1.掌握均值不等式及其推导过程.2.理解均值不等式的几何意义.3.能初步运用均值不等式求最值. 导语 从前有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售.你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？要解决这个问题，我们一起进入今天的课堂吧！ 一、对均值不等式的理解 问题1　如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，你能找到正方形ABCD的面积与四个直角三角形的面积之和的关系吗？ 提示　正方形的边长AB=故正方形的面积为a2+b2，而四个直角三角形的面积为2ab，故有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.实际上该不等式对任意的实数a，b都能成立. 问题2　现在我们讨论一种特别的情况，如果a>0，b>0，我们用分别替换上式中的a，b，能得到什么样的结论？ 提示　用分别替换上式中的a，b可得到a+b≥2当且仅当a=b时，等号成立.我们习惯表示成≤. 问题3　上述不等式是在a2+b2≥2ab(a，b∈R)的基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明. 提示　方法一　(作差法) -= ==≥0， 即≥当且仅当a=b时，等号成立. 方法二　(分析法) 要证≤只需证2≤a+b， 只需证2-a-b≤0， 只需证-(-)2≤0， 显然(-)2≥0成立，当且仅当a=b时，等号成立. 方法三　(几何法) 如图所示，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD=由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为≤由此也可以得出圆的半径不小于半弦. 问题4　探索均值不等式的几何意义. 提示　将均值不等式两边平方可得≥ab， 如果矩形的长和宽分别为a和b，那么矩形的面积为ab可以看成与矩形周长相等的正方形的面积，因此均值不等式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大. 知识梳理 算术平均值 给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值 几何平均值 给定两个正数a，b，数称为a，b的几何平均值 均值不等式 如果a，b都是正数，那么≥当且仅当a=b时，等号成立 几何意义 所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大 注意点： (1)均值不等式常见的变形：①若a>0，b>0，则a+b≥2；②若a>0，b>0，则ab≤. (2)均值不等式的实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值. 例1　下列命题中正确的是(　　) A.当a，b∈R时+≥2 =2 B.若a<0，b<0，则≤ab C.当a>2时，a+的最小值是6 D.当a>0，b>0时≥ 答案　C 解析　A中，可能<0，所以A不正确； B中，对任意的a，b∈R，都有a2+b2≥2ab，即≥ab，所以B不正确； C中，a+≥2=6，当且仅当a=即a=3时，等号成立，所以C正确； D中，由均值不等式知≤(a>0，b>0)，所以D不正确. 反思感悟　均值不等式≥(a>0，b>0)的两个注意点 (1)不等式成立的条件：a，b都是正数. (2)“当且仅当”的含义： ①当a=b时≥的等号成立， 即a=b⇒=； ②仅当a=b时≥的等号成立， 即=⇒a=b. 跟踪训练1　(多选)下列结论不正确的是(　　) A.若x∈R，且x≠0，则+x≥4 B.当x>0时+≥2 C.当x≥2时，x+的最小值为2 D.当0<x≤2时，2x+的最小值为2 答案　AC 解析　对于选项A，当x<0时+x≥4显然不成立； 对于选项B，符合应用均值不等式的基本条件，当x>0时+≥2=2，当且仅当=即x=1时，等号成立. 对于选项C，忽视了验证等号成立的条件，即x=即x=1，不满足x≥2； 对于选项D，2x+≥2=2当且仅当2x=即x=时，等号成立. 二、利用均值不等式求最值 问题5　若两个正数的和为8，那么这两个正数分别是多少时，其积最大？ 提示　x+y=8，由≥xy得xy≤16，当且仅当x=y=4时，等号成立，即这两个正数都为4时，其积最大. 问题6　若两个正数的积为16，那么这两个正数分别是多少时，其和最小？ 提示　xy=16，由x+y≥2得x+y≥8，当且仅当x=y=4时等号成立，即这两个正数都等于4时，其和最小. 知识梳理　用均值不等式求最值 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值 已知x，y都是正数，如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值S2. 两个正数的积为常数时，它们的和有最小值 已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2. 