2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（2）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“三个二次”关系及应用，涵盖分式不等式解法、含参不等式、恒成立问题等核心内容。以回顾“三个二次”关系为导入，将一元二次不等式作为工具，逐步延伸至复杂问题，构建从基础到应用的学习支架。 其亮点在于案例驱动与方法总结结合，通过热带风暴影响时间等实际问题培养模型观念，含参不等式分类讨论提升推理能力，方法总结助学生系统掌握。学生能提升数学应用能力，教师可获得清晰教学路径与实例支持。

回顾与展望 “三个二次”的关系： 一元二次不等式：ax² + bx + c>0 （a≠0) （或 <0，≤0，≥0）解集的端点 一元二次方程 ax² + bx + c＝0 （a≠0)的根 二次函数： y = ax² + bx + c（a≠0)图象与x轴交点的横坐标 本节将一元二次不等式作为工具，解决更复杂的数学问题 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 自主研读 P54例5，梳理知识，记录疑问 关注以下问题： 注意实际意义的制约 两边同时乘以(x-3)2 典例精析 法二：化为等价的一元一次不等式组 转化的依据是什么？ 要注意些什么？ 分式不等式的解法 方法总结： (3)也可化为等价的一元一次不等式组求解. 问题一：已知不等式 x² + px + q < 0 的解集为 {x | 2 < x < 5}，你能反推出方程 x ² + px + q = 0 的两根吗？p 和 q 的值分别是多少？？  由解集形式可知，不等式对应二次函数开口向上（a=1>0），且与x轴交于 x=2 和 x=5 因此，方程的两根为 x₁ = 2, x₂ = 5 由韦达定理：p = -(x₁ + x₂) = -7, q = x₁  x₂ = 10 “三个二次”的关系： 典例精析 典例精析 方法总结： 数形结合思想 综上，a的取值范围是{a|0≤a≤4} 典例精析 例4. 如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响，据以上预报估计，从现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约多长（精确到0.1h） 码头 热带风暴中心 P55 6 所以,经过约13.7小时码头将受到风暴的影响,影响时间为15.0小时. 归纳总结 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的零点 一元二次方程 ax2+bx+c＝0(a≠0) 的根 一元二次不等式(a≠0) ax2+bx+c >0 ax2+bx+c ≤0 …… 解集的端点 1.三个“二次关系”的应用 3. 含有参数的一元二次不等式 等价转化思想 分类讨论思想 数形结合思想 2. 简单分式不等式解法 随堂小测 课本P55 练习 3 课本P55 4 6 课后作业 课本P55 习题2.3 3，5 课本P55 练习 2 课本P58 6 例1：解下列不等式： (1) eq \f(x＋1,x－3)≥0； (2) eq \f(5x＋1,x＋1)<3. 解: (1)不等式 eq \f(x＋1,x－3)≥0可转化成不等式组 解得x≤－1或x>3.即原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}． (2)不等式eq \f(5x＋1,x＋1)<3可改写为eq \f(5x＋1,x＋1)－3<0，即eq \f(2(x－1),x＋1)<0. 可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0，解得－1<x<1. 所以原不等式的解集为{x|－1<x<1}． (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次 不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分 母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解． [解]　∵ax2＋bx＋c>0的解集为{x|1<x<2}， ∴1,2是ax2＋b x＋c＝0的两根且a<0． 由韦达定理有 得 代入所求不等式cx2＋bx＋a>0， 得2ax2－3ax＋a>0. 因为a<0，可得2x2－3x＋1<0 即(2x－1)(x－1)<0，解得：eq \f(1,2)<x< 1. ∴cx2＋bx＋a>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,2) <x<1)))). 例2.　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a>0的解集． 例3：　已知不等式ax2＋(a－1)x＋a－1<0对于所有的实数x都成立，求a的取值范围． [解]　若a＝0，则原不等式为－x－1<0， 即x>－1，不合题意，故a≠0. 令y＝ax2＋(a－1)x＋a－1， ∵原不等式对任意x∈R都成立， ∴二次函数y＝ax2＋(a－1)x＋a－1的图象在x轴的下方， ∴a<0且Δ＝(a－1)2－4a(a－1)<0， 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<0，,a－13a＋1>0)) ∴a<－eq \f(1,3). 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0；)) 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0；)) 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为 的条件为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0.)) ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0，, Δ=a2-4a≤0))∴0<a≤4. 变式：　若 对任意实数都有意义，求a的取值范围． [解]　即不等式ax2+ax+1≥0恒成立 若a＝0，则原不等式为1≥0，恒成立 若a≠0，令y＝ax2＋ax＋1， ∵原不等式对任意x∈R都成立， ∴二次函数y＝ax2＋ax＋1的图象在x轴的上方， 已知不等式x2＋ax＋b>0的解集是 ，则2a+b=____ $