2.2 基本不等式（1）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件围绕基本不等式展开，从初中完全平方公式引入，通过赵爽弦图及圆的直径和弦几何模型，构建代数与几何的联系，形成从源头公式推导到应用的学习支架。 其亮点在于以几何直观和代数推理结合，体现“数学眼光”与“数学思维”，通过“一正二定三相等”条件总结培养“数学语言”表达，帮助学生建立知识体系，教师可高效开展概念教学与解题指导。

回忆与展望 初中研究过的一个非常重要的“等式”是什么？它刻画了什么关系？ 完全平方公式：(a―b)² = a² ― 2ab + b² 刻画了任意实数平方的非负性 a² + b² ≥ 2ab 由 (a―b)² ≥0，你能直接推导出什么关于 a² + b² 与 2ab 的不等式？ 赵爽弦图 基本不等式的“源头公式” 今天，我们将从一个新的、更直观的几何模型出发，探究一个形式更简洁、应用更广泛的“基本不等式”，并揭示其深刻的数学内涵 如图，AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a, CB=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD, 则CD= , 半径为 . 探究 你能发现其中的不等关系吗？ D A B C E a b 如何证明？与a² + b² ≥ 2ab 有什么内存联系？ 2.2 基本不等式（1） 自主研读 P44~P46，梳理知识，记录疑问 基本不等式的具体内容是什么？其中对 a, b 有什么限制条件？ “当且仅当”这句话是什么意思？在几何图形中如何体现？ 什么是“算术平均数”和“几何平均数”？基本不等式如何表述这两者之间的关系？ 关注以下问题： 问题一：对于任意实数 a, b，有 a² + b² ≥ 2ab 这两个不等式之间有何区别与联系？能否从一个推导出另一个？ 对于任意正数 a, b，有 （当且仅当 a＝b时，等号成立） 法一： ∵ - = = ≥0 ∴ (当a=b时取等号) 法三：课本方法（分析法），注意用词 区别： 使用范围不同 问题二：P45探究，完美地验证了基本不等式 （当且仅当 a＝b时，等号成立）哪两个关键点？  D A B C E a b O C与O不重合时，CD<OD C与O重合时，CD＝OD a＝b a≠b （当且仅当 a＝b时，等号成立） 基本不等式： 几何平均数 算术平均数 两个正数的 不大于 a，b为正实数时 当且仅当 a＝b 时取“＝” P45例2 （2） P45例2 （1） 问题三：例2告诉我们与两个正数和、积有关的最值的基本事实是什么？  两个正数 积为定值时，和有最小值 和为定值时，积有最大值 和定积最大，积定和最小. 问题四：结合例2，例1分析，基本不等式 （当且仅当 a＝b时，等号成立）作用是什么？使用时应该注意什么？  两个正数 积为定值时，和有最小值（例1，例2(1)） 和为定值时，积有最大值（例1，例2(1)） 一正 二定 三相等 典例精析 AC 一正 二定 三相等 典例精析 一正 二定 三相等 关于“一正” 只有“两个正数”时才能尝试使用 典例精析 一正 二定 三相等 ①拆(裂项拆项) ②并(分组并项) ③配(配式、配系数,凑出定值) 凑出“和”或“积”为定值,常见的方法技巧如下: 关于“二定” ①拆(裂项拆项) ②并(分组并项) ③配(配式、配系数,凑出定值) 凑出“和”或“积”为定值,常见的方法技巧如下: 关于“二定” 一正 二定 三相等 验证“取等”条件,必不可缺 关于“三相等” 典例精析 一正 二定 三相等 归纳总结 重要不等式 基本不等式 等号成立的条件 当且仅当a=b时，等号成立 a，b为正实数时 两个正数 积为定值时，和有最小值 和为定值时，积有最大值 当且仅当a＝b时取“＝” 利用基本不等式求最值 归纳总结 随堂小测 课本P46 1，2，3，4 课后作业 课本P48 习题2.2 1，2 课本P48 5 法二：分别代替式中的 例1：（多选题）以下推导过程，其中正确的推导过程为(　 　) A．因为a，b均为正数，所以eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2 eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2； B．因为a∈R，a≠0，所以eq \f(4,a)＋a≥2 eq \r(\f(4,a)·a)＝4； C．因为x，y∈R，xy<0，所以eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,y)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,x))))) ≤－2 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,y)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,x))))＝－2. D．当a>4时，a＋eq \f(9,a)≥2 eq \r(a·\f(9,a))＝6，则a＋eq \f(9,a)有最小值6 例2 已知，求的最小值. 变式1： 已知 ，则有最______值为______. （1）, , 当且仅当, 即,时,等号成立 因此有最大值为2. 变式2： 当 时，求的最小值. (2)因为 ,故有, 所以 , 当且仅当 ,即 时等号成立. 因此所求的最小值为5. 变式3：当 时，求 的最小值. 解: (2) 变式4：(1)分析 的最值. (2) 分析 的最值. 解: (1) 例3 (1)已知，求的最大值. (2)已知，求的最大值. （1）, , 当且仅当, 即时,等号成立 因此有最大值为. （1）, , 当且仅当, 即时,等号成立 因此有最大值为. 利用基本不等式求最值要把握下列三个条件： ①“一正”——各项为正数； ②“二定”——“和”或“积”为定值； ③“三相等”——等号一定能取到． 这三个条件缺一不可． 利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件， 解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的 “拆项、添项、配凑、变形”等方法 创建应用基本不等式的条件． 解：（2）法一：，，， 当且仅当时取等号，但，因此不能取等号，. （2）法二：，， 当且仅当时取等号，但，因此不能取等号，. $