注意点： (1)口诀：和定积最大，积定和最小. (2)应用均值不等式求最值时，应把握不等式成立的条件：一正二定三相等. 角度1　直接法求最值 例2　(课本例1)已知x>0，求y=x+的最小值，并说明x为何值时y取得最小值. 解　因为x>0，所以根据均值不等式有 x+≥2=2， 其中等号成立当且仅当x=即x2=1， 解得x=1或x=-1(舍). 因此x=1时，y取得最小值2. 例2　(1)当x>0时，求+4x的最小值； (2)当x<0时，求+4x的最大值； (3)已知t>0，求y=的最小值. 解　(1)∵x>0，∴>0，4x>0. ∴+4x≥2=8. 当且仅当=4x，即x=时，等号成立， ∴当x>0时+4x的最小值为8. (2)∵x<0，∴-x>0. 则+(-4x)≥2=8 当且仅当=-4x，即x=-时，等号成立. ∴+4x≤-8. ∴当x<0时+4x的最大值为-8. (3)依题意得，y=t+-4≥2-4=-2， 当且仅当t=1时，等号成立，即y=(t>0)的最小值是-2. 反思感悟　在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值；三是考虑等号成立的条件是否具备. 跟踪训练2　若a，b都是正数，则的最小值为(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 答案　C 解析　因为a，b都是正数，所以=5++≥5+2=9，当且仅当b=2a时取等号. 角度2　拼凑法求最值 例3　已知x>2，则y=x+的最小值为　　　　.  答案　6 解析　因为x>2，所以x-2>0， 所以y=x+=x-2++2≥2 +2=6， 当且仅当x-2=即x=4时，等号成立. 所以y=x+的最小值为6. 延伸探究　若把本例中的条件“x>2”改为“x<2”，求y=x+的最大值. 解　因为x<2，所以2-x>0， 所以y=x+=-+2 ≤-2+2=-2， 当且仅当2-x= 即x=0时，等号成立. 故y=x+的最大值为-2. 反思感悟　通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略 (1)拼凑的技巧，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形. (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标. (3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提. 跟踪训练3　(1)若0<x<则x(1-2x)的最大值是　　　　　　　.  答案　 解析　因为0<x<所以1-2x>0， 所以x(1-2x)=×2x×(1-2x)≤=×= 当且仅当2x=1-2x，即x=时，等号成立. 所以x(1-2x)的最大值为. (2)若x>1，则的最小值为　　　　.  答案　4 解析　因为x>1，所以x-1>0， 所以==x+1+ =(x-1)++2≥2+2=4， 当且仅当=x-1，即x=2时，等号成立， 所以当x>1时的最小值为4. 1.知识清单： (1)≥(a，b都是正数). (2)直接法求最值. (3)拼凑法求最值. 2.方法归纳：拼凑法. 3.常见误区：忽视a，b都是正数的条件，忽视等号成立的条件. 1.不等式a2+≥4中，等号成立的条件是(　　) A.a=4 B.a= C.a=- D.a=± 答案　D 解析　此不等式等号成立的条件为a2=即a=±. 2.(多选)下列不等式成立的是(　　) A.ab≤ B.≤ C.≥ab(a>0，b>0) D.a+b≤2 答案　AC 解析　a2+b2-2ab=(a-b)2≥0， ∴a2+b2≥2ab，当ab>0时≥故A正确，B不正确； 由均值不等式可知C是其变形，故C正确； a+b≥2故D不正确. 3.若x>0，则x+　　　　2若x<0，则x+　　　　-2.(填“=”“≥”“≤”“>”或“<”)  答案　≥　≤ 解析　当x>0时，x+≥2=2 当且仅当x=即x=时取等号. 当x<0时，x+=-≤-2当且仅当x=-时取等号. 4.已知x<则y=4x-2+的最大值为　　　　，此时x的值是　　　.  答案　1　1 解析　∵x<∴5-4x>0. ∴y=4x-2+=-+3 ≤-2+3=-2+3=1， 当且仅当5-4x= 即x=1时，等号成立.故y的最大值为1，此时x的值是1. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共30分 1.(多选)下列条件可使+≥2成立的有(　　) A.ab>0 B.ab<0 C.a>0，b>0 D.a<0，b<0 答案　ACD 解析　根据均值不等式的条件知，a，b同号，则>0>0，故A，C，D正确. 2.已知x>0，y>0，x+=8，则的最大值为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 答案　B 解析　因为8=x+≥2=4 所以≤2，从而≤4. 当且仅当x=即x=4，y=1时等号成立. 3.(多选)已知正数a，b，则下列说法正确的是(　　) A.+的最小值为2 B.(a+b)≥4 C.≥2 D.> 答案　BC 解析　由题意知a，b为正数. 