2.3一元二次不等式及其解法 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦一元二次不等式的概念、解法及与二次函数、方程的联系，通过杂志社定价的实际问题导入，结合复习二次函数图象、方程根与判别式等旧知，搭建前后知识学习支架。 其亮点在于以“三个二次”关系为核心，借助图象直观（数学眼光）和“化判求写”四步法（数学思维），通过例1-4覆盖Δ>0、Δ=0、Δ<0及系数为负等情形，用表格和口诀总结解集规律（数学语言）。学生能深化逻辑推理与直观想象，教师可依托系统流程与易错提示提升教学效率。

ax² + bx + c > 0 2.3 一元二次不等式及其解法 人教A版必修第一册　·　第二章　一元二次函数、方程和不等式 1 ax² + bx + c > 0 本课导览 概念 认识一元二次不等式 ax²＋bx＋c＞0（a≠0） 关系 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者的联系 解法 化、判、求、写四步，"大于取两边，小于取中间" 情形 Δ＞0、Δ＝0、Δ＜0 三种情况的解集 2 ax² + bx + c > 0 学习目标 认识一元二次不等式，知道它的一般形式； 理解二次函数图象与一元二次方程、一元二次不等式的联系，会借助图象求解集； 掌握解一元二次不等式的步骤，能正确求出 Δ＞0、Δ＝0、Δ＜0 三种情形的解集。 3 ax² + bx + c > 0 复习回顾 三样旧知识 二次函数 y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的图象是抛物线，a＞0 开口向上； 一元二次方程 ax²＋bx＋c＝0 的根，就是抛物线与 x 轴交点的横坐标； 判别式 Δ＝b²－4ac：Δ＞0 有两个不等根，Δ＝0 有两个相等根，Δ＜0 没有实根。 这节课，我们把这三样东西串起来，用图象去求不等式的解集。 4 ax² + bx + c > 0 判别式与图象 a＞0 时的三种位置 Δ＞0 交 x 轴两点 Δ＝0 与 x 轴相切 Δ＜0 不与 x 轴相交 5 ax² + bx + c > 0 导入 某杂志社要给杂志定价，最后归结为解这样一个不等式： 2x² － 13x ＋ 20 ≤ 0 它的未知数最高次数是 2，是一个"一元二次不等式"。要解它，先得认识这类不等式，再找到解法。 6 ax² + bx + c > 0 一元二次不等式 只含一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，叫做一元二次不等式。一般形式是： ax² ＋ bx ＋ c ＞ 0　　 或　　 ax² ＋ bx ＋ c ＜ 0　（a ≠ 0） 把"＞""＜"换成"≥""≤"，也是一元二次不等式。关键是 a ≠ 0（否则不是二次）。 7 ax² + bx + c > 0 辨一辨 哪些是一元二次不等式？ ① 3x²－1＞0　　② x²＋y＜0　　③ ＋x＞0　　④ x²＞2x 答案 ① 是；　④ 是（移项即 x²－2x＞0）。 ② 含两个未知数，不是一元； ③ 含 ，未知数不在整式里，也不是。 一元二次：只有一个未知数、整式、最高次数为 2。 8 ax² + bx + c > 0 探究 怎么解？ 以 x² － 5x ＋ 6 ＞ 0 为例。 问 不能像方程那样"求根"就完事。能不能借助二次函数 y＝x²－5x＋6 的图象，看出哪些 x 让它大于 0？ 9 ax² + bx + c > 0 先算几个点 看函数值的正负 x 1 2 2.5 3 4 y＝x²－5x＋6 2 0 −0.25 0 2 看出来了 x＝2、3 时 y＝0，在 2 与 3 之间 y＜0，两边 y＞0。让 y＞0 的是 x＜2 或 x＞3。列点只是感受，规范做法是看图象。 10 ax² + bx + c > 0 从图象看解集 2 3 明确 方程 x²－5x＋6＝0 的根是 2、3，即抛物线与 x 轴的交点。 函数值 ＞0 ⇔ 图象在 x 轴上方，对应 x＜2 或 x＞3。 所以解集为 {x | x＜2 或 x＞3}。 