对于A+≥2=2，当且仅当=1时等号成立，而>故等号不成立，A不正确； 对于B，(a+b)=1+1++≥2+2=4，当且仅当a=b时等号成立，故B正确； 对于C≥=2当且仅当a=b时等号成立，故C正确； 对于D≤=当且仅当a=b时等号成立，故D不正确. 4.设x>0，则y=3-3x-的最大值是(　　) A.3 B.3-2 C.3-2 D.-1 答案　C 解析　 y=3-3x-=3-≤3-2 =3-2当且仅当3x= 即x=时取等号. ∴当x=时，y的最大值是3-2. 5.(多选)若x>0，y>0，且x+y≤4，则下列结论正确的是(　　) A.≤ B.+≥1 C.≥ D.≤2 答案　BCD 解析　∵x>0，y>0，x+y≤4，则≥A不正确； 由2≤x+y≤4，即≤2，xy≤4，当且仅当x=y=2时，等号成立， ∴≥≥且+≥2≥2×=1，故BCD正确. 6.已知x>-1，则y=的最小值为(　　) A.-1 B.2 C.3 D.2+1 答案　D 解析　∵x>-1，∴x+1>0， ∴y===x+1++1≥2+1=2+1， 当且仅当x+1=即x=-1时等号成立，所以y的最小值为2+1. 7.(5分)已知a，b是不相等的正数，x=y=则x，y的大小关系是　　　　.  答案　x<y 解析　x2= y2=a+b=. ∵a+b>2(a>0，b>0且a≠b)， ∴x2<y2.∵x>0，y>0，∴x<y. 8.(5分)已知a>b>c，则与的大小关系是　　　　　　　　　　　　　.  答案　≤ 解析　∵a>b>c，∴a-b>0，b-c>0， ∴≤=. 当且仅当a-b=b-c，即a+c=2b时，等号成立. 9.(10分)若x<3，求y=2x+1+的最大值. 解　因为x<3，所以3-x>0. 又因为y=2(x-3)++7=-+7， 由均值不等式可得2(3-x)+≥ 2=2 当且仅当2(3-x)= 即x=3-时，等号成立， 于是-≤-2 -+7≤7-2 故y的最大值是7-2. 10.(10分)已知x>0，求y=的最大值. 解　y==. 因为x>0， 所以x+≥2=2， 当且仅当x= 即x=1时，等号成立. 所以0<y≤=1， 故y的最大值为1. 11.式子的最小值为(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 答案　B 解析　=|x|+≥2=4，当且仅当|x|=即x=±2时，等号成立，故最小值为4. 12.已知x，y为正实数，则+的最小值为(　　) A.4 B.5 C.6 D.8 答案　C 解析　由题意得+=+设=t(t>0)，则t+=t+2+-2≥2-2=8-2=6，当且仅当t=2，即y=2x时取等号. 所以+的最小值为6. 13.(多选)一个矩形的周长为l，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对(S，l)的有(　　) A.(1，4) B.(6，8) C.(7，12) D. 答案　AC 解析　设矩形的长和宽分别为x，y， 则x+y=l，xy=S. 对于(1，4)，则x+y=2，xy=1， 根据均值不等式，满足xy≤符合题意； 对于(6，8)，则x+y=4，xy=6， 根据均值不等式，不满足xy≤不符合题意； 对于(7，12)，则x+y=6，xy=7， 根据均值不等式，满足xy≤符合题意； 对于则x+y=xy=3， 根据均值不等式，不满足xy≤不符合题意. 14.(5分)中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S=求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a=8，b+c=10，则此三角形面积的最大值为　　　　.  答案　12 解析　由已知可得p==9， 所以S= =3≤=12. 当且仅当b=c=5时，等号成立.故该三角形面积的最大值为12. 15.(多选)《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题的方法，这种方法是西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC=a，BC=b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，则该图形可以完成的所有的无字证明为(　　) A.≥(a>0，b>0) B.a2+b2≥2ab(a>0，b>0) C.≥(a>0，b>0) D.≥(a≥0，b>0) 答案　AC 解析　由AC+CB=a+b，得OD= 由Rt△ACD∽Rt△DCB可知 CD== 又OD≥CD，∴≥(a>0，b>0)，A正确； 由Rt△CDE∽Rt△ODC可知CD2=DE·OD， 即DE=== 又CD≥DE，即≥(a>0，b>0)，C正确. 16.(10分)已知a，b为正实数，且+=2. (1)求a2+b2的最小值；(5分) (2)若(a-b)2≥4(ab)3，求ab的值.(5分) 解　(1)因为a，b为正实数，且+=2 所以+=2≥2 即ab≥. 因为a2+b2≥2ab≥2× =1 所以a2+b2的最小值为1. (2)因为+=2所以a+b=2ab. 因为(a-b)2≥4(ab)3，所以(a+b)2-4ab≥4(ab)3， 即(2ab)2-4ab≥4(ab)3， 即(ab)2-2ab+1≤0，即(ab-1)2≤0. 因为a，b为正实数，所以ab=1. 学科网（北京）股份有限公司 $