11 ax² + bx + c > 0 三个"二次"的关系 以 a＞0 为例，Δ＝b²－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 方程的根 两个不等根 x₁＜x₂ 两个相等根 无实根 ＞0 的解集 {x | x＜x₁ 或 x＞x₂} {x | x≠} R ＜0 的解集 {x | x₁＜x＜x₂} ∅ ∅ 12 ax² + bx + c > 0 Δ＞0 抛物线与 x 轴交于两点 x₁ x₂ ＞0（上方）：{x | x＜x₁ 或 x＞x₂} ＜0（下方）：{x | x₁＜x＜x₂} 13 ax² + bx + c > 0 Δ＝0 抛物线与 x 轴相切 x₀ 只有一个切点 x₀＝- ＞0：{x | x≠ -}（去掉切点） ＜0：∅（图象不在下方） 14 ax² + bx + c > 0 Δ＜0 抛物线与 x 轴不相交 图象整个在 x 轴上方 ＞0：R（恒成立） ＜0：∅（图象不在下方） 15 ax² + bx + c > 0 一张表记牢 速记 开口向上时—— ＞0 找"上方"：Δ＞0 取两边、Δ＝0 去一点、Δ＜0 取全体 R； ＜0 找"下方"：Δ＞0 取中间、Δ＝0 与 Δ＜0 都取空集 ∅。 一句话：先看开口，再数图象在 x 轴哪一侧。 16 ax² + bx + c > 0 解法四步 化 化成 ax²＋bx＋c＞0（或＜0），并使 a＞0（若 a＜0，两边乘 −1，不等号变向） 判 算 Δ＝b²－4ac，判断根的情况 求 求出方程 ax²＋bx＋c＝0 的根 写 结合开口向上的图象写出解集 17 ax² + bx + c > 0 一句口诀 二次项系数为正时： 大于取两边，小于取中间 （＞0 取两根之外，＜0 取两根之间；Δ≤0 时按三种情形表处理。） 18 ax² + bx + c > 0 例1 Δ＞0 求不等式 x² － 5x ＋ 6 ＞ 0 的解集。 问 按四步走。这里 a 已经为正，先算 Δ。 19 ax² + bx + c > 0 例1 · 解 化 · 判 1 a＝1＞0，已是标准形式，不用化。 2 Δ＝(−5)²－4×1×6＝25－24＝1＞0，方程有两个不等实根。 进度 已知 Δ＞0，接下来求根、写解集。 20 ax² + bx + c > 0 例1 · 解 求 · 写 3 解 x²－5x＋6＝0 得 x₁＝2，x₂＝3。 2 3 4 结论 开口向上，＞0 取两根之外， 解集为{x | x＜2 或 x＞3}。 21 ax² + bx + c > 0 例2 Δ＝0 求不等式 9x² － 6x ＋ 1 ＞ 0 的解集。 问 算一算 Δ。当 Δ＝0 时，＞0 的解集要注意什么？ 22 ax² + bx + c > 0 例2 · 解 Δ＝36－36＝0，方程 9x²－6x＋1＝0 有两个相等根 x₀＝ ；且 9x²－6x＋1＝(3x－1)²。 结论 除切点外图象都在 x 轴上方，只要 x≠，所以解集为{x | x≠ } 23 ax² + bx + c > 0 例3 二次项系数为负 求不等式 −x² ＋ 2x － 3 ＞ 0 的解集。 问 a＝−1＜0，第一步该做什么？做完之后不等号会怎样？ 24 ax² + bx + c > 0 例3 · 解 先化正 1 两边乘 −1，不等号变向： −x²＋2x－3＞0　⟹　x²－2x＋3＜0 提醒 系数变正、不等号由 ＞ 变 ＜，这一步最容易错。 25 ax² + bx + c > 0 例3 · 解 判 · 求 · 写 对 x²－2x＋3＜0：Δ＝4－12＝−8＜0，方程无实根。 结论 y＝x²－2x＋3 开口向上、整个在 x 轴上方，恒有 ＞0，所以 ＜0 无解。 原不等式的解集为 ∅。 26 ax² + bx + c > 0 例4 四步完整演示 求不等式 −2x² ＋ 3x ＋ 2 ≥ 0 的解集。 问 系数为负，含等号。四步依次走一遍。 27 ax² + bx + c > 0 例4 · 解 化：两边乘 −1 变向，得 2x²－3x－2≤0； 判：Δ＝9＋16＝25＞0； 求：2x²－3x－2＝(2x＋1)(x－2)，根 、2； 写：开口向上、≤0 取中间（含端点）。 解集 {x | ≤x≤2}。 28 ax² + bx + c > 0 专题一 完全平方型 当 Δ＝0，二次式是一个完全平方 (x－a)²，四种不等式要分清： 结论 (x－a)² ＞ 0：{x | x≠a}　　　(x－a)² ≥ 0：R (x－a)² ＜ 0：∅　　　　　　(x－a)² ≤ 0：{a}（只有 x＝a） 记法：平方恒 ≥0。"＞0"去掉那一点，"≥0"取全体，"＜0"无解，"≤0"只剩那一点。 29 ax² + bx + c > 0 专题二 能分解就分解 二次式能因式分解时，直接看根更快，不必每次算判别式。 示例 (x＋2)(x－3) ＞ 0：两根 −2、3， 开口向上取两边 → {x | x＜−2 或 x＞3}； (x＋2)(x－3) ＜ 0： 取两根之间 → {x | −2＜x＜3}。 关键：找到两根，再按"大于取两边、小于取中间"下笔。 30 ax² + bx + c > 0 专题三 数轴标根 把两根标在数轴上，开口向上时"两边正、中间负"，按符号选区间： x₁ x₂ ＋ － ＋ 用法 要 ＞0 取"＋"号区间（两边），要 ＜0 取"－"号区间（中间）。和口诀一致。 31 ax² + bx + c > 0 辨一辨 Δ＝0 时别漏 问 有人把 9x²－6x＋1＞0 的解集写成 R，对吗？ 明确 不对。在切点 x＝ 处 (3x－1)²＝0，并不＞0。 Δ＝0 时，＞0 的解集是"去掉那一个根"，即 {x | x≠}，不是 R。 32 ax² + bx + c > 0 辨一辨 系数为负先化正 问 解 −x²＋2x－3＞0，直接说"开口向下、取两根之外"行不行？ 明确 不稳妥。口诀"大于取两边、小于取中间"是对开口向上（a＞0）说的。 二次项系数为负时，先两边乘 −1 化成正（不等号变向），再套口诀，才不会记混。 33 ax² + bx + c > 0 辨一辨 Δ＜0 是全集还是空集 问 x²＋2x＋3＞0 与 x²＋2x＋3＜0，解集分别是什么？ 明确 Δ＝4－12＝−8＜0，开口向上，图象整个在 x 轴上方，恒＞0。 所以 ＞0 的解集是 R；＜0 的解集是 ∅。看开口方向别弄反。 34 ax² + bx + c > 0 练一练 ① 因式已分解 问 求 (x＋2)(x－3) ＞ 0 的解集。 答案 两根 −2、3，开口向上，取两根之外：{x | x＜−2 或 x＞3}。 35 ax² + bx + c > 0 练一练 ② 含等号 问 求 3x² － 7x ≤ 10 的解集。 答案 化为 3x²－7x－10≤0，即 (3x－10)(x＋1)≤0，两根 −1,，取中间（含端点）：{x | −1≤x≤ }。 36 ax² + bx + c > 0 练一练 ③ 系数为负 问 求 −x² ＋ 4x － 4 ＜ 0 的解集。 答案 乘 −1 变向得 x²－4x＋4＞0，即 (x－2)²＞0，只需 x≠2： 所以解集为{x | x≠2}。 37 ax² + bx + c > 0 练一练 ④ 空集 问 求 x² － x ＋ ＜ 0 的解集。 答案 x²－x＋ ＝(x－)²，平方非负，＜0 无解：∅。 38 ax² + bx + c > 0 练一练 ⑤ 全集 问 求 x² － 3x ＋ 4 ＞ 0 的解集。 答案 Δ＝9－16＝−7＜0，开口向上恒正：R。 39 ax² + bx + c > 0 变式 已知解集反求系数 问 若 ax²＋bx＋2＞0 的解集是 {x | −1＜x＜2}，求 a＋b。 解 解集是"两根之间"型，说明开口向下，a＜0，且 −1、2 是方程 ax²＋bx＋2＝0 的根。 由根与系数关系：(−1)×2＝→ a＝−1；(−1)＋2＝−→ b＝1。 所以 a＋b＝0。 40 ax² + bx + c > 0 方法归纳 解一元二次不等式 ① 化：系数化正、不等号随之定； ② 判：算 Δ； ③ 求：求根（能分解就分解）； ④ 写：看开口，口诀写解集。 三种特殊情形 · Δ＝0 且 ＞0：去掉一个根； · Δ＜0 且开口向上：＞0 取 R、＜0 取 ∅； · 完全平方 (x－a)²：分清 ＞、≥、＜、≤。 41 ax² + bx + c > 0 本课小结 一元二次不等式 ax²＋bx＋c＞0（a≠0）； 三个"二次"用图象串起来：方程的根是交点，不等式解集是图象在 x 轴上/下方的那部分； 解法四步：化、判、求、写；口诀"大于取两边，小于取中间"； Δ＞0 取两边或中间；Δ＝0 时 ＞0 要"去掉一个根"；Δ＜0 时开口向上则恒＞0（解集 R）。 42 ax² + bx + c > 0 课后作业 完成本节课时作业； 整理三个"二次"关系表，能默写 Δ＞0、Δ＝0、Δ＜0 三种情形的解集； 把今天五道"练一练"再独立做一遍，重点体会系数为负、Δ＝0、Δ＜0 三处易错。 43 ax² + bx + c > 0 这节课到这里 下一课时　一元二次不等式的应用 把解法用到实际问题、分式不等式和集合运算里。 44 $